Topografia II Curvas de Nivel Son líneas que, en un mapa, unen puntos de la misma altitud, por encima o por debajo de una superficie de referencia, que generalmente coincide con la línea del nivel del mar, y tiene el fin de mostrar el relieve de un terreno. Las curvas de nivel son uno de los variados métodos que se utilizan para reflejar la forma tridimensional de la superficie terrestre en un mapa bidimensional. En los modernos mapas topográficos es muy frecuente su utilización, ya que proporcionan información cuantitativa sobre el relieve. Sin embargo, a menudo se combinan con métodos más cualitativos como el colorear zonas o sombrear colinas para facilitar la lectura del mapa. Los mapas comunes muestran sólo dos dimensiones, longitud y ancho. Se emplean diversos dispositivos para indicar la tercera dimensión o diferencia relativa en la elevación, pero el método más práctico es el uso de curvas de nivel, con frecuencia, las diferencias en la elevación de un terreno se pueden comprender mejor al inspeccionar un mapa con curvas de nivel que al inspeccionar el terreno mismo. Una curva de nivel es una línea dibujada en un mapa o plano que conecta todos los puntos que tienen la misma altura con respecto a un plano de referencia. El plano de referencia es el plano de referencia de cola conocida, y en muchos mapas es el nivel medio del mar. La distancia vertical por encima del plano de referencia de cola conocida es la elevación, nivel o cota. Intervalos entre curvas de Nivel Un intervalo entre curvas de nivel es las distancia vertical entro dos curvas de nivel. Al disminuir el intervalo en un mapa se aumentara el número de curvas de nivel en el mismo. La selección del intervalo entre curvas de nivel dependerá de diversos factores: El propósito para el que se va a utilizar el mapa, la escala del dibujo, lo agreste del terreno y el costo para obtener los datos requeridos para gradear las curvas de nivel. En mapas de pequeña escala se utilizan con frecuencia intervalos de 50 y 100 metros. Sin embargo, para planos de terrenos donde se requiere una información más detallada se emplean comúnmente intervalos de 5, 2, y O.50 m. Para terrenos de construcción se recomienda intervalos de 0.50 m. De manera general el intervalo entre curvas de nivel depende de: la precisión deseada, los rasgos del terreno, la legibilidad del plano y el costo. Cuando se ha decidido el intervalo entre curvas de nivel se debe mantener el mismo intervalo en todo el dibujo; con frecuencia, más de un intervalo en un dibujo lleva a errores de interpretación. Cuando ciertos detalles requieren más información de la que ofrecen las curvas de nivel mostradas, algunas veces se dibujan curvas de nivel intermedias entre las mostradas, algunas veces se dibujan curvas de nivel intermedias entre las normales; se deben dibujar con una línea muy delgada o de puntos y sólo se deben extender hasta donde lo requieran los detalles. Cuanto más empinada sea la pendiente, más próximas entre sí aparecerán las curvas de nivel en cualquier intervalo de curvas o escala del mapa. De este modo, los mapas con curvas de nivel proporcionan una impresión gráfica de la forma, inclinación y altitud del terreno. Las curvas de nivel pueden construirse interpolando una serie de puntos de altitud conocida o a partir de la medición en el terreno, utilizando la técnica de la nivelación. Sin embargo, los mapas de curvas de nivel más modernos se realizan utilizando la fotogrametría aérea, ciencia desarrollada para obtener medidas reales a partir de fotografías, tanto terrestres como aéreas, para realizar 1 Ing. Sergio Navarro Hudiel UNI -Norte Enero 2008 Topografia II mapas topográficos, mediciones y otras aplicaciones geográficas. Normalmente se utilizan fotografías tomadas por una cámara especial situada en un avión o en un satélite. Es conveniente saber otras características del terreno que podamos determinar a través de las curvas de nivel: Vaguada: Es la línea que demarca la depresión en el terreno por donde van las aguas de corrientes naturales las curvas son convexas a las corrientes. Divisoria: Es la línea que demarca una elevación en el terreno y a la vez sirve para dividir el curso de las aguas. Collado: tierra que se levanta como cerro o depresión suave por donde se pueda pasar fácilmente de un lado a otro. Se conoce también como punto de silla pues en un sentido es el punto máximo y en otro el punto mínimo. Existe una relación entre la equidistancia, escala del plano, pendiente del terreno y separación entre las curvas de nivel. La pendiente entre dos curvas de nivel será igual a = P =e/(S * M) donde, P: pendiente en terreno. e: Equidistancia (Esta es vertical y no horizontal) S: separación entre curvas de nivel en el terreno. M: Denominador de escala en el plano Por tanto la equidistancia = e = S *M *P Ejemplo. Se quiere hacer un plano a escala 1:10000 de una zona con pendientes promedio de 25%. Si se desea que la separación entre las curvas de nivel sea de 0.002 m. Calcule la equidistancia que debe emplearse. e = S *M *P e = 0.002 * 10000 * 0.25 = 5 m. Significado de las curvas de nivel Las curvas de nivel de un mapa revelan características definidas del terreno. Un conocimiento de estas características y su significado es esencial para su interpretación. 1.- Curvas de nivel muy cercanas en las elevaciones más altas, con mayor espaciamiento en los niveles bajos, indican una pendiente cóncava. Cuando el espaciamiento es grande en la parte alta de una pendiente y cercano en la parte inferior la pendiente es convexa. 2.- Curvas uniformemente espaciadas indica una pendiente uniforme. En una superficie plana las curvas son rectas, espaciadas regularmente y paralelas. 3.- Toda curva de nivel es una línea continua que se cierra, en alguna parte de la superficie del terreno, aunque no necesariamente dentro de los límites de un dibujo. Una curva de nivel no se pude interrumpir dentro de los límites de un dibujo. Debe ser una curva cerrada, o si entra en el límite de un dibujo, debe salir en algún otro punto de los límites. 2 Ing. Sergio Navarro Hudiel UNI -Norte Enero 2008 Topografia II 4.- Una curva cerrada rodeada por otras indica una cima o una depresión; se indica por las cifras en las curvas. 5.- Las curvas de nivel nunca se cruzan, excepto en una condición, ya que eso indicaría que un punto tiene dos elevaciones diferentes. La excepción es un acantilado vertical o sobre volado. Las curvas de nivel pueden aparecer como que coinciden en una excavación vertical o en los edificios. 6.- Las curvas de nivel son perpendiculares a las líneas de pendientes máximas. 7.- Cuando una curva de nivel cruza un río o un arroyo, primero se curva contra la corriente, la cruza en ángulo recto (la línea de la corriente es la máxima pendiente) y entonces se curva corriente abajo. 8.Las curvas de nivel más altas a lo largo de riscos, y las más bajas en valles siempre van parejas. 9.- Una curva de nivel nunca se bifurca, una bifurcación sólo puede ocurrir cuando el borde de un risco o valle coincide exactamente con una curva de nivel Por supuesto, esta condición no ocurre en la naturaleza. Graficado de curvas de Nivel El mejor método para graficar curvas de nivel para áreas relativamente pequeñas, como terrenos para construcción, se conoce como el método de secciones transversales o emparrillado. Por medio de un tránsito y de una cinta se divide primero el terreno en una serie de cuadrados que se llaman retícula. Con objeto de identificar puntos específicos de la parcela, las líneas horizontales de la retícula se denomina A, B, C, D, y E. Las líneas verticales se numeran del 1 al 7, inclusive. Como por ejemplo, con esto, sistema de notación el centro de esta parcela se identifica como C-4. Las esquinas de los cuadrados de la retícula se marean con estacas temporales; se toma la elevación o nivel del terreno en estos puntos y se indica en el plano. El desnivel del terreno y el propósito para el que se va a utilizar el mapa de curvas de nivel determina el tamaño de los cuadros de la retícula que varía de 3 a 30 metros. Una vez trazada la retícula y marcados los niveles en las esquinas de los cuadros, nuestra siguiente tarea es dibujar las curvas de nivel. Se puede hacer gráficamente siendo el principio fundamental la división de una línea en un número cualquiera de partes iguales por medio de una regla graduada. Se usa cualquier escala conveniente, el propósito es encontrar los puntos de intersección de las curvas de nivel, con las líneas de la retícula. Se colocan las escalas junto al cuadrado y en la figura se indica el procedimiento para encontrar los puntos. Sin embargo, no es necesaria una gran exactitud y el topógrafo experimentado hace las interpolaciones mentalmente. Cuando se han determinado los puntos de la curva de nivel en todas las líneas de la retícula se 3 Ing. Sergio Navarro Hudiel UNI -Norte Enero 2008 Topografia II dibujan las curvas con líneas continuas. Principales características y propiedades de las curvas de nivel 1.- Todos los puntos de una curva de nivel tienen la misma elevación o cota. 2.Todas las curvas de nivel a la misma distancia entre si, indican una pendiente uniforme. Si están separadas desigualmente, no indican pendientes uniformes. Las curvas de nivel más separadas indican en esa porción menos pendiente. Cuando están más próximas indican mayor pendiente. 3.- Generalmente las curvas de nivel no se cortan y si lo hacen indican una anomalía. 4.- Si las curvas de nivel se confunden en una, indica que, esa parte, está vertical. 5.- Las curvas de nivel se cierran alrededor de una cima o punto elevado y se van anchando a medida que tienen nuevas y menores elevaciones y se van estrechando mientras mayor es la elevación, hasta que pueden confundirse en un punto las curvas de nivel se cierran en sí mismas, aunque en el dibujo no aparezcan de esa forma. 6.Las curvas de nivel son normales a las líneas de máxima pendiente, tanto en los lomos o parte convexa como en las aguadas o parte deprimida en forma de canal. 7.- La equidistancia o intervalo b entre las curvas de nivel debe ser constante en todo el plano topográfico. Si se usare otra en el mismo plano, se harán punteadas las curvas y haciendo la observación de que se ha usado otra equidistancia "b". 8.En todo dibujo topográfico con curvas de nivel, se indicara la elevación de cada una rompiendo la curva o interrumpiéndola para señalar la elevación por medio de un número o valor numérico. 9.- Para facilitar la lectura o para localizar rápidamente un punto de cierta elevación, se harán las curvas de nivel más gruesas en aquellas que sean múltiplos de 10, por ejemplo: Si b=5 en 10, 20, 30, 40, etc. Si b=25 en 50, 100, 150, 200. etc. 10.- El color más indicado para dibujar las curvas de nivel en planos o dibujos hechos a colores es el de siena quemada; cuando el plano o dibujo no es hecho a colores se usa la tinta negra. Ejemplos prácticos de curvas de nivel Aunque ya se han definido las curvas de nivel, requieren de mayor discusión sus usos y características, así como sus métodos de trazo. Un intervalo entre curvas de nivel es la distancia vertical comprendida entre los planos horizontales que pasan por dos curvas de nivel sucesivas. En un mapa dado no se debe cambiar el intervalo entre curvas. Se acostumbra dibujar cada 5 curvas de nivel, la quinta curva con línea más gruesa que las que representan a las curvas intermedias. Si se extiende lo suficiente, cada curva de nivel resulta ser una curva cerrada. En los arroyos y ríos, las curvas de nivel forman una especie de V con el vértice apuntando en la dirección de las aguas arriba. Cuando las curvas de nivel muestran separación uniforme es que las pendientes del terreno varían uniformemente, y si están abiertas significa que las pendientes son suaves, mientras que si aparecen muy próximas, quiere decir que las pendientes son muy fuertes o escarpadas. Las posiciones de puntos situados sobre las curvas de nivel se determinan por interpolación. 