Manual de Formulas y Tablas Matematicas

/ M AN U AL DE FÓRM U LAS ’ Y T ABLAS M AT EM ÁT I CAS I / ,.’ Mur.rayA. S p i e g e l \ ”z 0 .dmas elementales como álgebra, g,cometría, trigonometría, geometría analítica y zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONM cá~ blo. ntiene un conjunto de fórmulas y t@lilas matemáticas de gran utilidad práctica. Incluye definiciones, teoremas, gráficas y diagramas para la correcta comprensión y aplicación de las fórmulas. http://www.ĞůƐŽůƵĐŝŽŶĂƌŝŽ͘ďůŽŐƐƉŽƚ.com /,%52681,9(5,67$5,26 <62/8&,21$5,26'( 08&+26'((6726/,%526 /2662/8&,21$5,26 &217,(1(172'26/26 (-(5&,&,26'(//,%52 5(68(/726<(;3/,&$'26 '()250$&/$5$ 9,6,7$1263$5$ '(6$5*$/26*5$7,6 MAN UAL DE FORMULAS Y TABLAS MATEMATICAS 2 400 FORMULAS Y 60 TABLAS MURRAY R. SPIEGEL, Ph. D. Profesor de Matemáticas del Rensselaer Polytechnic Znstitute l TRADUCCION ORLANDO Y ADAPTACIÓN GUERRERO RIBERO Químico de la Universidad de Alaska McGRAW-HILL MÉXICO. BUENOS AIRES . CARACAS . GUATEMALA LISBOA l MADRID l NUEVA YORK l PANAMÁ l SAN JUAN SANTAFÉ DE BOGOTÁ l SANTIAGO l SAO PAULO AUCKLAN l HAMBURGO l LONDRES l MILÁN l MONTREAL NUEVA DELHI l PARíS l SAN FRANCISCO. SINGAPUR ST. LOUIS l SIDNEY. TOKIO l TORONTO , MANUAL DE FÓRMULAS Y TABLAS MATEMÁTICAS Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, por cualquier medio, sin autorización escrita del editor DERECHOS RÉSERVADOS 0 1991-1968, respecto a la primera edición en español por McGRAW-HILLIINTERAMERICANA DE MÉXICO, S. A. de C. V. Atlacomulco 499-501, Fracc. Ind. San Andrés Atoto 53500 Naucalpan de Juárez, Edo. de México Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial, Reg. Núm. 1890 ISBN:970-10-2095-2 1 Traducido de la primera edición en inglés de SCHAUM’S OUTLINE OF MATHEMATICAL HANDBOOK OF FORMULAS AND TABLES Copyright 0 MCMLXVIII, by McGraw-Hill, Inc., U. S. A. ISBN o-07-060224-7 1203456789 P.E-91 Impreso en México Esta obra se termino de Imprimir en Aaosto de 1998 en Prógramas Educativos S. A. de C. V. Calz. Chabacano No. 65-a Col. Asturias Delegación Cuauhtémoc C P. 06850 México, D. F Empresa Certificada por el Instituto Mexicano de Normalización y Certificación A. C. bajo la Norma ISO-9002: 1994/NMX-CC04: 1995 con el Núm. de Registro RSC-048 Se tiraron 1800 ejemplares 9076543216 Printed in Mexico PROLOGO El objeto de este manual es el de presentar un conjunto de fórmulas y tablas matemáticas que seguramente serán de valor para los estudiantes e investigadores en materias como las matemáticas, física, ingenieria y otras. Para cumplir este propósito, se ha tenido el cuidado de escoger aquellas fórmulas y tablas que puedan ser de mayor utilidad practica prescindiendo de las fórmulas altamente especializadas que raramente se emplean. No se ha ahorrado esfuerzo para presentar los datos y fórmulas en forma precisa a la vez que concisa para que se puedan encontrar con la mayor confianza y facilidad. Los temas tratados oscilan desde los elementales hasta los avanzados. Entre los temas elementales figuran el álgebra, la geometría, la trigonometría, la geometria analítica y el cálculo. Entre los temas avanzados, figuran las ecuaciones diferenciales, el análisis vectorial, las series de Fourier, las funciones gamma y beta, las funciones de Bessel y de Legendre, las transformadas de Fourier y de Laplace, las funciones elípticas y algunas otras funciones especiales importantes. Este amplio contenido de temas ha sido acogido con el fin de poder proporcionar, en un solo volumen, la mayor parte de los datos matemáticos importantes de utilidad para el estudiante o investigador, cualquiera que sea su área particular de interés o su nivel de aprendizaje. Este libro está dividido en dos partes principales. En la parte 1 están contenidas las fórmulas matemáticas al tiempo que se tratan otros asuntos tales como definiciones, teoremas, gráficas diagramas, etc., que son esenciales para la correcta comprensión y aplicación de las fórmulas. En esta primera parte figuran además amplias tablas de integrales y transformadas de Laplace que pueden ser de gran valor para el estudiante o investigador. La parte II contiene tablas numéricas tales como los valores de las funciones elementales (trigonométricas, logaritmicas, exponenciales, hiperbólicas, etc.) así como también de las funciones de carácter avanzado (de Bessel, de Legendre, elípticas, etc.): Las tablas numéricas correspondientes a cada función se presentan por separado con el objeto de evitar confusiones, especialmente para el principiante en matemáticas. Así por ejemplo, las funciones seno y coseno para ángulos en grados y minutos se presentan en tablas separadas más bien que en una sola tabla, lo cual evita al estudiante el tener que preocuparse acerca de la posibilidad de incurrir en algún error por no buscar en la columna o fila apropiadas. Deseo expresar mis agradecimientos a los diversos autores y editores por haberme otorgado el permiso de tomar datos de sus libros para emplearlos en varias de las tablas de este manual. Las referencias apropiadas aparecen junto con las tablas correspondientes. Me hallo especialmente agradecido del redactor, del extinto Sir Ronald A. Fisher, F. R. S., del Dr. Frank Yates, F. R. S., y de Oliver and Boyd Ltd., Edimburgo, por el permiso para emplear datos de la tabla III de su libro Statistical Tables for Biological, Agricultura1 and Medical Research. Deseo además expresar mi gratitud a Nicola Monti, Henry Hayden y Jack Margolin por su magnífica cooperación editorial. M. R. SPIEGEL TABLA DE MATERIAS Página 1. Constantes notables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. Productos y factores notables . . . . . . . . . . . . . . . . Fórmula del binomio de New ton y coeficientes binomiales Fó rmulas g eo métricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . Número s co mplejo s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funciones exponenciales y logarítmicas . . . . . . . . Funciones hiperbólicas . . . . . . . . . . . . . . . . . Soluciones de las ecuaciones algebraicas . . . . . . . . 10. Fórmulas de geometria analítica plana . . . . . . . . . ll. Curvas planas notables . . . . . . . . . . . . . . . . . 12. Fórmulas de geometría analítica del espacio . . . . . . 13. Deriv ad as 14. Integrales indefinidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15. 16. Integrales definidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . La función Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17. La función Beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18. Ecuaciones diferenciales básicas y sus soluciones . . . 19. Series de constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20. 21. 22. Series de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. Series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funciones de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31. Números de Bernoulli y de Euler . . . . . . . . . . . . Fórmulas de análisis vectorial . . . . . . . . . . . . . Funciones de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . Funciones asociadas de Legendre . . . . . . . . . . . . Polinomios de Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . Polinomios de Laguerre . . . . . . . . . . . . . . . Polinomios asociados de Laguerre . . . . . . . . . . Polinomios de Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fun ciones .. hipergeometricas 1 2 3 5 ll 21 23 26 32 34 40 46 53 57 94 101 103 104 107 110 114 116 131 1 3 6 146 149 1 5 1 153 1 5 5 157 1 6 0 TAB LA D E MATE RIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32. Transformadas de Laplace 33. Transformadas 34. Funciones elípticas 35. Funciones notables 36. 38. Desigualdades Desarrollos en fracciones parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Productos infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39. Distribuciones 40. Momentos de inercia importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Factores de conversión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37. 41. de 1 7 4 Fourier 1 7 9 diversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . probabilidad . . . . de 161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 187 188 189 190 192 194 Ejemplos de problemas para ilustrar el uso de las tablas . . . . . . . . . . . 1. 183 Logaritmos comunes de cuatro cifras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 2. Antilogaritmos comunes de cuatro cifras . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Sen x (x en grados y minutos) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 4 . Cos x m i n u t o s ) 207 5. T a n m i n u t o s ) 208 ( x x e n ( x g r a d o s e n y g r a d o s y 206 6. Cot x (x en grados y minutos) 209 7 . Sec x ( x e n g r a d o s y m i n u t o s ) 210 8. Csc x (x en grados y minutos) 211 9. Funciones 212 1 0 . trigonométricas logsenx naturales (en radianes) 216 (xengradosyminutos) 218 12. logcosx(x en grados y minutos). l o g t a n x ( x e n m i n u t o s ) 220 13. Conversión de radianes en grados, minutos y segundos o fracciones de grado 222 14. Conversión 223 15. Logaritmos naturales 0 neperianos log, x 0 In x ll. 16. Funciones de grados, g r a d o s minutos exponenciales ex y y segundos en radianes 224 226 227 18a. F u n c i o n e s e x p o n e n c i a l e s e-‘. Funciones hiperbólicas senh x 18b. F u n c i o n e s h i p e r b ó l i c a s cosh x 230 18c. Funciones hiperbólicas tanh x 232 19. Factorial de n 234 17. 228 TAB LA D E MATE RIAS 20. Función 21. Coeficientes Gamma . . . . . . . . . . . . . . . binomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22. 23. Cuadrados, cubos, raíces y recíprocos . . . . . . . . . Factor de cantidad compuesta: (1 + r)” Factor de valor presente: (1 + r)-” . . 235 236 238 . . . . . . . . . . . . . : . . . . . . . . . . . . . . . . . ( 1 + r)” - 1 Factor de cantidad compuesta para series uniformes -.-.---r 1- (1 + r)-” . . . . Factor de valor presente para series uniformes r Funciones de Bessel J,(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funciones de Bessel JI (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 Funciones de Bessel Y, (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funciones de Bessel Y,(x) . . . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . 245 30. 31. Funciones de Bessel Z,(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 32. Funciones de Bessel Z,(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funciones de Bessel K,(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funciones de Bessel K, (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 Funciones de Bessel Ber (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funciones de Bessel Bei (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 246 249 39. Funciones de Bessel Ker (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funciones de Bessel Kei (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Valores aproximados de las funciones de Bessel por igualación a cero . . . . . . 40. Integrales exponencial, de seno y de coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 41. 42. Polinomios de Legendre P, (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Polinomios de Legendre P, (cose) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 253 43. 44. Integrales elípticas completas de primera y segunda especies . . . . . . . . . . . 264 Integral elíptica incompleta de primera especie . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 45. 46. Integral elíptica incompleta de segunda especie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 256 47. Ordenadas de la curva normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Areas bajo la curva normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48. Valores percentiles (tp) 24. 25. 26. 27. 28. 29. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 49. 50. 51. 241 242 243 244 244 245 247 247 249 250 257 de la distribución t de Student . . . . . . . . . . . . . . . 258 de la distribución Ji-cuadrado . . . . . . . . . . . . . 259 260 Valores percentiles (Xi) Valores percentiles 95° de la distribución F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Valores percentiles 9 9 ° de la distribución F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Números aleatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Indice de símbolos y notaciones especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52. Indice ......................................... 261 262 263 265 Parte I FORMULAS EL A LFA BETO G RIEG O Alpha A N Beta B Xi z Gamma r Omicron 0 Delta A Pi n Epsilon E Rho P Zeta Z Sigma P Eta H Tau T Theta 0 Upsilon Y Iota 1 Phi = base de los logaritmos naturales 1.3 fi = 1,41421 35623 73095 0488. . . 1.4 fi = 1,‘73205 08075 68877 2935.. . 1.5 \/5 = 2,23606 79774 99789 6964... 1.6 $2 = 1,25992 1050.. . 1.7 b = 1,44224 9570. . . 1.8 @ 1.9 z = 1,24573 0940. . . 1.10 er = 23,14069 26327 79269 006. . . 1.11 ~9 = 22,46915 77183 61045 47342 715.. . 1.12 ec = 15,X426 1.13 log,, 2 = 0,30102 99956 63981 19521 37389. . . 1.14 log,, 3 = 0,47712 12547 19662 43729 60279. . . 1.15 log,, e = 0,43429 44819 03251 82765. . . 1.16 log,, 1.17 log, 10 = In 10 = 2,30258 50929 94046 68401 7991.. . 1.18 log, 2 = In 2 = 0.69314 71805 59946 30941 7232.. . 1.19 log, 3 = In 3 = 1,09861 22886 68109 69139 5245.. . 1.20 y = 0.67721 66649 01532 86060 n = lJ4869 8355.. . 22414 79264 190.. . ?r = 0,49714 98726 94133 85435 12683... = ;lml 6512..: = constante de E’okr 1 +; + 5 + . *. ++ln ( > 1.21 ey = 1,78107 24179 90197 9852.. . 1.22 fi = 1,64872 12707 OO128 1468.. . 1.23 \r, = r( &) [ v é a s e 1.20] = 1,77245 38509 05516 02729 8167.. donde r denota la función gamma [véanse las páginas 1.24 r(;) = 2.67893 85347 07748... 1.25 r()) 1.26 1 radián = 3,62560 101.1021. 99082 21908... = lSO"/li = 57,29577 95130 8232.. .’ 1 . 2 7 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA lo = r/180 radianes = 0,01745 32925 19943 2957.. radianes 2 .1 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA (x + y)2 = 22 + 22y + 112 2.2 (x - y)2 = 22 - 2zy + y2 2 . 3 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA ix + y)3 = ti + 322~ + 3~9 + 2/3 2.4 (x - 1/)3 = 23 - 3Gy + 3~~2 - ~3 2.5 (x + 2/)’ = x’ + 4zSy + 6~2~2 2.6 2.7 2.8 (z--g)* = = (x+u)5 x4 z5 + 42~3 + 2/4 - 4x3~ + 6&'y3 - 42~3 + y' + 524~ + 10~3~2 + 10~3~3 + 52~4 + ~5 (x-u)5 = ~5 - 5+ + 10~3~2 2.9 2 .1 0 - io+3 + 5~4 - 2/5 (x+11)6 = x6 + 625~ + 15+/2+ 2023~3 + 15cc2y4 + 6z1P + us (x -y)6 = x6 - 625~ + 1624y2 - 20~3~3 + 15z2@ - 6w5 + uB Los resultados anteriores constituyen zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFED casos especiales de’ la fórmula del binomio [véase la página 31. 2.11 22 - y2 2 .1 2 x3 - 2/3 = (x - 2 .1 3 23 + y3 = (2 + 2 .1 4 24 - 214 = (x - y)(x + 2 .1 5 25 - 2 .i6 25 2 .1 7 2-6 - ya 2 .1 8 x4 2 .1 9 x’ + 4fl = + + = (2: - uN* + Y) y5 2.21 2 .2 2 2 .2 3 y2) g2) - = (2 - y)(x + &y2 + y4 = r)(z2 + 1/)(04 = (x + 1/)(x' Acontinuacih entero positivo. 2 .2 0 = (x - y5 + xy + - xy + v)(z2 1/)(22 x3y z3y y)(z2 (22 + 2/2) + .2y2 + zy3 + y’) + x2$ - xy3 + 1p) + xy + 1/2)(22 - zy + Y2) + xy + 2/2)(x2 - xy + 1/2) (22 + 2xy + 2y2)(22 - 2zy + 2Y2) se dan algunas formas generales de las factorizaciones anteriores, donde n representa un número Sin=1,2,3,... el factorial de n se define asi n! = 3.1 1.2.3.....~ Por otra parte, el factorial de cero se define asi -3 .2 O! = 1 Si n = 1,2,3, . . . entonces 3.3 (CC+@ x” + nxn-ly = + e + -3 va + n(n-3!(n-2)2*-3y3 + . . . + 2/” El desarrollo anterior es llamado fórmula del binomio. Se pueden emplear otros valores de n y entonces tenemos una serie infinita [véase series binomiales. página 1101. La fórmula 3.3 se puede escribir también 3.4 (x+21)” = 2” + (;)Ply + (;)x.-%2 + (;)a m /3 + ... + (;)v donde los coeficientes, llamados coeficientes binomiales, están dados por 3.5 n 0k = n(x-l)(n-2)...(n--k+l) = n ! k! (n- k)! k! 3 = I LA FORMULA DEL BINOMIO 4 3.6 Y COEFICIENTES BINOMIALES (k) +(&) = (2:) La anterior expresión conduce al triángulo de Pascal [véase la página 2361. 3.7 (0) + (:) + (3 + ‘.’ + (n) = 3.8 (ng) - (;) + (;) - . ..(-1.(n) = 0 3.9 (n> + (“Zl) + (n;2) + ... + (“ny = (-yy) 3.10 (;> 3.11 (;) + 3.12 (;>’ + (;>” + (;>‘+ ... + (n)’ = (?> 3.13 (T>(P) + (X 1) + .** + (P$) = (“P”) + (2) + (;) + (4) + ... = 2n-1 (;) + ..’ = 2*-l 2” 3.14 3.15 3.16 (2,+2*+.*.+4” chde la suma, P comprende n, + n2 + . . + Ilp = n. = q+*yi.. n,! *“142.. 1 .zp “P tdos los enteros no negativos n,, n2, . . , nP para ios cuales I 4.1 Area = a b 4.2 Perímetro = 2a + 2b b Fìg. 4-1 4.3 Area = bh = ab sen d 4.4 Perímetro = 2a+2b b Fig. 4-3 4.5 Area = +bh = Jab sen B = \/a(a - a)(a - b)(s - c) donde 8 = #O + b + 4.6 Perímetro 4.7 Area = &h(a 4.0 Perímetro zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA C ) = semiperímetro b Fig. 4-3 = a+b+c + b) = a+b+h ) = a + b + h(csc e + esc +) b Fig. 4-4 5 . 6 FOHMt’LAS 4.9 Area 4 .1 0 Perímetro = GEOMETRICAS co9 (ah) = @b2------sen (nln) = &nb? cotz n b Fig. 4-5 4.11 Area 4 .1 2 Circunferencia = Sr = UY* Fig. 4-6 4 .1 3 Area 4 .1 4 Longituddelarco = [e en radianes) trze 8 r = ~-6 * 8 Aa 9. Fig. 4 -7 ,/8(8 - cZ)(S - b)(s - C) 4 . 1 5 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA t-= 8 donde 8 = &a + b -k c) = semiperímetro b Fig. 4-8 R = 4 .1 6 abc 4\/8(8 - a)(8 - b)(8 - C) donde 8 = .&(a + 6 + c) = semiperímetro Fig. 4-9 . FORMULAS 7 GEOMETRICAs 4 .1 7 360° Area = * nr2 s e n c = zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHG +w2 se n-ñ 4 .1 8 Perímetro = 2nr~4.31: = 2nr 180° seny Fig. 4-10 4 .1 9 Area = nrOt a nt 4 .2 0 Perímetro 4.21 Area de la zona sombreada = + t9 (0 - sen e) = = n@ 2nrtani ~Z I I I ~ = Pm-tan5 Fig. 4 .2 2 A r e s = uab 4 .2 3 Perímetro = 4a = 2adpT5 donde k = d-fa. 1 - k2 sen2 (Y de I [aproximadamente] Véase las tablas numéricas de la página 254. Fig. 4-13 jab 4 .2 4 Area 4 .2 5 Longitud del arco ABC = 4-12 = @Tis+$In( 4a+@-cG b ,.aC b Fig.,4-14 8 F’ORMULAS GEOMETRICAS 4 .2 4 V o l u m e n = zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA abc 4 .2 7 Area 4 .2 8 Volumen = de la superficie = Ah = 2(ab + ac + bc) abcsen e Fir. 4-16 4 .2 9 4 V o l u m e n = 3~rS 4 .3 0 Areadelasuperficie 4.31 V o l u m e n = &h 4 .3 2 Area = 44 de la superficie lateral = 2rrh pir. 4-16 4 .3 3 Volumen = ,+v 4.34 Area de la superficie = ;gf$ lateral = = &,q &h cse e = $ = 2wh CM: e Fig. 4-19 ‘FORMULAS = AZ = 2 = OEOMETRICAS 9 Ah csc e 4.35 Volumen 4.34 ph - -ph csc B Areade la superficie lateral = pl = s,, Obsérvese que las fórmulas 4.31 a 4.34 constituyeo casos especiales. Fig. 4-20 = &+h 4.37 Volumen 4.38 Areade 4.39 Volumen = 4.40 Volumen (de la región sombreada) 4.41 Area la superficie lateral = r~dm = UT¿ aAh = &7N(3r - h) de la superficie = 2rrh Fig. 4-23 4.42 volumen 4.43 Area de la superficie lateral = @rh(a’ + ab + b*) = a(a + b) \/hz + (b - ~$2 = a(a+b)l Fig. 4-44 FORMULAS 10 4.44 Ama del triángulo ABC = (A + B + C - r)r* 4.45 Volumen = )o?(e + b)(b - a)Z 4.44 Area 4.47 GEOMETRICAS de la superficie = .Z(bz - aS) vohnen = +abc Fig.4.27 4.48 Volumen = frbk El triángulo ABC tiene un ángulo recto (W’) ángulo A se definen de la siguiente manera: senode 5.1 A = sen A = % = en C y lados de longitud o, b, c. Las funciones trigonométricas del cateto opuesto hipotenusa cos A = % = cateto adyacente hipotenusa 5.3 tangentede A = tan A = f = cateto opuesto cateto adyacente 5.4 b cotangente d e A = cotA = ; = 5.2 coseno de A = 5.5 secanrede A = sec A 5.6 cosecantede A = csc A cateto CatetO B a adyacentezyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQ OpUeStO A hipotenusa adyacente = i = cateto = ca - Fig. 5-1 hipotenusa cateto opuesto Considérese un sistema de coordenadas xy [veanse las klg. 5-2 y 5.3). Las coordenadas de un punto P en el plano xy son (x.y) con x positiva sobre OX y negativa sobre OX’, y y positiva sobre OY y negativa sobre OY’. La distancia del punto P al origen 0 es positiva y se denota por r = dm. Un ángulo A formado a partir de OX en el sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj es conslderado positiuo. Si el ángulo se forma a partir de OX en el mismo sentido de dicho movimiento, entonces se considera negatiuo. Se llaman eje x y eje y a X’UX y a Y’OY respectivamente. Los diferentes cuadrantes, indicados con los números romanos I, II, III, IV, son llamados respectivamente, primero. segundo, tercero y cuarto cuadrantes. Por ejemplo, en la Fig. 5-2, el ángulo A está en el segundo cuadrante, mientras que en la Fig. 5-3 está en el tercero. Y Y II II 1 X X’ 1 X X’ IV III IV Y’ Y’ Fig. 5-2 Fig. 5-3 11 . FUNCIONES 12 TRIGONOMETRICAS Las funciones trigonométricas de un 4nguloA de cualquier cuadrante se definen así 5.7 senA = ylr 5.8 coa A = 5.9 tan A = y/z 5 .1 0 cot A = 5.11 secA = rlz 5 .1 2 cacA = xlr xly rly N Un mdión es aquel ángulo 8 subtendido en el centro 0 de una circunferencia por un arco MN igual al radio r. Como 2rr radianes * ï # = 360° tenemos que, 0 5 .1 2 1 radián = lEOoh 5 .1 4 lo = r/lEO radianes = 0,174s 32925 19943 2957.. .radianes = 57,296’77 * 95130 8232.. . o // Fig.s-4 5 .1 5 &A =%!!/i 5 .1 6 &A =- 1 coaA tanA 5 .1 7 wcA = 1 coa A 5 .1 8 cacA =-coaA sen A 5 .1 9 sen*A + codA = 1 5 .2 0 ae@ A -tan*A = 1 5.21 cacL A - cot%A = 1 =1 %?“A senA cos A tanA + + + + Oal l a 0 Oa- araO l a 0 0 a -1 + I 0 a - 1 - 1 a 0 - cot A WCA CECA - I-~ ~ - r - 1-- + - a0 + 0 a - - + l a + - - a l - - a - 1 lam + - - 1 a 0 Oa* - a0 - 1 a -01 -m a - 1 + -a a 0 0 a-m + - a l - 1 a-e Oal - . y 13 FIJNCIONES TRIGONOMETRICAS -Angula A ea Angula A grados radianes OO en 0 sen A zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGF tallA co t A 0 0 m 2-G 2+& 160 a/12 300 aI6 4 )\“I 6 450 rf4 ?e 1 1 60° Tl3 46 \/3 46 760 Ka/12 to+m 2+\/3 2-d 900 al2 1 -foo 0 1060 w12 )(G++) -(z+d) -(2-d) 1200 2~13 afi 4 -g\/3 1360 3a/4 3fi -1 -1 1500 Sr/6 -iti 4 16S” lW12 )\dz- \/2> -(2-\/3) -(Zffi) 180’ ?r 0 0 -,- 1960 13~112 -*G-- fi) 2-G 2+G 2100 7~16 -4 &\/3 \/3 2260 su/4 -*VT 240” 4af3 --*ti 2660 lW12 270° *uo- ti) 3’ 1 1 6 tfi -*(ti+ ti, 2+6 2-\/3 3~12 -1 fin 0 285” 19a/12 -ia + \/2> -(2 + &i) -(2 - \/3: 3000 w3 -+\/3 4 -&\/3 3150 w4 -&h -1 -1 3300 llal -3 -&fi 4 3460 23~112 -)G- 6, -(Z-ti) 360° 2a 0 0 32 + fil ?- Las tablas de las p á g i n a s 206215 contienen los valores correspondientes a o t r o s á n g u l o s . FUNCIONES 14 En todas las gráficas x estádado TRIGONOMETRICAS en radianes Fig. 5-6 Fig. 5-5 5.24 5.25 2/ = tanx y = cotx Fig. 5-8 Fig. 5-7 5.26 ur 5.27 1/ = secx y = cscx Y j\ I -I i- I I \ \ Fig. 5-9 t n // Fig. 5-10 5.28 sen = -senA 5.29 cos = cosA 5.30 tan 5.31 esc = -excA 5.32 sec (-A) = secA 5.33 cot(--A). = - (-A) = -km.4 cotA FUNCIONES TRIGONOMETRICAS 15 5.34 sen(AiB) = senA cosB * COSA senB 5.35 cos(A = COSA cosB F senA senB “B) tanA f tanB 1 T tanA tanB 5.36 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFED tan(A -B) = 5.37 cot(A- CB) 90c -c A ECA - A = cotA cotB r 1 cotA * cotB 180° +- A 772A 2- - sen A *en cos A 270’= 2 A -37 +- A 2 T senA - cos k(360°) 2 A 2kr f A k = entero A f senA cos cos A TW lA -COSA -CSenA cos A tan -tanA scotA *tanA T cotA *tanA CSC - cscA T csc A - secA ZCSCA z csc A - secA 2 csc A T tan*A *cotA TtanA SW sec A cot - cot A s en A = u secA COSA = u tanA = u cotA = u sec A -CcotA secA = u \/uz=1/u senA u u/&iz cos A v 1/- llu tan A ulm u \/u2-=r cot A -Iu llu ll@? sec A 11-i &s u csc A llu qGFzfu cscA ul@=i Para los otros cuadrantes úsense los signos apropiados según se indica en la tabla precedente. . =u FIJNCIONES TRIGONOMETRICASzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWV 16 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 5.38 sen 2A = 2senAcosA 5 .3 9 cos2A = cos2A - senZA 1 - 2sen2A = + si A/2estien = 2cos2A-1 el 10 IIcuadrantes si A/2 está en el III o Ncuadrantes 1 + si A/2 estáen e l 1 <XIV cuadrantes 5 .4 2 cosi = * dq [-siA/2estáenelIIoIIIcuadrantea] + si A/2 estáen el 1 o III cuadrantes 5 .4 3 tin% = *M sen A =l+cosA = [-ridi2.sVlenelIloIVNedr.ntPs] 1 - cosA ~ = sen A 5 .4 4 sen3A = 3senA - 4senaA 5 .4 5 cos 3A = 4cosaA 5 .4 6 tan3A = 5 .4 7 sm4A = 4senA 5 .4 8 cos 4 A = 5 .4 9 t.an4A = 5 .5 0 sen6A = 5.51 cos 5A = 5 .5 2 tan6A Véanse también las fórmulas = - 3tanA - cotA csrA 3cosA -tadA l-3tanaA cosA - 8senaA COSA 8cos~A- 8cos~A+1 4tanA - 4tanUA 1 - 6 tanzA + tandA SsenA - 16cos5A 20sen3A + 16sen5A - 20cos5A + 5cosA tanjA- lOtdA+6tanA 1 - 10 ta+A + 5 tanaA 5.66y 5.69. 5 .5 3 seneA = *-fcos2A 5 .5 7 sen’A = 8 - 5 .5 4 cos2A = ) + 4 cos2A 5.55 co.+ A = Q + 5.55 sanad = 2 sen A - t sen 3A 5.59 sen5 A = Qsen A - &sen 3 A 5 .5 6 CcdA = f cos A‘ + 4 cos 3 A 5.60 coSA = + 4 cos2A + & cos4A #COSA 3 cos2A + 4 cos4A + & sen5A A cos3A + & cos6A Véanse también las fórmulas 5.70~ .5.73. . FU N CIO N ES 17 TRIGONOMETRICAS 5 . 6 1 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA senA + senB = 2 sen f(A + B) cos +(A - B) 5 .6 2 senA-senB 2 coa #A + B) sen f(A - B) 5 .6 3 COSA + 5 .6 4 COSA - cosB 5 .6 5 senA senB = *{cos (A - B) - cos (A + B)} 5 .6 6 cosA cosi? = *{cos (A - B) + coe (A + B)} 5 .6 7 senA cosB = # ean (A - B) + sen (A + B)} = cosB = = 2cos~(A+B)coa1)(A- B) 2 sen +(A + B) sen f(B - A) 5 .6 8 (2~~5Ap-5 -.-.. sen nAzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFE 5 .6 9 COSnA = 5 .7 0 se ,+ - A = 5.71 cosZn-lA 5 .7 2 senz*A = &(;) + $$ {cos2nA - (“ f) cos(2n- 2)A + -*- (- l)“ - ‘(,~ l)“ w 2A } 5.73 cos2”A = k(F) + &{eosInA + 1.. + ; ( 2 COSA)" - E 2 cosA)“-* + z l( = _ (-1)= -l - p-’ 1 _ pn-2 sen (2n - 3)A + *** (- l)- ‘(~ ~ + enA} cos(2n-1)A + ( 2n - 1 1 > cos(2n- 3)A (9 coe + *** (2n- 2)A + + (;:l’) eoeA} (,- 1)coa2A } Si x = seo y entonces y = sen-Ix, es decir, el ángulo cuyo seno es x o el seno recíproco de x es una función mukiforme de x que puede considerarse como un conjunto de funciones uniformes llamadas mmas. Las demás funciones trigonométricas recíprocas también son multiformes. A veces conviene seleccionar una determinada rama para algún prop6sit.o y sus valores se llaman valores principales. específico. Tal rama se denomina mma pr¿nc¿pal . FUNCIONES 18 TRIGONOMETRICAS Valores principales para z > 0 0 c sen-1% c r/2 0 5 cos-’ 5 42 Valores principales para z < 0 -x/2 -7712 0 f tan-l z < ~12 0 < cot-‘2 s a/2 0 5 sec- < UlZ 0 < csc-12 En todos los casos se da 5 .7 9 sec- cos-’ = n 5 .8 2 tan-‘(-2) sen-1 (l/z) 5 .8 3 cot-’ cos-‘(í/z) 5 .8 4 see-’ cot-lz = tan-1 = = nl2 5 .8 5 (l/z) 0 se trata de valores principales. 5 .8 1 = cot-‘z + csc-‘2 = < 012 + 5 .7 8 s csc-‘2 -sen-l tan-‘2 = < sec- á z = 5 .7 5 cwz-1% < li ~12 secl + cos- 5 .7 7 < 0 5.80 sen-lz WC-12 tan-‘z < cot-‘z uI2 5 .7 4 5 .7 6 < 5 Ir 9712 -r/2 5 42 porentendidoque 2 sen-1% < 0 a!2 < cos-1% csc-1 (32) t-z) = = cos-’ -tan-l% = II = - z P - cote’ - z sec-12 -csc-1x En todas las gráficas y está dado en radianes. La parte continua de las curvas corresponde a los valores principales. 5 .8 6 y - - sey Fig. 5-11 5 .8 7 1/ = cos-1s Fig. 5-12 5 .8 8 2/ = tan-‘2 Fig. 5-13 . FUNCIOi’ !ES y = cot-‘2 5 .8 9 5 .9 0 TRIGONOMETRICAS g u Y ‘\ \ ---_ . 2 0 5 .9 2 lr ,/- \ 1 -r-’ / -IH / / -w / ,-Fig. 5-16 para cualquier triángulo plano ABC de A L e y de l o s se no s b 0 L e y de l o s c o se no s c cs = as+bs-2abcosC los otros lados y ángulos están relacionados en forma similar. 5 .9 4 Ley de las tangentes están relacionados en forma similar. senA 5 .9 5 = donde a = J(a + b + c) es el semiperímetro bngulos B y C. VBanse a B tan &(A + B) a + b a - b = tan#A-B) los otros lados y bngulos D Fig. 5-17 k qa(s - a)(s - b)(s - c) del. triángulo. Sa pueden obtener relaciones similares con los además las fórmulas 4.5, página 5; 4.15 y 4.16, phgina 6. --_- - -.. -. La Fig. 5-16 muestra el triángulo esférico ABC sobre la superficie de una esfera. La medida de los lados o. b, e [que son arcos de círculo máximos] está dada por los ángulos que subtienden en el centro de la esfera. Los ángulo! A, B, C son opuestos a los lados a, b, c respectivamente. Entonces son válida! las leyes siguientes. 5 .9 6 L e y de l o s se no s sen a sen b s-=senB= en A 5 .9 7 SC?“0 senC L e y de l o s c o se no s co.3 a COSA -- ‘Am - b LL= -= c sen A senB SC?“C 5 .9 3 u /’ Fig. 5-15 Las leyes siguientes son vAlidas lados o, b, c y de hgulos A, B, C. - csc-12 0 1’\ -d2 Fig. 5-14 y rl2 -1 ‘1 __-r r-- J --- 5 .9 1 = sece . . ---_ 19 = c o s b e o s c +senbsenccosA = - cosBcosC +senBsenCcosa se pueden expresar leyes similares con los otros lados y ángulos. pig. 5-18 FUNCIONES 20 5.98 TRIGONOMETRICAS Ley de las tangentes tan +(a + 6) tan &(A + B) tanA- = tan +(a - b) resultados similares se obtienen con los otros lados y ángulos. A cas- = 2 5.99 donde a - #(a + b + c). sen 8 sen (8 - c) ~sen b senc Resultados similares se obtienen con los otros lados y dngulos. 5.100 donde S = #(A + B + C). Resultados similares se obtienen con los otros lados y ángulos. Véase además la fórmula 4.44, página 10. Prescindiendo del ángulo recto C, el triángulo esférico ABC está formado por cinco partes constituyentes que, si se colocan una tras otra según aparecen en la Fig. 5-19, quedarían en el siguiente orden: o, b , A, c, B . Fig. 5-19 Fig. 5-20 Supóngase ahora que estas cantidades se ordenan en un círculo como se muestra en la Fig. 5-20 en donde hemos añadido el prefijo co [para indicar complemento] a la hipotenusa c y a los ángulos A y B. Cualquiera de las partes de este círculo se puede llamar porte media, las dos partes vecinas se llamarían entonces partes od~awnks mientras que las dos restantes se llamarían p a r t e s o p u e s t a s . Entonces podemos expresar las reglas de Kapier así: 5.101 El seno de cualquier parte media cs igual al producto de las tangentes de las partes adyacentes. 5.102 El seno de cualquier parte media es igual al producto de los cosenos de las partes opuestas. Ejemplo: Puesto que co-A = 90’ -A, co-B = 90’ -B, tenemos sen a = tan b tan (co-B) 0 s e n a = tanb cotB sen (co-A) = cosa cos (co-B) o COSA Naturalmente que estos resultados pueden obtenerse igualmente = cosasenB a partir de las leyes 5.97 de la página 19. zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLK zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWV Un número complejo se expresa generalmente en la forma o + bi en donde a y b son números reales e i, llamada unidad imaginaria, se caracteriza por tener la propiedad de que 2% = -1. Los números reales o y b se conocen respectivamente como las partes real e imaginaria de a + bi. Los números complejos a + bi y a - bi se conocen como conjugados complejos el uno del otro. 6.1 a+bi 4.2 = c+di si y sólo si a=c y b = d (a + bt-) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i (a + bi) - (c + di) = (a-c) + (b - d)i 6.4 6.5 (a + ba>(c + di) = (ae - bd) + (ad + bc)i Q f bi c + di = a +_ bi ;.c - di _ e + dz c - di = ae ++ bd c2 -t a Obsérvese que las operaciones anteriores han sido efectuadas siguiendo las regias elementales del álgebra y remplazando 0 por --1 cada vez que se ha encontrado conveniente. 21 . NUMEROS 22 COMPLE.JOS Un número complejo (I + bi se puede representar mediante un punto (a, b) sobre un plano q llamado diagrama de Argand o plano de Gauss. Así, por ejemplo, en la Fig. 6-1 P represenra p ----. 21 el número complejo -3 + 4i. Un número complejo también puede interpretarse como un uector que se dirige de 0 hacia P. x 0 * Fig. 6-1 En la Fig. 6-2 el punto P cuyas coordenadas son (x, y) representa al número complejo .x + iy. El punto P también se puede expresar por medio de coordenadas polares (T, 8). Puesto que x = r cos 8, y = r sen B se sigue que 6.6 p (GY) -t (r, e) r Y e i x 0 x + iy = r(cos e + i sen e) siendo ésta lo forma polar del número complejo. Con frecuencia decimos que r = dm es el módulo y e la amplitud de x + iy. z Fis?. 6-2 6 . 7 6.8 -~~~ [r,(cos 8, + i sen e,)] [r,(cos eS + i sen e,)] = r,(cos eI + i sen e,) r,(cos eS f i sen e,) = r1r2[cos (e, + e,) + i sen (e, + e,)] 2 [cos (e, - e,) + i sen (e, - eS)] Siendop un número real cualquiera, el teorema de De Moivre establece que 6.9 [r(cos e + i sen e)]p = v(cos pe + i sen pe) Sea n cualquier entero positivo y p = l/n, entonces 6.9 puede escribirse !r(cose + i sene)]“” = rl/n e + 2kn cas- + n C donde k es cualquier entero. De aqui se pueden obtener las k=O,1.2, ,n -- 1. n raíces e + 2ka isenn n-ésimas 1 de un número complejo haciendo . A continuación vamos a suponer quep, q son números reales y m. R enteros positivos. En todos los casos queda descartada la división por cero. 7.1 7 .4 aO=l, 7.7 & = alln aZ0 7.2 aPf& = @-Q 7 . 3 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTS (aP)q = aW 7.5 a-p = llap 7 . 6 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZY (ab)p = aPbP 7.8 ;/ãm = &n/” 7.9 En @, p se llama exponente, a es la base y up se denomina la pot enc ia p de “mb = ;/ ãlz a. La función y = al es una función exponencial. Si ti : I\I donde a # 0, y a # 1, entonces p es el logaritmo de N en base CL, lo cual se escribe p = log,,N. El número N = aP es ilamado el antilogaritmo de p en base a y se escribe antilog,, p. Ejemplo: Puestoque 32 = 9 tenemos lega 9 = 2 , antiloga 2 = 9. La función II = log, 2 se llama función logaritmica. log, M 7 .1 0 log, 7.11 lo& g = 7 .1 2 log, MP = p log, M M N - + log, M - log, N log, N Los logaritmos comunes y sus antilogaritmos [también llamados brigsianosl son aquellos en los cuales la base a = 10. El logaritmo común de N se Escribe logIoN o simplemente log N. Las pkginas 202-205 rontienen tablas de logaritmos y antilogaritmo6 comunes. El empleo de estas tablas se ilustra con ejemplos en las páginas 194-196. . 23 F U N C I O N E S E X P O N E N C I A L E S Y LOGARITMICAS 24 LOS I~~paritmos y antilogaritmos naturales [también llamados neperianos] son aquellos en los cuales la base zyxwvutsrqpo [véase la página 1). 0 z <’ = !2,71H2X 18 El logaritmo natural de .V se escribe log,N o In N. Las páginas 224-225 contienen tablas de logaritmos naturales. Las tsrhlas de antill)garitmos naturales [o sea las que nos dan el valor de er para diferentes valores de x] aparecen en las páginas 2%.227. El empleo de estas tablas se ilustra con ejemplos en las páginas 196 y 200. La relación entre el logaritmo de un número N en base CJ y el logaritmo de ese mismo número N en base b está dada por Iogb.N 7 .1 3 log, N = -zyxwvutsrq hb En a particular. = 2,30258 50929 . . .log,, N 7 .1 4 l o g , N = In N 7 .1 5 l o g , , N = l o g N = 0,43429 4 4 8 1 9 . . .log, N 7 .1 6 eie = co9 e + i se n 8, Estas relaciones son llamadas identidades de 211. e-18 = c ose - i sene Euler. En éstas, i representa la unidad imaginaria [véase la página ,u - e -ie =2 i 7 .1 7 se n e 7 .1 8 cose = ,te + e-ie 2 7 .1 9 tane ,*e - e-48 qeie + ,-te) = = c o t e = -i($+ i(s) 7.21 7 .2 2 csce = 2i eie _ e-ie &e+Skn> = eie 7 . 2 3 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGF k = entero De lo anterior se desprende que el período de@ es 2ri. FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS La forma polar de un número complejo x + iy se puede escribir como exponencial [véase 6.6, página 221 7.24 25 así: z + iu = r(cos 8 + i sen e) = rei@ Las fórmulas 6.7 a 6.10 de la página 22 equivalen a las que se dan a continuación. 7.25 (r,&)(r,&) + @2) f-,~& Tl ~ = -.e,(.9-e,) Tp3% 72 7.26 7.27 = T~T&(.@I (,,ie)P = yp&9 [teorema de De Moivre] (,@)l/n = zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZ [re iWf2 kn)]lln = ,.l/ne” ~fPka>/n 7.28 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFED 7.29 In (mie) = In r + ie + zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQ 2kri k = entero 8 .1 seno hiperbólico de x 8.2 Coseno hiperbólico 8.3 Tangente hiperbólica de x 8.4 Cotangente hiperbólica 8.5 Secante hiperbólica 8.6 Cosecantehiperbólico = de x cosh z = e= + e-= 2 ,.z - e-z = t.anh z = el ez + e-* de x = coth z = e2 - ,-r de x = sech x = 2 m 2 d e x = c s c h z = ,z ~ - ,-z 8.7 1 x z = - = coah tanh z senh z c c t h s e c h z = Lcosh z 1 c s c h z = senhz 8.11 coshs z - senh* x 8 .1 2 sechs z + 8 .1 3 cothsz - cschs x = 1 tanhs z = 1 = 1 8 .1 4 senh (-0) = - senhz 8 .1 5 cosh (--CC) = c o s h z 8 .1 6 tanh(-2) 8 .1 7 csch(-z) 8 .1 8 sech = s e c h z 8 .1 9 coth(-z) = - cothz = -cschz 26 = -tanhz . FUNCIONES HIPERBOLICAS 27 8.20 senh (z = y) = senhzcoshy 6.21 cosh (z f y) = coshz c o s h y f senh z senhy 8.22 tanh(1:fy) = t a n h z f tanhy l~tanhztanhy 0.23 coth (z f v) = coth z coth y f 1 coth g * coth z 6.24 senh2z 6.25 cosh 8.26 tanh2z 8.27 = * coshzsenhy 2 senhx cosh z 2x = cosh2 z + senh2z = 2cosh2z - 1 = 1 + 2senh2z 2tanhz 1 + tanh2 z = senhE2 = t cosh 2z - 1 [+ si x > 0 , - si z < 0 ] 8.28 8.29 [+ si z > 0, - si z < 0] = senh z cosh .z + 1 = cosh z - 1 senh z 8.30 senh 32 = 3senhz + 4senhsz 8.31 cosh 32 = 4 coaha z - 3 cosh z 8.32 tanh3z = 3 tanh z + tanha z 1 + 3tanh2z 8.33 senh 42 = 8 senha z cosh z + 4 senh z cosh z 8.34 cosh 42 = 8 cosh4 z - 8 cosh* z + 1 8.35 tanh4z = 4 tanhz + 4 tanhaz 1 + 6 tanh2z + tanh4r . FUN 28 CIONES HIPERBOLICAS 8.36 senhzz = 5 C”l,. - - 8.37 cosh2 z = f cosh 22 + 4 8.38 senh”z = 4 wnh3r - 4 senhz 8.39 cosh”z = + cosh3x + 4 c o s h z 8.40 senh’ + -= 3 - + cosh 22 + 4 cosh 42 8.41 coshhz = 8 + 4 cosh 22 + Q cosh 42 8.42 senhz + senhy = 2 senh #z + 1/) cosh +(z - 2/) 8.43 senhz - senhy = 2 cosh +(z + y) senh #Z - 1/) 8.44 c o s h z + coshy = 2 cosh 3(x + v) cosh Q(z - 2/) 8.45 c o s h z - eoshy = 2 senh 4(z + v) senh#z - Y) 8.46 senh z senh ?/ = J{cosh (z + 1/) - cosh (z -Y)) 8.47 cosh z cosh y = &(cosh (z + y) + cosh (z - Y)) 8.48 senh z cosh 2/ = &{senh(z+y) En seguida vamos a suponer que z > 0. 8.19. senh z = u senh z cosh z tanh z coth z sech .z csch z cosh z = u 2 f senh(z-y)> Si z < 0 úsese el signo apropiado según lo indican las fórmulas 8.14 a tanhz=u coth z = u sechx=u csch z = u FUNCIONES Y 7F 0.49 8.51 II Y ------ x 0 - - - - - - - - -1 --- + Fig. 8-2 8.53 g = sech 1 Fig. 8-3 8.54 z 0- - - - - - 21 = cschz Y II ------_ ---’ L -1 1 x ?/ = cothz ------ y = tanhz --____ Fig. 8-1 8.52 29 y = cosh 2 1/ = senhz 0 HIPERBOLICAS k * 0 0 z \ 71 Fig. 8-4 Fig. 8-6 Fig. 8-5 Si x = senh y. entonces y = senh-1 x es llamado el seno hiperbólico recíproco de x. De manera similar se definen las demás funciones hiperbólicas recíprocas. Las funciones hiperbólicas recíprocas son multiformes y al igual que en el caso de las funciones trigonomét,ricas recíprocas [véase la página 171. nos limitaremos a los valores principales para los cuales ellas pueden considerarse uniformes. La lista siguiente cita los valores principales [a no ser que se indique 10 contrario] de las funciones hiperbólicas recíprocas expresados por medio de funciones logarítmicas en el dominio en que son reales. 8.55 senh-1% = In (x + @Ti ) --< x< = 8.56 cosh-l z = ln(z+ m) 2221 8.57 tanh-1% = 8.58 coth-lz = 0.59 sech- z = 8.60 csch-’ z = (cosh-* z > 0 es valor principal] -1<2<1 Cc>1 h($+ h($+ *) @Ti) 0 O< zdl x < -1 [sech-l z > 0 es valorprincipal] x# O 5 FUSCIONES 30 HIPERBOLICAS 8.61 csch-‘2 = senhm 8.62 seri-’ 8.63 coth-’ 2 8464 sah- (-z) = - senh-* z 8.65 tanh-1(-z) 8.66 coth-’ (-2) = - coth-1 8.67 esch- 8.68 y = senh-‘2 8.69 Fig. 8-l 8.71 y = coth-‘z Fig. B-10 1 (l/z) x - cosh-’ (l/z) = tanh-1 (l/z) = -tanh-‘z z (-2) = - csch-l z y = cosh-‘z 8.70 Fig. 8-8 8.72 g = seeh-* Fig. B-11 g = tanh-‘z Fig. 8-9 z 8.73 y = csch-‘z Fig. 8-12 5 FUNCIONES HIPERBOLICAS 31 8.74 sen(h) = i senhz 8.75 cos (iz) = coshz 8.76 t a n (iz) = i t a n h z 8.77 c s c (iz) = -i c s c h z 8.78 sec (iz) = sechle 8.79 c o t (ix) = -icothz 8.80 senh(iz) = i s e n z 8.81 cosh(iz) = cosz 8.82 tanh(iz) - i tanz 8.83 csch(kc.) 8.84 sech = secz 8.85 coth(ti) = -icscz = -i cotz En seguida consideraremos que k es cualquier entero. 8.86 senh (z + Bkri) = senh z 8.87 cosh (z + Bkri) = cosh z 8.88 tanh (m+ kat) = tanhz 8.89 csch (z+ 2kri) = cschz 8.90 sech (z + 2kni) = sech z 8.91 coth (z+ krz] = cothz 8.92 sen-’ = i senh-1% 8.93 senh-1 8.94 eos-' z = kicosh-1% 8.95 cosh-‘z 8.96 tan-1 (iz) = i tanh-lz 8.97 tanh-l(k) 8.98 cot-‘(ti) = 8.99 coth-’ (iz) = -i cot-’ z 8.100 sec-1% 8.101 sech-lz 8.102 csc-‘(ti) 8.103 csch-l (iz) = -i cac- z = -icoth-12 kisech-12 = -icsch-‘2 (iz) = i sen-1 z = rticos-‘z = i tan-12 = $-isec-‘z Soluciones: 9.1 z = -b-d2a Si o, b, c son reales y si D = b2 - 4m es el discriminante, entonces las raíces son 9.2 (i) reales y desiguales si D > 0 (iii reales e iguales si D = 0 (iii) conjugadas complejas si D < 0 Si zI, z2 son las raíces, entonces zI+ ~2 = -bla 3a* - a: Q=9 ’ Sea Y R = z,z2 = da. gala3 - 27~ - zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTS 2af 54 S=dm,T=dm z1 = S+T-+z, 9.3 z2 = -+(S'+ T) - +a, + @(S-T) SOlUCiOlWS: -;f(S + T) - $a, - 4ifiC.S - T) Si a,,a,,a, son reales y si D = Q3 + W eselde.scriminante, entonces Si D (9 una de las raíces es real y dos son complejas conjugadas si D > 0. (ii) todas las raíces son reales y por lo menos dos de ellas son iguales si D = 0. (iii) todas las raices son reales y distintas si z, = 2\/=Q 9.4 D < 0. < 0, el cálculo se simplifica mediante el uso de la trigonometría. Soluciones si D < 0: i Zr2 \ z3 cos = 2\/=Qcosc;e+ 1200) donde cos B = -Rlm = 2~cos(~e+240°) 32 . SOLUCIONES DE LAS ECUACIONES 33 ALGEBRAICAS Sea y1 una raíz real de la ecuación cúbica 9.6 y3 - a,y2 + (qaa - 4a,)y + (4a,a, - u3 2 - u;u,, = 0 9.7 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA SOlUCiOOC?S: Las 4 raíces de z2 f #{UI -c Ju; - la, + 4y, }z + ){1/1 * Jg-zc$) = 0 Si todas las raíces de 9.6 son reales, el cálculo se simplifica mediante el empleo de aquella determinada raíz real con la cual se puedan obtener números reales como coeficientes de la ecuación cuadrática 9.7. 9.8 . d = Fig. 10-l m 10.2 112-211 - = 22 - x1 II-=-=m - ur 1/2 - Yl x - 2, 22 - 21 10.3 1 0 .4 .g donde 10.5 = b = 11, - mzl = x2: x ;+ ; = 1 ::“ 5 = 0 tane u-u, = m(z-2,) mxi- b es la intersección con el eje y. 1 Fig. 10-Z 34 . FORMULAS 10.6 DE GEOMETRIA ANALITICA PLANA 35 2/ xcosa + y sena = p donde p = distancia perpendicular desde el origen 0 hasta la lineazyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQ P// I a = ángulo que forma la perpendicular con la parte positiva Y a del eje x. x 0 :--\. Fig. 10-3 Az+By+C 10.7 = 0 Ax, + By, + C 10.8 2diiG-s donde el signo ha de escogerse de tal manera que la distancia no resulte negativa. 10.9 m2 - m1 tan+ = 1+m,m, Las rectas coinciden o son paralelas si y sólo si m, = ?n2. Las rectas son mutuamente perpendiculares si y sólo si ‘?n2 = -l/nc,. Fig. 10-4 donde el signo ha de escogerse de tal manera que el área no resulte negativa. Si el área es cero todos los puntos están sobre una recta. Fig. 10-5 . F O R M U L A S D E GEOMETRIA 36 z = XI + zo 0 10.11 Y = d+Yo z’ zz yr = Y - Yo ANALITICA PLAV.’ z - 50 donde (x, y) denotan las coordenadas primitivas io sea las coordenadas relativas al sistema xy]. (x’, s’) denotan las nuevas coordenadas [ r e l a t i v a s a l s i s t e m a xy]. (zo,yo) s o n l a s coordenadas del nuevo origen 0’ con respecto al sistema primitivo de coordenadas xy. Fig. 10-6 10.12 -I x = x’cosa-y’senu y = x' sen a + y' co.9 a z’ 0 1 = xcosa+ysena y' = y cosa - x sena Y \Y’ \ // \ / /X' donde el origen del sistema inicial [xy] coincide con el del nuevo sistema de coordenadas [x’y’] pero el eje x’ forma un ángulo u con el eje positivo x. Fig. 10-7 x = x’cosa-y’sena+zo 10.13 -i y = 2’ s e n cl + y ’ eos (I + yo 0 2’ = (x - x0) cos a + (y - yo) sen a y ’ = (y-yo) m*a- (x-x0) sena x donde las coordenadas del nuevo origen 0’ del sistema de coordenadas x’y’ son (za, yO) en relación con el sistema primitivo de coordenadas xy y además el eje x’ forma un ángulo a con el eje positivo 1. Fig. 10-S Un punto P se puede localizar por medio de coordenadas rectangulares (x, y) o por coordenadas polares (7, 8). Las ecuaciones de transformación son Y Fig. 10-9 . FORMULAS DE GEOMETRIA ANALITICA PLANA Fig. 10-10 1 0 .1 6 * = !2R c os(e -0 ) Y donde (r, e) son las coordenadas polares de cualquier punto de la circunferencia y (R, n) las coordenadas polares del centro. Fig. lo-11 Si un punto P se mueve de tal manera que la distancia entre P y un punto fijo [llamado foco] dividida por la distancia de P a una recta fija [llamada directriz] resulta ser una constante e [llamada excentricidad], la curva trazada se conoce con el nombre de cónica (tales curvas se llaman así debido a que se obtienen cortando un cono por un plano a diferentes ángulos de inclinación]. Si el foco se sitúa arbitrariamente en el origen 0, y si OQ = p y LM = D, [véase la Fig. 10-121, laecuación de una cónica en coordenadas polares (r,@) es CD P 1 0 .1 7 * = l-.cose = l-rcoae La cónica es (9 una elipse si c < 1 (ii) una parábola si s = 1 (iii) una hipérbola si e > 1. Fig. 10-12 . FORMULAS 33 DE GEOMETRIA 10.18 Longitud del eje mayor A’A = 20 10.19 Longitud del eje menor B’B = 26 10.20 La distancia del centro C al foco F o F es ANALITICA PLANA Y B A’ C=dm’ F, C FA G3 B’ &3=G 10.21 Excentricidad = c = i = Q 10.22 Ecuación en coordenadas rectangulares: x 0 Fig. lo-13 tu - UOP (x - GJ)* al+------=1 b* 10.25 Ecuación en coordenadas polares si C está en 0: SL = a2 sen* 0ayb2 coa2 B 10.24 Ecuación en coordenadas polares si C esti sobre el eje x y 8” esti en 0: 10.25 Si P es cualquier punto de la elipse, PF + PF’ = 2a Si el eje mayor es paralelo al eje y, es preciso intercambiar x y y o remplazar r = 1u’ cfi B e B por +u - B [o 90° - 01. Si el v&tice está situado en A(za, ya) y la distancia de A al foco F es Q > 0. la ecuación de la parábola es 10.26 tu-Yo)’ = 4m- 10.27 (g-yo)2 = -4a(z-zo) si la parábola se abra hacia la derecha [Fig. lo-141 20) si la parábola se abre hacia la izquierda [Fig. lo-151 Si el foco sa halla en el origen (Fig. 10-X) la ecuación en coordenadas polares es 10.28 7 2a ~ = 1 - cose Y Y x Ng. 10-14 En el cae0 0 Fig. lo-15 Y x Fig. lo-16 en que el eje sea paralelo al eje y, hay que intercambiar x y y o remplazar e por &P - e& l 90’ -. e]. 39 FORMULAS DE GEOMETRIA ANALITICA PLANA B \ F’ \ \ A’ / / / / 1 c , ’ / /\ \ \ B’ pig. 10-17 10.29 Longitud del eje mayor A’A = Za 10.20 Longitud del eje menor B’B 10.31 Distancia del centro C al foco Fo F’ = c = m = 2b @ z 10.32 Excentricidad l = $ = a (z - x0)2 (Y - ld2 -a-=1 ta2 b2 10.33 Ecuación en coordenadas rectangulares 10.34 Pendientes de las asíntotas G’H y ‘CH’ = k z 10.35 Ecuación en coordenadas polares si C está en 0: ~2 = 10.36 Ecuación en coordenadas polares si Cestá sobre el eje X y F’ se halla en 0: 10.37 Si P es un punto cualquiera de la bipkrbola, PF - PF’ = *2a [el signo depep.de crPb2 bg coa2 d - d sen2 0 ï = la~8e~o~, de la rama] Si el eje mayor es paralelo al eje y. hay que intercambiar x y y o remplazar o por *r - # [ o 90° - 81. . 1 1 .1 Ecuación en coordenadas polares: AY \ 13 = a*cosZe 11.2 \ \ / /‘B \ / /’ Ecuación en coordenadas rectangulares: a z = zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA a2(z2 - y*) \ e -B \ I /’ / Angula formado por AB’ o A’B y el eje I = 45O ‘\ B’ A’/’ (39 + 11.3 Y g*)* ll.4 Area ll.5 Ecuaciones en forma paramétrica: comprendida por uno de los lazos = d Fig. 11-I Y z = a(+ - s e n #) 1 y = a(1 - coa 9) ll.6 Area ll.7 Longitud de cada arco = 8a comprendida por el arco = 3~9 Esta es la curva descrita por un punto P de una circunferencia de radio a cuando rueda sin resbalar sobre el eje x. 11.5 Fkuación en coordenadas rectangulares: g3 ll.9 + y313 2.o 0 = &/3 Ecuaciones en forma paramétrica: z = a cosa e { y = a sen38 1 1 .1 0 Area encerrada por la curva = #Ta* 11 .l 1 Longitud de arco de toda la curva = 6a Esta es la curva descrita por un punto P de una circunferencia de cuando rueda interiormente sin resbalar sobre una circunferencia cuyo Fig. 11-2 2 CÚRVAS P LAN AS N O T AB LE S ll.1 2 Ecuación: l l .13 Area encerrada por la curva = )naz 1 1 .1 4 Longitud de arco de la curva = &z 41 ll + = a(l + coa e ) Esta es la curva descrita por un punto P de una circunferencia de radio (I a medida que rueda por fuera de otra circunferencia fija de radio a. Esta curva es un caso especial del caracol de Pascal [véase 11.32). l l .J 5 Ecuación: y = : (efla+e-lla) Fig. 11-4 Fig. 11-5 Fig. ll-6 = SCO&? Esta es la curva que forma un cable pesado y de densidad uniforme cuando se cuelga por sus extremos A y 8. a 1 1 .1 6 Ecuación: c = UCon3P La ecuación t = o sen SS corresponde a la de una curva similar que se obtiene haciendo girar la curva de la Fii. 118 30% ~ /6 radianes en sentido contrario al de las manecillas del reloj. En general t= afosn# 0 r=a se nn# tienenpétalossinesimpar. 1 1 . 