APRENDER MAS PARA E“TAR EN ONDAS Si buscas resultados distintos, no hagas siempre lo mismo. http://www.youtube.com/watch?feature=endscreen&NR=1&v=yVkdfJ9PkRQ MAS ¿Qué es un MAS? ¿ Por qué se llama Armónico?¿Simple? ¿Cómo identificar qué un movimiento es MAS? ¿Por qué es importante su estudio? ¿Ejemplos de Aplicación en la vida diaria? ¿ Cuáles son sus ecuaciones en función del tiempo? ¿ De la posición? Física para ingeniería y ciencias Volumen 1 Tercera edición Hans C. Ohanian – John T. Markert • Es un movimiento periódico oscilatorio unidimensional producido por fuerzas recuperadoras. • Conceptos Claves : Periódico o Cíclico Oscilación Fuerza Recuperadora ( Ley de Hooke ) Armónico Simple Elongación Amplitud Posición de Equilibrio Serway 5th edition http://www.youtube.com/watch?v=P-Umre5Np_0&feature=related ANÁLISIS FÍSICO ENERGÉTICO DEL MAS E  K U. 2 K = 1 2 m v , U = 1 2 kx P a r a u n X c u a lq u ie r a E  1 2 m v  1 2 kx 2 P ara 2 X=0  U = 0 E  K m ax  1 2 m v m ax P ara E U 2 X=A  K = 0 m ax  1 2 xA 2 2 ANÁLISIS FÍSICO ENERGÉTICO DEL MAS Física para ingeniería y ciencias Volumen 1 Tercera edición Hans C. Ohanian – John T. Markert Expresiones matemáticas para la aceleración y la velocidad en función de x i) F  m a Aceleración en función de x 2 ii ) F   k x a L e y d e N e w to n L ey de H ooke iii ) a   w x  s e d m lu e g o  2 i )  ii ) iv ) m a   k x  a   1  v) D e w 2  k m k x m y iii)  w  k m 2 1  Expresiones matemáticas para la aceleración y la velocidad en función de x Velocidad en función de x • Verificar a partir de la energía que: v  w A 2  x 2 • D ue el pe íodo pa a u a asa suspe dido de u eso te de co sta te k vie e dado po : T  2 m k Serway Quinta edicion “Un día es perdido cuando no hemos ayudado a alguien, no hemos aprendido algo, ni hemos sonreído y hecho 2 sonreír a los demás con una huesera”. A .G . Expresiones matemáticas para la posición, velocidad y aceleración en función del t Proyección de un MCU sobre un eje horizontal la Posición A p a r tir d e l tr ià n g u lo d e la f ig u r a i) x = A c o s  ii )   w t iii) R e e m p . ii) e n i) x= A cosw t E n e l c a so m à s g e n e ra l iv ) R e e m p .       Física para ingeniería y ciencias Volumen 1 Tercera edición Hans C. Ohanian – John T. Markert x t  = A cos  w t    D onde wt    = F a s e d e la o s c ila c io n   C o n s ta n te d e f a s e  D e te r m in http://www.youtube.com/watch?v=Cw9eFeVY74I a e n q u e m o m e n to e l d e s p la z a m ie n to e s m à x im o  Expresiones matemáticas para la posición, velocidad y aceleración en función del t la Velocidad y Aceleración Halle las ecuaciones en función del tiempo para la velocidad y la aceleración utilizando la ecuación para la posición y las expresiones : v  dx dt 2 a = d x dt 2 Física para ingeniería y ciencias Volumen 1 Tercera edición Hans C. Ohanian – John T. Markert Ecuación para la Posición a partir de la segunda ley de Newton : Aplicando a la partícula la segunda ley de Newton en la dirección x i) F  m a ii ) F   k x iii ) a  2 d x dt 2 iv ) R e e m p . ii ) y iii ) e n i )   kx  d x  w x  d x 2 d x m dt 2 d x dt 2 2 2 2 D onde w = 2 dt 2 2 dt 2   k x m  w x  0 2 k m La siguiente función coseno es una solución: x  t   A cos  w t    EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1. Un resorte se estira 3.90 cm cuando una masa de 10.0 g se cuelga de él. Posteriormente, se estira 10.0 cm de su posición de equilibrio, oscilando con MAS. a) Halle el período y la frecuencia de oscilación del resorte. b) Halle la constante de fase y las ecuaciones del movimiento en función de t. c) Vmax, amax d) Para t = T/4 x=? V=? a=? Serway 5a edición Aplicaciones del MAS Péndulo Simple   Masa suspendida de un hilo, considerado de masa despreciable, que oscila a partir de una posición de equilibrio. T  2 http://www.youtube.com/watch?v=vg 4WvvuOPw0&NR=1&feature=fvwp L g  10  T  2 L g Aplicaciones del MAS Péndulo Físico Un péndulo físico o péndulo compuesto es cualquier cuerpo rígido que pueda oscilar libremente en el campo gravitatorio alrededor de un eje horizontal fijo, que no pasa por su centro de masa. T  2 I m gd Aplicaciones del MAS Péndulo de Torsión El péndulo de torsión consiste en un hilo o alambre de sección recta circular suspendido verticalmente, con su extremo superior fijo y de cuyo extremo inferior se cuelga un cuerpo de momento de inercia I conocido