4 Ing. Sergio Navarro Hudiel UNI -Norte Enero 2008 Topografia II EJEMPLO 1: En la figura se determinaron las posiciones y elevaciones de siete puntos de control, y se trazaron las curvas de nivel bajo la suposición de que la pendiente de la superficie del terreno es uniforme entre la estación A y las seis estaciones adyacentes. Para trazar las curvas de nivel, se adoptó un intervalo entre curvas, de 10', y las posiciones de los puntos de intersección de las curvas de nivel con las líneas rectas que resultan de unir el punto A con los seis puntos adyacentes, se calcularon como sigue: La distancia horizontal entre las estaciones A y B es 740'. La diferencia de elevación entre esas estaciones es 61'. La diferencia de elevación entre la estación A y la curva de nivel 300 es 9'; por tanto. La curva de nivel 300 cruza a la línea AB a una distancia de la estación A de 9/61 de 740, o sea de 109.1'. La curva de nivel 290 cruza a la línea AB a una distancia de la curva de nivel 300 de 10/61 de 740, o sea, de 121.3'. Esta distancia de 121.3` entre curvas de nivel es constante a lo largo de la línea AB, y puede propagarse sin hacer más cálculos. De la misma manera pueden interpolarse los puntos en los que cruzan las curvas de nivel a las demás líneas del levantamiento. Después de terminar con este procedimiento pueden trazarse las distintas curvas de nivel pasando por los puntos de igual elevación, como se indica. EJEMPLO 2 También pueden trazarse las curvas de nivel usando las elevaciones registradas de puntos situados sobre la superficie del terreno, como en la figura. Esta figura muestra un levantamiento de tablero de ajedrez, en el cual se trazan rectas que forman ángulos rectos entre sí, para dividir el área del levantamiento en cuadrados de 100 pies de lado, y en el que se han determinado las elevaciones de los vértices de los cuadrados. El intervalo entre curvas de nivel se ha tomado de 2 y se ha supuesto que la pendiente del terreno entre estaciones adyacentes es uniforme. Los puntos en que cruzan las curvas de nivel a las líneas del levantamiento pueden localizarse por el método analítico que se explicó antes para la figura anterior. 5 Ing. Sergio Navarro Hudiel UNI -Norte Enero 2008 Topografia II También pueden encontrarse los puntos de intersección de las curvas de nivel con las líneas del levantamiento construyendo un perfil de cada línea del levantamiento como se muestra para la línea de 1 de la fig. 10 (b). Se trazan luego líneas horizontales en las elevaciones a las que se desea mostrar curvas desnivel. Los puntos en los que la línea del perfil intercepta a estas líneas horizontales indican las elevaciones de puntos en los que las curvas de nivel correspondientes cruzan a la línea 1 del levantamiento, y por lo tanto, pueden proyectarse hada arriba, como se indica, para localizar dichos puntos. Es obvio que puede construirse el perfil de cualquier línea a partir de un mapa de configuración, invirtiendo el procedimiento que se acaba de describir. EJEMPLO 3 Los mapas desempeñan una función importante para lodos los que proyectan el trazo de lotes y calles. Por ejemplo, la fig. (a) muestra un trazo original de esos caracteres para una nueva área residencial. El examen de las curvas de nivel indica que este trazo no es satisfactorio, ya que las direcciones de las calles no se adaptan a las pendientes naturales del terreno. Las calles deben disponerse de manera que pueda comenzar a hacerse la subdivisión desde un punto bajo, y que el máximo de los lotes queden arriba del nivel de la calle. El trazo que aparece en (b) es una mejora decidida, que se refleja en que las calles toman ciertas curvas para adaptarse a la topografía, y la entrada al área se encuentra en un punto bajo. EJEMPLO 4 6 Ing. Sergio Navarro Hudiel UNI -Norte Enero 2008 Topografia II Cuando se contempla un proyecto de construcción por realizar en un área en particular, debe situarse la construcción en la forma más ventajosa posible, adaptándola a la topografía del área. Aunque sean muchos dibujos, tal vez centenares de ellos, los que forme el juego completo de dibujos de detalle para un puente grande, uno de los primeros dibujos más importantes es el arreglo general en planta y en elevación, trazado en forma de un diagrama de línea. Como ejemplo, la Figura muestra la planta y la elevación de la estructura de un puente grande. 7 Ing. Sergio Navarro Hudiel UNI -Norte Enero 2008 Topografia II EJEMPLO 5 Las curvas de nivel permiten obtener el perfil y la pendiente del terreno sin la necesidad de ir al campo. Para la pendiente basta con tener la longitud (tomado del plano convertido a longitud real) y la diferencia de elevaciones (desnivel) de las curvas. La pendiente = Desnivel / longitud. Este desnivel es la variación (ΔH) Para el perfil se realiza proyecciones perpendiculares a la línea de la cual deseamos conocer su perfil; luego se asume una escala adecuada para colocar las elevaciones con sus respectivas estaciones. Vea el ejemplo. De las curvas se pude obtener el perfil de la línea AE Interpolación de Curvas de Nivel: Es la manera de encontrar las curvas de Nivel que se encuentran entre dos Puntos con cotas o elevaciones conocidas, por supuesto a partir de los datos levantados en el campo por el topografo o ingeniero. Dos de los métodos mas usados son: Método Matemático Método Escuadra y Escalímetro. Método Matemático : Tomando dos puntos del plano con elevaciones conocidas, la distancia a la que se encuentra la cota buscada estará dada por la ecuación obtenida de relaciones de triángulos la que se expresa de la siguiente manera: D= ? – cm *d (CM-cm) 8 Ing. Sergio Navarro Hudiel UNI -Norte Enero 2008 Topografia II Donde: D: Es la distancia medida desde la cota menor (En el papel). CM: Cota mayor cm: Cota Mayor d: Distancia real (Equivalente a la medida en el papel) ?: Cota buscada Por ejemplo en la cuadricula de 5 cm. por 5 cm., que representa una cuadricula de 10 por 10 m hecha a escala 1:200, se necesita interpolar la curva 99.50 el procedimiento de cálculo será: Distancia = [(99.50 – 99.33)/ (99.73 – 99.33) ] * 5 = 2.1 cm. * 2.1 cm. es la distancia a la que pasa la curva desde el vértice de elevación 99.33. Escala y Escalímetro: Restar las elevaciones de los puntos de la cuadricula, luego esta se mide en cualquier escala, completando posteriormente las curvas a la escala determinada previamente. Vea el ejemplo en el cual los 0.40 metros se distribuyeron equitativamente en una escala. La diferencia de elevaciones es 99.73 – 99.33 = 0.40 m 9 Ing. Sergio Navarro Hudiel UNI -Norte Enero 2008 Topografia II Movimiento de tierra Este concepto incluye todas las operaciones de desmonte (descapote), excavación de la carretera y drenaje, excavación para obras mayores y menores, terraplenas, materiales de préstamo, transporte, escarificación y todos los trabajos de preparación de cimientos para cualquier estructura. Sin duda alguna el movimiento de tierra en cualquier proyecto es el más importante y el que requiere un mayor esfuerzo por parte de los ingenieros el cual se reflejara en las actividades de equipos y trabajadores. Algunas de las propiedades físicas más importantes en los movimientos de tierra son el abundamiento y enjuntamiento. El abundamiento es el porcentaje de volumen original que se incrementa a volumen suelto, en cambio, el enjuntamiento es el porcentaje del volumen original que disminuye a volumen compacto. Algunos factores promedios son: Tipo se Suelo Arena Tierra común Arcilla Roca Estado natural 1 1 1 1 Abundado 1.11 1.25 1.43 1.15 – 1.25 Compacto 0.95 0.90 0.90 - El cálculo de volúmenes se hace a partir del área de las secciones transversales por ello se vera algunos métodos para el cálculo de las mismas: Método geométrico para el cálculo de secciones transversales Este método es aplicado cuando el terreno es uniforme. Básicamente se aplica la geometría elemental y las formulas de áreas básicas de triángulos (1/2 b h), rectángulos (b h) y trapecios (1/2 h (b + B)). Caso 1 Cuando el terreno es uniforme A = ½ d ( (b + 2zd) + b) A = zd2 + bd donde, d: es la profundidad de corte b: ancho de la base z: pendiente de taludes Caso 2 una sección de tres niveles A = ½ [b/2 (h1 + h2) + d (x1 + x2)] veamos esta formula en un ejemplo. 10 Ing. Sergio Navarro Hudiel UNI -Norte Enero 2008 Topografia II A = ½ [6.60/2 (-2.04 + -3.480 )+ -2.46 (7.38 +10.26)] A = -30.805 m2. (El signo – indica que el área es de relleno) Caso 3 una sección de cinco niveles A = ½ [DI FI + B HC + DB FD] Por ejemplo. Determinar volumen a partir de datos mostrados. Estación HI FI C FD HD +2.16 +3.93 +2.88 +4.32 +1.08 1+ 100 8.40 3 0 3 5.67 Área = ½ [ 8.4 (3.93) + 6 (2.88) + 5.67 (4.32)] A= 37.393 m2 Método de las coordenadas para el cálculo de áreas Utilizado para múltiples niveles. Este principio es el mismo que se uso en las poligonales. Se disponen las coordenadas x, y (Estaciones, Elevaciones) y se aplica la formula Área = (ΣXY – ΣYX)/2. Se puede iniciar por cualquier punto, recuerde que las coordenadas del punto inicial son iguales que las del punto final. La dispocision de las coordenadas deberá ser de la siguiente manera: Xa/ Ya Xb/Yb Xc/Yc … Por ejemplo calcule el área de una sección a partir de los datos mostrados (Longitudes en metros). Xa = Xb = Xc = Xd = Xe = Xf = 0 5 8 15 12 8 Ya = Yb = Yc = Yd = Ye = Yf = 7 6 4 5 0 0 11 Ing. Sergio Navarro Hudiel UNI -Norte Enero 2008 Topografia II Xg = 4 Yg = 0 Disponemos las coordenadas de la siguiente manera: 0/7 5/6 8/4 15/5 12/0 8/0 4/0 0/7 * Note que le primer valor es igual al ultimo. Luego realizamos la suma XY y luego YX ΣXY = (0*6) + (5*4) + (8*5) + (15*0) + (12*0) + (8*0) + (4 *7) = 88 m2 ΣYX = (7*5) + (6*8) + (4*15) + (5*12) + (0*8) + (0*4) + (0 *0) = 203 m2 A = (203 -880)/2 = 57.5 m2 * Otro método rápido para el cálculo de áreas es el método grafico el cual consiste en graficar a escala la sección en un papel cuadriculado, luego contar la cantidad de cuadros que haya en la sección y determinar el área total. Calculo de volúmenes El cálculo de volúmenes de tierra básicamente se basa en problemas de la geometría sólida: estos volúmenes se determinan básicamente por uno de los siguientes métodos: Método del promedio de áreas extremas Método del prismoide Método de las curvas de nivel Método del promedio de áreas extremas (Áreas medias): Este método se fundamenta en que el volumen entre dos secciones transversales consecutivas es la media del área de ambas multiplicada por la distancia que las separa. Este método da buenos resultados cuando las secciones son aproximadamente iguales pues el error incrementa cuando hay mucha variación en el tamaño. Se usa en áreas de cualquier forma, es una de la más usada por su sencillez. Sus resultados están en exceso. V = L/2 (A1 +A2) donde: L: es la distancia entre las secciones en metros, la cual es perpendicular a ambas (prisma recto). A1, A2: son las áreas de las secciones transversal y son paralelas entre si. Expresado en metros cuadrados. V: es el volumen entre las secciones. Expresado en metros cúbicos. Cuando una de las secciones transversales es cero, la figura geométrica se convierte en una pirámide cuyo volumen será: V = 1/3 (A) (l). En dependencia de la posición de la rasante y la topografía del terreno se pueden presentar en la practica los siguientes casos: Caso 1: Las dos secciones en corte o relleno. 12 Ing. Sergio Navarro Hudiel UNI -Norte Enero 2008 Topografia II Si esta en corte o relleno el volumen será: Vc = (A1+A2)/2 * L VR = (A1+A2)/2 * L Caso 2: Una sección en corte y otra en relleno o viceversa. VR = ½ L AR2 / (AR + AC) ; VC = ½ L AR2 / (AR + AC) VR: Volumen de relleno VC: Volumen de corte AR: Área de relleno AC: Área de corte L : Longitud (m) donde: Existen casos donde se deben de combinar ambos casos, por ejemplo dentro de una misma sección puede haber cortes y rellenos. Recuerde que los cálculos de volúmenes y la práctica misma dependen de las habilidades del ingeniero. Método del prismoide: un prismoide se define como un sólido que tiene dos caras planas y paralelas, de forma regular o irregular, unidas por superficies planas o alabeadas, en las que se pueda trazar recta desde una hasta la otra cara paralela. Este método es muy preciso y por ello se usa en trabajos de materiales costosos como el concreto colocado en el sitio. V = 1/6 (A1 + 4 AM + A2) donde; V: Volumen en unidades cúbicas. A1, A2: Áreas de las secciones extremas unidades cuadradas. AM: Área de la sección localizada a la mitad de la distancia entre las secciones extremas en unidades cuadradas. Esta se obtiene primero dibujando la sección media a partir del promedio de las 13 Ing. Sergio Navarro Hudiel UNI -Norte Enero 2008 Topografia II dimensiones de las secciones extremas y luego calculando el área. (No se hace promediando el área de las secciones extremas). L: Distancia perpendicular entre las áreas extremas medida en unidades lineales. Método de las curvas de nivel Estos volúmenes se obtienen a partir de mapas topográficos. La precisión de este método depende principalmente de la diferencia de nivel entre las curvas, por tanto, a menor separación de curvas mayor precisión. La formula se basa en el método del prismoide y se considera un sólido formado por planos entre curvas en una serie de prismoides. El volumen se calcula por la formula: V = e/3 (A1 + 4 Am + A2) donde, V: Volumen entres las curvas de nivel A1 y A2. A1,A2: Área de las curvas de nivel 1 y 2. e: Equidistancia entre curvas Am: Área media entre A1 y A2 Por ejemplo a partir de las curvas mostrada se pide determinar el volumen explotable sabiendo que la curva mas alta es 35.5 m. A partir de un planímetro o Autocad se sabe que: El área limitada por la curva 10 es 10,000 m2 El área limitada por la curva 20 es 8,000 m2 El área limitada por la curva 30 es 5,000 m2 El volumen del prismoide será: V= 10/3 (10000+4(8000)+5000) 14 Ing. Sergio Navarro Hudiel UNI -Norte Enero 2008 Topografia II V= 156,666.67 m3 Pero para la aparte de la colina situada por encima de la curva 30 no esta comprendida en los cálculos. Su volumen se aproximara por medio del sólido geométrico más cercano que se calcula por separado y casi siempre es un cono o una pirámide cuyo volumen esta dado por: V=1\3 Ab. H V= Volumen entre la curva 30 y la elevación 35.5. Ab= Área de la curva de nivel de la base de la pirámide. h= Diferencia entre la curva de nivel base y la elevación mas alta. Para nuestro caso: Ab=5000 m2 h =35.5-30=5.5m V=1\38*5000*5.5=9,166.67m3 Entonces el volumen total explotable será: VT=V10 – 30 + V30 –35.5 =156,666.67 + 9,166.67 = 165,833.34m3 Observación: Al mismo tiempo esta formula puede ser utilizada para el caso de calculo de volúmenes de terraplén o volúmenes de vasos de almacenamiento como en caso de una presa. TERRRAZAS DE CONSTRUCCION. Las terrazas de construcción son explanadas o razantes que se formen por medios mecánicos y que sirven de cimientos para obras principales de tipo superficial. El calculo del movimiento se hace de la misma manera como se calcula en la cubicación por cuadricula (método de las alturas promedio). 