1 7 E c ua c i ó n : + = u ~ 0~ 28 La ecuación r = <I sen 28 corresponde a la de una curva similar que se obtiene haciendo girar la curva de la Fig. 11-7 46Oo r/4 radianes en sentido contrario al de las manecillas del reloj. E n g e ne ral r = a coafl6 o ï = Q sen ne tiene 2n pétalos si R es par. Fig. 1 l-7 . CURVAS 42 PLANAS NOTABLES I 1 1 .1 8 Ecuaciones paramétricas: z = (a+ u = ll b) cose - b cos (a + b) sen d - b sen Esta es la curva descrita por un punto P de una circunferencia de radio b cuando rueda sin resbalar por el exterior de otra cuyo radio es o. La cardioide [Fig. ll-41 es un caso especial de la epicicloide. \ 1’ \ Fig. 11-9 V ll.19 Ecuaciones paramétricas: z = (a- b)cor+ + bcoa V = (a- b)sen+ - bsen Esta es la curva descrita por un punto P de una circunferencia de radio b a medida que ésta rueda sin resbalar por el interior de otra cuyo radio es o. Si b = a/ 4, la curva es la que se muestra en la Fig. 11-3. Fig. ll-9 1 1 .2 0 Ecuaciones paramétricas: z = a+- bsen+ 1y = a-beos+ Esta es la curva descrita por un punto P situado a una distancia b del centro de una circunferencia de radio a a medida que ésta rueda sin resbalar sobre el eje x. Si b < o, la curva tiene la forma que muestra la Fig. 11-10~ se le conoce con el nombre de ciclo ide reducida. Si b > o, la curva tiene la forma que muestra la Fig. ll-ll y se le llama cicloide alargada. Si b = o, la curvaes la cicloide de la Fig. 11-2. Fig. ll-10 Fig. ll-ll CURVAS PLANAS 43 NOTABLES x = aIn(cot@-cos$q 1 1 .2 1 Ecuaciones paramétricas: 1/ = asen+ Esta es la curva descrita por el punto extremo P de una cuerda tirante PQ de longitud o a medida que el otro extremo Q se mueve a lo largo del eje I. ll.2 2 Ecuación en coordenadas 8aa 2/=x2 + 419 rectangulares: A x = 2a c o t e 11.23 Ecuaciones paramétricas: 2/ = a(1 - cos2e) En la Fig. 11-13 la linea variable OA corta la línea y = 20 y la circunferencia de radio a y centro en (0, a) en los puntos Ay B respectivamente. Cualquier punto P de la “bruja” se localiza trazando paralelas a los ejes x y y de modo que pasen por B y A respectivamente determinando el punto Pde interseccj.ón. 1 1 .2 4 Ecuación en coordenadas 29 + 1 1 .2 5 Ecuaciones 0 Fig. l l -1 3 rectangulares: ys = 3axy paramétricas: 1 3at z=1+ 3atz *=1+Ds 3 1 1 . 2 6 Area c o m p r e n d i d a p o r e l l a z o = za2 1 1 .2 7 Ecuación de la asíntota: l l .23 Ecuaciones z+y+a Fig. 11-14 = 0 Y paramétricas: x = a(cos * + q~ s e n +) 1 g = a(sen#-@cos+) Esta es la curva descrita por el punto extremo P de una cuerda enrollada en una circunferencia de radio o a medida que se desenvuelve mientras se mantiene tirante. z I \o / \ \ .J’ Fig. 11.1~ CURVAS 44 ll.2 9 NOTABLES Ecuación en coordenadas rectangulares: (a2)2/2 ll 30 PLANAS + (by)2/2 = (&4 _ b2)2/S Ecuaciones paramétricas: az = (d zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTS - b2) co&’ dzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA by = (ae - b2) sena e -i Esta curva es la envolvente de las normales a la elipse + yV b’= = 1 mostrada por la línea a trazos en la Fig. 11-16. 23/a= 1 1 .3 1 Ecuación en forma polar: *r + ea’ - 2 # c<M~@ = b’ Esta es la curva descrita por un punto P que se mueve de tal manera que el producto de las distancias entre P y dos puntos fijos [situados entre sí a una distancia Za] es una constante be. La curva puede adoptar la forma de la Fig. ll-18 según que b < CI o que b > a respectivamente. Si b = a obtenemos La curva llamada lemniscata [Fig. ll-l], 11.32 Ecuación en forma polar: P = b+acooe Sea OQ una línea que une el origen 0 con un punto cualquiera Q de una circunferencia de diimetro CI que pasa por 0. Entonces esta curva es el lugar geométrico de todos los puntos P para los cuales PQ = b. La curva toma la forma de la Fig. Il-19 o la Fig. ll-20 según que b > D o b < a respectivamente. Si b = a, se obtiene la curva llamada cardioide [Fig. 11-41. Fig. ll-19 Fig. ll-29 CURVAS PLANAS NOTABLES l l .33 Ekuación 45 en coordenadas rectangulares:zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 22 Za - x v2 = - ll.3 4 Ecuaciones paramhicas: p 1 = 2a sen2 B 2 a senS@ y =cos e Esta es la curva descrita por un punto P que se mueve de tal manera que la distancia OP =distancia RS. Se le emplea en el problema de la duplicación del cubo, que consiste en encontrar el lado de un cubo que tenga dos veces el volumen de un cubo dado. 11.35 Ecuación polar: Fig. Il-21 +=(M Fig. Il-22 . 1 2 .1 d = \/(z,- z# + (vp,- 211)~ + (zz- 21)~ Fig. 12-1 12.2 22 - 21 1 = c osa = - d ' donde (I, p, y denotan los ángulos que forma la línea vamente y d está dada por 12.1 [véase Fig. 12-l]. P,P, ron la parte positiva de los ejes x, y, z respecti- 12.9zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPO Iy + m2 + n2 = 1 c os 2 a+c os 2 p+c os ~ y = 1 0 Los números L, M, N que son proporcionales a los cosenos directores 1, m, n, son llamados números La relación entre ellos está dada por 12.4 1 = L dL2+W+Z' WC= M L*+M*+iv 46 ?l= N dL2+M2+N2 . dir ect or es. FORMULAS DE GEOMETRIA ANALITICA DEL ESPACIO 12.5 x - 2, 22 - x1 2 - z, Y - u1 =-=Y 2 - YI 22 - 21 47 5 - 2, % - q Y - YI -Zr-=1 m 12 or Estas ecuaciones también son válidas si se remplaza 1, m, R por L, M, N respectivamente. 12.6 x = 21 + zt, .z = z,+nt Y = 211 + m4 Estas ecuaciones también son válidas si se remplaza 1, m, n por L, M, N respectivamente. Az+By+Ct+D 12.8 12.11 ;+;+; = = 0 [A, B, C, D siendo constantes] 1 donde a, b, c son las intersecciones con los ejes x, y, L respectivamente. Fig. 12-2 FORMULAS 48 DE GEOMETRIA x - x() . z - *,J II -= - un i -z A B C 1 2 .1 2 0 ANALITICA z = DEL ESPACIO z,+At, y = y,+Bt, .z = z,+Ct Adviértase que los números directores de una línea perpendicular al plano Ax + 23~ + Cz + D = 0 son A, B, C. Ax,, 1 2 .1 3 k\/Az+B2+@ en la cual el signo debe escogerse de tal 1 2 .1 4 i- By, + Cz, + D xcoso + ycosp manera que la distancia no resulte negativa. + ZCOSY = p donde p = distancia perpendicula; desde 0 hasta el punto P del plano, mientras que (I, /3, y son los ángulos que forma OP con los ejes positivos x, y. 2. Fig.12-3 12.15 x = x’ + 20 Yz ==u’ +z’ Yo + 20 0 2’y’ == 92 - 20 2’ = Y* -- Yoizo donde (x, y, z) denotan las coordenadas prnnitivas [o sea las coordenadas relativas al sistema xyz], (x’, y’, z’) denotan las nuevas coordenadas [relativas al sistema x’y’z’] y (za, yO, za) denotan las coordenadas del nuevo origen 0’ con respecto al sistema primitivo de coordenadas xyr. Fig.13-4 . 4 9 zyxwvu FORMULAS DE GEOMETRIA ANALITICA DEL ESPACIO x = 1,x’ + lg’ + lgz’ g = m& + msy’ f msz’ 1 2 .1 6 * 2’ 0 = 12,x’ + n2y’ i- nsz’ = l,z + m,y •l- n,z u’ = & + m2y 1 2’ + ~3 = 1.g + m3y + nsz donde los orígenes de los sistemas xyz y x’y’z’ coinciden mientras que l,, mi, n,; 12, %, n,; l,, m3, n3 son los cosenos directores de los ejes x’, y’, z’ en relación con los ejes I, y, z respectivamente. Fig. 12-5 x = lp’ + lg’ + l$ + 20 1 2 .1 7 2/ = rnlx’ i- m,y’ •l- mgs’ + yo z = nlx’ + n2g’ + n3z’ + cO 2’ 0 = l,(z - irO) + ml(y - yO) + nI(z - zo) 21’ = w - %) + ntz(u - 210) + nrr(z - 20) z’ = 13(x - x0) + mdu - 91~) f n3(2 - zd i donde el origen 0’ del sistema x’y’z’ tiene coordenadas (zs, YO, z,) con respecto al sistema xy* mientras que l,, mI, w,; h, m,, n,; la, ms, ns son los cosenos directores de los ejes x’, y’, z’ en, relación con los ejes x, y, .z respectivamente. Un punto P puede ser localizado por medio de coordenadas cilíndricas (v, 6, Z) [vbase Fig. 12-71 lo mismo que por coordenadas rectangulares (x, y, t). Las ecuaciones de transformación son x = r cose r = fl$u2 1 2 .1 8 y=rsenB z=z 0 8 = tan-‘(ylz) z=z Fig. !t-7 FORMULAS 50 DE GEOMETRIA ANALITICA DEL ESPACIO Un punto Ppuede ser localizado por medio de coordenadas esféricas (r, 8, $) [véase Fig. 12-81 lo mismo que por coordenadas rectangulares (x, y. 2). 1.8s 0 2 + 2/ + 2 ecuaciones de transformación son z = rsen B cos+ 12.19zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA u = rsenesen $ z = TCOSB ----.---y Y + = tan-1 (î//z) e = cos-~(z/\/22+y~+*~)zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Fip. 12-8 Fig. ll-9 1 2 . 2 1 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA r2 - 2r,r cos (e - e,) + ~0” + (z - 42 = R2 donde el centro de la esfera en coordenadas cilíndricas es (r,,, 8,,, za) y el radio R. Cuando el centro se halla en el origen la ecuación es 12.22 ti + 22 = R2 12.23 r2 + ~-0 - 27-g sen e sen e, cos (+ - +,J = R2 donde el centro de la esfera en coordenadas esféricas es (ro, eo, ~0) y el radio R. Cuando el centro se halla en el origen la ecuación es 12.24 r= R . FORMULAS DE GEOMETRIA ANALlTICA DEL ESPACIO 61 Fig. 12-10 12.26 donde a, b denotan los semi-ejes de la sección elíptica. Si b = a se trata de un cilindro circular de radio a. Fig. 12-11 12.27 Fig. 12.28 $+$-$ = 1 12-12 F O R M U L A S D E GEOMETRIA 52 1 2 .2 9 ANALITICA D E L E S P A C I O ------22 1/22* zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSR = 1 6 b2 c= Obsérvese la orientación de los ejes en la Fig. 12-14. Fig. 1 2 - 1 4 1 2 .3 0 g+y = : Fig. 12-15 1 2 .3 1 - y2 = z a2 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA b2 c -22 Obsérvese la orientación de los ejes en la Fig. 12-16. Fil. 12-16 S i y = f(z), la derivada dey o de f(x) con respecto a x se define como duzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYX ?,,.,, I<z + h) - f(z) = fb + AZ) - f(z) z= h AFO AZ 1 2 .1 donde h = AZ . La derivada también se designa por y’, df/dx CJ f’ (x). El proceso seguido para hallar la derivada se llama diferenciación. En lo siguiente u, v, LU son funciones de x; a, b, c, n constantes [con restricciones si así se indica]; e = 2,71828. es la base natural de los logaritmos; In u es el logaritmo natural de u [o sea el logaritmo en base e] donde se supone que u > 0 y que todos los hgulos se dan en radianes. 13.2 -g(c) = 0 13.3 &(cz) 13.4 $(ozn) 13.5 $(U* v* W* ...) 1 2 .6 $ (e u, = e$ 13.7 -g(w) = u$+ 1 2 .8 $(uvw ) = UV% + utug + vw $ 1 3 .9 d u z; 0 = 4duldx) 1 2 .1 0 $ p) = a @-lg = c = MZ”-l 1 2 .1 1 L!!! dz = 2 % = iE=$ * $ * . . . v$ - u(dvldz) uo (Regla de la cadena) 13 . 1 2 - = 1 dx dzldu 53 DERIVADAS 54 du 13.14 d -senu = cosu-& 13.17 13.15 &osu = du -senu~ 13.18 13.16 $tanu = .ec*u$ 13.19 dx d 1 3 . 2 0 0% -sen-1u 1= - du -ti 13.21 $,o,-1. 13.22 $wu d 1 3 . 2 3 0% -;<sen-'uc; C = &g -i -cot-lu -1 = - du 1 + u* dx [O < cot-lu < r] *l = + s i 0 < secm u < d2 du $ alc-111 = 13.26 $log,,u 13.27 $Inu 13.28 fau = aulno% 13.29 -$ = ~2 13.30 $w = -+au 13.31 d -senhu dx lo&@ du = - u dz = $log,u = = zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYX < r I le C-lU O<CsC-lU 1 < d2 + s i Tl2 < cllc-'34 < 0 1 oZO,l = = cosh u dz &eoshu = senhu;f &tanhu - s i rl2 < - s i -1 ~1 du -=-Iu1 q? dx U \/u ’-i h 13.25 13.33 -escucotu* dx = 1 [ 13.32 du = secutanuz &mcu d z cacu du -csc*u-& = [O c cos-1 u < ?f] d ;iz&u 13.24 &eotu aeeh*u$ i$ rrvlnu~dl 2) In u] = zyxwvutsrqponmlk .,H-1 + utl ,nuk dx 13.34 da d - cothu = dz du - cach* u dz 1 3 . 3 5 d-ae.chu = o!x -aechutanhu@ 0% -& cschu = -crhucothu”’ f3.36 . DERIVADASzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 65 1 3 .3 7 d - senh-’ uzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA dz 13.38 d -cosh-‘u dx $tanh-‘u 1 3 .3 9 d dx 1 d -sech-‘u dz . d4 3 dx C - si cosh-ru < 0, u > 1 &% = -coth-‘u 1 3 . 4 0 13.41 + si cosh-’ u > 0, u > 1 = 1 [-1 lo UC- - si sech-rzr>O, O<u<l rl du = - [ + si sech- u < 0, 0 0. + si u > 0] 2 uql-zz dx Iu\ m fz La segunda, tercera y las derivadas de orden superior se definen así. 13.43 Segundaderivada d z du 0 = az = 1 3 .4 4 Tercera derivada 13.45 eI n-ésimaderivada = =yjgi asv f”(2) = Supóngase que Dp representa al operador -& tal que 1 3 .4 6 D”(m) = uD”v fyx) = = + ; (Du)(D=- ‘v) n 01 n ’ y” = f(n)(~) y”’ = #“) zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXW D% = t+ = lap-ésima derivada de u. Entonces ; (D~u)(D”- *v) + ... + 0 donde = + vD”u 0 son los coeficientes binomiales [página 9, 2 0 ‘... Como casos notables están 1 3 .4 7 1 3 .4 8 Sea y = f(x) 1 3 .4 9 $(uv) y A1/ = = f(x + Ax) - f(x). Entonces AY az= f(x + AZ) - f(@ AZ = f’(x) + r = g+, donde L -) 0 a medida que AZ -ro. Asi 1 3 .5 0 AU = ~‘(z)Ax + raí Si se llama AZ = dx la diferencialde x, entonces ladiferencial dey se define como 1 3 .5 1 dy = f’(z) dz . DERIVADAS 56 Las reglas para obtener diferenciales son exactamente análogas a las de derivación. Como ejemplos se observa que . . ) = &edvrtdu,&... d(u f v * w f . 13.52zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA udv + v du 13.53 d(w) = 13.54 cel0 !! = 13.55 d(u”) 13.56 d(senu) 13.57 d(cosu) = v du - udv VS v = nu” - ‘du = co s udu - senu d u Sea f(x, y) una función de dos variables x y y. Entonces la definición de la derivada parcial de f(z, y) con respecto a x, mientrasy se conserva constante, estidada por 13.58 Análogamente la derivada parcial de f(x, y) con respecto a y. mientras x se conserva constante, se define por af dy 13.59 lim f(x, Y + AU) - f(z, 1~) AY’0 AU = Las derivadas parciales de orden superior se definen de la siguiente manera. 13.60 azyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHG azf af 15.61zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA dyaz=-ay 0 az Los resultados expresados en 13.61 son iguales si la función y sus derivadas parciales son continuas, o sea que en este caso no importa el orden en que se efectúe la diferenciación. La diferencial de f(x, y) se define como 13.62 donde d f dx = AZ y dy = &dz + $dy ’ = Au. De manera exactamente análoga se define la diferencial de las funciones de más de dos variables. l dw y es la función cuya derivada es f(x) y se denomina zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSR anti-deriuada de f(x) o integral indv f(x) dx. Por otra parte, si y = f ( u ) d u , e nto nc e s d u = f(z~). Pu esto q u e s s la derivada de una constante es cero, todas las derivadas indefinidas difieren entre sí por una constante arbitraria. Si z= f(%),entonces definida de f(x), lo cual se escribe Véase la definición de integral definida en la página 94. El procedimiento seguido para hallar la integral se llama integración. A continuación u. v, w so” funciones de x; a, 6, p, 4. n, son constantes, co” las restricciones que en caso dado se indiquen; e = 2,71828 es la base natural de los logaritmos; In u es el logaritmo natural de u suponiendo que u>O[en general, para poder aplicar las fórmulas en los casos en que u < 0, remplácese In u por In / uI]; todos los ángulos están expresados en radianes. Se han omitido todas las constantes de integración por estar subentendidas. 1 4 .1 1 4 .2 SzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCB s adz = aa af(x) dx - a s 14.3 j-(uzkv%-wk...)& 1 4 .4 S udv = UV - f(z) dz S = j-udz v du f j-vdz f j-wdz i ... [Integración por partes] Véase lo referente a la integración generalizada por partes en 14.48 1 4 .5 S f(m) 1 4 .6 j- F{f(z)>dz = 14.7 1 4 .8 1 4 .9 1 4 .1 0 S S S S dx u”du du u eu = = L a = n+l' In= In Iu1 du = eu = S f(u) du j F(u)2 d u = Ql+1 - = audu S s 14 S] u>O 0 ln(-w) siu< ,u!na eu ‘na du du [Paran = -1, véase nf-1 i j- F&; = In = au 1” --a ’ Flf a>o, ail INTEGRALES INDEFINIDAS 58 14.11 14.12 s = cos u du = sen u s J” tanudu 1 4 . 1 3 14.14 --COSU senudu = Insecu = -1ncosu lnsenu $ cotu du = 14.15 j- secu du = In (sec u + tan u) = In tan ;+: ( > 14.16 s cseu du = 14.17 14.18 14.19 14.20 14.21 14.22 sec” s J tan*udu = c&udu = t4.26 14.27 = tanu zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQ - c o tu tanu + u s -cotu - u u wn2udu = - S COS~U sen 2u 4 - sen2u ;+4- d u = secutanudu j- cscucotudu S S S - 2 s = secu = -cscu senhu du = coshu eosh u du = senhu f(U= - sen u cos u) = *(U + sen u cos u) tanhu du = In cosh u = lnsenhu 14.28 j- coth u du 14.29 J sech u du = sen- 1 (tanh u) o 14.30 14.31 14.32 14.33 Intani s s 14.25 = ' csc2u d u = 14.23 14.24 u du ln(cscu-cotu) I *cschudu S S s = lntanhi sech* u du = tanh u cschzu d u = - coth u tanhzu du = u - tanhu o 2 tan-1 eu -coth-leu e INTEGRALES 14.34 S coth*u 14.35 S senhzudu 14.36 1 4 .3 7 1 4 .3 8 14.39 1 4 .4 0 s s u 2 + = - sech u csch u coth u du = - csch u = = s 14.43 J* cosh ti - u) ‘, tanh-1; - 14.42 +(senhu ; = #enhu coshu + sech u tanh u du du u2 - CL2 S - = EF = 1 4 . 4 1 senh2u 4 = - du s 142 + a-2 s 59 du = u - c o t h u cosh2 u du s INDEFINIDAS = In(u+ V) 0 u) IL2 < l 2 senh-‘; 1 4 .4 4 1 4 .4 6 14.48 S f(n,g& = f(n-1,g - f(n-29~' + f(n-3)g" - . . . (-l)n s jg’“’ dz Esta última es llamada fórmula generalizada de integración por partes. Ocurre en la práctica que es posible simplificar una integral mediante el empleo de una transformación o susIltución apropiada junto con la fórmula 14.6, página 57. En la lista siguiente se dan algunas transformaciones y sus resultados. 1 4 .4 9 S F(az+ 1 4 .5 0 S F(m)dz 1 4 .5 1 S 1 4 .5 2 1 4 .5 3 S S b)dx u=axSb donde u=m un-1 F(u) du donde u=&s F(a cos u) cos u du donde x = asenu F(a sec u) sec u du donde x = atanu S F(u) du = z S u F(u) F(\/ã2_22)dz F(\/zz+ãi) donde = a = dz a = a S S du e INTEGRALES 60 INDEFINIDAS zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIH j- F(di)dz = <1 s F(a tan u) sec u tan u du donde z = a sec u 14.54 F(c=*) dz % du = m! a s d o n d e u = eo= j- F(ln z) dz = j” F(u) e”du 14.56 j-F (sw~~) 14.57 dz = aS F(u) donde u = In z cnsu du d o n d e u = sen-$ Resultados similares se aplican para otras limciones trigonométricas recíprocas j- F(senz, cosz) dz = 2 14.56 s Fc&, 1 - IL2 -) & donde u = tan; En las páginas 60 a 93 se encuentra una tabla de integrales clasificada por tipos notables. Las observaciones hechas en la página 57 son igualmente aplicables en este caso. En todos los casos se supone excluida la división pw cero. 14.59 14.60 dz s az+b= =E xdx s ax + b x* 14.61 dx s z-x= tidz 14.62 s az+b= a - -$ In (az + b) (ax + b), Pb(az + b) ~-t $ In (az + b) 2a3 aS -(ax + b)a 3a4 - 3b(az + b)2 2a4 + 3b*(as + 6) - $ In (ax + b) a4 14.63 s 74.64 14.65 14.66 S s s zlix s~ s t j-fi = --v..wmmw+---- 14.67 14.68 14.69 (ax + b)* = & + :2 1” Caz + b) z*ds ax + b b2 - $ In (az + b) (az+b)2=--a3 aYaz + b) (ax b)* 2a4 Jb(az + b) a4 bS + 5 In (cm + b) a4(ax + b) 14. 70 14.71 * IN TEG RALES s~ s s s- = s dz lh.72 INDEFKwDAs ah + b) - (az + b)z- + 3a(az ey ax + b)z = 2bW zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA b’z b’(a.x + b) 1 4 . 7 3 < aa: bP -1 =2(az+b)z xdx (az = 1 4 .7 4 -1 a2(az+ x2 dx (ax + b)‘J 1 4 .7 5 1Fldx (az 1 4 .7 6 2b a3(az- b 2a*(az + b)2 bZ + - $ In (ax + b) 2d(az + b)* 362 $-a4(az - -+ + b) = b= 2a4(az + b)* - 5 In (ak + b) a*x2 2az 2bs(az + b)* - bs(az s s @+b),,& = W+Wn+l s 1 4 .7 8 1 4 .7 9 1 4 .8 0 dx X*(W + b)J = 2bZ(a;a+ 2a b)2 - ~ b3(az + b) dx X%X + b)J = 2b5(:;; b)2 - $‘ i$$) Si 12 = -1, véase 14.59. (n + 1)a 1 4 .8 1 x(ax + b)*dx = (az)b)“+2 (n + 2)d _ b(ax + b)n+ 1 (n+l)& ’ nZ-l*-2 si n = -1, -2, véase 14.62, 14.67. S 1 4 .8 2 zz(ax (cm + b)n+J (n + 3)as - 2b(az + b)“+* + bz(a, + b)*+ 1 (72 + 2)a3 (n + l)G + b)“dz = si n = -1, -2, -3, véase 14.61, 14.66, 14.75. s 1 4 .8 3 a% zx + b)” dx = x”‘+‘(ax+ b)m + m-l-n+1 nb P(ax + b)n- 1 dz m+n+1 s x”‘(ax + b)” + 1 (m + n + 1)a mb x” - + x + b)” dz (m + n + 1)a s _ - x”‘+‘(ax + b)“+l (n + 1)b 14.84 1 4 .8 5 1 4 .8 6 1 4 .8 7 + m+n+2 x’“(ax+ b)“+ldz (n + 1)b s a s&izii = 2\/ã;G+b dx xdx sm S = d dz 2(=7 - W \lãz+b 3a2 2(3azz2 ;“ x + 862) w b z z i= S- = dz z xb 1 4 .8 8 dx = s zwza [Véase 14.87) 61 zyxwvuts INT EGRALES 62 ISDEFINIDAS z\/<az+bi3 1 4 .8 9 1 4 .9 0 1 4 .9 1 \/,z+adz = 3a szyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONM zw bdx s z2\/azTb s 2’ 3;; 2b) diGz- @ = dz 2(15a? c2 ,;zbx + 6b2) v m = - \/,z+i; 1 4 .9 2 1 4 .9 3 1 4 .9 4 J &z % 2,dz s dz s .&T x dx=2\/az+b+b x &z T l 2” - dz x 22*\/az+b = 2mb - ~ et!!?- . dx (2m + 1)a s l,GT- ii (2m + 1)a s $iG x 14.96 1 4 .9 7 1 4 .9 8 1 4 .9 9 1 4 .1 0 0 14.101 1 4 .1 0 2 14.103 1 4 .1 0 4 14.105 s xm & = x” \/ az+b s dx - 3)a -(2m ~ (2m - 2)b . r x*- l\/azrtã -(m-l)bz” ‘-1 < 2;= 3)a (ax + b)3’* ~ JZTT dx (m - 1)x*- l + 5gTj s x*- l\/a27- i; = - s \/az+b - dz x* = -(ax + (m - 1)bz” - 1 (ax + b)mlz dz &X + b)m/2 s Z~(CZZ s s 2(az + a3(m dz = = dz 22 dx s ;(az+b>mi2 = dz &i- G (2m - b)3’2 5)a (2m- 2)b s P- I dx dz 2(az + b)(‘“ +4)‘2 _ 2b(az + b)(‘“+=‘z &(m + 4) a2(m + 2) = b)m’2dx = 2(ax + m ’ (EC + b)m’z J (Pm + 3)a s 2(az + b)(“ ‘+2)‘2 a(m + 2) = dz +b)*‘z (ax + x .*- ‘qáizT = v - & x* - 2mb dz s s [Véase 14.871 s rm vb 14.95 dx - - +; = [Véase 14.873 b)(“‘+e)‘* _ 4b(az + b)(“ ‘+‘)‘z + + 6) aym + 4) b)m’2 + b (ax + b)(‘“ - 21’2 dz x s _ (CT + b)(m+2)‘2 + z J (az + b)m’2 x bx (m - 2)b(ax2+ 2b2(azi;b~ 1;2” z b)(“ -2)” 1 + ã s x(ax dz +&,2 = s (~2 + b)bz + q) ,-Y-e 14*‘ 06 x dx .f(az+b)(pz+q) 14*‘ 07 .f(az+b;;pz+q) = 14*108 (az s = ;$z+ q) = x2 dz 1 4 .1 0 9 J ( ax + b)*(pz + q) = In (az + b) zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA INT EGRALES 14.110 INDEFISlDAS dz 63 1 (ax + b)rn(pz + 9)” = (n - l;;bp - aq) (az + b)*- ‘(pz + q)“ - ’ szyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA + a(m+n-2) dz (ax + bpqpx s + ( n - m- 2)a m(bp - ad j -1 (az+b)m (n- 1)p \(pz + q)“ - ’ dz 14.114 s (px+ = s (pz + q)” \/aEz+b (PZ + 9 ) ” dz = - 14.118 s w , bp (2% + 3)P = 2(pz + 9)” &zx + 2n(aq - W (2% + 1)a m 14.120 $g$. = (n - l)P(PZ + BP-- s, ok - =q (Pzfq)” dz \lazsb * (px + q)“ - ’ dz (2n + 1)a 1 +a - l)P an m S dx (pi-c + q)“ - 1 \/az+b = faz + b)(w + d 14.121 xdz S , l nr \ -L hM mr dz + &Y& (2% + 3)P s -q-lGG 14.119 ( PZ + 9)” &ixl ( (n - l)(aq - bp)(pz + 9)“ - 1 + 2(n $(a;): b p ) s dx 14.117 s = (pz+ q)“ mdz $ > zyxwvutsrqpon (a-c + b)“- l = 2(px + q)“+’ 14.116 (ax + b)” (pz + q)” ~- ’ dz rx ‘ , ;;:::dx &zzx) q>JGG J gdz 14.115 - ma s s + q)*- ’ > = -& ni Caz + b)W + 9) _ bp + aq dz aP 2aP s, fax + b)(m + CT) dx (pz + q)“ - ’ &z- i INT EGRALES 64 INDEFINIDAS dx (ax + b)(px + q) dx 14.122 Caz + b)(px + q) 14.123 s dz 2daz + b (px + d d/<= + b)(px + q) bq - bd m = 14.124zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 14.125 $& +-12: a = 14.126 j-&j = f In(G + d) 14.127 j-G = 14.128 ss = $ - +(z *+a*) 14.129 J&&) = -,l, 14.130 J-,p+, = --& 14.133 $6 = - 1 iqsGT) 14.134 J* = 14.135 Ji-$& = S 2q25 23 - atan-'2 a - $f&n-1; zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPO 4 + i In (2* + a*) 2(22 + a2) 14.137zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA dx --1 x - ,“,*- t a n - $ 14.138 14.139 14.140 14.141 14.142 14.143 + &)” = a% S a-9(2* dx+ ta*)* --= 1 2d~2 zdx dx P(X2 + 272 - 3 +(Bn S (x2 dx + csp-1 -1 2(n - l)(G + 4p-1 dx x”’ dx + ~62) 2(n - l)d(x2 + a*p-1 S (22= f (29= 1 2a4(22 x dx S (22= S 2(x? + a*p = . S 2d(~* + a*) - 1 2(n - l)a2(22 + aqn-1 s + ay-1 dx + - a* S (X22?”+-2a*p 2 2m(2* +&p-1 3 zm-yx* + 6)” 2”‘-2 dx a2)n-1 s (%2 &)” = x(29 1 s dx dz dx -’ s I NT EGR A L ES 14.145 J --$$ 14.146 =&dx s z2 - a2 14.147 s zJdz 22 - dL s xdx (x2 - a92 14.152 14.153 = $ In (x2 - a*) = % + -2 In (22 - a2) = I NDEF I NI DA S 65 -1 ~ 2(z2 - a2) 22 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA dz s (22= 14.154 s tidx (sU2 - a2)2 = 14.155 14.156 14.157 14.158 14; r59 dx s (22= s 14.160 14.161 14.162 zdz ~ (x2 - a2)” z(29 dx - a2)n zm(z2 ds - a2)n dx (22-aqn-1 -1 2(n - 1)(x2 - as)*-1 = 2”’ dz s (22= s -X 2n - 3 2(n - l)a2(x2 - a2)“ -l - (2n - 2)a2 s = -1 1 2(n - l)a2(22 - az)n-1 - ã2 s dx z(z2 - a2)n-1 s =$ s zm-p(x2 dx - &)” dz -- ds 3+(~2 - a2)*- 1 INT EGRALES 66 dz 1 4 .1 6 3 s a* - x2 INDEFINIDAS ; k nh-lZ a xdz 1 4 . 1 6 4 a2 - x2 = - i In (a* - 22) s zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 14.165 2 2 dz= s a* - 59 1 4 .1 6 6 z* dx = s d - 2.2 1 4 . 1 6 7 s 1 4 .1 6 8 '4.169 1 4 .1 7 0 14.171 1 4 .1 7 2 a* 2 dz = - X2) x(& dx s x*(a* J- x2 ---z1n(a2-22) 22) = x2(apz., = dx s (dxdx 1 2(a* - x2) s (a2= x2 dx s (az - a* 1 4 . 1 7 3 Zsdx -= + i In (a* - 22) s (a* - 292 2(a2 - 2*) 1 4 .1 7 4 14.175 1 4 .1 7 6 s s s dx 1 4 . 1 7 7 ~ s (a* - x*)n = zdz 1 4 . 1 7 8 ~ s (a* - z2)n = 14.179 1 4 .1 8 0 14.181 dz s x(a* - z*)n , X 2(n - l)a2(a2 - z*)n-1 = 1 dz 2(n - l)a*(a* - z*)n-1 +$ s x(a* - z*)“-1 x”’ dx z”‘- *dz - -za* ~ s (a* - s xm(a2 29% dz - z*)n 1 x2)n dz (a2 - z2)n- 1 1 2(n - l)(a* - z*)n-1 s (ct2 2n- 3 (2n - 2)a2 s = ã2 s xm(,2 z’“- *dz s (a2 - Z*)n- 1 dz - .a)n-1 dx +$ s * *m-2(a2 - $.p INTEGRALES INDEFINIDAS 67 14.182 14.183 14.184 14.185 S 14.186 s 14.187 s x3 dx ~ @x3 (x2 + a2j312 _ a2\/zl+az 3 = a+\lzz+ãi 14.188 S x dmdx 14.189 s 14.190 14.191 s = x<mdx = (x2 + a2)s12 3 x2,/m& = x(22;a2)a'2 j- - a2x@G 8 14.192 s ,&m dx = cx2 +5a2)5’2 _ a2(x2 14.193 J-q d 14.194 s 14.195 s = dm- aln x ‘3 a2)3’2 a+&Fi3 x ( ) \/zz+ãi -& = 4x2 -~ + ln(z+dW ) @xi2 2,dx = - 22 & - - +aln 2x2 a+\l;cz+ã;i X 14.197 J (22+$)3/2 = & '4.198 *j- (x2:02;~12 = -z dm + In@+- ) 14.199 J ,,,+g3,* = 14e200 S x(x* 14.201 ‘4.202 .r J - s a4 In (x + dm) %2(Z2 ,/zz+ãi + & ?a2)312 = a2d& dx + a2)3/2 +p - -$ In a+@T2 ( x ) lpT2 x = - ~ - a4&G2 a4z = 2a2x2y&-g; 3 2a4&G2 a+\/22+ã2 + &ln X INTEGRALES 68 14.203 - (x2 + =2)3/2 dx = s(x2 + a2)3’2 14.204 (22 + &)5’2 5 14.205 14.206 14.207 x(x* + &)3’ * dz s s x3(x2 + &)3/* = dz (X2 + = a”@TS - a3 In CZ+@G ( x > a2)3?2 dx = - (x2 +xa*)3’2 + 3 x y + $2 In tx + ,/m , 22zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA .l (x2 +- a2Fdx = _ a+&G2 +2x2a*)3/2 (22 29 x 14.210 > In (x + @GP), s s a*)“* &(G + a951* 7 5 (29 + a*)3’* dz = (z2 + ay2 + x 3 s 14.212 8 r(x2 + a‘y* &r(G + a*y* - a%qia -;; In (x + dm) 6 24 16 szyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 14.209 14.211 = x*(x* + a*)3/* dz - (22 + 14.208 3 a % dm +zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWV 4 s INDEFINIDAS s 22 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA dz x\/x2 - a* ~ d%Gz = ~ sdz 23 = (%2 2 - a2)3/2 + 3 @=s a2&Fi3 14.213 14.214 14.215 14.217 s 14.218 14.219 s xd=dx = (z2 - a2)3/2 3 z2dn dx = &dD &. = b2 ~(22 - a*)3/* -5z2,s’2 s + + *%qf2=2 8 a2(22 - a4 *- In(x+~~) - a2)3/2 3 14.220 14.223 = - i$GG szyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA e dz (22 x &)3/2 INTEGRALES INDEFINIDAS 69 x dx 14.224 (x2 - &)3/2 = szyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 14.225 $ fz2f $j3,1 14.226 s (z2 - 14.227 s x(x2 _ 14.228 = - e + In (z + \/22Tãj:) zJdx dx s = =2)3/2 %2(,2 ,,2)3/2 dx - s 14.231 14.232 s 1 14.233 s 14.234 14.235 14.236 (22 422 x3($2 _ & (2* x2 ~12)3/2 14.243 dx s zs\/op=-29 + ia4 In (z + 4273) 6 (22 - a2)7/2 = (x2 -3a2P/2 a2(%2 - a2)5/2 + 7 _ 5 a24m + as sef-l z I aI = (%2 -2x2 a2)3/2 3dm 3 sen-12 a = -dG x ma - x 1 4 . 2 3 22 9 dx ~ = - 2 s @=z x3dx 14.240 ___ = ca2 - x2)3'2 3 s \/,z_zz dx s x&Gz Bec- 1%1 + - - -2 - zaeec- l I E a I s 14.241 _ 3a2x(m 8 ti xdx s dm $5 - (z2 - a2)5/2 (x2 - a2F2 dz = _ s - ,,$&p dx = x(x2 ;a2)5'2 + a*x(x22; a2)3'2 _ a4zy - &)W* & - a2)S/2 dx - 2 I al a4\/z’Gz--ãs 4 = (x2 - a2F2 dz = x s s 42~2 = &)3/2 14.237 14.238 x G=2 a4z 2a222&-3 - a2)312 & &?(,$ 1 -,sec-1 a2\/22=;;i = = - &)312 - 1 = ,,2)3/2 14’229 .fti(x22a2)s/2 14.230 @=2-A2 = -$ln ,2dm a+&cG -- 2dw X - k31n v a+&z=2 x + $ In (x + dR) INTEGRALES 70 14.247 x3dGdx = _ &(&J - &!)312 (a2-x2)5'2 s INDEFINIDAS 5 3 14.249 s gyz -& 22 = - -B msen-,6! 14.250 \/,2_2" pdx 23 = s d&+,("+~) x 14.251 14.252 14.253 14.254 14.255 14.258 14.259 14.260 14.261 14.262 a dx x (a2 - %2)3/2 = szyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA a5fGcG zdz s @ 2 - ~2)3/2 s (a2 - 22)3/2 22 = &2 dz j- (m2f z = ,,,, = 1 z($ - ~2)3/2 (,2 - 22)3/2 dx +2 - %2(a2 %2)3/2 - z(a2 = - dz = 14.264 ca2 ,- +@2 - - x2)3,2dx = j-(a2-xx2)s’2.dx = s 22 + b2 ta2 z(a2 - sy’ 6 j-!?-$!?& = -3x2)3’* + = - x > 3a%~ 8 + a%(& - z2)3’2 + a4&F-- x2 16 24 ae + p,-l$ -;2)7’2 _ a2(a2;x*)5’2 a2da _ (a2 - $)3/2 dr lX+\/aY;z-z; - 5x2)5’2 s (a2 - z2)3/2 14.263 iy’ 4 dx = 2!2)312 - -$ .qzG5 = s j- ,,,- 1: F + & dz s - dm - z (*? - .$)3’2 --- 2x2 =3 3z\ / azr- z; 2 _ 3dm ~ + 2 . ,,, - (a + y22) 3 - =2 ,,,- 1: 2 CL+--2 +l x > INTEGRALES INDEFINIDAS 2 71 2ax + b -tan-l ____ $G-=3 &rFzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQ 14.265 dx s ax 2 + = bx + c 2as t b - \/b2- 4ae 1 - In @=iG c 2ax t b t d= J Si bz = 4ac, a& + bx + c = a(z + b/2a)2 y entonces se pueden emplear los resultados de las páginas 60-61. Si b = 0 utilícense los resultados de la página 64. Si a o e = 0 empléense los resultados de las páginas W-61. 14.266 14.267 zdx s ax2 + bx + c dx dx b2 - 2ac it- $ In (ax2 + bx + c) + 2a2 + bx + c = a s ax2 + bx + c $ Zmdz a&+ bx+ c 1 4 . 2 6 9 14.271 14.272 14.273 14.274 dx s ax2 + bx + c 22 s ax2 14.268 14.270 = &ln (az*+ bx+ c) - $ x”‘- 1 dz x”- 2 dx b -c a s ax2 + bx + c - ã s ax* + bx + c p-1 - = (m-1)a ~xca22~bz+Ej & s xZ(ax2 + bz + c) b dx $ln " ( ax2 + bx + c ) - 2c J ax2 + bx + c = = &ln ax2 + bx + c ( dx 1 s x”(axZ + bx i- c) = - (n- l)cxl-1 22 = bx + 2c - (4ac - bz)(ax* + bx + c) = a(4ac dx s (ax* + bx + ~$2 a dx b dx - e s x”- ‘@ x2+ bx+c) - c s xn- z(ax2 + bx + c) 2a dx 2ax + b (4ac - bz)(axz + bx + c) + mi s ax2 + bx + c x dx s @ x2 + bz + c)~ dx = dx s (axz + bx + c)* b2 - 2acI 1 _ 2c2 22zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA CX s ax2 + bx + c > (b2 - 2ac)x + be - b‘J)(axz + bx + c) b dx 4ac - b2 s ax2 + bx + c 2e +4ac- dx s ax2 + bx + c / 14.275 xm-l x”’ dx s (ax2+ bx+ c)” = - (2n- m - l)a(axz + bx t x”‘- 2 dx (m - 1)c c)n-l t (2n-m-1)a s (ax2tbxtc)n (n - m)b ~“‘-1 dx (2n- m- l)a s (ax* t bx t c)n 14.276 14.277 x2n-1 dx s (ax*+bx+c)” s x(az2 = :s dx t bz + ~$2 14.278 dx s x2(ax2 t bz + c)2 14.279 dx s x”(ax2 t bx t c)n x2”-3 dz (aS t bx t 1 = 2c(ax2+ = = - - cx(ax2 c x2”-3 dx c)“-1 - ã s (ax2 t bx t c)n dx b bx t c) - 5 s (ax* t bx + c)2 1 + bx t c) 1 (m - l)cxm-‘(ax2 _ (m+n- 2)b (m - 1)~ dx - 3 -a 0 s (axz + bx t c)* t bx t c)n-l b- dx s x(ax2 + bx + c) 2 bdx c s x(ax* t bx t 13)~ _ (mt2n-3)a (m - 1)~ dx s x”- l(ax2 + 6x t c)n x2”- 2 dx a s (ax*tbxtc)” s xm-2(a.z2 dx t bz t e)n INTEGRALES 72 INDEFINIDAS En las fórmulas siguientes si bz = 4rzc, \/a2’ + bx + c = 6(x + W2a) y entonces pueden emplearse las fórmulas de las páginas 60-61. Si b = 0 utilicense las fórmulas de las páginas 67-70. Si a = 0 o c = 0 utilícense las fórmulas de las páginas 61.62. + zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONML 6x + c + 2az + b) L In (2\/ãdax2 = 14.280 zdx 14.281 axz+bz+c a z s \/ãZ,+bx+c 22 14.282 bdx 2a s, ax2+bx+c - dx s, ax* + bx + c ax2 + bx + c + bx + dx 14.283 s, x axZ+bx+c 14.284 s +f/az2 dzzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Va XL+O X+C = ex f bx f c axZ+bx+cdx 14.285 ax2 + bx + c dx 14.286 (2ax + b) \/tcx* + bx + c 4;1 = (ax2 = = 14.287 S‘/ S” S S ax2 + bz + 43’3 b(2ax + b) ax2+ bxfc 3 a ---’ 8a2 05 - b(4ac -- b2) 16a2 s, ax2+ bxfc v (iz22 + bx + + bx + c S, 14.288zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA dx = daS+bx+c +i 14.289 14.290 14.291 X aG+bx+c dx x2 (ax2 + g + zdx (d + bz + c)3’2 = -’ ax2 + bx + c 2 = (4ac _ p) ,/ = (b 2 _ 4m) 4 +a 5b2 - 4ac 16a* + ~ 4313 dx +C aG+bx+c S, S, x dx s ax2+bx+edx aG+bz+c dx aG+bz+c x dx ax2+bx+c 2(2ax + b) ax2 + bx + c 2(bz + 2c) c)3/3 ax2 + bz + c dx ax2 + bx + c 14-293 14.294 = cdax2 : bx + e + i J .,,e,Z bx + c - % zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXW S (ax2 + 2 + ,)3’3 t .x2 dx s x2(ax2 bs + c)3/2 = - cyx + 2bz + c ..* - 3 62c? 14.295 s (az~+bx+c)~+‘f2dx = b’ - 2ac + bz + c +--s- S-d x S (ax2 dz + bx + c)3/3 dz &+bz+c (2az + b)(aG + bz + c)n+l/? 4a(n + 1) + (2n + 1)(4ac - 62) fh(n+l) . (ax2 + bx + c)“-“2 dx INTEGRALES x(azz + bx + ,)n+l,z dx 14.296 = (=x2 + bx + c)"+~'~ - $ a(2n + 3) s 14.297 S (az2 dx + bx + c)” + 1’* dx x(ax2 + bx + c)“ + 1’2 14.298 s = 8a(n - 1) (272 - 1)(4ac - b2) s (2n 14.300 14.301 14.303 14.304 14.305 14.306 14.307 14.308 14.309 14.310 14.311 14.312 14.313 14.314 = S S S S S S S S S (cm2 -t dz + bx c)“ - 1’2 b -2c s (ax2 dz + bz + c)“+“2 - ~5 se remplazan por-n (x+d2 ; 1 tan-' 2x - a - ax + zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA a2 ll56 a 3 x2 lf x2 - ax + &ln (x + ap 22 dx = + In (23 + s 23 + d dx - 1a3x s ~2(~3 + a3) = s + bx + c)“ + 1’2 dx dx + bx + c)“ - l’2 zfaz2 O bsérvese que para las integrales que contienen z-3 zdx s 23 + u3 (axz szyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPO 1 - l)c(ar2 + bx + c)“ - 1’2 s . -$& = & 1x1 73 2(2a2 + b) - 1)(4ac - b2)(az2 + bx + c)n- 1’2 (2n = + 14.299 INDEFINIDAS a2 22 - a + -i-tan4 u3) a\/3 dx ~ 14.302 s 29 - & In - ax + (x + a)2 CL2 = z(z3 + a3) 22 - a 1 - - tan-l 43 4 dx (23= xdx (23= 22 dx (23= + 1 3(%3 (83) + = ~+ aq + = a% + + s + aS + = S dx 423 1 a3)2 dx xyti 3a3(23 -1 m - 2 a3 dx x9x3 a3(n-- l)zn-’ 1 - In 4a3\r zdx 24= & tan-1 22 x4 + d = S + 23 a3 -1 d + uxfi + a2 22 - uxfi + a* > 1 - __ tan-’ 2a3fi - a2 ux& 22 $ 22 - uxfi + a2 -LL- In 4a< 2 ( x2 + uxfi + a2 =x2dx [Véase xdz --& a3) e- 3 dz x3 a3 -1 a3) dx 24+a4= J-$$ x2 - 3aqz3 xrn-2 =xm'x x3 - @3)2 i In (2’ + a*) - - 1 2aJ2 - - a2 ax&tan-1 $3 14.3001 INT EGRALES 74 14.315 s dz x(x4 + a4) 14.316 s S 14.317 22(x4 z3(z4 dz + dz 1 -- = a4) 1 4a5fi -- a42 ,n INDEFINIDAS x2 - axf i + a2 x2+ax\/2+a2 S S - 14.320 S =x3 dx 14.321 S x4 + In - d 14.322 S 14.323 s 14.324 s 14.325 dx ~ S x(xn + an) 14.326 s x”-’ dx 2" + a* = S (X” + (I”)’ (24 - a4) ‘ , In (2” + an) = e dz ~ 14.327 x”-” dz S (.p + a”)‘-l - ,” s d> 1 dz ~~ =an S P(X” + an)- 1 s zm(2” i an)’ 14.328 xm-” dx (xn + an)? 1 dz -an S zY-~(~~ + a*)r 14.329 S dv - = S x(x” - af) 14.331 j-s 14.332 S (2” - an)’ cc”’ dz ___ x2 - 1 -+pl-1% = zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 2a4x2 + a4) 14.319 14.330 2a5\r2 k 14.318 ..f i - a2 + 1 tan-* - i In (z” - an) = = an x”-* dz -+ S (2” - an)’ S 2”‘-” dz (x” - an)r- 1 INTEGRALES 14.335 x + a cos [(2k - l)n/2m] 1 x1’-’ dz mzyxwvu VJ cos w - UPS ~In 2m 1 -~ 2m&* -= 1 x=-’ dx 2ma2*-P S zpiz-pi= k =l m-1 x cos-In k=l kmm m-1 1 km -~ x sen-tan-’ mazm-p k=l m x - a cos (knlm) a sen (kalm) > 1 + 2w (In b-4 + c-w lnb +a)) donde 0 < p 2 2m. 14.337 76 tan- 1 z sen (2k .&r” + $rn = m**-= k=, 2m SzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA a sen [(2k - l)rrl2m] donde 0 < p S 2m. 14.336 INDEFINIDAS x=-l dz a*m+l S $m+l+ x + a cos [2kal(2m + l)] 2(-l)P-1 m sen -$-& tan-1 = (2m + l)&-p+$r; a sen [2ka/(2m + l)] ( )zyxwvutsrqponm m B cm slI n (-l)P F1 - (2m + l)&m-P+lk=1 x2 + 2az COS.*~ + a2 ( ) + (-l)p-1 In (z + a) (2m + l)a*m-P+l donde 0 m + (2m + l)tz2m-p+1kZ, + donde0 < p S 2mS cos&ln z2 - 2azcos& f d In (z - a) (2m + l)a2m-P+1 1. 14.339zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGF ‘ senaxdx = - cos aza 14.340 S 14.341 S 14.342 s 14.343 S 14.344 S YFdx 14.345 S sen ax 14.346 __ ax S sen S sen’ax 14.347 zsenazdz sen ax = 23senazdz az - x cos ax a = Fdx = ax _ $?$ + $!$ _ . . . = dz= zdz --Y+, S i In (csc az - cot az) %ft! & [véase 14.3731 = = 1 2 ax + 03 + 705 + . . . + 18 1800 dz = z _ sen2ax 2 4a 2(22” - 1 - l)B,(a2)2” (2n-t l)! +1 + . . . INTEGRALES 76 xseneaxdx 1 4 .3 4 0 1 4 .3 4 9 s 1 4 .3 5 0 14.351 1 4 .3 5 2 14.353 sen3 az d x = cm ll2 cos az --+a 3a sda zdx 32 sen 2az sen 4ax ---+ 8 4a 32a J& = -+zx zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWV dx = s sed ax s 22 z sen 2az cos 2az --p-4 4a 8d = = INDEFINIDAS - senpzsenqxdx se” (P - 9)s _ se” (P + 9)s zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWV [ S i p = *q, v é a s e 14.363.1zyxwvutsrqp = %P + 9) 2(P - 9) ptan$px+q-@q Si p = ‘9 véanse 14.354~ 1 4 .3 6 1 q cos ax (p + q sen ax)2 = a(p2 Si p = “9 véanse 14.358~ 14.362 14.363 1 4 .3 6 4 14.365 1 4 .3 6 6 14.356. dx - q* )(p + dz p+qsenax s zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPO q sen ax) 14.359. s s s s s xm cm ax mxm-’ sen ax -~ m(m - 1) xm SSI zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXW a l dx = _ -+ P-2 sen ax dx a a* a* s ?t !!$ & = - sen 0,x (n - 1)X”--’ sen”axdx = fa n - l s s dx [véase 14.3951 _ sen”-’ az eos az 12-l sen”-* ax dx +an n s - cos ax S senn- az dx 14.367 dz= s se”” az a(n - 1) se”“-’ az 14.368 xdx = s se”” as -x cos ax n -2 1 xdx +~ a(n - 1) sen’L- 1 az - G(n - l)(n - 2) sen”-* az n - l s sen”-* + n-2 11-l ax INTEGRALES INDEFINIDAS SzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA = eosaxdx 1 4 .3 6 9 1 4 .3 7 0 s 14;371 xcosaxdx ydx = s 14.375 $& = 1 4 .3 7 6 xdx s cos ax = 1 4 .3 8 0 14.381 1 4 .3 8 2 1 4 .3 8 3 1 4 .3 8 4 1 4 .3 8 5 1 4 .3 8 6 1 4 .3 8 7 1 4 .3 8 8 E!E .2 s s cos2ax x CO82 co33 -e -a “? dx x s +ecazftanaz) cod = E&2)2” ax dx +f 2)(2n)! + .** sen 2az ;+ - dx = 4a = ax dx = 7 sens ax - _ 3a s s [Véase 14.3431 Se d+ . . . + (2n+ 144 ax dx = tanaz A K -= s s cos ax a dz= cos ax sen(a - p)x + sen (a + p)z [Si a = *p, véase 14.377.1 cos ax cos px dx = s zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA w - P) va + P) S S S dx 1 - cosax c ot = -;1 2 l-cosax = 1: cot - + -2 In sen * -ã 2 a2 2 lix 1+cosaz = 1 tan 7 a xdx xdx s 1 + cosaz S dx (1 - cos Cc)2 = dz 14*389 x s en ax a + s 1 4 .3 7 4 1 4 .3 7 9 = s 1 4 .3 7 3 1 4 .3 7 8 y s 1 4 .3 7 2 1 4 .3 7 7 37 s ( 1 + cosmp = 1 -2aCOtF,- $tany &otq + +--tan37 78 INTEGRALES INDEFINIDAS -tan-ld(p-q)l(p+d 14.390 tan+ [Si p = ‘q véanse dz 14.384 y 14.386.] p+qcosax = szyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA tan +m + d(q + P)/(q - P) tan @z - \/(q + PV(q - p) 14.392 dz &- tanap P* + 4* s p* + q* cos* ax 1 14.393 [Si p = *q véanse 14.388y 14.389.] dx q senax -P a(q2 - pZ)(p + q cos ax) q* - P2 s p+qcosax dz q cos a# 14.391 Jfp + , p tana2 LJs7 tan-, p tan=% =xdFP dx s p* - 92 cosz az dF-2 1 2=p&Fi+ 14.394 s xmcosaxdx Fax 14.395 29 senas - + a = = - s 14.396 s cos ax -a Fdx n - l s (n - l)z”- 1 n - l sen ax coe- ' ax + - cos’ax d x = n un 14.397 dz= s COS” ux sen ax a(n - 1) cos”-] az 14.398 xdx x sen ax ax = a(n-L) s COS” cos”‘1a.x s en ax cos ax dx = 14.399 s 14.401 s s s ax cos* ax dx d In tan ax 14.405 dx s sen* ax cos ax = i In tan = tlntsn s sen ux cos ax S dx sen* ax cos UX n - 2 1 +n - l s - l)(n - 2) cosne2 ax [Si n = -1, véase 14.429.1 2 _ sen 4ax 8 32~ = = 14.407 dz cos”-*az xdx coE?-2 ux sen" + 1 axzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHG [Si n = - 1, véase 14.440.1 dx s sen ux cos ax dx co@ - * ax dx ax dx = (n + 1)a cosnax sen ax dx = - (n + l)a sen’ a*(n [Véase 14.3651 2a 14.404 14.406 - cos"+ 1 ax 14.402 14.403 ox cos +n-2 72-l s ax dx cos (p + q)x - cos (P - 4% _ 2(P - (I) 2(P + d sen px cosqx dx = se nn s e-2 coa sen’ ux - s 14.400 m(m - 1) mxm-' cosux - ll* s ca* = y+ 1 a cos ax cot - 2 0 2az- IN T EG RA LES IN D EFIN ID A S 14.408 79 s 14.409 s 14.410 14.411 14.412 14.413 dz = 1 7 CO8 ax(1 * sen ax) 2a(l f sen ax) szyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA dz s sen az(1 * CO8 ax) -c = 1 + &1ntan 7 2a(l * cos ax) dz sen ax -c cos ax szyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA sen ax dx s sen ax * cos ax eos ax dz = *f + +=In(smaz -C 14.414 s sen ax 2 cos ax 14.415 J ,+Q"z = - f In (p + q cos ar) 14.416 cos ax dx s p+qsenax = $ In (p + * sen ax) sen ax dx 14.417 s (p + * cos azp 14.418 s (p + q sen ux)” 14.419 s psenax+qcosax cosax) 1 = aq(n - l)(p + q cos ax)“ - ’ = - 1 aq(n - l)(p + q sen ~2x)~- ’ cos ox dz dx = 1 ax + tac (qIp) - In t an 2 ( am2 2 14.420 s dx = p sen czx + q cos ax + r p+~p2+q2-~++r-q)tan(ax/2) Si r2 = p2 •k q* véase 14.422. Si r = q véase 14.421. dz q = s p sen ax + q(l + co8 ax) + ptany ax + tan- * 14.422 (qlp) 2 s S S > p - dm + (r - q) tan (=x/2) ,n 1 d+ - p2 - q* ( 1 a\ lp2+ q2- 19 14.421 p + (r - q) tan (=x/2) tan-’ lqfP=p=p 14.423zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 14.424 dx p2 sen* ox - q* cos az = Am In 2apq P tan =x - 9 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA p t an ax + q > sen”-’ ax cos”+’ a(m + n) 14.425 s sen" (IX COS”U X dx = ax senm+l ax co~~-~ax a(m + n) m - l sew-2 +m+ ?l s + n_ - l_ m+?Z S ax cos~ax dx sen” az cos”-* ax dx INTEGRALES INDEFINIDAS 80 m - l senm-1 az n - l s s dz a(n - 1) cos”- az m -n+2 senm + 1 ax E dx 14.426 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcba J ’ sdx = n-1 s a(n - 1) coe-1 ax m - l -Sell”-‘aX +m-n s sdx a(m - n) co@-’ ax m - lm dz n - l s _ m -n+2 s n - l s - cosm-1 az a(n - 1) sen”-’ ax =-&-,jx 14.427 - = cosm+lax a(n - 1) senn-’ ax s cosm-1 ax I a(m - n) sen”-’ ax m - l cofP-2 ax +-dx m - n s sen* ax m+n-2 1 14.428 14.429 s t a na x dx -~lneos&x = tanZa& 14.430 = 14.431 s s 14.433 s s s 14.437 s 14.438 F + k In COS ax (n + 1)a sec2 ax Gdx = ilntanax f In sen ax xt anaxdx $ = i!yE+!$+~+ { tanazx X ax + (a$ I 2’75’5 = xtan*axdx x tanas - = a dx s p + q tanax s s senme ax cos” ax = ‘, In sec ax = pz p2 + *2 tannaxdx = . . . + 22”(22” - 1p&zxp+ (2n+ l)! t . . . + 22”(22”- WM~W-' + . . . (2n - 1)(2n) ! + -$j In cos az - $ + &In(qsenax+pcosax) \ 14.439 m - l tann+laz ax sec* ox dx = ~ dz= s tan ax 14.435 14.436 tans ax dx = tan” + tan-_ a s 14.434 dx a(n - 1) see-* ox coe- ax + n - l s senm ax COP-~ ax dx = COS” ax s senm OX zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA m+n-2 dx -1 a(m - 1) senm-1 ax cosn-1 ax 14.432 dz tan”n -’ ax ( s tann- ax dx 1 + ... INTEGRALES INDEFINIDAS 1 4 .4 4 0 1 4 .4 4 1 1 4 .4 4 2 1 4 .4 4 3 1 4 .4 4 4 14.445 1 4 .4 4 6 1 4 .4 4 7 1 4 .4 4 8 1 4 .4 4 9 1 4 .4 5 0 14.451 1 4 .4 5 2 1 4 .4 5 3 1 4 .4 5 4 cot ax dx = $ In sen ax s s ax - x cot2 ax d x = - cot a s cotz ax - 1 In sen ax cota ax dx = - 2a a S S S S S S S S cotnax csc2ax d = -c c = cot ax -ilncos xcotaxdx z$ E& S S S S S ar 1 ax - 9 bd5 - . . . - 2ZnB,(ax)zn+ (da - 226 ãz { (2n+l)! = -A& -ydg- zcotzaxdz dx p+qcotaz - *** - ... A p2+q2 - Qln(psenax+qcosax) ab2 + q2) = S ax cotnax dx = - cotn-l ~ (n - l)a dln(secax+ sec ax dz = sec2ax . . . - 22nB,(az)2n-1 (2n-1)(2n)! * x cotaz - + $ In sen ax - g a = cot”-2 ax dx t a n a x ) = ilntan = tanax a dx sec ax tan ax 2a seca ax dx = 1 + g In (sec ax + tan ax) ax sec” ax tan ax dx = se@ na dx ax -=sen sec ax a S xsecaxdx 1 4 .4 5 7 ydx S -$lncotax = 1 4 .4 5 6 S =coP+ -* ax(n + 1)a x sdx 1 4 .4 5 5 1 4 .4 5 8 81 xsec2axdx * .* + = = lnx + ~ + !% ?$ + = itanax + -&lncosax E”(uz)2”+2 (2n + 2)(2n)! + ‘. . E,,(ax)l* 61(ax)s -+...+-+... 4320 2n(2n) ! INTEGRALES INDEFINIDAS 82 14.459 dx = s q + p sec ax P secnm2 ax tan 02 +n - 2 a(n - 1) n - l s aec”ax d x = 14.460 s 14.461 14.462 14.463 14.464 14.465 14.466 14.467 14.468 14.469 14.470 14.471 14.472 14.473 14.474 14.47s s s cscaxdx ‘= csczazdx = dx csc3az i In (csc ax - cot ax) = aeP-2 az dx +any -cot axa - csc =y t =x + & In bn y = szyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIH s dx s cac ox s S S co * axa = - xcscaxdx = 1 S 7(a2)5 1800 (=d3 ax+ 18+ - + ;;;i { y& = xeac2axdx = sen-l z dx a = + - l)B” (az)2~+1 2(2*n-1 dx <I S p + qsenax E-E Q - 2(221-l - l)B,(axp-1 (2n - 1)(2x) ! [Véase 14.3601 CSP-~ ax cot ax +n- 2 a(n - 1) n - l S cm?‘-* ax dx x sen-l I + v u- - =- S S S 22 ti sen-’ i dx = - sen-’ 3 sen-' (xla) dx = sen- 1 (xla) dx = -sen-1 x S $ + IX 0 + 2a2) v%CG 9 1 * 3(xla)5 ;+ H+ - + . 2.4.5.6 X ,(-nI’-) (cc2 2 - 255 1-3~6(xla)’ 2- 4.6.7.7 .+@T3 @ia) - ;1n x + +... (2n+ l)! x- cot ax- + -$ In sen ax a = cac*axdx ... -&+?f+s+...+ dx = S q + p cse ax S _ CSC” ax na cac” a-x cot ax dz = 2 14.476 dx Q s p + q cosax E-P 2\/ã2-22 sen-1 z 0 + . . . > +... IN TE G RALE S cos-‘zdz 14.477 x,0,-1; = IN D E FIN ID AS 83 - dD a szyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLK cos-1: 14.479 14.480 j. Aos-1: Scos-;(x/a) dz = $ co.+; - x7 a-x - ~ 4 (x2 + 2az) &CZ 9 dx = ; Inx _ s sen-~(x'Q) [Véase & 14.4’143 14.481 14482 14.483 s tan-l!?& a 14.484 Sxtan-ladx 14.485 j- &.an-‘Edz 14.486 14.487 14.488 s xtan-lz - ~In(x2+a2) a = tan-'(xla)dx x +(x2+a2)tan-l% = (da)' . . . (daY (x/aF = ;--32+---+ 62 s uA-* t dx = z cot-1 f + % In (z2 + a2) + y s cot-1 (da) dx = i lnx s 14.493 72 s 14.491 14.492 7 = 14.489 j z Cd- 1 Edx = #z2+a2)cot-1~ 14.490 - s s 2 - s tan-;(x’a’ dx [ V éa s e 14.466] cote1 (da) dx = _ cot-l (da) $9 x sec-‘zdz a 14.494 zsec-‘zdz s a 14.495 x2sec-l!?!dz x = sec -1: zsec-l~ - aln(z+\/22-<E O<eec-‘~<; + aln(Z+\/ZIZ--ãi) E < sec-lf < 77 = 0 < s a sec-’ E c ; = < sec-'3 < w 84 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA INT EGRALES IhfDEFINrDAS 1 4 .4 9 6 1 4 .4 9 7 1 4 .4 9 0 1 4 .4 9 9 sec-’ (da) s s s S dz x = ;1nz + ; -1 _ sec - ’ (da) ;qz sec-’ (da) x2 dx x = 1 _ sec - ’ (da) x xcsc-1; csc-‘Edz a 9 0 < csc-1: < ; + aln(z +F) = -; z c sc -lE - aI n(x +J F z ) x csc-’ z dz a = 2722 csc-1 f + 22 2 csc-1 z - a r-y! x2-b < e se -l: < 0 0 < a -1 E < ; a& -;<c sc -l;<o 2 1 0 < c sc -‘2 < 5 1 4 .5 0 0 s a x2 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFED csc-’ f? dz = a -5 < csc-1: < 0 14.501 1 4 .5 0 2 1 4 .5 0 3 1 4 .5 0 4 14.505 r4;506 * * 2*4*6.7.7 + 1 3 5wY . _ csc-’ (da) -d+ : = csc-‘(xla) + $2 1- x s csc-’ (da ) dx S xm s X” cos-’ a dx c = S xm tan-1 % dq ,x = s 22 se n-1 s < csc-1: < 0 S xmcot-'Zdx a xVfl+l m + l cos-’ t + x” sec-’ z dz, a zW2+1 -0 % b: sec-‘(xla) m+1 kz x” csc-’ i? dz: 8% a Szyxwvutsrqponmlkji S 29 + a2 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFED S S &dx = xm+' S -5 $.m+1 xWl+l X 1~ z dx a t=- sen-’ ; - 1 dDdX mY m+1 xm+' 14.508 0 < csc-1 % < 5 x xm+l 1 4 .5 0 7 + . .. > = I xm+l 1 a -fn+1 sec-' a +m + 1 m+1 xm dx ___ d=~ xm dx ~ VG=2 xm dz ~ csc'(x/a) -!?L+fr’fl s ~~ mi-1 CSC-1 m+l _xm _dz _ m+l s dn (ola) _-LL- 0 < sec-‘% <; g < sec- % < T 0 < csc-‘$ < ; -;<csc-‘;<o 85 IN TE G RALE S IN D E FIN ID AS 1 4 .5 0 9 1 4 .5 1 0 14.511 1 4 .5 1 2 eczl & = !c a s J zeLu& s S x2+ = & !z x -1 a ( a> = f ( z”# & a2 x 2 -& + 2 a > e ?= --n = a s a x”-‘ea= dz e= RX”-1 =aY- - + a ( a 1 4 .5 1 3 1 4 .5 1 4 1 4 .5 1 5 1 4 .5 1 6 $dx = lnx+s+$$;+s si n = entero positivo + . . . s zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSR s s $dx = dx ___ P -* (n - l)xl-’ dx s (P+qe)* S pem+ s s dx z - $p In (p + qe”) = + qea +- - & P E+ = pe 1 - 5 In (p + qea) apb + w? 1 - 1 4 .5 1 7 n(n - l)%w 2 - . . . (- l)%! az an tan-l a\/Pq dx qe- = = 1 - In W Gf = fl(asen bx - b cos bx) a2 + b2 bz dx = fl(a cos bz + b sen bx) a2 + b’ 1 4 .5 1 8 S e=senbl:dx 1 4 .5 1 9 S col cos 1 4 .5 2 0 S xe’= sen bz dz = xe*(a sen bx - b cos bx) _ e”{(a2 - bz) sen bx - 2ab cos bx} (a* + b2)2 a2 + b2 14.521 S oe= eos bx dx = xe=(a cos bx + b sen bx) _ a2 + bz 1 4 .5 2 2 S elnxdx ewInx a 1 4 .5 2 3 S ea senn bz & 1 4 .5 2 4 S e== cos”bx = = dx = - 1a e”((a2 - b*) cm bx + 2ab sen bx} (a2 + b2)2 S ‘ f dx n(n - l)b2 - ng (a~sen bx - nb cos bx) + ~ a2 f n2b2 e”,2c~“,;~~ S ,yz senn- bz & n(n - l)b2 (a cos bx + nb sen bx) + _ _ _ _ ea cos~-2 bx dz a2 + n2bz s INTEGRALES 86 14.525 s Inzdx = xlnz - x 1 4 .5 2 6 lxlnzdx = $(lnx-4) 14.527 xmlnxdx = 1 4 .5 2 8 1 4 .5 2 9 1 4 .5 3 0 14.531 1 4 .5 3 2 1 4 .5 3 3 ln* z dz [ S i m = -1 véase 14.528.] x ln2 z - 22 In x + 2 2 = lnntlx n+1 x [ S i I = -1 véase 14532.1 dx - = In ( l n x ) xln x = 1 4 .5 3 4 14.535 1 c lnx-m+1 ( s y& = +2x s ‘Z& = -iy-: s s edz s s L-dxz ss s INDEFINIDAS iv dx In x lnnzdz *nZz 2,2! I E3; +. . . . ln(lnz)+lnx+ = *n(*nx) + (n+l)*nx = x lnnz 1 4 . 5 3 6 j- 2mlrPxdx - A zm+llnnx m+1 = s + (m+2~)~‘+x + (m+1)31n3z 3*3! In’-’ x dz * m+l s xm ln*-l z dz si m = -1 véase 14.531. 1 4 .5 3 7 1 4 .5 3 8 1 4 .5 3 9 s s s 1 4 .5 4 0 s 14.541 s 14.542 s In (x* + al) dx = zln(x2+a*) - 2 x In (x2 - a*) dx = zln(z*-3) xm In (22 * 6) dx = + - 2 z x*+l ln(x*fa*) m+1 2atanp1z + - z-ka oln z-0 ( ) 2 m+1 s2 ax s e n h ax d x = cosh a xsenhaxdx z* senh ax dx x cosh ox - senh az a a* = = coshaz - $aenhaz yn+* -d z* &Z + **- INTEGRALES 14.543 = kW (axP ax+~f5+ * . = senh az --+a x s Fdx s +dx 14.544 .r 14.545 dz= s senh az ; In t a n h 7 14.546 zdx s senh az 1 2 14.547 s 14.548 14.549 .r = 14.550 s ax - 03 18 1 x senh* az dz + 705 1800 87 ... [Véase 14.565] _ ..‘ + 2(-l)“(W - l)B&z)*“+l (Zn + l)! + . . . s e n h az cosh az _ z za 2 senhz az dx = dz s senhs az INDEFINIDAS x senh 2az 4a = cosh - - l3a* 2ax - x2 - 4 - coth az- = a senh az senh pz dx senh (a + p)z = senh (a - p)z -zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUT 2(a - P) 2(a+p) Para a = “ p véase 14.547. 14.551 14.552 14.553 14.554 14.555 s s senh az sen pz dz s e n h az cospz = dz = dz a cosh az sen pz - p senh az cos pz a= + p2 a cosh az cos pz + p senh az sen pz a* 1 s p+qsenhax - = am2 dx s (p + q senh ~$2 = gea* In + p - m ( qea= + p + m) - q cosh az a(p2 + q*)(p + q senh az) tan- ’ 14.557 tanh az p 1 In dz In 1 = p + -tanhaz ( p - \/;32- q2 t a n h az) p + \/p2+9i t a n h az p2 - q2 senh* az szyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA ( p - dm t a n h az 2adFT2 s xmsenhax dz = senh” az dx = 14.559 P2 + 4* s p + q senh az = s p2 + q2 senh* az I 2apm 14.556 dz +p \/;fz_pz .,A2 dx + p2 senh az 2” s -dx = x”’ cosh cm _ m a s a senhn-1 az cosh az an - senh az (n-l)xn-l ~“‘-1 cosh QZ dz n-1 n s ?!?$ +a n - l s 14.560 ds s sen hn az = - cosh az a(n - 1) senh”-’ az 14.561 xdx ___ . r sen h% az = - x cosh ax a(n-l)senhn-‘ax - [Véase senh”-2 az dx & [Véase 14.5851 14.5871 n - 2dx n - l s senh”-* ax 1 - a*(n - l)(n - 2) senh”-2 az n - 2x dz n-l s senh”-* az INTEGRALES 88 14.562 14.563 s cosh QZ az dz = senh a z senh az - cosh az = ~ =2 xcoshaxdx . INDEFINIDAS a dz = - 22 cosh ax + 14.564 f x* c o s h a x 14.565 cosh ax (=xP + . . . -& = lnx+~+~ +xzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFED s 4*4! 6.6! Co$=X 14.566 dx = a2 coshax x s + a [Véase s 14.5431 dz 14.567 s cosh az 14.568 S 14.569 = xdz cosh ax 14.570 S 14.571 = dx s cosh2 az s xcoshzaxdx s 14.575 14.576 14.577 14.578 14.579 14.580 14.581 14.582 . . + (-1)“E,(ax)*“+2 (2n + 2)(2n) ! + . . .1 x senh 2ax cosh 2ax $+------4a 813 tanhax a cosh az cosh px dx cosh ax cos . 