o fácil de calcular (disco o cilindro). T  2 k : Constante de Torsión I: Momento de Inercia I k EJERCICIOS DE APLICACIÓN Determine la frecuencia de vibración del sistema, suponiendo que este describe oscilaciones de pequeña la amplitud. f= � � R/ � = Serway 6th edition � +�ℎ2 2 A= Serway 6th edition �� �2 2 Oscilaciones amortiguadas y oscilaciones forzadas • En sistemas reales, las fuerzas disipativas, como la fricción están presentes y retardan el movimiento. La energía mecánica del sistema disminuye con el tiempo y se dice que el sistema está amortiguado. Este tipo de fuerza es proporcional a la velocidad y actúa en dirección opuesta al movimiento. R  bv • Donde b es una constante de amortiguamiento. • La fuerza restauradora del sistema es : F   k x iˆ • La segunda ley de Newton se puede escribir como:  • Fx   kx  bv  m a x   kx  bv  m 2 d x dt 2 • Cuando b es pequeña, la solución de la ecuación anterior corresponde a la de un oscilador subamortiguado: � = � � • Cuando b = 0 la fuerza retardadora es cero y el sistema oscila con su frecuencia natural 0. • Cuando b alcanza un valor crítico bc, tal que: bc 2m  0 • El sistema no oscila y se dice que está críticamente amortiguado . Si el medio es tan viscoso que la fuerza retardadora es más grande que la restauradora, el sistema está sobreamortiguado, es decir : b 2m 0 (a) subamortiguados - masa en el aire, (b) sobreamortiguado - masa en el aceite espeso, (c) críticamente amortiguado - la masa de agua Oscilaciones forzadas • Es posible compensar la pérdida de energía en un sistema amortiguado aplicando una fuerza externa que efectúe trabajo positivo y actúe en la dirección del movimiento del oscilador. La amplitud permanece constante si la entrada de energía por ciclo de movimiento es exactamente igual a la energía perdida por causa de la fricción. • Un ejemplo común de un oscilador forzado es un oscilador amortiguado accionado por una fuerza externa que varía de modo periódico de la forma F= F0cos wt, donde w es la frecuencia angular de la fuerza y F0 es una constante. • La segunda ley de Newton queda expresada de la forma: F0 c o s  t  b dx dt  kx  m 2 d x dt 2 • Cuando se alcanza una condición estable la solución de la ecuación anterior tiene la forma: x  A cos  t     D onde F0 A    2 0 m 2   0 k m 2  2  b    m   2 http://www.youtube.com/watch?v=yQ5ucPK2IEI EJEMPLO: Un bloque de 1.5kg de masa, se suspende de un resorte ideal que cuando es sometido a una fuerza de 2.0N se alarga 2.0cm. Se pone a oscilar el bloque y durante su movimiento experimenta una fuerza de fricción del tipo ley de Stokes (f = -b.v), de manera que cuando la rapidez del bloque es de 1.0cm/s, la magnitud de la fuerza referida es 0.2N. Si en el instante inicial el resorte está alargado 10cm por debajo de su posición de equilibrio y el bloque se libera desde el reposo: a) Determine si el sistema descrito anteriormente es sub, crítica o sobreamortiguado. b) Escriba la ecuación de movimiento para dicho sistema. TALLER 1. ) Determine la frecuencia de vibración del sistema, suponiendo que este describe oscilaciones de pequeña amplitud. R/ � = � � 2) Determine la frecuencia de vibración del sistema, suponiendo que este describe oscilaciones de pequeña la amplitud. Ignore la masa de la varilla. R/ � = � +� 3) R/6.62 cm 4) Una masa de 2.20 kg oscila sobre un resorte cuya constante de fuerza y periodo son de 250.0 N/m y 0.615 s, respectivamente. a) ¿Se trata de un sistema amortiguado o no? ¿Cómo lo sabe? Si es amortiguado, calcule la constante de amortiguamiento b. b) ¿El sistema es no amortiguado, subamortiguado, críticamente amortiguado o sobreamortiguado? ¿Cómo lo sabe? R/ a) amortiguado b= 13.3 kg/s b) subamortiguado 5)Un objeto de 50.0 g se mueve en el extremo de un resorte cuya constante de fuerza es k=25.0 N/m. Su desplazamiento inicial es de 0.300 m. Una fuerza amortiguadora Fx= -bvx actúa sobre el objeto, y la amplitud del movimiento disminuye a 0.100 m en 5.00 s. Calcule la constante de amortiguamiento b. R/ 0.022 Kg/s 6) Considere un oscilador amortiguado que oscila horizontalmente. Asuma que la masa es 375 g, la constante del resorte es de 100 N/m y b=0.1 kg/s. (a) ¿Cuánto tiempo le toma al sistema para que la amplitud se reduzca a la mitad de su valor inicial?, (b) ¿cuánto tiempo le toma a la energía mecánica reducirse a la mitad de su valor inicia. R/ a) 5.2 s b) 2.6 s