15 Ing. Sergio Navarro Hudiel UNI -Norte Enero 2008 Topografia II El procedimiento consiste en: Elaborar planos con curvas de nivel del área de trabajo. Cuadricular los lotes. Nivelar y calcular las elevaciones de los vértices. Definir las elevaciones de la terraza. Conformar el material para obtener la terraza fijada. Veamos un ejemplo: Calcular el volumen de tierra que se necesita remover en una terraza en la cual se construirá una cancha de juegos cuyo nivel de partida será el vértice E, considere las pendientes indicadas. Cuadriculas de 10 x 10 m. Vértice A B C D E F G H Cota 95.75 96.80 97.18 98.80 95.75 97 95.58 96.44 La variación de las pendientes será: De N- S = 0.40 m De E-W = 0.2 n Esto es igual que el calculo de elevaciones en tendido de tuberías. De modo que las elevaciones de rasante deseadas serán: 16 Ing. Sergio Navarro Hudiel UNI -Norte Enero 2008 Topografia II Las alturas de corte y relleno (Diferencia entre la rasante necesitada y actual) serán: Bajo lo anterior explicado demuestre que: Cuadricula I XR = 4.8 m YR = 3.48 m AR = 8.352 m2 R = 0.6/3 = 0.2 m. 17 Ing. Sergio Navarro Hudiel UNI -Norte Enero 2008 Topografia II VR = 1.77 m3 Ac = 191.648 m2 C = 0.0.7 m Vc = 134.156 m3 Cuadricula II Ac = 200 m2 C = 0.833 m Vc = 166.6 m3 Cuadricula III XR = 4.71 m YR = 5.08 m AR = 11.963 m2 R = 0.323 m VR = 3.864 m3 Ac = 188.037 m2 TERMINELO…. 18 Ing. Sergio Navarro Hudiel UNI -Norte Enero 2008 Topografia II Método de cálculo de movimiento de tierra en obra superficial Cuando se trata de encontrar el volumen a gran escala como en obras de depósitos de agua, canchas, etc. El trabajo consiste en cubrir el área con una retícula de cuadros y conocer la altura de cada vértice, partiendo de esto se pueden calcular las curvas de nivel y los volúmenes a remover. Una vez conocidas las alturas debemos de calcular la elevación de la rasante de forma que los volúmenes de corte y relleno se compensen. Como obtenemos la elevación de la rasante? Un método es el de las alturas medias el cual consiste en determinar el promedio de todas las alturas por cada cuadricula. Otro método mas preciso es conocido como la media ponderada el cual consiste en determinar la media por cada cuadro y luego la media de todos los cuadros multiplicados por su frecuencia de uso. Para mejor entendimiento veamos este ejemplo: La elevación por el método de las alturas media será un promedio de todas las alturas (en este caso 9). Elevación e (m) = Σ elevaciones/ numero de elevaciones Elevación = (10+11+12+9+8+10+7+6+7)/9 = 8.88 m Por el método de la media ponderada es necesario realizar el método de las alturas medias por cada cuadricula y luego promediar estas. Elevación rasante e (m) = Σ elevaciones promedio de cada cuadro/ numero de cuadros Elevación (cuadro I) = (10+11+9+8)/4 = 9.5 Elevación (cuadro II) = 10.25 Elevación (cuadro III) = (7+6+8+9)/4 = 7.5 Elevación (cuadro IV) = 7.75 Elevación ponderada de rasante = (9.5 +10.25+7.5+7.75)/4 = 8.75 m. Considerando el peso de cada elevación. Elevación de rasante = C elevaciones de cada vértice * peso de cada elevación/ Vpeso de cada elevación. 19 Ing. Sergio Navarro Hudiel UNI -Norte Enero 2008 Topografia II Una vez calculada la rasante y estableciendo los puntos donde hay cortes y rellenos se pueden presentar los siguientes casos en el cálculo de los volúmenes de tierra: Caso I. Todos los vértices en corte o relleno Vc = Ac * C Ac = d1*d2 C = C1 + C2 +C3 + C4 donde, Ac = Área de corte C= Corte promedio Vc = Volumen de corte *Igual si es solo relleno. Caso II. Dos puntos en relleno y dos en corte en igual dirección Los volúmenes de corte y relleno serán: Vc = ½ (X1 + X2) (d1) C ; C = (C1 + C2)/4 X1 = [d2/(R1+C1)] *C1 X2 = [d2/(R2+C2)] * C2 VR = ½ (z1 + z2) (d1) R ; R = (R1 + R2)/4 Z1 = d2-x1 ; Z2 = d2-X2 Caso III. Tres vértices en corte y uno en relleno o viceversa. 20 Ing. Sergio Navarro Hudiel UNI -Norte Enero 2008 Topografia II Por relaciones se puede establecer que: X1 = R1 d1 / (R1 +C3) Y1 = R1 d2/ (R1 + C1) AR = ½ X1 Y1 R = R1 /3 Volumen de relleno= VR = AR * R Área de corte = Ac = Área total - Área de relleno Volumen de corte = Ac * C C = (C1+C2+C3)/5 Caso IV. Dos vértices en corte y dos en diagonal AR1 = ½ X2 X1 AR2 = ½ Y2 Y1 R1 = R1/3 R2 = R2/3 VR1 = AR1 R1 VR2 = AR2 R2 Vtotal = VR1 + VR2 Área de corte = Área total – Área de relleno C = (C1 + C2)/6 Volumen de corte = Vc = Ac C Ejemplo: Calcule el volumen de tierra a mover para una obra superficial dadas las elevaciones de la cuadricula. Las cuadriculas son de 20 m X 20 m. 21 Ing. Sergio Navarro Hudiel UNI -Norte Enero 2008 Topografia II Calculo de elevación de la rasante por media ponderada. Para facilidad de cálculo haremos una tabla Elevación ei Frecuencia o peso Pi eiPi 40.93 1 40.93 43.30 2 86.60 46.10 1 46.10 42.10 2 84.20 43.70 4 174.80 46.10 2 92.20 4320 1 43.20 44.40 2 88.80 43.40 1 43.40 Σ 16 700.23 Frecuencia o peso se refiere a las veces que se usa una elevación. Elevación de rasante = ΣeiPi/ ΣPi = 700.23/16 = 43.76 Las diferencias entre elevaciones y rasante son las que determinan las alturas de corte o de relleno. 22 Ing. Sergio Navarro Hudiel UNI -Norte Enero 2008 Topografia II Luego se calculan los volúmenes de corte y de relleno por cuadro. Cuadricula I Área de relleno = AR = 20 * 20 = 400 m2. Promedio de relleno = R = (2.83 + 0.46 + 1.66 + 0.06)/4 = 1.2525 m. Volumen de relleno = 400 * 1.2525 = 501 m2. Cuadricula II X1 = (20 * 2.34) / (0.06 + 2.34) = 19.50 m. Z1 = 20 – 19.50 = 0.50 m. X2 = (20 * 2..34)/(0.46 + 2.34) = 16.71 m. Z2 = 20 – 16.71 = 3.29 m. Corte promedio = C = (2.34 + 2.34)/4 = 1.17 m. Área de corte = Ac = ½ (19.50 + 16.71) * 20 = 362.10 m2 Volumen de corte = Vc = 362.1 * 1.17 = 423. 657 m3 Relleno promedio = C = (0.06 + 0.46)/4 = 0.13 m. Área de Relleno = Ac = ½ (0.50 + 3.29) * 20 = 37.90 m2 Volumen de corte = Vc = 37.90 * 0.13 = 4.927 m3 Cuadricula III Xc = (20 * 0.64 )/ (0.64 + 0.56) = 10.67 m. Yc = (20 * 0.64)/ (0.64 + 0.06) = 18.29 m. Corte promedio = C = 0.64/3 = 0.21 m Área de corte = ½ (10.67 *+ 18.29) = 97.58 m2 Volumen de corte = Vc = 97.58 *0.21 = 20.49 m3 Área de relleno = Área de cuadro – Área de triangulo 23 Ing. Sergio Navarro Hudiel UNI -Norte Enero 2008 Topografia II AR = 400 – 97.58 = 302.42 m2 Relleno promedio = (1.66 + 0.06 + 0.56)/5 = 0.456 m Volumen de relleno = VR = 302.42 * 0.456 = 137. 90 m3 Cuadricula IV X1 R = (20 *0.06) / (0.06 + 0.64) = 1.71 m. X2 R = (20 *0.06) / (0.06 + 2.34) = 0.50 m A1 R = ½ (1.71 + 0.5) = 0.428 m2 Relleno promedio 1 = R1 = 0.06/3 = 0.02 m. Volumen relleno 1 = VR1 = 0.428 * 0.02 = 0.009 m3 Y1 R = (0.36 * 20) / (0.36 + 2.34) = 2.67 m. Y2 R = (0.36 * 20) / (0.36 + 0.64) = 7.20 m A2 R = ½ (2.67 + 7.20) = 9.612 m2 Relleno promedio 2 = R2 = 0.36/3 = 0.12 m. Volumen relleno 2 = VR2 = 9.612 * 0.12 = 1.153 m3 Área de corte = Área de corte – Suma de las áreas de relleno Ac = 400 – (0.428+9.612) = 389.96 m2 Corte promedio = C = (2.34 + 0.64)/6 = 0.497 m Volumen de corte = Vc = 389.96 * 0.497 = 193. 81 m3v Una tabla resumen seria: Cuadricula Volumen de corte Volumen de relleno Suma m3 (+) m3 (-) algebraica I 0 501 -501 II 423.657 4.927 418.73 III 20.49 137.90 -117.41 IV 193.81 1.162 192. 648 3 Solo se necesitan m 7.032 de relleno Volumen Acumulado (m3) -501 -82.27 -199.68 -7.032 Aplicaciones Otra de las aplicaciones importantes de la topografía es en los bancos de préstamo, pues de alguna manera nos vemos involucrados en la necesidad de explotar un banco por medios mecánicos o explosivotes, y debemos conocer su potencial volumen o el estado de explotación. Para estas aplicaciones es necesaria levantar las cuadriculas antes y después de la explotación, es decir, que habrá una altura o elevación inicial y una final (h = cota Inicial – cota final). El volumen será igual al área por el promedio de las alturas. En el ejemplo se pide calcular el volumen excavado en un banco de préstamo, para ello tenemos los datos de nivelación antes y después de la excavación. Las cuadriculas son de 7.50 X 7.50 m. 24 Ing. Sergio Navarro Hudiel UNI -Norte Enero 2008 Topografia II Podemos calcular la diferencia de elevaciones en cada vértice partiendo de las cuadriculas anteriores. H = h antes excavación – h después de excavación. Como hay alturas de corte que aparecen en varios cuadros conservador usando el método de la media ponderada. Altura (hi) 2.25 1.81 1.67 2.07 1.97 2.23 0.95 es posible determinar un valor Frecuencia o peso hi Pi (Pi) 1 2.25 2 3.62 1 1.67 2 4.14 3 5.91 1 2.23 1 0.95 25 Ing. Sergio Navarro Hudiel UNI -Norte Enero 2008 Topografia II 0.84 Σ 1 12 0.84 21.61 Altura de corte promedio = ΣhiPi/ ΣPi = 21.61/12 = 1.801 m El volumen será = Área de cada cuadro * Numero de cuadros * Altura promedio Volumen total = Vt = (7.5 * 7.5) * 3 ) 1.801 = 303.919 m3 * Podemos obtener mayor precisión en terrenos quebrados utilizando áreas triangulares y no rectangulares. El volumen será igual al área de cada triangulo multiplicada por el promedio sus tres alturas de vértices. V = 1/3 A (a+b+c) a,b,c: son las alturas de los vértices del triangulo. 26 Ing. Sergio Navarro Hudiel UNI -Norte Enero 2008 Topografia II Determinar el volumen de excavación y terraplén a mover para construir la explanada que se muestra, si se conoce que ya se realizaron los trabajos preparatorios incluido el descortezado. El suelo es un material arcillo arenoso con coeficientes de transformación: FSD – ESP = 1,43 y FC – ESP = 1,59 Se desea lograr un movimiento de tierra compensado y trabajar con cuadrículas de 50 x 50 metros y taludes de 1: 0,75 para ambas zonas. La solución de drenaje es la representada en la plataforma o explanada ya emplazada en el terreno. Elabore el cartograma de masas y determine la DMT (distancia media de transportación o acarreo) por el método gráfico. 27 Ing. Sergio Navarro Hudiel UNI -Norte Enero 2008 Topografia II BLA RESUMEN DE VOLUMENES. MÉTODO DE LA CUADRÍCULA Sobredesmonte Esponj. Compactado Cua- Cuad. Talud Total Total Cuad. Talud drado Exc/m3 Exc/m Exc/m3 Exc./m3 Terr./m3 Terr./m 3 3 I 7481.25 522,34 8003,59 11445,13 II 3050,00 49,63 3099,63 4432,47 III 273,94 1,13 275,07 393,35 129,84 0,07 IV 1062,50 9,64 V 5843,75 177,75 6021,50 8610,76 VI 1644,94 1644,94 2352,26 17,56 VII 19,73 19,73 28,21 565,82 VIII 1593,75 13,0 IX 4031,25 137,69 4168,94 5961,58 X 696,83 0,71 697,54 997,48 322,81 3,12 XI 1937,50 22,25 XII 2562,50 54,95 Total 23041,69 889,25 23930,9 34221,24 8192,28 103,03 4 Esponj. Total Total Terr./m3 Terr./m 129,91 1072,14 17,56 565,82 1606,75 325,93 1959,75 2617,75 8295,61 206,56 1704,70 27,92 899,65 2554,73 518,23 3116,00 4162,22 13190,0 Vol a caballero = Vol exc – Vol. terraplén 28 Ing. Sergio Navarro Hudiel UNI -Norte Enero 2008 Topografia II Curvas Verticales Con objetos de que no existen cambios bruscos en la dirección vertical de los vehículos en moviendo en carreteras y ferrocarriles, los segmentos adyacentes que tienen diferentes pendientes se conectan con una curva en un plano vertical, denominado curva vertical. Generalmente la curva vertical es el arco de una parábola, ya que esta se adapta bien al cambio gradual de dirección y permite el cálculo rápido de las elevaciones sobre la curva. Cuando las dos pendientes forman una especie de colina, la curva se llama cresta o cima cuando forma una depresión se llama columpio o vaguada. La pendiente se expresa en porcentaje, así, una pendiente de 1 a 50 equivale al 2% ó 0.02m/m. En la fig. 3.1 (a) y (b) se ilustran curvas verticales en cresta y columpio. Fig. 3.1 Tipos de curvas verticales. P2 y P1 expresada en tanto por uno; es decir m/m en el sistema decimal que utilizamos Todas las distancia en las curvas verticales se miden horizontalmente y todas las coordenadas desde la prolongación de la tangente, a la curva, se miden verticalmente. Cuando la tangente es ascendente en la dirección del cadenamiento, la pendiente es positiva, y cuando la cadena es descendiente, la pendiente es negativa. El diseño de la curvas verticales en cresta y en columpio, es una función de la diferencia algebraica de las pendientes de las tangentes que se intersecan, de la distancia de visibilidad deparada o de rebase, las cuales a su ves son funciones de la velocidad del proyecto de los vehículos y de la altura de visión del conductor sobre la carretera; y del drenaje. Además de estos factores, el diseño de las curvas verticales en columpio, dependen también de las distancias que cubren el has de luz de los faros del vehículos, de la comodidad del viajero y de la apariencia. Los detalles que gobiernan el diseño de las curvas verticales, rebasan al alcance de este texto y pueden consultarse el libros de diseño Geométricos de carreteras Rurales y Urbanas (AASHTO). 