2 = px dz = senh (a - p)z = dz = cosh ax senpx 14.574 + t$+ ;+ senh ax cosh ax cosh2 ax d x = s 14.572 y 2b-P) + senh (a + p)z 2@ p cosh a2 + p2 + P) pz a senh az sen px - ax cos a senh ax eos pz ax sen px + p cosh a2 + p2 dz i tanhy s cosh ax + 1 = a S S S S S dx cosh ax - 1 = xdz coshax+l = x dx cosh ax - 1 = dz (cosh ax + 1)2 -+ coth y ‘2;tanh 7 - -$lncosh~ -%cotho;iz+ -$lnsenh~ = $tanhy - &tanhsF 1 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA UX 1 dx coth T - sã coth3 7 (cosh ux - 1)2 = 5 I Sp + q dx s (p + q cosh ax = dz cosh axP = q senh ax cz(q2 - p2)(p + q cosh ax) -P 92 - P* s dz p + q coshax INTEGRALES INDEFINIDAS 1 14.503 14.584 24Po=? dxzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSR s p* - q* cosh* ax =zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA -1 tan-, P tanhaz ! dx =pCti dF3 = s p* + q* cosh* ax 14.585 s x”‘coshux dx eosh” ax dx = 14.586 x”‘senhax = cos.Jym - n - l un +n s cosh ax (n-1)2”-’ dx = s XT-’ senh ax dz cosh’- 1 ax senh ax s 14.587 _ nq 4 s 4 + n2i s [Véase 14.5571 cosh”-2 ax dx edx [Véase 14.559] 14.588 dx s cosh” ax = senh ax a(n - 1) cosh”-l ax 14.589 x dx s cosh” ax = n - 2 XdX x senh ax a(ti- 1) cosh”- l ax + (n - l)(n - $2 coah”-* ax + n - l s cosh”-* ax 14.590 s 14.591 s 14.592 S 14.593 s senh* ax s e n h ax cosh ax dx = 24 senh px cosh qx dx = senh”+ 1 ax (n + 1)a [Si 7( = -1, v&me 14.615.) cosh” ax senh ax dx = cosh”+ 1 ax (n + 1)a [Si n = -1, véase 14X04.] ax cosh* s 14.595 14.596 14.597 14.598 dx s senh* ax cosh ax senhrlax dx = 32a dx dx s sen h* ax cosh* ax 14.600 x - 8 ilntmhax 4 = -+&&=x = sechax 4 s senh ax cosh* ax = -2 - csch 4 + ilntanhy coth 24x 4 sdz = senh ax - $ tan-1 senh az 4 edx = cosh ax + Llntanb4 2 4 s s 14.601 az dx = s senh ax cosh ax 14.599 cosh (p + q)z + cosh (p - q)x fL(P - d 2(P + d = senh” ax cosh ax dx senh* 14.594 dx cosh”-* ax dx s cosh ax (1 + senh ax) 90 14.602 s 14.603 14.604 s INTEGRALES INDEFINIDAS tanh* s dz = -&Intanhy s s s s - + 1) 1 2a(cosh az - 1) = ax - tanhz 2a tanh” + 1 az (n + 1)a z d In sen h az (-l)“- 12y2sn - l)B,(az)s”+ 1 + . . . x t a n h a x d z 1 = (ax)3 - - - @g+?k& . . . a2 { 3 (Zn + 1) ! xtanhsazdz 14.611 s s 1 2a(coshaz + tanhax a sechs ax dx = ilntanh a tanh dz= s tanh w 14.610 z dz = tanhnaz sechsax d x 14.607 14.608 a z tanhs a z dz = ilncoshaz 14.606 14.613 $ntanh~ zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA dx = i In cosh ax tanhaz 14.605 14.612 = senh ax (cosh ax - 1) s 14.609 dz senh az (cosh ax + 1) = x2 x tanh ax --p + -$ In cosh ax 2 a tanh az dx = ax _ (az)’ + 2(a2)5 - . . . (-1)“-‘2”(2s” - l)B,(ax)sn-’ z 9 75 (2% - 1)(2n) ! dx s p+qtanhaz = tanh” a z dx = 14.614 s coth ax dx = 14.615 s 14.616 s 14.617 s s - tanhn-1 ax + a(n - 1) dx cothsax dx = = coths az iln senhax - 2a cschs az dx = -coth” + 1 az (n + 1)a S = 14.620 -!!?L= s coth 02 a In .$sh az -alncothax (q senh ax i- p cosh az) tanhne2 az dx z cothax a 14.619 sdz S d In senh az cothsax coth” a z 14.618 PX - A In PZ - q2 NP2 - PZ) + . . . INTEGRALES INDEFINIDAS 14.621 1 4 .6 2 2 1 4 .6 2 3 1 4 .6 2 4 1 4 .6 2 5 1 4 .6 2 6 1 4 .6 2 7 1 4 .6 2 8 1 4 .6 2 9 s s x coth az dz 1 2 = (W3 bd5 ax+g-225+ Fdx = -$ + $ d% $ + ... dz PS - A s p + q cothaz = p2 - q2 a(P2 - q2) S S S S S 1 4 .6 3 0 coth” az dz = - coth”-1 az a(n - 1) sechaz dz = sechsaz 1 + . . . > x2 x coth az az dx = - - + $2 In sen h az 2 a x coths s s (-l)“-‘2*“B,(a@“+ (2n + l)! ... 91 dz + S (-1)“2*“B,(az)+ 1 (2n-1)(2n)! - + ..* In (p senh az + q cosh az) coth”-1 az dz t tan-1 f+ = tanhaz a sech az tanh as 1 + G tan-lsenhuz 2a sechs az dz = sechnaztsnhazdz sech” az na = - dx senhaz -= sech az a (-l)“E,(fm)*“+s (2n + 2)(2n) ! 14.631 +... 1 4 .6 3 2 1 4 .6 3 3 1 4 .6 3 4 1 4 .6 3 5 I d6 3 6 1 4 .6 3 7 1 4 .6 3 8 1 4 .6 3 9 S S S S S S s + !?& = dz = q+psechax sech” az dz = Gl(az)e , n x -~ + ~ -4320 dz E-P Q Q s p+qcoshaz + . . . (-l)“E,(az)s” 2n(2n) ! [Véase 14.5811 sech”-* az tanh az +n-2 sech”-* az dz a(n - 1) n-1 s csch az dx - ilntsnhy cschsaz coth az dx = - a cschsaz dz = csch”az coth az dz = _ csch az coth az - &Intanhy 2a _csch” az ?za + . . . INTEGRALES 92 14.646 AL= s csch az a cosh az x csch az dx 14.641 2(-1)92*“-1- l)B”(uz)**+ 7(ax)S 1 <r.-k$++ *** + 2 { 1800 (2n+ l)! = s 14.642 s 14.642 s 14.644 s 1 4 .6 4 6 zcschsazdz cschazdx x = +;+i%.!&+ cschnazdz s senh-’ 14.647 s = t dz = [Véase p+qsenhaz n - 2n - l s - csch”-* az coth az a(n - 1) > + . . . 14.5531 csch’-s ax zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSR dz z senh-’ f - m z7 z +a - 4 sen,,-lz = a senh-1 z dz = a -h-i WQ) dz = - 22) &Gs (202 29 3 senh-’ $ + - z (z/aP 1 4 .6 4 9 (-1)%2(22”-’ - l)B,(az)‘n(2n - 1)(2n)! . . . dx =2-P Q Q s z senh-1 f & 22 14.648 + . . . z coth az t +2 In senh az - = h s q+pcschaz 14.645 INDEFINIDAS ,1 2.3~3 9 ’ 3(z/a)S 2 .4 .5 .5 1*3*5(zla)’ + . . . 2 .4 .6 .7 .7 14 < = In2 (2z/a) -_ 2 s _ ln2 (-2z/a) 2 1 4 .6 5 0 14.651 senh;i(z/d s 14.652 s 14.653 14.654 dx = _ ~nh-~(zla) _ k In s s z cosh-1 (z/a) - d=, cosh-’ (z/a) > 0 z cosh-’ (z/u) + da, cosh-’ (z/a) C 0 cosh-’ 5 d z = a x cosh-1 f dz ~2 cosh-l ; da cosh-’ (zla) > 0 )(2 2 2 - d4) cosh-’ (zla) + &zd=, cosh-’ (zla) < 0 +z” cosh-’ (zla) - #zs + 2a2) \/;c”as, cosh-’ (zla) > 0 &z’ cosh-’ (zla) + 4(z2 + 2d) d=, cosh-’ (zla) < 0 = cosh-; (z/a) dz = s + si coah- (zla) > Ó, S S S S 22 f(2 2 2 - dJ) cosh-’ (z/u) - fzd=, = ‘, In2 (2zh) + 0 2*2*2 ” + 2 .4 -41*3(a/z)’ .4 + 2*4*6*6*6 S(a/zY 3. 1 + . . . 14.657 14.658 tanh-ltdz = ztanh-lidz tanh-1 t dz ztanh-1: = = 1 - si cosh-‘(z/a) < 0 cosh;;(zh) dx = _ coah-; <hl. r + In a+&G? 14.655zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA x 14.656 l zyxwvutsrqponmlkjihgfed + iln(as-22) 7 + +(P’- a2) tanh-1: $ + $ tsnh-1 z + 5 In (a* - z2) [- si cosh-’ (zla) > 0, + si cosh-1 (z/Q) < 0] INTEGRALES INDEFINIDAS 93 14.659 s 14.660 tan-h;: @la) dz = _ tanh-1 (zla) szyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 14.661 s coth-’ z dx 01 = zcoth-lz $ iIn(zs-a2) x coth-’ z dz = 7 + +(x2 - a2) coth-1 f &coth-lE& a = s !!$ + $ coth-1 z + f In (22 - ~2) coth-’ (zla) dz x = - s coth;;W=) = _ 14.662 s 14.663 14.664 14.665 & s 14.666 S 14.667 s 14.668 s 14.669 s 14.670 sech- 5 dr = 0 x sech- 5 dz a x sech- (xla) + a sen-L (z/a), sech-*(zla) > o x sech-* (z/a) - a sen-1 @la), sech-l(z/a) < 0 = &c2 sech- (z/a) - ,fadm, sech-‘(z/a) > 0 +x2 sech- (z/a) + &adn, sech-‘@la) < 0 -4 In (a/z) In (4a/2) sech-; (zla) dz = - -$-$$ - _1 _* 3(2/a)’ _ - . 2.4.4.4 . . ’ (da)2 + ~ 1 * 3Wa)4 + . . . 4 In (alz) In (4a/r) + 2.2.2 2.4.4.4 ’ csch-1 ã” dx = x esch- E 2 asenh-1 z a sech-l(z/a) sech-l(z/a) > o < 0 [+ si z > 0, - si 2 < O] a&GP x csch-1 z dz = 22’ cs&-l% 2 ~_ [+ si z > 0, - si z < 0] 0. a 2 1 * 3(z/a)’ - + . . . 3 In (da) In (4alz) + -l(zla)2 2.2.2 2.4.4.4 csch-i (da) dx = 3 In(-s/a) ln(-z/4a) - J$$ + !-Gk!Q -. -0. s 2.4.4.4 s 14.671 O<x<a -c<x<o (ah)3 - ~ 1 .3(a/z)5 + . . . -a f 2 2.3~3 2.4.6.5 14.672 s x"' senh-' z dx a = xm co&-1 = Id > = cosh-1 (z/a) > o 14.673 s 5 dz a cosh-1 (z/a) < 0 14.674 s 14.675 s x* tanh-1 z dx a xm = coth-15 dz = n S x2 S a2 - 22 5 ta,,h-1 z - v!?e mi-l Zm+l & a2 - m+l coth-’ z - --!%-a mi-l Zm+l dx p+* s sech-’ z + --&j- z sech-‘(zla) 14.676 xm sed-1 - dr a s 14.677 s x" csch- 1 z dx a = &7Lil mfis&lr - a r = a m+l x”’ dz s @Tg > sech-‘(z/a) 0 < 0 Zm+l - csch-‘z ? -%mC1 a [+ si x > 0, - si z < 01 Sea j(x) definida en el intervalo a 5 z 5 b. Divídase este intervalo en n partes iguales de longitud zyxwvutsrqponmlkj AZ = (b - a)/n. Entonces la integral definida de f(x) entre x = LI y x = b se define como b 15.1 j(x)dx sll = lim (f(a)Ax “‘Ea i- f(a+ Ax)Ax f f(a+ZAz)Az + ... + f(a + ( n - 1)Az)Az) El limite ciertamente existe si j(x) es casicontinua. entonces por el teorema fundamental del cálculo integral el valor de la integral anterior se Si fl4 = $dd, puede hallar empleando la fórmula b 15.2 j(x)dx sa = sll D bd. -gw)dx dx = g(x) = Ab) - da) (1 Si el intervalo es infinito o si j(x) tiene alguna singularidad en algún punto del intervalo, la integral definida es llamada integral impropia. Tales integrales pueden tratarse como las definidas mediante el empleo de adecuadas operaciones de limite. Por ejemplo, b 15.3 - j(x) dx sa = lim b-a s D f(x) dx m 15.4 s-0I j(x)dx b j(x) dx lim <I-+-m s = b-r- o b-c b 1 5 . 5 zyxwvutsrqponml si bes un punto singular f(x) dx = lim f(x) dx t-0 so s <1 b 15.6 f(x) dx = lim t-0 s sin es un punto singular f(x) dx O+C b 15.7 s wr: ‘:g(x)kh(x)k...)dx = a b b 15.8 15.9 sa ’ sa Sb f(x) da: ‘-t Sb g(s) dx ‘- s” h(x) dx I . . . (1 a a cf(x)dx = c j(x) dz = 0 s a donde c es una constante cualquiera f(x) dx b j(x)dx 15.10 = s cl 15.11 ' sa - sb j(x)dx = sa ca f(x) dx ‘f(x) d x + se b j(x) dx b 15.12 s f(Gdx = (b - 4 f(c) donde c se encuentra entre re de Lrowmn de! 1~11ur medio para integrales definidas y es válida siempre que f(r) sea continua en CI 5 z S b. 94 15.13 INTEGRALES !s J 95 donde c se encuentra entre a y bzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIH f(c) 1‘ g(r) ds fb) sC4 dx = DEFINIDAS 0 a La anterior es una forma general de 15.12 y es válida siempre que f(x) y p(x) sean continuas en a C x 5 b y que g(r) 2 0. En laS fórmulas siwientes el intervalo comprendido entre x = a y x = b se considera subdividido en n partes iguales por los puntos. C% = 20, Zl, 22, . ., X,-l, x, = 6 y sea YO = f(z,), y1 = f(z,), IIZ = f(~), . . ., l/n = f(s,), h = (b - aYn. Fórmula del rectángulo b 15.15 Fórmula 15.16 = 0%) dx sa sb del zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSR h(Y,+ Y,+ Yz+ ... +v,-1) trapecio f(z) dx = $y ,+2y ,+2y z+ ... +2y,-,+Y,) LL Fórmula de Simpson b f(z) 15.17 dz (también llamada fórmula de la parábola) para n par = f (yo + 4y , + 2y , + 4y , + . . . + 2y ,- , + 4y ,- 1 + YJ sa 15.19 co xp-‘dx = 1+ x s0 -z- 15.20 = zmds = s0 X” + a” - 15.21 15.22 so - O< p< l sen pn ’ lia~+l- ?t o<m+1<n n sen [(m + l)h] ’ sen ?7 x”’ dz 1+2zcos~+2* = senmri mB senB soa*= ' 15.23 ,,m& = $ s0 15.24 a xm(an - e)p dz 0 * 15.25 am+‘+“p r[(m + l)ln] r(p + 1) S zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA n!J((m + 1)ln + p + l] (-l)r-llia171+1-nrr[(m+ x”’ dz (X” + an)r = = 72 sin [(m + l)~ ln](r l)ln] - l)! 1’[(?n + l)/n - r + 11 ’ o< nt+ 1< nr INTEGRALES 96 DEFINIDAS Todas Ias letras se consideran positivas a no ser que se indique lo contrario. 7r 1 5 .2 6 0 m,n enterosy m#n sen mz sen nz zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCB dz = 7712 m,n enterQs y m = zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA s n 0 1 1 5 .2 7 0 CCIS mx cos m dz s0 m, n e n t e r o s y m # n = i rf2 m,n e n t e r o s y m = 12 Ir 1 5 .2 8 senmxcosnxdz s0 nt2 1 5 .2 9 s0 = coî2x s0 HI2 sen2”‘z s0 dz s0 s0 al2 1 5 .3 2 s0 r/2 s&“‘+‘z dz = sdp-‘2 co@-12 1 5 .3 3 1 5 .3 4 s0 dx uf2 s?% t!f!d~ x = “ se” pxcosqx x s0 p=o p < 0 = 1 5 .3 6 1 5 .3 7 0 22 1 5 .4 0 = cos qx dx - cospx- cosqxdx so o<p<q nl4 p = q > 0 22 Ca COSrnX 2 +a x m=1,2,... <p s q 15.42 - = ,,, 0 dz = = - &c- ma d<l - P) 2 s0 Oc xsenmx - da 2 - - z(L+fd) o s 2n 15.43 s P s0 m=l,2,... 5’ 2.4~ 6 ... 2m l*3*5...2m+l’ 1 5 .4 1 s 0 1 5 .3 9 dz = al2 2 - cos Px ; 1 5 .3 8 2.4*6...2?n p>q>o EE! 2 22 *l-co~P~& s x 1.3.6...2m-lr { nql2 p 2 q > 0 = =sen2 PZ ,+ s0 = 0 rpl2 0 = x2 dx 2 0 “ se” pxse” qxdx s0 z 4 I-(P) w ~ UP + 9) = -a/2 i & = p > 0 1 15.35 co@+1 s0 m dx cos2”‘z = Ul2 1 5 .3 1 m,n enteros y m+n par -i 2ml(mz - n2) n/> sen2zdx Ir12 1 5 .3 0 m, 12 enteros y m + 12 impar 0 = 0 P a 15.44 s0 s0 dz a + b sen z = ie-ma &(l-e-ma) = &2 = $&r2 dz a+ bcosz lT/2 15.45 dx = dz a + b cos z = cos- (bla) @ =G IN TE G RALE S D E FIN ID AS 2r 15.46 2* zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA dx dx 2ra so (a + b senz)* = so dx l-2acosx+a2 = 2r 15.47 xsenzddz (a + b cos x)* = (a*- b*)a/* 2rr Ga2 O < a < l (da) In (1 + a)zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQ ja l C 1 = T In (1 + lla) cos mz dx l-2acosx+a* 15.49 s lr o 15.50 $msenaz~dz 15.52 s0 Ial > 1 ti < 1, m = 0 , 1,2, . . < = 6< ; 0 msenaxndz s0 = m aa l-a*’ = r cosaz* dx 0 15.51 --&l’(lln) = sen&, Oo coa a2" dx = - - & T(lh) cos & > n>l n>l 15.53 15.54 ?%?+ = -~& = 2Iyp) s0 15.56 15.57 O<p<l 2r(p) se: (pr/2) ’ s0 15.55 O<p<l CL (pr/2) ’ m sen ax* cos2bx dx = $ s0 coaax* coa 2bx dx = i S wzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 0 15.58 S 0 "eddr ti 15.59 S 15.60 S0 15.61 S S =+Qtanx x nI2 15.62 = 3r s 0 0 - = z 2 - dx = ; 1 + tanmx 7712 & 0 15.63 15.64 S 1 tan-Ix ,jx x 0 = &-$+&-f+... S x dx = 5ln2 ll-cosxdx S _ = coa2 x S - dx x ’ %i!? 0 15.65 15.66 15.67 97zyxw sjI;x y-CO82 )', -g ** tan-1 px - tan-l qx dx x = = y y = 5 In $ INTEGRALES 98 DEFINIDAS 15.68 dz = -.%* e-‘1=cosbz a2 + b2 szyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 0 15.69 S m e-02 senbz b = a= + b2 dz 0 15.70 * e-“‘y bz dz = s0 15.71 *e-or;e-b=dx zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPON tan-1 i = 1,: s0 15.72 s ll 15.73 Za e-‘=* CDS s0 15.74 cc bz dz = ,& e-(az’+bz+c) = s cl donde fcer (p) = z\/;; pm s e - 2 dx a 15.75 e-kd+br+c) & a zne--=dx 15.76 = s 0 15.77 = s-m S ca ~me-ar'& lyn 4 1) &l+t r[(m + 1)/2] = 2a’m + 1)/2 0 Cuando n es par esta 108.109y 114.1151. 15.81 S S OD ll 15.82 -1 12 xdz -e= -t 1 = --$&dz última suma se - $+$-.L+ S Oo e2nL. senmx serie puede encontrarse dz = ;coth; - & 0 15.85 - p-z2-e-= S 0 . . . = números de Bernoulli [véanse páginas u= 12 r(n+l) = Ll suma de esta última nas 108.109y 114-1151. 15.83 puede hallar con ayuda de los dz = 47 dz = x y para ciertos valores enteros positivos de n [véanse las pápi- INTEGRALES 100 15.107 j?n (a + b cosx)dx = lZ+\/aã- b2 2 ah 0 15.108 15.109 s0 s0 = In (~9 - 2ab cos z + b*) dz all 8 In (1 + tan 2) dz Véase - dx s0 15.114 15.115 = 2rlna, aZb>O 2~ In b, b èa > 0 i In 2 15.102. - senax 15.112 15.113 además = DEFINIDAS $tanhg = = ê0802 dx = $ sechE so cosh bx "zdz = - z”dx s0 senh az = so senhaz u* 4a2 La suma de esta última serie puede hallarse si n es entero positivo e impar [véase la página 108]. 15.116 “senhaz& s0 ebz + 1 15.117 s0 OD senh IZZ dz eb= - 1 = Zcse- _ 1 2b b 2a 1 G-$cot% = m ffax) i f(") dx 15.118 = {f(O) -f(a)} In $ s0 Esta última es llamada integral de Frullani la cual es válida si f(x) es continua y si 51 15.119 ‘&dzl s0 * 15.120 s4 -0 1 1 5+3+3j+**. (a+z)m- l(a- z)“- 1dz = (2o)‘+&?&$ Q fcx) - fcm) & converge. x l-(n) 1 6 .1 sIl = <o p-le-t dt 1 6 .2 lyn + 1) = ?cIqn) 16.3 r(n+l) = n! n>O s i n=0,1,2,... d o n d e O!=l Cuando R < 0 la función gamma puede ser definida con ayuda de 16.2, por ejemplo, r(n + 1) r(n) = 12 1 6 . 4 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Fig. 16-1 16.5 1 6 .6 16.7 r(+> r(m++) 1.(-m+@ = = = \/x . . - 1) fiT 1.3* 5 (2m 2m m = 1,2,3, . (-lp2mfi 1 - 3 - 5 . . (2m - 1 ) m = 1,2,3, . . . 101 LA 102 FUNCION l-(p) 16.8 Iyl- zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPO p) = T sen pa 221-l I-(z) r(z + 16.9 GAMMA g> = \/ñIy22) Esta última se llama fórmula de duplicación. 16.10 r(,,,(,+~)r(z+'~)...r(z+~) = mH-m=(2x)(m-1)'2r(mz) que queda reducida a la fórmula 16.9 cuando m = 2. r(z+l) 16.11 1.2.3 ... k lim k-.m (z+l)(z+2) ... (z+k) k’ = 1 ro= 16.12 zewjJ(l+~)e-~'"} La anterior es la manera de representar la función gamma corno producto infinito. constante de Euler. P(l) 16.13 = s e e-zlnzds = La constante y es la -y 0 16.14 z = -y + (+-;) + (;-&) r(z+l) = 1 &oze- z -I Esta es la llamada serieasintótica + 1.1 + (+& + ..' + & + & - -139 51.840x3 + . . . > de Stirling. Si en 16.15 se hace x = n entero y positivo, entonces la fórmula de Stirling da una apr”ximación cuando n es suficientemente grande [p. ej. n > lo]. 16.16 7&! - útil para n ! &nnne-m donde - se emplea para indica1 que la razón entre los términos a ambos lados se aproxima a 1 a medida que ~t + -. 16.17 1 1 7 .1 zyxwvutsrqponmlkjihgfe B(m,n) = zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONM F-1 (1- t)“-1 dt m>O, x>O s 0 17.2 B(m,n) = w Mediante el empleo de 16.4, página 101, se puede modificar la definición de B(m, valores m < 0, n < 0. 17.3 B(m,n) = B ( n , m ) 1 7 .4 B(m,n) = 17.5 B(m,n) = 17.6 B(m,n) n12 = 2 s0 m So _ senZm-l’v COS*~-~ e de p-1 (l+ tp+n dt ~R(T + l)m *’ p-1 (l- p-1 0 ina (7 + tp+n dt n) para incluir también los Separación 1 8 .1 flW BI(Y) de dx + variables foC4 odu) du = 18.2 Ecuación lineal de primer orden 18.3 Ekuación 0 de Bernoulli yeCl-n) IPdz = ( 1 - n ) 5 donde v = yl-n. lny 18.4 jP&dx + c Si n = 1, la solución es = s (Q-P)dz + c Ecuación exactazyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA M(x, g) dx + N(x, g) dv = 0 d o n d e aMIay = aNJaz. 18.5 Qe(‘-“1 JMa.+J(N-$JMaz)dy = E donde& indica que la integración debe realizarse con respecto a x conservando a y constante. Ecuación homogénea 53 dz = F2! 0x In2 donde v = gfz. = x+c s F(v) - v Si F(v) = v, la solución es y = cz ECUACIONES DIFERENCIALES BASICAS Y SUS 105 SOLUCIONES 18.6 gF(zy)dx + zG(zy) lnz dy = 0 = donde v = zy. 18.7 Ecuación lineal homogénea de segundo orden s u(G;;~?(u)) Si G(v) = F(v), + ’ lasolución es zy = c. Sean m,, m2 las raíces de m2 + am + b = 0. Entonces ha) 3 casos. Caso 1. $+a$+by = %t, nr, reales y distintas: g = clemlz + cpemfl 0 Caso 2. ml, m2 reales e iguales: o, 6 son constantes reales. y = Caso 3. mi=p+qi, c,emG + cflemt= m,=p-qi: g = em(cl cos qz + e2 sen qz) donde p = -42, q = dbq. 18.8 Ecuación lineal no homogbnea de segundo orden $$+ag+ by = Hay 3 casos que corresponden a los de 18.7. R(z) a, b son constantes reales. + xem+ s e-m+ R(z) dz - @W s ze-‘12 R(z) dz Caso 3. g = em(q coa qz + 02 sen 92) +ep+sen 9 qz e-p= R(z) cos qz dx s - ev= cos qze-m R(z) sen qz dz s 9 18.9 Ecuación de Euler o de Cauchy Haciendo z = et, la ecuación se convierte en el du z~d22+azdz+by = S(z) $f + (,-l)$f + by = S(d) y entonces puede resolverse como se indica en 18.7 y 18.8. ECUACIONES DIFERENCIALES BASICAS Y SUS SOLUCIONES 106 1 0 .1 0 Ecuación de Bessel @ä + z$ + (xw-slqy Gd;5 Y = ClJ,(X2) = 0 . Véanse I 1 8 .1 1 Ecuación transformada de Bessel 10.12 Ecuación de Lepndrez (l-232 - 2z$ + n(n+l)y = las páginas + c,Y,(z) 136-137. I 0 Y = , CIP,@) + Véanse las páginas 146-148. %!Q~(Z) 1 9 .1 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA u -k (a+d) + (a+2d) + **+ {Cr + ( n - l)d} = &8(2a + (n - l)d} = +l(a + I) donde 1 = a + (n - 1)d es el último thmino. Los siguientes son algunos cs808 especiales 1 9 .2 1+ 2+ 3+ 1 9 .2 1+ 3+ 6+ .**+ (2n-1) 19.4 o+ ar+ a+ + ar’+ *** +r -*.+ 0+ -l = + (n+ l) = = n* + .f$J = a - Tl l - r donde Z = ur”-t es el último término y r # 1. S i - 1 < r < 1 , e nt o nc e s 19.5 Y + ar + ar* + ar’ + . . * = 2 l - r 19.6 a + (ú+ d)r + (a+Bd)fi + *-* + {a+ (n-l)d)*-1 = F + rd{l - nrr-1 + (n - l)V} (1 - r)s do nde r Z 1 . Si - 1 < zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA r < 1 , e nt o nc e s 1 9 .7 1 9 .8 a 1p + 2p + 3p + (a+d)r + *. . + no = + (0+2d)rZ + --- = & ;y; -+ 1;; B2P(P ++ - ; 2w-2 44;0-1 + donde el último thrmino de la serie contiene n o d según que números de Bernoulli [véase la página 1141. + & ji . . . p sea par o impar. Las letras Bk denotan los S E R I E S DE C O N S T A N T E S 108 A continuación se presentan algunos casos especiaks 1+2+3+...+n = !d!?$Ll 1 9 . 9 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPO 1 9 .1 0 12 + 33 + 3 2 + . . . + ,‘d = n(n+ 1 9 .1 1 13 + 25 + 38 + - - * + ns = y 2 = 1 9 .1 2 14 + 24 + 34 + . . . + Si S, = 1“ +2k+Sk+ + . . . + 1 9 .1 5 1 -++p+;-... = I -$ + + -$ , + & . . . 1 9 .1 7 1 1 9 .1 6 $ i+ + L+ & -;+ ;d + $ + 1 + s %i = = **- 1 K 55+$1n2 = -... = l’i+ $ + $ + $ + -1 2 -... $ + $ + -$ -+ $ + + (“ ;‘ >sk = (n+l)k+‘ - (n+l) . . . E ln2 1 -a + ;-;+ ;- 1 9 .2 0 r\/z &In(l+fi) -. -+ 4 os9 + 2 = $ + --- re =5 z $ 1 9 .2 2 + -& + $ -$ + . . . 19.22 $ -& + + -$ + 1 9 .2 4 $ - -$ + $ - ; + . -. = glrs 1 9 .2 5 $ + y+ 6 i+ ?i+ -- . d- g 1 9 .2 1 r = . 6 . 7,,r =720 30.240 19.26 1 9 .2 7 +& +$ ++$ + .p$ + ... &+ 1 9 .2 8 111=z 8 = = $ -+ ~ -$ + -. . = s , a + p -+ . . . 1 9 .2 0 +3 + 1 9 .a +3 1 9 .2 2 & + & -+ & j+ & + + &+ f g$ 1 9 .2 9 &b + *** +n)* .-- +nk donde k y n son enteros positivos, entonces 1 9 .1 4 1 9 .1 9 (1+2+3+ ,4 = n(n+ 1 )(2 n+ ~ ~ (3 n* + 3 ~ -1 ) 1 9 .1 2 (“ + + (“ p’>S% 19.16 1 ;2 * + 1 1 = 3& 1 6i &+&+... = y &+&+... = ; *** = G-8 7 SERIES 19.33 2 2 .3 2 .4 2 1-A+&a 19.25 du =ua-’ 1 so l+d 22p- &+$+&+&+... = 19.27 &-&+$-$+- 1938 & - J- + -L. - -+... 1 (22~- 1 l)G’B (2P) ! P tp+‘E 22p + 3(2p) ! = 72p+1 52p+1 ‘zzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA + cos<l+ cos2a + se* + cosna = se”(n++)a 1 9 . 2 9 2 sen(d2) seno+sen2a+senih+ 1 + rco(la 19.41 1 9 . 4 2 19.44 P P 32~+1 19.42 = 1,,2pBp (2P) ! (22~ -l)@B 2(2P)! 19.26 19.40 109 3 2 .4 2 .6 2 1 -+... a+3d a + 2d CONSTANTES 1 1=149 39zyxwvutsrqponmlkjih 16 -+-+-+... 1 2 .2 2 .3 2 19.24 DE rsena + ss* +sennol sen [*(Tl + l)]a se” fna se"(d2) = + *SOS& + ~COSL + r’sen& + 9sen3a -*- = 1-2~ ~ o”‘+ t,, + *** = ,-‘,é,s”,“~~, 1 + veora + rtcor2a + *** + flcoLltI& rseno + +dse”2a + *** + PSf?“na = IrI < 1 b-l < 1 r”+2C0sna-r~+lcos(n+l)Q-rcora+1 1 - 2rcosa + t-2 rsena-r~+~sen(n+l)a+Ft2senna l-2rcosu+rZ = 1 + u OY4 - F’(O)) - & (F”‘(n) - F”‘(O)} (F<““)(n) + & {F(‘)(n) - F(“)(O)) - b. . . + . . . (- 1 )x- l & {F(~P-~>(,Q &*~=F(z) dz - FCPP- l>(O)} - F”“‘(0)) + . . . f(z) = f(=) + p(<r)(=-B) + fw(Pt-4)) + * * * + f(~ -l~ ~ ‘l,l;~ ~ n-’ + R, 2 0 . 1 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA donde Ra,, el resto despu& de los n primeros términos, se puede hallar por cualquiera de las siguientes fórmulas: 2 0 .2 r e s t o 20.5 re st o de Cauchy d e Lngrange R,, = f’“‘(f~ -o)’ *, = f’“‘(W - EP-VZ (n-l)! - 41 El valor de 6,que est.4 comprendido entre o y x, puede ser diferente en las dos fórmulas. Este resultado es valido siempre que f(x) tenga derivadas continuas de orden n como mínimo. Si el lim R, = 0, se obtiene una serie infinita que es llamada serie de Taylor de f(x) en torno a x = o. En el “-0 caso en que o = 0 se la suele llamar serie de Machrin. Estas series, que a menudo se llaman series de potencias, son generalmente convergentes para todos los valores de x comprendidos dentro de cierto intervalo llamado intervalo de convergencia y son divergentes para todos los valores de x que quedan por fuera de dicho intervalo. Son casos espaciales 42 + 202 + z* + 2)s = 43 + 34% + saz + 29 + 44 + 44% + 64W 20.5 (4 2 0 .4 (4 2 0 .7 (4 20.0 (1+2)-l = l-z+ z¶-d+ &- . . . 20.9 (1+ 2)-t = 2 0 . 1 0 2 0 . 1 1 + x)4 2)’ = = 1 - 22 + (1+ 2)-s = (1+2)-l’” 622 - lOa9 + 16~4 2 0 . 1 2 (l+ z)-“5 = = 1 = 1 + -l< z< l - .** 1 = l-22 + E& - Kti (l+z)“e (l+z)“s -l< z< l 32’ - 42s + 6zr - * *‘* 1 - 32 + 2 0 . 1 2 20.14 + 4423 + x4 + *** + ;z - + -@ + + &zs - *** 1 - ;z + 52 - Ka9 + *** ;z - & 22 + $& d - .-. -1< 2< 1 -l< zíl -1Czdl -l< zS l -l< zál SERIES DE T AYLOR 20.15 e* 20.16 az 20.17 = = z2 & t x t ~+~+" ' 1 erlna = ln(l+z) 20.20 Inz In = z 1 + zIna + -'o <x<- @$f In a)3 + (x --g- = z - $ + $ - $ + . . . 2 0 . 1 6 f I n le ( ) 20.19 = = r+f+g+“i’+... 2 { (++g sy +;(sy +...} z>o (*)+;(+y +g y )1 + xz + . . . ti 25 27 x-g+u-g+“’ --<iv<- 2 0 . 2 2 cos 2 = l-$+$-E!+... . . . --<x<o 20.24 cotx 2 0 . 2 6 20.26 esc 2922” = z +$ +~+% +...+ = 1 _ ; _ $ - g _ . . . _ 22n~~~-1 2 E,z2” +(2n)!+ - l)B,z” - 1 + . . . (2n) ! 14 < ; _ . . . 0 < IXI c r l+$+g+g$+..*zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDC 14 <; secx = x --<X <Q -l<z <l = tanz + *-. -l<z dl 2 0 . 2 1 senx 2 0 . 2 3 111 = Z+f+gg 3125 +iim+ *** + *** 2(22=-l - l)B,z2” -1 (2n) ! .+ . . . 0 < 121 < r 14 < 1 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVU 20.28 2 0 . 2 9 eos-1s = E - sen-lz tan-12 = 129 = a - 2 2 1.3 25 x+z3+E6+ ( ... > ti z5 27 x--+---+... 3 6 7 . - 1x1 < 1 [+ si 20.30 cot-12 = ntan-Ix 2 = l IL39 25 2 ( 2-3-+6-“’> pu+:-&+&-... 20.31 sec-‘22 = 20.32 csc-‘z = cos-‘ (l/z) sen-' = = 14 < 1 14 < 1 [p = 0 si z > 1, ‘ p = 1 si z < -11 2.323 +Lz 2.4*6d ; - ( :+2 .L+ . . . > L .+ . . 2*4.6& z è 1, - s i z d -11 14 ’ 1 14 ’ 1 -r<z<ao sen h z 20.33 - - o x < 2 0 . 3 4 cosh zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA z l)B”&--’ (-1)“ -122npn- 20.35 tanhx 2 0 . 3 6 = cothx x (2n) ! (-l)“ - 1p” Bn22n-1 (2?l) ! = 20.37 sechz 20.38 esehx 20.39 senh-‘2 = 20.41 tanh-1s = 20.42 coth-‘ z = (-lPE$” (2n)! = + . . . (2n) 14 <; 0 + ... (-l)n2(22n-’ L-t +! &-%+... x 15.120 . . . + <121 < w 14 < ; - l)B,Zzn-’ ! + . . . 0 < 121 < II 14 < 1 20.40 z +$+$+$+.**zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA14 i + <1 14 ’ 1 20.43zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA c”‘“I = 1 + x + $ - g - g + . . . -Q<X<Q 2 0 . 4 4 ec-+ = 22 x4 31r3 l-2+-g-y $? y +‘ ” e --<Z<’ ( 2 0 . 4 5 2o.46 6-L clsenz = 1+z + g+g+y +... = z+22+li$-$-if+ x3 x4 14 < ; . . . + 2nizsen;~~4)z”+ 2”‘2 cos (ndl) 2” + . . . Tl! 2 0 . 4 7 a= cos x = 1+x-j--6+“ ‘ + 2 0 . 4 8 ti 26 = Inlxl-$-----..*2835 180 20.49 Inlsenxl lnlcosxl 2 0 . 5 0 In ( t a n 21 2 0. 5 1 = -$ = In w = 22n-lBnz ” x - (l+*)S + + fe. (l+f+*)& + . . . 2’ “ - 1(22?¡ - l)B,& 0 < 1x1 < P + . . . n(2n) ! + 22” (2*n-1- l)B,z” - ... n(2n) ! -0<xc--ox<- n(2n) ! 17x8 - . . - g - g - 2520 22 7x4 62x6 121 + 3 + 90 + 2835 . . . + . , 1x1 c E 2 0 c 1x1 < ; 14 < 1 113 S E RIE S D E TAYLO R donde 20.54 clC =1 20.55 +, = -cs cfcI, = PC; - E,Q 20.54zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 20.50 f(z, v) = f(u, b) + (z - UV&, b) + (Y - Wyb, ‘4 + +, {(z - u)*f&, b) + 2(0 - a)(y - b)f,(a, b) + (y - b)zf,&, donde f=(a, b ), f,(a, b ),. . . denota n Los va lores de la s deriva da s pa rcia les con res pecto b)) + a x, y,. . .cuando * ** x = Q, y = b. Los números de Bernoulli B,, Et, B,, . . . se definen por las series 21.1 z 6=-l = B,z* l-;+-- 2! B.# B# 121 < 2r x+6!-“’zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Los números de Euler E,, Eu Es, . . . se definen por las series 2 1 .2 ldlz = E,z’ E& E# + . . . TT+II-51 l- 14 < ; Números de Bernoulli Números de Euler = = ll6 ll30 E1 BI Ea = Bl = 1142 ES = 61 BI = 1/30 E, = 1386 BS = E, = 50.521 BO = 691/2730 E6 = 2.702.766 B, = 716 E7 = 199.360.981 BS = 3617/610 EB = 19.391.512,145 Bs = 43.861/798 E, = B,, = 174.611/330 E,. = 370.371.188.237.525 B ,, = 854.513/138 E,, B II 5/66 = 236.364.09112730 = 1 BI 5 2.404.879.676.441 69.348.874.393.137.901 E,, = 16.514.534.163.557.086.905 111 = NUMEROS 213 2 1 .7 B,, (ez” )E.-l - (y B*-, + (2$B*-* - *.*(-1)” = trr = BL(~-l){(yl)E~-l - (";')8Ls + (2yl)E.-. - . . . W-L) B,, = #$ l+&+&+ ... { 21.9 B, = 2(24! (2"* - 1p > 1+&+&+ . . . -i 1 - &+&- . . . 21.10 Bm = t2sjyl!,,, { 2 1 .1 1 B, = = p 2 1 .1 2 115 zyx zyxw (~:l)~B~-~:l)~B,+(p*:l~~B,-...(-l)” -l(lr+l)~B~ 21.6 E. = 21.8 DE BERNOULLI Y DE EULER -$ --+-gLt+, 4, - ... > I n”(r & ñ Hay cantidades en fisica tales como la temperatura, el volumen y la rapidez que pueden especificarse por un número real. Tales cantidades son llamadas escalares. Otras cantidades tales como fuerza, velocidad y momentum, que exigen quedar completamente especificadas tanto en magnitud como en dirección, son llamadas uectores. Un vector se representa por medio de una flecha o sea, un segmento rectilíneo orientado. La magnitud del vector va expresada por la longitud de la flecha, empleando para ello alguna unidad apropiada. Un vector se denota por medio de una letra negrilla tal como A [Fig. 22-l]. La magnitud se denota por IA] o A. El punto inicial de la flecha se llama origen mientras que el punto final se denomina extremo. 1. Igualdad entre dos vectores. Dos vectores son iguales si tienen misma magnitud y dirección. Por ejemplo, en la Fig. 22-1, A = B. la A 2 . Multipllcaeión d e u n v e c t o r p o r u n e s c a l a r . S i m e s c u a l q u i e r n ú mero real (escalar), entonces mA es un vector cuya magnitud es ] m ] veces la magnitud de A y cuya dirección es la misma que u opuesta a la de A según que m > 0 o que m < 0. Si m = 0, entonces mA = 0, es llamado el oectorcero o nulo. 3. / B / Fig. ZI-1 Suma de vectores. La suma o resultante de A y B es un vector C = A + B que se construye haciendo coincidir el origen de B con el extremo de Ay uniendo luego el origen de A con el extremo de B [Fig. 22-2(b)]. Esta definición es equivalente a la regla del paralelogramo para la adición de vectores según se muestra en la Fig. 22-2(c). El vector A - B se define como A + (-B). T e,* (4 Fig. 22-2 116 F O R M U L A S D E ANALISIS 117 VECTORIAL Es evidente que esta definición se puede aplicar para sumar más de dos vectores. Así por ejemplo, en la Fig. 22-3 se indica la manera de hallar la suma E de los vectores A, B, C y D. 4. Vectores unitarios. Un uector unitario es un vector cuya magnitud es igual a la unidad. Si A es un vector, entonces a seria un vector unitario en la misma dirección de A si a = A/A donde A > 0 . Si A, B, C son vectores y m, n son escalares, entonces Ley conmutativa de la adición 22.1 A+B = B-I-A 2 2 .2 A+ 2 2 .3 m(nA) = 2 2 .4 (m+le)A = mA+nA Ley distributiva 2 2 .5 m(A+B) = mA+mB Ley distributiva (B+C) = (A+B)+ (mn)A = C Ley asociativa de la adición n(mA) Ley asociativa de la multiplicación escalar Un vector A se puede representar colocando su origen en el origen -0 de un sistema de coordenadas rectangulares. Si i, j, k representan vectores unitarios cuya dirección es la misma que la de los ejes positivos x, y, z respectivamente, entonces 2 2 .6 A = AJ+A2j+A& donde A,i, Aj, A& son los llamados uectores componentes de A en las tres direcciones i, j, k y A,, A,, A, son las llamadas componentes de A. 2 2 .7 A-B donde ees el bngulo formado por A y B. = ABcoss Fig. U-4 osesr FORMIJLAS D E ANALISIS VECTO R I AL 118 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Le y e s f undame nt al e o : A.B = B*A Ley conmutativa 2 2 . 0 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA A.(B+C) 2 2 .9 A* B+ A* C Ley distributiva A* B = A,B, + A,B, + A3B3 22.10 donde = A=A,i+Aj+A&, AxB 22.11 B= B,i+ Bd+ Bak. = ABsenru osrsr donde 0 es el ángulo formado entre Ay R y u es un vector unitario perpendicular al plano de A y B de tal manera que A, B, u forman un sistema dextrors» [los tres vectores A, B, u forman un sistema dextrorso si un descorchador de hélice enroscada hacia la derecha, al dar un giro menor de 180 de A hacia B, avanza en la dirección de II sefin se indica en la Fig. 22-5). S o n re s ul t ado s f undame nt al e s 2 2 .1 2 AX B i i Al As Al, / BI Ba Ba I = = (AA-M W 2 2 .1 2 Ax8 2 2 .1 4 AX (B+C) 22.15 IAXBI k + (As4 -4 Wj + (AA - AA)k = -BX A = AX B+ AX C área del paralelogramo cuyos lados son A y B = Al A2 4 = AlBOC + A@,C, + AJ3#Tz - ASBPCI - A,B,C, 4 A1BIC2 2 2 . 1 6 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDC A*(BX C ) = B, BS Ba Cl 22.17 lA*(Bx C)l = 22.18 AX(BXC) = 2 2 .1 9 (AXB)XC 2 2 . 2 0 (AXB)*(CXD) 22.21 = (AX B) X (C X D) G ca volumen del wralelepipedo B(A*C) B(A*C) = cuyos lados son A, B, C - C(A*B) - A(B*C) (A*C)(B*D) - (A*D)(B*C) = C{A* (B X D)} - D{A. (B X C)) = B(A.(CXD)} - A(B*(CxD)} FORMULAS DE ANALISIS La derivada de una función vectorial A(U) = A,(u)i VECTORIAL 119 + zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPO A,(u)j + A,(u)k de la variable escalar u se define así 22.22 dA du = A(u + Au) - A(u) lim dA,. = AU Au- d4. dA, ygl+dul+yjyk Las derivadas parciales de una función veeteriat AIx, 1, z) se definen de manera similar. Damos por entendido que todas las derivadas existen a menos que se especifique lo contrario. 22.23 g(~-B) 22.24 &AXB) = A-%+%-B = 22.25 $1~.(BXC)) = 2 2 . 2 6 2 .2 2 7 A.du AXjf+B g-(Bxc) + A-(%X c) + A-(13 x g) = A du A.du = 0 SilAl es constante. El operador nablo se define así 22.28 V = i&+j$+k& En las fórmulas que vienen a continuación vamos a suponer que U = Ci(x, Y B = Bk y, L) t i e n e n d e r i v a d a s p a r c i a l e s . 22.29 Gradiente de U = grad U = VU y, L), V = V(x, y, Z) A = A(x, y, 2) i&+ja+ka.$ U au > = = %!i+-j+gk au DI V ERGEN CI A 2 2 . 3 0 D i v e r g e n c i a de A = divA = V*A = *(A,i+Aj+A,k) i-&+j$+k: > = FORMLILAS D E ANALISIS V EC T O RIA L 120zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 22.31 = rot Rotor de A = VXA j k a. a a zãyã; AI AZ As = = ($-?)i+(!-$)j+(!!$-%%)k ~a~laciano d e U = V W = Va ( V U ) Laplaciano d e A 22.33 = X(A,i+Aj+A&) i 2 2 . 3 2 A = VZA 22.94 Operadorbi-armónicoaplicadoa = $$ + $f$ + 5 = 2 + $ + f$ U = V W = V 2(V W ) aw a22a9 aw + 2$$+ 2- =s 22.35 v(u+v) = PU + vv 22.36 V*(A+B) = 22.37 VX(A+B) = 22.38 V 22.39 V X (VA ) = 22.40 V*(AXB) = 22.41 Vx(AxB) = (B.V)A 22.42 V(A*B) = (B*V)A + (A*V)B + 22.43 VX(VU) = 0, o sea que el rotor del gradiente de Cl es cero. 22.44 V*(VXA) = 0, o sea que la divergencia del rotor de A 22.45 VX(VXA) V-A+ V-B VxA+VXB *(VA) zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA = (V U)*A + U(V*A) (VU) X A + U(V X B*(VXA)- = A) A.(VXB) - B(V.A) V(V*A)- VeA - (A.V)B + A(V.B) Bx(VxA)+ AX(VXB) es cero. FORMULAS Si A(u) = -$B(u), DE ANALISIS 121 VECTORIAL entonces la integral indefinida de A(u) es la siguiente 2 2 .4 5 s La integral definida de A(u) de A(u) du = B(u) + E e = vector constante t( = a a u = b está dada por b 2 2 .4 7 scl A(u) du = B ( b ) - B(a) En este caso la integral definida puede definirse de la misma manera como aparece en la página 94. Considérase una curva C en el espacio tridimensional que una los puntos P&,e, 0s) y Pz(bl, b,, b,) como en la Fig. 22-6. Divídase la curva en R partes por los puntos intermedios (21, ~1, ~1) , . . . , (z,,-~, Y”-~, z,,-l). Entonces la integral curuiünea del vector A(x, y, z) a lo largo de la curva C se define así donde Arp=Ax,i+A&,ji-Az,,k, Az~=x~+~--x~, Ay,=yp+l-y,. A2, = =pp+l - ap y además se supone que la mayor entre las magnitudes lArpI se aproxima a cero a medida que n + LO .El resultado 22.46 es una generalización de la integral definida común [página 941. La integral curvilínea 22.46 también se puede escribir 2 2 .4 9 sc A*dr = sc A,dx + Aedy + A,dz empleando A = AIi + Aj t Aak y dr = dz i + dy j + dzk. 2 2 .5 0 22.51 Por regla general, el valor de una integral curvilínea depende de la trayectoria C que baya sido escogida para efectuar el recorrido entre los puntos PI y P2 de una región dada%. Sin embargo, en el caso en que A = Vg o cuando A x A = 0 donde+ y sus derivadas parciales son continuas independiente de la trayectoria. En tal caso 2 2 .5 2 A*dr = s PI p* en%, la integral curvilínea A- dr = #‘p) - @(PI) A * dr es sc FORMULAS DE ANALISIS 122 VECTORIAL donde <p(Pr)y 9 (Pa)denotan los valores de $ en Pr y P, respectivamente. En particular, si C es una curva cerrada, 22.53 sc A*dr = sc A*dr = 0 donde el círculo sobre el signo de integral hace énfasis en el hecho de que C es cerrada. Saa F(x, y) una función definida en una región % del plano xy como sa muestra en la Fig. 22-7. Subdivídase la región en n subregiones por medio de lííeas paralelas a los ejes x y y, corno se indica en la figura. Sea tiA, = Azp Ay, el brea de una de estas subregiones: Entonces la integral de F(x, y) sobre P se define asi 22.54 J% F(z,u)U = lim 5 F(z,,up)AAA, “-- I>=1 siempre y cuando que el límite exista. En tal caso la integral puede también escribirse como 22.55 donde g = fr(z) y y = f&c) son las ecuaciones de las curvas PHQ y PGQ respectivamente mientras que a y b son las abscisas de los puntos P y Q. Esta integral también se puede escribir así SS d 22.56 ll=.2 I l,(Y ) F(z, y) dz d# = z=oI(Y> W, Y) dz du > donde z = g,(y), z = #a(v) son las ecuaciones de las curvas HPG y PGQ respectivamente mientras que c y d son las ordenadas de H y G. Estas son las llamadas integmks dobles o integrales de área. Los anteriores conceptos se pueden ampliar para considerar integrales triples o de volumen así como para integrales múltiples en más de tres dimensiones. Subdivídase la superficie S [véase la Fig. Z-81 en R elementos de brea AS,, p=l.%..., +L Hágase A(z,,, u,, zp) = 4 donde (z,,, tfpp z,,) es algún punto P de As,, Sea Na una normal unitaria a ASaen el punto P. Entonces, la integral de superficie de la componente normal de A sobre S se define asi 22.57 ss A-NdS = lim i A,-N,AS,, ll-0 p=1 Fig. Q-8 FORMULAS DE ANALISIS VECTORIAL 123 S i p es la proyección de S sobre el plano xy, entonces [véase la Fin. 22-81. 22.58 ss A*NdiS = SS s A.Ndz dy IN * kl Sea S una superficie cerrada que encierra una región de volumen zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIH V; entonces si N es la normal positiva (dirigida hacia el exterior) y dS = N zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA dS, se tiene que [véase la Fig. 22-91 22.59 $ V*AdV = $AvlS S V Este teorema tambikn se conoce con el nombra de teorema de Gauss o teorema de Green. Sea S una superficie abierta bilátera cuyo contorno es una curva cerrada C que no se corta a sí misma [curva cerrada simple], como se muestra en ls Fig. 22-10. Entonces 22.69 Ec A.dr = Js (V XA)-as donde hemos empleado el círculo sobre el signo de integral para hacer énfasis en el hecho de que Ces cerrada. 22.61 jbdí+Qdy c = jR donde R es el área comprendida por la curva cerrada C. Este teorema constituye un caso especial del teorema de la divergencia o del teorema de Stoke. FORMULAS 124 $ {*V% 22.62 V DE ANALISIS VECTORIAL + (v d-(v $nav = J bV*)*~ d o n d e + y + re pre se ntan f unc i o ne s e sc al are s. 22.64 $VXAav = $ V liS XA 22.65 S sc g¿r = s dsxvql s Un punto P en el espacio [véase la Fig. 22-111 puede localizarse no solo por medio de coordenadas n?ctangulares (x, y. z) sino también por coordenadas curvilíneas (aI, w 4 . Las e c uac i o ne s de transformacióp p a r a pasar del uno al otro sistema de coordenadas son la s siguientes: 22.66 z = Z(U,,%%l Y = v(as%= d S i up y u~ son constantes, entonces al variar u1, el vector de posición r = xi + yj + zk del punto P, d e scribe una curva llamada curva coordenada u1. De manera análoga se pueden definir las curvas coordenadas u2 y ua que pasan por P. Los vectores arlau,, ti/& ti/% son vectores tangentes a las curvas coordenadas u1, u2, us. S i e1, es, es representan vectores unitarios tangentes a dichas curvas, entonces 22.67 donde 22.65 son llamados factores de escalo. Si llama ortogonal. e1, ea, es son perpendiculares entre sí, el sistema coordenado curvilííeo se FORMULAS da* 22.70 DE ANALISIS 125 VECTORIAL = dr.dr = h;du; + h:du: + h;du: donde ds es el elemento de longitud de arco. Si dV es el elemento de volumen, entonces 22.71 dV = 1(hiel du,) l (hse, duJ x (hst dud 1 = h,h,hs dul d+z du, donde ab, II, 2) ah uzl ud 22.72 = aylau, aula+ adõu, lzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONM l 1 adau, adau, adau, 1 se llama el Jacobiano de la transformación. La fórmula 22.72 puede emplearse para transformar integrales múltiples del sistema rectangular al sistema de coordenadas curvilíneas. Por ejemplo, se tiene que 22.73 donde 4(’ es la región & la cual queda convertida %después de la transformación y G (u,, %. ua) es el valor que corresponde a F(x, y, 2) después de la transformación. A continuación, Ip representa una función escalar y A = AleI + Ae + Ass una función vectorial coordenadas curvilíneas ortogonales son u, up, uJ. 22.74 Gradiente de 22.75 Divergencia de 22.74 Rotor de A + = grad A = rotA = 9 = V O = ig, i- h &z + ig3 div A = V ’ A = - = VxA = &-[&WU = 1 h,h,lr, d (h,hgl,) + &(hJh&l he, a hses a z, K* hes a hh,A, hs4 Wz Laplaciano d Obskvese e o = V% &(h,A,) -&Jb%)] cl + m ; 3[ s - & (bh) = &J dyo;(~~)+&-(~~) que el operador bi-armónico 0% = Vs(V?+) + -&sWA’] ãuJ + & [-& Vwb) - -& Wd] cs 22.77 cuyas 1 sz + & & ~ )l se puede obtener a partir de 22.7’i. FORMIJLAS DE ANALISIS 126 VECTORIAL Coordenadas cilíndricas (r,O,z) [Véase la Fig. 22-121 z = TCO8B, 22.78 22.79 v = 7 sen 0, = 1, h: h: = ~2, *=2zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXW h; = 1 22.80 Fig. 22-12. Coordenadas cilíndricas. Fig.22~12. Coordenadas esféricas. Coordenadas esféricas (r, B,+) [Véase la Fig. 22-131 22.81 z = 7se”#coa$b, 22.82 h; = 1, y = r sen 0 sen.+, h; = +, 8 = reose h: = flsen2e 1 +-t?!.? r2 sen2 e a+2 22.83 Coordenadas cilíndricas parabólicas (u, 21, z) 22.84 22.85 z = f(d- vq, y = UV, h; = h; = d + ~2 , 2 = 2 ll II;=1 22.84 Las trazas de las superficies coordenadas en el plano xy se muestran en la Fig. 22-14. Dichas trazas son parábolas hornofocales que tienen un eje común. Fig. 22-14 F O R M U L A S D E AXALISIS 127 VECTORIAL Coordenadas paraboloidales (IL, v, +) donde u 2 2 .8 8 h2 1 2 2 .8 9 g = uvsen qz. z = UV cos 9. 22.87 V-4 2 0, = h; u t = ~2 0, 0 5 + 4, gu*-tq z = 9 <zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHG 2a h,2 ~2~2 = 1 a as +2X!! +1 2( - L u?!!i = zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA ~2112 ap ~(zrz + ~2) av ( av ) 442 + ~2) au au ( > Por revolución de las parábolas de la Fig. 22-14 alrededor del eje x, el cual pasa entonces a llamarse eje L, se obtienen dos sistemas de superficies coordenadas. Coordenadas cilíndricas elípticas (u, v, z) 2 2 .9 0 z = a cosh u cos v, u 22.91 h: = h: = 2 2 .9 2 vz<p 2 0 donde = 0, d g = asenh u < 2r, a*(senhau a*(senh* ,’ + -- U < + senav), ~4 z=s SenU, .z < h; - = 1 v) Las trazas de las superficies coordenadas en el plano xy se muestran en la Fig. 22-15. Tales curvas elipses e hipérbolas hornofocales. Fig. 22-15. Coordenadas cilíndricas elípticas son FORMULAS 128 DE ANALISIS VECTORIAL Coordenadas esferoidales alargadas (&v, +) 22.93 z = asenh[senr,cos+, ( donde 2 2 .9 4 2 2 .9 5 h: = 024 1 b 0, ll: = 0 5 aysenff z = asenh[senqsen+, r) c + c 37, 0 5 = acosh[cose 9 < zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGF 2n h; = a* senh2 E sen2 9 sen*l& 1 a G(sen h2 [ + sen2 q) sen h E x = + 1 1 a2(senh2 C + sen2 rl) sen r) a% a2 senh2 E sen’ q % Por revolución de las curvas de la Fig. 22-15 alrededor del eje x, el cual pasa entonces a llamarse eje z, se obtienen dos series de superficies coordenadas. Una tercera serie de superficies coordenadas está compuesta por planos que pasan por dicho eje. Coordenadas esferoidales achatadas (6, v,+) z = acoah~cosqcosq5, 22.96 donde ( 2 2 2 .9 7 2 2 .9 8 hf v 4 = 0, = hi d(senh* + u = acoshc 0 5 $0 c 2a d q 5 aI&, -d2 h; = = a2(senh* E + senzq), s = asenh(Senq cosq s e n + , 19 coshz[ COSED 1 { + sen2 7) cosh E aè 1 a2(senh2 [ + sen2 7) cos r) ar .2 1 a* coshz [ cosz 7 v Por revolución de las curvas de la Fig. 22-15 alrededor del eje y, el cual pasa entonces a llamarse eje t, se obtienen dos series de superficies coordenadas. Una tercera serie de superficies coordenadas está compuesta por planos que pasan por dicho eje. Coordenadas bipolares (u, v, z) 22.99 27= donde 0 a senhv cosh v - cos u ’ c 2r, á Y -- u= < v asenu coshu - cosu’ c -, -- < *= ,Z s < 00 0 2 2 .1 0 0 z* + (v - a cot lp = .2 cac2 11, (z - a coth tQ2 + y2 = d csch2 v, S= S a2 hf = h; = 2 2 . 1 0 1 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA hhg = 1 (cosh u - cos u)2 ’ 2 2 .1 0 2 t74 = bfJh~-yw’(~+E?) + 2 Las trazas de las superficies coordenadas sobre el plano xy se muestran en la Fig. 22-16. 129 FORMULAS DE ANALISIS VECTORIAL F’ig. 22-16. Coordenadas bipolares. Coordenadas toroidales (u, 2 2 .1 0 3 z = asenhu cos+ coshu - cosu’ hf 2 2 .1 0 4 2 2 .1 0 5 VQ = = h22 = Y= a senh v sen + coshv - cosu’ az (eosh v - cos t#’ ’ h: = V, 4) *= a senu cosh v - cos u aasenhav (coah u - cos t# (c oshv-c m u)S & c oshv~c osu~ a2 ( > + (c-h ti - cos a2 u)3 2 senh u coasv”l~os u E > ( + (cosh u - cos u)2 5 a2 senhz v IdS SuPerficies coordenadas se obtienen haciendo girar las curvas que aparecen en la Fig. 22-16 alrededor del eje y. el cual pasa a llamarse eje z. Coordenadas cónicas (A, p, V) 2 2 .1 0 6 22.107 z = b. - , ab h; = 1, h;= (p2 A9($ - 9) - &)(b2 - 9) ’ h; = $$;(;2’b2) FORMULAS DE ANALISIS VECTORIAL 130 Coordenadas elipsoidales (homofocales) (X, p, v) x2 22 2P -+-+= 1 A < 02 < b2 < a2 a2 - XzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA bL - h 4-X 22 E2 lP pq+F&+rP 2 2 .1 0 8 = 1 c2<p<bz<a2 = 1 19 C b2 < v < a2 0 x2 = Ca2 - X)(0* - p)(a* - V) y2 = (b* - A)(b2 - p)(b2 - I) (b2 - d)(b2 - ~2) 22 = (c” - MW - d(e2 - v) (a* - b*)(az - c*) 2 2 .1 0 9 (& - a2)(c3 - b2) hZ1 = 2 2 .1 1 0 (r - X)b - A) 4(a2 - A)(b2 - zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTS A) ( $ - A) hzs = b - P)(A -14 Ab2 - r)(b* - r)(c2 - P) h: = 6 - 4(r - 4 4(a2 - .)(b2 - 4(c2 - v) Coordenadas paraboloidales (hornofocales) (x, p, “) 2 2 .1 1 1 --&++ = P -c1 z -A - - 2-P b2 < p < a2 z-v a2<v<- 0 x2 = ta2 - A)(a2 - p)(a2 - v) ti* = (b2 - A)(bZ - p)(b2 - v) a” - bs E = A+p+v-a2-bz h; = (c - Ab - A) 4(a* - A)(b2 - A) 2 hz - h; = b2 - as 2 2 .1 1 2 2 2 .1 1 3 b - / d(A - c) 4W - r)(b2 - P) (A - vh - P) lS(a2 - p)(bz - P) <A<b” 1 La serie de Fourier correspondiente a la función f(x), la cual se supone definida en el intervalo c d z 5 c + 2L donde c y L > 0 son constantes, se define así 23.1 ;+ $ a,cos~ + b,sen” ll=1 ( %l = 1 x b, = ; L donde 23.2 L C+*‘ se f(z) coa ” dz L C+2L f(z) sen y dx Si f(x) y f(x) son casicontinuas y si f(x) está periódicamente definida con un período de 2L, o sea que f(x + 2L) = f(x), entonces la serie converge hacia f(x) si x es un punto de continuidad y hacia #{f(z + 0) + f(z - 0)) s i x es un punto de discontinuidad. Suponiendo que la serie 23.1 converge hacia f(x), se tiene que donde #a, - ibn) Cf7.L 1 a>o 23.4zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA f(zh-‘n”=lLdz = &(a-, + i b - , ) n < 0 cn = z sc i 3a0 n=O 23.5 I s C+*L f(4 ~(4 dz = F + ,i$, b,c, + b,dJ L c d o n d e a,, bn Y c,, d, soo los coeficientes de Fourier que corresponden a f(x) y g(x) respectivamente. 1 131 132 SERIES DE FOURIER 23.7 Fig. 23-l Fig. 23.9 f(z) = 2. -r<z<rr fb9 Fig. 23.11 22-2 j(z) = (senzl. -I < z < I 22-4 fW -+ . . . Fig. W -5 SER I ES DE F OUR I ER senz 23.12 133 o<z<o a<z<2a f(z) + . . . -2. -n Fig. 23-6 2 3 .1 3 fc4 = cos 2 oc zc a f(z) -cosz -a<z<O -8 r ... Fig. 25-7 2 3 .1 4 f(z) = 22, -P < 2 O< z< r zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCB 2 3 .1 5 f(z) -us 6 cos 216 cos 42 cos 62 -+-+-+ 12 2e 32 ... -Zr -II Fig. 33.9 f(z) = z(rr - z)(r + CC), -r < z c ‘D 2 3 .1 6 12 ... x Ng. 33-10 SERIES DE FOURIER 134 O<Z<,-a zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 0 23.17 f(z) = f(z) 1 ? r-a<z<a+a 0 a+a<2<2r - 2<1 II I I I I II 2 sen LI cos x sen 2a cos 22 0-s _ T II 1 2 ( sen 3a cos 32 - . . . + 3 > 23.18 f(z) = - II ’ ’ 1 I -30 2. - j I -Zr - - I 1 ’ II t , -II 0 za c I/ l I I I l I I , I 1 1 , 11 x(a - 2) o<x<?r 1-x(1 - 2) -lr<z<o 3 sen 3x 2 sen 22 +--... 22 - 1% 23.20 f(4 % J+-"- ; co* 22 sen P' 12 - p2 r 23.21 f(z ) = In (1 - 2a cos x -2 23.23 22 - p2 j(x) = tan-1 [(asen z)/(l - a COI) z)], asenx 23.22 32 - $2 p Z entero -?r < x < r> = cos/% t t asenx t t $cos2x f(z ) = i tan-1 [(2a sen z)/(l - az)], t + ... (al < 1 $coa32 + ..- -r < x c T, +“ 3z tal < 1 + $sen32 -I < z < I, acosx COI 3x -... 32 - f -x7 c 2 < II, + $sen&z az), Zr I 1 I I I I l , ’ x 37 x p Z entero -r<z<a, + I l I I I f(d Fig. 23-12 fc4 = =nP& za Fig. 23-11 sen 3z sen 52 3a+ -+ *** 55 > 23.19 - Ial < 1 $sen5s + *** SERIES DE FOURIER 23.24 f(x) = ; tan-’ [(2a cos x)/(1 - a2>], 135 -7r < x < Ir, la( < 1 I a3 acosx - 3cos32 23.25 a5 + ~COSSX - ..* fW = @=9 -U<X<U zyxw 2 senh pr $ + 5 (-l)“(p cossnt ,2 Tz sen nx) lr SS=1 ( 23.26 f(x) -r<x<u = senh px, sen x 3 sen32 2 senh /m ---+--... 2sen22 r 12 + 112 22 + 442 32 + 9 23.27 j(x) = coshpx, -r < z < II + . . . 23.28 j ( x ) = In [sen&xI, 0 < x < 0 _ In2+ cy ; co;2*+E!yE+ . . . ( ) 23.29 j(x) = In ~cos~2~, -7 < 2 < 7r _ ln2- coy I cy- yE + . . . ( 2 3 . 3 0 f(x) = 479 - +rx + *22, 0 5 x d 27r CO832 + *.. y+*+31 23.31 f(x) = +&c--Yr)(x-2a), 0 5 x 5 27 sen 3x Ly+y+7+... 23.32 j(x) = &4 - &rw + $x3 - $x4, oszs2r nt0 zy + zy' + (22 - nqy = 0zyxwvutsrqponmlkjihgfedcba 24.1 Las soluciones de la anterior ecuación se llaman funciones de Bessel de orden n. 2+ = 2"r;+ 1) 1 1 -L+ 2*4(2n+2)(2n+4) 2(2n+2) 24.2 J"(Z) 24.3 J-,(2) = 2-n x-” lyl - n) 24.4 Si nZ0,1,2 J,(z) ,..., Si N Z 0.1 , 2 ,***, y - "* > 29 22 {+2(2-2n)+ Z-4(2-2n)(4 -2n) - -** J-,(z) = (-l)“J”(Z) J- ,(z) son linealmente n = 0, 1,2, . . . independientes. J*(z) está definida en x = 0 mientras que J-,(z) es definida. Para n = 0,l se tiene 24.5 2+ -+ 29 . . . Jo(z) = 1-g+ -22.43 22.42.62 24.6 JI(e) 24.7 Ji(z) = = ; - 26 $4+-2**42*6 z' 22.42.62.8 -l- *** 41(z) J,(z) coann 24.6 I Y” (2) = - J-,(z) sennn ,*m JP (4 coa P - J-p@) 1 P-r” sen pr n # 0, 1,2, . . . n=0,1,2,... La forma anterior también se conoce con el nombre de función de W eber o función de Neumann [la cual se acostumbra a denotar por Nn(z 136 FUNCIONES DE BESSEL 137 Para ~t = 0,1,2, . . ., la regla de L’Hospital da Y,,(z) 2 4 .9 donde y = 0,5772156 = 5 {ln (2/2) + y) J,,(z) - t 1%: (n - k - l)! (z/2)2k-n es la constante de Euler 2 4 .1 0 4(p) [página l] y 1 1 = 1+2+3+ 1 +p, ..* O(0) = 0 P a r a 12 = 0 , 2 4 .1 1 Y,(z) = ~{ln(z/2)+y)Jo(z) &(l+*+# + f l- Y - , ( z ) 2 4 .1 2 - **. = (-l)“Y,(Z) 12 = 0,1,2 , . . . Para cualquier valor R Z 0, J,(z) será definida en z = 0 mientras que Y,(z) sed indefinida. 