29 Ing. Sergio Navarro Hudiel UNI -Norte Enero 2008 Topografia II Únicamente se proyectara curva vertical cuando la diferencia algebraica, entre dos pendiente sea mayor de 0.5% ya que en los casos de diferencia igual o menor de la indicada, el cambio es tan pequeño que en el terreno se pierde durante la construcción. Análisis Geométricos de las Curvas Verticales. Para hacer análisis geométricos, tomaremos el caso de la curva vertical simétrica siguiente: PCV : Punto de comienzo de la curva vertical. PTV : Punto de terminación de la curva vertical. PIV : Punto de intersección vertical de las tangentes. P1, P2 : pendientes de las tangentes de entrada y salida respectivamente. L : Longitud total de la curva vertical: Y : Ordenada del punto P de la curva vertical: V : Ordenada vertical desde la prolongación de la tangente, a un punto P de la curva (V = NP). Ø : Ordenada vertical desde el vértice a la curva. X : Distancia del PCV a un punto P de la curva. La variación de la pendiente de la tangente a la curva, es constante a lo largo de ella, o sea; la segunda derivada de y con respecto a x es una constante. d2 y = k = Constante dx2 Integrando tenemos la primera derivada o la pendiente de la parábola. dy = kx + C dx Cuando x = 0 ; dy = dx P1 de modo que P1 = 0 + C . 30 Ing. Sergio Navarro Hudiel UNI -Norte Enero 2008 Topografia II Cuando X = L ; dy = P2 de modo que P2 = KL + C. dx Así : P2 = KL + P1, por lo que: K = P2 - P1 (Se define como grado de cambio de pendiente en porcentaje por estación) L De manera que: d y = P2 - P1 dx L X + P1 Integrando nuevamente para obtener ”Y” tenemos: Y = P2 - P1 L x2 + P1 x + C1 2 Cuando X = 0, Y = 0 , C1 = 0. Por otro lado tenemos : P1 = Y + V de modo que: Y = P1 x – v X Sustituyendo valores; P1 x – v = P2 - P1 L x2 + P1 x 2 Así tenemos que: V = P2 - P1 2L x2 Podemos prescindir del signo de V, sabiendo que si la curva esta en el columpio, se suma la cota del tangente en el punto considerado, para encontrar el punto correspondiente de la curva y si la curva esta en cresta, se restara Así : V = P2 - P1 2L x2 donde: V = Ordena vertical ala curva de la tangente. 31 Ing. Sergio Navarro Hudiel UNI -Norte Enero 2008 Topografia II La cual es la ecuación de la curva Parabólica y se puede utilizar para calcular las elevaciones si se conocen P2 , P1 , L y la elevación del PCV. El punto mas bajo o mas alto de una curva vertical, es de interés frecuente para el diseño del drenaje. En el punto mas bajo o mas alto, la tangente en la curva vertical es cero. Con la igualación con cero de la primera derivada de Y con respecto a X se obtiene: KX + P1 = 0 X = - P1 K X= Sustituyendo el valor de k nos queda: P1 L P2 - P1 X : es la distancia medida a partir del PCV. Calculo de Curvas Verticales Simétricas. Uno de los métodos para calcular una curva vertical se explica en el siguiente ejemplo: En un ferrocarril, una pendiente de + 0.8% se cruza con otro de -0.4% en la estación 90 + 000 y una elevación de 100.00 m. El cambio máximo de pendiente permitido por estación es de 0.2 (de especificaciones). Se desea proyectar una curva vertical para unir las dos pendientes. La diferencia algebraica entre las pendientes es: 0.9 – (-0.4) = 1.2%. La longitud mínima es entonces de 7.2 – 0.2 = 6 estaciones o sea 120m. Como la curva es simétrica, la longitud a cada lado del vértice es 120 / 2 =60m. La estación del PCV es por lo tanto: Est. PCV = 90+000 – 60 = 89+940m. Y la del PTV: Est: PTV. = 90+000 + 60 = 90+060m. La elevación del PCV es: Elev. PCV = 100 – 60 * 0.008 = 99.52m. Y la del PTV: Elev. PTV = 100 – 60 * 0.004 = 99.76m. Fig. de la curva 32 Ing. Sergio Navarro Hudiel UNI -Norte Enero 2008 Topografia II Calcúlese las elevaciones sobre la tangente de entrada y la tangente de salida en las estaciones cerradas. Recuerde que P1 = tangente de entrada = 0.8%. Así la primera elevación es 20 * 0.008 = 0.16; sumado a la elevación del PCV = 99.52m. resulta 99.68m. Y así mismo se calculan las restantes. Las elevaciones de la tangente aparecen en la tabla 3.1. Calcúlese el valor de v. -0.004 – 0.008 V=______________ x2 2 (120) V= 5 * 10-6 x2 X12 Y como V1 = ________ e L1 X22 y como V2= ________ e L2 Donde: X1 = Distancia medida desde el PCV al punto de la curva que se considere, en la rama izquierda. X2 = Distancia medida desde el PTV al punto de la curva que se considere, en la rama derecha. Entonces: (P2 – P1) L2 .V1 = ___________ ____ X12 2L L1 (P2 –P1) L1 V2 = ___________ ____ X22 2L L2 33 Ing. Sergio Navarro Hudiel UNI -Norte Enero 2008 Topografia II Estas expresiones son generales ya que en el caso de de las curvas simétricas L1 = L2 La elevación de un punto de una curva vertical cualquiera estará dada según la expresión: Elev. X1 = Elev. PCV + P1 x ± V1 Elev. X2 = Elev. PTV + P2 x ± V2 P1 y P2 con su signo respectivo. “V” se suma si la curva es en columpio y se resta, si la curva es en cresta. Para encontrar la posición y elevación del punto mas bajo o mas alto X12 Elev. X1 = Elev. PCV + P1 X - ______ e L1 d Elev: X1 2 X1 ____________ = P1 - ______ e = 0 d X1 2 Fig. 3.3. L1 = Longitud de la rama izquierda de la curva. L2 = Longitud de la rama derecha de la curva. L = L1 + L2 En la figura 3.3. VM es una línea vertical. El punto M no es el punto medio de la línea que une PCV – PTV, ni C es el punto medio de la curva ni el mas bajo de ella, pero se puede comprobar que : VC = CM = e 34 Ing. Sergio Navarro Hudiel UNI -Norte Enero 2008 Topografia II La divergencia vertical entre las tangentes es (P2 estaciones, P1) m. por estación, por lo tanto para las BE= (P2 – P1) L2 Por triángulos semejantes: BE L _____ = ____ MV L1 L L BE = MV ____ = 2 e ____ L1 L1 Despejando el valor de e : (P2 –P1) e = _________ L1 L2 2L Este valor para cada estación par tomando % de PCV a PIV y luego, de PTV a PIV. Estos valores aparecen en la tabla 3.1. Calcúlese las elevaciones de la curva aplicando la corrección de V a las elevaciones sobre la tangente. Ver Tabla 3.1. Est. X V PCV 89+940 0 0 89+960 20 0.02 89+980 40 0.08 PIV 90+000 60 0.18 90+020 40 0.08 90+040 20 0.02 PTV 90+060 0 0 Tabla 3.1 Calculo de curva vertical en cresta Elev. s/t Elev. s/c 99.52 99.52 99.68 99.66 99.84 99.76 100.00 99.82 99.92 99.84pto+alto 99.84 99.82 99.76 99.76 Calcúlese el estacionamiento y la elevación del punto mas alto 0.8 * 120 X = _____________ = 80m 0.8 – (-0.04) Est. Punto mas alto = Est. PCV + X Est. Punto mas alto = 89+940 + 80m 35 Ing. Sergio Navarro Hudiel UNI -Norte Enero 2008 Topografia II Est. Punto mas alto = 90+020 m. Elev. Punto mas alto = 99.84 m. (Ver tabla 3.1) Otro método de calculo de curvas verticales consiste en efectuar las operaciones anteriores, pero conociendo su longitud Calculo de curvas verticales asimétricas. En Casos especiales, las curvas asimétricas constituyen una solución para la exigencia impuesta a las curvas verticales. X1= P1 L12 2e Y SIMILARMENTE X2= P2 L22 2e De los valores probables de x (X1 X2) se tomara el que resulte lógico de acuerdo a los datos del problema. Ejemplo Calcule la curva vertical asimétrica cuyos datos son Est.PIV = 3+142.12m. L1 = 80m. Elev.PIV = 64.14m. P1= -¨4.26% P2= +2.12% Según se ve de los signos de P1 y P2; la curva esta en columpio.En este caso, para la rama de la izquierda, se calculan las cotas de los puntos de la curva según la expresión: Elv. X = Cota PCV- P1 x +V1 Para la rama de la derecha= Elv. X = Cota PTV – P2 x + V2 Calculo de las cotas del PCV y PTV Elev. PCV= elev.PIV +P1L1 Elev. PCV =64.14 +0.0426(80) Elev. PCV =67055 m. Elev. PTV =Elev.PIV +P2L2 Elev. PTV =34014 + 0.0212(40) Elev. PTV =64.99 m. 36 Ing. Sergio Navarro Hudiel UNI -Norte Enero 2008 Topografia II Calculo de las estaciones del PCV y PTV Elev. PCV =Est.PIV – L1 Elev. PCV =3 +142.12 - 80 Elev. PCV =3 + 062.12 m. Elev. PTV = Est.PIV – L1 Elev. PTV = 3 +142.12 + 40 Elev. PTV = 3 + 182.12 m. También tenemos: V2= P2 – P2 2L L2 L2 X12 V2 = -0.0212 - (-0.0426) · 40 2 ( 80+40) 80 X22 V2 =1.329 · 10-4 X22 V2 = P2 – P1 2L L2 L2 X22 V2 = +0.0212 –(-0.0426) · 2( 80 + 40) 80 X22 40 V2 = 5.316·10-4 X22 El calculo de las elevaciones de la curva y la tangente se muestra en la tabla 3.2 ____________________________________________________________ Est. X V Elev. S/t Elev.S/C 3+062.12 0 0 67.55 67.55_ 3+080 17.88 0.04 66.79 66.83_ 3+100 37.88 0.19 65.94 66.13_ 3+120 57088 0.45 65.08 65.53_ 3+140 77.88 0.81 64.23 65.04_ 3+142.12 80-40 0.85 64.14 64.99_ 3+160 22.12 0.26 64.52 64.78_ 3+180 2.12 0.002 64.95 64.95_ 37 Ing. Sergio Navarro Hudiel UNI -Norte Enero 2008 Topografia II 3+182.12 0 0 64.99 64.99_ Calculo de la estación y elevación del punto mas bajo: X1= 0.0426 (80)2 2(0.85) e= 0.0212+0.0426 80 · 40 = 0.85 m. 2(120) X2= 0.0212 · 402 = 19.95m. 2(0.85) = 160.38 m. (no es lógico) Estación del punto mas bajo: Est. P = Est. PTV – P2 X2 = 3+182.12-19.95 = 3+162.17 m. Elevación del punto mas bajo: Elev. S/T = Elev. PVT – P2 X2 = 64.99-0.212·19.95=64.57m Elev.S/C = Elev. S/T +V2 =64.57+0.21=64.70m. Curva vertical que pase por un punto obligado. En muchos casos es necesario pasar la rasante de la vía en la zona e una curva vertical, por un punto P con determinada posición y elevación, como es el caso de cortar la carretera a nivel con una línea férrea. Ver F.3.4 38 Ing. Sergio Navarro Hudiel UNI -Norte Enero 2008 Topografia II Se quiere que la curva vertical simétrica pase por un punto Se sabe que V= (P2 - P1) x2 2L V se conoce ya que la cotas de P y P1 son dadas. V = (Cota P1 – Cota p) V = cota PIV - P1d – cota P Así que; V = P2 - P1 2L x2 = P2 - P1 2L L d2 2 Desarrollando el Binomio: P2 - P1 ( L2 - Ld + d2 ) 2L 4 Multiplicando por L VL = (P2 - P1) L2 - (P2 - P1) dL + (P2 - P1) L2 8 2 2 Igualando a Cero: (P2 - P1) L2 - (P2 - P1) d + 2v L + P2 - P1 d2 = 0 8 2 2 La cual es una ecuación de segundo grado de la forma: A x2 + bx + C = 0 donde : A = (P2 - P1) ; 8 b = - (P2 - P1) d + 2v ; 2 C = (P2 - P1) d2 2 Y se Resuelve por la formula : - b + √ b2 – 4 ac 2a Se toma el valor de L que resulta lógico. 39 Ing. Sergio Navarro Hudiel UNI -Norte Enero 2008 Topografia II Ejemplo: Conocidos los valores de las pendientes de una curva P1 =3% 8 = menos 2 % , la evaluación y la estación del PIV 87.5 Y 1 mas 235m en esta se encuentra un pozo de visita situado en la estación 1 mas 137.2 cuya elevación es de 84.45 m 1) P= menos 2 menos 3 = menos 5 % menos 0.5 % Amerita trazado. Calculo de distancia X. la X= Est. PIV menos Est .P = 1 mas 235 menos 1 menos 1mas 137.2 = 61.8 m. Calculo sobre la elevación sobre la tangente de P Ep = Elev. PIV menos P1 X = 87 menos 0.03 por 61.8 = 85.646 m Calculo de V V = Elev .sobre la tangente menos Elev. Sobre la curva V = 85.646 menos 84.452 V = 1.191 m . Calculo de L Sustituyendo en la ecuación general: Tenemos : V= 0.05 2L P2 - P1 V = __________ X2 2L (L - X) 2 2 40 Ing. Sergio Navarro Hudiel UNI -Norte Enero 2008 Topografia II 2 LV = 0.05 (L2 - XL + X2) 4 Sustituyendo el valor de X 2.388 L = 0.05 ( L - 61.8 L + 3819 .24 ) 4 2 2.388 L = 0.0125 L - 3.09 L + 190.962 2 0.0125 L - 5.478 L + 190.962 = 0 - (-5.478 ) + √ (-5.478)2- 4 (0.0125) (190.962) 2 (0.0125) L = 400 MTS L = 41 Ing. Sergio Navarro Hudiel UNI -Norte Enero 2008 Topografia II RASANTES En los levantamientos longitudinales, principalmente de carreteras se llama rasante la pendiente regular de una línea , tanto si es ascendente, como si es descendente, se expresa generalmente en % . Por ejplo .. una pendiente del 4 % la de una línea que sube o baja , 4 m . en una distancia horizontal de 100 m . También se denomina rasante, una línea fijada sobre el perfil del eje de un camino, existente o en proyecto . TRAZADO DE RASANTE La fijación de la rasante depende principalmente de de la topografía de la zona atravesada por esta pero deben considerar se también otros factores como: Características del alineamiento horizontal. Seguridad Visibilidad Rendimiento de los vehículos pesados con pendiente Velocidad del proyecto Costo de construcción TOPOGRAFIA DEL TERRENO Llano: La altura de la rasante sobre el terreno esta regulada por el drenaje . Ondulado: Se adoptan rasantes onduladas las cuales convienen tanto en razón de operación de los vehículos como por economía. Montañoso: la rasante esta controlada por restricciones y condiciones de la topografía.. La operación de nivelar la rasante es análoga ala nivelación de perfiles longitudinales, Una vez trazada la rasante en el perfil ya dibujado se conoce su cota por cada estación. Para la nivelación de rasante se parte por un punto de cota conocida y se prosigue como puntos de cambio. La lectura de mira que hay que fijar para colocar las estacas en la rasante propuesta, se calcula restando la cota de la rasante de la cota del instrumento. El portamira afloja la estaca y coloca la mira encima , el operador lee la mira e indica la mayor o menor profundidad que hay que clavar la estaca para tener la rasante pedida , el portamira clava la estaca ala profundidad indicada , haciéndose una nueva lectura y así hasta la lectura de mira sea igual que la rasante. Es costumbre señalar la cabeza de la estaca con marcador para indicar que esta en rasante veces se mueve la mira arriba y abajo alo largo de una de las caras de la estaca hasta que la lectura sea la de la rasante y se señala con marcador o con un clavo sobre la altura de un pie , de la mira cuando se toman puntos a cierta distancia por encima o por debajo de la rasante se sigue el mismo procedimiento pero la distancia a la rasante se indica en la estaca directamente sobre una estaca testigo cerca de la primera . El registro se lleva como como en la nivelación de los perfiles longitudinales. 42 Ing. Sergio Navarro Hudiel UNI -Norte Enero 2008 Topografia II La distancia entre puntos que hay que determinar rasante depende de la clase de la obra de que la rasante sea uniforme, de que el perfil sea una curva vertical , en la construcción de vías férreas se toman rasantes a cada 20 o 30 metros en curvas verticales , en calles y en carreteras ( pavimentación y alcantarillado, ) se toman rasantes de cada 20 m . si la pendiente es uniforme y cada 10 m ( y hasta cada 5 m ) si el perfil longitudinal es vertical,. 3.3.1 elementos de diseño de rasante. La pendiente tiene influencia sobre el funcionamiento seguro y económico de los vehículos. La velocidad máxima que pueden desarrollar los vehículos en trayectoria cuya pendiente es fija depende de los tipos de vehículos que se consideren: Pendiente gobernadora Pendiente máxima Longitud critica Pendiente mínima (0.5%) No profundizamos estas ya que están fuera del alcance del texto , y se aborda en otra asignatura , 3.3.3.1.1 Recomendaciones para el trazado de rasantes. 1 _ para poder trazar la rasante es necesario tener el perfil longitudinal del terreno, a escala conveniente de acuerdo al tipo de obra,. 2_ es necesaria ubicar aquellos puntos de altura obligada com. son : A_ ( punto de inicio y final.) ( si fuera necesario ) B _(altura de puentes C_ altura libre en cruce de ferrocarril D_ Altura de alcanzarías E_ cruce de vía o nivel F_ otros puntos de interés 3_ lograr siempre que sea posible, una buena coordinación planta _ perfil. 4_ ubicar cada uno de los puntos verticales en estaciones pares y completas de trazado (facilitara los cálculos y la construcción). 5_ trazar sobre el perfil con trazo fino y suave distintas variantes de rasantes utilizando solo segmentos rectos 6_ comenzando por el inicio del trazado (izquierda a derecha) , obtenga la altura que corresponde a los puntos verticales que de finan la primera tangente y calcule su pendiente 7_ calcule la altura de la rasante de cada estación par 43 Ing. Sergio Navarro Hudiel UNI -Norte Enero 2008 Topografia II 8_ calcule las curvas verticales y dibujarlas en el perfil., coloque sus valores de ordenadas en el plano vertical. 9_ debe procurarse siempre que sea posible como una rasante suave con cambia de pendientes graduales de acuerdo al tipo de vía y tipo de terreno, (tratar de adaptarse lo mayor posible alas líneas generales del relive del terreno). Factores que inciden en la elección de la rasante Tipo de suelo Puntos obligados ala altura. Pendiente máxima. Obras mayores y menores (puentes , alcantarillas ) . Cambios de pendientes: para ajustarse al terreno y facilitar la evacuación de las aguas se recomiendan: a) Cambios de pendiente de (+) a (-) en Excavación. b) Cambios de pendiente de (-) a (+) en terraplén. Debe existir coordinación entre la planta y el perfil. Debe existir compensación entre excavación y terraplén. 44 Ing. Sergio Navarro Hudiel UNI -Norte Enero 2008 Topografia II 3.3.1.2.- Criterios para el trazado de Rasante 2.- Debe evitarse la rasante tipo ”Montaña Rusa” o de depresión escondida ya que ocasionan accidentes en las maniobras de paso. Ocurren cuando la planta es muy recta y la rasante se une al terreno. Fig. 3.8- Rasante tipo Montaña Rusa. 3.- Es muy importante el redondeo de la cimas y depresiones. 4.- deben evitarse las rasantes de “Lomos Roto”. Debe haber separaciones por una línea recta entre dos curvas verticales en un mismo sentido de una longitud mayor de 450m. 5.- En longitudes largas la rasante es preferible proyectarla fuerte en la parte inferior, disminuyéndola cerca de la parte superior mediante pequeños tramos de pendiente mas suave. Fig. 3.10 45 Ing. Sergio Navarro Hudiel UNI -Norte Enero 2008 Topografia II Perfiles, secciones y curvas de nivel. Los datos de campo sirven para dibujarlos en un plano, a determinada escala, los que permiten tener una idea de la topografía del terreno a través de su perfil. El procedimiento de calculo como el de levantamiento es el mismo que el de nivelación donde los datos para dibujar el perfil se obtienen de la lecturas en la estadia. Se denomina perfila a la línea determinada por la intersección del terreno con el plano vertical. Un perfil es una sección vertical del terreno a lo largo de una línea fija. Por ejemplo en el trazado de caminos, tuberías y canales se necesitan las elevaciones de estaciones cada20 m. Estas estaciones pueden ser en puntos de cambio de dirección y/o pendiente. Un perfil puede utilizarse para: Determinación de volúmenes de corte o relleno en obras civiles. Estudio de problemas de secciones transversales. Selección de razantes. Localización y ubicación de tuberías, canales, etc. Recuerde que las estaciones en la ingeniería civil son denotadas en función de los metros, separados por un signo más (+). Por ejemplo: 0+000 la cual designa una estación con 0 Km., y 0 m. 10+010.24 la cual designa una estación con 10 Km.,10 m y 24 cm. Podemos clasificar los estacionamientos en dos grupos: Estacion completa: Son los puntos separados equidistantes y con números completos por ejemplo 0+020, 0+040. Subestación: son puntos situados en la línea central que no son estaciones de números completos por ejemplo 0+95.40, 0+100.40. Como usar la escalas en los perfiles? Para dibujar un perfil deberá hacerse uso de dos tipos de escalas: Horizontal y vertical. Escala horizontal: nos representa las distancias de la línea central donde están ubicadas las estaciones (20 m es lo usual). Escala vertical: es la representación de las elevaciones de cada uno de los puntos o estaciones situados a lo largo de la línea central. Esta escala se exagera con respecto a la horizontal con el objetivo de resaltar las diferencias de nivel ya que siempre son menores que las distancias horizontales. Por ejemplo si la escala horizontal es 1:1000 la vertical será 1:100, es decir en la horizontal cada cm será equivalente a 10m y en la vertical cada cm. será 1m. Secciones transversales : 46 Ing. Sergio Navarro Hudiel UNI -Norte Enero 2008 Topografia II Cuando se va a cortar o a rellenar un terreno hasta un nivel determinado, por ejemplo al excavar un sótano para un edificio, nivelar un terreno para riego por gravedad, construcción de carreteras, etc. Se tienen que levantar secciones transversales. Levantamiento de secciones transversales: Con frecuencia se obtiene la forma de la superficie de un lote o terreno estaquillando su superficie en forma de cuadricula los lados pueden ser de 50, 25, 20, 10,5 mt, determinando luego las elevaciones de los vértices de la cuadricula. Trabajo de campo: Las secciones transversales se deben levantar perpendicular al eje longitudinal (línea central) en todas las estaciones del eje. Las perpendiculares se pueden levantar al ojo, usando escuadra óptica, teodolito etc; se mide la distancia indicada y se clava un estaca para su nivelación de la línea central y es por esa razón que se debe tener cuidado en la anotación. Clases de secciones: En todo trabajo de nivelación de un perfil por lo general va acompañado de las dos secciones las cuales son: A) Secciones longitudinales: Estas son las elevaciones que se determinan a todo lo largo del eje (línea central) del trabajo a ejecutar. En ciertos trabajos, como para determinar la profundidad del corte de una zanja solo se puede levantar la sección longitudinal. B) Secciones transversales: Estas son las elevaciones que se determinan a puntos situados perpendicularmente a la sección longitudinal (línea central). La información obtenida de estas secciones suministra datos para: A) Determinar la pendiente adecuada para la obra que se va a construir. B) Calcular el volumen de los trabajos de movimientos de tierra. C) Dar datos sobre la profundidad de los cortes y alturas de los rellenos que sean necesarios. Determinación de la pendiente: Se entiende por pendiente de un terreno en general a su inclinación respecto a la horizontal, pueden ser ascendentes o descendentes según el punto de observación. Si el terreno es horizontal su pendiente es cero. La pendiente es el cociente que resulta de dividir la diferencia de nivel existente entre dos puntos y la distancia horizontal que separa ambos puntos. La forma mas usual de expresar la pendiente es en tanto por ciento (%) indicando el numero, la diferencia de nivel existente por cada 100 unidades. Aunque en la practica esta generalizado indicar el tanto por uno por cuestiones de calculo y es la diferencia de nivel por cada unidad horizontal. Pendiente expresada en porcentaje: P = (DN/ DH)* 100 47 Ing. Sergio Navarro Hudiel UNI -Norte Enero 2008 Topografia II Donde: P= Pendiente DN= Diferencia de nivel DH= Distancia horizontal 100= Expresión en porcentaje Pendiente expresada en tanto por uno. P = DN/ DH = m/m Determinación de la rasante Es frecuente el caso en topografía que se quiera trazar en el terreno una línea con pendiente determinada. Esto se presenta generalmente en la construcción de canales, carreteras, obras de instalación de tuberías, etc. Donde la RASANTE es la línea que configura la obra tal como queremos que quede el terreno después de realizada la misma. Al proyectar la Rasante en cualquier obra es necesario determinar la pendiente que hay que darle, tratando de construirla con el menor movimiento de tierra ya que esto supone menores costos. La rasante en los canales facilitan la conducción de agua por gravedad, por lo tanto se proyectan como líneas obligadas a los desniveles existentes. Calculo de la Rasante: Para calcular las elevaciones de la Rasante se necesitan los siguientes datos: 1. Pendientes de la Rasante o dos elevaciones por las que debe pasar y la distancia horizontal. 2. Una elevación de partida en el caso que me den la pendiente. 3. Orientación para saber si la pendiente es positiva o negativa. 4. Las estaciones por la que debe pasar la Rasante. 