24.13 y = AJ,,(z) + BJ-,(z) 24.14 v = AJ,,(z) + BY,,(z) y = AJ,,(z) + 24.15 n z 0, 1,2, . . . para todo R para todo n BJ,(z) f& donde A y B son constantes arbitrarias. 2 4 .1 6 ef(t-lltv2 =zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQP .jbm Jn(4t” 2n 2 4 .1 7 J,+I(*) = y .J,(z) 2 4 .1 8 J;(z) 2 4 .1 9 zJ;(z) = zJ,,-~(z) - nJ,,(z) 2 4 .2 0 zJ;(z) = nJ,,(z) = .glJ,-I(Z) - J,-1(4 - Jn+ib)) - zJ,+~(z) 24.21 $W J&)) = z” J,,el (iv) 2 4 .2 2 -$z-“J.(z)} = -z-“J,+l(z) Las funciones Y,,(Z) satisfacen idénticas relaciones. FUNCIONES 138 DE BESSEL En este caso las funciones se pueden expresar con auxilio de senos y cosenos. 24.23 Jo,* = f$senz 24.26 J-&v) = 24.24 24.27 J5,&) = zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPO 24.25 J-I,L(~) = -$.z Ir 2 4 . 2 8 J-2,2(z) = $& {i zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Js~(z) = ez t y - cos z) s e n z + (-$ - 1 ) cos z} Empléese la fórmula de recurrencia cada vez que se desee obtener resultados adicionales. A partir de 24.8 se pueden obtener los resultados correspondientes a Y,,,(z), Ys,&), . . . 24.29 H:‘(z) = J,,(z) + 24.30 iu, 24.31 2%” + zy’ - (z2+ H:z’(z) = J,,(z) - i Y,,(Z) nt0 nqy = 0 Lás soluciones de la anterior ecuación se llaman funciones modificadas de Bessel de orden n. zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 2 4 . 3 2 Z,,(z) = i-n J,(&) = e-nrri/z J,(k) d 2 * 4(2n + 2)(2n + 4) + ’ ’’ > 24.33 Z-,(z) = iflJ-,(uC) 2-n = 2 -“lyl-T b) 24.34 = ~“‘2J-,(ise) 22 21 l+2(2-2n)+ Z-,(4 2 * 4(2 - = Z,(z) 2n)(4 + . . . - Zn) > n = O,l, 2, . . . Si n Z 0, 1,2, . . ., entonces Z,(z) y Z-,(z) son linealmente independientes Para n = O,l, se tiene 24.35 z,,(x) = I+$+&~+&+- 24.36 = $+&+--+ Q2 - 42 * 6 z,(z) 24.37 z;(z) = z,(z) 27 22.42.62.6 + ..* = FUNCIONES 140 DE BESSEL En este caso las funciones se pueden expresar por medio de senos y cosenos hiperbólicos. Z-,,2(x) 24.61 2 4 . 5 8 Z,,,(x) = = 24.59 2 4 . 6 2 zs,2(x) = zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Z-1,2(z) = 24.60 Z3,2(x) = senh z -$ cosh z -y U ) 2 4 . 6 3 Z-5,2(x) = G{(-$+ 1) eoahz - $enhz} Se pueden obtener resultados adicionales empleando la fórmula 24.48. A partir de 24.38 se pueden obtener los resultados correspondientes a K&z), K&c), . . . Las partes real e imaginaria de J,(ze 3el4) se denotan por Ber, (z) y Bei, (2) siendo 2 4 .6 4 Berfi (‘) 2 4 .6 5 Bei, ( z ) = = (z/2)=+* (3% + 2k)n kza k! r(n $ k + 1) “‘4 m (z/2)= + ” k?ok!r(n+k+l) (3n+ 2k)n se n4 Si fl= 0, 2 4 .6 6 (x/2)4 (x/2)* Ber (z) = 1 --+4!22!2 *-* 2 4 .6 7 Bg (z) us panes real e ImagInana K e r , (2) = 2 4 .6 8 de e -*M-Z = (42)2 - 9 + i$!! - . . . K,(zemf*) se denotan por Ker, (2) y Kei, (z) siendo -{ln (z/2) + y} Ber, (2) + &r Bei, (z) + L”$ (rr- k - l)! (z/2)= -” (3n t 2k)rr cos 4 k! 2 k=O 2 4 .6 9 K e i , (z) = -(In (d2) + y) Bei, (2) - )u Ber, (z) 1 n51 (n - k - ii k=‘l - 1 ) k! ! (2/2)= ein (3% t-n2k)n 4 + ; kjio k$‘;+;;, Wk) + +(n + k)} se,, (3~ + 2k)r 4 donde + está dado según 24.10, página 137. Si n = 0, 24.70 Ker (z) = 2 4 . 7 1 Kei(zj = -{ln(z/2) + y} Ber(z) + $Bei(z) t 1 - $$$f(l+g) + ~ (l+ ,-l-~ + ~ ) -íha (z/2) + y} Bei (z) - i Ber (2) + (z/2)* - g (1 + 4 + +) + * ** - ..’ FUNCIONES 2 4 .3 8 DE It # O,l, 2, . . & {I-,(4 - Zn(d)zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA K,(z) = It = 0,1,2 ,... lim L (Z-,(z) - Z,(z)) p-11 2 sen Pa Cuando n = 0,1,2, K,(z) 24.39 139 BESSEL = . ., aplicando la regla de L’Hospital se obtiene (-l)n+l{ln (z/2) + y}Z,(z) + iI$l (-l)k(s - k - l)! (~/2)*~-~ + (-1)" - (z/2)"+*k 2k~?k!(n+k)!'*(k)+9(n+k)' donde 9(p) está dada por 24.10. Cuando TI = 0, K,(z) 2 4 .4 0 = -{ln(z/2) + y}Z&) + $ + gpo+g It = O,l, 2, . . . 24.41 K-,(z) 2 4 .4 2 Y = AZ,,(z) + BZ-,(z) 2 4 .4 3 u = AZ,(z) + BK,(z) 2 4 .4 4 u = AZ,(z) + BZ,(z) B donde A y K,,(z) @<t+ 1/1)/2 2 4 .4 6 z,+~(z) = z,,el(z) - Fz,(z) 24.47 Z,i(z) = +{zn-l(z) 2 4 .4 0 zZil(4 2 4 .4 9 21:(z) = 2 4 .5 0 n # 0, 1,2, . . . para todo n + s zZ&) para todo n son constantes arbitrarias. 2 4 .4 5 2 4 .5 1 = + &*(‘+f+# + .*’ = 21,-,(z) $(z”I,(z)} ${z-Z*(z)} + z,,+l(z)) - nZ,(z) = z LW’ _--- 24.52 K,+,(z) = K,-l(z) + $K,(.) 24.53 K:(4 = +W,-,(z) 2 4 .5 4 zK;(z) 2 4 .5 5 zK;(z) = nK,(z) = PZ,,-~(CC) 2 4 .5 6 ${z"K,(.)} = 2 4 .5 7 f-(x-"rr,(z)} zZ,+1(z) + nZ,(q 2-“z”+1(z) + = -zK,-,(z) K,+,(4) - nK,(z) - zK,+l(z) = -zfK,.el(z) = -c~'K,,+~(z~ FUNCIONES DE BESSEL 24.72 xZy” i- xy’ - (iz*+nqy = 141 0 La solución general de la anterior ecuación es 2 4 . 7 3 g = A(Ber, (z) + i Bei, (z)} f B{Ker, (z) + i Kei, (ce)} Fig. 24-l Fig. 24-LzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQP .z 1 2 Fig. 24-3 3. 4 Fig. 24-4 -3-1 -5-0 -7 Fig. 34-5 Fig. 24-6 FUNCIONES DE BESSELzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJ 142 -~24.74 24.75 24.76 24.77 24.78 24.79 24.80 24.81 24.82 24.83 - x Jo(x) dz xJ,(x) szyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA s S S S S x* Jo(x) dz xmJ,(x) dz S s s 24.84 = PJ1(2) $)dz = JI(z) JI (d = Ji(x) = -J,(z) dz (m-l)*~m-* dz = -zJ,(z) eJ,(z) & = f$ dx = J I (2) 2mdz = -JI(z) = (z) 24.86 dz = 24.88 s s J,(z) dz Jo (N Job) dz Zm-2 Jo(z) dz s m s x”-‘J,(z) dx Jo@) dz Job) s pi=+ dz = -z-“J,,(z) -z”‘J,,-~(z) + = (mtn-1) s ~‘-1 J,-l(z) z(a J&z) J;(az) - fl J,(ez) Jhz)} p - a* 1 dz = &GF S * 6-a J.(bz) dz S w coaaz = 0 0 dx dz = 6-a Jo(bz) 24.91 dz - (VI - l)e-1 -(712 '--lp s- Los anteriores resultados también son válidos si se remplaza a A J,,,(Z) + B Y,(z) donde A y B son constantes. 24.90 x”‘-*Jo(z) - (m-1)2 s - sJo(z) dz t t S + s z” J,(z) z J,,(M) J,(flz) dz z J:(a) - (m-1)2”-‘J,(z) -st; z” J,- I (2) dz z”‘J,(z) t -xm Jo(z) 2 4 . 8 5 $.-“JnCI 24.87 - T !$?dz zJ,(x) s 223,(2) + zJ,(z) = (dZT@ - a)” b*w Tl> - 1 a>b J,(bz) dx = & 0 o -1 2 4 . 9 2 zyxwvutsrqponmlkjihg zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA s 0 2 4 .9 3 - J,,(W dz - J0 x = n = 1,2,3, . . . ; - b’fh 24.94 e-=io(b\/z)dz j- = 0 2 4 .9 5 z J,,(az) J,,(flz) dz l s 0 8 a = a J,(P) J;(a) - P J,(a) J;(a) /3” - 9 1 2 4 .9 6 2 4 .9 7 ~{J:W + +U- No*){J,(W x J;(oz) d z = s0 l z Jo(az) Io@ z) dx = s 0 2 4 .9 8 J,(z) = i $I cos (z sen e) de 0 24.99 B Job) Z;(P) - (1 J;<d h,(a) <I, + /32 J,,(z) = zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA $oa(ne- zsene)de, n = entero 0 24.100 J, (z ) Zn = 2% r(n + 4) 24.101 Y,(z) = z,(z) 24.102 - fi- cos(z I cos (z sen e) co@ e de, coshu) du T = n > -+ s o PT cosh(z sme) de = $ =s 0 eraen 0 de 2 4 . 1 0 3 J, , (z ) - donde x es suficientemente grande 2 4 . 1 0 4 Y,,(z) - donde x es suficientemente grande 24.105 J, , (z ) - donde n es suficientemente grande 2 4 .1 0 6 Y,,(z) - - 2 4 .1 0 7 z,,(z) - - 2 4 .1 0 8 K,,(z) - (I-+ donde n es suficientemente grande do nde x es suficientemente grande do nde x es suficientemente g ra nde FUNCIONES 144 DE BESSEL Sea A,, AZ, Aa, . . . las raíces positivas de RJ,,(z) + Sz J,(z) = 0, TI > -1. Entonces, bajo las condiciones indicadas, son válidos los siguientes desarrollos en series. son raíces positivas de Jn (x) = 0 S = 0, R + 0, o sea que XI, AZ, X3, . . . 24.109 f(x) = A,J,(A,z) + A,J,,@,z) + A3J,,(+) + -*- dondezyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 24.; 10 En particular, si 1( = 0, 2 4 .1 1 1 f(z) = AIJ&~) + A,Jr&z) + AsJ&,z) + ..- donde A 2 4 .1 1 2 2 l z f(Z) Jo (A,Z) dZ = J:(&) s, zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPON ’ RIS > - n 2 4 . 1 1 3 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONM f (z ) = A,J,(A,z) + A,J,(A& + A, J,,(A*z) + * .. donde 2 4 .1 1 4 A, = 2 J:(A,) - J,-,(x,) Jn+~(xk) .l J0 z f(z) JnCvd dz En particular, si ?I = 0, 2 4 .1 1 5 f ( z ) = Al Jo(~,z) + A, J~(A,z) l- AS Jo(xsz) donde 1 2 Ak = 2 4 .1 1 6 + *** J:&) + J:(Ad s0 Z f(z) JobA di ií!IS = - n 2 4 .1 1 7 f(z) = A,pn + At J,(A~z) + Az J.(A,z) + ... donde Ao = 2(n + 1) J’ x” + ’ j(z) dx 0 2 4 .1 1 8 Ak I 2 = J:(h) - J,-l(A,)J,+l(A,) s o z f(z) J,, (A,z) dz En el caso especial en que n = 0 de manera que R = 0 [o sea, cuan& xl,Az,Aa,. . . son las raíces positivas deJ1 (x) = 01, 2 4 .1 1 9 f(z) = A, + Al J,(A,z) + Ai J,(A~z) donde + . ** 1 A, = .2 Ak = = f(Z) J,,(hkZ) dZ J:(h) s o 2 4 .1 2 0 s0 2 z f(z) dz l (1 - zQ/” 25.1 Las soluciones de la anterior ecuació.n En el caso en que n = 0, 1, 2, la fórmula de Rodrigue. - 22y’ + n(n + 1)y = 0 se llaman funciones de Legendre de orden n , las soluciones de 25.1 son polinomios de Legendre P,(z) que se pueden hallar por 25.2 P,(z) = &&<22-1)” 25.3 P,(z) = 1 25.7 P4(z) = Q(35z’ - 3022 + 3) 25.4 PI(Z) = z 25.3 PS (2) = Q(63z5 - 7029 + 152) 25.5 Pz(z) = +(3z2- 1) 25.9 P,(z) = &(231&’ - 31524 + 10522 - 5 ) 25.6 P*(z) = f(52J-32) 25.10 P,(z) = &(429z7 25.11 P&me) = 1 25.14 Pa(cose) 25.12 P,(cos e) = cos 8 25.15 P,(cos e) = 25.13 P,(core) = )(1 + 3 cos2e) 25.16 P,(cos 25.17 Pb(cosa) = k2(50 + 105 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFE coste + 126 coe4e + 231cos6e) 25.16 P,(conr) &(175 cos e + 189 cos 3e + 231 COS Se $ 429 cos 7e) 25.19 = 1 41 - 2tz + tz = 146 = Q(3 - 69325 + 315zS - 352) cose + 5 coste) &(9 + 20 cos 2e + 35 coa 48) e) = &30 cos e + 35 cos 3e + 63 cos 56) nio p, (&” FUNCIONES DE LEGENDRE 147 (2) - (Bn+l)zP,(z) + nP,-,(2) = 0 (n+l)P,ttzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGF 25.20 25.21 P;+,(x) 25.22 - xP;(x) rP;(x) 25.23 P;,,(z) 25.24 - 1s P;-l(x) = NP,(Z) = (2nfl)P,(z) P;-,(z) (22-1)Pn(2) 25.25 = (n+l)P”(z) = nxP,(z) P,(z) - nP,-,(r) P,(z) dx = 0 m#?l -1 1 s- 1 {p,(d>2 dx = & En razón de 25.25, P,,,(z) y P,,(z) se pueden llamar ortogonales en -1 Z z I; 1. 25.27 f(z) = A,Po(s) + A,P,(s) + AzP,(z) + ... donde Ak 25.28 2 5 . 2 9 P,(I) = 1 2 5 . 3 0 2k+l t -1 f(dPkb) 2 s Zr P,,(-1) dz 2 5 . 3 1 = (-1)” n impar 0 25.32 P,(O) = (-l)n’* 1.3.5...(?2-1) 2.4.(j...n 25.33 25.34 25.35 25.36 donde C es una curva S P,(z) P,(-2) dx = P?It,(d IP,(dl - Pm-.lW 2n + 1 5 1 dx cerrada simple que tiene a x cmno punto interior. npar = (--I)“P,(z) FUN CIONES DE LEGENDRE 148zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA La solución general de la ecuación de Legendre es 25.37 y = A U,,(z) + BV,,(zz) donde 25.38 25.39 U,(z) = v,(z) h- 2)(~+1)(n+3)z, _ .., 1--s+zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYX 4! = z _ (n-l;y+2)zJ + (R-l)(lZ-3;~+2)(n+4)zs _ ... . La anterior serie es convergente en -1 < z < 1. Si n = 0, 1, 2, alguna de las series 25.33, 25.39 es finita. En tales casos, 25.40 P,b) = { donde 25.41 u, wu, (1) n = 0,2,4, . . . v, WV" (1) 12 = 1,3,6, . . . U,(l) = (-1)“/22” ?t! n = 0,2,4 >. . . V,(l) = (-l)“-1’,22n-‘[(~)!~/n! n = 1,3,5 >. . . Por otro lado, la serie no-finita, acompañada de un adecuado factor constante, se denota por noce con el nombre de función de Legendre de segunda especie y orden n. Por definición, V,(l)V”(z) n=0,2,4 25.43zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Qm(4 = - V , ( l ) U,(z) Q,(z) y se co- >... n = 1,3,5, . . . 25.44 25.45 Q 2b) = 25.47 Las funciones Q”(z) satisfacen fórmulas de recurrencia exactamente análogas a las que se dan en 25.20 a 25.24. Empleando éstas se puede expresar la solución general de la ecuación de Legendre de esta otra manera 25.48 Y = A P,,(z) + BQ,(z) (1- m2 n(n + 1) - - S)y” - 2zy’ + 1 - 24 1 -i y = 0 Las soluciones de la anterior ecuación son llamadas funciones asociadas de Legendre. Nos ocuparemos únicamente del importante caso en que m, n son enteros no-negativos. P;(z) 26.2 = ( 1 - .f)+gP.(z ) donde P,(z) son polinomios de Legendre [página 1461. = (1 - 22)m12 dm+n - 2-1)vl &mtn (’ 21cn! Tenemos 26.3 p:(z) = P"(Z) 26.4 PT(z) = 0 26.8 P;(s) Pi(z ) = X2(1-z 2) 26.5 Pi(z ) = ( 1 - 3)“ ” 26.6 p;(z) = 32(1- z2)1’2 26.9 26.7 p;(z) = 3(1-22) 26.10 26.13 = ; (522 - l)(l - z2)1’2 PSJ(~) = 15(1-x2)3/2 (2m)! ( 1 - z2)m’W 2”7n! (1 - 2tz + ty+t/2 26.11 26.12 si m>n = 5 P;(z)t” R=R1 (n + 1 - m) P;+,(z) - (2% + l)z P,“(z) + (n + Tn) PT+(,) = 0 (2) = 0 P ;+2(x) + 149 (n-m)(n+m+l)P;(z) FUNCIONES 150 ASOCIADAS DE LEGENDRE zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHG s1 P;(z)P;“(z) 2 6 .1 4 o ds = s i n# ¿ -1 2 6 .1 5 f(z) = &f’~(4 + Arn+,P;+~(z) + 2 6 .1 6 Am+2P:+2(d + *** donde 2 6 .1 7 2 6 .1 8 donde Q,(z) ’ 2k+ 1 ( k - m ) ! f(z) P:(z) dx 2 (k+m)! s_ 1 & = - Q:(Z) = ( 1 - x*)m/* $ & Q,(x ) son funciones de Legendre de segunda especie [página 1481. Dichas funciones son indefinidas en z = “1, mientras que Pr(z) Les funciones Q:(Z) 2 6 .1 9 son definidas en z = kl. satisfacen las mismas relaciones de recurrencia que P:(s) [véase 26.12 y 26.131. 1/ = AP;(z) + BQ:(z) 27.1 2/ )) - 2zy' + 2ny = 0 En el caso en que n = 0, 1,2, las soluciones de la ecuación de Hermite se conocen como polinomios de Hermite H,(z) que se pueden hallar por la fórmula de Rodrigue. 27.2 H,(z) = (-1)“b -g(e-q 27.3 H,(z) = 1 27.7 H4(z) = 27.4 H , ( z ) = 22 27.8 H5(z) = 3225 - 1602s + 1202 27.5 H , ( z ) = 422 - 2 27.9 H,(z) 27.4 H,(z) 2 7 .1 0 H , ( z ) = 1282'-134425 2 7 .1 2 2 7 .1 3 = 825 - 1 2 2 H,,, , (2) = H:(z) 1624 - 4822 + 12 = 64z5- 48024 + 72022 - 120 22 H,(z) - 2n H,-, (2) - 161 2n H,-,(z) + 336023 - 1680~ POLINOMIOS DE HERMITE 152 s= 27.14 m#n c--~ H,,,(z) H,,(z) dz = 0 -m m s-0 e-# 27.15 {H,(2)}2 dz = 2”n! \/; 27.16zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA f(z) = A,K,(z) + A,H,(z) + A2H2(z) + ... donde e-i f(z) H,(z) dz 27.17 H,(z) = 27.18 27.19 H,(-z) = (2htp - dp (22$-2 (-l)"H,(z) 27.20 27.21 H*“(O) 27.22 5z 0 27.23 = H = (z) 1 n+ 21n+ 1) = - 3) (2z)"-' 0 (2n-1) H,+,(O) --2(n + 1) $b-” H,(z)} = -e-2 H,,+~&) 27.24 e-” H,,(t) dt 27.25 J--m 27.26 H,,-,(o) (-1)“2”.1*3*6.** H&)dt 5% + Nn - ‘““2; = H , - , ( O ) - .-‘H,,-,(z) Fe-” H,(zt) d t = \/;; n! P,(z) H& +il) = kge & 0 ; H&ti)%-k(llfi) Esta última es llamada fórmula de adición para los polinomios de Hermite. 27.27 ” HA9 HA/) B 2kk! k=O Rn+ 164 H,(u) - H,(z) Hn+ I(V) = 2”+‘n!(Z-2/) _ . . . 2 8 . 1 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA x1/” + (l--2)2/’ + n y = 0 En el caso en que n = 0, 1,2, las soluciones de la ecuac~on rre L,(z) que se pueden hallar por la fórmula de Rodr igue. 28.2 L(4 de Laguerre se conocen como pohnomios de Lague- e= -g(X"C.) = 28.3 L,(x) = 1 28.6 L,(x) = -ti + 9x2 - 182 + 6 28.4 L,(x) = -x + 1 28.7 L'(x) = x4 28.5 L,(z) = 22 - 4x + 2 28.8 L,(x) = -x5 28.9 Lo(x) = x6 - 36~5 + 46024 28.10 L,(x) = -x’ + 49x6 28.13 28.14 + 72x2 - 962 + 24 + 25%’ - 20023 + 600x2 - 6002 + 120 - 240025 + 64OOrcP - 4320x + 720 - 882x5 + 735024 - 29.4oW e-Zt,l-t - 28.11 28.12 - 1623 1 - t L,+,(x) Li(x) = + 52.92022 - 35.280~ + 5040 - L,(x) t" B n! n=o - (Bn$l-x)&(x) - d&(z) + xL:,(x) = + nL,-l(x) nI& - 153 n2L,-,(2) = 0 dL”_,(x) = 0 154 POLINOMIOS 28.15 e-zL,,,(z) 28.16 DE L,(z) dz = ee2 {L,(z)}~ f(z) 28.17 LAGUERRE 0 m f n div = (n!)* = A, L,(z) + A, L,(z) + A, L,(z) + * - - donde 1 " = og e-= f(z) &(z) dz s0 Ak 28.18 - 28.19 L,(o) = nl 28.20 zPe-= 28.22 28.23 28.24 28.25 s0 = L,,(t) dt L,(z) - * 0 s i p<n (-l)"(n!)* si p=n L,,(z) dz = * L,(z) Lk(d B (k!)* k=O = = L,(z) L,+,(Y) - L,+1(4 Ud (n!P (z - l4 - tk L,(z) B k=‘,(kl)P L,(z) = - ""^ s0 = etJo(2\/2i) - @el-u J,(2+) du - - 2 9 . 1 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 2q” + (m+l-z)y’ + (n-m)v = 0 Cuando m y n son enteros no-negativos las soluciones de 29.1 son dadas por los polinomios asociados de Laguerre donde L,(z) denota polinomios de Laguerre [véase la página 1531, 29.3 L:(z) = J&(z) 29.4 L:(z) = 0 s i nr>n 29.5 L:(x) = - 1 29.10 L:(z) = - 6 29.6 L:(z) = 22 - 4 29.11 L:(x) = 4zS - 48x2 29.7 Li(z) = 2 29.12 &) = 1222 29.8 L:(x) = -3z* + 181: - 18 29.13 L:(z) = 24x - 96 29.9 L:(z) = -62 + 18 29.14 L : ( x ) = 24 29.15 155 + 1442 - 9 6 - 962 + 1 4 4 POLINOMIOS ASOCIADOS DE LAGUERRE 156 n -m , + n+1 29.16 1 L;+l(2) + (x-l m-2n-l)L32) &:(x)) 29.17 $(.mg-zL~(z)} 29.18 x -$ (L:(~)) 29.19 = = s c3 = + nZLZ(4 = 0 L:+'(z) (m-n-l)Zm-le-lL~-l(z ) (X - m) L?(x) + (m - n - 1) C1(4 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIH 29.20 xme-= L:(x) L:(x) dx = 0 0 <o 29.21 iv%-= s0 j(z) = A,L:(z) 29.22 + :1,:(2))2 dz = (n A,+IL:+&) + pfn (n !)J _ m )I Am+&+2(z) + .*. do nde Ak 29.23 = (k - m )! (k!)s so m x”e-= Lt(x) f(x) dz __-.. -- 29.24 L:(x) 29.25 = (-1p n! (n-m )! - m) p-m - n(n pZn-m -l + l! s 0 ca xm+ le-2 {Ll(z)}2 n(n - W - m)(n - m- 1) xn-m-2 + . . . 2! dx = (2% - m + l)(n!)a ( n -m ) ! > (l- 22)y” - zy’ + n2y = 0 n=0,1,2,... 3 0 . 1 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJ Las soluciones de 30.1 son dadas por 3 0 .2 3 0 .3 T,(z) = 1 3 0 .7 Z’,(z) 3 0 .4 T ,(z) = x 3 0 .8 T ,(z ) = 3 0 .5 T,(x) = 22% - 1 3 0 .9 TB(z) = 32c+- 48z’ $18z2 -1 3 0 .6 T,(x) = 4 s - 3s 3 0 .1 0 T ,(z) = 6427 - 11225 + 6625 - 7x 1 - tx 1 - 2tz + t2 3 0 .1 1 30.12 = T,,(-x) = 3 0 . 1 3 T ,(l) = 1 (-l)n!r,,(x) 30.14 30.15 824-8z2+1 1625 - 2025 = “5& Tn(d T,(-1) = ( -1 ) ” T,,(O) = (-1p 157 + 6z t” 3 0 . 1 6 z’~,+~(o) = o 158 POLINOMIOS DE CHEBYSHEV 30.17 T,+,(z) - 22T”bd + T,-,(z) = 0 30.18 l Tm(4 T,(4 cix s-1 qi=z = 0 m#n s i n=O 30.19 si 12 = 1,2, . . . 30.20 fb) = JAo T,(z) + A, T,(z) + A, T,(z) + . . . donde 2 1 f(d TIc (4 -1 m 3 0 . 2 1 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDC A k= ; dz s unc4 30.22 = sen {(n + 1) cos- 2) sen (cos- z) = (“;‘)+ (yp-3(1-2*) + (n;1)2.-4(1-2P)P 30.23 u,(z) = 1 30.27 u,(z) = 1624 - 1222 + 1 30.24 u,(z) = 22 30.28 U,(z) = 32~5 - 32~3 + 62 30.25 u,(z) = 422 - 1 30.29 U,(z) = 64%” - 8024 + 24x2 30.26 U,(z) 30.30 U,(z) = 12827 30.31 = 82s - 42 1 1 - 2tz + F = n$o - 19225 U”(4 - 1 + 8623 t” - 82 - . . . POLINOMIOS DE CHEBYSHEV 30.32 u,,(-x) 30.33 U,(l) = (--I)“u,(x) = TI + 1 30.34 U,(-1) 30.35 UZ”(0) = (-l)n(n+ = 1) 30.36 U,“, l(O) = 0 (-1p U nt1(d - 22 U,(z) + U,-,(z) = 0 30.37 s 30.38 * di? -1 30.39 U,,,(x) U”(z) dx = 0 s ‘, m {U,(x)}* dx = 30.40 m#n zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYX ; j(x) = A, U,,(x) + A, U,(z) + A, U,(x) + . *. donde 30.41 Ak = 2 ; ’ s- 1 w j(x) U,(x) dx 3 0 . 4 2 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLK TnW = U,(x) - x U,-,(x) 30.43 (I-.~)u,,-~(x) = zT,(d - T,tl(=) 30.44 1 m U,-,(v) T,(4 = 5 j--1 x - v 30.45 A T,,(x) + l?m 30.46 Y U,,(x) dv si It = 1,2,3, = A + Ben-‘x s i n=O . . z(1 - z)I/” + {c - (a + 31.1 b + l)z)y’ - aby = 0 Una solución de 31.1 está dada por a(a + l)(a + 2)b(b + l)(b + 2) 2s + + 2) a-6 31.2zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA F(a, b; c; z) = 1 + GZ + 1.2.++1) z2 + 1 ’ 2 ’ a * c(c + l)(c a(a+l)b(b+l) Si a, b, c son reales, entonces la serie es convergente para -1 < 2 < 1 siempre que c - (a + b) > -1. 31.3 F(-p, 1; 1; -2) = (1 + z)p 31.8 F(& 4;;; 22) = (sen-’ s)/z 3 1 .4 FU, 1; 2; -2) = [In (1 + z)]/z 31.9 F<+, 1;:; -22) = ( t a n - 1 z)/z 3 1 .5 l i m “LO 31.10 F(l,n; l;z/n) = e= -4; +sen2 2) 3 1 .6 F($ 3 1 .7 F(+,l;l;sen”z) = coa z = secz F(l,p;p;z) = 1/(1-z) 31.11 F(n + 1, -n; 1; (1 - 2)/2) = P,(z) 31.12 F(n, -n; 4; ( 1 - z)/2) = T,,(z) Si c. a - b y e - <I - b son enteros, la solución general válida para 1% < 1 es 31.13 y = A F(o, b; E; re) •l- Bd-c F(a - c + 1, b-c + 1; 2 - c; 2) 3 1 .1 4 3 1 .1 5 3 1 .1 6 3 1 .1 7 $F(a, b; c; z) Fbt r(c) b; c; z) = r(b)r(c- F(a, r(c) l-(c - a - b) r(c _ a) r(c _ b) = F(a, b; c; 1) = $ F(a + 1, b + 1; c + 1; z) 1 b) o ub-‘(l- s b; c; 2) = (I- z)~-=-~F(c 160 u)c-b-1(1 -tu)-0 - a, e - b; E; z) du ... 32.1 -c {F(O) = J- e - “ F ( t ) d t = f ( s ) 0 En general f(s) existe cuando 8 > a donde a es cierta constante. .C es llamado el operador de la transformada de LClPltIW. Si 4 {F(t)) = f(s), entonces F(t) = 4-l {f(8)} es la transformada inuersa de Laplace de f(s).<-‘es llamado el operador de la transformado inversa de Laplace. La transformada inversa de Laplace riables complejas. El resultado es de f(s) puede encontrarse directamente por los métodos de la teoria de las va- donde c ha de escogerse de tal manera que todos los puntos singulares de f(s) caigan a la izquierda de la linea Re{s} = o en el plano complejo s. 161 TRANSFORMADAS 162 DE LAPLACE fbl F(t) 32.3 aflb) + bf&) aF,(t) + bF,W 32.4 f W4 a F(at) fb - 4 eat F ( t ) o 32.8 62 .g’f(r) - f P-lF(0) (6) F”(t) - 8 F(O) - F’(O) - sn4’F’(O) - *. . - Fc”-1) (0) F(“)(t) 32.ia f’cd -t F(t) 32.11 f”(4 t2 F(t) B2.12 f’“‘W (-1)“t” F(t) 12.13 f o 8 12.14 f(8) -G- t s0 t F(u) du F(u) du” = t~ (t - 4”-1 F(u) du so ( n - l ) ! t f(s) B(S) t>a t<a F’(t) 8 f(s) - F(O) 32.7 32.9 F(t-a) V(t--a) = 32.6 s0 F(u) G(t - u) du T R A N S F O R M A D A S D E LAPLACE sO f(8) I - F(t) f w du T 1 1 163 emrTso F(t) = F(t + 2’) e-m F(u) du &Jye -12’~~ t-12 s m ~“‘2J,(B\/Ut) &f(l/d 82 1 - +1 u-212 e-2í4u f(u) du F(u) du 0 I fb + 11.9 F(u) du t s0 Jo (Z\/u(t_u) ) F(u) du zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA s %O f(ln slns P(6) = polinomio de grado inferior a n, Q(6) = (6 - 1x,)(8 - cY3 * ’ ’ (6 -Ud donde q, q, . . . , (1,, son todas distintas. TRANSFORMADAS 164 DE fc4 LAPLACE F(t) 32.25 -s 1 1 32.26 1 8i t 32.27 r,1 n =zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJ 1,2,3 ,... (ntn-1 O!=l 32.28 1 P n>O 32.29 1 S-U 32.30 (8 Ia,. tn-1 Un) 4 n = 1,2,3, . ., (ntu-1 ,at O!=l ,at tn-1 32.31 (*‘ a,n n>O r(n) 32.32 1 82 + a* sen at a 32.33 8 s2 + a2 CO8 at 32.34 (8 - bi* + a* ebt sen at a 32.35 s - b (8 - b)* + a* 32.36 1 s2 - a2 senh at 8 s2 - a* cosh at bt* t+t senhat 32.37 32.38 (8 - - a2 ebt cos at a a 165 TRANSFORMADAS DE LAPLACE f(e) 32.39 8-b (8 - b)* - u* 32.40 1 (s - a)(s - b) 32.41 I 8 (8 - a)(s - b) F(t) 1 ebt cosh at ,bt - ,at a#b a#b b-a bebt - a@t b-a I 32.42 (82 1 + a*)* senat - at co8 at 2aJ 32.43 (82 * + a*)* t sen at 2a 32.44 82 (82 + a2)2 32.45 (82 32.46 I senat ti + a*)* + rtcosat 2a coa at - *at sen at n2 - a* (82 + a*)* t cos at at cosh at - senhat 2aJ 32.47 32.48 (82 8 - ay 32.49 ( 12 - a*)* 32.50 coeh at + +at senh at (82 - zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA a*)” 82 senhat + at cosh at 20 z 32.51 I 32.52 1 32.53 t senhat 20 l ~3% + a* - a*)* t cosh at (82 (3 - t+W) sen at - 3at cos at 8a5 (82 f aqs I I 32.54 (82 +(12 d)5 32.55 (82 ti + a2)* t sen at - ats cos at 8as 8aJ (1 + a*ts) sen at - at cos at 3t sen at + ats eos at 8a TRANSFORMADAS 166 DE LAPLACE f(8) F(t) B2.56 84 (82 + a*p (3 - aW) sen at + Sat CO6 at 8a B2.57 85 (82 + a*y (8 - &t*) cos at - 7at sen at 8 12.58 (82 32.59 3 - 3a*8 (82 + ay 32.60 32.61 32.61 32.63 ?2 senat 2azyxwvutsrqponmlkjihgfedcba 382 - a* + a2p o4 * t* - 6a28* + a4zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA +t” coa at (62 + dq4 I t a s e n at d - a4zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQP (6* + tI*)’ 2 4 a 1 (3 + &t*) senh at - 3at cosh at 8d (6* - U*)> 8 32.64 at 32.6% cosh at at + t 8aa (tc*tz senh at - 1) senh at z (6* - U*)’ + 8a d (3 + a*t*) senh at + Sat cosh at (6* - a*)’ 8a 3 t senh a t cosh .t * a t (8 + dLt*) cosh at + ‘7at senh tzt 8 t* 382 + a* - .*y (82 - senh 2a &t* 66+3d6 (89 - cosh 8a8 32.61 32.61 at* (6* - a*)* 32.64 32.66 CO6 a t u2)’ ut cosh at - 32.7( 32.71 32.7: d + 6d6= + tZ4 it a (62 - ~34 ti + a b (82 - d)4 1 P + as 19 cosh a t senhat 2 4 a fiat CO6 2 + * -aah</ * T R AN S F O R M AD AS D E LAPLACE I f(s) F(t) I 1 3 32.74 167 I e- & fiat + 24’2 cos2 > ( 1 83 - aS 32.75 l 32.76 I 8 83 - aJ 1 \r3 at - 82 3 2 . 7 7 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 3 eot + 2t?-af’2 coss3 - aa 2 > ( &( sen at cosh at - cos at senh at) 32.78 sen at senhat 32.79 2a2 82 ti + 4a4 32.80 32.81 I ka( senat 83 84 + 4d eos 32.82 32.83 gz(cosh I cosh at at &(scnhot senat) - cos at) + se nat) 8s Sr - a* # cosh at + cos at) &\Is+b 2(b - a) \l;;is e-bt - e-at 32.86 32.87 at &(senhat - 32.84 32.85 cosh at + cos at senh at) 1 8&TF-c e” fer &ii 32.88 &(gl- a) 32.89 1 ca+b Ib ~9: ‘-b ebzt \/;;I zyxwvutsrqponmlkjih Ccer (bfi) > TRANSFORMADAS 168 DE LAPLACE 32.90 32.91zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 32.92 (m-s)= n>-l a” J, (at) d2-T-z 32.93 32.94 (8 - 6=,” \/82-az Io W n > -1 an I, (at) eb:a- \/a’+o’) JoCa- )zyxwvu dFT2zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYX J, (am ) 0 e-bm 32.95 32.96 32.97 32.98 lrzT2 (82 t JI (4 1 + a2)3/* a 8 (s* + a2)s’* (82 32.99 t Jo (4 62 + a*)3/2 J,(d) 1 (82 tI, 04 - ,2)2,2 a t L3 (4 (82 - aZ)S/Z 32.102 - atJ,(at) s 32.100 32.101 t>b t<b Zo(at) (#2 $)w2 = 6(e’1 1) s(l-e-1 e-a) + atll(at) F(t) = ti, n 5 t < 1~ + 1 , A = 0, 1,2, . . . Véase además 32.165. 32.103 1 -= #(eS -r) e-’ s(1 -Te-*) W) rt1 = ,ZI vk d o n d e [t] = má x i mo e nt e ro 5 t 32.104 s(e* eS = - 17) 8(1 1- r e e-* - * ) Véase además 32.167. F(t) = V”, n 5 t < 12 + 1, n = 0,1,2, . . . TRANSFORMADAS DE LAPLACE 169 32.106 t a (3 32.107 WP J,cm) ,-&4t 32.108 azyx - ,-0 ’/4 t 32.109 2G 32.110 32.111 32.112 fer (a/Zfi) 0 *-06 fcer (a/2\/t) a pldi &(di+ eb(bt+o) fcer zyxwvutsrqponm (bfi + - $) b) 32.113 @-bt - a -d 32.114 t 32.115 In [(P + a*)/a*] 2lt Ic (at) 32.116 In [ta+ a)/a] a le (at) 32.117 (Y + l n 8) * In t y = constante de Euler = 0,5772156 2 kos at - cos btl 32.118 t 0 In* t 32.119 y = constante de Euler = 0,5772156 32.120 In a 8 - (In t + y) y = constante de Euler = 0.5772156 32.121 In* a 8 (In y = constmte t + y)* - *“2 de Euler = 0.5772156. TRA N SFO RM A D A S D E LAPLACE 170 f(s) I F(t) I r’(n+l)-r(n+l)Ins gnt1 12 > - 1 tan-l (afs) 32.124 8 I ,-At 32.125 dz 32.127 2a -zp -e ti es2’40a fcer (sl2a) 32.126 es*‘4a* fcer (s/2a) fer (at) 8 I e” fcer& 32.128 fi 32.129 1 e- le(as) I t + a 32.131 senaa{;- Is( + c o s a s Ic 32.132 cosas{~- Zs(ar)} -‘senas Ic tan-1 (t/a) s 32.133 sentlU{i- Is( + COSa IC $1” 8 t* + u2 --g( > 32.134 I 32.135 0 Y(t) 32.136 1 a(t) 32.137 e-0, 6(t - a) 32.138 e-os II u(t -4 V éase además 32.163. = función nula = función delta TRANSFORMADAS DE LAPLACE F(t) fb) nut n?rx s e n - CO8 7 senh 8% 8 senh sa 3 2 .1 3 9 I 32.141 cosh m s senh MI 32. 142 cosh 8% 8 cosh sa I a senhsx s cosh aa 3 2 .1 4 0 3 2 .1 4 3 171 senh 8% senh sa 8* 3 2 .1 4 4 senh sz 82 cosh sa 3 2 .1 4 5 82 3 2 .1 4 6 132 3 2 .1 4 7 cosh 8% s3 cosh ea 3 2 .1 4 8 senh z\/s senh afi I cosh 32 senh sa eosy(l - ,,,y) cosh sz cosh 3a I 32. 149 cosh xfi cosh a\/8 3 2 .1 5 0 senh x\/s fi cosh afa I (2n - l)nx (2% - l)d (-1)” #tz+x2-a2) - ‘6aZ 5 ?? n=l -cosZa (2n-1)3 cos2a I ;‘ *jl (-1)~1 (2n - 1)az cos --si- l cosh xfi \Ts senh afi 32.151 (zn _ 1) e-(2rr-l>‘n*t/4a* nnx cosy ?tPX sen7 3 2 .1 5 2 32.153 senh q& senh afi 32.154 82 cosh zfi .3 2 . 1 5 5 $ +?$ 5 q(1 - e-“%‘t/o’) nax sena ?t=, -(2n-lWt/4o’ cosik.pE 82 cosh a6 l L zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA I 172 TRANSFORMADAS DE LAPLACE f(8) m c-~:~J~’ Jo(x,xla) 1-2x +X=1 12.156 b, J~(htl donde X1, As, . . . son las raíces positivas de 32.157 e-h* J, (h,zla) Jo (,\ys) 82 Jo(k) = 0 )(x*-a9 Jo (iafi ) + t i- 2a2 5 ll=1 x:J, 04 donde X1, X2, . . . son las raíces positivas de Jo(A) = 0 Función de onda triangular 32.158 --&anh y 0 ::. 6a 20 40 Fig. 32-l Función de onda cuadrada 3 2 .1 5 9 ;tanll 0 f Fig. 32-2 Función de onda senoidal rectificada 3 2 .1 6 0 &&sco~ 0 y lEl¿=k 2a 0 Po Fig. 32-3 Función de onda senoidal semi-rectificada I W) 32.161 ‘ O a 2a 2a Fig. 32-4 Función de onda en diente de sierra 3 2 .1 6 2 Fig. 32-5 t 40 TRANSFORMADAS DE LAPLACE 173 F(t) f(s) Función unitaria de Heaviside T((t -u) e-as 3 2 .1 6 3 s Véase además 32.138. Fig. 32-6 Función de pulsaciones 32.164 ot. Fig. 32-7 Función escalonada 1 s(1 -e-y 32.165 Véase además 32.102. JazyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZY (1 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONM 4a F’ig. 32- 8 F(t) = &, n 5 t < 72 + 1, n = 0, 1,2, . F(t) 4 i 32 1 2 .1 6 6 1 4 l 1 I Fig. 32-9 F( t) = r”, n~t<n+l,n=0,1,2 ,... 1 - e-a ~(1 - r e - * ) 1 2 .1 6 7 Véase además 32.104. 0' t 1 2 3 Fig. 32-10 ;2.168 aa(1 + e - q uw + 7?zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Fig. 32-11 33.1 j(x) = Sm {A(a) cos (1% 0 + B(a) sen az} da donde A(a) = ; $= f ( z ) cosaz dz -0D 33.2 1 B(a ) = ; j-- j(x ) se n ax -cc dz Las condiciones sutícientes bajo las cuales el anterior teorema es válido son que: (i) f(z) y f’(z) sean casicontinuas en todo intervalo finito (ii) cc _<. .f Ij( -L < z < L; dx c o n v e r j a ; (iii) f(z) sea remplazada por ){f(z + 0) + f(z - 0)) 33.3 33.4 33.5 si x es un punto de discontinuidad. j(u) cos a (cc - u) du da f(z) f(z) = &-” etilda! -ja Sm f(u)e-bu d u -m = 1 * 2, S -~ v __ j(u) &‘(=-“1 du da S = flPsen (1% da i’/(*b) sen au du donde f(x) es una función impar [f(-z) = -f(z)j. 33.6 donde f(x) es una función DW j(x) = ~~-co..x da &-j(u) cosau [f(-2) = f(z)]. 174 du TRANSFORMADAS DE FOURIER La transformada de Fourier de f(x) se define así 3 3 . 7 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA T{f(z)) = F ( a ) = f j ( x ) e-‘a= dx -Do Entonces, de 33.7, se sigue que la transformada inversa de Fourier de F(a) es 3 3 .8 7-l{F(a)} = f ( z ) F(u) y f(z) son llamadas pares de transformados Si Fb) = TU(d) Y $ Sm F(a) t+= da -w de Fourier G ( a ) = T{g(x)}, e n t o n c e s 1 F(a) G(u) &= da 5 s-D 3 3 .9 = m = s-m f(u) AZ - 4 du = f*o donde /*8 denota el producto de conuohción de f y #. Así que 3 3 .1 0 S i F(a) = P{f(z)}, 33.11 ‘F’(f*81 = .F‘(f) Fbl - lf(d12~ J -CC = $ j-c+ entonces De manera más general, SI F(a) = P{f(z)} y G(a) = F{g(z)}, I FW~ entonces 3 3 . 1 2 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTS - f(x)g(z )dx = &$’ F(n) G(u) da s-ca -0I donde la barra significa que se trata de la conjugada compleja La transformada de Fourier en seno de f(x) se deune as, 3 3 .1 3 Fs(a) = ~s{(f(z)} = s - f(x) s e n 0 ax dz Entonces, según 33.13, la transformada inversa de Fourier en seno de F.,-(a) será 3 3 .1 4 f(z) = y;‘{Fs(a)} = t Jo- F , ( a ) s e n 01% da TRANSFORMADAS 176 La transformada de Yourler 3 3 .1 5 DE en coseno de f(x) se define como F , ( a ) = ~c((f(z)} = j--f(z) 0 Entonces, según 33.15, se tiene que la transformada inversa de Fourier 3 3 .1 6 f(x) = = dz en coseno de F,(a) es ss” F,(u) cosmz d a 0 x2 + b* ue-“a b f(“ ) (4 i”a”F(a) Z”f (d d”F i”da” 1 -_ 3 3 .1 6 33.21 ~;‘(F,(u)} COS<IZ 2 sen bo 3 3 .1 7 3 3 .2 0 FOURIER I 177 TRANSFORMADAS DE FOURIER f(z) 13.23 13.24 Fc (4 1 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVU O<zb z-1 5 zyxwvutsrqponmlkji z Ee -b. 1 3 . 2 5 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA iv* + bs 2 B3.26 ,,-bz <I Z + b, r(n) sen (n tan-1 db) p-1 # -br 33.27zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONML (~3 + bz)“‘e 13.28 Xe-2 B3.29 Z-112 33.30 2 -n & ,e-d14b , B3.31 33.32 ?d-'cac(nd2) 2 r(n) sen bx Z sen bz 28 Ud2 o b 0 33.33 cos bz Z 33.34 tan-1 (zlb) 93.35 csc bz 33.36 1 ea - 1 d4 al2 ab O-Cr<2 TRANSFORMADAS DE FOURIER 178 f(z) 33.37 Fc (4 1 O<zb sen bu 01 33.30 1 39 + v re-b= 2b 33.39 .-bz b Pa + b!= r(n) cos (n tan-1 db) su-1 e-bz 33.40zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA (o* + b*)“le 33.41 e-ba? 33.42 ~-ll!2 33.43 2-m e-e” _ e-ha 33.44 lrll 33.45 sen bx x 33.46 sen bx2 53.47 cos b& j3.48 sech bz j3.49 cosh (\r;; x/2) cosh (fiz) 13.50 ac+-’ sec (nd2) ) W(n) al2 ab (12 c? Cb coa- sen z 4-C 4 b = sech% z o < n < lzyxwvutsrqpo 0 dv de = = 1 - kz sens 8 0 o \/< l - v2)(1- k%2) donde x = sen $,y $ = am u es llamada amplitud de LL. Además, tanto en la anterior fórmula como en lo que viene a 34.1 u = F(k, c) = S s, continuación, 0 < k < 1. 34.2 K = F(k'a'2) = í{l + E = = -(ò' ($k2: ($M + (Eyka + = 0 E(k,al2) = E(k,q,) 34.4 = .f*" ,/l -;:sen2e = s=” l-k2serGede d n(k’n’C) = ea*} 4-2 - = S (+2; - (kk&f de 34.5 = v2;;l -kZ,2) So\/l_vz fdl-k2sen2dd8 = i(l - (ù’k2’- \/(l - ’ dv di=is 7 dv dv ~ ~ *(l+nsen~ e)\/l-kasea2~ 179 = so’;(l+~ v~ )~ (1-v~ )(l-k%~ ) FUNCIONES 180 n (k, u, 34.6 am = s aI2 ELIPTICAS de (l+nsen2e)\/1-kssense 0 = 1s o dv (1 + nv2) d/<l zyxwvutsrqponm - vs)(l - k%“) sen 2#, tan+ 34.7 = k + c0s2+~ ’ k sen@ = se11(29~ - 0) Lo cual da F(k,g) 34.8 = del 4 1 - k; zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZY se n2 eI f ds \/l - k2 sen2 e donde k, = 2fi/(l+ k). Por aplicaciones sucesivas, se obtienen las sucesiones k < k, < k2 < k, < *** < 1 donde lim k, = 1. Se sigue que tales q u e k,, k2, k,, . . . y #l. 02, $3, . . . ll-o- P(k,e) 34.9 = donde 2fi k,=1+k,’ . . . 6 k,=l+k, El anterior resultado se emplea como método aproximado para hallar el valor de F(k, +). Con base en 34.1 se definen las funciones elípticas siguientes. 34.11 z = 34.12 v 34.13 d- 2 aen(amu) = = cos(amu) snu = cnu = VI - k2an2u = d n u También se pueden definir las funciones elípticas recíprocas Sn-1 z,cn- X, dn-1 z y las que se dan a continuación 34.14 34.15 34.16 nsu 1 = sn u 34.17 n c u = --& ndu = -& scu sn u = G 34.20 csu cnu =x 34.18 sdu = -2 dnu 34.21 dcu = 34.19 cdu = E 34.22 dsu=* sn u 34.23 sn 34.24 cn(u+v) 34.25 d n (u+v) = snu cnv dnv + cnu snv dnu 1 - k2 sn2-u sn2 v = cnu cnv - snu snv dnu dnv 1 - k2 sn2u sn2v (u+v) = dnu dnv - k2 snu snv cnu cnv 1 - k2 sn2u sn2v g FUNCIONES ELIPTICAS d sn u = 34.26 du cnu dnu 34.28 3 4 . 2 7 d- c nu = du -snudnu d scu 3 4 .2 9 du 3 4 .3 0 snu = cnu = 1 - $+ (1+4k2)$ dn u = - kZ sn u en 11 = dcuncu - (1+44kz+l6k’)$+ . . . . . . 1 - k* $ + k*(4 + k*) $ - k2(16 + 44k2 + kq $ + . . . $Kdk = ; SS, l Ir,2 0 k=O 8=0 34.33 d -dnu = du u - (l+kz)g + (1+14kz+k’)$- (1+135k2+135k"+k'L)$+ 34.31 3 4 .3 2 181 de dk l-kzsenze 1 -12 = - = 0.915965594. . . sea 3 4 .3 4 K de 1 - k2 senz 8 = Entonces 3 4 .3 5 Tl2 K' = s0 ’ \/ 1 sn u tiene período 4K y 3 4 .3 6 de - kg2 donde sen2 8 k’= m 2iK’ cn u tiene periodo 4K y 2K + 2iK' 3 4 .3 7 dn u tiene período 2K y 4iK' 34.38 8n2U + cn*u = 1 34.40 dn2 u-k2cn2u = 34.39 k ,2 dnzu + k2 snz u = 1 1 - cn2u dondezyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLK = m k’ 34.41 s”2u 3 4 . 4 2 cn u = d”121f “f 34.43 3 4 .4 4 1-cn2u = _ sn u_ dn u_ 1 + en 2u cn u 3 4 . 4 5 = dn2u = l+dn2u l-k2+dn2u+k2cnu 1 + dn2u ucnu j/G k=s n dnu FUNCIONES 182 3 4 . 4 6 snO’= 3 4 . 5 1 3 4 . 4 8 dn0 = 1 3 4 . 4 7 cn = 1 0 $mudu ELIF’TICAS 3 4 . 4 9 SC0 = 0 34.50 amo = 0 = %ln(dnr-kcnu) 34.52 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUT s e nu du = ica-l(dnu) 34.53 34.54 UU.55 s d n u du = s e n - ’ ( m u ) S scuddu j-csu 3 4 . 5 6 du = 1 -In(deu + mmu) &=E = In (nsu - dsu) scdudu = iIn(ndu+ksdu) ti.57 $dcudu 34.58 SzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFE dudu 3 4 . 5 9 34.62 s s In(ncu+ecu) -1 kfi* = ln(nsu-csu) Jnsudu = ln(dsu-cru) ncudu = -&gln dcu + ( ndudu = donde E OCU fi 1 -cos- (cd u) m 34.63 34.64 sen- ’ (k cd u) - = $dsudu 3 4 . 6 0 34.61 = = s T/2 lf EK’ + E’K - KK’ = 1 - k2 Sena 8 de K 1 - k’* sen2 B K’ = 0 0 34.65 E’ = s */2 42 = de ~i=xz 35.1 3 5 .2 3 5 . 4 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA fcer ( 2 ) = l-2 yL+ & + .. fi *. ‘. ‘. ( * . 1.3.5 - e-I l- & + + - & - - + .*. (222)3 6x ( > 3 5 .5 fcer ( 2 ) 3 5 .6 fcer (0) = 1, 3 5 .7 k(z) = 3 5 .8 k(e) = 3 5 .9 le(z) - 3 5 .1 0 le(-) = 0 35.11 I?(Z) = l ;“l r 3 5 .1 2 &) - ; - zy > fcer(m) = 0 -y - lnz + -y-lnz+ s0 = 1 - e-u du u z- & i+ & - .. . (l-l! > 1 -;+ 2 p+ ... > - & t & ++; _ $ +$ . - . . . . - c !% (,~ c !+ i$ ( 35.13 Is = - ra(z), b(0) = 0, b(c.2) = T/2 183 . ..) FUNCIONES 184 3 5 .1 4 rr(z) = 3 5 .1 5 k(z) = -y-In% + =1 - cosu díc u 26 -y-In%+&-A+--&+.*. * . 6.6! . . Ic(-) 3 5 . 1 8 = ..j _ “Ey ( 1-$+$- . . . 0 2’5 -+ *.. S(z) = f g&j+&. 15*7! Iu . !2.$2 - . . .) + (wnz2) (& e&! + . ..)} a s.1 9 S(z) - ; - -L a 3 5 .2 0 s(-z) = -S(z), s(o) = o, s(m) = ; 3 5 .2 1 3 5 .2 2 3 5 .2 3 C(z) = 5 - & + & - -!?13.6!+ 1.3 c(z) - q-r) = -C(r), 3 5 . 2 4 r(z) = & ji= 3 5 .2 5 35.26 DIVERSAS s6 3 5 .1 6 a s.1 7 NOTABLES c(o) = 0, Ul-I d u e-1 ’ ((1 - r) = 2’ -=;r-* 1.3.5.7 +-$$-- . ..) - kosz2)(&~+ C(m) = (2k) ! f z>l iy.c) cos (rx/2) i(z) pc-‘72**k {(2k) = ... k = 1.2.3. . [aplicable a Cli TOS valores] . ..)} 36.1 36.2 36.3 la,b, + a2b2 + ***+ anb,12 5 (la,/* + lu*12 + *. . + 14*W11* + P212 + . . * + IbA*) La igualdad se cumple cuando y solamente cuando a,lb, = adb2 = * *. = a,,lb,,. Sean A, G y H las medias aritmética, geométrica y armónica de los números positivos al, a2, . . . , a,,, entonces 36.4 HSGSA donde 36.5 A= aI + al + - - - + a, n 36.6 > La igualdad se cumple cuando y solamente cuando 36.8 ja,b,+azbz+ ... + a,,b,,l ... G=$Gn 5 4, = a, = * *. = a,. (lql~ + la2jp + . . . + la&‘)l’p(ib,[U + Ib$ + . . . + Ibnla)“q donde 36.9 $+$ = 1zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZ P>L q> l La igualdad se cumple cuando y solamente cuando lal~~-‘l~bl~ p = P = 2 ésta queda reducida a 36.3. = la,jP-‘llb21 = . . . = Ia&‘l1b.l. Cuan& DESIGUALDADES 186 Si a,lZ a, 2 *‘. è a, y b , 2 b2 Z ... 2 b,, e n t o n c e s b, + b, + * * * + b, al + % + *** + an a,b, + a,b, + 26.10 II x 5 12 ... t a,b, Tl > 0 26.11 (al + az f . . . + a,,)(b, + b, t . *. + b,) S n(a,b, + a,b, + . . + a,,b,) Si a,,a, ,...,a,,b,,b2 ,... b, son todos positivos y si p > 1, entonces 36.12 ((0, + bl)P + (up + bz)p + * . . + (a, + b” )p}l’p La igualdad se cumple si y solamente si á (a; + a; + . . . t .f)l’p + (b: + b; + . . . La igualdad se cumple si y sólo si f(z)/@) es constante. sa b IW d4l dz en la que l/p + l/q = 1, p > 1, q > 1. b:)ll” zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYX a,lb, = a$b, = * . * = a,lb,. 26.13 26.14 t = {s," V<~Pd~)l's{ ~ablh4qd~)l'* Si p = q = 2, ésta se reduce a ladesigualdad 36.13. La igualdad se cumple si y sólo si If(z)lP-l/1g(z)\ es constante. S i p>l, 36.15 La igualdad se cumple si y sólo sif(z)lg(z) es constante. 37.1 37.2 cscx = 37.3 secx = 4a 37.4 tanz = 8x 37.5 sec2z = 4 5 269 - 4x2 - '*' (,+2x,* 1 + (3n 37.6 37.7 cothz = -+ 1 .. . 37.8 cschz = -+-1 1 . . . x2 + 4n* 2*+9nJ 37.9 sechz = 4~ 37.10 tanhz = 82 22 + 979 1 3 5 ---+ 2~~2 + 4%2 - "* 112 + 4x* 9a2 + 4x2 1 2W+42" + *'* 187 38.2 38.3 senhz = q1+ ql+ gl+ g *** 38.4 38.5 Vease 38.6 además 16.12, página 102. Job) = (l-$(1-$(1-$ donde XI. XI. Aa, 38.7 -** . . . son las raíces positivas de J,,(z) = 0 . /*(2) = +-$(l-gl-5) *** donde x,, x,, xa, . . . son las raíces positivas de J,(z) = 0. 38.8 sen2 -= z coa z coa z c(M z cos .E . . . 2 4 8 16 2 .-.-.2 4 4 ._._.... 6 6 ; = _ 3 8 . 9 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 1 3 3 5 5 7 Este últimoes llamadoproducto de zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDC Walli 188 39.1 wd = p>o, ,& y P’q”-’ -0 39.3 Nd = 39.4 +(z) q>o, p + q = l & - = &jI, e-t’dt 39.5 1 = e-t/Z & 39.6zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA *w = p,2qn,.4. s* t(n-2)12zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLK 39.7 9(z) = nn,/2ñn,12 12 = s0 rhmrln,/2) 189 t’W*(al + qt)-(*I+Y)‘* dt La tabla aue viene a continuación trae los momentos de inercia de diferentes cuerpos rígidos de masa M. En todos los casos se sipone que el cuerpo tie le densidad uniforme les decir. constantel. (0) (b) alrededor de un eje perpendicular a la varilla y que basa por el centro d e m a s a , zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA alrededor de un eje perpendicular a la varilla y que pasa por uno de los extremos. 40.2 Paralelepípedo rectángulo de lados a, b, c (a) alrededor de un eje paralelo a c y que pasa por el centro de la cara ab, &M(a2 + V) (b) &M@aZ + b2) alrededor de un eje paralelo a c y que pasa por el centro de la cara bc. 40.3 Lámina rectangular delgada de lados a, b (a) alrededor de un eje que pasa por el centro de la lámina y perpendicular a ella, (b) alrededor de un eje paralelo al lado b y que pasa por el centro. 40.4 b2) &Ma2 Cilindro circular de radio a y altura h &Ma2 (a) alrededor del eje del cilindro, (b) alrededor de un eje perpendicular al eje del cilindro y que pasa por el centro de masa, (c, alrededor de un eje que coincide con el diámetro en uno de los extremos. 40.5 &M(az+ &M(P+ 3a2) &M(4h* + 3a*) Cilindro circular hueco de radio exterior a, radio interior b y altura h 3M(a2 + 62) (a) alrededor del eje del cilindro, (b) alrededor de un eje pekpendicular al eje del cilindro y que pasa por el &M(3a2 + 3b2 + h2) centro de masa,zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA (c) alrededor de un eje que coincide con el diámetro en uno de los extremos. &M(3a2 + 3b* + 4h2) 190 191 MOMENTOS DE INERCIA IMPORTANTES 40.1e,la, L á m i n a ejreular 2” 1 de,radio a , .a) alrededor de un e,e perpendicular a la lamina y que pasa por el centro ib) alrededor de un eje que coincide con el diámetro. 40.7 Lámina circular hueca o anillo de radio exterior a y radio interior b ,n) alrededor de un eje perpendicular al plano de la lámina y que pasa por el centro, zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA ,b) alrededor de un eje que coincide con un diámetro. 40.8 Anillo circular delgado de radio a +M(az + b2) fM(az + b*) l la) alrededor de un eje que pasa por el centro, y perpendicular al plano del anillo, ib) alrededor de un eje que coincide con el diámetro. 40.9 Esfera de radio a Ma2 4Ma2 I (a) alrededor de un eje que coincide con un diámetro, jMa2 (b) {MG alrededor de un eje tangente 40.10 a la superficie. Esfera hueca de radio exterior a y radio interior b I gM(a5 - b5)/(d (a) alrededor de un-eje que coincide con un diámetro, (b) alrededor de un eje tangente 40.11 jM(a5 a la superficie. - b5)/(u5 - bs) + Maz Concha esférica hueca de radio a (a) alrededor de un eje que coincide con un diámetro, Mu2 (b) alrededor de un eje tangente 2Ma2 40.12 Elipsoide de semi-ejes a la superficie. a, b, c (a) alrededor de un eje que coincide con el semi-eje e, (b) alrededor de un eje tangente una distancia a del centro. 40.13 - b*) a la superficie, paralelo al san-eje 3M(u2 + b*) iM(6a2 + b*) e y a Cono circular de radio a y altura h fa) alrededor del eje del cono, &Md (b) alrededor de un eje perpendicular al eje del cono y que pasa por el vértice,zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA $M(a2 + 4h2) (c ) alrededor de un eje perpendicular al eje del cono y que pasa por el cen&M(4a2 + W) tro de masa. 40.14 Toro de radio exterior a y radio interior b (0) alrededor de un aje que pasa por el centro de masa y perpendicular al plano del toro, (b) alrededor de un eje situado en el plano del toro y que pasa por el centro de masa. I $K(W )M(9a2 - 6ab + 3b*) - 10ab + 6b*) L o n g i t ud = .lOCNl metros (m) = 100 centímetros 1 kilómetro (km) 1 metro (rnJ 1 centímetro (cm) = 1 milimetro (mm) = lOes 1 micra ( p ) Area = IO-*m 1 pulgada (pulg) = 2,540 cm 1 pie = 30,48 cm (cm) 1 milla m lo-sm 1 miliniicra (m c) = lo+ 1 angstrom (A) = m 10-‘Om 1 metro cuadrado (m*) 1 piecuadrado (pies) = = (mi) 10.76 piee 1 929 cm* 1,609 km = 10-s pulg 1 = 0,3937 centímetro 1 metro kilómetro 1 = 1 mil = 39,37 0.6214 = millacuadrada 1 acre (mi*) = = pulg pulg milla 640 43.560 wes pies% VolumenzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 1 litro (1) = loo0 crns = 1,057 cuartillos (qt) = 61,02 pulgs= 0.03532 pie3 1 metro cúbico (m3) = 1000 1= 35.32 pies3 1 pie cúbico (pies) = 7,481 galones (E.E. U.U.) = 0.02832 m3 = 28,32 1 1 galón (E.E. U.U.) = 231 pulgs = 3,785 1; 1 galón británico = 1,201 galones (E.E. U.U.) = 227,4 M5W* 1 kilogramo (kg) = 2.2046 libras av (Ib) = O,C6852 slug; 1 Ib (av) = 453.6 gm = 0,03108 slug 1 slug = 32,174 Ib = 1459 kg Velocidad 1 km/ hr = 0,2778 m/seg = 0,6214 mi/hr =0,9113 pies/seg 1 mi/hr = 1,467 pies/seg = 1,609 km/hr = 0.4470 m /seg Densidad 1 gtn/cnG = 10” kg/ms = 62.43 lb/pies = 1,940 slug/pies 1 lb/pS = 0,01602 1 newton (nt) = lOs dinas = 0,1026 1 libra fuerza (Ibf) gm/cms; 1 slug/pie3=0,5154 kgf = 0,2248 gm/cm3 Ibf = 4,448 nt = 0.4536 kgf = 32,17 poundals 1 kilogramo fuerza (kgf) = 2,205 Ibf = 9,897 nt 1 tonelada (E.E. U.U.) = 2000 lbf; 1 tonelada grande = 2240 Ibf; 1 tonelada metrica Energíe 1 julio = 1 nt m = 10’ ergios = 0,7376 1 pie lbf = 1,356 julios = 0,3239 = 2205 Ibf pie lbf = 0.2389 cal = 9,481 X lo-’ Btu cal = 1,285 X 10m3 Btu 1 caloría (cal) = 4,186 julios = 3,087 pie Ibf = 3,968 X lo-* Btu 1 Btu (unidad termita británica) = 778pie lhf = 1055 julios = 0,293 vatio hr 1 kilovatio hora (kv hr) = 3.60 X lOE julios = 860.0 kcsl = 3413 Btu 1 electrón voltio (ev) = 1,602 X lo-t9 julios Potencia 1 vatio = 1 julio/seg = 10’ ergios/seg = 0.2389 cal /seg 1 caballo de fuerza (hp) = 550 pie lbf /seg = 33.C00 pie Ibf/min = 745.7 vatios 1 kilovatio (kv) = 1,341 hp = 737.6 pie Ibf /seg = 0,9483 Presión Btu/seg 1 nt 1 m* = 10 dinas /cm* = 9.869 X 10-O atmósfera = 2,089 X lo-* lbf/pie* 1 Ibf/pulg* =6895 nt/m* = 5.171 cm de mercurio = 27.68 pulg agua 1 atmósfera (atm) = 1,013 X lo5 nt/m* = 1,013 x 10s dinas/cm* de mercurio = 406.8 pulg agua 192 = 14.70 lbf/pulg* = 76 cm pulg* Parte II TABLAS LOGARlTMOS 1. COMUNES Hállese log 2,36. Necesitamos encontrar el número p tal que 10~’ = 2,36 = N. Puesto que 100 = 1 ylO1 = 10, p se encontrará entre 0 y 1 y su valor se podrá hallar en las tablas de logaritmos comunes, página 202. Así pues, para encontrar log 2,36 buscamos de arriba hacia abajo en la columna de la izquierdo encabezada con una N hasta que encontremos los dos primeros dígitos, 23. Luego proseguimos hacia-la derecha hasta en,contrar el número 3729 en la columna encabezada con el “limero 6. Entonces tenemos que log 2,36 = 0.3729, o s e a q u e 2,36 = 100.3729. 2. Hállese (aI log 23.6, (b) log 236, (c) log 2360. = 1 0 0v3mn. Por el problema 1 sabemos que 2,36 23,6 = lOV729, 2 Entonces, 3 6 mukip’icando = 10%37QQ, 231X sucesivamente por 10, tenemos = lOQ.3”Q Así que (a) log 23;6 = 1,3729 (b) log 236 = 2,3729 (c) log 2360 = 3,3729. El número 0.3729 que hemos tomado de la tabla, se llama mantisa del logaritmo. El número que queda antes de la coma es la característica. Así por ejemplo, en (b) la característica es 2. La regla siguiente es útil y de fácil comprensión. Regla 1. La característica de un número mayor que 1 es igual al número de dígitos antes de la coma menos uno. Por ejemplo, puesto que 2360 tiene cuatro dígitos antes de la coma, la característica será 4-1=3. 3. Hállese (a) log 0,236, (b) log 0,0236, Por el problema 1 sabemos que 0,236 O,O236 0.00236 (c) log O,OO236. 2,36 = 1 0o*sT29. Entonces, dividiendo sucesivamente por 10 tenemos, zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVU = 100,2729-l = 109,3729-10 = íO-0,6271 = lO0,372Q-2 = = zz 1,,0,3'29-3 1@3,3729-10 107,3729-10 = lo-l,6271 = lo-2,6271 Entonces (a) log 0 , 2 3 6 = 993729 - 10 = -0.6271 (b) log 0,0236 = 8.3729 - 10 = -1.6271 (c) log 0.00236 = 7,3729 - 1 0 = -2,627l El número 0.3729 es la mantisa del logaritmo. El número que acompaña a la mantisa 8 - 10, ó 7 - lo] es la característica. La regla [tales como: 9 - 10, siguiente es útil y de fácil comprensión. Regla 2. La característica de un número positivo menor que 1 tiene signo negativo y su valor numérico es igual al número de ceros que siguen inmediatamente después de la coma más uno. Así por ejemplo: puesto que 0,00236 tiene dos ceros que van después de la coma, la carac, erística será -3 ó lo que es lo mismo, 7- 10. 194 EJEMPLOS DE PROBLEMAS PARA ILUSTRAR EL USO DE LAS TABLAS 4. Verifíquese cada uno de los siguientes logaritmos. (a) log 872. Mantisa = 0.9405, característica = 1; entonces log 87,2 = 1.9405. fb) log 395.000 = 5.5966. = 8,6830 Mantisa = 0.6830, caracterfstica = 8 - 10; entonces log,eO,O482 (c) logle0,0482. (d) log 0,000827 5. 195 - 10. = 69175 - 10. Hállese log 4,638. Puesto que el número tiene cuatro dígitos, tenemos que interpolar para hallar la mantisa. La mantisa de log 4638 se encuentra entre las mantisas de log 4630 y de log 4646 y es mayor que la mantisa del primero en 0.8 veces la diferencia entre las dos mantisas. Mantisa de log 4640 = 06665 Mantisa de log4630 Mantisade log4,638 = 06656 + (0,8) = 06656 = 0,6663 Diferencia tabular = O,KQ9 (0,0909) hasta la cuarta cifra Entonces log 4,638 = 0.6663 Si así se desea, puede emplearse la tabla de partes proporcionales de la pagina 202 para obtener directamente la mantisa (6656+ 7), 6. Verifíquese cada uno de los siguientes logaritmos. (a) log 183,2 = 2,263O (2626 + 6) (b) = 4,9427 (9426 +2) = 9.4062 - 10 (4048+14) log87,640 (c) logO,2548 (d) logO,OO9848 = 7,933 - 10 ANTILOGARITMOS 7. (9930+ 3) COMUNES Hállese (a) antilog 1,7530, (b) antilog (7,753O - 10). (o) Tenemos que encontrar el valor delOr.rsY Puesto que la mantisa es 0,753O miramos de arriba hacia abajo en la columna de la izquierda encabezada con una p en latabla de la pagina 205 hasta que encontramos los dos primeros dígitos, 75. Luego proseguimos hacia fa derecha hasta encontrar el número 5662 en la columna encabezada con un 3. Puesto que la caracterfstica es 1, esto quiere decir que hay dos dígitos antes de la coma. Entonces el número buscado será 56.62. (b) Al igual que en (o) encontramos otra vea el número 5662 que corresponde a la mantisa 0,753O. Entonces, puesto que la característica es 7 - 10, el número tendrá que tener dos ceros inmediatamente después de la coma. Por lo tanto el número buscado sera 0.005662. 8. Hallese antilog (9,3842 - 10). La mantisa 0.3842 se encuentra entre 03840 y 0,385O tabla de la pagina 204 tenemos, Número correspondiente a 0,385O = 2427 Número correspondiente a 03846 = 2421 Diferencia tabular = ti por lo cual tenemos que interpolar. De acuerdo con la Mantisa dada = 0,3842 Mantisa menor más próxima = 0.3840 Diferencia = 0.0002 Entonces 2421 + & (2427 - 2421) = 2422 hasta la cuarta cifra, luego elnúmero buscado será 0,2422. Este problema podría resolverse igualmente con ayuda de la tabla de partes proporcionales de la pagina 204. 