48 Ing. Sergio Navarro Hudiel UNI -Norte Enero 2008 Topografia II UNIDAD 1 ALTIMETRIA Nivelación: Es el conjunto de operaciones por medio de las cuales se determina la altura y el desnivel de unos o más puntos del terreno respecto a un nivel de referencia, dado o imaginario, en trabajos de gran importancia el nivel de referencia es el nivel medio del mar (N.M.M) . En términos genéricos Nivelación se aplica a cualquiera de los diversos procedimientos a través de los cuales se determinan elevaciones o diferencias entre las mismas. Los resultados de la nivelación se utilizan: a) En el proyecto de carreteras, vías férreas, canales, obras de drenaje y sistemas de suministros de agua cuyas pendientes se adaptan en forma optima a la topografía existente. b) En el trazo de construcciones de acuerdo con elevaciones planeadas. c) En el cálculo de volumen de terrecerías y otros materiales. d) En la investigación de las características de escurrimiento o drenaje de una región. e) En la elaboración de mapas y planos que muestren la configuración general del terreno. f) En el estudio de los movimientos de las placas de la corteza terrestre y el asentamiento de las mismas. (wolf /Brinker pag.121) Elementos a Considerar en la Nivelación: Línea Horizontal A Angulo Vertical Superficie de nivel Plano Horizontal Diferencia de nivel (A y B) B Línea de nivel Superficie de Nivel Elevación de B Nivel medio del Mar (NMM) Línea Vertical Línea Vertical Línea que sigue la dirección de la gravedad, indicada por el hilo de una plomada. 49 Ing. Sergio Navarro Hudiel UNI -Norte Enero 2008 Topografia II Superficie de Nivel Superficie curva que en cada punto es perpendicular a la línea de una plomada, la superficie de nivel son de forma esferoidal. Una masa de agua en reposo es el mejor ejemplo de ello. Línea de Nivel Línea contenida en una superficie de nivel y que es, por tanto, curva. Plano Horizontal Plano perpendicular a la dirección de la gravedad. En topografía plana, es un plano perpendicular a la línea de plomada. Línea Horizontal Es una línea en un plano horizontal. En topografía plana, es una línea perpendicular a la vertical. Plano de Referencia Superficie de nivel a la cual se refieren las elevaciones (por ejemplo, el nivel medio del mar). Se le llama a veces Plano de referencia vertical o plano de comparación, aunque en realidad no sea un plano. Nivel Medio del Mar (NMM) Altura promedio de la superficie del mar según todas las etapas de la marea en un periodo de 19 años. Se determina por lecturas tomadas generalmente a intervalos de una hora. En Estados Unidos se utilizaron 26 estaciones distribuidas a lo largo de la costas del océano Atlántico, del océano Pacifico y del golfo de México. (Wolf / Brinker pag. 122) Línea de Colimación es una línea imaginaria que va desde el centro del ocular del telescopio, pasa por la intersección de los hilos de la retícula y llega al punto principal del objetivo, estando el aparato corregido. Altura, Cota ó Elevación Distancia vertical medida desde un plano o nivel de referencia, hasta un punto o plano dado. H = 5.50 m A Elv.A Superficie de Referencia Desnivel o diferencia de Nivel distancia vertical que va desde una superficie de nivel que pasa por un punto y otra que pasa por otro punto denotado como: ΔH o Δz. 50 Ing. Sergio Navarro Hudiel UNI -Norte Enero 2008 Topografia II A Elv de A ΔH B DH Elev. De B Sup. De referencia Cota Fija Banco Maestro (BM) o BN Establecidas por instituciones especializadas y están relacionadas directamente con el N. M. M. Se establecen, por nivelación de alta precisión. Se sitúa en lugres en donde no sufran asentamientos Existen dos tipos de BM. 1. 2. En el que aparece su posición (x, Y) Posición geodésica. En el que aparece su altura, es decir su elevación con respecto al (NMM). BM 1 BM 5 Para los trabajos de carretera, puentes y alcantarillado sanitario se exige que estos sean amarrados a dos BN , actualmente se exigen también a trabajos de lotificaciones y urbanizaciones. 51 Ing. Sergio Navarro Hudiel UNI -Norte Enero 2008 Topografia II Cotas Temporales Establecidas por instituciones no especializadas. Su objetivo es dividir tramos largos en tramos cortos y son situados mediante nivelación corriente, y su tiempo de permanencia es bien limitada (mientras dure la construcción) Se deben establecer en lugares donde no vallan a ser removidos por la construcción , para cada obra el BM es único. Instrumento para la nivelación Directa 1. 2. 3. 4. 5. Nivel de Albañil. Nivel de Mano. Nivel de Manguera Nivel de Montaje Rápido (Teodolito) Nivel Automático y Nivel Fijo. Métodos para la Nivelación 1. 2. 3. Nivelación Barométrica. (Investigar) Nivelación Indirecta, Trigonométrica (se usa el teodolito) Nivelación Directa, Diferencia o Geometría. Nivelación Indirecta o Trigonométrica Se utiliza en la determinación de cotas o desniveles entre puntos, basándose en la Trigonometría, por tanto es necesario conocer las distancias horizontales y verticales entre la estación del instrumento y el punto en estudio, así como el ángulo horizontal y el ángulo zenital Obtenido al visar el punto. La nivelación trigonomètrica resulta más ventajosa aplicarla a terrenos muy accidentados , montañosos o boscosos , donde la utilización del nivel se hace engorrosa ya que se tendría que cuadricular el terreno y realizar un número considerable de plantadas del nivel , mientras que con el teodolito se lleva simultáneamente las radiaciones y elevaciones. Se presentan varios casos posibles. CASO I Los hilos estadimétricos coinciden con el campo visual a) Elevación b) Depresión El Teodolito debe estar Instalado en un BM (no necesariamente) 52 Ing. Sergio Navarro Hudiel UNI -Norte Enero 2008 Topografia II a) Estadimetrico Simple: hc αm B αv Plano horizontal Δh V Hi BM DH = 100*S*cos2αv Dh = K * S * COS ² V h + hc = V = (90 - m) h= hi + V V = Dh*tan v V + Λ - hc Elevación Elev B = ElevA(BM) + h h = V + (Λ -hc) Forma General Λ = altura de instrumento (distancia medida desde el nivel del suelo hasta el eje o plano de colimación del telescopio. S hc 0.25 1.50 Se elimina la hi Λ 1.50 ( m) 87°40’30” Si en vez de estacionar el teodolito en el BM se estaciona en el punto (B) ya que en ciertos casos no es posible estacionar en el BM , el proceso de toma de datos y cálculos es igual. h + Λ = V + hc Dh = K * S * COS ² V V = ( m – 90°) Elev B = ElevA(BM) ± h h= h = V - Λ + hc V + (Λ depression -hc) Forma General Si el ángulo zenital esta en elevación se toma con signo (+) y si esta en depresión se toma ( - ) 53 Ing. Sergio Navarro Hudiel UNI -Norte Enero 2008 Topografia II En el proceso anterior se tendría que determinar las lecturas de los hilos superior, central e inferior su ángulo zenital y su ángulo horizontal para cada punto, los cuales resultarían demasiados datos a tomar, por tal razón se puede determinar el intercepto directamente y eliminar la altura de instrumento, el proceso a realizar es el siguiente: Con el teodolito debidamente nivelado se visa la estadía y se elige un metro de la estadía que coincida con el hilo inferior, se fija el movimiento horizontal y vertical y se precisa la lectura con el tangencial vertical se lee el hilo superior y se hace la resta mental ; hs – hi y se anota el intercepto ( S = hs – hi ), luego se libera el movimiento vertical y se fija el hc a la misma altura de instrumento medido anteriormente , luego se anota el ángulo zenital. Como el h = V + (Λ -hc) y (Λ = hc) resulta entonces que el h = V CASO II Los hilos estadimétricos no coinciden con el campo visual ya sea el hilo superior o el hilo inferior, por obstrucciones en la visual o por que las distancias son muy largas, para ello se determinan dos hilos centrales con sus respectivos ángulos zenitales. hilos centrales a) b) Elevación Depresión hC1 hC2 αm2 αm1 αv1 V1 αv2 V2 a) Elevación 54 Ing. Sergio Navarro Hudiel UNI -Norte Enero 2008 Topografia II Si a la estación del teodolito le corresponde el BM y donde esta la estadía el punto donde se quiere conocer la cota Punto (A) hc1 tan V1 Dh V1 = Dh * tan hc2 tan h1 + hc1 = V1 + Λ V2 h2 + hc2 = V2 + Λ h1 = V1 + Λ - hc1 H = V1 V2 = Dh * tan V2 Elev A = ElevaBM ± H h1 = h2 h2 = V2 + Λ - hc2 c) Depresión la misma formula se utiliza si los ángulos verticales están en depresión ósea si instalamos el teodolito en (A) y la estadía la colocamos en el (BM) h1 = V1 + hc1 - Λ h2 = V2 + hc2 - Λ en muchas ocasiones se presentan puntos que se encuentran por debajo o por encima del BM y que el tipógrafo no los distingue debido a obstáculos en la visual y se tiene que tomar la medida con un ángulo zenital en elevación o viceversa, para no tener dudas se calculara el desnivel con la formula general h = V + (Λ -hc) v hi hc Δh Dhh Ejemplo. Si se ha medido la distancia entre dos puntos usando la taquimetría y se tomaron todos los datos necesarios para calcular la elevación del punto desconocido, compruebe que los H usando la formula general es igual al H encontrado con la formula corriente. Datos. 55 Ing. Sergio Navarro Hudiel UNI -Norte Enero 2008 Topografia II Λ = 1.50 <z = 85°00’ hc = 4.53 dist. Entre los puntos = 10.00 m V = 10* tan(90°-85°) = 0.875 H = V + Λ - hc H = 0.875 + 1.50 - 4.53 = - 2.155 formula corriente h = + 0.875 + (1.50 - 4.53) = - 2.155 formula general esto nos indica que aunque el ángulo zanital tomado en elevación el punto se encuentra en depresión, por el signo resultante en la operación anterior. Ejemplo Calcular la elevación de los puntos siguientes utilizando la formula general Est. Pto. observ 1 N=81 2 1R 3 1 2R 4 3 Λ S hc <zetital 1.46 0.574 9.60 1.46 1.46 0.087 0.414 0.338 0.1553 1.46 1.855 90º45´25” 00º00´00” PI. Auxiliar 89º52´23” 187º28´00” BM = 100.00 Muro Portón 88º33´33” 278º06´00” Polg. Real 92º25´19” 75º22´00” 00º00´00” 91º10´35” 177º40´00” Polg. Real 87º47´00” 05º12´00” 1.52 1.47 1.08 <hz Observ. Solución H = V + (Λ -hc) a) Calcular distancia y demás elevaciones H de (1-BM) para encontrar elevación de (1) ya que es base para las D1 - BM = 9.60 V1 BM = 9.60 * tan (90 – 89º52´23”) = 0.021 H1 – BM = + 0.21 + (1.46 – 1.46) = + 0.021 Elev = 100 – 0.021 = 99.979 se invierte el signo ya que el teodolito no esta estacionado en el BM si no en el punto 1 di –3 = 100 * 0.414 * Cos² (2º25´19) = 41.326 V1 -3 = 41.326 * TAN 2º2´19” = 1.748 h1-3 = - 1.748 + (146 –1.46) = -1.748 56 Ing. Sergio Navarro Hudiel UNI -Norte Enero 2008 Topografia II E/v3 = 99.979 - 1.748 = 98.231 base para los siguientes elevación d3 - 2R = 100* 0.338 * Cos (1º10´35”) = 33.786 V3-2R = 33.786 * tan 1º 10´35” = 0.694 h3-2R = -0.694 + ( 1.52 -1.47) Elev2 R = 98.231 - 0.644 = 97.587 D3-4 = 100* 0.153 * Cos² (90º-87´47”) = 15.277 V3-4 = 15.277 * tan )90ª -07 47”) = 0.591 h 3-4 = 0.591 + (1.52 -* 1.08) = + 1.031 Elev.4 = 98.231 + 1.031 = 99.262 = 99.262 Recordemos que: Si el ángulo zenital es Si el ángulo zenital es EST. 5 PTO.Obsv. 4 B. M A D L de 90º es de depresión de 90º es de elevación S V 0.23 0.208 0.297 0.71 93º32´50” 94º35´55” 88º42´ 88º20´50” HRZ 0º00´ 352º36´ 24º02´ 132º43´ 92º45 OSERV Elev. Sobre pozo 1.63 Esq. de terraza DH5-BM = 100* 0.23 * Cos 3º32´50” = 22.91 V = 22.91 * tan 3º32´50” = 1.42 H = 1.42 + 1.65 - 1.63 = 1.42 Elevación a calcular es la del pto, 5 ya que este es base para los demás puntos. Elev5 = 100 + 1.42 = 101.42 Elev5 = Elev. BM ± H Dh5-A = 100 * 0.208 * Cos 4º53´55” = 20.65 V = 20.65 * Tan 4 º53´55” = 1.77 H = 1.77 + 1.63 - 12.63 = 1.77 Elev. A = Elev 5 - HA de 5 están referida todas las elevaciones. Elev. A = 101.42 - 1.77 = 99.65 DH5-D = 100*0.297 * Cos ² (90º -88º42´00”) = 29.68 V = 29.68 * tan(90°- 88°42’00”) = 0.674 H = +0.674 + (1.63-1.63) = 0.674 Elv.d = 101.42 + 0.674 = 102.094 57 Ing. Sergio Navarro Hudiel UNI -Norte Enero 2008 Topografia II NIVELACIÓN DIFERENCIAL O GEOMETRICA Consiste en medir directamente las diferencias verticales, siendo el método más preciso y el más empleado para determinar elevaciones utilizando 2 lecturas. Una lectura de espalda LE y una frente LF. La primera lectura que se realiza es a un punto de cota conocida y se denomina LE, ME ò VE, Esta se considera ( + ), Las demás lecturas se denominan lecturas de frente (LF) Mira de frente (MF) y Vista de frente (VF). Se efectúa sobre aquellos puntos donde se quiere determinar su elevación y esta se considera ( - ) Altura del Instrumento (Hi = Λ ) Es la elevación de la línea de colimación, del telescopio, cuando el instrumento está nivelado a partir de una línea de referencia o una superficie de referencia. Λ = Elev.BM + LE LE BM LF N1 Λ A N.M.M Elv.A = Λ - LF Se clasifica en nivelación simple y nivelación compuesta Nivelación Simple Es aquella nivelación que desde una sola posición del instrumento se puede determinar las cotas o desniveles de los puntos del terreno que se desea nivelar. El instrumento debe estar ubicado en un punto conveniente de tal forma que se observan todos los puntos de interés. 58 Ing. Sergio Navarro Hudiel UNI -Norte Enero 2008 Topografia II Registro de Campo de una Nivelación simple EST. BM LE 1.15 Lf Elev. 100 H 101.15 A B C D E F 1.30 2.45 1.03 1.58 0.956 2.057 -0.15 -1.30 +0.12 -0.43 +0.194 -0.907 Observ. Esquina edificio #2 NE 99.85 98.70 100.12 99.57 100.194 99.093 Λ = 100+ 1.15 = 101.15 ElevA. = ElevB. = Eleva. = Eleva. = Eleva. = Eleva. = HA HA HA HA HA HA = = = = = = 101.15 101.15 101.15 101.15 101.15 101.15 - 1.15 1.15 1.15 1.15 1.15 1.15 1.30 = - 0.15 2.45 = - 1.30 1.03 = + 0.12 1.58 = - 0.43 0.956 = + 0.194 2.057 = - 0.907 - 1.30 2.45 1.03 1.58 0.956 2.057 = = = = = = 99.85 98.70 100.12 99.57 100.194 99.093 Nivelación Compuesta A veces se hace necesario cambiar de posición el nivel una o más veces, debido a obstrucciones de la visual, terrenos muy accidentados o cuando las visuales, son demasiadas largas, por lo tanto obtendremos varias nivelaciones simples, enlazadas entre sí por puntos de liga (PL) o punto de cambios (PC) a, este proceso se le llama nivelación compuesta Registro de Campo de una Nivelación Compuesta Est. BM LE 1.584 Λ 51.584 Lf PC1 A B PC2 1.290 50.398 2.476 LI 2.730 0.640 1.290 49.212 2.476 H -0.892 -1.440 +0.650 -1.186 Elev 50.00 Observ. 49.108 47.668 49.758 49.922 59 Ing. Sergio Navarro Hudiel UNI -Norte Enero 2008 Topografia II C D PC3 E F PC4 1.270 1.426 0.995 47.933 +0.020 -0.136 -0.984 +0.511 -0.833 +0.322 2.274 0.484 1.828 0.673 7.899 5.159 47.942 47.786 46.938 47.449 46.105 47.260 Λ1 = 50 + 1.584 = 51.584 Elevpc1 Λ2 = = 51.584 - 2.476 = 49.108 49.108 + 1.29 = 50.598 ElevA = 50.398 – 2.73 = 47.668 Elev.B = 50.398 – 0.640 = 49.758 Elv.Pc2 = 50.398 – 2.476 = 49.922 Comprobación 5.159 - 7.899 = 47.260 – 50.00 -2.74 = -2.74 LE LF LE LE BM LF LE LF PC2 N1 PC1 LF N3 N2 Pc3 N4 Pc4 60 Ing. Sergio Navarro Hudiel UNI -Norte Enero 2008 Topografia II COMPROBACIÓN DE LA NIVELACIÓN El procedimiento señalado anteriormente en la comprobación de cálculo LE - LF = cota final – cota inicial Sólo nos elimina la posibilidad de equivocación en los cálculos o en la anotación, pero no nos indica que el trabajo haya sido realizado correctamente. Para ello es necesario que los resultados tengan una debida comprobación, las cuales son las siguientes: a) b) c) Por doble punto de cambio Por doble punto de instrumento Por nivelación de Ida y Vuelta a) Por doble punto de Cambio Se utiliza dos puntos de cambio por cada puesto de instrumento, para poder establecer la corrección de los BM Transitorio y temporales PC!A BM1 PC2A Λ Λ PC1B Λ BM2 PC2B Como las elevaciones de los BM son puntos de elevación conocidas o en el caso de que se quiere establecer la elevación del BM2, entonces ala diferencia de elevación entre dichos puntos se conoce como Δh fijo y se determina por diferencia entre los dos puntos ; Δhfijo = Elev.BM2 – Elev.BM1 , al hacer dicha nivelación se cometen errores a dicho error se le conoce como (ec = eror de cierre) el cual se puede calcular como: Ec = (suma de LE – suma de LF) - Δhfijo Por tanto al producirse el error se tiene que corregir entonces: 61 Ing. Sergio Navarro Hudiel UNI -Norte Enero 2008 Topografia II Ci = ( ec/ #LE + # LF) Si el (ec) resulta positivo a las LE se les resta la corrección y a las LF se les resta , si es negativa se realiza el proceso contrario, o bien en algunos casos se usara el promedio de las elevaciones. ElevBM 2 ElevBM 2 (1er ) ElevBM 2 (2do ) 2 b) por Doble Puesta de Instrumento Al utilizar este método se observa que los PC permanecerán iguales en ambos registros, el cálculo del (ec) y la corrección es igual al caso anterior. Λ Λ PC1A BM2 BM1 PC1B Λ Λ ElevBM2 b) ElevBM1 (1er ) ElevBM2 (2do ) 2 Por Nivelación de Ida y Vuelta Es el mejor método para comprobación del trabajo y es el que se emplea en los trabajos o en las mediciones de alta precisión. Para obtener resultados mejores la nivelación de ida debe parecerse a la nivelación de vuelta. 62 Ing. Sergio Navarro Hudiel UNI -Norte Enero 2008 Topografia II Λ PC1 Λ PC2 Λ BM1 BM2 PC3 Λ Λ Ejemplo. Calcule el (ec) de la siguiente nivelación realizada por doble punto de cambio y corrija. Primer Registro Est. LE BM1 1.400 1.402 PC1A 1.250 1.252 PC2A 2.010 2.012 PC3A 0.708 0.710 PC4A 1.010 1.012 MB2 Σ 6.378 6.388 LF ΔH 0.900 0.898 1.450 1.448 1.080 1.078 1.950 1.948 1.298 1.296 6.678 6.668 82.900 +0.504 82.904 82.700 -0.196 82.708 83.630 +0.934 83.642 82.388 -1.238 82.404 82.100 -0.284 82.120 -0.280 Elev. 82.400 Segundo Registro Est. LE LF BM1 1.400 1.404 PC1B 1.040 0.700 1.044 0.696 PC2B 2.150 1.430 2.154 1.426 PC3B 0.850 1.280 0.854 1.276 PC4B 1.600 1.550 1.604 1.546 MB2 2.392 2.396 Σ 7.040 7.360 7.060 7.340 ΔH EeLEV. 82.400 83.100 +0.708 83.108 82.710 -0.382 82.726 83.580 +0.878 83.604 82.880 -0.692 82.912 82.080 -0.792 82.120 -0.280 Elev. BM1 = 82.400 Elev. BM2 = 82.120 Δhobsv. = -0.300 Δhfijo = -0.280 Δhobsv. = -0.320 Δhfijo = -0.280 63 Ing. Sergio Navarro Hudiel UNI -Norte Enero 2008 Topografia II ec = -0.30 – ( -0.280) = -0.020 Ci = 0.020/10 = 0.002 ec = - 0.30 – ( - 0.320) =0.04 Ci = 0.04/10 = 0.004 Ejemplo. Calcule el (ec) de la siguiente nivelación realizada por doble puesta de Instrumento corrija. Primer Registro Est. LE BM1 1.600 1.598 PC1A 2.100 2.098 PC2A 1.200 1.198 PC3A 0.500 0.498 PC4A 0.900 0.898 MB2 Σ 6.300 6.290 LF 1.900 1.902 0.800 0.802 2.400 2.402 1.300 1.302 1.080 1.082 7.480 7.490 Segundo Registro Elev. Est. LE LF 90.200 BM1 1.550 1.552 -0.300 89.900 PC1B 1.980 1.852 -0.304 89.896 1.982 1850 +1.300 91.200 PC2B 1.350 0.680 +1.296 91.192 1.352 0.678 -1.200 90.00 PC3B 0.680 2.549 -1.204 89.988 0.682 2.547 -0.800 89.200 PC4B 1.100 1.479 -0.804 89.184 1.102 1.477 -0.180 89.020 MB2 1.318 -0.184 89.000 1.316 Σ -1.180 6.660 7.878 -1.200 6.670 7.868 ΔH Elev. BM1 = 90.200 Elev. BM2 = 89.000 Δhobsv. = -1.180 Δhfijo = -1.200 ΔH EeLEV. 90.200 -0.302 -0.298 +1.300 +1.304 -1.199 -1.195 -0.799 -0.795 -0.218 -0.214 -1.218 -1.200 89.898 89.902 91.198 91.206 89.999 90.011 89.200 89.216 88.982 89.002 Δhobsv. = -1.218 Δhfijo = -1.200 ec = -1.180 – ( -1200) = +0.020 ec = -1.218 – ( -1.200) =0.018 Ci = 0.020/10 = 0.002 Ci = 0.01810 = 0.0018 Aunque se ha hecho la corrección debida las elevaciones de los puntos de cambio siempre difieren en valor, por ello resulta mas sencillo promediar las elevaciones sin haber corregido. Elev. PC sin corrg. = (89.900 + 89.898)/ 2 = 89.899 Elev.PC con corrc. = (89.896 + 89.902)/ 2 = 89.899 Ejemplo : corrija la siguiente nivelación de circuito cerrado. Est. BM1 PC1 PC2 LE 1.405 1.408 0.701 0.704 1.094 1.097 Λ LE ΔH 0.420 0.417 0.220 0.217 +0.985 +0.991 +0.481 +0.487 Elev. 64 Ing. Sergio Navarro Hudiel UNI -Norte Enero 2008 Topografia II PC3 0.950 0.953 0.346 0.349 0.154 0.157 PC4 PC5 BM1 Σ 4.650 4.668 0.200 0.197 1.080 1.077 0.823 0.820 1.943 1.940 4.686 4.668 +0.894 +0.900 -0.130 -0.124 -0.477 -0.471 -1.789 -1.783 -0.036 0.00 EC = 4.65 – 4.686 = -0.036 Ci = 0.036/ 12 = +0.003 Errores en la Nivelación 1) Error por curvatura y refracción 2) Error Kilométrico 3) Error por horizontalidad Este se comete al calado de la burbuja o el nivel 4) Error de Puntería. Es el error de apreciación de la estadía en los mm. 5) Error por Nivelada. Es la acumulación delos errores por horizontalidad y puntería. tubular Tolerancia Esta en función del tipo de trabajo a realizar, teniendo 4 categorías de clasificación. 1Nivelación Aproximada Se realiza para reconocimientos de anteproyecto. El error máximo tolerable o el error permisible es igual a 0.08 K , su resultado está expresado en metros y K = distancia total de la nivelación (Kms). 2Nivelación Ordinaria Es la que se requiere en los levantamientos de carreteras, canales, líneas férreas. El error permisible es 0.02 K . 3Nivelación de precisión Se establece para puntos de Referencia. Su error permisible va a ser igual emp 0.01 K 4Nivelación de alta precisión Se utiliza para puntos permanentes que forman una red geodésica su error permisible es: emt 0.004 K al hacer una nivelación de las mencionadas anteriormente se cometen errores dicho error cometido se conoce como error de cierre (ec) el cual debe de estar dentro de un margen de tolerancia y dentro de las clasificaciones anteriores entonces el (ec) será aceptado si cumple con el siguiente criterio. ec emp 65 Ing. Sergio Navarro Hudiel UNI -Norte Enero 2008 Topografia II En Latinoamérica se trabajan con normas de tolerancia las cuales se representan en la tabla siguiente. Mts. Norma Americana Aproximada 0.15√k Ordinaria 0.04√k Precisión 0.02√k Alta preescisión 0.008√k clasificación Mts. Cms Norma Mexicana Norma colombiana 0.08√k 9.5√k 0.02√k 2.4√k 0.01√k 1.2√k 0.004√k 0.8√k Longitud de nivelada 300 m 190 m 90 m 90 m Ajustes en la Nivelación El Ajuste tiene por objeto distribuir el error de cierre y hallar el valor de las cotas. La disminución del error será proporcionada a la distancia desnivelada existiendo dos tipos de Ajustes. 1.- Por diferencia de Nivel observando ( H ó Z) Lo que se corrige o ajusta son los desniveles, Por medio de este método se puede ajustar: a) Nivelación de Enlace. La cual es aquella nivelación donde se tienen dos BM de cota conocida y se quiere dejar puntos de control entre los dos BM. PC1   PC2 L1 L2 BM1 L3  BM2 b) Nivelación de Ida y Vuelta. Es aquella nivelación que se parte de un BM y se quiere dejar puntos de control en su recorrido, regresando al mismo punto de partida. 66 Ing. Sergio Navarro Hudiel UNI -Norte Enero 2008 Topografia II Para esta nivelación, se considera que estos errores han sido cometidos proporcional a la longitud desde el origen hasta el punto considerado. Λ PC1 Λ uniformemente, o sea PC2 L1 L2 Λ BM1 L4 L5 L3 BM2 PC3 Λ Λ ec = Hobs Hobs H Fijo = LE LF H Fijo = ElvBM2 - ElevBM1 ec ep ec * li ; li Son longitudes parciales cuando se ajusta por desnivel y acumulados Lt cuando se ajusta por cotas. C1 NOTA; las correcciones que se aplican (Ci) son de signos contrarios al error de cierre. En la nivelacion decircuito cerrado no cambia el proceso de calculo y las formulas son las mismas, siendo el hfijo igual a cero debido a que se parte del BM y se regresa al mismo punto de partida. ec = Hobs - ec = Hobs = LE - C1 ec * Lt hfijo por tanto: LF li ; Ejemplo: 67 Ing. Sergio Navarro Hudiel UNI -Norte Enero 2008 Topografia II Clasifique y corrija la siguiente nivelaciòn de enlace por el mètodo de ajuste por desnivel. ElevBM1 = 82.450 ElevBM2 = 82.100 Est. L.E BM1 PC1 PC2 PC3 PC4 BM2 1.401 1.252 2.014 0.708 1.012  LF Hobs 0.906 1.447 1.078 1.958 1.318 6.707 6.387 +0.495 -0.195 +0.936 -1.250 -0.306 -0.320 Hobs = LE - LF = = 6.387 – 6.707 = -0.320 Hfijo = 82.100 - 82.450 = -0.35 Elev. Cald. 82.450 82.945 82.750 83.686 82.436 82.130 Elev. Correg 82.450 +.4896 82.940 -0.2031 82.737 +0.9309 83.667 -1.2549 82.413 -0.3125 82.100 H Correg Long Bm1-PC1 100 150 95 90 120 555 ec = Hobs - Hfijo = -0.320 – (- 0.350) = +0.030 Nivelación Aproximada = 0.08√k = 0.08√0.555 = 0.06 m ec ep +0.030 0.06 ok cumple Nivelación Ordinaria = 0.02√k = 0.02√0.555 = 0.015 m ec ep +0.030 0.015 No cumple C1 0.03 * 100 555 0.0054 C4 0.03 * 90 555 C2 0.03 * 150 555 0.0081 C5 0.03 * 120 555 C3 0.03 * 95 555 0.0049 0.0065 0.0051 C1+C2+C3+C4+C5 = ec De la nivelación anterior corrija por el método de cotas 2.- Por Cotas calculadas: Lo que se corrige o ajusta son las cotas, Por medio de este método se puede ajustar: a) Nivelación de Enlace 68 Ing. Sergio Navarro Hudiel UNI -Norte Enero 2008 Topografia II b) Nivelación de Ida y Vuelta ec = Hobs - hfijo por tanto: Hobs = LE LF ec = ec * Lt C1 li ; li son acumuladas desde el origen hasta el punto considerado NOTA; las correcciones que se aplican (Ci) son de signos contrarios al error de cierre. Ejemplo: Clasifique y corrija la siguiente nivelaciòn de circuito cerrado por el método de ajuste por cotas. Est. L.E BM1 PC1 PC2 PC3 PC4 PC5 BM1 1.423 0.844 1.194 0.967 0.475 0.281  5.184 LF 0.629 0.325 0.402 0.994 1.405 1.399 5.154 Hobs +0.794 +0.519 +0.792 -0.027 -0.930 -1.118 -0.030 Hobs = LE - LF = = 5.184 – 5.154 = 0.030 Hfijo = 101.200 - 101.200 = 0.00 Elev. Cald. 101.200 101.994 102.513 103.305 103.278 102.348 101.230 Elev. Correg 101.200 101.988 102.500 103.287 103.256 102.322 101.230 Long Bm1-PC1 150 190 120 100 120 100 780 ec = Hobs - Hfijo = 0.030 – (- 0.00) = 0.030 Nivelación Aproximada = 0.08√k = 0.08√0.780 = 0.07 m ec ep +0.030 0.07 ok cumple Nivelación Ordinaria = 0.02√k = 0.02√0.780 = 0.018 m ec ep +0.030 0.018 No cumple C1 C2 C3 C4 0.03 * 150 0.0058 780 0.03 * (150 190) 0.013 780 0.03 * (150 190 120) 0.018 780 0.03 * (150 190 120 100) 780 0.022 69 Ing. Sergio Navarro Hudiel UNI -Norte Enero 2008 Topografia II C5 0.03 * (150 190 120 100 120) 780 0.026 0.03 * (150 190 120 100 120 100) 0.03 780 De la nivelación anterior corrija por el método de desnivel C6 70 Ing. Sergio Navarro Hudiel UNI -Norte Enero 2008 Topografia II Aplicación de la Nivelación Una de las principales aplicaciones es en perfil longitudinal y secciones transversales para la construcción de Carreteras, vías férreas canales, tuberías, etc. Su objetivo principal es determinar las profundidades de cortes y de relleno y las terrecería de obras longitudinales, para la investigación de la selección de las características más económicas de las pendientes o rasantes. Ayuda a fijar y seleccionar la rasante de un proyecto, para el cruzamiento de pendientes (intersección de calles) La pendiente (P) llamada también porcentaje de inclinación o gradiente, es el ascenso o descenso vertical por cada 100 unidades (pies o mts.) de distancia horizontal. Así, una