9. Verifíquese cada uno de los siguientes antilogaritmos. (o) antilog 2,6715 (b) antilog 9,6089- (c) antilog 4.2023 = 469.3 1 0 = 0.4063 = 15.930 EJEMPLOS DE PROBLEMAS PARA ILUSTRAR EL USO DE LAS TABLASzyxwvutsrqponmlkj 196 CALCULOS 10. QUE SE PUEDEN EFECTUAR MEDIANTE EL EMPLEO DE LOGARITMOS P = (784;;;3w’31). log P = log 784,6 t logO,O431- log 28,23. 10~784.6 = 2 . 8 9 4 7 (+) logO,O431 = 8.6345 - 10 11,5292 - 10 (-) log 28,23 log P = 1,4507 = 11X0785 - 10 = 0.0785. Luego P = 1,198. Nótese el carácter exponencial del anterior cómputo, es decir: (102,8947)(1g8.8345-10) = 101.4507 (784,6)(0,0431) 28-23 ll. P = (5,695,*. 12. P = m = IogP = 8 log 5 , 3 9 5 = (387,2)“2. IogP = 1 3 . P = &GE = (0,08317)“5. Y P =0,6081. 14. p = vx==(18,37)3 (8,724)’ $?i$í = 102.8947+8.8345-10-1.4307 ’ 4 log387.2 = +(2,5879) = 1 . 2 9 4 0 + logO,CO3654 + 3 log 18,37 = +(7,5628 - 10) - 10 - (4 log 8,724 + t log 743,8) 4 log8,724 3(1.2641) Sumando: 19.68. Denominador D = +(17,5628 - 2 0 ) = 3 log 18.37 = y P = - 10) = f;(48,9200 - 60) = 9,784O Numerador N 3 1og0,003&54 = 1,198 8(0,7320) = 5,8560, y P = 7 1 7 . 8 0 0 . IogP = 4 logo,o8317 = +(S,SZOO log P = = 1OOJ85 = 1ogN 8,7814 - 10 = 4(0,9407) 2 108743.6 = f(2,8714) 3,7923 .’ .Sumando: 1ogD = 87628 = 0,7178 = 4,4806 = 12,5737-10 log N = 12,5737 - 1 0 (-) 1ogD = 4 . 4 8 0 6 IogP LOGARITMOS NATURALES 0 15. Hállese (a) In 7,236, (b) 111 836,‘2, = 8,0931 - 10. Entonces P = 0,01239 NEPERIANOS (c) I n 0,002548 Ca) Empléese la tabla de la página 225. I n 7,240 = 1,97962 I n 7,230 = 1,97824 Diferencia Entonces tabular = 0,00138 In 7,236 = 1,97824 + &(0,00138) Lo anterior, expresado en exponenciales, significa que e1*g7907 = 1,97907 = 7,236. (b) Al igual que en la parte (a), encontramos lo siguiente: In 8,362 = 2,12346 + $2.12465 - 2,12346) = 2,12370 Entonces In 836,2 = In (8,362 x lo*) = log 8,362 + 2 In 10 = 2,12370 + 4,60517 = 6,72887 Lo anterior, expresado en exponenciales, significa que ee, = 836,2. (c) Al igual que en la parte ((11 encontramos lo siguiente: In 2,548 = 0,93216 + &(0,93609 - 0,93216) = 0,93530zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZ E”t”“CeS In O,m2548 = In (2,548 X 10-2) = 1112,548 - 3 In 10 Lo anterior, expresado en exponenciales, significa que e-5.97Wfi = 0,93530 - 6,90776 = -6.97246 = O,OU2548. EJEMPLOS DE PROBLEMAS PARA ILC’STRAR EL USO DE LAS TABLAS FUNCIONES 16. TRIGONOMETRICAS Hállese (0) sen 74’23’. (GRADOS (b) cos 38”42’, Y MINUTOS) (c) tan 82-56’. (a) Véase la tabla de la página 206. sen 74O30’ - 0,9l36 s e n 74O20’ = 0.9628 Diferencia Entonces sen 74O23’ tabular = 0,0008 = 0,9628 + ~(0.0008) = 0.9630 (b) Véase la tabla de la página 207. cos35040’ = 0,8124 cos35050’ = 0,8107 Diferencia tabular = 0.0017 Entonces cos 35’42’ = 0.8124 - #0,00173 = 0,8121 0 cos 35”42’ = 0.8107 + $(0,0017) = 0,8121 (c) Véase la tabla de la página 208. tan82°60’ Entonces 17. HáIlese (a) cot 45”16’, = tan83OO’ 1 8.1443 tan 82”50’ = 7,953o Diferencia tabular = 0,1913 tan 82’56’ = 7.9530 + &(0,1913) = 8,0678 (b) sec 73”48’, (c) csc 28”33’. (0) Véase la tabla de la página 209. cOt45°10’ = 0.9942 cot 45020’ = 0.9884 Diferencia tabular = 0,0058 Entonces cot 45O16’ = 0.9942 - &(0,0058) = 0,9$x17 0 cot 45O16’ = 0.9884 + &,(0,0058) = 0,9907 (b) Véase la tabla de la página 210. sec73O50’ sec ‘73O40’ Diferencia Entonces sec 73’48’ tabular = 3,592 = 3,556 = 0,036 = 3,556 + #0,036) = 3,585 Cc) Véase la tabla de la página- 211. csc 28”30’ = 2 , 0 9 6 csc 28’=40’ Diferencia tabular = 2,085 = 0,011 Entonces csc 28O33’ = 2,096 - & (0,011) = 2,093 0 ~~~28’33’ = 2,085 + ++O,Oll) = 2,093 197 EJEMPLOS DE PROBLEMAS PARA ILUSTRAR EL USO DE LAS TABLAS 198 FUNCIONES 18. TRIGONOMETRICAS Hállese (a) sen-‘(0,2143), RECIPROCAS (b) COS-‘(0,5412),(C) (GRADOS Y MINUTOS) tan-’ (1.1536). (al Véase la tabla de la página 206.zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA set112~30' = 0,2164 sen 12"20' = 0,2136 Diferencia tabular = 0,0028 Puesto que 0,2143 se encuentra a 0.2143 - 0,2136 $ de la diferencia ;entre 0,2136 y 0.2164, el ángulo bus 0,0028 = cado será W20’ + &(lO’) = 12”22,5’.zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA (b) Véase la tabla de la página 207. cos57~10' = 0922 ~0~57~20 = 0,5398 Diferencia tabular = 0,0024 Entonces cos- (0,5412) COS-1 - '%541~;~;5398(lo,) = 57’20’ = 57014,2, (0.5412) = 57OlO’ +“*542;,;~54L2(10’) = 57O14,2’ (c) Véase la tabla de la página 208. tan4S010’ = 1,157l tan4S00' = 1.1504 Diferencia tabular = Entonces tan-1 (1,1536) = 4S”O’ + 0,0067 l,15y;6:,1504 (10’) = 4904,8’ Se procede de manera similar con las otras funciones trigonométricas recíprocas. FUNCIONES 19. TRIGONOMETRICAS Hállese (a) sen (0,627), Y TRIGONOMETRICAS RECIPROCAS (RADIANES) (b) cos (1,056). (c) tan (0,153). (a) Véase la tabla de la página 213. sen (0,630) = 0.58914 sen (0,620) = 0,58104 Diferencia tabular = 0,00810 Entonces sen (0,627) = 0,58104 f ~(0,00810) = 0.58671 (b) Véase la tabla de la página 214. cos (1,050) = J,49757 cos (1,060) Diferencia Entonces cos 0 cos(1,056) (1,056) = 0,49757 tabular 0,48887 = 0,00870 - &,(0,00870) = 0.48887 + T4o(0,00870) = 0,49235 = 0.49235 (c) Véase la tabla de la página 212. tan (0,160) = 0,16138 tan (0,l.W) = 0.15114 Diferencia tabular = 0.01024 Entonces tan (0,153) = 0,15ll4 f &(0,01024) = 0,15421 Se procede en forma similar con las otras funciones trigonométricas. EJEMPLOS DE PROBLEMAS PARA ILUSTRAR EL USO DE LAS TABLAS 20. 1 9 9 Hállese sen-1 (0,512) en radianes. Véase la tabla de la página 213. sen (0.5401 = 0,51414 sen (0,5301 = 0,50553 Diferencia tabular - 0.00861 Entonces sen-1 (0,512) = 0,530 + 0,512 - 0.50563 iO.01) 0,00861 Se procede en forma similar co” las otras funciones trigonométrlcas LOGARITMOS 21. COMUNES Hállese (a) log se” 63”17’, DE LAS FUNCIONES = 0,5375 radianes recíprocas. TRIGONOMETRICAS (b) log cos 48”44’. (a) Véase la tabla de la página 217. log sen 63O20’ = 9,9512 - 10 log se” 63OlO’ = 9,9505 Diferencia Entonces log ~en63~17’ tabular = - 10 0,0007 = 9,9505 - 10 + i1~(o,ooo7) = 9.9510 - 10 (b) Véase la tabla de la página 219. log coa 48’40’ = 9,8198 - 10 log cos = 9,8184 - 10 -___ = 0,0X4 Diferencia Entonces 0 48O50’ tabular log coa 48’44’ = 9.8198 - 10 - 74õ(O,oO14) log eos 48O-14’ = 9.8184 - 10 + +$0,0014) = 9,8192 - 10 = 9,8192 - 10 Se procede en forma similar para hallar los logaritmos de las otras funciones trigonométricas. Obsérvese gue log sec z = -1og coa 2, log cot z = -1og tan z, log csc r = -1og sen 2. 22. Si log tan x = 9,6845 - 10, hállese x. Véase la tabla de la página 220. log tan 25O50’ = 9,685O log tan 25O40’ = 9.6817 - 10 Diferencia Entonces z = 25040’ + - 10 tabular = 0,0033 g’684; ;;6817 (lo’) = 2j048,5’ CONVERSION DE GRADOS, MINUTOS Y SEGUNDOS EN RADIANES 23. Conviértase 75”28’47” en radianes. Véase la tabla de la página 223. = 1,221730 700 63 20’ 8’ 40” = 0,087267 = 0,005818 zz 0,002327 = o,ooo194 7” LI= Sumando, 750 28’ 47” = radianes o,ocOo34 1.317370 radianes 200 EJEMPLOS DE PROBLEMAS PARA ILUSTRAR EL USO DE LAS TABLAS CONVERSION 24. DE RADIANES EN GRADOS, MINUTOS Y SEGUNDOS Conviértase 2,547 radianes en grados, minutos y segundos. Véase la tabla de la página 222. 2 25. DE 0.5 = 0,04 zz 28” 2” 1 7 ’ 30,6” 0,007 = Oo 2 4 ’ 3,9” 38’ 2,547 radianes = 144O Sumando, CONVERSION r a d i a n e s = 114’ 3 5 ’ 29,6” RADIANES EN FRACCIONES 52.4” 114’ 116.5” = 145O DE 55’ 56,5” GRADO Conviértase 1,382 radianes en grados. Véase la tabla de la página 222. 1 Sumando, FUNCIONES 26. Hbllese = 17,18870 0.08 = 4,5837O 0,002 = 0,1146O 1,382 radianes = 79,1828’ HIPERBOLICAS (a) es.*‘, = 57,2958O radián 0.3 Y EXPONENCIALES ( b ) e-Q*m. (0) Véase la tabla de la página 226. Diferencia Entonces (b) Vease Ia tabla de la pégina e5.24 ~~5.30 = 200,34 es.20 = 181,27 tabular = 181.27 + = 19.0’7 &(19,37) = 188,90 227. e-wM’ = 0.86071 e-Ve0 Diferencia tabular = 0.85214 = 0,00857 Entonces e-4150 = 0,86071 - ~(0,00857) = 0,85385 0 e-O.‘= = 0.85214 + ~(0,00857) = 0.85385 27. HPlese (a) senh (4,846). (6) sech (0,163). (a) Véase la tabla de la página 229. senh (4,850) = 63,866 senh (4,840) = 63,231 Diferencia Entonces tabular = 0,635 senh (4,846) = 4,840 + #0,635) = 6,221 (b) Véase la tabla de la página 230. cosh (0,170) = LO145 cosh(0.160) Diferencia Entonces y por lo tanto tabular = l-0128 = 0,0017 cosh (0.163) = 1.0128 + &(0,0017) = 1.0133 sech(0.163) 1 1 = = = 0,58687 cosh (0,163) 1.0133 EJEMPLOS DE PROBLEMAS PARA ILUSTRAR EL USO DE LAS 201 TABLAS 28. Hállese tanh -‘(0,71423). Véase la tabla de la página 232. tanb (0,900) = 0.71630 tanh (0,890) = 0.71139 D i f e r e n c i a t a b u l a r = 0,00491 Entonces INTERESES 29. Y tanh- ’ (0.71423) = 0 , 8 9 0 + o’714T;4;;71’3g (10) = 0,8958 ANUALIDADES Un hombre deposita en el banco $2800 a un interés compuesto del la cantidad acumulada al cabo de 8 años? 5<, capitalizable trimestralmente. iCuál Hay un total de n =8*4= 32 períodos de pago a la tasa de interés de r = 0,05/4 = 0,0125 será por cada perío- do. Por consiguiente el monto será de A = $2800(1+0,0125)3’ = $2800(1,4881) = $4166,68 de acuerdo con los datos obtenidos en la tabla de la página 240. 30. Un hombre desea reunir $12.000 al cabo de 10 años. iCuánto dinero tendrá que colocar a una tasa de interés compuesto del 6% capitalizable semestralmente? El problema nos pide hallar el valor actual Pque, al cabo de 10 aìlos, ascenderá a la cantidad de M = $12.WO. P u e s t o q u e h a y u n t o t a l d e n = 10.2 = 2 0 períodos d e p a g o a l a t a s a d e i n t e r é s d e r = 0@/2 = 0.03 por cada período, el valor presente será de P = $12.000(1 + 0,03)-2” = $12.000(0,55368) = $6644,16 de acuerdo con la tabla de la página 241. 31. Un hombre invierte $500 anuales al final de cada año. Si la tasa de interés compuesto es del 4?; y los intereses son capitalizables anualmente, ia cuánto ascenderá la cantidad acumulada al cabo de 20 años? En este caso r = 0,04, n = 20 y la cantidad acumulada será de [véase la t.abla de la página = )500 32. $500(29,7’781) 2421, = $14.889.05 iCuál es el valor presente de una serie uniforme de pagos de $120 cada uno hechos al final de cada período de 3 meses durante 12 años al 67, de interés compuesto capitalizando los intereses trimestralmente? En este caso hay n = 4 * 12 = 48 períodos de pago, r = 0,06/4 = 0,015 y el valor presente es de 1 1 - (1,015)-48 0,015 de acuerdo con la tabla de la página 243. - $120 = $120(34.0426) = $4085,11 N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 Partes proporcionales 3 4 5 6 7 8 9 LO 11 12 13 14 0000 0414 0792 1139 1461 0043 0453 0323 1173 1492 0086 0492 0364 1206 1523 0128 0531 0399 1239 1553 0170 0569 0934 1271 1534 0212 0607 0969 1303 1614 0253 0645 1004 1335 1644 0294 0632 1033 1367 1673 0334 0374 0719 0755 1072 1106 1399 1430 1703 1732 4 4 3 3 3 3 3 7 6 6 12 17 ll 15 10 14 10 13 9 12 21 19 17 16 15 25 23 21 19 13 29 26 24 23 21 33 30 23 26 24 37 34 31 29 27 15 16 17 13 19 1761 2041 2304 2553 2733 1790 2063 2330 2577 2310 1313 2095 2355 2601 2333 1347 2122 2330 2625 2356 1375 2143 2405 2643 2373 1903 2175 2430 2672 2900 1931 2201 2455 2695 2923 1959 2227 2430 2713 2945 1937 2014 2253 2279 2504 2529 2742 2765 2967 2939 3 3 2 2 2 6 5 5 5 4 3 3 7 7 7 ll ll 10 9 9 14 13 12 12 ll 17 16 15 14 13 20 13 17 16 16 22 21 20 19 13 25 24 22 21 20 20 21 22 23 24 3010 3222 3424 3617 3302 3032 3243 3444 3636 3320 3054 3263 3464 3655 3333 3075 3096 3234 3304 3433 3502 3674 3692 3356 3374 3113 3324 3522 3711 3392 3139 3160 3131 3345 3365 3335 3 5 4 1 3560 3 5 7 9 3729 3747 3766 3909 3927 3945 3201 3404 3593 3734 3962 2 2 2 2 2 4 4 4 4 4 6 6 6 6 5 3 3 3 7 7 ll 10 10 9 9 13 12 12 ll 11 15 14 14 13 12 17 16 15 15 14 19 13 17 17 16 25 26 27 23 29 3979 4150 4314 4472 4624 3997 4166 4330 4437 4639 4014 4133 4346 4502 4654 4031 4200 4362 4513 4669 4043 4216 4373 4533 4633 4065 4232 4393 4543 4693 4082 4249 4409 4564 4713 4099 4265 4425 4579 4723 4116 4133 4231 4293 4440 4456 4594 4609 4742 4757 2 2 2 2 1 3 3 3 3 3 5 6 6 5 4 7 7 6 6 6 9 3 3 3 7 10 10 9 9 9 12 ll ll 11 10 14 13 13 12 12 15 15 14 14 13 30 31 32 33 34 4771 4914 5051 6135 5316 4736 4923 6065 6193 5323 4300 4942 5079 5211 6340 4314 4955 5092 5224 5353 4329 4969 5105 5237 5366 4343 4933 5119 5250 5373 4357 4997 5132 5263 6391 4371 4336 4900 5011 6024 5033 5145 6159 5172 5276 6239 6302 5403 6416 5423 1 3 4 6 7 1 3 4 6 7 1 3 4 6 1 3 4 5 1 3 4 5 9 3 7 6 6 10 10 8 3 3 35 36 37 33 39 6441 5563 5632 6793 5911 6453 6675 6694 5309 6922 5465 5537 5705 6321 6933 6473 5599 6717 5332 5944 5490 5611 5729 5343 5955 5602 5623 6740 5355 5966 5514 6635 5752 6366 6977 6527 5647 5763 5377 5933 6539 5653 5775 6333 6999 6551 5670 5786 6399 6010 1 2 4 6 6 7 91011 1 2 4 6 6 7 31011 1 2 3 5 6 7 3 9 1 0 1 2 3 5 6 7 3 9 1 0 1 2 3 4 5 7 3 9 1 0 40 41 42 43 44 6021 6123 6232 6335 6435 6031 6133 6243 6345 6444 6042 6149 6253 6355 6454 6053 6160 6263 6365 6464 6064 6170 6274 6375 6474 6075 6130 6234 6335 6434 6035 6096 6191 6201 6294 6304 6395 6405 6493 6503 6107 6212 6314 6416 6513 6117 6222 6325 6425 6522 1 2 3 4 5 6 3 9 1 12 3 4 5 6 7 3 12 3 4 5 6 73 12 3 4 5 763 12 3 4 5 6 7 3 0 9 9 9 9 45 46 47 43 49 6632 6623 6721 6312 6902 6642 6637 6730 6321 6911 6551 6646 6739 6330 6920 6561 6656 6749 6339 6923 6571 6665 6753 6343 6937 6530 6675 6767 6357 6946 6590 6684 6776 6366 6955 6599 6693 6735 6375 6964 6609 6702 6794 6334 6972 6613 6712 6303 6393 6931 1 2 3 4 12 3 4 12 3 4 12 3 4 12 3 4 9 3 3 3 3 50 51 52 53 54 6990 7076 7160 7243 7324 6993 7034 7163 7251 7332 7007 7093 7177 7259 7340 7016 7101 7135 7267 7346 7024 7110 7193 7275 7356 7033 7113 7202 7234 7364 7042 7126 7210 7292 7372 7050 7135 7213 7300 7330 7059 7143 7226 7303 7383 7067 7152 7235 7316 7396 12 3 3 4 5 6 12 3 3 4 5 6 12 2 3 4 5 6 1 2 2 3 4 5 6 1 2 2 3 4 5 6 7 3 7 3 71 6 7 6 7 N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 12 3 202 3 4 5 5 5 4 4 5 ll 13 ll 12 91112 91012 91011 6 7 6 7 5 6 5 6 5 6 6 7 3 7 7 7 7 9 N 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 0 1 7404 7482 7559 7634 7412 7490 7566 7642 7709 7716 2 7419 3 7427 4 1435 7497 7505 7513 7574 7582 7589 7649 7657 7664 7723 7731 7738 7839 8116 8122 8129 8195 8261 8325 8388 8136 8202 8267 8331 8395 8142 8209 8274 8338 8401 8149 8215 8280 8344 8407 8162 8228 8293 8357 8420 8176 8241 8306 8370 8432 8182 8248 8312 8376 8439 8189 8156 8222 8287 8351 8414 8573 8579 8585 8633 8639 8645 8692 8698 8704 8519 8525 8537 8597 8591 8651 8657 8710 8716 75 76 77 8751 8756 8762 8768 8774 8808 8814 8820 8825 8831 8865 8871 8876 8882 8887 78 79 8921 8976 8927 8982 80 9031 81 9085 82 83 84 9138 9191 9243 9036 SOSO 9143 9196 96 97 98 99 N 7627 7694 7101 7767 7774 7818 7825 7832 7889 7896 7903 7959 7966 7973 8028 8035 8041 8096 8102 8109 72 73 74 95 7619 7803 7810 7875 7882 7945 7952 8014 8021 8082 8089 8531 94 7466 7474 7543 7551 7868 7938 8007 8075 8470 8476 92 93 9 7796 8451 8457 8463 91 7443 7461 7469 7520 7528 7536 7597 7604 7612 7672 7679 7686 7745 7752 7760 8 7860 7931 8000 8069 8513 90 7 7789 71 89 6 7782 7853 7924 7993 8062 70 85 86 87 88 5 8932 8987 8943 8998 9299 9345 9542 9547 9552 9557 9562 9590 9595 9600 9605 9609 9638 9643 9647 9652 9657 9685 9689 9694 9699 9703 9731 9736 9741 9745 9750 9777 9823 9868 9912 9782 9827 9786 9832 4 4 5 6 6 4 3 4 4 5 5 6 6 3 3 3 3 4 4 5 5 6 5 6 6 2 2 2 2 2 3 3 3 3 2 3 3 3 3 3 4 4 6 5 6 5 6 6 4 4 4 4 2 4 5 6 6 5 6 6 6 6 6 l l 2 2 3 4 4 5 5 l l 1 1 1 l l 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 4 4 5 5 5 5 l l 1 1 1 l l 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 1 l 0 0 0 1 l 1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 2 2 2 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 9063 9117 9170 9222 9069 9122 9175 9227 8915 8971 9025 9074 9128 9180 9232 9079 9274 9279 9284 9289 9325 9330 9370 9375 9380 9420 9425 9430 9 4 6 9 9474 9479 9335 9133 9186 9238 9340 9385 9390 9435 9440 9484 9489 9518 9523 9528 9533 9538 9576 9624 9671 9581 9628 9675 9586 9633 9680 9566 9571 9614 9661 9708 9754 9619 9666 9805 9809 9850 9 8 5 4 5 3 3 3 3 2 ’ 2 8802 8859 4 2 l l 1 l l 7 7 7 7 7 8779 8785 8791 8797 8837 8842 8848 8854 8 8 9 3 8899 8904 8910 8949 8954 8960 8 9 6 5 9004 9009 9015 9020 9886 9930 9974 1 l l 1 l l 6 6 6 6 6 4 5 6 4 5 5 4 5 6 4 5 5 9800 0 2 2 6 5 5 6 5 4 4 4 4 9845 9890 9934 9978 9956 1 l 5 5 5 4 4 3 3 3 3 9841 9921 9965 1 l 4 4 4 4 4 2 2 2 2 9795 9917 9961 9872 9877 l 3 3 3 3 3 2 2 2 2 9791 9836 9881 9926 9969 l 1 1 2 2 2 2 2 1 l l l 9320 9248 9253 2 2 2 l l 9 1 l l l 9304 9 3 0 9 9 3 1 5 9350 9355 9360 9365 9395 9400 9405 9410 9 4 1 5 9445 9450 9455 9460 9 4 6 5 9494 9499 9504 9509 9513 9149 9201 9047 9101 9154 9206 1 1 1 l l 8 8506 8567 8627 8686 8745 9058 9112 9165 9217 9269 9096 8254 8319 8382 8445 2 8482 8488 8494 8500 8543 8549 8555 8561 8603 8609 8615 8621 8663 8669 8675 8681 8722 8727 8733 8 7 3 9 9053 9106 9159 9212 9258 9 2 6 3 9294 9042 8938 8993 8169 8235 8299 8363 8426 7846 7910 7917 7 9 8 0 7987 8048 8055 Partes proporcionales 3 4 5 6 7 1 9713 9717 9722 9727 9759 9 7 6 3 9 7 6 8 9773 9894 9939 9983 9987 9814 9859 9903 9948 9991 6 7 8 9899 9943 203 9818 9908 9952 9996 0 0 0 0 0 9 1 9863 3 3 3 4 4 4 4 4 3 3 3 4 4 4 4 4 3 3 4 4 4 6 5 4 4 4 4 4 5 6 6 5 5 5 4 4 5 5 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 3 4 4 4 4 4 4 5 6 7 8 9 P OP 0.01 0,oz 0,03 0,04 0 12 3 4 5 6 7 8 9 2 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 2 1096 1099 1102 1104 1107 1035 1059 1084 1109 1038 1062 1086 1112 1040 1064 1089 1114 1042 1067 1091 1117 1045 1069 1094 1119 0 0 0 0 0 1122 1148 1175 1202 1230 1138 1164 1191 1219 1247 1140 1167 1194 1222 1250 1143 1169 1197 1225 1253 1000 1002 1005 1007 1009 1023 1026 1028 1030 1033 1047 1050 1052 1054 1057 1072 1074 1076 1079 1081 1012 1014 1016 1019 1021 Paltesproporclonales 3 4 5 6 7 1 8 9 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1125 1151 1178 1205 1233 1127 1153 1180 1208 1236 1130 1156 1183 1211 1239 1132 1159 1186 1213 1242 1135 1161 1189 1216 1245 1146 1172 1199 1227 1256 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 1259 1262 1288 1291 1318 1321 1349 1352 1380 1384 1265 1294 1324 1355 1387 1268 1297 1327 1358 1390 1271 1300 1330 1361 1393 1274 1276 1279 1282 1285 1303 1306 1309 1312 1315 1334 1337 1340 1343 1346 1396 1400 1403 1406 1409 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 8 1413 1445 1479 1514 1549 1416 1449 1483 1517 1552 1419 1452 1486 1521 1556 1422 1455 1489 1524 1560 1426 1459 1493 1528 1563 1429 1462 1496 1531 1567 1432 1466 KO0 -.535 :1570 1436 1469 1503 1538 1574 1439 1472 1507 1542 1578 1442 1476 1510 1545 1581 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1585 1622 1660 1698 1738 1589 1626 1663 1702 1742 1592 1629 1667 1706 1746 1596 1633 1671 1710 1750 1600 1637 1675 1714 1754 1603 1641 1679 1718 1758 1607 1644 1683 1722 1762 1611 1648 1687 1726 1766 1614 1652 1690 1730 1770 1618 ,1656 1694 1734 1774 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 8 8 3 3 3 3 3 3 3 3 8 3 4 4 1778 1782 1786 1791 1795 1799 1841 1884 1928 1972 1803 1845 1888 1932 1977 1807 1849 1892 1936 1982 1811 1854 1897 1941 1986 1816 1858 1901 1945 1991 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 8 8 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 1995 2000 2004 2009 2014 2018 2023 2028 2032 2037 0.32 2042 2046 2051 2056 2061 2089 2094 2099 2104 2109 0,33 0,34 2138 2143 2148 2153 2158 2188 2193 2198 2203 2208 2065 2113 2163 2213 2070 2118 2168 2218 2075 2123 2173 2223 2080 2128 2178 2228 2084 2133 2183 2234 0 0 0 0 l 1 1 1 1 l 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 6 0,35 0,36 0.37 0.38 2239 2244 2249 2254 2259 2291 2296 2301 2307 2312 0.39 2344 2350 2355 2360 2366 2399 2404 2410 2415 2421 2455 2460 2466 2472 2477 2265 2317 2371 2427 2483 2270 2323 2377 2432 2489 2275 2328 2382 2438 2495 2280 2333 2388 2443 2500 2286 2339 2393 2449 2506 l l l l l l l l l l 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 0,4( 0,41 0,42 0.43 0,44 2512 2570 2630 2692 2754 2541 2600 2661 2723 2786 2547 2606 2667 2729 2793 2553 2612 2673 2735 2799 2559 2618 2679 2742 2805 2564 2624 2685 2748 2812 l l l l l l l l l l 2 2 3 4 4 5 5 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 6 6 6 0.45 0,46 0,4i 0,48 2818 2825 2831 2838 2844 2884 2891 2897 2904 2911 2851 2858 2864 2871 2877 l l 1 l l l l 1 l l 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 5 6 5 6 5 6 5 5 6 6 6 6 6 6 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0.05 0.06 0.07 0.08 O,W O,l( 0,ll 0.12 0.13 0.14 0.15 0,16 0,17 0.16 0,19 0,2( 0.21 0,22 0.23 0,24 0,25 0.26 0,27 0.28 03 0.3t 0,31 0,49 P 1820 1862 1905 1950 1824 1866 1910 1954 2518 2576 2636 2698 2761 1828 1871 1914 1959 2523 2582 2642 2704 2767 1832 1875 1919 1963 2529 2588 2649 2710 2773 1837 1879 1923 1968 2535 2594 2655 2716 2780 1365 1368 1371 1374 1377 2972 2979 2917 2924 2931 2938 2944 2985 2992 2999 3006 3013 3020 3027 3034 3041 3048 3090 3097 3105 3112 3119 3055 3062 3069 3076 3083 3126 3133 3141 3148 3155 2951 2958 0 2965 12 3 4 5 6 7 8 9 Partes proporcionales 23456789zyxwvutsrqponmlkjihg P 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 o.õa 0,51 0,52 0,53 0,54 3162 3236 3311 3388 3467 3170 3243 3319 3396 3475 3177 3251 3327 3404 3483 3184 3258 3334 3412 3491 3192 3266 3342 3420 3499 3199 3273 SR50 3428 3508 3206 3281 3357 3436 3516 3214 3289 3365 3443 3524 3221 3296 3373 3451 3532 3228 3304 3381 3459 3540 1 2 3 4 4 5 6 7 2 2 3 4 5 5 6 7 2 2 3 4 5 5 6 7 2 2 3 4 5 6 6 7 .22345667 0,55 0,56 0,57 0,58 0,59 3548 3631 3715 3802 3890 3556 3639 3724 3811 3899 3565 3648 3733 3819 3908 3573 3656 3741 3828 3917 3581 3664 3750 3837 3926 3589 3673 3758 3846 3936 3597 3681 3767 3855 3945 3606 3690 3776 3864 3954 3614 3698 3784 3873 3963 3622 3707 3793 3882 3972 .22345677 L 2 3 3 4 5 6 7 8 1 2 3 3 4 5 6 7 8 L 2 3 4 4 5 6 7 8 L 2 3 4 6 5 6 7 8 0,6C 0.62 0.63 O,@ 3981 4074 4169 4266 4365 3990 4083 4178 4276 4375 3999 4093 4188 4285 4385 4009 4102 4198 4295 4395 4018 4111 4207 4305 4406 6027 1121 1217 4315 4416 4036 4130 4227 4325 4426 4046 4140 4236 4335 4436 4055 4150 4246 4345 4446 4064 4159 4256 4355 4457 12 3 4 L 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 0,65 0,66 0,67 0.68 0,69 4467 4571 4677 4786 4898 4417 4581 4688 4797 4909 4487 4592 4699 4808 4920 4498 4603 4710 4819 4932 4508 4613 4721 4831 4943 4519 4624 4732 4842 4955 4529 4634 4742 4853 4966 4539 4645 4753 4864 4977 4550 4656 4764 4875 4989 4560 4667 4775 4887 5000 12 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 0,7( 0.72 0,73 0,74 5012 5129 5248 5370 5495 5023 5140 5260 5383 5508 5035 5152 5272 5395 5521 5047 5164 5284 5408 5534 5058 5176 5297 5420 5546 5070 5188 5309 5433 5559 6082 5200 5321 5445 5572 5093 5212 5333 5458 5585 5105 5224 5346 5470 5598 5117 5236 5358 5483 5610 1 1 1 1 1 0.75 0,76 0,77 0,78 0.79 5623 5754 5888 6026 6166 5636 5768 5902 6039 6180 5649 5781 5916 6053 6194 5662 5794 5929 6067 6209 567C 5808 5943 6081 6223 5689 5821 5957 6095 6237 5702 5834 5970 6109 6252 5715 5848 5984 6124 6266 5728 5861 5998 6138 6281 5741 5875 6012 6152 6295 1 3 4 1 3 4 5 1 3 4 5 1 3 4 6 1 3 4 6 6 8 9 7 8 10 7 8 10 7 9 10 91012 ll12 ll 12 11 18 11 13 0.W 0.81 0.82 o,a3 O,@ 6310 6457 6607 6761 6918 6324 6471 6622 6776 6934 6339 6486 6637 6792 6950 6353 6501 6653 6808 6966 6368 6516 6668 6823 6982 6383 6531 6683 6839 6998 6397 6546 6699 6855 7015 6412 6561 671,1 6871 7031 6427 6577 6730 6887 7047 6442 6592 6745 6902 7063 1 2 2 2 2 3 3 3 3 3 4 5 6 5 5 6 6 6 6 6 7 8 8 8 8 9 9 9 9 10 10 11 11 11 11 12 12 12 13 13 13 14 14 14 16 0.85 0.86 0,81 0,88 0,89 7079 7244 7413 7586 7762 7096 '7261 7430 7603 7780 7112 7278 7447 7621 7798 7129 7295 7464 7638 7816 7145 7311 7482 7656 7834 7161 7328 7499 7674 7852 7178 7345 7516 7691 7870 7194 7362 7534 7709 7889 7211 7379 7551 7727 7907 7228 7396 7568 7745 7925 2 2 2 2 2 3 3 3 4 4 5 5 5 5 5 7 7 7 7 7 8 8 9 9 9 10 10 10 ll 11 12 12 12 12 13 13 13 14 14 14 15 15 16 16 16 0,9i 0,Yl 0,92 0,93 O,N 0,95 0.96 0.97 0,98 0.99 7943 8128 8318 8511 8710 7962 8147 8337 8531 8730 7980 8166 8356 8551 8750 7998 8185 8375 8570 8770 8017 8204 8395 8590 8790 8035 8222 8414 8610 8810 8054 8241 8433 8630 8831 8072 8260 8453 8650 8851 8091 8279 8472 8670 8872 8110 8299 8492 8690 8892 2 2 2 2 2 4 4 4 4 4 6 6 6 6 6 7 8 8 8 8 9 9 10 10 10 ll ll 12 12 12 13 13 14 14 14 15 17 15 11 15 17 16 l@ 16 18 8913 9120 9333 !%60 9772 8933 9141 9354 9572 9795 8954 9162 9376 9594 9817 8974 9183 9397 9616 9840 8995 9204 9419 9638 9863 9016 9226 9441 9661 988F 9036 9247 9462 9683 9908 9057 9268 9484 9705 9931 9078 9290 9506 9727 9954 9099 9311 9528 9750 9977 2 2 2 2 2 4 4 4 4 5 6 6 7 7 7 8 8 9 9 9 10 12 .11 13 11 13 11 13' íl 14 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0.61 0,71 P 5 5 5 5 5 6 6 7 8 6 7 8 9 6 7 8 9 6 7 8 9 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 9 1 0 4 5 7 8 9 1 0 4 6 7 8 9 1 0 5 6 7 8 9 1 0 2 4 5 6 7 8 2 4 5 6 7 2 4 5 6 7 3 4 5 6 8 3 4 5 6 8 2 3 4 9 1 1 81011 91Oll 91011 91012 7 7 5 8 6 15 17 15 17 15 17 16 18 16.18 7 8 1s 19 2c 2C 2C 9 zyxwvutsrqpo z 50'zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCB 5 0' in' 20' 30' 40' 50' 0' 10' 20' 30' 40' Oo 0,OOOO 0,0029 0.0058 0.0087 1 0,0175 0,0204 0,0233 0,0262 0,0116 0.0291 0,0145 0,032O 2 3 4 0.0349 0.0523 0,0698 0,0378 0.0552 0.0727 0,0407 0,0581 0,0756 0,0436 0,061O 0.0785 0.0465 0,064O 0.0494 0.0669 n,O814 0,0843 5" 6 7 8 0,0872 0,1045 0.0901 0.1074 0,0929 0.1103 0.0958 0.1132 0,0987 0.1016 0,1219 0,1392 9 0,1564 0.1248 0,1421 0.1593 0.12'76 0,1305 0,1449 0.1478 OJ622 0,165O 0.1161 0.1334 OJ507 0.1679 LO' 0.1736 ll 0.1908 OJ765 0.1937 0.1794 OJ965 0.1822 0.1994 12 13 14 0.2079 0.2250 0,2108 0.2278 0.2136 0,2306 0,2164 0,2334 0.1851 0,2022 0,2193 0.2419 0,2447 0,2476 0,2504 15'= 16 17 18 0,2588 0.2756 0,2924 0.3090 0,2616 0.2784 0,2952 0,3118 0.2644 0,2812 $2979 0,3145 19 0.3256 0.3283 0.3311 20' 21 0,342O 0,3448 0.3584 0.3611 22 23 24 0,3746 0,3907 0,4067 0,3773 0,3934 0,4094 25O 26 27 28 29 0,4226 0,4384 0,454O 0.4695 0.4848 30° 31 32 33 34 - 45c 46 47 48 49 0.7071 0,7092 0,7112 0,7133 0,7153 0.7173 0,7193 0,7X4 0,743l 0,7214 0,7333 0,7451 0,7234 0,7353 0.7470 0,7254 0,7373 0,749O 0,7274 0,7392 0,7509 0,7294 0,7412 0,7528 0,7547 0,7566 0,7585 0,7604 0,7623 0,7642 0.1190 0,1363 0,1536 0,1708 50' 51 52 53 54 0,766O 0,7771 0,788O 0,7679 0,779') 0,7898 0.8004 0.8107 0,7698 0,7808 0,7716 0,7826 0,7735 0,7844 0,7753 0,7862 0,7916 0,7934 0,7951 0,7969 0,8021 0,8124 0,8039 0,8141 0,8056 0,8158 0,8073 0,8175 55' 56 57 58 59 0,8208 0.8225 0,8241 0,8258 0,8274 0,2532 0,188O 0,2051 0.2221 0,2391 0,256O 0,8387 0,848O 0.8572 0,8307 0,8403 0,8496 0,8587 0,8323 0,8418 0,8511 0,8601 0,8339 0,8434 0,8526 0,8616 0,8355 0,845O 0,8542 0,8631 0,837l 0.8465 0.8557 0,8646 0.2672 0,284O 0,3007 0.3173 0.2700 0,2868 0.3035 0.3201 0,2728 0,2896 0.3062 0,3228 0,866O 0,8746 0,8829 0.8675 0,876O 0,8843 0,8689 0.8774 0,8857 0,8704 0,8788 0,887O 0,8718 0,8802 0,8884 0,8732 0,8816 0,8897 0.8910 0,3338 0.3365 0,3393 60' 61 62 63 64 0.8988 0.8923 0,9001 0,8936 0,9n13 0,8949 0,9026 0,8962 0,9038 0,8975 0,9051 0,3475 0.3502 0,3529 0,3557 0.3638 0,3665 0,3692 0,3719 0.3800 0,3827 0,3854 0,388l 0,3961 0,3987 0,4014 0.4041 0.4120 0,4147 0,4173 0,420O 65' 66 67 68 69 0,9063 0,9135 0,9205 0,9272 0,9336 0,9075 0,9147 0,921s 0,9283 0.9346 0,9088 0,9159 0,9228 0,9293 0,9356 0,910O 0,9171 0,9239 0,9304 0,9367 0,9112 0,9182 0,925O 0,9315 0,9377 0,9124 0,9194 0,926l 0,9325 0,9387 0.4253 0.4410 0,4566 0.4720 0.4874 0,4279 0,4436 0,4592 0,4746 0,4899 0.4305 0,4462 034617 0,4772 0,4924 0,4331 0.4488 0,4643 0,4797 0,495O 0,4358 0,4514 0,4669 0.4823 0.4975 70' 71 72 73 74 0,9397 0,9455 0,9511 0.9563 0,9613 0,9407 0,9465 0,952O 0,9572 0,9621 0,9417 0,9474 0,9528 0,958O 0,9628 0,9426 0,9483 0,9537 0,9588 0,9636 0,9436 0,9492 0,9546 0,9596 0,9644 0.9446 CA9502 0,9555 0,9605 0,9652 0.5000 0,515O 0,5299 0.5446 0,5592 0,5025 0,5175 0,5324 0,5471 0,5616 0,505O 0,520O 0,5348 0,5495 0,564O 0,5075 0,5225 0.5373 0,510O 0,525O 0,5398 0,5125 0,5275 0.5422 0,5519 0,5544 0,5568 0,5664 0,5688 0.5712 75' 76 77 78 79 0,9659 0,9703 0,9744 0,9781 0,9816 0,9667 0,971o 0,975O 0,9787 0,9822 0,9674 0,9717 0,9757 0,9793 0,9827 0,9681 0,9724 0,9763 0,9799 0.9833 0,9689 0,973o 0,9769 0,9805 0,9838 0,9696 0,9737 0,9775 0,9811 0,9843 35O 36 0,5736 0,5878 0.5760 0,5783 0.5807 0,583l 0,5854 0,9853 0,5972 0,6111 0,5995 0,6134 0,9881 0,9858 0,988G 0,9863 0.9890 0.9868 0,9894 0,9872 0,9899 0,6018 0,5948 0,6088 0,9877 37 0.5925 0,6065 38 39 0,6157 0,6293 0,618O 0,6316 0,6202 0.6338 0.6225 0,6361 036248 036383 0,627l 0,6406 80' 81 82 83 84 0,9848 0,5901 0.6041 0,9903 0,9925 0,9945 0,9907 0,9929 0,9948 0,9911 0,9932 0,9951 0.9914 0,993G 0,9954 0,9918 0,9939 n,9957 0,9922 0,9942 0.9959 40' 41 42 43 44 0,6428 0,656l 0,645O 0,6583 0,6472 0,6604 0,6494 0,6626 0.6517 0,664s 0,6539 0,667O 0,6691 0,6713 0,6734 0,6756 0,6777 0,6799 0,682O 0,6947 0,684l 0,6967 0,6862 0,6988 0,6884 0,7009 0.6905 0,703O 0,6926 0,705O 85' 86 87 88 89 -- 0,9962 0,9076 0,998G o,ggg4 0,9o!lx 0,9964 0,99i8 0,9988 o,ogu5 0.9999 0,9967 0,998O 0,9989 0,9996 0,9999 0,99G9 0,9981 0,999O 0,9oD7 l,oooo 0,9971 0,9983 0,9992 0,9997 1.0000 0,9974 0,9985 0,9993 0,9998 l,nooozyxwvutsrq 45O 0,7071 0,7092 0,7112 0,7133 0,7153 0,7173 92' L- 1,ooGíl 0,2363 206 0.7986 0.8090 0,8192 0,829O - 10' 20' 30' 40' 150 16 47 18 49 ,,7071 0,705O ,,6947 0,6926 ,,6820 0,6799 0,703O 0,6906 0,6777 o,7009 0,6884 0.6756 O,G988 0,6862 Os6734 ),6691 0,667O 0,6648 0,6626 os6604 0.6583 j.6561 0.6539 0.6517 0.6494 076472 0.6450 b.6428 ),6293 ),6157 ),6018 A5878 0,6383 0,6248 0,6361 0.6225 0,6338 0.6202 0,6316 0,6180 0,9907 0,988l 0.9853 500 51 52 53 54 0,5995 0.6111 05972 0,6088 0,5948 0,6065 0,6925 0,6041 0,6901 0,5854 OS831 o,5807 OS783 0.6760 0,9827 0,9793 0,9757 o,9717 o,9674 0.9822 0,9787 0,975O 0,971o 0,9667 550 56 57 58 59 1.6736 0,6712 ),5592 0.6568 ),5446 0,6422 ),5299 0.6275 ),5150 0,5125 0.6688 0,6644 0.5398 0,625O 0.6664 0.5640 0.6616 0.5519 0,5495 05471 0.6373 os6225 OS348 0.6200 0,6324 0,6176 0,610O 0.6075 05050 Q6026 0,9636 0.9588 0,9537 0,9483 0,9426 0,9628 0,958O 0,9528 o,9474 039417 o>9621 os9572 Oa O,9465 O,9407 60° 61 62 63 64 ),5000 ),4848 1.4695 3,454O 3,4384 0.4976 0,4823 0,4669 0,4614 0,4358 0.4950 0,4797 0,4643 0,4488 0,4331 0.4924 0,4772 0,4617 0.4462 0.4305 0,4899 0.4746 0,4692 0,4436 0.4279 0,4874 0,472O 0,4666 0.4410 0.4253 0,9377 0,9315 0,9367 0,9304 0,9356 0,9293 0,9346 0,9283 3,4226 D,4067 0.4200 0.4041 0.4173 0.4014 0,4147 0,412O 0,4094 0,9261 0,9194 0,9124 0,925O 0,9182 0,9112 0,9239 0,9171 0,910O 0,9228 0,9159 0,9088 0,9216 0,9147 0,907X 65O 66 67 68 69 3,3907 0,3881 0,3719 0,3864 0,3692 0.3987 0,3827 0,3665 0.3961 0.3800 0.3638 0,3934 0.3773 0,3611 0,3657 0,3629 093502 0.3476 0,3448 0,9063 0,9051 0,9038 0,9026 0,9013 0,9001 0,8988 0,8975 0,8962 0,8949 0,8936 0,8923 0,891O 0,8897 0,8884 0.8870 0,8857 0,8843 0,8829 0,8746 0,8816 0,8732 0,8802 0,8718 0,8788 0,8704 0,8774 0.8689 0,876O 0,8675 7oc 71 72 73 74 0.3420 D,3256 0,309O 0,2924 0.2756 0,3393 0,3228 0,3062 0,2896 0,2728 0,3365 0,3201 0,3035 0,2868 0,270O 0,3338 0,3173 0.3007 0,284O 0,2672 0,3311 0,3146 0,2979 0.2812 0.2644 0,3288 0.3118 0,296Z 0,2784 0,261f 30' 31 32 33 34 0,866O 0,8572 0.8480 0,8387 0.8290 0.8646 0.8557 0,8465 0.8371 0,8274 0,8631 0.8542 0,845O 0.8355 0,8258 0,8616 0,8526 0.8434 0,8339 0,8241 0,8601 0,8511 0,8418 0,8323 0,8225 0,858'i 0,8496 0,840L 0,830'i 0,820E 75c 76 77 78 79 0,2588 0,256O 0.2532 0,2504 0,2476 0.2447 0,2419 0,2391 0,2363 ,0,2334 0.2306 0,227$ 0,225O 0,2079 0,2221 0,2051 0,2193 0,2022 0,2164 0.2136 0,210t 0.1908 0.1880 0,1851 OJ994 OJ822 0.1966 0,1794 0,193'; 0.176[ 35' 36 37 38 39 0,8192 0,8175 0.8158 0,8141 0,8124 0,810'i 0,8090 0,8073 0,8056 0,8039 0,8021 0,8004 0.7986 0,7969 0,795l 0,7934 0,7916 0,789E 0,1736 OJ664 0,1392 0,1708 OJ636 0,1363 0,1679 OJ507 OJ334 0,165O OJ478 0,1306 0.1622 0.1449 OJ276 0,169: OJ421 OJ241 os7880 Os7771 0,7862 0.7753 0,7844 0,7735 0,7826 0,7716 0,780s 0,7698 0,779( 0,767E 80' 81 82 83 84 0,1219 o,1045 0,119O OJO16 0.1161 0,0987 0,1132 0,0958 OJ103 0.0929 OJO74 0.0901 40" 41 42 43 44 0.7660 0,7547 O,7431 0.7314 0,7193 0.7642 0,7528 0.7412 0,7294 0,7173 0.7623 0,7509 0,7392 0,7274 0.7153 0.7604 cl,7490 0,7373 0,7254 0,7133 o,7585 0,747O 0,7353 0,7234 0,7112 0,756t 0,7451 0,733: 0,721~ 0,709: 85' 86 87 88 89 - o,O872 o,O698 0,0523 0,0349 0,0175 o,O843 0,0669 0,0494 0,032O 0.0145 0,0814 0,064O 0,0465 0,0291 0,0116 0.0785 0,061O 0.0436 0.0262 0,0087 0,0756 0.0681 0.0407 0,0233 0.0068 0,072' 0,066: 0.0371 0,020< 0,002! 45O 0,7071 0.7050 0,703O 0,7009 0,6988 0,696: 90< - o,oooo 0' 10' 20' 30' 40' 50' 5 - OO l,oooo 1 0,9998 2 0,9994 3 0,9986 1,oooo 0,9998 o,9993 0,9985 l,oooo 0,9997 0,9992 0,9983 l,oooo 0,9997 0,999O 0,9981 0,9999 0,9996 0.9989 0,998O 0,9999 0.9995 0,9988 0,9978 4 0,9976 0,9974 0,9971 0,9969 0,9967 0,9964 5O 0,9962 0,9959 0,9957 0.9954 0,9951 0.9948 0,9945 0,9942 0,9939 0,9936 0,9932 0,9929 0,9925 0,9903 0,9877 0,9922 0,9899 0,9872 0,9918 0,9894 0,9868 0,9914 0,989O 039863 0,9911 0,9886 0,9858 lOo 0,9848 ll 0,9816 12 0,978l 13 0,9744 14 0,9703 0,9843 0,9811 0,9775 0,5737 0,9696 0,9838 0,9805 0,9769 0,973o 0,9689 0,9833 0,9799 0,9763 0,9724 0,9681 15O 16 17 18 19 0,9659 0,9613 0,9563 0,9511 0,9455 0,9652 0,9605 0,9555 0,9502 0,9446 0,9644 0,9596 0,9546 0,9492 0,9436 20° 21 22 23 24 cl,9397 0,9387 0,9336 0,9325 0,9272 0,9205 0,9135 25O 26 27 28 29 z 6 7 8 9 0' D,3746 D.3584 0,6406 0,627l 0,6134 60' 0.6967 0,6841 0,6713 z 0' 10' 20' 30' 40' 60 0.0000 0.0029 0.0058 0.0087 1 0.0175 0.0204 0.0233 0.0262 0.0116 0.0291 0.0145 0.0320 2 3 4 0.0349 0.0524 0.0699 0.0378 Il,0407 0.0553 0,0582 0.0'729 0.0758 0.0437 0.0612 0.0787 0.0466 0.0641 !).0816 U.0495 0.0670 0.0846 û - 50' 5' 0,0875 0.0904 0,0934 0.0963 6 0.1051 0,108O 0.1110 0.1139 0.0992 0,1169 0.1022 0.1198 7 8 9 0.1228 0,1405 0.1584 0,1257 0.1435 0,1614 0.1287 0.1465 0.1644 0.1317 0.1495 0.1673 0.1346 0.1524 0.1703 K13'iG 0.1554 0.1733 10' 0.1763 0.1793 11 0,1944 -CI, 1 2 0.2126 0.2156 0.1823 0.1853 0.2004 0.2035 CI,2186 0,2217 0.1883 0.2065 0.1914 0.2095 13 14 45" 46 47 48 49 0' 1,OOOO 1,035s 1.0724 40' 50' 1.0058 1,0117 1,0176 1,0235 1.0477 1,0538 1.0913 1.1303 1,1708 1,0599 1,0977 1,1369 1.1778 1,0295 1,0661 1,1041 1,1436 Ll847 1,2203 1,2647 1.3111 1.3597 1,4106 1,2276 1.2723 1,319O 1,368O 1,4193 1,0416 1.0786 1.0850 5oc 51 52 53 54 1.1918 1.1988 1.2059 1.2349 1.2423 1.2197 1.2799 1,287G 1.2954 1,327O 1.3351 1,3432 1.37G4 1.3848 1.3934 1.2131 1.2572 1,3032 1.3514 1.4019 1,4281 1.4370 1,4826 1,4919 1.5399 1.5497 l.GOO3 1.6107 l.GG43 1.G753 1,455O 1.5108 1.5697 1,6319 1.6977 1,4641 1,5204 1,5798 1,6426 1.7090 1,4733 1,5301 1,590O 1.6534 1,7205 0,2339 U,2524 0.2370 0.2555 0.2401 0.2586 0.2247 0.2432 0.2G17 0,2278 0.2462 0.2648 15' 0.2679 0,2711 0.2742 0.2773 0.2805 0.2836 16 0,2867 0.2899 0.2831 0.2962 0.2994 17 0.3057 0.3089 0,3121 0.3153 18 19 0.3249 0.3443 0.3281 0.3476 0,3314 0.3508 20' 21 22 23 24 0,364O 0.3839 0.4040 0.4245 0.4452 0,3673 0.3872 0.4074 0,4279 0,4487 25O 26 27 28 29 0.4663 0.4877 0,5095 0,5317 0,5543 30' 31 32 33 34 GO' 1.7321 61 0,334G 0,3541 0.3026 0,3185 0.3217 (1.3378 0.3411 0,3574 0. 3607 62 63 G4 1.8040 1.8807 l.Sti2G 2.0503 0.3706 0.3906 0,4108 0.4314 0.4522 0,3739 IL3939 0.4142 0.4348 0.4557 U,3772 0.3973 0.4176 0.4383 0.4592 0.3805 U,4006 U.4210 0.4417 0,4628 65' GG 67 G8 G9 2,1145 2.21GO 2.3559 2,-1751 2.6051 U,4699 0,4913 0.5132 0,5354 0,5581 0,4734 0.4950 0.4770 0,4986 0,4806 0.5022 0.4841 0.5059 (1.5774 0,6009 0.6249 0.6494 0.6745 35' 36 37 38 39 40' 45" 30' 1,1237 lJ640 0,2309 0.2493 42 43 44 20' 1.1106 1,1171 1.1504 1.1571 55c 5ti 57 58 59 41 10' 1,446O 1.5013 1,5597 1.G212 l,G8G4 1.7437 1.7556 1.8165 1.8940 1.97G8 2.0655 1.76'15 1.7796 1,7917 1,82Sl 1,8418 1,8546 1,8676 1.9074 1,9912 1,921O 2.0057 1,9347 2,0204 1,9486 2,0353 2,1283 2,0809 2.0965 2,1123 2.1609 2.1775 2,1943 2,2113 2,2286 2.2637 2.3750 2,49GO 2.G279 2,2817 2,3S15 2,5172 2.6511 2,2998 2,4142 2.5386 2.6746 2,3183 2,4342 2,5605 2.6985 2,3369 2,4545 2.5826 2,7228 7oc 71 72 73 74 2.7475 2,7725 2.9042 2.9319 3,077'7 3.1084 3.2709 3.3052 3,484.i 3.52Gl 2,798O 2.9600 2,8239 2,9887 2,8502 3,0178 2,877O 3,0475 3,1397 3,1716 3,2041 3,2371 3,3402 3,565G 3,3759 3,6059 3,4124 3,647O 3,4495 75c 7G 77 78 79 3.7321 3.7760 3.8208 4.0108 4,OGll 4.1126 4.3315 4.3807 4.4494 4.7046 5.144G 4.7729 4.8430 5,2257 5,3093 3.8667 4.1653 4x5107 439152 3.9136 4,2193 4,5736 4,9894 3,9617 4,2747 4,6382 5.0658 533955 5,4845 5,5764 8OC 81 82 83 84 5,6713 6,3138 5.7604 5.8708 6.4348 6.5606 5.9758 6,0844 61970 636912 7x5958 8.7769 10,385 6.8269 7,7704 9,0098 10,712 6,9682 7,953O 9,2553 11,059 0.5169 0.5206 0.5243 0.5280 0,5392 0.5430 0,5467 0.5505 0.5619 CA5658 0.5696 0.5735 0.5812 0,6048 0.6289 0.6536 0,6787 0.5851 0.6088 0.6330 0.6577 0.6830 0.5890 0.6128 0.6371 0.5930 0.6168 0.6412 0.5969 0.6208 0.6453 0.6619 0,6873 0,6661 0,691G O,F703 0,6959 0.7002 0,7265 0.7536 Ch7813 0.8098 0.7046 0.7310 U,7581 0.7860 II,8146 0.7089 0.7355 0.7627 0.7907 0.7133 0,740O 0.7673 0.7954 0.7177 0.7445 0,772O 0.8002 U.7221 0,749O 0.7766 0.8050 0.8195 0.8243 0.8292 0.8342 CA8391 0.8693 0.9004 0,8441 0.8744 0.9057 0.8491 0.879G 0.9110 0.8541 0.8847 0.9163 0.85Sl O.BG42 11,826 12.251 12.706 13.197 13.727 85: 11,430 0.8899 0.6952 14.301 14.021 15.GO.5 16.350 17,169 18,075 86 0.9217zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA U.9271 87 1'3,081 20.20G 21.470 22.904 24.542 26,432 0.9325 0.9380 0.9435 0.9490 0.9545 0.9601 0.9657 0.9713 09770 0.9827 0.9884 0.9912 1.0000 1.0058 1.0117 1.017ti 1.X35 1.0295 88 89 90' - 208 '7.1154 7.2687 7,4287 8.1443 8.3450 8.5555 9.5144 S.iö82 10,078 28.G36 57.290 31.212 31.368 68.750 85.940 38.188 114.59 42,964 171.89 3,6891 49,104 343,77 z 0" 1 2 3 4 0' 10' 20' 5,5764 5,4845 5.1446 5.0658 4,7046 4,3315 4,0108 4,6382 4,2747 15" 16 17 3,732l 3,4874 3,6891 3,4495 3,2709 18 19 3,0777 3,2371 3,0475 2,877O 20" 2,'7475 2,7228 2,6051 2,6826 2,4751 2,4545 21 22 23 24 0' 11,430 9.5144 2.9042 3.9617 10,385 8,7769 7,5958 6,6912 5,9758 10,078 8,5555 9,7882 8,345O iO" 0,8391 51 0,8098 7,4287 6,5606 7,2687 6,4348 578708 527694 i2 53 54 0,7813 0,7536 o,7265 4,5107 4,2193 3,9136 4,1653 3,8667 55' 56 57 58 59 0.7002 0,6745 4,5736 5,3093 4,843O 4,4494 4,1126 3,8208 5,2257 4,9894 5,3955 4,9152 3.6470 3,6059 3,3759 3,5656 3,3402 3,1716 7,7704 6,8269 6.0844 3.4124 3,2041 3,0178 2.8502 2,6985 0,749O 0,7221 0,6959 30' 0,8243 0,8195 0,7954 0,7907 0.7673 0,740O 0,7133 0,7627 0,7355 0.7089 0,8146 0,786O 0,7581 0,731O 0,7046 0.6916 0,6661 0,6412 0,6168 0,6873 0,6830 0,6787 0,6619 0,6577 0,633O 0,6088 o,5851 0,6536 0.6289 05930 0,637l 0,6128 0,589O 0,5619 0,5392 0,5581 0,5354 0,5132 0,4487 60" 0,5774 0,5735 0,5696 0,5658 3.3052 61 0,5543 0,5505 0,5467 0.5430 3.1397 2,960O 2,798O 3,1084 2,9319 62 63 64 0,5317 0.5095 0,4877 0,528O 0,505s 0,4841 0,5243 0,5022 0.4806 0,4986 0.4770 0,516s 0,495O 0,4734 2,6746 2,5386 2.4142 2.6511 2,5172 2,6279 2,496C 2,3945 0,4557 0.4348 0,4142 0,4522 0,4314 0,4108 2,2817 2,1775 0,4628 0,4417 0,421O 0.4006 0.3805 0,4592 0,4383 0,4176 272998 231943 2,375(1 2,263'i 2,160s 65" 0,4663 66 0,4452 67 0,4245 68 0,404O 6 9 0.3839 0,3973 0.3906 0,3772 0,3939 0,3739 2,065L 1,976E 1,894( 1.8161 1,743i 70" 71 72 73 74 0.3640 0,3443 0,3607 0,341l 0,3217 0,3026 0,2836 0,3574 0,3378 0,3185 0,3541 0,3346 0,3153 0,2994 0,2962 2,7725 2,3369 2,246O 292286 2,1445 2.0503 2,1283 2,0353 2,1123 2,0204 2,09d5 1,9626 1,9486 1,9347 1,921O 1.8676 1.8546 1.8418 29 1,8807 1,804O 1,7917 1.7796 197675 2,0809 1,9912 1,9074 1,8291 1,7556 30" 1.7321 1.7205 1,709O 31 1,6643 32 33 34 1.6003 1,6426 1,5798 1,5204 1,6864 1,6212 1,5597 1,5013 1,675: 1,610; 1,549; 1,491: 75" 76 77 78 0,2679 0,2493 0,2309 1,5399 1,6534 1.5900 1,5301 1,6977 1,6319 1,5697 1,5108 1,4826 1,4733 1,4641 1,455O 1.4460 1,437( 79 35" 36 1.4281 1.3764 1,4193 1,368O 1.4106 37 39 1.3270 1,279s 1,234s 1,319O 1,2723 1,2276 1,3597 1,311l 1,2647 1,2203 1,4019 1,3514 1,3032 1,2572 1.2131 1,3934 1,3432 1,2954 1,2497 1.2059 40" 41 42 1.1918 1.1504 1.1106 1,1847 1,1436 1,104l 43 44 1,0724 1.0355 1.0661 1,1778 1,1369 1,0977 1,0599 1,1708 1,1303 1,0913 1,0538 1,0295 1,0235 45' 1.0000 0.9942 0.8744 0,8441 0,8002 0,772O 0,7445 0,7177 3,5261 2,9887 2,8239 0,938O 0,9057 0.8292 0,6494 0,6249 Os6009 2,3559 38 0,8342 0,805O 0,776ö 20' 0,6703 0,6453 0,6208 0,596s 4,7729 4,3897 4-0611 3,776O 2.5605 2,4342 3,3183 2,2113 25" 26 27 28 10' 0,9713 5,6713 13 14 z mzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 343,V 171,89 114,59 85,940 68,750 15" 1.000 0,9942 0,9884 0,9827 o,9770 57,290 49,104 42,964 38,188 34,368 31,242 16 0.9657 0,9601 0,9545 0,949O 0.9435 28,636 26,432 24,542 17 0,9325 0.9271 0.9217 0,9163 O,SllO 22.904 21,470 20,206 19,081 18,075 17,169 16,350 15,605 14,924 18 0,9001 0,X%2 0,X899 0,3847 0,8796 14,301 13,727 13,197 12,706 12,251 11,826 19 028693 0,8642 0,8591 0,8541 0,8491 8,1443 7,1154 6,3138 9 50' 50' 10,712 9,0098 LO0 Ll 12 40' 40' 11,059 9,2553 7,953O 6,9682 6,197O 5" 6 7 8 30' 0.5206 0,3706 0,6048 0,5812 0.4913 0,4699 0,4279 0,4074 0,3872 o,3673 0,2805 0,2773 0,3508 0,3314 0,3121 0,2931 0.2742 0,2126 0,2648 0,2617 0,2462 0,2432 0,22'78 0,2247 0,2095 0,2065 0,2556 0,2401 0.2217 0.2035 0,2555 0,237O 0.2186 0,2004 OJ944 0,1914 0,1883 0,1853 0,1823 0,1974 0,1793 1,384t 1,3351 1,287t 1,242: 1,198t 80" 0,1763 81 0,1584 82 0,1405 83 0,1228 84 0.1051 0,1733 0,1554 0,1376 0,1703 0.1524 0,1346 0,1673 0,1644 0,1614 0,1495 0,1465 0,143s 0,1317 0,1287 0,1257 0,1198 OJ169 0,0992 0,113s 0,0963 0,lllO 0.0934 0,108C 0,0904 1,164O 1,1237 1.0850 1,0477 1,1571 1,1171 1,078t 1,041t 85" 86 87 88 0,0875 0.0816 0,0641 0,0466 0,0787 0,0612 0,0437 0.0758 0,0582 0.0407 0,0729 0.0291 NO262 RO233 1,0176 1,0117 1,0051 89 0,0175 0.0846 0,067O 0,0405 0,0320 0,0145 0,0116 0,0087 0.0058 O,O2O4 0.0029 0.9884 0,9827 0,977O 0,971: 90" o,oooo 2,0057 209 0,3249 0,3057 0.2867 0,0699 0,0524 0,0349 0.1022 0.3476 0,3281 0,2524 0,3089 0,2899 0.2711 0,2339 0.2156 0.0552 0903'78 z z 0' 10' 20' 30' 40' 50' OO 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,001 2 1,001 1,001 1,001 1,001 1,001 1,001 3 1,001 1,002 1,002 1,002 1,002 1,002 4 1,002 1,003 1,003 1,003 1,003 1,004 450 46 47 48 49 1,414 1,440 1,466 1,494 1,524 1,418 1,444 1,471 1,499 1,529 1,423 1,448 1,476 1,504 1,535 1,427 1,453 1,480 1,509 1,510 1,431 1,457 1,485 1,514 1,545 1,435 1,462 1,490 1,519 1,550 5O 6 7 8 9 1,004 1,004 1,004 1,005 1,005 1,005 1,006 1,006 1,006 1,006 1,007 1,007 1,008 1,008 1,008 1,009 1,009 1,009 1,010 1,010 1,011 1,011 1,012 1,012 1,012 1,013 1,013 1,014 1,014 1,015 600 51 52 53 54 1,556 1,589 1,624 1,662 1,701 1,561 1,567 1,572 1,578 1,583 1,595 1,601 1,606 1,612 1,618 1,630 1,636 1,643 1,649 1,655 1,668 1,675 1,681 1,688 1,695 1,708 1,715 1,722 1,729 1,736 lOo ll 12 13 14 1,015 1,016 1,016 1,017 1,018 1,018 1,019 1,019 1,020 1,020 1,021 1,022 1,022 1,023 1,024 1,024 1,025 1,026 1,026 1,027 1,028 1,028 1,029 1,030 1,031 1,031 1,032 1,033 1,034 1,034 550 56 57 58 59 1,743 1,751 1,788 1,796 1,836 1,844 1,887 1,896 1,942 1,951 1,758 1,804 1,853 1,905 1,961 1,766 1,812 1,861 1,914 1,970 1,773 1,820 1,870 1,923 1,980 1,781 1,828 1,878 1,932 1,990 150 16 17 18 19 1,035 1,036 1,037 1,038 1,039 1,039 1,040 1,041 1,042 1,043 1,044 1,045 1,046 1,047 1,048 1,048 1,049 1,050 1,051 1,052 1,053 1,054 1,056 1,057 1,058 1,059 1,060 1,061 1,062 1,063 60° 61 62 63 64 2,000 2,063 2,130 2,203 2,281 2,010 2,074 2,142 2,215 2,295 2,020 2,085 2,154 2,228 2,309 2,031 2,096 2,166 2,241 2,323 2,041 2,107 2,178 2,254 2,337 2,052 2,118 2,190 2,268 2,352 200 11 22 23 24 1,064 1,065 1,066 1,068 1,069 1,070 1,071 1,072 1,074 1,075 1,076 1,077 1,079 1,080 1,081 1,082 1,084 1,085 1,086 1,088 1,089 1,090 1,092 1,093 1,095 1,096 1,097 1,099 1,100 1,102 65' 66 67 68 69 2,366 2,459 2,559 2,669 2,790 2,381 2,396 2,411 2,427 2,443 2,475 2,491 2,508 2,525 2,542 2,577 2,595 2,613 2,632 2,650 2,689 2,709 2,729 2,749 2,769 2,812 2,833 2,855 2,878 2,901 250 26 27 28 29 1,103 1,113 1,122 1,133 1,143 1,105 1,114 1,124 1,134 1,145 1,106 1,116 1,126 1,136 1,147 1,108 1,117 1,127 1,138 1,149 1,109 1,119 1,129 1,140 1,151 1,111 1,121 1,131 1,142 1,153 700 71 72 73 74 2,924 2,947 2,971 2,996 3,021 3,046 3,072 3,098 3,124 3,152 3,179 3,207 3,236 3,265 3,295 3,326 3,357 3,388 3,420 3,453 3,487 3,521 3,556 3,592 3,628 3,665 3.703 3,742 3,782 3,822 3o" 31 32 33 34 1,155 1,167 1,179 1,192 1,206 1,157 1,169 1,181 1,195 1,209 1,159 1,171 1,184 1,197 1,211 1.161 1,173 1,186 1,199 1,213 1,163 1,175 1,188 1,202 1,216 iJ65 1,177 1,190 1,204 1,218 750 76 77 78 79 3,864 4,134 4,445 4,810 5,241 3,906 4,182 4,502 4,876 5,320 35O 36 37 38 39 1,221 1,236 1,252 1,269 1,287 1,223 1,239 1,255 1,272 1,290 1,226 1,241 1,258 1,275 1,293 1,228 1,244 1,260 1,278 1,296 1,231 1,247 1,263 1,281 1,299 1,233 1,249 1,266 1,284 1,302 80' 81 82 83 84 5,759 6,392 7,185 8,206 9,567 5,855 5,955 6,512 6,636 7,337 7,496 8,405 8,614 9,839 lo,13 40° 41 42 43 44 1,305 1,325 1,346 1,367 1,390 1,309 1,328 1,349 1,371 1,394 1,312 1,332 1,353 1,375 1,398 1,315 1,335 1,356 1,379 1,402 1,318 1,339 1,360 1,382 1,406 1.322 1,342 1,364 1,386 1,410 85' 86 87 88 89 ll,47 14,34 19,ll 28,65 57,30 ll,87 12.29 12,75 13,23 13.76 14,96 15.64 16,38 17,20 18,lO 20,23 21,49 22,93 24.56 26.45 31,26 34,38 38,20 42,98 49311 68,76 85.95 114,6 171,9 343,8 450 1,414 1,418 1,423 1,427 1,431 1,435 0' 10' 20' 30' 40' 50' 90' 210 m 3,950 4,232 4,560 4,945 5,403 3,994 4,284 4,620 5,016 5,487 4,039 4,336 4,682 5,089 5,575 4,086 4,390 4,745 5,164 5,665 6,059 6,166 6,765 6,900 7,661 7,834 8,834 9,065 lo,43 10.76 6,277 7,040 8,016 9,309 ll,10 z 0' 10' 20' 30' 40' 50' z - 57.30 28,65 343,8 171,9 42,98 26,45 24,56 3 4 19,ll 18,lO 17,20 114,6 38,20 22,93 16,38 14,34 13.76 13,23 12.75 85,95 34,38 21.49 15,64 12.29 68,7E 31.26 20.23 í4,96 ll,87 45c 46 47 48 49 1,414 1,410 1,406 1,402 49,ll Ka ll,47 ll,10 lo,76 10.43 lo,13 9,839 5OC 6 7 3 9 9,567 8,206 7,185 6,392 9,309 8,016 7,040 6,277 9,065 7,834 6,900 6,166 8,834 7,661 6,765 6,059 8,614 7,496 6,636 5,955 8,405 7,337 6,512 5,855 51 52 53 54 1,305 1,302 1,299 1,296 1,287 1,284 1,281 1,278 1,269 1,266 1,263 1,260 1,252 1,249 1,247 1,244 1,236 1,233 1,231 1,228 1,293 1,290 1,275 1,272 1,258 1,255 1,241 1,239 1,226 1,223 55c 56 57 58 59 1,221 1,206 1,192 1,179 í,167 1,211 1,197 1,184 1,171 1,159 1,209 1,195 1,181 1,169 1,157 60' 61 62 63 64 65O 66 67 63 69 1,155 1,143 1,133 1,122 1,113 1,103 1,095 1,086 1,079 1,071 1,153 1,142 1,131 1,121 1,111 1,102 1,093 1,085 1,077 1,070 1,151 1,140 1,129 1,119 1,109 1,100 1,092 1,084 1,076 1,069 !,149 1;138 1,127 1,117 1,108 1,099 1,690 1,082 1,075 1,068 1,147 1,136 1,126 1,116 1,106 1,097 1,089 1,081 1,074 1,066 1,145 1,134 1,124 1,114 1,105 1,096 1,088 1,080 1,072 1,065 700 71 72 73 74 1,064 1,058 1,051 1,046 1,040 1,063 1,057 1,050 1,045 1,039 1,062 1,056 1,049 1,044 1,039 1,061 1,054 1,048 1,043 1.038 1,060 1,053 1,048 1,042 1,037 1,059 1,052 1,047 1,041 1,036 750 76 77 78 79 1,035 1,031 1,026 1,022 1,019 1,034 1,034 1,033 1,032 1,030 1,029 1,028 1,028 1,026 1,025 1,024 1,024 1,022 1,021 1,020 1,020 1,018 1,018 1,017 1,016 1,031 1,027 1,023 1,019 1,016 BO“ BS0 B6 87 BS B9 900 - 1,015 1,012 1,010 1,008 1,006 1,004 1,002 1,001 1,001 1,000 1,015 1,012 1,009 1,007 1,005 1,004 1,002 1,001 1,001 1,000 OO 1 2 LOO 5,759 5,665 5,575 5,487 5,403 5,320 ll 5,241 5,164 5,089 5,016 4,945 4,876 12 13 14 4,810, 4,445 4,134 4,745 4,390 4,086 4,682 4,336 4,039 4,620 4,284 3,994 4,560 4,232 3,950 4,502 4,182 3,906 150 16 17 18 3,822 3,592 3,388 3,207 3,046 3,782 3,556 3,357 3,742 3,521 3,326 3,703 3,487 3,295 3,665 3,453 3,265 3,179 19 !Oo àl 3,864 3,628 3,420 3,236 3,072 2,924 2,790 2,901 2,769 2,878 2,749 3,152 2,996 2,855 2,729 3,124 2,971 2,833 2,709 3,098 2,947 2,812 2,689 22 !3 !4 2,669 2,559 2,459 2,650 2,542 2,443 2,632 2,525 2,427 2,613 2,508 2,411 2,595 2,577 2,491 2,475 2,396 2,381 25O !6 !7 !8 !9 2,366 2,281 2,203 2,130 2,063 2,352 2,268 2,337 2,254 2,323 2,241 2,309 2,228 2,295 2,215 2,190 2,178 2,166 2,154 2,142 2,118 2,052 2,107 2,041 2,096 2,031 2,085 2,020 2,074 2,010 3,021 100 2,000 Il 1,942 1,990 1,932 1,980 1,923 1,970 1,914 1,961 1,905 1,951 1,896 12 13 14 1,887 1,836 1,788 1,878 1,828 1,781 1,870 1,820 1,773 1,861 1,812 1,766 1,853 1,804 1,758 1,796 150 16 17 18 1743 1,736 1,695 1,729 1,688 1,649 1,722 1,681 1,643 1,715 1,675 1,636 1,612 1,606 1,601 19 ,OO Il 1,589 1,556 1,524 1,494 1,583 1,550 1,519 1,490 1,578 1,572 1,567 1,708 1,668 1,630 1,595 1,561 1,545 1,514 1,485 1,540 1,509 1,480 1,535 1,504 1,476 1,529 1,499 1,471 1,466 1,440 1,462 1,435 1,457 1,431 1,453 1,427 1,448 1,423 1,444 1,418 1,414 1,410 1,406 1,402 1,398 1,394 :2 :3 :4 t50 1,701 1,662 1,624 1,655 1,618 1,844 1,751 81 82 33 84 211 0' 10' 1,390 1,367 1,346 1,325 1,000 20' 1,386 1,364 1,342 1,322 1,218 1,204 1,190 1,177 1,165 30' 50' 1,398 1,394 1,379 1,375 1,371 1,356 1,353 1,349 1,335 1,332 1,328 1,315 1,312 1,309 1,382 1,360 1,339 1,318 1,216 1,202 1,188 1,175 1,163 40' 1,213 1,199 1,186 1,173 1,161 1,014 1,014 1,013 1,013 1,012 1,011 1,011 1,010 1,009 1,009 1,008 1,008 1907 1,006 1,006 1,006 l,,OOS 1,005 1,004 1,004 1,003 1,003 1,003 1,003 1,002 1,002 1,002 1,002 1,001 1,001 1.001 1,001 1,000 1,000 1,000 1,060 1,000 1,000 1,000 1mO Cot x Sec x csc x o,ooooo m 0,01000 99,9967 0,02000 49.9933 l,ooooo 1.00005 100;017 0,03001 0.04002 333233 0.03999 1.00000 0.99995 0.99980 0.99955 0,99920 243986'7 1,00020 1,00045 1,00080 50:0033 33,3383 25,006'7 0,04998 0,05996 0.06994 0,07991 0,03988 0,99875 0.99820 0.99755 0,99680 0.99595 0,05004 0.06007 0,07011 19,9833 1.00125 16,6467 14.2624 1.00180 1,00246 20,0083 16,6767 0,08017 0,09024 12.4733 ll,0811 1.00321 1,00406 0.09983 OJO978 0.11971 0.12963 OJ3954 0,995oo 0,99396 0,99281 0,99156 0,99022 OJO033 0.11045 0.12058 0.13074 0.14092 9,9666 9,0542 8.2933 7,6489 '7,096l 1,00502 1.00608 1,00724 1,00851 1,00988 10.0167 9.1093 OJ4944 OJ5932 0.16918 0.17903 OJ8886 0.98877 0,98723 0,98558 0,98384 0.98200 OJ5114 0.16138 0,17166 OJ8197 OJ9232 6,6166 6,1966 1.01136 LO1294 6.6917 5,8256 1.01463 5,9108 5,4954 5,1997 1,01642 1,01833 5,5857 0.20 D.21 0.22 0.23 424 OJ9867 0.98007 0,97803 0,97590 CA97367 0,97134 0,20271 4,9332 4.6917 4,4719 4.2709 1,02034 1,02246 1,02470 5,0335 1.02705 4,5823 4.3864 4.0864 1,02951 4.2069 0.25 0,26 0.21 0,28 0,24740 0,25708 0,26673 0,27636 0,25534 0,26602 0,27676 0.28755 3.9163 3,759l 1,03209 1,03478 1.03759 4,042O 3,8898 3.7491 1.04052 3,6185 0.29 0,28595 0.96891 0,96639 0,96377 0,96106 0395824 0,29841 3,3511 1,04358 3,4971 0.30 0.31 0.32 0,33 0,34 0,29552 0,95534 0,95233 0,94924 0,94604 094275 0.30934 3,2327 3,1218 1,04675 3.3839 1,05005 1.05348 3,2781 3,086O 2,827O 1.05704 1,06072 0,36503 0,37640 0,38786 2.7395 1,06454 2,9163 1.06849 2,8387 2,7654 0.39941 0,41105 2,656'7 2,5782 2,5037 2,4328 1.08119 2.6303 0,42279 2.3652 1,08570 2.5679 z Senx cos L-65 ),OO ),Ol ),02 o,ooooo 0.01000 LO3 1.04 LO5 W ),07 1.08 1.09 3,lO 1.11 3,12 3.13 1.14 D,15 LU6 Q,17 D.18 D,19 0.02000 0.03000 0.20846 0.21823 0.22798 os23770 o,30506 0.31457 0532404 0.33349 0,39 0,37092 0.38019 0,93937 0,93590 0,93233 0.92866 0,92491 0,40 0.38942 0,92106 0,35 0.36 0.37 0,38 0,34290 0,35227 0.36162 Tanz 0,21314 0.22362 0.23414 0,24472 3.6133 324776 0,32033 0,33139 3,0176 2,9195 0,34252 0385374 212 1,07258 1,07682 14,2974 12,5133 ll,1261 8,3534 7,714o 7.1662 6,2767 5,295o 4,797l 3,179o 2.9986 2.6960 z cos z Tanz Cot 1c Sec z CSCZ 0,40 0,41 0.42 0.43 0,44 0.38942 0,39861 0,40776 0,41687 0,42694 0.92106 0,91712 Os91309 0,90897 0,90476 0,42279 0.43463 0,44667 0,46862 0,47078 2,3662 2,3008 2.2393 2,1804 2.1241 1.0857 1,0904 1.0962 1.1002 1.1063 2,6679 2.6087 2,4624 2,3988 2,3478 0,46 0,46 0,47 0.48 0,49 0,43497 0,44396 0,46289 0,46178 0,47063 0.90046 RB9606 0,89157 0.88699 038238 0.48306 0,49646 0,60797 0.62061 0963339 2,0702 2.0184 1.9686 1.9208 1.8748 1,1106 1.1160 1,1216 1,1274 1.1334 2,299o 2.2626 2.2081 2,1666 2,1248 0,50 0.61 0.62 0,63 0,64 0,47943 0,48818 0,49688 0,60668 0.61414 0,87758 0.87274 0,86782 0.86281 0.86771 0,64630 0,66936 0,67266 0,68692 0.69943 1~3306 1.7878 1.7466 1.7067 l.6683 1.1396 1,1468 1,1623 1.1690 1,1669 2,0868 2,0484 2.0126 l,9781 l,9460 0,66 0.66 0,67 0.68 0,69 0,62269 0.63119 0,63963 0.64892 0.66636 0.86252 0,84726 0,84190 0.83646 0,83094 0.61311 0,62696 0.64097 0.66617 0.66966 1,631O 1.6960 1.6601 l.6263 1,4936 1,173o 1.1803 1.1878 lJ966 1,2036 1,9132 1.8826 í,8531 l.8247 1,7974 0.60 0,61 0.62 0,63 0,64 0,66464 0.67287 lo,68104 0.68914 10,69720 0.82634 0,81966 0.81388 0,80803 0.80210 0,68414 0.69892 0.71391 0.72911 0.74464 1.4617 1,4308 1.4007 1,3716 L3431 1,2116 1,220o l.2287 l.2376 l,2467 1,771o 1.7466 1,7211 1.6974 1.6746 0,66 0,66 0,67 W38 0,69 lo,60619 0,61312 ~0,62099 0,62879 0,63664 0.79608 0,78999 0.78382 0,77767 0,77126 0.76020 0,77610 0,79226 0.80866 0,82634 1,3164 l.2886 l.2622 1,2366 1,2116 1,266l 1,2668 1,2768 1.2861 l,2966 1,6624 1,631O 1,6103 1.6903 1,671O 0.70 0,71 0.72 0,73 0,74 0.64422 0,66183 ~0,66938 0,76484 0.76836 0,76181 0,74617 0,73847 0.84229 0,86963 0,87707 0.89492 0.91309 1,1872 1.1634 Ll402 lJ174 l,O962 1.3076 1.3186 1,3301 1,342O l,3642 1.6623 1.6341 1,6166 1,4996 1.4830 0,73169 ¡0,72484 0,71791 '0.71091 0.70386 0,93160 0,96045 0,96967 0.98926 1.0092 1,0734 1.0621 1.0313 1.0109 0,99084 1,3667 1,3796 1.3929 1.4966 1.4208 1.4671 1,4616 1.4366 1.4219 l.4078 0.69671 , 1.0296 , 0,97121 1,4363 , 1.3940 ~0.66687 0,67429 0.76 0,68164 0.76 0.68892 0,77 0,69614 0,78 0,70328 0,79 0,71036 0.80 1971736 - , Sec 2 W I csc 2 1,4363 1,4603 1,466s 1,481s 1,4982 1,394o 1.3807 1,3677 1,3661 1.3429 1,6162 1,6327 1.6508 1.6696 1,5888 1.3311 1,3196 1,3083 1,2976 1.2869 1,6087 1.6293 1,6507 1.6727 1,6966 1.2766 1.2666 1,2669 1.2475 1,2383 1,7191 1.7436 1.7690 1,7963 1,8226 1,2294 1,2207 1,2123 1,2041 Ll961 1.01 1,02 1.03 1.04 0,84147 0.84683 0.86211 0.85730 0.86240 0,54030 0,63186 0,62337 0.61482 0,50622 1,5574 1,6922 1,6281 1,6662 1,7036 0.64209 0,62806 0,61420 0,60051 0.68699 1,860s 1,8802 1.9107 1,9424 1,9764 1,1884 1,1809 1,1736 1.1666 1,1696 1,06 1.06 1,07 1,OS LO9 0,86742 0.87236 0.87720 0,88196 0,88663 0.49767 0,48887 0.48012 0,47133 0,46249 1.7433 1,7844 1,827O 1,8712 1,9171 0,67362 0.66040 0,64734 0,63441 0.62162 2,009s 2,0466 2.0828 2,1217 2.1622 1,1628 1,1463 1,140o 1.1338 1.1279 1,lO 1.11 1.12 1,13 1.14 0,89121 0,89670 0,90010 0.90441 0,90863 0,46360 0,44466 0,43668 0.42666 0.41769 l,9648 2.0143 2,066O 2.1198 2,1769 0,60897 0.49644 0,48404 0,47176 0,46969 2,2046 2,2489 2,2962 2,343s 2.3947 1,1221 1,1164 1,lllO Ll057 1,1006 1.16 1,16 1.17 1,18 1,19 0,91276 0,91680 0,92076 0,92461 0,92837 0,40849 0,39934 0,39015 0,38092 0,37166 2,2346 2,296s 2,360O 2,4273 2,4979 0.44753 0,43668 0,42373 0.41199 0,40034 2,4481 2,604l 2.6631 2,6252 2.6906 l,O966 1,0907 1.0861 1,0815 1,0772 1,20 0.93204 0,36236 2.6722 0.38873 214 2,7597 1 1.0729 1,20 1,21 1,22 1,23 1.24 J.93204 3.93562 3.93910 LA94249 D.94578 0,36236 0,35302 0,34365 0,33424 0.32480 2,5722 2,6503 2.7328 2.8198 2,9119 -i- Cot I 4Ic 1.38878 I ( j.37731 ( ),36593 c 1.35463 ( ),34341 1,25 1,26 1,27 1,28 1,29 CA94898 0,95209 0,95510 0,95802 0.96084 - 0,31532 0,30582 0,29628 0.28672 0,27712 ~._ 3,0096 3,1133 3,2236 3.3414 3,4672 1,30 1,31 1.32 1,33 1,34 0,96356 0,96618 0,968'72 0,97115 0,97348 0,26750 0.25785 0.24818 0,23848 0,22875 1.35 1,36 1,37 1,38 1,39 0,97572 0.97786 0,97991 0,98185 0,98370 1,40 1,41 1,42 1.43 1,44 0,98545 0,98710 0,98865 0.99010 0.99146 1,45 1,46 1,47 1.48 1,49 0.99271 (499387 0.99492 0,99588 0,99674 1,50 1,51 1,52 1.53 1,54 0,07074 0.06076 0,05077 0,04079 0,03079 14.1014 16.4281 1.55 1.56 1,57 1,58 1.59 0.99749 0,99815 0,99871 0.99917 0,99953 -___ 0.99978 0.99994 1.00000 0,99996 0.99982 0.02079 0.01080 0,00080 -0,00920 -0.01920 1,60 0.99957 -0.02920 48.0785 92,6205 1255.77 -108,649 -52.0670 -34.2325 z Tanx Sen z - Sec x (‘SC * 2.75!)7 2.8327 2.9100 2.9919 3.0789 l.Oi”S’> -, I ( J-33227 ( J-32121 ( 1.31021 1( ).29928 ( 1.28842 3.1714 3.2699 3.3752 3.4878 3.6085 1.053i6 1.05032 1.04701 1.04382 1.04076 3.6021 3.7471 3.9033 4.0723 4.2556 ( 1.27762 ( 1.26687 (1.25619 3.7383 3.8782 4.0294 4.1933 4,3715 1.03782 1.03500 1,03230 1.02971 1.02724 0,21901 0.20924 0,19945 0,18964 0.17981 4,4552 4.6734 4.9131 5.1774 5,4707 X22446 k21398 X20354 ;k19315 0.18279 -__ 4.5661 4.7792 5,0138 5.2731 5.5613 1.02488 1.02264 1.02050 1,01848 1.01657 0,16997 0.16010 0,15023 0,14033 0,13042 0.12050 0,11057 0.10063 0,09067 0.08071 5.7979 6,1654 6,5811 7.0555 7.6018 rl.17248 0.16220 II,15195 1,0;477 1,01307 0.14173 0.13155 5.8835 6.2459 6,6567 7.1260 7.6673 8,2381 8,9886 9.8874 0.12139 0.11125 0.10114 0.09105 0.08097 8.2986 9.0141 9.9378 11.0288 12.3903 1,00734 1.00617 1.00510 1.00414 1.00327 0.07091 0.06087 0.05084 0.04082 0,03081 14.1368 16.4585 19.6949 24.5188 32.4765 1.00251 1.00185 1.00129 1.00083 l.OdO47 -__ 48.0889 92.6259 1255.77 -108.654 -52.0766 1.00022 1.00006 1.00000 l.OVOO4 1.00018 _--1.@0013 3.24556 J.23498 - 10.9834 12,3499 19,6695 24,4984 32.4611 , 215 0.020RO 0.01080 0.00080 0.00920 0.01921 -__ 0.02921 1.06881 1.06485 l.n~~102 1.05732 - -m34.2471 l,O1148 1.00999 1.00862 1 2 3 4 8.2419 8,542s 8.7188 898436 7,463'l 8,308s 8.5776 8.7423 8.8613 7.7648 8.3668 8.6097 8.7645 8,8783 7.9408 8,4179 8.6397 8.7857 8.8946 8,065s 8,4637 8.6677 8,8059 8,9104 8,1627 8.5050 8,694O 8.8251 8.9256 50 6 7 8 9 8,9403 9.0192 9,0859 9.1436 9.1943 8,9545 9,0311 9,0961 9,1525 9.2022 8.9682 9,0426 9,106O 9,1612 9.2100 8.9816 9,0539 9,1157 9,1697 9,2176 8,9945 9.0648 9.1252 9,178l 9,2251 9.0070 9.0755 9.1345 9.1863 9.2324 100 11 12 13 14 9.2397 9.2806 9.3179 9.3521 9.3837 9.2468 9.2870 9.3238 9.3575 9,3887 9,253s 9.2934 9,3296 9.3629 9.3937 9,2606 9.2997 9,3353 9,3682 9.3986 9.2674 9,305s 9.3410 9,3734 9.4035 9,274o 9.3119 9.3466 9.3786 9.40x3 150 16 17 18 19 9.4130 9.4403 9.4659 9.4900 9.5126 9.4177 9.4447 9.4700 9.4939 9,5163 9.4223 9.4491 9,474l 9.4977 9,5199 9.4269 9,4533 9.4781 9.5015 9,5235 9.4314 9.4576 9.4821 9,5052 9,527o 9.4359 9.4618 9.4861 9,50!,0 9.5306 200 21 22 23 24 9.5341 9,5543 9.5736 9.5919 9.6093 9.5375 9,5576 9.5767 9,594s 9.6121 9.5409 9.5609 9,575s 9.5978 9.6149 9.5443 9,5641 9,582s 9,6007 9.6177 9,5477 9.5673 9,5859 9,603G 9.6205 9.5.510 9.5701 9.5889 9.GOG5 9.G2!!2 250 26 27 28 29 9.6259 9.6418 9.6570 9.6716 9.6856 9.6286 9.6444 9,6595 9.G740 9.6878 9.6313 9.6470 9.6620 9.6763 9.6901 9.6340 9.6495 9.6644 9.6787 9.6923 9.6366 9.6521 9.6668 9.6810 S,fi!NG 9.6392 9.6546 9.G692 9.6833 Il.fs9RX 300 31 32 33 34 9.6990 9.7118 9.7242 9.7361 9.7476 9.7012 9.7139 9.72û2 Si,7380 9.7494 9.7033 9.7160 9.7282 9.7400 9.7513 9.7055 9.7181 9.7302 9,7419 9.7531 9.7076 9.7201 9.7322 9.7438 9.7550 9.7097 9.7222 9.7342 9.7457 9.i5iì8 350 36 37 38 39 9.75.86 9.7û92 9.7795 9.7890 9.7989 9.7FO4 9.7710 9.íhll R.7!IlO 9.XlNJ~1 9.7622 9.7727 9.7828 9.792F 9.8020 9.76>40 9.7744 9.7844 9.7911 9.8035 9.7657 9.77Gl 9.78Gl 97Y57 9:8050 Y.7675 9.i758 9.7877 .9 ,I.-'ji3 9.8OGD 40 II 42 9.8081 !I.Al(xI 9.8255 Y.X33X 9.X.118 9.x09(; 9.818-l 9.82fE-l 9.8351 9.8131 9.8111 9.S198 CJ.8283 9.X365 9.8144 9.8125 9.8213 9.8297 9.R378 9.8157 9.8110 9.Pf2"7 ‘, 9.8311 9.83!11 9.XlG9 Y 81il.5 L - ?).R50i 9.8520 9.853'2 O.8545 OO - 4-l I ;5 - 216 z 0' 10' 20' 30' 40' 50' 450 46 47 48 49 9,8495 9,8569 9,8641 9,8711 9.8778 9,8507 9,8582 9.8653 9,8722 9,8789 9,852O 9,8594 9,8665 9,8733 9.8800 9,8532 9,8606 9.8676 9.8745 9,881O 9,8545 9,8618 9.8688 9,8756 9,8821 9,8557 9,8629 9,8699 9,8767 9.8832 500 51 52 53 54 9,8843 9,8905 9,8965 9,9023 9,908O 9,8853 9,8915 9.8975 9,9033 9,9089 9,8864 5.8925 9,8985 9,9042 9,9098 9,8874 9,8935 9;8995 9.9052 9,9107 9,8884 9.8945 9,9004 9.9061 9.9116 9.8895 3,8955 9.9014 9.9070 9,9125 550 56 57 58 59 9,9134 9,9186 9,9236 9,9284 9,9331 9,9142 9,9194 9,9244 9.9292 9,9338 9,9151 9,9203 9.9252 9.9300 9,9346 9,916O 9,9211 9,926O 9,930a 9,9353 9.9169 9.9219 9,9268 9,9315 9,9361 9,9177 9.9228 9.9276 9,9323 9.9368 60' 61 62 63 64 9,9375 9,9418 9,9459 9,9499 9,9537 9,9383 9,9425 9,9466 9,9505 9,9543 9,939o 9.9432 9,9473 9,9512 9,9549 9,9397 9,9439 9.9479 9,9518 9,9555 9,9404 9.9446 9,9486 9,9524 9,9561 9,9411 9,9453 9,9492 9,953o 9,9567 65O 66 67 68 69 9,9573 9,9607 9,964O 9,9672 9,9702 9,9579 9,9613 9,9646 9,9677 9.9706 9,9584 9,9618 9,9651 9,9682 9,9711 9,959o 9,9624 9,9656 9,9687 9,9716 9,9596 9,9629 9,9661 9,9692 9,9721 9,9602 9.9635 9,9667 9,9697 9,9725 700 71 72 73 74 9,973o 9,9757 9,9782 9,9806 9,9828 9,9734 9,9761 9.9786 9,981O 9,9832 9,9739 9,9765 9,979o 9,9814 9,9836 9,9743 9,977o 9.9794 9.9817 9.9839 9,9748 9,9774 9,9798 9,9821 9,9843 9,9752 9.9778 9,9802 9,9825 9,9846 750 76 77 78 79 9,9849 9,9869 9,9887 9,9904 9,9919 9,9853 9,9872 9,989O 9,9907 9.9922 9,9856 9,9875 9.9893 9,9909 9,9924 9,9859 9,9878 9,9896 9,9912 9,9927 9.9863 9.9881 9,9899 9.9914 9,9929 9,9866 9,9884 9,9901 9.9917 9,9931 80° 81 82 83 84 9,9934 9,9946 9,9958 9,996s 9,9976 9,9936 9,9948 9.9959 9,9969 9,9977 9,9938 9,995o 9,9961 9,9971 9.9979 9,994o 9.9952 9,9963 9,9972 9,998O 9.9942 9,9954 9,9964 9.9973 9,9981 9,9944 9,9956 9,9966 9,9975 9.9982 85O 86 87 88 89 9,9983 9.9989 9,9994 9,9997 9,9999 9.9985 9,999o 9,9995 9,9998 10,0000 9,9986 9,9991 9.9995 9,9998 10,0000 9,9987 9.9992 9.9996 9,9999 10.0000 9,9988 9.9593 9.9996 9.9999 10.0000 9,9989 9.9993 9,9997 9.9999 10,00ó0 900 10.0000 217 z 0' 10' 20' 30' 40' 50' OO 1 2 3 4 10,0000 9,9999 9,9997 9,9994 9.9989 10,0000 9,9999 9.9997 9,9993 9.9989 10,0000 9,9999 9.9996 9,9993 9,9988 10,0000 9,9999 9,9996 9,,9992 9,9987 10,0000 9,9998 9,9995 9,9991 9.9986 10,0000 9.9998 9,9995 9,999o 9.9985 50 6 7 8 9 9,9983 9.9976 9.9968 9,9958 9,9946 9,9982 9,9975 9,9966 9.9956 9.9944 9,9981 9,9973 9,9964 9,9954 9,9942 9,998O 9,9972 9,9963 9.9952 9,994o 9,9979 9.9971 9.9961 9.9950 9.9938 9,9977 9,9969 9,9959 9.9948 9,9936 10" ll 12 13 14 9,9934 9,9919 9,9904 9.9887 9.9869 9.9931 9,9917 9,9901 9,9884 9,9866 9,9929 9.9914 9,9899 9,9881 9,9863 9,9927 9,9912 9,9896 9,9878 9,9859 9,9924 9.9909 9,9893 9,9875 9,9856 9,9922 9.9907 9,989O 9,9872 9,9853 150 16 17 18 19 9.9849 9,9828 9.9806 9.9782 9.9757 9.9846 9.9825 9,9802 9.9778 9,9752 9,9843 9,9821 9,9798 9.9774 9.9748 9,9839 9,9817 9.9794 9,977o 9,9743 9.9836 9,9814 9,979o 9,9765 9.9739 9,9832 9.9810 9,9786 9.9761 9,9734 200 21 22 23 24 9.9730 9.9702 9,9672 9.9640 9.9607 9,9725 9,9697 9,9667 9.9635 9,9602 9,9721 9.9692 9.9661 9,9629 9,9596 9,9716 9,9687 9.9656 9,9624 9,959o 9,9711 9,9682 9,9651 9,9618 9,9584 9,9706 9.9677 9.9646 9,9613 9,9579 25' 26 27 28 29 9,9573 9,9537 9,9499 9.9459 9.9418 9.9567 9,953o 9,9492 9.9453 9,9411 9.9561 9,9524 9.9486 9.9446 9,9404 9,9555 9,9518 9,9479 9,9439 9,9397 9.9549 9,9512 9,9473 9,9432 9,939o 9,9543 9,9505 9,9466 9.9425 9,9383 300 31 32 33 34 9,9375 9,9331 9,9284 9,9236 9,9186 9,9368 9.9323 9,9276 9,9228 9.9177 9,9361 9,9315 9,9268 9,9219 9,9169 9,9353 9,9308 9.9260 9.9211 9,916O 9,9346 9,930o 9.9252 9.9203 9,915l 9,9338 9,9292 9,9244 9,9194 9.9142 350 36 37 38 39 9,9134 9,908O 9,9023 9.8965 9,8905 9,9125 9,907o 9.9014 9.8955 9,8895 9,9116 9.9061 9,9004 9,8945 9.8884 9,9107 9,9052 9,8995 9,8935 9,8874 9,9098 9,9042 9,8985 9,8925 9,8864 9,9089 9,9033 9,8975 9,8915 9,8853 400 41 42 43 44 9,8843 9,8778 9,871l 9.8641 9.8569 9.8832 9.8767 9.8699 9.8629 9.8557 9.8821 9.8756 9.8688 9.8618 9.8515 9.8810 9,8745 9.8676 9.8606 9.8532 9,880O 9,8733 9,8665 9.8594 9.8520 9,8789 9,8722 9,8653 9,8582 9,8507 450 9.8495 9.8183 9.8169 9.8457 9,8444 9.8431 218 z 0' 10' 20' 30' 40' 50' 450 46 47 48 49 9,849X 9,8418 9,8338 9,8255 9,8169 9,8482 9.8405 9,8324 9,8241 9,8155 9,8469 9,8391 9.8311 9,8227 9.8140 9,845-T 9.8378 9,8297 9,8213 9,8125 9,8444 9,8365 9.8283 9,8198 9,8111 9.8431 9,8351 9,8269 9,8184 9,8096 500 51 52 53 54 9,8081 9,7989 9,7893 9,7795 9.7692 9,8066 9,7973 9,7877 9,7778 9,7675 9,805O 9,7957 9,786l 9.7761 9,7657 9,8035 9.7941 9,7844 9.7744 9.7640 9.8020 9.7926 9,7828 9,7727 9,7622 9.8004 9,791o 9,781l 9.7710 9,7604 550 56 57 58 59 9,7586 9,7476 9,736l 9,7242 9,7118 9,7568 9.7457 9,7342 9,7222 9.7097 9,755o 9,7438 9,7322 9.7201 9.7076 9,753l 9,7419 9,7302 9,718l 9,7055 9,7513 9,740o 9.7282 9,716O 9,7033 9,7494 9,738O 9.7262 9.7139 9.7012 60" 61 62 63 64 9.6990 9,6856 9,6716 9,657O 9.6418 9.6968 9,6833 9,6692 9,6546 9.639.2 9,6946 9,681O 9,6668 9,6521 9,6366 9.6923 9,6787 9.6644 9,6495 9,634O 9,6901 9,6763 9,662O 9.6470 926313 9.6878 9.6740 9.6595 9.6444 9.6286 65O 66 67 68 69 9,6259 9.6093 9,5919 9,5736 9,5543 9,6232 9,6065 9,5889 9,5704 9,551o 9.6205 9,6036 9,5859 9,5673 9,5477 9,6177 9,6007 9,5828 9,5641 9,5443 9,6149 9.5978 9,5798 9,5609 9,5409 9,6121 9,5948 9,5767 9.5576 9,5375 700 71 72 73 74 9,5341 9,5126 9.4900 9,4659 9,4403 9,5306 9,509o 9,4861 9,4618 9,4359 9.5270 9.5052 9,4821 9,4576 9,4314 9.5235 9,5015 9.4781 9,4533 9.4269 9,5199 9,4977 9,474l 9,4491 9,4223 9.5163 9,4939 9,470o 9.4447 9.4177 750 76 77 78 79 9,413o 9,3837 9,3521 9,3179 9.2806 9,4083 9,3786 9,3466 9,3119 9,274o 9,4035 9.3734 9,341o 9.3058 9,2674 9,3986 9,3682 9,3353 9,2997 9.2606 9,3937 9,3629 9,3296 9,2934 9,2538 9.3887 9,3575 9,3238 9.2870 9,2468 80'= 81 82 83 84 9,2397 9,1943 9,1436 9,0859 9,0192 9,2324 9,1863 9,1345 9,0755 9,007o 9.2251 9.1781 9,1252 9.0648 8,9945 9,2176 9.1697 9.1157 9,0539 8,9816 9.2100 9,1612 9.1060 9,0426 8.9682 9,2022 9,1525 9.0961 9,0311 8.9545 85O R6 87 88 89 8.9403 8.8436 8,7188 8,5428 8.2419 8,9256 8,8251 8.6940 8,505O 8,1627 8,9104 8,8059 8,6677 8.4637 8,0658 8,8946 8,7857 8.6397 8.4179 7,9408 8.8783 8,7645 8,6097 8.3668 7,7648 8.8613 8,7423 8,5776 8,3088 7,4637 900 219 z 0' 10' 20' 30' 40' 50' OO 1 2 3 4 8.2419 8.5431 8,7194 8,8446 7.4637 8,3089 8.5779 8,7429 8,8624 7.7648 8,3669 8,6101 8,7652 8,8'795 7:9409 8,4181 8,6401 8,786s 8,896O 8.0658 8,46X8 8,6682 8.8067 8,9118 EJ627 8,5053 8.6945 8,8261 8,9272 50 6 7 8 9 8,942O 9.0216 9,089l 9.078 9.1997 8,9563 9,0336 9,0995 9.1569 9,2078 8,9701 9,0453 9,1096 9,1658 9,2158 8.9836 9,0567 9,1194 9.1745 9,2236 8,9966 9,0678 9.1291 9.1831 9,2313 9,0093 9,0786 9,1385 9,1915 922389 100 11 12 13 14 9,2463 9.2887 9.3275 9,3634 9.3968 9.2536 9,2953 9,3336 9,3691 9,4021 9,2609 9,302o 9,3397 9.3748 9,4074 9,268O 9,3085 9,3458 9,3804 9.4127 9,275o 9,3149 9,3517 9,3859 9,4178 9.2819 9,3212 9,3576 9,3914 9,423o 150 1G 17 18 19 9.4281 9.4575 9,4853 9,5118 9,537o 9,433l 9,4622 9,4898 9,516l 9,541l 9,438l 9,4669 9.4943 9,5203 9,545l 9.4430 9.4716 9,4987 9,5245 9,5491 9,4479 9,4762 9,503l 9,5287 9,553l 9,4527 9,4808 9,5075 9,5329 9,5571 200 21 22 23 24 9,5611 9,5842 9,6064 9,6279 9,6486 9,565O 9.5879 9,610O 9,6314 9.6520 9,5689 9,5917 9.6136 9,6348 9.6553 9,5727 9,5954 9,6172 9,6383 9,6587 9,5766 9,5991 9.6208 9.6417 9,662O 9.5804 9.6028 9,6243 9,6452 9,6654 25O 26 27 28 29 9,6687 9,6882 9.7072 9,7257 9,7438 9,672O 9.6914 9.7103 9,7287 9.7467 9,6752 9.6946 9.7134 9.7317 9,7497 9,6785 9.6977 9,7165 9.7348 9,7526 9,6817 9,7009 9,7196 9.7378 9,7556 9,685O 9.7040 9,7226 9,7408 9,7585 300 31 32 33 34 9,7614 9.7788 9.7958 9,8125 9.8290 9.7644 9.7816 9,7986 9.8153 9,8317 9.7673 9.7845 9,8014 9.8180 9.8344 9,7701 9,7873 9,8042 9,8208 9,837l 9.7730 9,7902 9.8070 9.8235 9,8398 9,7759 9,793o 9.8097 9,8263 9.8425 35" 36 37 38 39 9.8452 9.8613 9.8771 9.8928 9,9084 9.8479 9,8639 9.8797 9.8954 9.9110 9,8506 9.8666 9,8824 9,898O 9.9135 9,8533 9,8692 9,875O 9,9006 9,9161 9,8559 9,8718 9,8876 9,9032 9,9187 9,8586 9,8745 9,8902 9,9058 9,9212 400 41 42 43 44 9.9238 9.9392 9.9544 9.9697 9.9848 9.9264 9.9417 9.9570 9.9722 9.9874 9,9289 9.9443 9.9595 9.9747 9.9899 9,9315 9,9468 9.9621 9.9772 9,9924 9.9341 9,9494 9,9646 9.9798 9.9949 9.9366 9.9519 9,9671 9.9823 9,9975 -150 10.0000 10.0025 10.0051 10.0076 10.0101 10.0126 z 0' 10’ 20’ 30’ 40’ 450 46 47 48 49 10.0000 lo,0152 10,0303 10.0456 10,0608 lo,0025 10,0177 10.0329 lo,0481 1070634 10,005l 10,0202 10,0354 lo,0506 lo,0659 lo,0076 lo,0228 10,0379 10.0532 lo,0685 10,0101 lo,0253 10,0405 10,0557 10,071l 10.0126 1 10.0278 10,043o lo,0583 lo,0736 500 51 52 53 54 lo,0762 lo,0916 lo,1072 lo,1229 lo,1387 lo,0788 10,0942 lo,1098 10.1255 10.1414 lo,0813 10.0968 lo,1124 lo,1282 lOJ441 lo,0839 10,0994 10,115o lo,1308 lo,1467 lo,0865 10,102o lo,1176 10,1334 lOJ494 lo,0890 lOJO lo,1203 lo,1361 lo,1521 55’ 56 57 58 59 lo,1548 10,171o lo,1875 lo,2042 10,2212 10,1575 10,1737 lOJ903 lo,2070 lo,2241 lo,1602 10.1765 lOJ930 10.2098 lo,2270 10.1629 10,1792 lo,1958 10.2127 10.2299 lo,1656 lOJ820 lo,1986 lo,2155 1012327 lo,1683 lo,1847 lo,2014 lo,2184 lo,2356 60” 61 62 63 64 10.2386 lo,2562 lo,2743 10.2928 lo,3118 lo,2415 10.2592 lo,2774 lo,2960 10,315o lo,2444 lo,2622 10.2804 10,2991 lo,3183 lo,2474 lo,2652 10.2835 lo,3023 10.3215 lo,2503 lo,2683 10,2866 10,3054 lo,3248 10.2533 lo,2713 10,2897 lo,3086 lo,3280 65O 66 6’7 68 69 10,3313 10.3514 lo.3721 10.3936 10.4158 lo,3346 lo,3548 10,3757 10,3972 10.4196 lo,3380 lo,3583 10.3792 10,4009 lo,4234 10,3413 lo,3617 lo,3828 lo,4046 lo,4273 10,3447 lo,3652 lo,3864 lo,4083 10,4311 lo,3480 lo,3686 10,390o lo,4121 10,435o 700 71 72 73 74 lo,4389 lo,4630 10.4882 10.5147 lo,5425 10,4429 lo,4671 10,4925 10,5192 10.5473 lo,4469 10,4713 lo,4969 lo,5238 lo,5521 10,4509 10,4755 10,5013 lo,5284 10,557o 10,4549 10,4797 10,5057 10.5331 lo,5619 lo,4589 10.4839 lo,5102 lo,5378 lo,5669 75: 76 77 78 79 10,5719 10.6032 10.6366 lo,6725 10,7113 10,577o 10,6086 lo,6424 lo,6788 lo,7181 lo,5822 lo,6141 lo,6483 lo,6851 lo,7250 lo,5873 lo,6196 lo,6542 10.6915 1C .7320 lo,5926 lo,6252 lo,6603 lo,6980 10,7391 10.5979 lo,6309 lo,6664 10,7047 lo,7464 80° 81 82 83 84 10.7537 lo,8003 lo,8522 10,9109 lo,9784 lo,7611 lo,8085 lo,8615 10,9214 10,9907 lo,7687 10.8169 lo,8709 10,9322 ll,0034 10,7.¡‘64 lo,8255 lo,8806 10,9433 ll,0164 lo,7842 lo,8342 10.8904 10.9547 11.0299 10,7922 lo,8431 10,9005 lo,9664 ll,0437 85’ 86 87 88 89 11.0580 ll,1554 ll,2806 Il.4569 ll,7581 ll,0728 ll,1739 ll,3055 ll,4947 ll.8373 ll,0882 11.1933 ll,3318 ll,5362 11.9342 ll,1040 ll,2135 Il-3599 11.5819 lZO591 ll,1205 ll,2348 ll ,3899 ll,6331 12,2352 11.1376 ll,2571 ll,4221 ll,6911 12,5363 900 221 50’ Radianes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 W 62 Grad. Min. 57” 17’ 114” 35’ 171” 53’ 229” 10’ 286” 28’ 343” 46’ 401” 4’ 458O 2 1 ’ 515” 39’ 572O 5 7 ’ Seg. 44-8” 29.6“ 14.4” 59.2” 44,O” 2898” 13.6” 58,4” 43.3” 28S” 5” ll” 17” 22” 28” 34” 40° 45” 51” 43’ 27’ ll’ 55’ 38’ 22’ 6’ 50’ 33’ 46,5” 33 ,O” 19,4” 5,9” 52.4” 38.9” 25.4” 11,8” 58,3” 0.01 0,02 0.03 0.04 0.05 0,06 0,07 0.08 0.09 0” 1’” 1” 2” 2” 3” 4” 4” 5” 34’ 8’ 43’ 17’ 51’ 26’ 0’ 35’ 9’ 22,6” 45.3” 7.9” 30,6” 53.2” 15,9” 38,5” 1,2” 23,8“ 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007 0,008 0,009 OO O’= 0” OO 0” 0” Oo Oo OO 3’ 6’ 10’ 13’ 17’ 20’ 24’ 27’ 30’ 26.3” 52,5” 18,8” 45,111 11,3” 37,6” 3,9” 30.1” 5694” 0,0001 0,0002 0,0003 0,0004 0,0005 0,0006 0,0007 0.0008 0,0009 0” OO OO OO OO OO 00 OO 0” 0’ 0’ 1’ 1’ 1’ 2’ 2’ 2’ 3’ 20,6” 41,3” 1,9” 22.5” 43,l” 3x8” 24.4“ 45.0” 5.6” 0.3 Q4 0,5 0.6 0.7 078 0.9 222 I Fracciones de grado 5’7,2958O 114,5916’” 171,8873” 229,183l’” 286,4789” 343,7747” 401,0705” 458,3662O 515,662O” 572,9578O Grados Radianes 10 0,0174533 20 0,0349066 30 0,0523599 40 0.0698132 50 0,0872665 6O 70 OJO47198 OJ221730 8' OJ396263 90 0.1570796 100 OJ745329 Minutos Radianes 0,00029089 0,00058178 1' 2' I 3' 4' 0,0008'7266 5' 0,00145444 6' 7' 0.00174533 0,00203622 8' 0,00232711 9' 0,00261800 10' 0,00290888 Segundos 0,00116355 I 1" Radianes 4" 0,0000048481 0,0000096963 0.0000145444 0,0000193925 5" 0,0000242407 6" 0,0000290888 0,0000339370 2" 3" 7" 8" 9" 0,0000387851 10" 0,0000484814 0,0000436332 223 1 3c 1.0 l,l 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1,3 1.4 o,ooooo 0.09531 0.18232 0.26236 0.33647 O.OOYY5 0,01980 O.lO.l36 (Al1333 0.19062 (Al 9885 R27003 0327'763 0.34359 0.35066 0.02956 0,03922 0,12222 0,13103 0,20701 0,21511 CA28518 0.29267 0.35767 0,36464 RO4879 0,13976 0222314 0.30010 0337156 0,05827 0.14842 0,23111 0,30748 037844 0.06766 OJ5700 0.23902 0.31481 0,38526 0,07696 0.16551 0,24686 0332208 0,39204 0.08618 os-7395 0,25464 0,32930 0,39878 1.5 1.6 L-7 í,8 1.9 0,40547 0,470oo 0.53063 0,58779 0.64185 0,41211 0.47623 0.53649 0,59333 0.64710 0.42527 0,43178 0,43825 0,48858 0,49470 0,50078 0,54812 0.55389 0,55962 0.60432 0,60977 0.61519 0,65752 0,66269 0.66783 0,44469 0,50682 0,56531 0,62058 0967294 0,45108 0,51282 0,57098 0,62594 0,67803 0,45742 0,51879 0257661 0963127 0268310 0.46373 0,52473 0,58222 0.63658 0,68813 2.0 2.1 2.2 2.3 294 0.69315 0,74194 0.78846 0.83291 0.87547 0.61)813 0,70310 0.746C9 0.75142 0.79239 0,79751 0383725 0.84157 0387963 0.88377 0,70804 0,71295 0.75612 0,76081 0,802OO 0,80648 0.84587 0985015 0,88789 0,892OO 0,71784 0,76547 0,81093 Os85442 0,89609 0,72271 0,77011 0,81536 0,85866 0.90016 0,72755 0,77473 0,81978 (486289 0,90422 0,73237 0,77932 0,82418 O-86710 090826 0,73716 0,'78390 O-82855 0,87129 0,91228 2.6 2,6 2,7 2,8 2.9 0.91629 0.95551 0.99325 1,02962 1.06471 0,92028 0.92426 0,95935 0,96317 0.99695 1.00063 1.03318 LO3674 1906815 1.07158 0,92822 0393216 0,936OS 0,96698 0,97078 0.97456 LOO430 1.00796 1,01160 LO4028 1,04380 1,04732 1.07500 LO7841 1.08181 O.S4001 0.97833 LO1523 l,O5082 LO8519 0,94391 0,98208 1,01885 LO5431 138856 0,94779 0,98582 1902245 LO5779 1.09192 0.95166 0,98954 1,02604 1,06126 LO9527 3.0 3.1 3.3 3,4 1.09861 lJ3140 1,16315 1,19392 1,22378 1.10194 1.10526 1.13462 1,13783 1.16627 1,16938 1.19695 1,19996 1,22671 1.22964 1.10856 1,11186 1,11514 lJ4103 Ll4422 1,14740 1,17248 Ll7557 1.17865 1,20297 1320597 1.20896 l,23256 1,23547 1,23837 1,11841 lJCO57 Ll8173 1.21194 1,24127 lJ2168 lJFi373 lJ8479 1,21491 1,24416 1,12493 1.15688 Ll8784 1.21788 l,24703 1,12817 lJ6002 lJ9089 1,22083 1,249SO 3,5 3,6 3.7 3.8 3,9 1.25276 1,28093 1.30833 1.33500 1,36098 1.25562 1.28371 131103 1.33763 1136354 1,26130 1,26413 1,26695 1,28923 1,29198 1.29473 í,31641 1,31909 1,32176 1,34286 1334547 L34807 1.36864 1,37118 1937372 1,26976 1,29746 1,32442 1,35067 1,37624 l,27257 1,30019 1,32708 1,35325 l,37877 1,27536 1.30291 L32972 L35584 1338128 l,27815 1,30663 1,33237 1,35841 1,38379 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 1,38629 1.41099 1.43508 1.45862 1.48160 1,38879 1,39128 1.41342 1,41585 1,43746 1,43984 1346094 1.46326 1,48387 1.48614 1,39377 1,41828 1,44220 1,46557 1,48840 1,39872 L42311 1,44692 L47018 1,492so 1,40118 1,42552 1,44927 1,47247 1,49515 1,40364 1,42792 1,45161 1,47476 1,49739 1.40610 1,43031 1,45395 l-47705 1,49962 1,40854 1,43270 1,45629 1.47933 L60185 4.5 4.6 4.7 ‘4,8 4.9 - 1.50408 1.52606 1.54756 1.56862 !.5SY24 1.50630 1.50851 1.52823 1.53039 154969 1,55181 1.57070 1,57277 1.59127 1.59331 l,51072 L51293 1~51513 l,53256 1,534'71 1.53687 1.55393 1.55604 1,55814 1.57485 L57691 1,57898 1.59534 1.59737 1,59939 1,51732 1.53902 1,56025 1,58104 1.60141 1,51951 1.54116 1,56235 1.58309 1,60342 152170 154330 1.56444 1958515 L60543 í,62388 1,54543 1.66653 1,68719 1,60744 1.2 3.2 0,41871 0.48243 Os54232 0,59884 0365233 1,25846 1.28647 1.31372 1.34025 1,36609 Ir. 1 0 ::- 2.30259 1,39624 1.42070 le44456 L46787 1249065 4111 10 = 9.21034 7 In 10 = 16,11810 2 In 10 T-T 4.60517 511110 = ll.61293 8 In 10 = 18,42068 3 In 10 = 6.90776 611110 = 9 In10 = 2 0 . 7 2 3 2 7 224 13,81551 z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 5,0 5J 5,3 5.4 1,60944 1,62924 1,64866 L66771 1,68640 1.61144 1,63120 1.65058 1,66953 1368825 l,G1343 1,63315 1,65250 1,67147 1,69010 1,61542 1.63511 1,65441 1.67335 L69194 1.61741 1.63705 1365632 1367523 1.69378 1.61939 1.63900 1.65823 1.67710 1.69562 1.6213'7 1364094 l.GG013 1.67896 1,69745 1362334 1.64287 1.66203 1.6BOB3 1,69928 1.62531 1,64481 1.66393 1.68269 1.70111 1.62728 1.64673 1.66582 1.68455 1.70293 5,5 5.6 5,7 528 5,9 1,70475 1.72277 1,74047 1,75786 1,77495 1370656 1x72455 1,74222 12'75958 1277666 1,70838 1,72633 1,74397 L76130 l,77834 1,71019 1,72811 1,74572 1576302 l-78002 1,71199 1.72988 1.74746 1976473 1,78171 1.71380 1.73166 1.74920 1,76644 la78339 1,715GO 1.73342 1.75094 1.76815 1.78507 1.71740 1.73519 1.75267 1.76985 1,78675 1,71919 1,73695 1.75440 1.77156 1.78842 1.72098 1,73871 1.75613 1.77326 1,79009 69 6.1 62 68 6,4 1,79176 1,80829 1,82455 1,84055 1.85630 1,79342 1.80993 1882616 1384214 1,85786 1,79509 1,81156 L82777 l,84372 1.85942 1,79675 L81319 1982938 1384530 L86097 1,79840 1,81482 1,83098 1,84688 1,86253 l,BOD06 1,81645 1.83258 1.84845 1.86408 1.80171 1,818OB 1.83418 l-85003 1,86563 1,80336 1.81970 1,83578 1,85160 1,86718 180500 L82132 1,83737 1.85317 l-86872 1,80665 1.82294 1,83896 1,85473 1.87026 6,5 6,6 697 6.8 639 1.87180 1,88707 1,902ll 1,91692 1.93152 1287334 1.88858 1,90360 1391839 1,93297 1.87487 1,89010 1,90509 1,91986 1.93442 1,87641 1.89160 1.90658 1,92132 1,93586 1.87794 1,89311 1,90806 1,92279 1,93730 1.87947 1.85462 1.90954 1.92425 1,93974 1.88099 1.89612 1,91102 1.92571 1.94018 1.88251 1.89762 1,91250 1,92716 1,94162 1,88403 1,89912 1.91398 1,92862 1,94305 1,88555 1,90061 1,91545 1,93007 1.94448 7,O 7,l 7,3 7,4 1,94591 1,96009 1,97408 1,98787 2,00148 1,94734 1,96150 1,97547 1398924 2700283 1,94876 1196291 1x97685 1,99061 2200418 1.95019 1,96431 1,97824 1,99198 2,00553 1.95161 1.96571 1.97962 1.99334 2,00687 1.95303 L96711 1.98100 I-99470 2300821 1,95445 1396851 1,9823B 1,99606 2100956 1.95586 1,96991 1,98376 1,99742 2301089 1.95727 1,97130 1998513 la99877 2.01223 1.95869 1,97269 1398650 2,00013 2,01357 7,5 736 1.7 7.8 799 2,01490 2.02815 2304122 2205412 2,06686 2301624 2202946 2304252 2,05540 2.06813 2,01757 2,03078 2,04381 2.05668 2,06939 2.01890 2.03209 2,04511 2.05796 2,07065 2,02022 2,03340 2.04640 2.05924 2.07191 2,02155 2,03471 2,04769 2,06051 2.07317 2,02287 2.08601 2.04898 2,06179 2,07443 202419 2,03732 2,05027 2,06306 2,07568 2.02551 2903862 2105156 2.06433 2.07694 2,02683 2.03992 2,05284 2,06560 2,07819 8,O 833 8.4 2.07944 2,09186 2810413 2,11626 2,12823 2,08069 2,09310 2,10535 2,11746 2J2942 2rO8194 2.09433 2910657 2,11866 2913061 2.08318 2,09556 2.10779 2,11986 2.13180 2.08443 2.09679 2,109oo 2.12106 2,13298 2,08567 2,09802 2,11021 2312226 2,13417 2,08691 2,09924 2,11142 2,12346 2.13535 2,08815 2,10047 2,11263 2,12465 2,13653 2,08939 2,10169 2S1384 2,12585 2,13771 2,09063 2,10291 2.11505 2,12704 2,13889 8.5 8,6 8,7 878 829 2.14007 2315176 2,16332 2317475 2,18605 2.14124 2,15292 2216447 2,17589 2,18717 2,14242 2,15409 2,16562 2,17702 2,18830 2s4359 2,15524 2,16677 2,17816 2,18942 2S4476 2S5640 2.16791 2,17929 2,19054 2,14593 2,15756 2,16905 2,18042 2,19165 2,14710 2,15871 2,17020 2.18155 2.19277 2.14827 2,15987 2,17134 2,18267 2,19389 2,14943 2,16102 2.17248 2.18380 2.19500 2,15060 2.16217 2,17361 2,18493 2,19611 9.0 9,l 92 9,3 9,4 2,19722 2,20827 2,21920 2,230Ol 2124071 2,19834 220937 2,22029 223109 2.24177 2,19944 2,21047 2.22138 2,23216 2924284 2,20055 2,21157 2,22246 223324 2,24390 2,20166 2,21266 2,22354 2,23431 2,24496 2.20276 2,21375 2.22462 2.23538 2x24601 2.20387 2,21485 2.22570 2,23645 2324707 2,20497 2.21594 2922678 2923751 2.24813 2,20607 2,21703 2.22786 2923858 2.24918 2.20717 2,21812 2.22894 2323965 2.25024 9.5 9.6 9.7 9.8 9.9 2,25129 2,26176 2.27213 2728238 2.29253 215234 2,26280 2227316 2.28340 2.29354 2,25339 2,26384 2.27419 2,28442 2,29455 2,25444 2,26488 2.27521 2,28544 2,29556 2,25549 2,26592 2,27624 2.28646 2,29657 2,25654 2.26696 2x27727 2928747 2.29757 2.25759 2x26799 2.27829 2228849 2.29858 2.25863 2.26903 2.27932 2,28950 2.29958 2125968 2.27006 228034 229051 2.30058 2.26072 2.27109 2.28136 2,29152 2,30158 52 72 8.1 82 225 z 0 1 2 3 4 5 6 1 8 9 o-0 w 0,2 0,3 0.4 1,oooo 1,1052 1,2214 1,349s 194918 10101 l,l:F3 1.2337 1.3634 1,50G8 1,0202 1,1275 1,2461 1.3771 1.5220 1.0305 1.1388 1,258G 1,391o 1,5373 1.0408 1.1503 1.2712 1,404s 1,552'7 1,0513 1,1618 1,284O 1,419l 1,5683 1.0618 l-1735 1,296s 1,4333 135841 1,0725 1.1853 1,310o 1,4477 1,600O 1,0833 1.1972 1,323l 1.4623 1,6161 1,0942 1,2092 1,3364 1,477o 1,6323 0,5 0.6 0,7 03 0.9 1,6487 1,8221 2.0138 2,2255 2.4596 l,ö653 1,8404 2,034O 2,247s 2,4843 1,682O 1.8589 230544 2,2705 2,5093 1,698s 1,8776 290751 2,2933 295345 1,716O 1,8965 2,095s 2,3164 2,560O 1,7333 1,9155 2,lllO 2,339G 2,5857 1,7507 LS348 2,1383 2,3632 2,6117 1,7683 1.9542 2,1598 2,386s 2,637s 1,786O 1,973s 2,1815 2,410s 2,6645 1,804O 1,9937 2,2034 2,4351 2.6912 14 1s 1,2 1,3 1.4 2,7183 3.0042 3,320l 3,6693 4,0552 2,7456 3,0344 3,3535 3.7062 4.0960 2,7732 3.0649 3,3872 3.7434 4,1371 2,8011 3.0957 3.4212 3,781O 4,1787 2,8292 3,1268 3,4556 3,819O 4,2207 2,8577 3,1582 3,4903 3.8574 4,2631 2,8864 3.1899 3,5254 3,8962 4,306O 2,9154 3,222O 3,560s 3,9354 4,3492 2,9447 3,2544 335966 3,974s 4.3929 2,9743 32871 3,6328 4,014s 4,4311 1,5 4,4817 4,953o 5,473s 6.0496 6,685s 4.5267 5.0028 5.5290 691104 6,753l 4,5722 5,053l 5,5845 6,171s 638210 4,6182 5,103s 5,6407 6,233s 6,8895 4,6646 5,1552 5,6973 6,2965 6.9588 4,7115 532070 597546 6,3598 7,0287 4,7588 5,2593 5,8124 6.4237 7,0993 4,8066 533122 5,870s 6,4883 7,1707 4,855O 5.3656 5,929s 625535 732427 4,9037 5,4195 5,9895 6,6194 7,3155 7,3891 8.1662 9,025o 9 9742 11,023 7,4633 8,2482 91157 10,074 11,134 75383 8.3311 9,2073 10,176 11,246 '7,6141 8,414s 9.2999 10,278 11,359 7.6906 8,4994 9.3933 10,381 11,473 727679 8.5849 9,4877 10,486 11,588 78460 8,6711 95831 ' 10,591 11,705 7,9248 8,7583 9,6794 10,697 11,822 8,0045 8,8463 9,176l 10,805 11,941 8.0849 8.9352 9.8749 10,913 12,061 12,182 13,464 14,880 16,445 18,174 12,305 13,599 15.029 16,610 18,357 12,429 13,736 15,180 16.777 18.541 12,554 13,874 15,333 16,945 18,728 12,680 14,013 15,487 17,116 18,916 12,807 14,154 15,643 17,288 19.106 12,936 14,296 15,800 17,462 19,298 13,066 14,440 15,959 17,637 19,492 13,197 14,585 16,119 17,814 19.688 13,330 14,732 16,281 17,993 19,886 3.3 3.4 20,086 22,198 24,533 27,113 29,964 20,287 22.421 24,779 27.385 30,265 20,491 22.646 25.028 27.660 30.569 20,697 22.874 25,280 27,938 30,871 20,905 23,104 25,534 28,219 31,187 21,115 23,336 25,790 28.503 31,500 21.328 23,571 26,050 28,789 31,817 21,542 23,807 26,311 29,079 32,137 21,758 24,047 26.576 29,371 32,460 21,977 24,288 26,843 29,666 32,786 3,5 3.6 3.7 3.8 39 33,115 36.598 40,447 44,701 49,402 33,448 36.966 40.854 45.150 49.899 33.784 37.338 41.264 45,604 50.400 34.124 37,713 41,679 46.063 50.907 34.467 38,092 42,098 46.525 51,419 34,813 38,475 42,521 46,993 51,935 35,163 38,861 42.948 47,465 52,457 35,517 39,252 43,380 47,942 52,985 35,874 39,646 43,816 48.424 53,517 36,234 40,045 44,256 48,911 54,055 54,598 148,41 403.43 1096.6 2981.0 8103.1 22026 FO.340 164.02 445.86 1212.0 3294.5 8955.3 6G.G8G 181.27 492.75 1339.4 3641.0 9897.1 73.700 200.34 544.57 1480.3 4023.9 10938 81.451 221.41 601.85 1636.0 4447.1 12088 90,017 244.69 665,14 1808.0 4914.8 13360 99,484 270.43 735,lO 1998,2 5431.7 14765 109,95 298.87 812,41 2208,3 6002 ,Q 16318 121,51 330,30 897,85 244096 663492 18034 134,29 365,04 992,27 2697,3 7332,O 19930 1.6 l-7 13 1.9 24 2.1 2.2 2.3 24 23 236 237 2,8 2,s 3,O 3,l 32 4. 5. 6. 7. 8, 9% 10. 226 z 0,O O,l 0,2 0,3 0,4 0 1,OOOOO 0,90484 0,81873 0,74082 0,67032 1 2 0.59452 0.53794 0,48675 0,44043 0939852 6 0,95123 0,86071 0.77880 0.70469 0,63763 0,94176 0,85214 0,77105 0,69768 0,63128 0,58860 0.53259 0,48191 0,43605 0,39455 0,58275 0,52729 0,47711 0,43171 0.39063 0.57695 0,52205 0247237 Os42741 0.38674 0,57121 0,51685 0,46767 0.42316 0,38289 1,0 0.36788 0.36422 0,36060 1,l 0.33287 0,3295G 0.32628 1,2 0,301X9 0.29820 0.29523 í,3 0,27253 0,26982 0.26714 0.24171 1,4 0.24660 0,24414 0,35701 0,32303 0,29229 0,26448 0.23931 0,35345 0331982 0.28938 0,26185 0.23693 0.34994 0,31664 0.28650 0,25924 0,23457 1,5 1,6 1.7 1,8 1,9 0.22313 0,22091 0,21871 0,20190 0,19989 0.19790 0.18268 OJ8087 0.17907 0,16530 0316365 0.16203 0,14957 0,14808 0.14661 0,21654 0,19593 OJ7728 0,16041 0,14515 0,21438 OJ9398 0,17552 0,15882 0;14370 0,21225 0,21014 0,19205 0.19014 os7377 0.17204 0,15724 0,15567 OJ4227 0314086 2,0 0,13534 0,13399 0.13266 OJ3134 0,13003 0,12246 OJ2124 0,12003 OJ1884 0,11765 OJ1080 OJO970 0,10861 0.10753 0.10646 0.10026 0,09926 0,09827 0,09730 0.09633 0.09072 0,08982 0,08892 0,08804 0,08716 2,2 2,3 2,4 0,60050 0,54335 0,49164 0,44486 040252 5 0.96079 'X86936 0,78663 0.71177 0,64404 2,x 0,98020 0,88692 0,80252 0,72615 0.65705 4 0,97045 0,878lO 0,79453 0,71892 0,65051 0,5 0.60653 0,6 0,54881 0.7 0,49659 0,8 0,44933 0.9 0,40657 0,99005 0,89583 0,81058 0,73345 0x66365 3 2,5 0,08208 0.08127 0.08046 0.07966 2,6 0.07427 0,07353 0,07280 0,07208 0,06587 0,06522 227 0,06721 0,06654 2,8 0,06081 0,06020 0,05961 0.05901 2,9 0,05502 0,05448 0,05393 0.05340 0,07887 0307136 0,06457 0,05843 0305287 3,0 3,l 3,2 3,3 3,4 0,04979 0.04929 0.04880 0,04832 0.04783 0,04505 0,04460 0,04416 0.04372 0,04328 0,04076 0,04036 0,03996 0,03956 0,03916 0.03688 0,03652 0,03615 0,03579 0,03544 0.03337 0,03304 0,03271 0,03239 0.03206 3,5 0,03020 0,02990 0.02960 0,02930 0.02732 0,02705 0,02678 0,02652 0,02472 0,02448 0,02423 0,02399 0,02237 0,02215 0,02193 0,02171 0,02024 0.02004 0,01984 0.01964 3x6 3,7 3-8 3,9 4. 5, 6, 7. 8, 9, LO, 0,018316 'AO Ovo*24788 Ovo391188 0,0333546 0,0"12341 0,0445400 0.016573 0.0'60967 0,0222429 0,0"82510 0,0330354 0.0311167 0,014996 0,0?55166 0.0*20294 0,0374659 0,0"27465 0,0~10104 0.02901 0,02625 0.02375 0,02149 0,01945 0.013569 0,012277 0,0?49916 0,0"45166 0,0218363 0,0?16616 0,0367554 0,0:'61125 0,0324852 0,0x22487 0,0191424 0,0*82724 227 7 0.93239 0,84366 0,76338 0,69073 0,625OO 8 9 Os92312 0.83527 0,75578 0,68386 0161878 0,91393 0,82696 0.74826 0,67706 0,61263 0,56553 0,51171 0.46301 0,41895 0.37908 R55990 0,50662 0,45841 0.41478 0,37531 0.55433 0.50158 0745384 0,41066 0.37158 0,34646 0,343Ol 0,31349 0.31037 0,28365 0.28083 0,25666 0.25411 0.23224 0.22993 0933960 0.30728 0.27804 0,25158 0,22764 0,33622' 0,30422 0.27527 0,24908 0,22537 0,20805 Os18825 0917033 Os15412 0313946 0,20598 OJ8637 OJ6864 OJ.5259 0.13807 0,20393 0,18452 0.16696 0.15107 OJ3670 0.12873 OJ2745 0.11648 0.11533 OJO540 0,10435 0,09537 0,09442 0,08629 0.08543 0,12619 OS1418 0,10331 RO9348 0,08458 0,12493 OJ1304 OJO228 oso9255 0,08374 OJ2369 0,11192 OJO127 0.09163 0,08291 0,07808 0.07730 0,07065 0,06995 0.06393 0.06329 0,05784 0.05727 0.05234 0,05182 0,07654 0.06925 0.06266 Ovo5670 0,05130 0,07577 0,06856 0,06204 0,05613 RO5079 0,07502 0,06788 0,06142 Os05558 0.05029 0,04736 0.04689 0.04642 0,04285 0,04243 0,042OO 0.03877 0,03839 0.03801 0.03508 0,03474 0,03439 0,03175 0.03143 0.03112 0,04596 0,04550 0.04159 0,04117 0,03763 0,03725 0,03405 0.03371 0.03081 0,03050 0,02872 0.02844 0,02599 0.02573 0,02352 0,02328 0,02128 0.02107 0,01925 0,01906 0,02816 0,02548 0.02305 0,02086 0,01887 O-02788 0302522 0,02282 0.02065 Ovo1869 0,011109 O,oY40868 0,0215034 0,0:'55308 0,0"20347 0,0*74852 0,0'90953 0,0*33460 0,@12309 0,0"45283 0.0516659 0,01G1283 0,0?82297 0,027446t 0,0230276 0,0'27394 0,0*11138 0,021007~ 0,0340973 Oso337074 0.0315073 0,031363c 0,0"55452 0,045017E 0,010052 0,0236979 0,0'13604 0.0350045 0,0:318411 0,0-'67729 0.02760 0.02497 0.02260 0,02045 0,01850 z RO (41 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 OJO02 0,2013 0,3045 0.4108 0,0100 0,1102 0,2115 0,315o 0.4216 0,020o 0,1203 0,2218 0.3255 0.4325 0,030o 0,1304 0,232O 0,3360 0.4434 0,040o OJ405 0,2423 0,3466 0.4543 0,050o 0,1506 0.2526 0,3572 Os4653 0,060O 0,1607 (42629 0,3678 024764 0,0701 OJ708 0,2733 0,3785 094875 0,0801 0,181O Os2837 0.3892 0.4986 0,0901 0.1911 0,2941 0,400o '45098 0.9 0.5211 0.6367 0,7586 0,8881 1,0265 0,5324 0,6485 0,7712 0,9015 l,G409 0,5438 0,6605 0,7838 0,915o 1,0554 0,5552 0.6725 0,7966 0,9286 1.0700 0,5666 036846 0,8094 (Ag423 130847 0,5782 036967 018223 0.9561 1,0995 0.5897 (47090 0,8353 0.9700 1.1144 0,6014 037213 0,8484 'Ag840 1.1294 0,613l 0.7336 0,8615 0,9981 1.1446 0.6248 0,7461 0,8748 1,0122 1.1598 1.0 1S 1,2 1,3 1,4 1,1752 1,3356 1.5095 1.6984 L9043 lJ907 1.3524 1,5276 1,'7182 1,9259 1,2063 1,3693 1,54GO 1,7381 1,9477 1.2220 1,3863 L5645 1,7583 1,9697 1,2379 1,4035 1,5831 1,778G 1,9919 1,2539 1,4208 1,6019 1,7991 2,0143 1,270o 1,4382 1,6209 1,8198 2,0369 1,2862 1,4558 1,640O 1,8406 2.0597 1,3025 1,4735 1,6593 1,8617 2,082'7 1,319o 1,4914 1,6788 1,8829 2,1059 1.5 1.7 118 13 2.1293 2.3756 2,6456 2,9422 3,2682 2,1529 2,4015 2.ti740 2.9734 3.3025 2.1768 234276 2,7027 3,0049 3.3372 2,2008 2,454O 2.7317 330367 3,3722 2,2251 2,4806 2,1609 3,0689 3,40?5 2.2496 2,5075 2,7904 3.1013 3,4432 2,2743 2.5346 2,8202 3,134o 3.4792 2,2993 2,562O 2,8503 3,1671 3,5156 2,3245 2,5896 2,8806 332005 3x5523 2,3499 2,6175 2,9112 3,2341 3,5894 2,O 2,l 2.2 2.3 2.4 3,6269 4.0219 4,4571 4.9310 5.4662 3.6617 4.0635 4.5030 4.9876 5.5221 3,7028 4,105G 4.5494 5.0387 5.5785 3.7414 4,148O 4,5962 5.0903 5.G354 3,7803 4,1909 4,6434 5.1425 5,6929 3,8196 4.2342 4.6912 5s951 5.7510 3,8593 4,2779 4,7394 5,2483 5.8097 3,8993 4,3221 4,788O 5,302O 5,8689 3,9398 4,3666 4,8372 5,3562 5.9288 3,9806 4,4116 4.8868 5,4109 5.9892 2,5 2.6 2.7 2.8 2.9 - 6.0502 G.6947 7,4063 8.1919 9.051ìG 6.1113 G.7628 7.4814 3.2749 !).1512 G.ll-ll 6.8315 7.5572 8.3586 tI.2137 6.2369 6.9008 7.6338 8.4432 3.3371 G.3004 6.9i09 7.7112 8.5287 9.4315 6.3645 7.0417 7,7894 8.6150 9.5268 6,4293 7,1132 7.8683 897021 996231 6.4946 7,1854 7,948O 8.7902 9.7203 6,5ü07 7,2583 890285 8,87X 9x8185 6.6274 7,3319 8,1098 8,9689 9,9177 02 0,3 0,4 0.5 076 0.7 078 1x6 o,oooo 228 z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 30 3:1 10,018 11,076 12,246 13,538 14,965 10,119 11,188 12,369 13,674 15,116 10.221 11,301 12,494 12,812 15,268 10,324 11,415 12,620 13,951 15,422 10,429 11,530 12,747 14,092 15,577 10,534 11,647 12,876 14,234 15,734 10,640 11,764 13,006 14,377 15,893 10,748 11,883 13,137 14,522 16.053 10,856 12,003 13,269 14,668 16,215 10,966 12,124 13,403 14,816 16,378 3,7 318 89 16,513 18,285 20,211 22,339 21.691 16,709 18,470 20,415 22,564 24,939 16,877 18,655 20,620 22,791 25,190 17,047 18,843 20,828 23,020 25,444 17,213 19,033 21,037 23,252 25,700 17,392 19,224 21,249 23,486 25,958 17,567 19,418 21,463 23,722 26,219 17,744 19,613 21,679 23,961 26,483 17,923 19,811 21,897 24,202 26.74Y 18,103 20,010 22117 24,445 27,018 4,O 4,l 4,2 4,3 4.4 27,290 30,162 33,336 36,843 40,719 27,564 30,465 33,671 37,214 41,129 27,842 30,772 34,009 37,688 41,542 28,122 31,081 34,351 37,965 41,960 28,404 31,393 34,697 38,347 42,382 28,690 31,709 35,046 38,733 42,808 28,979 32,028 35,398 39,122 43,238 29,270 32,350 35,754 39,515 48673 29,564 32,675 36,113 39,913 44,112 29,862 33,004 36,476 40.314 44,555 4.5 4,6 4,7 4,8 4,9 45,003 49,737 54,969 60,751 67,141 45,455 50,237 55,522 61,362 67,816 45,912 50,742 56,080 61,979 68,498 46,374 51,252 56,643 62,601 69,186 46,840 51,767 57,213 63,231 69,882 47,311 52,288 57,788 63,866 70,584 47,787 52,813 58,369 64,508 71,293 48,267 53,344 58,995 65,157 72,010 48.752 53,880 59,548 65,812 72,734 49,242 54,422 60,14'i 66.47: 73.46E 5,O 5.1 5,3 5,4 74,203 82,008 90,633 100,17 110,70 74,949 82,832 91.544 101,17 111.81 75,702 83,665 92,464 102,19 112,94 76,463 84,506 93,394 103,22 114,07 77,232 85,355 94,332 104,25 115.22 78,008 86,213 95,281 105,30 116.38 78,792 87,079 96,238 106,36 117,55 79,584 87,955 97,205 107,43 118.73 80,384 88,839 98,182 108,51 119,92 81,192 89.73: 99,16I 109,6( 121.1: 5,5 5,6 5.7 5,8 5,9 122,34 135,21 149,43 165,15 132252 123157 136,57 150,93 166,81 184235 124,82 137,94 152,45 168,48 186,20 126,07 139,33 153,98 llO, 188,08 127,34 140,73 x5,53 17l,89 189,97 128.62 142314 157,09 173.62 191388 129.91 143.57 158767 175.36 193780 131,22 145,02 160.27 í77.12 195.75 132,53 146,47 161,88 178,SO 197,72 133,8: 147,9! 163.5: 180,7( 199.7: 322 3,3 3,4 3,5 3.6 52 229 z 0.0 0.1 62 O-3 0.4 0.5 0.6 0,7 098 0,9 LO Ll L2 1,3 1,4 15 1.6 L-7 L8 L9 2,o 21 2,2 2,s 2,4 2,5 2,6 2,7 2.8 29 - 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1.0000 LOO50 LO201 LO453 LO811 1.0001 LOO61 l.0221 1.0484 l,O852 l,ooo2 1.0072 1.0243 LO516 LO895 1.0005 1,0085 1,0266 LO549 LO939 1,0008 1.0098 1,0289 1,0584 1,0984 1.0013 1.0113 1.0314 1,0619 1.1030 1,0018 1,0128 l,o340 LO655 1,1077 LOO25 1.0145 1,0367 LO692 1,1125 1,0032 1,0162 1.0395 LO731 Ll174 1.0041 1,0181 LO423 LO770 1.1225 1.1276 1,1855 1,2552 l.3374 1.4331 1.1329 1.1919 L2628 1.3464 1,4434 1,1383 1,1984 1,2706 1.3555 1.4539 Ll438 1.2051 1,2785 1,364l 1.4645 1,1494 1,2119 1,2865 1,374o 1,4753 1,1551 1,2188 1,2947 1,3835 1.4862 Ll609 1,2258 1,303o 1,3932 1,4973 ? ,1669 1,233O 1,3114 1,4029 1.5085 Ll730 1,2402 1,3199 1,4128 1.5199 1,1792 l-2476 1,3286 1,4229 1.5314 1,5431 l.6685 l,8107 1.9709 2,1509 1,5549 1,682O 1,8258 1,988O 2.1700 1,5669 1,6956 1,8412 2,0053 2,1894 1,579o 1,7093 1,8568 2,0228 2,209o 1,5913 1,7233 1,8725 2.0404 2,2288 1.6038 1.7374 l,8884 20583 2.2488 1.6164 1,7517 L9045 2.0764 2.2691 1,6292 1,7662 1,9208 2,0947 2,2896 1,6421 1.7808 1.9373 2,1132 2,3103 1.6552 1,7957 zyxwvutsrqp 1,954o 2.1320 2.3312 2,3524 2.5775 298283 3,107s 3.4177 2.3738 2,6013 2.8549 3.1371 3,4506 2,3955 2,6255 2,8818 3,1669 3.4838 2,4174 2,6499 2,909o 3,1972 3,5173 2,4395 296746 2,9364 3,2277 3,5512 2,4619 2.6995 2,9642 3,2585 3,5855 2,4845 2,7247 2.9922 3.2897 3,6201 2,5073 2,7502 330206 3,3212 3,6551 2,5305 2,776O 3.0492 3,353o 3.6904 2,5538 2.8020 3,0782 3,3852 3,7261 3,7622 4,1443 4,5679 5,0372 5.5669 3,7987 4,1847 4,6127 5,0868 5,6119 3,8355 4.2256 4.6580 5.1370 5.6674 3,872-T 4.2669 4,7037 5,1876 5,7235 3,9103 4.3085 4.7499 5,2388 5.7801 3,9483 4,3507 4x7966 52905 5.83'73 3.9867 4,3932 4,8437 5,3427 5.8951 4,0255 4,4362 4,8914 5,3954 5.9535 4.0647 4,4797 4,9395 5.4487 6,0125 4,1043 4,5236 4,9881 5,5026 6,0721 6,1323 6,769O 7.4735 8,252l 9,1146 6,1931 6.8363 7.5479 8,335l 9,2056 6.2545 6.9043 7.6231 8.4182 9,2976 6.3166 6.9729 7.6991 6.5022 9,3905 6.3793 7.0423 7.7758 8,5871 9.4844 6,4426 7.1123 7.8533 8.6728 9.5791 6,5066 7,1831 ‘7,9316 8.7594 9.6749 6,5712 7,2546 8,0106 8,8469 9,7716 6,6365 7.3268 8,0905 8,9352 9.8693 6,7024 7,3998 8.1712 9,0244 9.9680 230 z 0 1 2 3 4 5 G 7 8 9 3.0 3s 3,2 3,3 3,4 10,068 11,121 12,287 13,575 14,999 10,168 11,233 12,410 13,711 15,149 10,270 11,345 12,534 13,848 15,301 10,373 11,459 12,660 13,987 15,455 10,476 11,574 12,786 14,127 15,610 10,581 11,689 12,915 14,269 15,766 10,687 l l ,806 13,044 14.412 15,924 10.794 ll.925 13.175 14,556 16,081 10,902 12.044 13,307 14.702 16.245 11,011 12.165 13.440 14,850 16,408 3,5 16,573 18,313 20,236 22,362 24,711 16,739 18,497 20,439 22,586 24,959 16,907 18,682 20,644 22,813 25.210 17,077 18,870 20,852 23,042 25,463 17,248 19,059 21,061 23,273 25,719 17,421 19,250 21,272 23,507 25,977 17,596 19.444 21,486 23,743 26.238 17,772 19,639 21,702 23,982 26,502 17,951 19,836 21,919 24,222 26,768 18,131 20,035 22,139 24,466 27.037 4,3 4.4 27,308 30,178 33,351 36851 40,732 27,583 30,482 33,686 37,227 41,141 27,860 30,788 34,024 37,601 41,554 28,139 31,097 34,366 37,979 41,972 28,422 31,409 34,711 38,360 42,393 28,707 31,725 35.060 38,746 42.819 28,996 32,044 35,412 39,135 43,250 29,287 32.365 35,768 39,528 43.684 29,581 32,691 36,127 39,925 44,123 29,878 33,019 36.490 40,326 44,566 4,5 4.6 4.7 438 4.9 45,014 49,747 54,978 60,759 67,149 45,466 50,247 55,531 61,370 67,823 45,923 50,752 56,089 61,987 68,505 46,385 51,262 56,652 62,609 69,193 46,851 51,777 57,221 63,239 69,889 47,321 52,297 57,796 63,874 70,591 47,797 52,823 58,377 64,516 71,300 48,277 53,354 58,964 65,164 72,017 48,762 53,890 59.556 65.819 72,741 49,252 54,431 60,155 66,481 73,472 5,O 5J 5.3 594 74,210 82,014 90,639 lOO, llO, 74,956 82,838 91,550 lOlS8 111,82 75,709 83,671 92,470 102.19 112,94 76,470 84.512 93,399 103,22 114,08 77,238 85.361 94,338 104,26 115,22 78,014 86,219 95,286 105,31 116,38 78,798 87,085 96,243 106,67 117,55 79,590 87,960 97.211 107,43 116.73 80,390 88,844 98,188 108,51 119.93 81,198 89,737 99,174 109.60 121213 5,5 5,6 5.7 5,8 R9 122.35 135.22 149,44 165,15 18252 123,58 136.57 150,94 166,81 184,35 124.82 137,95 152,45 168349 186721 126,07 139,33 153,99 170,18 188,08 127,34 140.73 155,53 171,89 189,9-I 128,62 142,15 157,lO 173962 191,88 129,91 143.58 158,68 175.36 193181 131.22 145,02 160.27 177.13 195.75 132,54 146,48 161,88 178,91 197,72 133.87 147,95 163751 180,70 199,71 326 3-7 3.8 29 4,O 471 4.2 53 231 z 0 0-0 O,l 0,2 0,3 Os4 0.00000 0,09967 0.5 0-8 0.46212 0,53705 0,60437 0,66404 w 0,71630 LO 0.76159 1 2 3 4 5 0,01000 0.10956 020697 0,02000 0,02999 (,03998 O,O~i!JYG OJ1943 0,12927 0.13909 (1,14889 0.21652 0.22603 0,30044 0,38847 0.30951 0,31852 0,39693 0,40532 023550 0.32748 0.41364 O-24492 0,33638 0,42190 0,46995 0,54413 0,61068 0,66959 0,72113 0,47770 0,55113 O-48538 0.55805 0.62307 0368048 0,73059 0.49299 0.56490 0.62915 0,68581 0.73522 0,50052 0.57167 0,63515 0.76987 0.80757 0,83965 0.86678 0,88960 CA77789 0.78181 1,3 1.4 0,76576 0,80406 0,83668 0,86428 0.88749 0.77391 0,80050 O-83365 0.86172 0.88636 0.81102 0.84258 0.86925 0.81441 0.84546 0.87167 R89370 15 1.6 1.7 1,8 1,9 0.90515 0.92167 0.93541 0.94681 0.95624 0,90694 0.92316 0.93665 0.94783 0,95709 0,90870 0,92462 0,93786 0,94884 0,95792 0.91042 0.92606 0.93906 0.94983 0.95873 0,91212 2,o 2,l 2.2 2.3 2.4 0996403 0,97045 R97574 0.26473 0.97103 0,96541 0.97159 0397622 0,980lO 0.98049 0998367 0,984OO 2.5 2.6 0.98661 2.7 0,98903 0.99101 0.99118 0,99136 2.8 2.Y '0.99263 0.99396 0.99278 0.99408 0.99292 0.99420 ‘336 0,7 1,l 1.2 OJ9738 0,29131 0.37995 6 7 8 9 0.05993 0.15865 0.25430 0.3-1521 0,43008 O,Oc>9XI RlG838 0,26365 fl,35390 tJ,4382*) ll,07983 0.17808 0,08976 0.18775 0,27291 0,28213 0,36271 0,44624 0,37136 0,45422 0,50798 Os57836 K641OY 0.69626 0,74428 0.51536 0,58198 0.64693 k70137 0,74870 0.52267 0,59152 Ch65271 R-70642 0,75307 0,52990 0,59798 0,65841 0.81775 0,84828 0.87405 0.89569 (!.78566 0.8210-i 0.85106 0,87639 0.89765 0,78946 0,82427 Os85380 0,87869 0,89958 0.79320 0.82745 0.85648 0.88095 (A90147 0,79688 0,83058 0.92747 0,94023 0,95080 os95953 0,91379 0.92886 0,94138 0,95175 0396032 0,91542 0.93022 0.91250 0,95268 0.96109 0,91703 0.93155 (494361 0,95359 0,96185 0,91860 0,93286 cl,94470 0.95449 0 96259 0,92015 0,93415 0,94576 0,95537 0,96331 0,96609 0,97215 0.96675 0.97269 0.96740 0.97323 0,96803 0,97375 0396865 0.97426 0.96926 0,97477 0,96986 0.97526 0.97668 0.97714 0.97759 0.97803 0.97846 0.98124 0.98462 0.98161 0,98192 0.98137 0.98522 0,98233 Cl,98551 0.97888 1198267 íJ,98579 0,97929 0.98087 0,98431 0,98GO7 0,97970 O,Y8335 0,98635 0.98688 0.98714 0.9873Y 0.98764 0.98946 0.98966 0.99153 0.99306 0.99431 0.98!187 0,0H170 0.99320 O.!J!l 113 0.98788 0.99007 t98812 698924 O.YH835 0.900‘45 Cr,98858 Cl,99064 CA98881 0.99083 0,61691 0.67507 0.72590 0.89167 0,69107 0,73978 (L9902G 0x98301 0,71139 0,75736 0,85913 0,88317 0,90332 0.99186 0.99202 0.99218 0,9Y233 CA99248 iJ,DD333 !).99451 0.99346 (J.Y94G4 0.99359 0,99475 0.99372 Cl,99485 0.99384 O,YY496 z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3,o 3,l 3,2 3,3 3,4 0,99505 0,99595 0.99668 0,99728 0,99777 0,99515 0,99603 0,99675 0,99734 0,99782 0,99525 0,99611 0.99681 0,99739 0,99786 0.99534 0.99618 0,99688 0,99744 0,99790 0,99543 0,99626 0.99694 0,99749 0,99795 cl,99552 0,99633 0,997oo cl,99754 0,99799 0,99561 0,99641 Os99706 ox99759 0,99803 k99570 0399648 0,99712 0.99764 0,99807 (499578 0,99655 0,99717 0,99768 0,99810 0,99587 Os99662 0.99723 0,99773 0,99814 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 0.99818 0,99851 699878 0,999oo 0,99918 0,99821 0,99853 0,99880 c,s9902 0,99920 0,99825 0,99857 0,99883 0,99904 0,99921 0,99828 0.99859 o,99885 0,99906 0,99923 CA99832 CA99862 0,99887 0,99908 0,99924 0,99!35 0,99865 0,99889 0,99909 0,99926 0,99838 0,99868 0,99892 0.99911 0,99927 0,99842 0,99870 0,99894 0,99913 0,99929 0,99845 0,99873 0,99896 0,99915 0,99930 0.99848 0,99875 0,99898 0.99916 0,99932 4,O 4,l 4,2 4,3 4,4 0.99933 0,99945 0.99955 0,99963 0,99970 0,99934 0,99946 0,99956 0,99964 0,99970 0,99936 0,99947 0,99957 0.99965 0,99971 039937 0.99948 0,99958 0,99966 0,99972 099938 0,99949 0,99958 0,99966 0.99972 0,99939 0.99950 0,99959 0.99967 0.99973 039941 0,99951 0,99960 0,99967 0,99973 0,99942 0,99952 0.99961 0,99968 0,99974 0,99943 0,99953 0,99962 0,99969 0,99974 0,99944 0.99954 0.99962 0,99969 os99975 4,5 4,6 4,7 4.8 49 0,99975 0,99980 0.99983 0.99986 0.99989 0,99976 0,99980 0.99984 0.99987 0,99989 0,99976 0,99981 0,99984 0,99987 0,99990 0,99977 0.99981 0,99984 0.99987 0,99990 0,99977 0,99981 0,99985 0.99987 0,99990 0,99978 0,99982 0,99985 0,99988 0,99990 0,99978 0,99982 0,99985 0,99988 0,99990 0,99979 0.99982 0,99986 0.99988 0,99990 0,99979 0,99983 0,99986 0,99988 0,99991 0,99979 0,99983 0,99986 0,99989 0.99991 5,O 5J 5,2 5,3 5,4 0,99991 0,99993 0,99994 0,99995 0,99996 0,99991 0,99993 0,99994 0,99995 0.99996 0,99991 0,99993 0,99994 0,99995 0,99996 0,99991 0,99993 0,99994 0,99995 0,99996 0 99992 0,99993 0,99994 0,99995 0,99996 0,99992 0,99993 0,99994 0,99995 0,99996 0,99992 0,99993 0,99995 0,99996 0.99996 0,99992 0,99994 0,99995 0,99996 0,99996 0,99992 0,99994 0,99995 0.99996 0,99997 0,99992 0,99994 0,99995 0,99996 0,99997 5,5 5,6 5,7 5,8 5.9 0,99997 0,99997 0.99998 0.99998 0,99998 0,99997 0,99997 0,99998 0,99998 0,99999 0,99997 0,99997 0,99998 0,99998 0,99999 0,99997 0,99997 0,99998 0,99998 0,99999 0,99997 0,99997 0,99998 0,99998 0.99999 u,99997 0,99998 0,99998 0,99998 0,99999 0,99997 0,99998 0,99998 0.99998 0,99999 0,99997 699998 699998 0,99998 0,99999 0,99997 0.99998 0,99998 0,99998 0,99999 0,99997 0,99998 0,99998 0,99998 0,99999 233 n - - 12 ?l! 0 1 ll 7’ - (por definición) Tl! ?t! 40 41 42 43 44 $15915 x 1047 3,34525x 104" 1,405Ol x 105' 6,04X53 x 1052 265827 X1054 80 81 82 83 84 7.15695 X 10'18 k79713 x 10'20 1.75364 X 10'22 3,94552X10'% 3,31424X 10'28 45 46 47 48 85 86 87 38 2,81710X 10'28 242271X 10'30 49 lJ9622 X 1056 5,50262 x 1057 2,58623 x 1059 1,24139 x 1061 6,08282 x 1062 89 k10-7'76 X 10'3' 1,85483X 101% l,65080 X 10'3' 50 51 52 53 54 3,04141x 1064 1.55112 x 106'3 B.06582 x 105' 4,27488 x 1069 2.30844 x 10" 90 91 92 93 94 1,48572X 10'38 1,35200X 10'40 1.24384 X 10'42 1,16677X 10'44 LO8737 X 10145 18 6.402.373.705.728.000 55 56 57 58 19 59 1,26964 x 10'3 7,10999 x 1074 4,05269 x 10" 2,35056x 1078 1,38683x 108" 95 96 97 98 99 1.03300 x 10'48 9,91678 X 10149 9,61928X 10'51 9,42689 X 10'53 9,33262X 10'55 2.432.902.008.176.640.000 51.090.942.171.709.440.000 1.124.000.727.777.937.680.000 25.852.016.738.892.566.840.000 620.448.401.733.421.599.360.000 60 61 62 63 64 8,32099 x 108' 6,07580 x 1083 3,147oo x 1085 1,9826x x 108" 1.26887 xloS9 100 9,33262 X 10'57 15.511.210.043.335.539.984.000.000 65 66 67 68 8,24765x 1090 5,44346 x 1092 2 3 4 2 6 24 5 120 6 '720 7 5040 8 40.320 9 362.880 LO 3.628.800 Il 39.916.800 12 479.001.600 13 6.227.020.800 1 4 87.178.291.200 15 1.307.674.368.000 16 20.922.789.888.000 17 355.687.428.096.000 20 21 22 23 24 2 5 26 27 28 121.645.100.408.832.000 403.291.461.126.724.039.584.000.000 10.888.869.450.421.549.068.768.000.000 304.888.344.611.803.373.925.504.000.000 8.841.761.993.742.297.843.839.616.000.000 265.252.859.812.268.935.315.188.480.000.000 69 3,64711x1094 2,48004 x 109" 1,71122 x 1096 31 8.22284 x1033 32 2.63131 X 1035 3 3 8,68332X10= 34 2,95233x 1038 70 71 72 73 14 Ll9786 x 10""' 8,50479 x 10'0' 6.12345 x 10108 4,47012 x 10'05 3,30789 xlO"'7 35 1.03331 x 1040 36 3,71993x 104' 37 1.3'7638 x 1043 38 5.23023~ 1044 75 76 77 78 39 2,03979x 79 - 2.48091 1.88549 1.45183 1.13243 8.94618 29 30 1046 234 x lo"'9 x 10" x 10113 x 10115 x lo"6 - x w x 1,OO 1 ,ooooo 1,Ol 1,02 1.03 1.04 LO5 1.06 1.07 1,08 1,09 0,99433 0.98884 0.98355 0,97844 0,97350 07968'74 0296415 0.95973 0,95546 1,50 1,51 1,52 1,53 1,54 1,55 1,56 1.57 1,58 1.59 0,88623 0,88659 0,88704 0,88757 Os88818 0,88887 0.88964 0,89049 0,89142 'AB9243 i,io 1,ll 1,12 1,13 1,14 1,15 1,16 1,17 1,lR 1,lS 0,95135 0,94740 0,94359 0,93993 693642 0.93304 '-492980 (492670 0,92373 0,92089 1,60 1.61 1,62 1.63 1,64 1,65 1,66 1,67 1,68 1.69 0,89352 0,89468 0.89592 0.89724 0.89864 0.90012 0,90167 0,90330 0,90500 0,90678 1.20 1.21 1,22 1.23 1,24 1,25 1,26 1927 1328 1.29 0.91817 0.91558 0,91311 0,91075 0,90852 090640 0,90440 0.90250 t90072 0,89904 1,70 1.71 1,72 1,73 1.74 1,75 1.76 1,77 1,78 1,79 0.90864 0,91057 0.91258 0,91467 0.91683 0,91906 092137 0,92376 0,92623 0,92877 1,30 1,31 1,32 1,33 1,34 1,35 1,36 1,37 1,38 1,39 0,89747 0,896OO 0,89464 0.89338 0,89222 0,89115 0,89018 0.88931 0,88854 0,88785 1,80 1,81 1.82 1,83 1,84 1,85 1,86 1,87 1,88 1,89 0,93138 0.93408 0,93685 0,93969 034261 034561 034869 0,95184 0,95507 0395838 1.40 1,41 1.42 1,43 1,44 1,45 1346 1,47 1.48 1,49 0,88726 0.88676 0,88636 0,88604 0288581 088566 0,88560 0,88563 0,88575 0.88595 1,so 191 1,92 1,93 1,94 1,95 1,96 1,97 1,98 1,99 0.96177 0,96523 096877 0,97240 0,97610 0,97988 0,98374 0,98768 0,99171 0,99581 1,50 0,88623 2,oo 1,ooooo 235 l‘(X) Obsérvese que cada número es la suma de dos números en la fila anterior; uno de estos números está en la misma columna y el otro en la columna anterior [por ejemplo, 56 = 35 + 211. Esta clase de ordenamiento se conoce con el nombre de triángulo de Pascal [véase 3.6, página 41. kO 1 2 3 4 6 6 7 8 9 1 2 3 4 5 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 1 3 6 10 1 4 10 1 5 1 6 7 8 9 10 1 1 1 1 1 6 7 8 9 10 15 21 28 36 45 20 36 56 84 120 15 36 70 126 210 6 21 56 126 262 1 1 28 84 210 1 8 36 120 1 9 45 1 10 ll 12 13 14 15 1 1 1 1 1 11 12 13 14 15 55 66 78 91 105 165 220 286 364 455 330 495 715 1001 1365 462 792 1287 2002 3003 462 924 1716 3003 5005 330 792 1716 3432 6436 165 496 1287 3003 6436 65 220 715 2002 5005 16 17 18 19 20 1 1 1 1 1 16 17 18 19 20 120 136 163 171 190 660 680 816 969 1140 1820 2380 3060 3876 4845 4368 6188 8568 11628 16504 8008 12376 18564 27132 38760 11440 19448 31824 50388 77620 12870 24310 43758 76582 125970 11440 24310 48620 92878 167960 21 22 23 24 25 1 1 1 1 1 21 22 23 24 25 210 231 253 276 300 1330 1540 1771 2024 2300 5985 7315 8855 10626 12650 20349 26334 33649 42504 53130 54264 74613 100947 134596 177100 116280 170544 245157 346104 480700 203490 319770 490314 735471 1081575 293930 497420 817190 1307504 2042975 26 27 28 29 30 1 1 1 1 1 26 27 28 29 30 320 351 378 406 435 2600 2925 3276 3654 4060 14950 17550 20475 23751 27405 65780 80730 98280 118755 142506 230230 296010 376740 475020 593775 657800 888030 1184040 1560780 2035800 1562276 2220075 3108106 4292145 5852925 3124550 4686825 6906900 10015005 14307160 x 11 10 13 12 14 15 10 1 ll 12 13 14 15 ll 66 286 1001 3003 1 12 78 364 1365 1 13 91 455 1 14 105 1 15 1 16 17 18 19 20 8008 19448 43758 92378 184756 4368 12376 31824 75582 167960 1820 6188 18564 50388 125970 560 2380 8568 27132 77520 120 680 3060 11628 38760 16 136 816 3876 15504 21 22 23 24 25 352716 646646 1144066 1961256 3268760 352716 705432 1352078 2496144 4457400 293930 646646 1352078 2704156 5200300 203490 497420 1144066 2496144 5200300 116280 319770 817190 1961256 4457400 54264 170544 490314 1307504 3268760 26 27 28 29 30 5311735 8436285 13123110 20030010 30045015 7726160 13037895 21474180 34597290 54627300 9657700 17383860 30421755 51895935 86493225 10400600 20058300 37442160 67863915 119759850 9657700 20058300 40116600 77558760 145422675 7726160 17383860 37442160 77558760 155117520 Parak> 15h~gase"sode($ = &) 237 1 2 3 4 6 6 7 8 9 10 ll 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 26 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 60 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 225 256 289 324 361 400 441 484 529 576 625 676 729 784 841 900 961 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 1621 1600 1681 1764 1849 1936 2 025 2 116 2 209 2 304 2 401 2 500 1 8 27 64 125 216 343 612 729 1000 1331 1728 2197 2 744 3 375 4 096 4 913 5 832 6859 8 000 9 261 10 648 12 167 13 824 15 625 17 576 19 683 21952 24 389 27 000 29 791 32 768 35 937 39 304 42876 46 656 60 653 54 872 59 319 64 000 68 921 74 088 79 507 85184 91125 97336 103 823 110 592 117 649 125 000 1,000 000 1,414 214 1,732 051 2,000 000 2,236 068 2,449 490 2,645 751 2,828 427 3,000 000 3,162 278 3,316 625 3,464 102 3,605 551 3,741 657 3,872 983 4,000 000 4,123 106 4,242 641 4,358 899 4,472136 4,582 576 4,690 416 4,795 832 4,898 979 5,000 000 6,099 020 5,196152 6,291 503 5,385 165 5,477 226 5,567 764 5,656 854 6,744 663 5630952 5,916 080 6,000 000 6,082 763 6,164 414 6,244 998 6,324 555 6,403 124 6,480 741 6,557 439 6.633250 6,108 204 6,782 330 6,855 655 6,928 203 7,000 000 7,071 068 1,000 000 3,162 278 1,259 921 4,472 136 1,442 250 5,477 226 6,324 555 1,587 401 7,071 068 1,709 976 1,817 121 7,745 967 1,912 931 8,366 600 2,000 000 8,944 272 2,080 084 9,486 833 10,000 00 _ 2,154 435 10,488 09 2,223 980 2,289 428 10,954 45 2,351 335 11,401 75 2,410 142 11,832 16 2,466 212 12247 45 2,519 842 12,649 ll 2,571 282 13,038 40 2,620 741 13,416 41 2,668 402 13,784 05 2,714 418 14,142 14 2,758 924 14,49138 2,802 039 14,832 40 2,843 867 15,165 75 2,884 499 15,491 93 2,924 018 15,811 39 2,962 496 16,124 52 3,000 000 16,431 68 3,036 589 16,733 20 3,072 317 17,029 39 3,107 233 17,320 51 3,141 381 17,606 82 3,174 802 17,888 54 3,207 534 18,165 90 3,239 612 18.439 OS 3,271 066 18,708 29 3,301 927 18,973 67 3,332 222 19535 38 3,361 975 19,493 59 3,391 211 19,748 42 3,419 952 20,000 00 20,248 46 3,448 217 3,476 027 20,493 90 3,503 398 20,736 44 3,530 348 20,976 18 21,213 20 3,556 893 3,583 048 21,447 61 3,608 826 21,679 48 21.908 90 3,634 241 3,659 306 22,135 94 22,360 68 3.684 031 233 2,154 2,714 3,107 3,419 3,684 3,914 4,121 4,308 4,481 4,641 4,791 4,932 5,065 5,192 5,313 5,428 5,539 5,646 5,748 5,848 5,943 6,036 6,126 6,214 6,299 6,382 6,463 6,542 6,619 6,694 6,767 6,839 6,910 6,979 7,047 7,113 7,179 7,243 7,306 7,368 7,428 7,488 7.547 7,605 7,663 7,719 7,774 7,829 7,883 7,937 435 418 233 952 031 868 285 869 405 589 420 424 797 494 293 835 658 216 897 035 922 811 926 465 605 504 304 133 106 330 899 904 423 532 299 787 054 156 144 063 959 872 842 905 094 443 980 735 735 005 4,641 589 5,848 035 6,694 330 7,368 063 7,937 005 8,434 327 8,879 040 9,283 178 9,654 894 10,000 00 10,322 80 10,626 59 10,913 93 11,186 89 11,447 14 11,696 07 11,934 83 12,164 40 12,385 62 12,599 21 12,805 79 13,005 91 13,200 06 13,388 66 13,572 09 13,750 69 13,924 77 14,094 60 14,260 43 14,422 50 14,581 OO 14,736 13 14,888 06 15,036 95 15,182 94 15,326 19 15,466 80 15,604 91 15.740 61 15,874 01 16,005 21 16,134 29 16,261 33 16,386 43 16,509 64 16,631 03 16,750 69 16,868 65 16,984 99 17,099 76 1,000 0,500 0,333 0,250 0,200 0,166 0,142 0,125 0,111 0,100 0,090 0,083 0,076 0,071 0,066 0,062 0,058 0,055 0,052 0,050 0,047 0,045 0,043 0,041 0,040 0,038 0,037 0,035 0,034 0,033 0,032 0,031 0,030 0,029 0,028 0,027 0,027 0,026 0,025 0,025 0.024 0,023 0,023 0,022 0,022 0,021 0,021 0,020 0,020 0,020 000 000 333 000 000 667 857 000 111 000 909 333 923 429 667 500 824 556 632 000 619 455 478 667 000 462 037 714 483 333 258 250 303 412 671 778 027 316 641 000 390 810 256 727 222 739 277 833 408 000 12 50 51 62 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 00 n2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 9 9 9 9 9 10 n3 500 125 000 601 132 651 704 140 608 809 148 877 916 157 464 025 166 375 136 175 616 249 185193 364 195112 481 205 379 600 216 000 721 226 981 844 238 328 969 250 047 096 262144 225 274 625 356 287 496 489 300 763 624 314 432 761 328 509 900 343 000 041 357 911 184 373 248 329 389 017 476 405 224 625 421875 776 438 976 929 456 533 084 474 552 241 493 039 400 512 000 561 531441 724 551368 889 571787 056 592 704 225 614 125 396 636 056 569 658 503 744 681472 921 704 969 100 729 000 281 753 571 464 778 688 649 804 357 836 830 584 025 857 375 216 884 736 409 912 673 604 941192 801 970 299 000 1000 000 \/;E 7,071 7,141 7,211 7,280 7,348 7,416 7,483 7,549 7,615 7,681 7,745 7,810 7,874 7,937 8,000 8,062 8,124 8,185 8,246 8,306 8,366 8,426 8,485 8,544 8,602 8,660 8,717 8,774 8,831 8,888 8,944 9,000 9,055 9,110 9,165 9,219 9,273 9,327 9,380 9,433 9,486 9,539 9,591 9,643 9,695 9.746 9,797 9,848 9,899 9,949 10,oo 068 428 103 110 469 198 315 834 773 146 967 250 008 254 000 258 038 353 211 624 600 150 281 004 325 254 798 964 761 194 272 000 385 434 151 544 618 379 832 981 833 392 663 651 360 794 959 858 495 874 000 6 22,360 22,583 22,803 23,021 23,237 23,452 23,664 23.874 24,083 24,289 24,494 24,698 24,899 25,099 25,298 25,495 25,690 25,884 26,076 26,267 26,457 26,645 26,832 27,018 27,202 27,386 27,568 27,748 27,928 28,106 28,284 28,460 28,635 28,809 28,982 29,154 29,325 29,495 29,664 29,832 30,000 30,166 30,331 30,495 30,659 30,822 30,983 31.144 31,304 31,464 31,622 $iGi % 68 18 51 73 90 08 32 67 19 92 90 18 80 80 22 10 47 36 81 85 51 83 82 51 94 13 10 87 48 94 27 50 64 72 75 76 76 76 79 87 00 21 50 90 42 07 87 82 95 27 78 239 3,684 3.708 3,732 3,756 3.779 3,802 3,825 3,848 3,870 3,892 3,914 3,936 3,957 3,979 4,000 4,020 4,041 4,061 4,081 4,101 4,121 4,140 4,160 4,179 4,198 4,217 4,235 4,254 4,272 4,290 4,308 4,326 4,344 4,362 4,379 4,396 4,414 4,431 4,447 4,464 4,481 4,497 4,614 4,530 4,546 4,562 4,578 4,594 4,610 4,626 4,641 031 430 511 286 763 952 862 501 877 996 868 497 892 057 000 726 240 548 655 566 285 818 168 339 336 163 824 321 659 840 869 749 481 071 519 830 005 048 960 745 405 941 357 655 836 903 857 701 436 065 589 $iGG 7,937 005 17,099 7,989 570 17,213 8,041 452 17,324 8,092 672 17,435 8,143 253 17,544 8,193 213 17,651 8,242 571 17,758 8,291 344 17,863 8,339 551 17,967 8,387 207 18,069 8,434 327 18,171 8,480 926 18,271 8,527 019 18,370 8,572 619 18,469 8,617 739 18,566 8,662 391 18,662 8,706 588 18,757 8,750 340 18,852 8,793 659 18,945 8,836 556 19,037 8,879 040 19,129 8,921 121 19,219 8,962 809 19,309 9,004 113 19,398 9.045 042 19,486 9,085 603 ' 19,574 9,125 805 19,660 9,165 656 19,746 9,205 164 19,831 9,244 335 19,916 9,283 178 20,000 9,321 698 20,082 9,359 902 20,165 9,397 796 20,246 9,435 388 20,327 9,472 682 20,408 9,509 686 20,488 9,546 403 20,567 9,582 840 20,645 9,619 002 20,723 9,654 894 20,800 9,690 521 20,877 9,725 888 20,953 9,761 000 21,029 9.795 861 21,104 9,830 476 21.179 9,864 848 21.253 9,898 983 21,326 9,932 884 21,399 9.966 555 21,472 10,oo 000 21,544 76 01 78 13 ll 74 08 16 02 69 21 60 91 15 36 56 77 04 36 78 31 97 79 77 95 34 95 81 92 32 00 99 30 94 93 28 OO 10 60 51 84 59 79 44 54 12 17 71 75 29 35 lln 0,020 0,019 0,019 0,018 0,018 0,018 0,017 0,017 0,017 0,016 0,016 0,016 0,016 0,015 0,015 0,015 0,015 0,014 0,014 0,014 0,014 0,014 0,013 0,013 0,013 0,013 0,013 0,012 0,012 0,012 0,012 0,012 0,012 0,012 0,011 0,011 0,011 0,011 0,011 0,011 0.011 0,010 0,010 0,010 0,010 0,010 0,010 0,010 0,010 0,010 0,010 000 608 231 868 519 182 857 544 241 949 667 393 129 873 625 385 162 925 706 493 286 085 889 699 514 333 158 987 821 658 500 346 195 048 906 765 628 494 364 236 111 989 870 763 638 526 417 309 204 101 000 1% 14% 14% 2% 2!% 2 341 4% 57r 6% 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1.0100 1,020l 1.0303 1.0406 1.0510 1,0615 1,0721 1.0829 1,0937 1,1046 1,0125 1.0252 1,038O 1,0509 1.0641 1,0774 1,0909 1.1045 1,1183 121323 1.0150 1,0302 1,0457 1,0614 1,0773 1,0934 1,1098 191265 1.1434 lJGO5 1,020o 1.0404 1.0612 1.0824 lSO41 lJ262 lS487 1,1717 1,1951 1.2190 1,025O 1,0506 1,0769 1,1038 Ll314 1,1597 1,1887 1,2184 192489 1.2801 1,030o 1,0609 1,0927 1,1255 1,1593 1.1941 1,2299 1,2668 1,3048 1,3439 LO400 l,O816 1.1249 1,1699 132167 1,2653 1,3159 1,3688 1,4233 Iv4802 1,050o Ll025 1.1576 1.2155 1,2763 1,3401 1,407l 1,4775 1,5513 1,6289 1,060O 1,1236 1,191o 1,2635 1,3382 1,4185 1,5036 1,5938 1,6895 1,7908 ll 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1,1157 1,1268 1,1381 1.1495 1,161O 1,1726 1.1843 Ll961 122081 L2202 1,1464 1,1608 1,1753 1,190o 1,2048 1,2159 1,2351 1,2506 182662 132820 lJ779 1,1956 1,2136 172318 1.2502 132690 l-2880 l-3073 193270 1.3469 1.2434 1,2682 132936 l-3195 1,3459 1,3728 194002 1,4282 1.4568 1,4859 1.3121 1,3449 1,3785 1.4130 1.4483 1.4845 1,5216 1,5597 1,5987 1,6386 1,3842 1,4258 1,4685 1,5126 1,558O 1.6047 1,6528 1,7024 1,7535 1,806l 1,5395 1,601O 1.6651 1,7317 1,8009 1.8730 1,9479 2,0258 2,1068 2,1911 1,7103 1,7959 1,8856 1,9799 2,0789 2,1829 2.2920 2,4066 2,527O 2,6533 1,8983 2,0122 2,1329 2,2609 2,3966 2,5404 2.6928 2,8543 3,0256 3.2071 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 1,2324 1,2447 1,2572 1,2697 1,2824 1.2953 1,3082 1.3213 1.3345 1.3478 1,2981 1.3143 1,3307 1,3474 1.3642 1,3812 1,3985 1,416O 1,4337 1,4516 1,3671 1,3876 1.4084 1,4295 1,4509 1.4727 1.4948 1,5172 1,540o 1,5631 1.5157 1.5460 1,5769 1.6084 126406 1x6734 117069 1.7410 1.7758 118114 1,6796 1,7216 1.7646 1.3087 1,8539 1,9903 1.9478 1.9965 2.0464 290976 1,8603 1,9161 1,9736 2.0328 2,0938 2,1566 2,2213 232879 293566 2,4273 2,2788 2,3699 2,4647 2,5633 2,6658 2,7725 2,8834 2,9987 3,1187 3,2434 2,786O 2,9253 3,0715 3,2251 3,3864 3,5557 3.7335 3,9201 4,116l 43219 3,3996 3,6035 3.8197 4.0489 4,2919 4,5494 4.8223 5,1117 5,4184 6.7435 1,3613 1,4698 1.5865 1.8476 1,3fl.4881 1.6103 Yw3a$5 -887 1,5067 1.4026 LE256 1.4166 1.v,9999 1,4308 1.5639 l,7091 2,0399 1.4451 1.5835 1.7348 2.0807 1.4595 1.6033 1.7608 2.1223 1.4741 :.:233 1.7872 2.1647 1.4889 1.6436 1.8140 292080 2.1500 2.2038 2, 2,5001 2.5751 2.6523 2.7319 2.8139 3,373l 3x5081 336484 3.7943 3.9461 4so39 4.2681 4.4388 2.6196 296851 3.1670 3.2620 4.5380 4.7649 5,0032 5,2533 5,516O 5,7918 6,0814 6,3855 6,7048 7,040o 6,0881 6,4534 6,8406 7,251O 7,6861 8.1473 8,6361 9,1543 9,7035 10.2857 31 32 AL 34 35 36 37 38 39 40 1.5038 1.5188 1.5340 1.5493 1.5648 1.6642 l-6850 1.7060 1.7274 1.7489 15708 17929? _I ^a1n .^. 1,8412 2.2522 2.7522 3.3599 7.3920 10,9029 2.8210 3.4607 7,7616 ll,5570 1.8688 2.2972 1.8969 2.3432 2.8915 3.5645 8,1497 12,2505 2.9638 1.9253 2.3901 3.6715 8,5572 12,9855 1.9542 2.4379 3.0379 3.7816 13,7646 8,985O 1.9835 2.4866 3.1139 3.89-o _ .e-- 6.0748 9.4343 14,5905 3.1911 . ..- - a:cs19 6,31781 15,4659 2 nl7mJl>j zyxwvutsrqponmlkjihgfed 9.9060 3.2ilH 6.5705 16,3939 L."F 71 10,4013 17.3775 18.4202 T 12 1% l*% 0,98765 0,97646 0,96342 0,95152 O,i3978 0.92817 0.91672 0,90540 0.89422 0,88318 14% 2% 23% 0,98522 0,97066 0,95632 0,94218 0,92826 0,91454 0.90103 088771 0,87459 0,86167 0,98039 0,96117 0,94232 0,92385 0,90573 0,88797 0,87056 (485349 0,83676 0,82035 0.97561 0,95181 0,92860 0,90595 0,88385 0,86230 0,84127 0.82075 0,80073 0,78120 3% 4% 5% 6% 0,97087 0,94260 0,91514 0,88849 0,86261 0.83748 0,81309 0,78941 0,76642 0.74409 0,96154 0,92456 0,88SOO 0,85480 0,82193 0.79031 0,75992 0,73069 0,70259 0967556 0,95238 0.90703 OX16384 0,82270 0.78353 0,74622 0,71068 0,67684 0,64461 0361391 0.94340 'X89000 683962 0.79209 0.74726 0.70496 0.66506 0762741 0.59190 0955839 1 2 3 4 6 6 7 8 9 10 0,99010 0,98030 0,97059 0,96098 0,95147 0.94206 0,93272 0,92348 0,91434 0,90529 ll 12 13 14 15 16 17 18 19 20 0.89632 0,88745 0,87866 0,86996 0,86135 0,85282 0,84438 0.83602 0.82774 0,81954 0,87228 0,86151 0.85087 0.84037 0,82999 081976 0,80963 0,79963 0,78976 0,780Ol 0,84893 0.83639 0,82403 0,81185 0.79385 0,78803 0.77639 0,76491 0.75361 0.74247 0.80426 0,78849 0,77303 0375788 0.74301 0,72845 0.71416 0,70016 0,68643 0,67297 0,76214 0,74356 0,72542 0,70773 0,69047 0,67362 0,65720 0.64117 0,62553 0.61027 0,72242 0.70138 0,68095 0,66112 0.64186 0,62317 0,60502 0.58739 0,57029 0.55368 0,64958 0,62460 0.60057 0.57748 0,65526 0,53391 0,51337 0.49363 0,47464 0.45639 0,58468 0,55684 0,53032 0,50507 0.48102 0,45811 0,43630 0,41552 0,39573 0,37689 0.62679 0.49697 0,46884 0,44230 0.41727 0.39365 0.37136 0,35034 0,33051 0.31180 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 0,81143 0,80340 0,79544 0,78757 0,77977 0,77205 0,76440 0,75684 0,74934 0.74192 0,77038 0,76087 0.75147 0,74220 0,73303 0,72398 0,71505 0,70622 0,69750 Os68889 0,73150 0,72069 0,71004 0.69954 0.68921 CA67902 0.66899 0,65910 0.64936 0,63976 0,65978 0,64684 0,63416 0,62172 0,60953 0,59758 0,58586 0.57437 056311 0.65207 0,59539 0,58086 0,56670 0,55288 0,53939 0,52623 0,51340 0,50088 0,48866 0,47674 0,53755 0,52189 0,50669 0,49193 0,47761 0,46369 0,45019 0.43708 0,42435 0,41199 0.43883 0.42196 0.40573 0,39012 0.37512 0.36069 0.34682 0.33348 0,32065 0,30832 0.35894 0.34185 OJ2557 0.31007 0,29530 0,28124 0,26785 0.25509 0.24295 0,23138 0.29416 0.27761 0,26180 0.24698 0.23300 0.21981 /9,20737 0.19563 OJ8456 0,17411 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 0.73458 0,72730 0,720lO 0,71297 0,70591 0.69892 0,692OO 0,68515 0,67837 0,67165 0,68038 0,67198 0,66369 0,66549 0.64740 0,63941 0,63162 0,62372 0.61602 0.60841 0,63031 0,62099 0.61182 0,60277 0,59387 0,58509 0,57644 0.66792 0.55953 0,65126 0,54125 0,53063 0,52023 0,61003 0,50003 0,49022 0,48061 0,47119 0,46195 0,45289 0,46511 0,45377 0,44270 0,43191 0,42137 0,411os 0,40107 0.39128 0.38174 0,37243 0.39999 0,38834 0.37703 0,36604 0,35538 0,34503 0,33498 0,32523 0,31575 0.30656 0,29646 0.28506 0.27409 0,26355 0.25342 0.24367 0.23430 0,22529 0,21562 0,20829 0,22036 0,20987 OJ9987 0,19035 OJ8129 0.17266 0.16444 0.15661 OJ4915 OJ4205 0.16425 OJ5496 OJ4619 os3791 0,13011 912274 911579 0.10924 OJO306 0,09722 41 42 43 44 45 46 47 48 49 60 0766500 0,65842 0,65190 Os64546 Os63905 0,63273 0.62646 0.62026 0.61412 0,60804 0.60090 0,69348 0,58616 0,57892 0,67177 0,56471 0,56774 055086 0.54406 0,53734 0,64312 0,53509 0.52718 0.61939 0,51171 0.60415 0,49670 0.48936 0.48213 0.47600 0,444Ol 0,43530 0342677 0,41840 Os41020 0,40215 0,39427 0,38654 0.37896 0.37153 0,36335 0,35448 0,34584 0,33740 0,32917 0,32115 0.31331 0.30567 0,29822 0,29094 0.29763 0,28896 0,28054 0,27237 0,26444 0.25674 0.24926 0,242OO 0.23495 0,22811 0,20028 0.19257 0,18517 0,17805 0,17120 0,16461 OJ5828 0,15219 0.14634 OJ4071 0,13528 0.12884 0,12270 OJ1686 0,11130 0,106OO 0.10095 0,09614 0.09156 0.08720 0:09172 0,08653 Os08163 Os07701 0,07265 0.06854 0.06466 0.06100 0.05765 0.05429 ï n 1% í&% 1+78 2% 24% 3% 4% 5% 6% 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 l,oooo 2.0100 3.0301 4.0604 5,lOlO 631520 792135 8.2857 973685 10.4622 1.0000 2,012s 3,0377 4,0756 5,1266 6,1907 7,268O 8,3589 9.4634 10.5817 l,oooo 2.0150 3,0452 4.0909 5,1523 6,2296 7,323O 8.4328 9.5593 10.7027 l,oooo 2.0200 3,0604 4,1216 5,204O 6,3081 7,4343 8,583O 9.7546 10.9497 1.0000 2,025O 3,0756 4,1525 5.2563 6,3877 7,5474 8,7361 9,9545 ll,2034 l,oooo 2,030O 3,0909 4,1836 5,3091 6,4684 7,6625 8.8923 10,1591 11.4639 l,oooo 2,040O 3,1216 42465 5.4163 6,633O 7,8983 9,2142 10.5828 12,006l 1.0000 2.0500 3,1525 4,3101 56256 6.8019 8.1420 9,549l ll,0266 12,5779 1 ,oooo 2,060O 3,1836 4,3746 5.6371 6.9753 8.3938 9.8975 11.4913 13,1808 ll 12 13 14 15 16 17 18 19 20 ll,5668 124825 13.8093 14.9474 16,0969 17.2579 18,4304 19.6147 20,8109 22,019o 11.7139 12,8604 14,0211 15.1964 16.3863 17.5912 18,8111 20,046i 21,2968 2295630 ll,8633 13,0412 14.2368 15.4504 16.6821 17.9324 19,2014 20.4894 21.7967 23,1237 12.1687 13.4121 14,6803 15.9739 17,2934 18,6393 20,0121 21,4123 22,8406 24.2974 12.4835 13,7956 15,1404 16.5190 17.9319 19,3802 20,8647 22.3863 23,946O 25.5447 12,8078 14,192o 15,6178 17,0863 18,5989 20.1569 21.7616 23.4144 25,1169 26,8704 13,4864 15,0258 16,6268 18.2919 20,0236 21.8245 23,6975 25.6454 27.6712 29,778l 14,2068 15,917l 17,713o 19,5986 21.5786 23.6575 25,8404 28.1324 30,539o 33,066O 14,9716 16,8699 18,8821 21.0151 23.2760 25,6725 28.2129 30,9057 33.7600 36,7856 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 23,2392 24,4716 25,7163 26,9735 28,2432 29,5256 30,8209 32,1291 33,4504 34,7849 23.8450 25,1431 26,4574 27,7881 29.1354 30,4996 31,8809 33,2794 34,6954 36,1291 24.4705 25,8376 27.2251 28,6335 30,063O 31,514o 32,9867 3494815 35,9987 3735387 25,7833 27.2990 28.8450 30,4219 32,0303 33.6709 35,3443 37,0512 3897922 4035681 27,1833 28,8629 30.5844 32,349o 34,1578 36,0117 37.9120 39,8598 41,8563 43.9027 28,6765 30,5368 32,4529 34.4265 36.4593 38,553O 40,7096 42,9309 45.2189 47.5754 31,9692 34,248O 36,6179 39,0826 41.6459 44,3117 47.0842 49,9676 52,9663 56.0849 35.7193 38.5052 41,4305 44,502O 4797271 51,1135 54,6691 58.4026 62,3227 66,4388 39.9927 43,3923 46,9958 50,8156 54.8645 59.1564 63,7058 68,5281 73,6398 79,0582 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 36,1327 37,4941 38,869O 40,2577 41,6603 43,0769 44,5076 45,9527 47,4123 48,8864 37.5807 39.0504 40,5386 42.0453 43.5709 45.1155 46,6794 48,2629 49,8662 51,4896 39.1018 40,6883 42,2986 43,9331 45.5921 47.2760 48,9851 50,7199 52.4807 5432679 42,3794 44,22.70 46,1116 48,0338 49,9945 51,9944 54,0343 56,1149 58,2372 60,402O 46,0003 48.1503 50.3540 52,6129 54,9282 -57,3014 59,7339 62.2273 64,783O 67,4026 SO,0027 52.5028 55.0778 57,7302 60,4621 632759 66,1742 69,1594 72,2342 75,4013 59,3283 62,7015 66,2095 69,8579 73.6522 77.5983 81,7022 85,9703 90,4091 95,0255 70,7608 75,2988 80.0638 85,067O 90,3203 95,8363 101,6281 107.7095 114,095o 12037998 84.8017 90,8898 97,3432 104,1838 111,4348 119,1209 127,2681 135,9042 145,0585 154.7620 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 50.3752 51,879O 53,3978 54,9318 56.4811 58.0459 59.6263 61,2226 62.8348 64,4632 53,1332 54,7973 56-4823 58,1883 59,9157 61,6646 63.4354 6592284 6710437 68.8818 56,0819 57,923l 59,792o 61,6889 63,6142 65.5684 67.5519 6935652 71.6087 7336828 62.6100 64,8622 67,1595 69,5027 71.8927 74.3306 76,8172 79.3535 8129406 84.5794 70,0876 72,8398 75,6608 7895523 81,5161 84.5540 8796679 90.8596 94,1311 9714843 78,6633 82.0232 85,4839 89,0484 92,7199 96,5015 loo,3965 104,4084 10875406 112,7969 99,8265 104,8196 110,0124 115,4129 121,0294 126,8706 132,9454 139.2632 145,8337 152.6671 127,8398 135,2318 142.9933 151,143o 159,7002 168,6852 178,1194 188,0254 198,4267 20933480 165,0477 175.9505 187.5076 199,758O 212.7435 226.5081 24130986 25625645 272,9584 290,3359 9A9 7 2% 24% 3% 4% 5% 6% 0.9852 1.9559 2.9122 3,8544 4.7826 5,6972 6.5982 7.4859 8.3605 9,2222 0.9804 1,9416 2,8839 3,8077 4.7135 5.6014 6,472O 7,3255 8.1622 8.9826 0,9756 1,9274 2.8560 3,762O 4.6458 5.5031 6,3494 7.1701 7.9709 897521 0,9709 1,913s 2,8286 3,7171 4,5797 6,4172 6,2303 7,0197 7,7861 835302 0,9& 1,8861 2,7751 3.6299 494513 6,2421 680021 697327 7,4353 8,110s 0,9524 1,8594 2.7232 375460 4,329s 5.0757 5,7864 ô,4632 7.1078 7,7217 0.9434 1,8334 2.6730 394651 4,2124 4,9173 65824 6.2098 6.8017 7.3601 lo,2173 ll,0793 ll,9302 12,7706 13.6005 14,4203 15.2299 16,0295 16.8193 17,5993 10,071l 10,9075 11,731s 12,5434 13,3432 14,1313 14,9076 15,6726 16,4262 17,1686 9,7868 10.5753 ll,3484 12.1062 12,8493 13,5777 14,291s 14.9920 15.6785 16,3514 9,5142 lo,2578 lo,9832 ll,6909 12,3814 13,055o 13.7122 14,3534 14.9789 15,5892 9,2526 9,954o lo,6350 ll,2961 ll,9379 12;5611 13,1661 12,7535 14,3238 14,8775 8,760s 9,3851 9,9856 lo,6631 ll,1184 ll,6523 12.1657 12,6593 13,133s 13,5903 8,3064 8,8633 9.3936 9.8986 10.3797 lo,8378 ll,2741 11.6896 12,0853 12,4622 7,8869 3,3838 3.8527 9.2950 9,7122 10,1059 10.4773 lo,8276 ll,1581 ll,4699 18.8570 19,6604 20,4558 21,2434 22,0232 22,7952 23.6596 24,3164 25,0653 25,8077 18,3697 19,1306 19,882O 20,6242 21,3573 22,0813 2237963 235025 24.2000 24.8889 17,9001 18,6208 19,3309 20,0304 2097196 21.3986 22,0676 22.7267 23,3761 24.0153 17.0112 17,658O 18,2922 18.9139 19.5235 20,121o 20,706s 21,2813 21,8444 22,396s 16,184s 16,7654 17.3321 17,885O 18.4244 18,9506 19,464O 19,964s 20,453s 20,9303 15,415o 15,9369 16,4436 16,935s 17,413l 17,8763 1333270 18,764l 19,1885 19,6004 14,0292 14,4511 14,8568 15.2470 15.6221 15,9828 16.3296 16,6631 16.9837 17,292o 12.8212 13,163O 13.4886 13.7986 14,093s 14,3752 14,643O 14,8981 lSJ411 15,3725 ll,7641 12,0416 12,3034 12,5504 12.7834 13,0032 13.2106 13.4062 13.5907 13,7648 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 26,5423 27,2696 27,9897 28.7027 29,4086 30,107s 30,799s 31,4847 32,163O 32,8347 25,5693 26.2413 26,905O 27,5605 28,2079 28,8473 29.4783 3OJO25 30,718s 31,3269 24,6461 25.2671 25,879O 26,4817 27,0766 27.6607 28,2371 28,3051 2993646 29.9158 22,9377 23,4683 23,9886 24.4986 24,9986 25,4888 25,969s 26,4406 263026 2733555 21,3954 21.8492 22,291s 22,7238 23,1452 23,5563 23:9573 24,3436 24,7303 25SO28 20,0004 20,3888 20,7658 21,1318 21,4872 21,8323 22,1672 22.4925 22,8082 23.1148 17.5885 17,8736 1831476 1374112 1896646 18,9083 1931426 19,367s 19,584s 1997923 16,6928 15,8027 16.0025 16,192s 16,3742 16.5469 16,7113 16.8679 17,017o 17,lSSl 13,9291 14,084O 14,2302 14,3631 14.4982 14,621O 14.7368 14.8460 14.9491 15.0463 41 42 43 44 45 46 47 48 49 SO 33.4997 34.1581 34.8100 35,455s 36.0945 3627272 37.3537 37,974o 38,5881 39,1961 31,9278 32,5213 33,107s 33,6864 34.2582 3438229 35,3806 85.9315 3634755 3790129 30,459o 30.9941 31.5212 32,0406 32,5523 33,056s 33.5532 34,0426 34,5247 34.9997 27,7995 28.2348 28,6616 29.0800 29,4902 29,8923 30.2866 30,6731 31.0521 31,4236 25.4661 25,8206 26.1664 26.5038 2638330 27,1542 27,4675 27,7732 28,0714 28.3623 23,4124 23.7014 23,981s 24,2543 24,5187 24,7754 25,0247 2532667 255017 25.7298 19,9931 20,1856 20,3708 20.5488 20,720O 20.8847 21.0429 21,1951 21,3415 21.4822 17,2944 1734232 17,545s 17.6628 1.7,7741 17,8301 17.9810 18.0772 18.1687 18,2569 15,138O 15,224s 15,3062 ll&3832 15.4558 16.5244 15,689O 15.6500 16.7076 lb.7619 1% 14% l+% 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.9901 1,9704 2,941o 3.9020 4,3534 5,7955 6.7282 7,6517 8,566O 9.4713 0,9877 1,9631 2,9265 3.3781 4,8178 ík7460 6.6627 7,5681 834623 9,345s ll 12 13 14 15 16 17 18 19 20 10.3676 ll,2551 12.1337 13,0037 13,8651 14,7179 15,5623 16,3983 17,226O 13.0456 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 . 243 _ “._ 1: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0, 1.0000 0,9976 1, 0.7662 0,7196 0.9900 0.9776 0,9604 0,9385 0,912o 0,8812 0x8463 0,8075 0.6711 0,6201 ,, 0,6669 0,5118 0,4554 0,398O 0,340o 2, 0.2239 0,2818 0,1666 0,1104 0,0565 0,0025 -0.0484 -0,0968 -0,1424 -0,185O -0,2243 3. 4, -0,260l -0.2921 -0,3202 -0,3443 -LI,3643 -0,380l --0.3918 -0,3992 -0,4026 -0,4018 -0,397l -0.3887 -093766 -0,361O -0.3423 -O,i205 -0,296l -0.2693 -0,2404 6. -0,2097 -0.1443 -0J103 -0.0758 -0,0412 -0,0068 0,027O 0,0599 0,0917 0,122o 6, -0.1776 0.1606 0,1773 0.2017 0,2238 0,2433 0,2601 0.2740 0,2851 0,2931 7, 0.3001 0,2991 0,2961 0,2882 0,2786 0,2663 0,2516 0,2346 0.2154 0.2981 0,1944 0.0419 0,0146 -0.0125 -0,0392 -0,0653 -0,1939 -0,209o -0,2218 -0,2323 -0,2403 8, 0.1717 9, 4,0903 OJ475 OJ222 -0.1142 -0,136'7 1~1012 0,096O 0.0692 -0,1577 -0,1768 3 4 5 618 9 0, o,oooo 0,0499 0,0995 0,2423 0,2867 (43290 0,3688 0,4069 0.4401 0,4709 0,4983 0,1483 0,622O OS960 1, 0,5419 0,5579 0,5699 05778 0,5815 015812 2, 3. 0.5767 0,3391 0,5683 0,3009 0,556O 0,5399 0,5202 0,4971 0,4'708 0x4416 0,4097 0,3754 0,2613 0,2207 0,1792 0,1374 0,0955 0x0538 0,0128 --0,0272 4, -0,066O -0.1033 -0,2028 -0,231l -0,2566 -0,279l -0,2985 -0,3147 -0,3276 -Os3371 -0,1386 -0.3432 --0,1719 6, -0.3460 PO,3453 -0.3414 -0,3343 PO,3241 -0,311o PO,2951 6, -0.2767 -0.2659 -(x2329 -os2081 --0,1816 -0,1638 -0.1250 -0,0953 -0,0652 -0,0349 7, -0.0047 RO252 0.1352 0.2346 0.2453 0,2476 0.2324 o-0826 CA2657 0,1096 ~ 8, ~9. 0,0643 0,258O 0.2014 0,2641 0,2192 0,2659 0.2004 022731 OS613 CA1813 0,2697 0.2174 0.2708 0,1816 os592 0,2728 0.1396 CA1166 0,0928 0,0684 244 z 0, 1, 2, 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -1.5342zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA -1,OPll -O,8073 - +FOCO --cl,4445 -0.3085 -0,1907 -0.0868 ti0056 -CC 0.0883 0.1 v‘2 O,2281 0.2865 LI.3378 0.3824 0.4204 0,452O 0,4774 0,5104 0.5183 0.5208 0.5181 0,5104 0,498l 0,4813 0,4605 0,4359 0,2631zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 0.22Bf: 0,189O 0,1477 'Al061 0.0645 0,0234 3. 0,3769 0.3431 4, -Al,0169 0.0561 ~~ 0,0!338 ~ 0.12DG -O,lG33 - OJ947 -0,2235 -0,2494 -0,2723 -0,292l 5, ---0,308û ~mmo.3216 -~n,3395 PO,3354 -0,3282 AI,3177 -0,3044 -0.2882 0.2w4 -0.3374 mo.22r>l -0.3402 6. -0.3313 -0,24%j ~- 0.1999 -0,1732 -0,1452 -0,1162 -0,0864 -0.0563 7, 0.0042 0 v03'?l O.OG28 8. -0.0259 0.2235 0.2381 0.25fil 9, 0,2499 0.2383 0 1 -m -6.4590 0.3071 0,49$8 0,407s 0.1173 0,1424 0,1658 0,1872 0,2065 1~.2535 n.0907 0,2c;G2 0.2702 0,2715 0,270O 0,2659 0,2592 (1.22d5 0.2086 0.1907 (Ll712 0,1502 OJ279 0.1045 0,0804 2 3 4 5 7 8 9 -3.3238 mmo,69R1 -0.1070 0.3247 -- 0.0517 0.0015 0.0523 0.3496 0.3707 0.3879 0.3846 !L36RO 0,3484 0.0445 IL3979 ~~1,621 1 -2.2931 -1.7809 p-0.5485 ~~0.4791 m-O.7812 0,1479 -0.1750 r>,1137 -0,1998 Cl,0792 Al,2223 - 0,2422 --CA3027 ~~ n.2095 0.2934 - (1.2846 0.1581 0,1043 IL1331 rJ.1275 -11.10 -2 0.1491 ~1.0806 0.1691 -1.4715 6 -1,2604 -0,2237 -0,873l -0,1644 0,2276 0,2635 0,2959 0,4167 0,414l 0,4078 0,2445 0,2136 0,1812 PO,2857 -0,0887 -0,2945 -0J192 -0.3002 -0.1481 PO,3029 mm~O.2428 --0,2243 -0,2039 -0.1817 0,0799 -0.4123 -0,3476 0.1005 0.1459 0,1884 0,401o CL4102 0,4154 11.3260 '),3010 0.2737 0.0101 ~ 0.0238 -0,0568 0.2596 m-0.274: 0.2731 ~~ 02591 0.0535 0.1871 -ALO262 0.2032 245 ~,OOll 0.2171 -1JO32 -0,284’7 0,028O 0,2287 -0,978l o,il544 0,2379 0,2447 2 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 0, 1,000 1,003 1,010 1,023 1,040 1,063 1,092 1,126 1,167 1,213 1, 1,266 1,326 1,394 1,469 1,553 1,641 1,760 1,364 1,990 2,128 2, 2.280 2,446 2.629 2,830 3,049 3,290 3,553 3,642 4,157 4,603 3, 4,881 6,294 6,141 6,243 6,785 7,378 8,028 8,739 9,617 10.37 4, ll,30 12.32 13,44 14,67 16,Ol l-7,48 19.09 20,86 22.79 24,91 5, 27,24 29.79 32,58 35,66 39,Ol 42,69 46.74 61,17 56,04 61,38 6, 67,23 73966 802'72 88-46 96296 106,3 116,5 127,8 140,l 153,7 7. 168,6 185,O 202,9 222.7 244.3 268,2 294.3 323,l 364,7 38934 8, 427.6 469,5 61516 566,3 621.9 683,2 750.5 824,4 905,8 995,2 9, 1094 1202 1321 1451 1595 1753 1927 2119 2329 2561 z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0, o,oooo 0,0501 0.1005 0.1517 0,204O 0,2579 0,313l 0,3719 0,4329 0,4971 1, 035652 'J-6375 0.7147 0,7973 0.8861 0,9817 1,085 1,196 1,311 1,448 2, 1,691 1,745 1.914 2,098 2,298 2,517 2,755 3,016 3,301 3,613 3, 3,953 4,326 4.734 5.181 5.670 6.206 6,793 7,436 8,140 8,913 4. 9,759 10.69 11.71 12.82 14.05 15,39 16,36 18348 20325 22,20 6. 24.34 26.68 29.25 32.08 35.18 38.59 42.33 46.44 50,95 56,90 6. 61,34 67.32 73.89 81.10 89.03 97,14 107.3 117.8 129,4 142.1 7, 156.0 171.4 188.3 206.8 227.2 249.6 274.2 301.3 331.1 363,9 8, 399.9 439.5 483.0 531.0 583.7 641.6 705,4 775.5 862.7 937.6 9. 1031 1134 1247 - 1371 1508 1658 1824 2006 2207 2428 246 2 0, 0 m 1 2 3 4 6 6 7 8 9 2.4271 1.7527 1.3726 lJ145 0,9244 0.7775 0.6605 0.5653 0.4867 1, o,4210 0.3656 0.3185 0,2782 0.2437 0,2138 0.1880 CJ.1656 0.1459 0.1288 2. OJ139 0,1008 0,08927 0,07914 0,07022 0.06236 0,06540 0.04926 0.04382 0.03901 3, 0,03474 cl,03096 0,02769 0,02461 0.02196 0.01960 0,01760 0,01663 0.01397 0.01248 4, O,O1116 0,029980 0,0*8927 0,027988 0.027149 0,026400 0.025730 0,0'5132 0,024697 0,024119 6. 0,023691 0.023308 0,022966 0.022659 02022385 0.022139 0.021918 0,0*1721 0.021644 O-O21386 6, Os021244 0,021117 0,021003 0,039OOl 0,038083 0.037259 Os036520 0,036857 Ovo35262 OVO34728 7, o,O34248 0,033817 0,033431 0,033084 0,032772 0,032492 oa 0.032014 0.031811 0.031629 8, 0,031466 0.031317 0,031186 0,031066 0,0*9688 OVO48626 Oro*7761 (LO46983 0,0*6283 Oso*5664 9, o,O*6088 0,0*4679 0.0*4121 0.043710 CAO'3339 o,O*3006 o,O*2706 02042436 0,0*2193 0,0*1976 0 m 1 9,8638 2 4.7760 3 3,066O 4 6 2,1844 1,6664 6 1.3028 7 1.0503 8 9 0.8618 0.7166 0,6019 0,6098 0,4346 0.3726 0,3208 í1,2774 0,2406 0.20% 0.1826 0.1697 OJ399 0,1227 OJO79 0,09498 0.08372 0.07386 0.06628 0.0577-t u.05111 0,04529 0,04016 0.03563 0,03164 0,02812 0.02500 0,02224 0.01979 0,01763 0.01671 0.01400 0,01248 0,01114 0,029938 0,028872 0,0*7923 0,027078 0,026325 U.0256L-1 0.025056 1).024521 0,024046 0,023619 0,023239 0,022900 0,022597 0.022326 0.022083 OsO" 0.0*1673 0.021499 Os021344 0,021206 0.0*1081 1,039691 O.Os8693 0,037799 0.036993 O.O%%O '>.0"5636 0,035059 o,034642 0,034078 0,033662 Osos3288 0.032963 o,032653 0x032383 (LO"214: ().0"1924 U.031729 Os031664 0,031396 0.031266 0.031128 0,031014 0.0'9120 0,0*8200 0.047374 0.0*6631 0.0'5964 o.O*6364 o,O*4826 o,O*4340 o,O43904 o,O*3612 247 o.O*3160 CO*2843 0.042669 o.042302 KO*2072 0 1 2 0, l,oooo 1.0000 1.0000 0.9999 1, 0.9844 0,9771 0,9676 0,9554 2, 0.7517 0.6987 0,6377 3. -0.2214 -0.3855 4, -2,5634 5, -6.2301 6, 7, -8.8583 -3.6329 8, 20,974 24.957 9, 73,936 80,576 z 0 1 0. 0.0000 1. 0,2496 2. z 3 4 5 6 7 8 9 0,9996 0.9990 0,998O 0,9962 0.9936 0,9898 0,9401 0,9211 0,8979 0,870O 0,8367 0,7975 0,568O 0.4890 0,400o 0.3001 (x1887 0,06511 -,07137 -0,5644 -0,7584 -0,968O -1.1936 -1,4353 -1.6933 -1,9674 -2.2576 -2,8843 -3.2195 -3.5679 -3.9283 -4.2991 -4.6784 -5,0639 -5.4531 -5.8429 -6,6107 -6.9803 -7,3344 -7,6674 -7,9736 -8,2466 -8.4794 -8,6644 -8.7937 -8.8491 -2,257l -8,756l -6737 -8,5688 1.1308 -8.2762 321695 -7.8669 5,4550 -7.3287 7,9994 -6.6492 10.814 -538155 13,909 -4.8146 17,293 29,245 33,840 38,738 43,936 49,423 55.187 61,210 67.469 87,350 94,208 101,lO 107,95 114,70 121.26 127.54 133,43 2 3 4 5 6 7 8 9 0,0*2500 K01000 0.02250 0.04000 0,06249 0,08998 0.1224 0.1599 0.3017 0x3587 0,4204 Os4867 0,5576 O,6327 0,712O 0.7953 0,8821 0.9723 1.0654 1.1610 1.2585 1.3575 1,4572 1,5569 1.6557 1.7529 1.8472 3. 1.9376 2.0228 2.1016 2.1723 2,2334 2.2832 2.3199 2.3413 2,3454 2.3300 4. 2.2927 2.2309 2.1422 2.0236 1.8726 1.6860 1,461O 1.1946 0.8837 0.5251 5. 0.1160 -.3467 -.8658 -1,4443 -2.0845 -2.7890 -3.5597 -4.3986 -5.3068 -6.2854 f; / -7.3347 -21.239 -8.4545 -22.848 -10.901 -26.049 -36.159 -13,607 -29.116 -15,047 -30.548 -35.667 -9.6437 -24.456 -36.061 -12,223 -27.609 8. -35,920 -35.298 -34.246 -16.538 -31,882 -32.714 -18.074 -33,092 -30.651 -28.003 -20.724 -15.976 -10.412 -3.9693 3,4106 11,787 21,218 31.758 43,459 8 --35.017 / 9, ! - 2 4 . 7 1 3 L L 248 CA2023 +.;:; , z 0, 0 2 3 4 5 6 7 8 1,733l 1.3372 1,0626 0,8559 0,6931 0.5614 0,2228 0,1689 0,1235 0,08513 0,05293 0,02603 0.023691 -0,01470 -0,02966 2, -0,04166 -0,051ll -0,05834 -0,06367 -0,06737 -0,06969 -0,07083 -0,07097 -0,07030 -0,06894 3,-0,06703 -0,06468 -0,06198 -0,05903 -0,05590 -0,052'64 -0,04932 -0,04597 -0,04265 -0,03937 4, -0,03618 -0,03308 -0,030ll -0302726 -0,022OO -0,01960 -0.01734 -0,01525 -0,01330 0.2867 -0.02456 5, -0,01151 -0,0*9865 -0.028359 -0,026989 -0.025'749 6, -0,036530 -0,031295 0,033191 0,021956 0,036991 0,021940 0,4529 9 2,4205 1, 00 1 0,3625 -0,024632 -0,023632 -0,022740 -0,021952 -0,021258 0,021017 0.021907 0,021278 0,021860 RO21488 0,0~1800 0,021653 0,021731 0,021777 OVO21655 0,0*1866 0,021572 7, 0,021922 0,021951 8, 0,021486 0,021397 0.021306 0.021216 0.021126 0,021037 0.039511 0,038675 RO37871 0,037102 9, 0,036372 0,035681 0.035030 0,034422 0.033855 0,033330 07032846 0,032402 RO31996 0,O31628 z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0, -0,7854 -0.7769 -0,758l -0,733l -0,7038 -036716 -0,6374 -0,6022 -0,5664 -035305 1, -0,495o -0,460l AI,4262 -0,3933 -0,3617 -0,3314 -03026 -0,2752 -0,2494 -0.2251 2, -0,2024 -0,1812 -0,1614 -0,143l -031262 -0.1107 -609644 -0,08342 -0.07157 -0206083 3, 0.05112 -0,04240 -0,03458 -0.02762 -0,02145 --0x01600 -0.01123 4, 0,0*2198 0,024386 0,0*6194 0,027661 0,028826 0,0"9721 0.01038 0,01083 0,01110 0,01121 5, 0,01119 0,01105 0,01082 0,01051 0,01014 0,029716 0.029255 0,028766 0,028258 0,027739 6, 0,027216 0,026696 0.026183 0,025681 0,025194 o-024724 0,0?4274 0,0*3846 Oso23440 0,023058 7, 0,022700 0,022366 0,02205'7 0,021770 0,021507 0>021267 0.021048 RO"8498 0,036714 0,035117 8, 0,033696 9. -0,033192 -0,027077 -0,023487 -0,034108 '&031339 'AO -0,044449 -0,031149 --0.031742 --iO --0.032632 --0.032949 -0,033368 --0,033486 -0,033552 -0.033574 ---RO33557 --0.0"3508 -0,033430 -0,033329 -0.033210 0,032440 249 La tabla siguiente proporciona algunas de las primeras raíces positivas de diferentes ecuaciones. Obsérvese que en todos los casos de raíces consecutivas de elevado valor, aquellas difieren entre sí por una cantidad que se aproxima a n= $14159 n = l ?Z=2 n=3 2,4048 3,8317 5.1356 6,3802 8,7715 9,9361 5.5201 7,0156 8,4172 9,761O ll,0647 12,3386 13,5893 8,6537 10.1735 ll,6198 13.0152 14.3725 15,7002 17,0038 ll,7915 13.3237 14.7960 16.2235 17,616O 18,980l 2033208 14,9309 1634706 17,9598 19,4094 2078269 22,2178 23,586l 1830711 19x6159 21,117o 2295827 24,019o 2594303 2638202 0.8936 2,1971 3,3842 4,527O 5,6452 6,7472 3,9577 5,4297 6,7938 8.0976 9.3616 10,5972 ll,8110 n=O J,(z) = 0 Y,(z) = 0 J;(z) = 0 Y;(z) = 0 n=4 7.5883 n=5 n=6 7,8377 7,0861 835960 10.0235 ll,3965 12,7301 14,0338 15,3136 lo,2223 ll-7492 13.2100 14,623l 1539996 17.3471 18.6707 13.3611 14.8974 16x3790 17.8185 19,2244 20,6029 21.9583 16.5009 18.0434 19.5390 20.9973 2224248 2338265 2532062 0.0000 1,8412 3,0542 4,2012 5,3176 6.4156 3.8317 5.3314 6.7061 8.0152 9,2824 10,5199 ll,7349 9.9695 7,0156 8,5363 7,5013 11.3459 12,6819 13,9872 1532682 lOJ735 ll.7060 13.1704 1495859 1539641 1793128 18,6374 13.3237 14.8636 16.3475 17.7888 19S960 20.5755 21,9317 16.4706 1890155 19,5129 20.9725 22.4010 23.8036 2521839 2.1971 3.6830 5,0026 6,2536 5.4297 6.9415 8.3507 9.6988 8,6496 9,8148 ll ,0052 7,4649 12,2809 13,5328 8,596O 10.1234 11.5742 12.9724 14,3317 15.6608 16,9655 ll.7492 13.2858 14.7609 16,1905 17,5844 1899497 20.2913 14.8974 16.4401 17.9313 1993824 20,8011 22,1928 2325619 18.0434 19.5902 21.0929 22.5598 23,997o 25,4091 2697995 250 xzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWV 1s (2) Md ca 0.0 OO o,oooo 0.6 0.6598 0,4931 0.1778 13 0.2194 Os9461 -0,3374 14 0,1000 í,3247 -0,4704 %O 0,04890 1,6064 -0.4230 2s RO2491 L7786 -0.2869 3,O 0,01306 1,8487 -0.1196 0.0321 35 0,0269'70 1,8331 4.0 0.023779 1,7682 0.1410 436 0.022073 1.6641 0.1936 6.0 0,021148 1.6499 OJ900 6.6 RO36409 1,4687 0.1421 6.0 0,033601 1,4247 0,0681 6,6 0.032034 1.4218 -0,Olll 7,O 0.031166 1,4646 -0.0767 7.6 0,046683 1,6107 -0Jl66 8S’ 0.0'3767 1,6742 -0J224 8,6 0,042162 1,6296 -0.09943 9,o 'LO41246 1,666O -0,06636 9.6 'AOs 1,6746 -03022678 10.0 os054167 1,6683 0.04646 251 x 0.00 p, (4 p3 (4 p, (4 PS (4 -0,5000 0, 0000 0.3750 o,oooo 0.05 -0,4963 -0,0747 0,3657 0,0927 0,lO -0,485O --al475 0,3379 071788 0.16 -0.4663 -0.2166 092928 0.2523 0,zo -0.4400 -0.2800 0.2320 0,3075 0.25 -0.4063 -0,3359 OJ577 0,3397 0.30 -0,365O -0,3825 0.0729 0,3454 0,35 -0.3163 -0,4178 -0,0187 0,3225 0,40 -0.2600 -0,440o -0,113o 0,2706 0.45 -0.1963 -0.4472 -0,205o 0.1917 0.50 -0.1250 -034375 -0.2891 kO898 0,55 -0,0463 -0.4091 -0.3590 -0,0282 0,60 0,040o -0,360O -0.4080 -0.1526 0765 Os1338 -0,2884 -0.4284 -0,2705 0.70 0,235O -0J925 -0,412l -023652 0.75 0.3438 -0,0703 -0.3501 -0.4164 0,30 0.4600 0.0800 -0.2330 -0.3995 0.85 0.5833 0.2603 -Os0506 -0,2857 0.90 0,7159 0.4725 0.2079 -0.0411 0,95 0.8538 0.7184 0,5541 0,3727 1.00 1.0000 l,oooo 1.0000 l,oooo 252 e PI (cos e) P, (cos e) P, (cos e) P, (COS e) P, (cos e) OO 1,0000 l,oooo l,oooo l,oooo lP000 a.9437 50 0,9962 0.9886 0,9773 0.9623 100 0,9848 0.9548 0.9106 0,8532 0.7840 160 079659 0.8995 0,8042 0.6847 0,5471 200 0,9397 0.8245 0.6649 0.4750 0.2715 25' 0.9063 Os7321 0,5016 0.2465 0,0009 0.0234 -0,2233 300 0,866O 076250 0,3248 350 0,8192 0,506b 0.1454 -0.1714 -0,369l 400 0,766O 0,3802 -0.0252 -0,319o -0,4197 450 0.7071 0.2500 -0,1768 -6,4063 43757 500 06428 0,1198 -0,3002 -0,4275 -0,2545 550 095736 -0,0065 -0,3886 -0.3852 -0,0868 600 0,5000 -0,125O -0.4375 -0:2891 0.0898 65' 074226 4-2321 -0,4452 -0,1552 072381 700 073420 -0.3245 -0,413o -JI,0038 073281 750 Os2588 -0,3995 -0,3449 OJ434 933427 80" os737 -0,4548 -0.2474 0.2659 0,281O 85' 0,0872 -0,4886 4.1291 0.3468 0,1577 900 o,oooo -0,500o 0.0000 0.3750 o,oooo 253 K E K E OO 1.5708 1.5708 300 1.6858 1,4675 1 1.5709 1,570l 31 1,6941 1,4608 60° 2,1565 1,2111 61 2,1842 2 1.5713 1,5703 32 1,7028 1,2015 1,4539 62 2,2132 1,192o 1,7119 1,4469 63 2,2435 1,1826 3 l,5719 1,5697 33 4 1.5727 1.5689 34 1,7214 1,4397 64 2,2?54 171732 5 1,5738 1.5678 35 1,7312 1*4323 65 Z-3088 1.1638 6 1,5751 1.5665 36 1,7415 1,4248 66 2,3439 1,1545 7 135767 L5649 37 1.7522 1,4171 67 2.3809 1.1453 8 1.5785 1,5632 38 1.7633 1,4092 68 2,4198 1.1362 9 1,5805 1,5611 39 1,7748 x,4013 69 2.4610 Ll272 10 1,5828 1.5589 40 1,7868 1,3931 70 2,5046 Ll184 ll 1,5854 135564 41 1,7992 1,3849 71 2x5507 1,1096 1,lOll 12 175882 1,5537 42 1,8122 193765 72 225998 13 1,5913 l-5507 43 1.8256 193680 73 296521 1.0927 14 1,5946 1,5476 44 1,8396 1.3594 74 2.7081 LO844 15 1,5981 1,5442 45 1.8541 1.3506 75 Z-7681 1,0764 16 1,602O 1,5405 46 1.8691 133418 76 228327 1,0686 17 1,6061 1,5367 47 l-8848 1,3329 77 2,9026 1,0611 18 1,6105 1.5326 48 1,9011 1,3238 78 2,9786 1,0538 19 1,6151 1,5283 49 139180 1,3147 79 3.0617 1.0468 20 1,620O 135238 50 139356 1,3055 80 3,1534 1,0401 21 1,6252 1.5191 51 1.9539 1,2963 81 3.2553 1.0338 22 1,6307 1,5141 52 1,9729 1,287O 82 3,3699 1,0278 23 1,6365 1,509o 53 1.9927 132776 83 3,5004 1,0223 24 1.6426 1.5037 54 230133 1.2681 84 326519 1.0172 25 1.6490 la4981 55 Z-0347 112587 85 3.8317 1,0127 26 Lö557 1.4924 56 2,0571 1.2492 86 490528 1,0086 27 1.6627 1.4864 51 220804 1,2397 87 4.3387 1,0053 28 156701 1,4803 58 221047 1,230l 88 4.7427 1,0026 29 1.6777 1.4740 59 2.1300 132206 89 5,4349 1,0008 30 1.6858 1.4675 60 231565 1.2111 90 Lo l,oooo 254 ti OO OO o,oooo 0.0000 0.0000 o,oooo 0.0000 100 os745 0,1746 0,1746 0.1746 os1749 e 100 200 300 400 500 60" 70' 80" o,oooo 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.1751 0.1762 0.1753 0‘1754 0.1754 0.3564 900 200 0,3491 0.3493 0.3499 0,3508 0.3520 0.3533 0.3545 0.3555 0.3561 300 0,5236 0.5243 0.5263 0,5294 0,5334 0.5379 O-5422 0.5459 0.5484 0 5493 400 096981 0,6997 0.7043 0,'7116 0.7213 0.7323 0,7436 0.7535 07601 0.7629 500 0,8727 0,8756 0.8842 0,8982 0.9173 0,9401 019647 0.9876 1.0044 l.OiO7 60' 1,0472 1.0519 ll0660 1.0896 1,1226 131643 132126 1.2619 13014 1.3170 700 1,2217 1,2286 1.2495 1,2853 1.3372 1.4068 1.4944 1.5959 1,6918 l-7354 80° 1,3963 1,4066 1.4344 ^,4846 1,5597 1.6660 1.8125 20119 2.2653 2.4362 900 1,5708 1,5828 1,620O 1.6858 1,7868 1.9356 2.1565 25046 3,1534 m OO 100 200 300 400 600 60“ 700 80" 900 !J e OO o,oooo o,oooo 0.0000 o,oooo o,oooo o,oooo o,oooo 0 0000 0.0000 o,oooo 100 OJ746 OA os744 OJ743 0.1742 0.1740 0.1739 021738 0,1737 0,1736 200 0,3491 0,3489 0,3483 0,3473 0,3462 0,345o 0,3438 0,3429 0,3422 0.3420 300 0,5236 05229 05209 0.5179 0,5141 0,610O OJO61 0.5029 0,5007 0.6000 400 0,698l 0,6966 036921 0,6851 0,6763 0,6667 0,6676 0,6497 0,6446 0,6428 600 0,8727 0,8698 0,8614 0,8483 0,8317 0.8134 0,7954 097801 0,7697 0.7660 60" 190472 LO426 1,029o LOO76 0.9801 0,9493 0.9184 0,8914 0.8728 0.8660 700 132217 1,2149 lJ949 1.1632 1.1221 1,075o 1.0266 0,983O 0.9514 0.9397 80'= 133963 1,387O 1,3597 173161 1,269O 1,1926 Ll225 1.0565 1.0054 0.9848 900 1,5708 1,5589 15238 L4675 L3931 1.3056 1,2111 1.1184 1.0401 1,oooo 255 z 0 1 2 3 4 6 6 7 8 9 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.3989 0,3970 0.3910 0.3814 0.3683 0.3989 0.3965 0.3902 0.3802 0.3668 0.3989 0.3961 0,3894 0.3790 0.3663 0,3988 0,3956 0.3885 0,3778 093637 0.3986 0.3951 093876 093765 0,3621 0.3984 0,3945 0,3867 0,3752 0,3605 0,3982 0,3939 0,3857 0.3739 0,3589 0.3980 0,3932 0.3847 033726 0.3572 0.3977 0.3925 0,3836 0.3712 0,3656 0.3973 0,3918 0,3826 0,3697 0.3538 036 0.6 0.7 0.8 0.9 0.3521 0.3332 0.3123 0.2897 0,2661 0.3503 CL3312 0,3101 0.2871 0.2637 0,3486 0.3292 0,3079 0.2860 ,$2613 0,3467 0,3271 0,3066 0.2827 0,2589 0,3448 0,3251 0,3034 0.2803 0,2665 0,3429 033230 0,3011 Os2780 O-2541 0,341O 0.3209 0.2989 0.2766 0,2616 0,339l 0.3187 0,2966 0,2732 0.2492 0,3372 0.3166 62943 0.2709 0.2468 0,3352 0,3144 0,292o 0,2686 0,2444 1.0 1.1 1.3 1.4 0.2420 0.2179 0.1942 0.1714 0.1497 0.2396 0.2166 0.1919 0.1691 0,1476 0.2371 0,2131 OJ896 0.1669 0.1466 0.2347 0.2107 OJ872 OJ647 0,1436 0,2323 0,2083 OJ849 0.1626 0.1416 0,2299 0,2069 OJ826 0.1604 fu394 0.2276 0.2036 0.1804 0,1682 0,1374 0,226l 0.2012 0,1781 0,1661 0.1364 0.2227 0.1989 W768 0.1639 íx1334 0,2203 OJ966 0,1736 OJ618 0,1316 1.6 1.6 1.7 1.8 1.9 0.1296 0.1109 0.0940 0.0790 0.0666 0.1276 OJO92 0.0926 0.0776 0.0644 0.1257 OJO74 0.0909 0.0761 0,0632 0.1238 0.1067 0.0893 0.0748 0.0620 0.1219 0.1040 0,0878 0,0734 0.0608 0,120o 0,1023 0,0863 0.0721 0,0696 OJ182 0,1006 0,0848 0,0707 0,0684 @ll63 0,0989 030833 0.0694 0,0673 0.1146 0.0973 0,0818 0,0681 0.0662 OJ127 0,0967 0,0804 0,0669 0,0661 2.0 2.1 2.2 2.3 294 0.0640 0.0440 0.0366 0,0283 0.0224 0.0629 0,043l 0.0347 0.027'7 OVO219 0,0619 0,0422 0,0339 0,027O 0.0213 0,0608 0,0413 0,0332 Os0264 RO208 0,0498 0,0404 0,0325 0.0268 0,0203 0,0488 0,0396 0.0317 0,0262 0,OlQE 0,0478 0,0387 0,031o 0.0246 0,0194 0,0468 0.0379 0.0303 0,0241 0,OlEQ 0,0469 0,0371 0,0297 0.0236 0,0184 0,0449 0.0363 0,029O 0.0229 0,OlEO 25 2.6 2.7 23 2.9 0.01'76 'X0136 0,0104 0.0079 0.0060 0.0171 0,0132 0,OlOl 0.0077 O.0068 0,016? 0.0129 0.0099 0.0076 0.0066 0,0163 0,0126 0.0096 0.0078 0.0066 RO168 RO122 0,0093 ROO71 0.0063 0,0164 co119 0,OOQl 0,0069 0.0051 0,0161 0.0116 0,0088 Ovo067 0,0060 0,0147 0,0113 0,0086 0,0066 0,0048 0,0143 0,OllO 'AO %0363 ROO47 0.0139 0.0107 0,OOEl 0,0061 0,0046 3.0 3.1 3.2 3,3 3,4 0.0044 0,0033 ROO24 0,0017 0.0012 0,0043 ROO32 0.0023 0.0017 KO012 0.0042 0.0031 0.0022 0,0016 0.0012 0,004o 0.0030 0.0022 0,0016 0,OOll ROO39 0.0029 0,0021 ROO15 0,OOll CO038 0,0028 0,002o 0,0015 0,0010 0,0037 0.0027 0.0020 0,0014 0,0010 0.0036 0,0026 0,OOlQ 0,0014 0,0010 0,0036 ROO26 'LOO18 0,0013 0.0009 0,0034 0,0026 0,OOlE 0,0013 0,0009 3.5 0.0009 (LOO06 0,0004 0.0003 0.0002 0.0008 0.0006 0.0004 0.0003 0.0002 0.0008 0.0006 0.0004 0,0003 0.0002 0,OOOE 0.0005 0,0004 0,0003 0.0002 0,0008 0.0006 0,0004 0,0003 0,0002 0,0007 0,0006 0,0004 ROO02 0,0002 0,0007 0,0005 0,0003 0,0002 0,0002 0.0007 0,0006 0,0003 0.0002 0,0002 0,0007 0,0006 0,0003 0,0002 0,0001 0,0006 0,0004 0,0003 0,0002 0.0001 1.2 3.6 3.7 33 3.9 256 z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0.0 os 0,2 0,3 0,4 0,500o 0.5398 0.5793 0.6179 0,6554 0,504o 0,5438 0,6832 0.6217 0,6591 0.5080 0.5478 0,5871 0,6255 0.6628 0.5120 Os5517 0,591o 0,6293 0,6664 0.5160 cl,5557 0,5948 0,6331 0,670O 0,5199 0,5596 0,5987 0,6368 0,6736 0,523s 0.5636 0,6026 0,6406 0.6772 t52-79 0.5675 026064 0,6443 0.6808 0,531s 0,5714 0,6103 0,648O 0,6844 0,535s 0.5754 0,6141 0,6517 0,687s 0.6 0,6916 0,7258 0,758O Os7881 0,815s 0.6950 0.7291 0.7612 0.7910 0,8186 0,6986 0,7324 0,7642 0,793s 0,8212 0,701s 0,7357 0,7673 0,7967 0,8238 0.7054 0,738s 0,7704 0.7996 0.8264 0,7088 0,7422 0,7734 0,8023 0,828s 0,7123 0,7454 0,7764 0,8051 0,8316 0,7157 037486 0,7794 0,8078 0.8340 0,719o 0,7518 0.7823 0.8106 0.8365 0.7224 0.7549 Os7852 0,8133 0.8389 1,3 L4 0.8413 0,8643 0.8349 0.9032 0.9192 0.8438 0.8665 0,886s 0,904s 0,9207 0,8461 0.8686 0,8888 0.9066 oa 0,8485 0,8708 0.8907 0.9082 0,9236 0,8508 0.8729 0.8925 0.9099 0,925l 0,8531 0,874s 0,8944 0,9116 0.9265 0,8554 0,877O 0.8962 0.9131 0,9279 0,8577 0.8790 0,898O 0,9147 03292 0,859s 0,881O 0,8997 099162 0.9306 0,862l 0.8830 0,9015 0.9177 0,981s 1.5 1.6 1,7 138 1,s 0,9332 0,9452 0,9554 0.9641 0,9713 0,9345 0,9463 0.9564 0,964s 0,971s 0,9357 oa 0,9573 0,9656 09726 0,937a 0,9484 0,9582 0,9664 03732 0,9382 0,9495 0.9591 0.9671 0.9738 0.9894 0.9505 0.9599 Oa 0,9744 0,9406 09515 0.9608 0.9686 0,975o 0.9418 0.9525 0.9616 03693 0,9756 0,942s 0.9535 Oa 09699 0.9761 0,944l 0.9545 099633 Oa 0.9767 2,o 2,l 293 294 0,9772 0.9821 Os9861 03893 Oa 0,9778 0.9826 0,9864 0.9896 0,992o 0,9783 0,983O 0,9868 0,9898 0,9922 0.9788 0.9834 0.9871 o,g901 0.9925 oa 0,9338 0,9875 o,ssa4 0,9927 0,9798 0,9842 0,9878 0,9906 0,992s 0.9803 0,9846 0,9881 0.9909 0.9931 0,9808 09860 0,9884 0,SSll 0,9932 0.9812 0.9854 0.9887 0.9913 0.9934 0,9817 0,9857 0,989O 0.9916 039936 2.5 2,6 2.7 2,8 2.9 Oa 0,9963 0,9966 0a974 Oa 0,994o oa 0,9966 0,9976 0,9982 0,9941 0,9966 0,9967 0,9976 0,9982 0,9943 03957 0,9968 0,9977 0,9983 0.9945 0.9959 0,9969 oa 0.9984 0,9946 0,996O 0,997o 0.9978 0,9984 0,9948 0,996l 0,9971 0,997s 0,9985 0,994s 0,9962 Oa 03979 Os9985 0.9951 0,9963 0,9973 0,998O 0,9986 0.9952 0.9964 0.9974 0,9981 0,9986 370 3,l 3,2 393 3,4 0.9987 03990 03993 03995 0,9997 0,9987 0.9991 03993 0.9995 0,9997 0.9987 0,9991 0,9994 03995 0,9997 0,9988 0$991 0,9994 0,9996 0,9997 0.9988 oa 0a994 Oa 03997 0,9989 0.9992 0.9994 03996 0,9997 0,9989 0,9992 0,9994 0.9996 0,9997 0.9989 0,9992 0,9995 0,9996 0,9997 0,999o 0.9993 0,9995 0,9996 0,9997 0.9990 0,9993 0,9995 0,9997 0,9998 3.5 Oa 03998 03999 03999 1,OOOO 0,9998 03998 03999 03999 l,oooo 0,9998 0,9999 03999 0,999s 1,ouoo 0,9998 03999 03999 03999 1.0000 0,9998 0.9999 0.9999 03999 l,oooo 03998 0,999s 0,9999 0,999s 1.0000 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 l,oooo 0.9998 0,999s 03999 03999 1.0000 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 1.0000 0.9998 0,999s 0,9999 0,999s 1.0000 0,6 0,7 0.8 03 13 Ll 1.2 2,2 3,6 3,7 3.8 3,s t o.Y% t0.w to.RíR h.5 h90 to,so 1 2 3 4 63,66 9.92 5,84 4.60 31,82 6.96 4,54 3,75 12,71 4,30 3918 2.78 6331 2,92 2235 2.13 3.08 1,89 1,64 1,53 1,376 1,061 0,978 0.941 5 6 7 8 9 4.03 3,71 3,50 3,36 3,25 3.36 3.14 3.00 2,90 2982 257 2,45 2.36 2,31 2,26 2,02 1,94 1,90 LE6 LE3 1,48 1,44 1,42 1,40 1,38 10 ll 12 13 14 3.17 3.11 3.06 3,Ol 2.98 2,76 2,72 2,68 2,65 2,62 2.23 2.20 2,18 2,16 2.14 1,81 1.80 1,78 1.77 1.76 15 16 17 18 19 2.95 2,92 2,90 2,88 2,86 2.60 2,58 2757 2,55 2,54 2,13 2,12 2.11 2,lO 2,09 20 21 22 23 24 2,84 2,83 2,82 2,81 2,80 2,53 2.52 2151 2950 2.49 25 26 27 28 29 2.79 2,78 2.77 2.76 2,76 30 40 60 120 oa 2175 2,70 2,66 2,62 2,58 t 0.55 to.75zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSR t0.10 t0.60 1,000 0,816 0,765 0,741 0,727 0,617 0,584 0,569 0,325 0,289 0,277 0,271 0,158 0,142 0,137 0,134 0,920 0,906 0,896 0.889 0,883 0,727 0,718 0,711 0,706 0,703 0,559 0,553 0,549 0,546 0,543 0,267 0,265 0,263 0,262 0,261 0.132 0,131 0,130 0,130 0,129 1,37 í,36 1.36 1,35 1,34 0,879 0,876 0,873 0,870 0,868 0,700 0,697 0,695 0,694 0,692 0,542 0,540 0,539 0,538 0,537 0,260 0,260 0,259 0,259 0,258 0,129 0,129 0,128 0,128 0,128 1,75 1,75 1,74 l.73 1.73 1.34 1.34 1,33 1,33 1,33 0,866 0,865 0,863 0,862 0,861 0,691 0,690 0,689 0,688 0,688 0,536 0,535 0,534 0,534 0,533 0,258 0,258 0,257 0,257 0,257 0,128 0,128 0,128 0,127 0,127 2,09 2.08 2.07 2,07 2.06 1,72 l-72 1972 1,71 1,71 1.32 1332 1,32 1,32 1,32 0,860 0,859 0,858 0,858 0,857 0,687 0,686 0,686 0,685 0,685 0,533 0,532 0,532 0,532 0,531 0,257 0,257 0,256 0,256 0,256 0,127 0,127 0,127 0,127 0,127 2.48 2,48 2,47 2-47 2,46 2.06 2,06 2,05 2305 2,04 1,71 1.71 1,70 1,70 1,70 1332 1.32 1,31 1,31 1,31 0,856 0,856 0,855 0,855 0,854 0,684 0,684 0,684 0,683 0,683 0,531 0,531 0,531 0,530 0.530 0,256 0,256 0,256 0,256 0,256 0,127 0,127 0,127 0,127 0,127 2.46 2,42 2,39 2.36 2,33 2,04 2,02 2.00 1.98 1.96 1.70 1,68 1,67 1,66 1.645 1,31 l,jO 1,30 1,29 1,28 0,854 0,851 0,848 0,845 0,842 0,683 0,681 0,679 0,677 0,674 0,530 0,529 0,527 0,526 0,52/ 0,256 0,255 0,254 0,254 0,253 0,127 0,126 0,126 0,126 0,126 Tomada de: R. A. Fisher y F. Yates, Statistical 7’ables for Eiological, Agricultural and Medical Rrsearch (6’. edición, 1963), Tabla III, Oliver y Boyd Ltd., Edimburgo. con permiso de los autores y editores. - 2 x0.05 x0.025 2 2 xu.01 GJ.005 0,0158 0,211 0,584 LO6 0,0039 0,103 0,352 0,711 0,Oolo 0.0506 0,216 0,484 0.0002 0,115 0,297 O,OOOO 0,0100 0,072 0,207 2,67 3.45 4,25 5,07 5,90 1,61 2,20 2.83 3.49 4.17 1.15 1,64 2,17 2.73 3,33 0,831 1,24 1,69 2,18 2,70 3,564 0,872 1.24 1.66 2.09 0,412 0,676 0.989 1.34 1,73 9,34 10,3 ll,3 12,3 13.3 6,74 7.58 8,44 9.30 10,2 4,87 5,58 6.30 7,04 7,79 3,94 4,57 6,23 6,89 6.57 3326 3.82 4,40 5,Ol 5,63 2,56 3.05 3,57 4.11 4.66 2,16 2,60 3.07 3.57 4.07 1892 19,4 20,6 21,6 22,7 14,3 15,3 16,3 17,3 18,3 ll,0 ll,9 12.8 13,7 14.6 8355 9.31 10s 10,9 11.7 7,26 7,96 8,67 9.39 10s 6726 6,91 7,56 8,23 8,91 6.23 6.81 6,41 7,Ol 7,63 4,60 5,14 5.70 6,26 6,84 28.4 29,6 30,8 32,0 33,2 23,8 24,9 2630 27,l 28,2 19,3 20.3 21.3 22,3 23.3 15,5 1633 17,2 18.1 19,o 12.4 13,2 14,0 14.8 15,7 10,9 ll,6 12,3 13.1 13,8 9.59 10.3 11.0 ll,7 12,4 8,26 8,90 9.54 10.2 10,9 7.43 8.03 8.64 9,26 9,89 37,7 38.9 40,l 41,3 42,6 34,4 35,6 36,7 37,9 39,l 29,3 30,4 31,5 32.6 33.7 24.3 25,3 26,3 27.3 28,3 19,9 20,8 21.7 22,7 23.6 16.5 17.3 18.1 18,9 19,8 14,6 15.4 16,2 16,9 17.7 13,l 13,8 14,6 15,3 16.0 ll,5 12,2 12,9 13,6 14,3 10.6 ll,2 ll,8 12,5 13.1 47.0 59,3 71.4 83,3 43,8 55.8 67,5 79.1 40,3 51,8 63,2 74,4 34.8 45,6 56,3 67,O 29,3 39,3 49,3 59,3 24,5 33,7 42,9 52,3 20,6 29,l 37,7 46.5 18,5 26,5 34,8 43,2 16,8 24,4 32,4' 40,5 15,o 22.2 29,7 37,5 13.8 95,0 106.6 118,l 129,6 90-5 101.9 113,l 124,3 85,5 96,6 107,6 118.5 77,6 88,l 98.6 109,l 6973 79,3 89.3 99,3 61,7 71,l 80,6 90.1 55,3 64,3 73-3 82.4 51,7 60.4 69,l 77,9 48,8 57,2 65,6 74,2 45,4 53.5 61.8 70,l 43,3 51.2 59.2 67,3 2 CO,995 2 X0.99 2 x 0.975 4.95 &ll 2 x0.75 2 x0,.50 2 3 4 7,88 lo-6 12,8 14.9 6.63 9,21 ll,3 13,3 5,02 7,38 9,35 11.1 3,84 5,99 7.81 9,49 2.71 4,61 6,25 7.78 1,32 2,77 4,ll 5,39 5 6 7 8 9 16,7 18,5 2033 22,0 23-6 15,l 16,8 18,5 20,l 21,7 12.8 14.4 16,O 17,5 19,0 ll,1 12,6 14,l 15,5 16.9 9,24 10,6 12,o 13,4 14.7 10 11 12 13 14 25,2 26,8 28,3 29,8 31,3 23,2 24,7 26,2 27,7 29,l 20.5 21.9 23,3 24,7 26.1 18.3 19,7 21,o 2234 2337 15 16 17 1E 1: 32,8 34,3 35,7 3772 38.6 30,6 32,0 33,4 34,8 3632 27,5 28.8 30,2 31,5 32.9 2c 21 2: 2: 21 40.0 41,4 42,8 44,2 45,6 37.6 38-9 40.3 41.6 43.0 2! 21 2' 21 2! 46,9 48,3 49,6 51,o 52,3 31 41 5' 60 70 80 90 100 - n 1 1 2 x0.25 4. LO 0,455 1.39 2,37 3,36 0,102 0,575 l.21 1,92 6,63 7,84 9.04 10.2 ll,4 4,35 5.35 6,35 7.34 8.34 16.0 17,3 18,5 19,8 21.1 12,6 13.7 14,8 16,O 17,l 25-O 2673 27,6 28,9 30.1 22,3 23,5 24,8 26.0 27.2 34,2 35,5 36.8 38.1 39,4 31,4 32,7 33.9 35,2 36,4 44,3 45,6 47,0 48,3 49,6 40,6 41,9 43,2 44.5 45,7 53.7 66,8 79,5 92,0 50,9 63,7 76,2 88,4 104,2 116,3 128,3 140.2 100,4 112.3 124,l 135,8 Tomada de: 2 0,0201 Catherine M. Thompson. Table ofpercentage points o/ the X2 distribution, Biometrika, Val. 32 (1941),con permiso delautory del editor. 35,5 n1 ‘2 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 8 12 16 20 30 40 161,4 199,5 2 1 5 . 7 224,6 230,2 2 3 4 , 0 238,9 243,9 24673 248,O 250,l 251,l 252,2 1 8 . 5 1 1 9 , 0 0 19,16 19,25 19,30 19,33 1993’7 19341 19,43 19,45 19,46 1 9 . 4 6 lo,13 9,55 9.28 9,12 9.01 8,94 8785 8.74 8,69 8,66 8,62 8,60 7,71 6,94 6,59 6,39 6,26 6,16 6.04 5,91 5,84 5,80 5,75 5,71 5.79 5,41 4368 4.60 4,56 4,50 4,46 6,61 5.19 5.05 4,95 4982 4.53 4.12 3,84 3,63 3.48 4,39 4,28 3997 3,87 3.69 3,58 3,48 3,37 3,33 3.22 4,15 3,73 3,44 3923 3.07 4,00 $57 3,28 3,07 2,91 3,92 3,49 3,20 2,98 2.82 3,87 3,44 3,15 2,93 2,77 3,67 3.23 2,93 2,71 2.54 2,65 2957 2,54 2346 2,46 2,38 2.39 2.31 2,33 2325 2,53 2.50 2342 2,40 2,34 2,32 2.27 2,24 2,21 2,18 2.45 2.35 2,26 2,19 2,12 2,40 2,30 2,21 2.13 2.07 2,13 2.08 2,04 2,00 1,96 2,07 2,02 1,98 1,94 1.90 2.01 1,96 1,92 1.88 1.84 1,93 1189 1.85 1,81 1,79 1,91 1,86 1,82 1,78 1,76 1.84 1,80 1,76 1,72 1,69 1,78 1,73 1,69 1,65 1,62 1,74 1,69 1,65 1,62 1.60 1,69 1,63 1,59 1,56 1,54 1-66 1,60 1,56 1353 1,51 1,59 1.51 1,52 1,44 1 . 4 8 1,39 1,45 1,,35 1.42 1.32 1,57 1,54 1,52 1,49 1,46 1,51 1.47 1,45 1,42 1,40 1,48 1,44 1,42 1,38 1,32 1,39 1,28 1,34 1.22 1,32 1.19 1,28 1.13 1,24 1.00 4,76 4,35 4,07 3,86 3,71 ll 12 13 14 15 4.84 4,‘75 4,67 4.60 4.54 3,98 3,89 3,81 3,74 3,68 3,59 3,36 3-49 3.26 3,41 3.18 3,34 3.11 3.29 3,06 3,20 3,ll 3,03 2,96 2,90 3109 2,95 3.00 2-85 2,92 2,77 2,85 2,70 2.79 2,64 16 17 18 19 20 4949 4,45 4,41 4338 4,35 3,63 3,59 3,55 3,52 3,49 3,24 3,20 3,16 3,13 3,lO 3,Ol 2,96 2,93 2.90 2,87 2,85 2.81 2-77 2,74 2971 2,74 2,70 2,66 2,63 2,60 2,59 2,55 2,51 2,48 2,45 2,42 2,38 2.34 2,31 2,28 2,33 2,29 2,25 2,21 2,18 2,28 2,23 2,19 2,15 2,12 2.20 2,15 2,ll 2,07 2.04 22 24 26 28 30 -. 4,30 4326 4323 4-20 4.17 3,44 3,40 3,37 3.34 3,32 3,05 3,Ol 2.98 2,95 2,92 2.82 2278 2374 2,71 2,69 2,66 2.62 2,59 2,56 2,53 2,55 2,51 2,47 2,45 2,42 2,40 2,36 2,32 2,29 2,27 2.23 2,18 2,15 2,12 2,09 2,13 2309 2.05 2,02 1,99 2,07 2,03 1,99 1,96 1,93 1,98 1,94 1.90 1,87 1,84 40 50 60 70 80 4,08 4.03 4.00 3,98 3,96 3.23 3,18 3.15 3,13 3,ll 2,84 2,79 2.76 2,74 2,72 2,61 2,56 2.53 2.50 2.48 2,45 2,40 2937 2,35 2,33 2,34 2,29 2,25 2,23 2,21 2,18 2.13 2,lO 2,07 2,05 2,00 1,95 1.92 1,89 1,88 1,84 1,78 1,75 1,72 1,70 :oo .50 !OO LOO m 3.94 3,91 3,89 3,86 3.84 3.09 3.06 3,04 3,02 2,99 2.70 2.67 2.65 2.62 2,60 2.46 2.30 2,19 2,03 2.43 2.27 2,16 2.00 2341 2,26 2.14 1,98 2.39 2.23 2,12 1 . 9 6 2937 2,21 2.09 1.94 1,68 1,64 1,62 1,60 1,57 1.75 1,71 1,69 1,67 1.64 253.0 254.3 19947 19,49 19,50 8.58 8,56 8.53 5,70 5.66 5,63 4,44 4.40 4.36 3,71 3,28 2,98 2,76 2.59 5.14 4,74 4,46 4.26 4,lO 1,85 1,82 1,80 1,78 1,75 2.16 2,ll 2107 2,02 1,99 Tomada d e : G. W . Snedecor y W . G. Cochran, Statistico/ Method,y (6’. edición, 1%7), i m prenta de la Universidad del Estado de Iowa, Ames, Iowa, con permiso de los autores y del editor. r.nr. - 3.77 3,75 3.34 3,32 3,05 3,03 2,82 2,80 2,67 2.64 5,99 5,59 5,32 5,12 4,96 1,90 1,85 1.81 1779 1,77 100 3,81 3,38 3.08 2,86 2,70 6 7 8 9 10 2,79 2.70 2.69 2,60 2,60 2,51 2.53 2,44 2,48 2.39 50 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 24 26 28 30 40 50 60 70 80 00 50 OO 00 m - 1 2 LO52 4 9 9 9 la,49 99,Ol 14,12 30,81 !1,20 18.00 !6,26 13,27 3 4 5 6 5403 99,1'7 29,46 16969 12306 5625 99225 28,71 15398 ll,39 5764 99,30 28,24 15352 lo,97 5859 99.33 27941 15,21 lo,67 8 12 5981 6106 99.36 99.42 27,49 27,05 14,aO 14,37 lo,27 9,89 16 20 30 40 50 100 - 6169 99,44 28.63 14,15 9,68 6208 99,45 26,69 14,02 9,55 6258 99947 26.50 13.83 9,38 6286 99,48 26.41 13.74 9,29 6302 99.48 26.35 13,69 9,24 6334 99.49 26,23 13,57 9.13 6366 99.50 26.12 13.46 9.02 L3,74 12725 .1,26 .0,56 LO-04 10392 9355 8,65 8.02 7.56 9,78 8,45 7359 6399 6755 9,15 7,85 7.01 6,42 5,99 8,75 7346 6963 6,06 5x64 8,47 7.19 6,37 5.80 5,39 8,lO 6,84 6,03 5,47 5,06 7,72 6,47 5,67 5,ll 4,71 7.52 6,27 5,48 4.92 4,52 1.39 6,15 5,36 4,ao 4,41 7,23 5,98 5.20 4.64 4,25 7.14 5.90 5.11 4.56 4.17 7,09 5.85 5,06 4.51 4,12 6.99 5,75 4.96 4.41 4.01 6.88 5,65 4.86 4.31 3.91 9,05 9,33 9,07 8286 8x68 7,20 6,93 6.70 6251 6,36 6x22 5,95 5,74 5956 5942 5,67 5,41 5,20 5,03 4,89 5332 5,06 4.86 4,69 4356 5.07 4,82 4,62 4,46 4,32 4,74 4,40 4,50 4,16 4,30 3,96 4,14 3,80 4.00 3,67 4,21 3,98 3.78 3,62 3,48 4,lO 3.86 3,67 3,51 3,36 3,94 3.70 3.51 3334 3,20 3.86 3,61 3.42 3.26 3.12 3.80 3,56 3.37 3.21 3,07 3.70 3946 3.27 3.11 2.97 3.60 386 3,16 3,OO 2.87 8,53 8,40 8328 8,18 8x10 6,23 6,11 6,Ol 5,93 5,85 5,29 5,18 5,09 5,Ol 4,94 4,77 4.67 4358 4250 4.43 4,44 4,34 4.25 4.17 4,lO 4,20 4,lO 4,Ol 3,94 3,87 3,89 3,79 3,71 3.63 3,56 3,55 3,45 3,37 3,30 3,23 3737 3,27 3,19 3812 3,05 3,25 3,16 3,07 3.00 2,94 3.10 3,oo 2.91 2.84 2,77 3,Ol 2,92 2.83 2976 2,69 2.96 2,86 2.78 2.70 2.63 2,86 2.76 2.68 2.60 2.53 2.75 2.65 2,51 2.49 2.42 7.94 7,82 7-72 7.64 7256 5972 5361 5,53 5345 5339 4,82 4.72 4,64 4,57 4,51 4,31 4,22 4,14 4,07 4,02 3199 3,90 3,82 3376 3,70 3976 3-67 3-59 3,53 3,47 3345 3936 3,29 3,23 3,17 3,12 3.03 2,96 2.90 2.84 2394 2,85 2,77 2.71 2,66 2,83 2,74 2.66 2.60 2,55 2767 2.58 2.50 2,44 2.38 2.58 2.49 2,41 2935 2,29 2953 2,44 2.36 2.30 2,24 2,42 2.33 2.25 2.18 2.13 2.31 2.21 2.13 2.06 2,Ol 7x31 7-17 7908 Í,Ol 6.96 5,18 5.06 4.98 4,92 4,88 4.31 4,20 4,13 4,08 4,04 3,83 3,72 3,65 3.60 3956 3.51 3,41 3,34 3,29 3,25 3,29 3,18 3,12 3.07 3,04 2,99 2166 2.88 2356 2,82 2,50 2,77 2345 2.74 2.41 2949 2,39 2.32 2328 2.24 2,37 2,26 2,20 2,15 2.11 2.20 2-10 2,03 1.98 1.94 2,ll 2,00 1,93 l,aa 1,84 2.05 1.94 1.87 ?.82 1,78 1,94 1.82 1.74 1,69 1,65 1,81 1.68 1,60 1.53 1.49 6,90 6,81 6376. 6,70 6164 4.82 4,75 4.71 4.66 4,60 3.98 3.91 3,88 3.83 3.78 3.51 3.44 3,41 3936 3.32 3.20 3,14 3.11 3.06 3,02 2,99 2.92 2.90 2.85 2,80 2269 2,36 2,62 2,30 2.60 2,28 2.55 2.23' 2.18 2,51 2,19 2.12 2.09 2,04 1.99 2.06 2,oo 1,97 1.92 La7 1,89 1,83 1,79 1,74 1,69 1.79 1.72 1,69 1,64 1,59 1.73 1.66 1,62 1,57 l-.52 1,59 1.51 1.48 1.42 1.36 1.43 1.33 1.28 1.19 1.00 7‘imnd~~ y W. G. Cochran,zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDC Sfntirtwal M~~thodu (e. edición, 1967). imprenta de IU Universidad del Estado de kwa, Ames, Iowa, con permiso de los autores 4' del editor. d<J: G. W. Snedecor 51772 74640 42331 29044 46621 62898 93582 04186 19640 87056 24033 23491 83587 06568 21960 21387 76105 10863 97453 90581 45939 60173 52078 25424 11645 55870 56974 37428 93507 94271 30586 02133 75797 45406 31041 86707 12973 17169 88116 42187 03585 79353 81938 82322 96799 85659 36081 50884 14070 74950 64937 03355 95863 20790 65304 55189 00745 65253 11822 15804 15630 64759 51135 98527 62586 41889 25439 88036 24034 67283 09448 56301 57683 30277 94623 85418 68829 06652 41982 49159 52290 16835 48653 71590 16159 14676 27279 47152 35683 47280 21631 91097 91157 17480 77331 29414 60710 06829 87843 28195 50532 25496 95652 42457 73547 76552 50020 24819 52984 76168 07136 40876 79971 54195 25708 51817 36732 72484 94923 75936 27989 64728 10744 08396 56242 90985 28868 99431 50995 20507 85184 73949 36601 46253 00477 25234 09908 36574 72139 70185 54398 21154 97810 36764 32869 11785 55261 59009 38714 38723 65544 34371 09591 07839 58892 92843 72828 91341 84821 63886 46149 03229 08263 65952 85762 64236 39238 18776 84303 99247 39817 67906 48236 16057 81812 15815 63700 85915 19219 45943 62257 04077 79443 95203 02479 30763 92486 54083 23631 05825 63298 90276 62545 21944 16530 03878 07516 95715 02526 33537 INDICE DE SIMBOLOS Y NOTACIONES ESPECIALES En la lista que sigue se encuentran los símbolos y notaciones particulares que se han empleado en este manual junto con las paginas en las cuales se halla su definición o en.las que aparecen por primera vez. Los casos en los cuales un mismo signo pueda dar lugar a más de una sola interpretación podrán ser aclarados por el contenido. Símbolos Ber, (z), Bei, (2) Wm, n) BI8 cm Ic (4 e els %453 fer (2) fcer (2) E = E(k, 112) W. 4 le (4 Ell F(a, b; c; z) 140 función beta, 103 números de Bernoulli, 114 integral de coseno de Fresnel, 164 integral de coseno, 1134 base de los logaritmos naturales, 1 vectores unitarios en coordenadas curvilíneas, 124 función de error, 163 función complementaria de error, 163 integral elíptica completa de segunda especie, 179 integral elíptica incompleta de segunda especie, 179 integral exponencial, 163 números de Euler, 114 función hipergeométrica, 166 integral elíptica incompleta de primera especie, 179 transformada de Fourier y transformada inversa de Fourier, 175, 176 factores de escala en coordenadas curvilíneas, 124 polinomios de Hermite, 151 F(k d F, P-1 AI, kze hh, KA4 ‘(2’(x) funciones de Hankel de primera y segunda especies, 136 i unidad imaginaria, 21 vectores unitarios en coordenadas rectangulares, 117 í,j,k función modificada de Bessel de primera especie, 136 1% (NzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA función de Bsssel de primera especie, 136 J, (2) integral elíptica completa de primera especie, 179 K = F(k, 942) Kern (x), Kei, (z) 140 función modificada de Bessel de segunda especie, 139 W4 lnz 0 log,z logaritmo natural de x, 24 logz 0 logrsz logaritmo común de x, 23 polinomios de Laguerre, 153 L,(z) L,m(z) .cPP Pa (4 polinomios asociados de Lagoerre, 155 transformada de Laplace y transformada inversa de Laplace, 161 polinomios de Legendre, 146 Pi%) Q, (4 funciones asociadas de Legendre de primera especie, 149 funciones de Legendre de segunda especie, 148 Qi’W funciones asociadas de Legendre de segunda especie, 150 coordenada cilíndrica, 49 coordenada polar, 22, 36 coordenada esférica, 50 integral de seno de Fresnel, 164 integral de seno, 183 polinomios de Chebyshev de primera especie, 157 polinomios de Chebyshev de segunda especie, 156 función de Bessel de segunda especie, 136 r ï Sb; Zs(x) Tn (4 Un(N y, (4 _ INDICE 264 DE SIMBOLOS Y NOTACIONES ESPECIALES Símbolos Griegos ’ Y e e e función g a m m a , 1, 101 II 1 * coordenada esférica, 50 coordenada esférica, 50 zyxwvutsrqponmlkjihgf W) Cd constante de Euler. 1 función seta de Riemann, 194 coordenada cilíndrica, 49 WP) la suma + ;, <p(O) coordenada polar, 22, 36 *bd función de distribución de la probabilidad, 189 \ Notaciones A = B A > B A<B A es igual a B A es mayor que B o B es menor que A ~AesmenorqueBoBesmayorqueA A B B A es mayor que o igual a B A d B A es menor que o igual a B A 7 B A es aproximadamente igual a B A - B A es asintótico a B o A/B se aproxima a 1, 102 valw absoltito de A = factorial de n, 3 pésima derivada con respecto a x, 55 diferencial de y, 55 derivadas parciales, 56 Jacobiano, 125 integral indefinida, 57 s s ab f(4 dz A l dr integral definida, 94 integral curvilínea de A a lo largo de C, 121 c A-8 AXB V v2= V’ = v.v V2(V2) producto escalar de A y B, 117 producto vectorial de A y B. 118 operador nabla. 120 operador lapbciano, 120 operador bi-armónico. 120 = 0, 137 IN DICE Achatadas, coordenadas esferoidales. 128 laplaciano en, 128 Adición, fórmulas de, para las funciones de Bessel, 145 para las funciones elípticas, 186 para las funciones hiperbólicas, 27 para las funciones trigonométricas, 15 para los polinomios de Hermite, 152 Agnesi, bruja de, 43 Alargada, cicloide, 42 Alargadas, coordenadas esferoidales, 128 laplaciano en, 128 Aleatorios, tabla de números, 262 Algebraicas, soluciones de las ecuaciones, 32.33 Amplitud, de un numero complejo, 22 de la integral elíptica, 179 Analítica, geometría plana (vease plana, geometría analítica); del espacio (véase espacio, geometría analítica del) Angulo entre dos lííeas, en el plano, 35 en el espacio, 47 Anti-derivada 57 Antilogaritmos, comunes, 23,195,204,295 naturales o neperianos, 24.226,227 Anualidad, factor de cantidad compuesta de, 201, 242 valor presente de, 243 Area, integrales de, 122 Argand, diagrama de, 22 Arltmetica, media, 185 Aritméticas, series, 107 Aritmetico-geometricas, series, 107 Armónica, media, 185 Arquímedes, espiral de, 45 Asíntotas de la hipérbola, 39 Asintóticos, desarrollos o fórmulas, de los números de Bernoulli, 115 de las funciones de Bessel, 143 de la función gamma, 102 Asociadas, funciones de Le ge ndre , 149,150 (vease además Legendre, funciones) de primera especie, 149 de segunda especie, 150 especiales, 149 f6rmulas de recurrencia para, 149 ortogonalidad de, 150 series ortogonales de, 150 Asociados, polinomios de Laguerre, 155,156 (vease además Laguerre, polinomios de) algunos ejemplos de, 155 fórmulas de recurrencia de, 156 función generadora de, 155 ortogonalidad de, 156 resultados especiales que contienen, 156 series ortogonales de, 156 Asociativa, ley, 117 Bernoulli, ecuación diferencial de, 104 Bernoulli, números de, 98, 107, 114. 115 definición de los, 114 fórmula asintótica para los, 115 relación con los números de Euler, 115 series que contienen, 115 tabla de algunos de los primeros, 114 Bessel, funciones de, 136, 145 de orden igual a la mitad de un entero impar, 138 de primera especie y orden n, 136,137 desarrollos asintóticos de las, 143 de segunda especie y orden n, 136, 137 ecuación diferencial modificada de, 138 fórmulas de adición para las, 145 fórmulas de recurrencia para las, 137 funciones generadoras de las, 137, 139 integrales definidas que contienen, 142.143 integrales indefinidas que contienen, 142 modificadas (vease modificadas, funciones de Bessel) productos infinitos de las, 188 representación gdfica de las, 141 representación integral de las, 143 series ortogonales de las, 144, 145 solución general de las, 139 tablas de las, 244, 249 valores aproximados por igualación a cero, 250 Beta, función, 103 relación de la, con la función gamma, 103 Bi-armónico. operador, 126 en coordenadas curvilíneas, 125 Binomial, distribución 189 Binomiales, series, 2,110 Binomio de Newton, coeficientes del. 3 fórmula del, 2 propiedades del, 4 tabla de valores del, 236, 237 Bipolares, coordenadas, 128,129 laplaciano en. 126 Brigsianos, logaritmos, 23 Bruja de Agnesi, 43 Cadena, regla de derivación en, 53 Caracol de Pascal, 41.44 Característica, 194 Cardioide, 41, 42, 44 Cassini, óvalos de, 44 Catalán, constante de, 181 Catenaria, 41 Cauchy o Euler, ecuación diferencial de, 105 Cauchy, resto de, en series de Taylor. 110 Cauchy-Schwarz, desigualdad de, 185 para integrales, 186 Cero, igualación a, de las funciones de Bessel, 250 Cero, vector, 116 Cicloide, 40,42 alargada, 42 reducida, 42 Cilíndricas, coordenadas, 49,126 laplacíano en. 126 Cilindro elíptico, 51 Base de un logaritmo, 23 cambio de, 24 Ber Y Bei funciones, 140, 141 definición de las, 140 ecuación diferencial correspondiente a las, 141 representación gláfica de las, 141 265 266 area de la superficie lateral del, 8.9 volumen del, 8, 9 Círculo, área del. 6 sector de (véase sector de un círculo) segmento de (véase segmento de un círculo) Circunferencia (perimetro de la), 6 ecuación de la, 37 involuta de la, 43 Cisoide de Diocles. 45 Compleja, fórmula, para la transformada inversa de Laplace. 161 Complejos, conjugados, 21 Complejos, números, 21, 22, 25 adición de. 21 amplitud de, 22 conjugados, 21 definiciones relativas a los. 21 división de, 21. 25 forma polar de los, 22, 25 logaritmos de, 25 módulo de, 22 multiplicación de, 21.25 parte imaginaria de, 21 parte real de, 21 raices de los, 22, 25 representación gráfica de los. 22 representación vectorial de los, 22 sustracción de, 21 Complementaria, función, de error. 183 Complemento, 20 Componentes de un vector, 117 Componentes, vectores, 117 Compuesta, tabla de factores de cantidad, 240 Comunes, antilogaritmos, 23, 195,204, 205 ejemplos de problemas en relación con, 195 tabla de, 204,205 Comunes, logaritmos, 23, 194, 202, 203 cálculos mediante empleo de, 196 ejemplos de problemas en relación con, 194 tabla de, 202. 203 Cónicas, coordenadas, 129 laplaciano en, 129 Cónicas, 37 (véase además elipse. parábola, hipérbola) Conjugados complejos, 21 Conmutativa, ley, para productos escalares, 118 para la adición vectorial, ll7 Cono elíptico, 51 recto circular (véase recto, cono circular) Constante de integración, 57 Convergencia, intervalo de, 110 de series de Fourier, 131 Convergencia, tabla de factores de, 192 Coordenadas, curvas, 124 sistema de, ll Coordenadas curvilíneas, 124.130 cilindricas, 49, 126 esféricas, 50, 126 ortogonales notables, 126. 130 polares, 22,36 rectangulares, 36, 117 rotación de, 36.49 transformación de, 36.46.49 translación de, 36.49 INDICE Coseno, integral de, 184 de Fresnel. 184 tabla de valores del, 251 Cosenos, ley de los, para triángulos planos, 19 ley de los, para triángulos esféricos, 19 Cuadrada, función de onda, 172 Cuadradas, tabla de raíces, 238, 239 Cuadrados, tabla de. 236, 239 Cuadrantes, ll Cuadrática, solución de la ecuación, 32 Cuarto grado, solución de la ecuación de, 33 Cúbica, solución de la ecuación, 32 Cubicas, tabla de raíces, 238,239 Cubo, duplicación del, 45 Cubos, tabla de, 2313,239 Curvas coordenadas, 124 planas notables, 40-45 Curvilíneas, coordenadas, 124,125 ortogonales, 124-130 Curvilíneas, integrales, 121,122 definición de las, 121 independencia del camino de las, 121,122 propiedades de las, 121 Chebyshev, desigualdad de, 186 Chebyshev, ecuación diferencial de, 157 solución general de la, 159 Chebyshev, polinomios de, 157, 159 de primera especie, 157 de segunda espacie, 158 ecuación diferencial de, 157 especiales, 157, 158 fórmulas de recurrencia para, 158,159 funciones generadoras de, 157,158 ortogonalidad de, 156,15S relaciones que contienen, 159 series ortogonales de, 156,159 solución general de, 159 valores especiales de, 157, 159 Definidas, integrales, 94-100 definición de, 94 fórmulas generales que contienen, 94,95 metodos aproximados para calcular las, 95 tabla de, 95-100 Delta, función, 170 DeMoivre, teorema de, 22,25 Derivación, 53 (véase ademas derivadas) bajo el signo de integral, 95 reglas generales para la, 53 Derivadas, 53-56 (véase ademas derivación) anti-, 5 7 definición de, 53 de las funciones elípticas, 181 de las funciones exponenciales y logarítmicas, 54 de las funciones hiperbólicas y de las hiperbólicas recíprocas, 54, 55 de las funciones trigonométricas y de las trigonometricas recíprocas, 54 de orden superior, 55 de vectores, 119 parciales, 56 regla de la cadena para, 53 Descartes, folio de. 43 267 INDICE Desigualdades, 185,186 Dextrorso sistema, 118 Diferenciales, 55 reglas para las, 56 Diferenciales, ecuaciones, básicas y sus soluciones, 104-106 Diocles cisoide de, 45 Directoras, cosenos, 46,47 números, 46,48 Directriz, 37 Discriminante, 32 Distancia, entre dos puntos en el mismo plano, 34 de un punto a una linea, 35 de un punto a un plano, 48 entre dos puntos en el espacio, 46 Distribuciones de la probabilidad, 199 Distributiva, ley, 117 para productos escalaras, 118 Divergencia, II9 en coordenadas curvilíneas, 125 Divergencia, teorema de la, 123 Doble, fórmulas del ángulo en funciones hiperbólicas, 27 en funciones trigonométricas, 16 Duplicación del cubo, 45 Duplicación, fórmula de, para las funciones de gamma, 102 Ecuación de una recta, 34 en forma canónica, 47 en forma paramétrica, 47 en forma s e g 0 interceptual, 34 forma normal de la, 35 general, 35 perpendicular a un plano, 48 Ecuación del plano, forma general, 47 forma normal de, 48 forma segmentaria, 47 que pasa por tras puntos, 47 Eje x, ll Eje y, 11 Elipse, 7.37.38 Brea de la, 7 ecuación de la, 37, 36 evoluta de la, 44 excentricidad de la, 36 foco de la, 38 perímetro de la, 7 semi-ejes mayor y menor de la, 7,36 Elipses homofocales 127 Elipsoide, ecuación del, 51 volumen del, 10 Elípticas coordenadas cilíndricas 127 laplaciano en, 127 Elípticas, funciones, 179-182 (véase ademas elípticas, integrales) d e Jacobi, 180 derivadas de, 181 desarrollos en series de, 181 fórmulas de adición para, 130 identidades que contienen, 181 integrales de, 192 períodos de. 181 valores especiales de, 182 Elipticas, integrales, 179, 1801 (véase ademas elípticas, funciones) amplitud de, 179 de primera espacie, 179 de segunda espacie, 179 de tercera especie. 175. 180 relación de Legendre para, 182 tabla de valores de las, 254,255 transformación de Landen para, 180 Eliptico, cono, 51 cilindro, 51 paraboloide, 52 Envolvente, 44 Epicicloide, 42 Error, función de, 163 complementaría, 183 tabla de valores de, 257 Escala, factores de, 124 Escalar, producto, 117, 118 Escalares, 116 Escalonada, función, 173 Esfera, ecuación de la, 50 área de la superficie de la, 9 triangulo sobre (véase esférico triangulo) volumen de la, 8 Esfericas, coordenadas, 50,126 laplaciano en, 126 Esférico, área de la superficie del casquete, 9 volumen comprendido por el casquete, 9 Esférico, triangulo, área de un, 10 re g l as de N api e r para un, q ue t i e ne un ángulo recto, 20 relaciones entre los lados y ángulos de un, 19, 20 Espacio, fórmulas de geometría analitica del, 46-52 Espiral de Arquímedes, 45 Euler, constante de, 1 Euler, identidades de, 24 Euler-Maclaurin. fórmula sumatoriade, 109 Euler o Cauchy ecuación diferencia1 de, 105 Euler, números de, 114, 115 definición de, 114 relación de, con los números de Bernoulli, II5 series que contienen, 115 tabla de algunos de los primeros, ll4 Evoluta de la elipse, 44 Exacta, ecuación diferencial, 104 Excentricidad, definición de la, 37 de la elipse, 38 de la hipérbola, 39 de la parábola, 37 Exponencial, integral, 183 tabla de valores de, 251 Exponenciales, funciones, 23-25, 200 ejemplos de problemas que incluyen el cálculo de, 200 desarrolloen series de, 111 periodicidad de las, 24 relación entre, y las trigonométricas, 24 tabla de. 226,227 Exponentes 23 Extremo de un vector, 116 F, distribución, 189 valores percentiles 950 y 99~ de la. 260, 261 268 Factores, 2 Factorial de n, 3 tabla de valores de, 234 Foco de una cónica, 37 de la elipse, 38 de la hipérbola, 39 de la parábola, 38 Fourier, series de, 131-135 convergencia de, 131 definición de las, 131 forma compleja de, 131 identidad de Parseval para, 131 notables, 132-135 Fourier, teorema de la integral de, 174 Fourier, transformadas de. 174-178 en coseno, 176 en seno, 175 definición de, 175 identidad de Parseval para, 175 tabla de, 176-178 teorema de convolución para, 175 Fresnel integrales de seno y de coseno, 184 Frullani, integral de, 100 Gamma, función, 1. 101.102 algunos valores de la, 101 como producto infinito, 102.188 definición de la, 101, 102 derivadas de la, 102 desarrollos asintóticos de la, 102 fórmula de duplicación, para la, 102 fórmula de recurrenciapara la, 101 para valores negativos, 101 relación con la función beta, 103 relaciones que contienen la, 102 representación gráfica de la, 101 tabla de valores de la, 235 Gauss, plano de, 22 Gauss, teorema de, 123 Generadoras, funciones, 137, 139. 146, 149. 151, 153, 155,157,158 Generalizada. fórmula, de integración por partes, 59 Geométrica, media, 185 Geométricas, fórmulas, 5-10 Geométricas, series, 107 aritmético-, 107 Gradiente, ll9 en coordenadas curvilíneas, 125 Grados, 1.199.200 conversión de, en radianes, 199,200,223 relación entre, y radianes, 12, 199,200 Green. primera y segunda identidades de, 124 Green, teorema de, 123 Hankel, funciones, 138 Heaviside, función unitaria de, 173 Hermite, ecuación diferencial de, 151 Hermite, polinomios de. 151,152 ejemplos representativos de, 151 fórmulas de adición para, 152 fórmulas de recurrencia para, 151 fórmula de Rodrigue para, 151 ortogonalidad de, 152 resultados especiales que contienen, 152 series ortogonales de, 152 Hipérbola 37,39 asíntotas de, 39 ecuación de, 37 excentricidad de, 39 foco de, 39 longitud de los ejes mayor y menor de, 39 Hipérbolas homofocales 127 Hiperbólicas, funciones, 26-31 de argumentos negativos, 26 definición de, 26 desarrollo en series de las, 112 ejemplos de problemas para calcular los valores de, 200, 201 fórmulas de adicion para, 27 fórmulas del ángulo doble pera las, 27 formules del ángulo mitad para las, 27 fórmulas del ángulo múltiplo para las, 27 periodicidad de las, 31 potencias de, 28 recíprocas (vease recfprocas, funciones hiperbólicas) relación entre, y las trigonomäricas, 31 relaciones entre las, 26, 28 representación gráfica de las, 29 suma, diferencia y producto de, 26 tabla de valores de, 226233 Hiperbólico paraboloide, 52 Hiperboloide de una sola hoja, 51 de dos hojas, 52 hipergeométrica ecuación diferencial, 160 distribución, 189 Hipergeométricas funciones, 160 casos especiales de, 160 propiedades varias de las, 160 Hipocicloide en general. 42 de cuatro picos, 40 Hoja de Descartes. 43 Holder, desigualdad de, 185 para integrales, 186 Hornofocales, elipses, 127 coordenadas elipsoidales, 130 coordenadas peraboloidales, 130 hipbrbolas, 127 parábolas 1% Homogénea, ecuación diferencial, 104 lineal de segundo orden, 105 Imaginaria, parte, de un número ‘complejo, 21 Imaginaria, unidad, 21 Impropias, integrales, 94 Indefinidas, integrales, 57-93 definición de, 57 tabla de, 60-93 transformación de, 59,60 Infinitos, productos, 102,188 series de, (vease series) Integraci6n, 57 (véase ademas integrales) constantes de, 57 reglas generales para le, 57-59 Integración por partes. 57 fórmula generalizada para la, 59 Integral, teorema fundamental de cálculo 94 Integrales definidas (véase definidas integrales) INDICE curvilineas (véase curvilíneas, integrales) dobles, 22 impropias, 94 indefinidas (véase indefinidas, integrales) múltiples, 122, 125 que contienen vectores, 121 Intersección con el eje x, 34 Intersección con el eje y. 34 Intersecciones, 34. 47 Interés, 201, 240-243 Interpolación, 195 Intervalo de convergencia, 110 Inversión de series de potencias, 113 fnvoluta de la circunferencia, 43 Jacobi. funciones elípticas de, 160 Jacobiano, 125 Ji-cuadrado. distribución, 189 valores percentiles, 259 Ker y Kei, funciones, 146,141 definición de las, 140 ecuación diferencial para las, 141 gráficas de las, 141 Lagrange, resto de, en series de Taylor, 110 Laguerre, ecuacion diferencial asociada de, 155 Laguerre ecuación diferencial de, 153 Laguerre, polinomios de, 153,154 asociados (vease asociados, polinomios de Laguerre) especiales, 153 fórmulas de recurrencia para loa, 153 fórmula de Rodrigue para loa. 153 función generadora de los, 153 ortogonalidad de los, 154 series ortogonales para los, 154 Landen, transformación de, 180 Laplace, fórmula para la transformada inversa de, 161 Laplace, transformadas de, 161-173 definición de las, 161 inversas, 161 tabla de, 162-173 Laplaciano, 126 en coordenadas curvilíneas, 125 Legendre, ecuación diferencial asociada de, 149 soluci6n general de la, 156 Legendre, ecuación diferencial de, 106,146 solución general de la, 146 Legendre, funciones de, 146-148 (véase ademas Legendre. polinomios) asociadas (vease asociadas, funciones de Legendre) de segunda especie, 146 Legendre polinomios de. 146, 147 (vease ademas Legendre. funciones de) especiales, 146 formula de Rodrigue para los, 146 formula de recurrencia para los, 147 función generadora de los, 146 ortogonalidad de los, 147 resultados especiales que contienen, 147 series ortogonales de, 147 tabla de valores de los, 262,253 Legendre, relación de. para las integrales elípticas 182 269 Leibnits, regla de, para derivar bajo el signo de integral, 95 para derivadas superiores de productos, 55 Lemniscata, 40.44 Linea recta, ecuación de una (véase ecuación de una linea recta) Lineal, ecuación diferencial, de primer orden, 104 ecuación diferencial, de segundo orden, 105 Logarítmicas, funciones, 23-25 (véase ademas logaritmos) desarrollo en series de las, 111 Logaritmos, 23 (vease ademas logaritmicas, funciones) antilogaritmos y (véase antilogaritmos) base de los, 23 brigsianos, 23 cambio de base de Ios, 24 característica de los, 194 comunes (véase comunes, logaritmos) de funciones trigonométricas, 216221 de números complejos, 25 mantisa de los, 194 naturales, 24 Maclaurin, series de, 110 Mantisa, 194 Medio, teorema del valor, para integrales definidas, 94 forma genera1 del, 95 Mitad, fórmula del ángulo para funciones hiperbólicas, 27 para funciones trigonometricas, 16 Minkowsky, desigualdad de, 166 para integrales, 186 Modificadas, funciones de Bessel, 136.139 ecuación diferencia1 para las, 136 de orden igual a la mitad de un entero impar, 146 fórmulas de recurrencia para las, 139 función generadora de las, 139 representación gráfica de las, 141 Módulo de un número complejo, 22 .Momentos de inercia importantes, 190. 191 Movimiento en sentido contrario al de las manecillas del reloj, ll Multinomial, fórmula, 4 Múltiplo, fórmula para el ángulo en funciones hiperbólicas, 27 en funciones trigonometricas, 16 Múltiples, integrales, 122 transformación de, 125 Nabla. operador, 119 fórmulas varias que contienen, 120 Napier, regla de, 29 Naturales, logaritmos y antilogaritmos, 24, 196 tablas de, 224-227 Neperianos, logaritmos, 24, 196 tablas de, 224,225 Neumann, función de, 136 No-homogénea, ecuación lineal de segundo orden, 105 Normal, breas bajo la curva, 257 ordenadas de la, 256 Normal de dirección positiva (dirigida hacia el exterior). 123 unitaria, 122 Normal, distribución, 189 Normal, ecuación de una línea recta en forma, 35 ecuación del plano en forma, 48 Nula, función, 170 Nulo, vector, 116 Números complejos (véase complejos, números) Origen de un vector, 116 Oltogonales, coordenadas curvilineas, 124-130 fórmulas en las que entran, 125 Ortogonalidad y ortogonales, series, 144,145,147,150, 152.154,156,158,159 Ovalos de Cassini, 44 Parábola, 37,38 ecuación de la, 37, 38 excentricidad de la, 37 foco de la, 38 segmento de (véase segmento de parábola) Parábolas homofocales 126 Parabólica, fórmula, para calcular integrales definidas, 95 Parabólicas, coordenadas cilíndricas, 126 laplaciano en, 126 Paraboloidales, coordenadas, 127 laplaciano en, 127 Paraboloide de revolución, volumen del. 10 Paraboloide elíptico, 52 hiperbólico. 52 Paralelas, condición para que dos líneas rectas sean, 35 Paralelepípedo rectángulo (véase rectángulo paralelepípedo) volumen del, 8 Paralelogramo, área del, 5 perímetro del, 5 Paralelogramo, ley del, para la adición de vectores, 116 Parciales. derivadas, 56 Parciales, desarrollo en fracciones, 187 Parseval, identidad de, para transformadas de Fo urie r, 1 7 6 para series de Fourier, 131 Pascal, caracol de, 41.44 Pascal, triángulo de, 4,236 Pendiente de una linea recta, 34 Perpendiculares, condición para que dos líneas rectas sean, 35 P irámide volumen de la, 9 Plana, fórmulas de geometría analítica, 34-39 Plano, área de un triángulo 5,35 Plano, ecuación del (véase ecuación del plano) Plano, triángulo ley de los cosenos para un, 19 ley de las tangentes para un, 19 ley de los senos para un. 19 perímetro de un, 5 radio del círculo circunscritoa un, 6 radio del círculo inscrito en un, 6 relaciones entre los lados y ángulos de un, 19 Poisson, distribución de, 189 Poisson, fórmula sumatoria de, 109 Polar, forma, expresada como exponencial, 25 de un número complejo, 22.25 multiplicación y división en, 22 operaciones en, 25 Polares, coordenadas, 22.36 transformación de coordenadas rectangulares a, 36 Poligono regular (véase regular, polígono) Potencia, 23 Potencias, series de, 110 inversión de, 113 Presente, factor de valor, de un monto, 241 de una serie uniforme, 243 Principal, rama, 17 Principales, valores, de funciones hiperbólicas recíprocas. 29 de funciones trigonométricas reciprocas 17, 18 Probabilidad, distribuciones de la. 189 Productos infinitos, 102, 186 notables, 2 Pulsaciones, función de, 173 Radianes, 1.12, 199,200 relación entre, y grados, 12,199,200 tabla de conversión de, 222 raíces de los números complejos, 22,25 tabla de cuadrados y cubos, 238,239 Rama principal, 17 Real, parte, de un número complejo, 21 Recíprocas, funciones hiperbólicas, 29-31 definición de las, 29 expresadas por medio de funciones logarítmicas, 29 relación entre, y las trigonométricas recíprocas, 31 relaciones entre las, 30 representación gráfica de las, 30 valores principales de las, 29 Recíprocas, funciones trigunométricas, 17-19 definición de las, 17 relación entra, y las hiperbólicas recíprocas, 31 relaciones entre las, 18 representación gráfica de las, 18,19 valores principales de las, 17 Recíprocas, transformadas de Laplace, 161 Recíprocos, tabla de, 238,239 Rectangular, fórmula, para calcular integrales definidas, 95 Rectangulares, coordenadas, transformación de, a coordenadas polares, 36 Rectangulares, sistema de coordenadas, 117 Rectágulo, área del, 5 perímetro del, 5 Rectágulo, paralelepipedo, vo l ume n d e l , 8 Area de la superficie del, 8 Rectificada, función de onda senoidal, 172 semi-, 1 7 2 Recto, tronco de cono circular, (véase tronco de cono recto circular) superficie lateral, Area de la, 9 volumen del, 9 Recurrencia, fórmulas de, 101. 137, 139, 147, 149, 151, 153,156,158,159 Reducida, cicloide, 42 Regular, Area de un polígono, 6 Regular, polígono, circunscrito a un círculo, Area de, 7 inscrito en un círculo, 7 perímetro de, 6 R iemann función zeta de, 184 Rodrigue, fórmulas de, 146.151.153 Rosa de tras y cuatro pétalos 41 271 INDICE Rotación de coordenadas en el plano, 36 en el espacio, 49 R otor, 120 en coordenadas curvilineas, 125 Schwarr, desigualdad de, (vAase Cauchy-Schwars. desigualdad de) Sector de un círculo, longitud de arco del, 6 Aren del, 6 Segmento de circulo, Area del, 7 Segmento de parábola Area del, 7 longitud de arco del, 7 Semi-rectificada. función de onda senoidal, 172 Seno-integral de, 163 de Fresnel, 164 tabla de valores de. 251 Senos. ley de los. para triángulos planos, 19 ley de los, para triángulos esféricos 19 Separación de variables, 104 Series, aritmétrcas 107 aritmético-geométricas 107 binomiales. 2.106 de Fourier (véase Fourier. series de) de potencias, 110,113 de potencias de enteros positivos, 107,106 de recíprocos de potencias de enteros positivos, 106. 109 de Taylor (vAase Taylor. series de) geométricas. 107 ortegonales (vAase ortogonalidad y series ortogonales) Sierra, función de onda en diente de, 172 Simple. curva cerrada, 123 Simpson, fórmula de, para calcular integrales definidas, 95 Soluciones de Ias ecuaciones algebraicas 32,33 Stirling, series asintóticas de, 102 fórmula de, 102 Stoke. teorema de, 123 Student, distribución t de. 169 valores percentiles de la, 256 Sumas (véase series) Sumatoria, fórmula, de Euler-Mclaurin 109 de Poisson. 109 Superficie. integrales de. 122 relación entra las. y las integrales dobles, 123 Superiores, derivadas, 55 regla de Leibnitzpara las, 55 Tangentes, ley de las. para triángulos planos, 19 ley de las, para triángulos esféricos, 20 Tangentes, vectores, a algunas curvas, 124 Taylor, series de. 110-113 de funciones de dos variables, 113 de funciones de una sola variable, 110 Toro, Ama de la superficie del. 10 volumen del, 10 Toroidales. coordenadas, 129 laplaciano en, 129 Tractris, 43 Transformación. jacohiano de la, 125 de coordenadas, 36.46,49,124 de integrales, 59.60.125 Translación de coordenadas en el plano, 36 en el espacio, 49 Trapecio, Ares del, 5 perímetro del. 5 Trapezoidal, fórmula, para calcular las integrales definidas, 95 Triangular, desigualdad, 165 Triangular, función de onda, 172 Triángulo plano (véase plano, triángulo esférico (véase esférico triángulo) Trigonométricas funciones, ll-29 de ángulos negativos, 14 definición de las. ll de loa diversos cuadrantes reducidas al primer cuadrante, 15 desarrollo en series de las, 111 ejemplos de problemas relacionados con las, 197-199 fórmulas de adición para las, 15 fórmulas generales que contienen, 17 fórmulas del ángulo doble para las, 16 fórmulas del ángulo mitad para las. 16 fórmulas del ángulo múltiplo para las, 16 potencias de, 16 recíprocas (véase recíprocas funciones trigonométricas) relación entre las. y las funciones exponenciales, 24 relación entre las, y las funciones hiperbólicas, 31 relaciones entre las. 12. 15 representación gráfica de las. 14 signos y variaciones de las, 12 suma, diferencia y producto de las, 17 tabla de las. en grados y minutos, 206-211 tabla de las. en radianes, 212-215 tabla de logaritmos de las, 216-221 valores exactos de las, para diversos ángulos 13 Triples, integrales. 122 Trocoide , 42 Tronco de cono circular recto, área da la superficie lateral de, 9 volumen del, 9 Unitaria, función, de Heaviside. 173 Unitaria, normal, auna superficie. 122 Unitarios, vectores, 117 Vectores ley del paralelogramo para. ll6 suma de, 116.117 tangentes, 124 unitarios, 117 Vectorial, fórmulas de análisis 116130 Vectorial, leyes de álgebra 117 Vectorial. notación, 116 Vectorial, producto, 118 Volumen, integrales de, 122 Vector nulo, 116 Vectores, 116 adición de, 116.117 componentes de. 117 definiciones fundamentales relativas a los. 116, 117 igualdad entre dos. 117 multiplicación de. por escalares, 117 números complejos representados como, 22 Walli, producto de, 166 Weber, función de, 136 Zeta, función de Riemann. 164 El objetivo de este manual es presentar un conjunto de fórmulas y tablas matem&as. que seguramente serán de gran valor para los estudiantes e investigadores en materias como matem&cas, física, ingeniería y otras. l .” : Los temas tratados oscilan desde los elementales hasta los avanzados. j Entre los temas’elementales figuran el álgebra, la geometrí?, la trigopometría, la geometría analítica y el cálculo. Entre, los teríks avanzados figuran las ecUaciones diferenciales, el a’n~lisis vectorial, las ser¡& de Fourier, las funciones gama i beta, las funcionés de Bessel y de Legrende, las transformadas de lapIa& y Fourier, las funciones elípticas y algunas otra~,furiciones especiales ,--_, _ importantes. ,-. .*-’ i _, .. *’ Este manual está dividido en dos pati,es..&incipales: en ‘la primera están contenidas las fórmulás matemáticas al tikmpo que se tratan otros asuntos, tales como definiciones, teoremas, gráficas, diagramas, etc., que son-esiQ crales para. la correcta comprensión y aplicación de l a s ‘ - - - - - - . ._ ‘. Nd.” ‘-“g,, fórmulàs:. Lä se@Na, parte’contiene tablas numéricas, tales como los valor&& las funciones elementales (trigonom&t&as, logarítmica,sl,,,exponenciales, hiperbólicas, etc.). ., _ y.: ‘> p.: l l al ,. ‘: ‘, l McGraw-Hil1Interarner~~~n.u Editores, S.A. de C.V. ASubdimyof%McGrmv.H~Cm~ti gif .,. :

Log In

Manual de Formulas y Tablas Matematicas

Related papers

Related papers