pendiente de 2.5% significa que hay una diferencia de elevación de 2.5 mts por cada 100 mts de distancia horizontal. El signo positivo o negativo lo define si es ascendente o descendente en el sentido del caminamiento del levantamiento. El término Rasante se usa para denotar la elevación de la superficie terminada de un proyecto de terrecerías. P H * 100 Dist . H P Elev. final Elev. inicial * 100 DH Perfil Longitudinal: s la operación de nivelar puntos situados a corta distancia entre si, a lo largo de una alineación predeterminada. Generalmente se colocan estas a cada 20 mts. o en aquellos puntos donde hayan cambios bruscos de pendientes. Para tuberías o canales las estaciones son a cada 10mts. Las estaciones vienen separadas en Km y mts de la siguiente forma: 000 + 100.000 km mts,cms y mm Dibujo de Perfil Longitudinal Se construye a partir de los datos de campo, se empieza el dibujo en la parte izquierda del papel, aumentando hacia la derecha de acuerdo al orden del estacionamiento, utilizando dos escalas, una horizontal (eje X) y un a vertical (eje Y), la escala vertical se dibuja siempre mas grande que la horizontal, generalmente es una relación 10:1 71 Ing. Sergio Navarro Hudiel UNI -Norte Enero 2008 Topografia II 1:50 101.60 90.25 1:500 0+00 0+040 Ejemplo: perfil Longitudinal Dibujar el perfil, calcular la pendiente natural y los puntos obligados  Est. LE LF Elev. BM 0.468 100.668 100.200 0+000 0.210 100.458 0+020 0.950 100.748 0.870 99.798 0+040 1.050 99.698 0+060 0.370 99.918 99.548 1.200 0+080 0.580 99.338 0+100 1.650 98.268 0+120 1.150 98.768 0+140 98.098 1.820 0+070 cortes y rellenos. considere el punto inicial y final E.ev. R Corte Relleno 100.458 100.121 99.784 99.447 99.109 98.772 98.435 98.98.098 0.101 0.229 0.333 - 0.386 0.086 0.504 - Σ 1.788 3.890 1.788 - 3.890 = 98.098 – 100.20 - 2.102 = 2.102 ok +C ElevTN - Elev,R -R ElevR - ElevTN - Corte + Relleno 72 Ing. Sergio Navarro Hudiel UNI -Norte Enero 2008 Topografia II 1 = 100.20 + 0.468 = 100.668 Elev.0+00 = 100.668 - 0.210 = 10.458 Elev.0+o40 = 10.668 - 0.870 = 99.798 2 = 99.798 + 0.950 = 100.748 3 = 99.548 + 0.370 = 99.918 1:25 101 h 100 PN 99 98 1:250 0+000 0+040 0+080 0+120 P = 1.6857 % P * dist. 1.6857% * 20 H 2O 0.33714 mts 100 100 Elev,0+000 = 100.458 Elev,0+020 = 100.458 - 0.33714 = 100.121 Elev,0+040 = 100.121 - 0.33714 = 99.784 Relleno = 99.798 – 100.121 = - 0.323 Corte = 99.988 – 99-361 = + 0.627 SECCIONES TRANSVERSALES Son de gran importancia para el cálculo de las áreas y volúmenes tanto para obras longitudinales como superficiales, los datos del levantamiento de este tipo sirven para confeccionar un plano con curvas de nivel para ello se determina la altura del instrumento para cada estación por medio de visuales de espalda en la estaca central y se va colocando la mira a distancias constantes a la derecha y a la izquierda del eje central o en aquellos puntos donde haya cambios de pendientes bruscos. 73 Ing. Sergio Navarro Hudiel UNI -Norte Enero 2008 Topografia II Limite de calle BM Di LC  Dd 0+00 0+020 0+040 0+080 0+060 Las secciones transversales se pueden registrar de la siguiente forma.  Est. LE(+) LF(-) Elev. h BM 0+000 2.50 D 3.20 D 1.20 Iz 3.00 Iz 5.00 Iz 0+020 Est. 0+00 0+40 Elev. eje 100.4 5 Sección Transversal I LF/di LF/di LF/di 101.0 5 1.05/3.5 1.60/2.0 1.00/1.0 1.20/0.0 1.85/0.9 1.28/2.65 LC LF/0.0 D LF/dd LF/dd LF/dd 1.15/4.1 - 74 Ing. Sergio Navarro Hudiel UNI -Norte Enero 2008 Topografia II Dibujo de Secciones Transversales Es similar al dibujo del perfil longitudinal con la diferencia que se dibuja a escala natural. La sección transversal se dibuja una debajo de la otra y en cada sección se coloca el número de estación, el dibujo se inicia en la en la parte inferior del papel con la estación inicial. 99.63 0+060 99.87 0+040 100.01 0+020 100.17 0+000 Escla: 1 : 200 MÉTODOS PARA REPRESENTAR EL RELIEVE El sistema para representar el relieve debe cumplir lo siguiente: 1) Mostrar la figura del terreno en una forma adecuada al que se utiliza en el plano, es decir crear un modelo fácil de interpretar. 2) Suministrar la información necesaria para conocer la elevación de cualquier punto que aparezca en el plano. 75 Ing. Sergio Navarro Hudiel UNI -Norte Enero 2008 Topografia II El relieve puede presentarse de la siguiente manera: a) Por sombreado: Las diferencias de elevaciones se representa por colores e intensidad de sombra en una determinada área. b) Por maquetas. c) Por cotas del terreno En la zona de estudio se dispone de una serie de puntos de elevaciones conocidas que me indican más o menos la forma del terreno. 99.85 d) 100.15 98.70 100.00 100.43 99.16 100.15 100.71 100.00 Curvas de Nivel Las curvas de Nivel indican de forma directa y cuantitativa las elevaciones de cualquier punto de terreno y es el método que más se utiliza. La curva de nivel es una línea imaginaria de elevación, constante, en la superficie del terreno respecto a una superficie de referencia. La superficie de nivel que aparece en el plano es semejante en su forma a las del terreno pero dibujadas a la escala del plano. CARACTERÍSTICAS DE LAS CURVAS DE NIVEL Vaguada 292 A 293 B 294 295 295 Divisoria 298 298 297 Vaguada 297 294 295 291 76 Ing. Sergio Navarro Hudiel UNI -Norte Enero 2008 Topografia II 1) Todos los puntos de una curva de nivel tiene la misma elevación. 2) Todas las curvas de nivel se cierran sobre si misma dentro o fuera del terreno considerando en el plano. 3) Pueden existir dentro de los límites de plano otras curvas que tengan la misma elevación. 4) Las curvas de nivel nunca se ramifican, excepto el caso de fallares, dando la impresión de que se ramifican, como el caso del punto ( E ) no siendo así, ya que se trata de distintas curvas de nivel separadas verticalmente. 5) Las curvas de nivel no pueden cruzarse entre sí. 6) En zonas de pendientes uniforme, las curvas de nivel tienen una separación equidistante si están separadas, y en pendientes muy fuertes las curvas de nivel se agrupan. 7) Las curvas de nivel concéntrica y con valores ascendentes indican una elevación de lo contrario un hueco o una depresión VAGUADA Es la línea que demarca una depresión y es el camino donde circulan las aguas naturales. Las curvas de mayor elevación envuelven a las de menor elevación y son convexos a la dirección de la corriente. DIVISIORIA. Es la línea que demarca una elevación y a la vez sirve para dividir o separar el curso de las aguas. Las curvas de menor elevación envuelven a las de mayor elevación. EQUIDISTANCIA. (e) Es la separación vertical constante entre dos curvas de nivel, mientras menos sea ésta acercará nuestra representación en el plano a la configuración real del terreno. más se DISTANCIA ( S ) Es la separación horizontal de curva a curva. La selección de un intervalo adecuado para un plano topográfico se basa en lo siguiente 1. Precisión 2. Rasgos 3. Legibilidad del Plano 4. Costos Precisión Está en dependencia del tipo de trabajo a realizar y del equipo Rasgos Si la forma del terreno muestra variación grande, en su forma y muy accidentado en una pequeña extensión de área se requiere una equidistancia mayor entre las curvas de nivel. Legibilidad No se recomienda dibujar más de 20 curvas por plg² Costos El costo aumenta a mediad que disminuye el intervalo entre las curvas de nivel. 77 Ing. Sergio Navarro Hudiel UNI -Norte Enero 2008 Topografia II Determinación de Curvas de Nivel Existen 2 métodos: 1) Método Directo 2) Método indirecto Para el método directo se utiliza dos tipos de niveles Nivel de Trípode Nivel de Mano En el terreno se van localizando planímetricamente y altimétricamente los puntos a nivelar. Es más preciso que los métodos indirectos. Teniendo su desventaja en su longitud. 99  102  101 103 BM Elev.BM = 100.75 LE = 1.42 CN = curva de nivel a determinar = 101.00  = 100.75 + 1.42 = 102.17 LF = 102.17 - 101.00 = 1.010 es la lectura a realizar para encontrar la curva de nivel en el campo, se coloca la estadía y se toma la lectura de mira, si no resulta la lectura buscada se mueve al estadalero hasta encontrar dicha lectura, luego se mide la distancia horizontal y su ángulo horizontal para su debida ubicación y representación en un plano. MÉTODO INDIRECTO Son menos precisos que los métodos directos, pero son más rápidos de efectuar, se ubican los puntos geométricamente convenientes para luego interpolarlos en el trabajo de gabinete. Existen tres métodos para el levantamiento de curvas de nivel 1) Perfil Longitudinal y Secciones Transversales 78 Ing. Sergio Navarro Hudiel UNI -Norte Enero 2008 Topografia II Limite de calle BM Di LC  Dd 0+00 0+020 0+040 0+060 0+080 2) Elevación Aisladas (Nivelación Trigonométrica) Se escogen los puntos geométricamente convenientes a nivelar, llevando un registro planimetricamente y altimétricamente de cada punto para luego en trabajo de gabinete calcular la elevación y posición de cada punto y posteriormente dibujar las curvas de nivel. 5 4   6 3   2 BM 79 Ing. Sergio Navarro Hudiel UNI -Norte Enero 2008 Topografia II se recomienda realizar una nivelación de circuito cerrado en los puntos donde se estacionó el teodolito para una mayor precisión de los puntos a nivelar. Nota: 3) Método de la Cuadricula Se emplea en áreas pequeñas debido al gran trabajo que se tiene que realiza, el terreno se divide en cuadrados o rectángulos de 5, 10, 15 ó 20 mts. Colocando estacas en los vértices para luego realizar el levantamiento altimétrico y determinar por interpolación u otro método de determinación de curvas de nivel. 1 2 3 4 5 5A 4A B 4B C 6  3A D E 1A 2A A Es conveniente a la hora de realizar las mediciones de las cuadriculas tomar líneas bases, como es el caso de la línea (5 – 4 y 5 – A) a las líneas que van de (W a E) se pueden identificar con números y las que van de (N a S) se identifican con letras. Así como en la figura anterior el vértice (4B). MÉTODO DE CÁLCULO PARA DETERMINAR CURVAS DE NIVEL (DIBUJO) a) Por estimación Sin cálculos, se ubica por donde pasa la Curva de Nivel 80 Ing. Sergio Navarro Hudiel UNI -Norte Enero 2008 Topografia II 20.20 90.6 91.00 20.00 91.20 91.60 91.10 90.60 92.00 91.00 20.00 20.00 92.00 93.98 93.60 93.20 92.00 93.00 94.00 93.00 93.00 93.60 94.80 93.80 92.60 93.50 20.00 20.00 93.70 93.40 20.00 92.80 92.20 91.60 20.00 92.00 Las (CN) a trazar se deben fijar en números enteros y no sumarle a las elevaciones la equidistancia ( e ) e = 1.00 mts CN 91.00 Múltiplo de la equidistancia 92:00 93:00 94:00 b) Por Interpolación Se necesita conocer las distancias exactas donde va a pasar la Curva de Nivel, formando un triangulo para poder hacer la interpolación, colocando la elevación mas baja en la parte izquierda del triangulo que representara la línea horizontal del triangulo y la elevación mas alta en la línea vertical que forman los 90 grados con la horizontal, entre dichos puntos existirán elevaciones intermedias que serán las cn buscadas de acuerdo al intervalo o equidistancias que se quieren dibujar las CN. 81 Ing. Sergio Navarro Hudiel UNI -Norte Enero 2008 Topografia II CTM CN CTM - CN CTM - CTm CN - CTm X1 X2 CTm d X1 C .N . CTM CTm *d Ctm X2 CTM CTM C.N . *d Ctm Ejemplo: encontrar las distancias donde debe pasar las curvas de nivel 91.00, 92.00, y 93.00 que pasan por la diagonal con elevaciones de 90.60 y 93.20 X1 91 .00 90 .60 x 28 .28 (93 .20 90 .60 4.351 X2 92 .00 90 .60 x 28 .28 (93 .20 90 .60 15 .23 X3 93 .00 90 .60 x 28 .28 (93 .20 90 .60 26 .109 c) Escalìmetro y Escuadra Se utiliza un escalimetro triangular para ingeniero y una escuadra , para proceder a la separación mecánica de las curvas de nivel. De los datos del ejemplo anterior , la diferencia entre el punto mas bajo y mas alto es : 82 Ing. Sergio Navarro Hudiel UNI -Norte Enero 2008 Topografia II CTM –CTm = 93.20 – 90.60 = 2.60 Las diferencias de nivel entre el punto mas bajo y las curvas de nivel a dibujar , 91, 92, y 93 son respectivamente 0.40, 1.40 y 2.40 m , con dichos datos conocidos se coloca el cero del escalimetro en el punto (A) elevación mas baja y la esquina de la escuadra en la medida de la diferencia de nivel entre dichos puntos , gírese el escalìmetro y la escuadra, manteniéndolos unidos y sin perder el punto de partida punto (A) , hasta que el borde de la escuadra pase por el punto (B) cuya elevación es 93.20. luego, se mantiene el escalimetro en su lugar mientras que el borde de la escuadra se mueve sucesivamente a los puntos 2.40, 1.40 y 0.40 del escalimetro. El punto en que el borde de la escuadra cruza la línea AB en estas posiciones es el punto donde las CN cruzan la línea. Este es un método rápido y preciso para ubicar curvas de nivel y elimina todos los cálculos matemáticos .puede utilizarse cualquier escala, paro la longitud de la escala correspondiente al desnivel entre los dos puntos graficados debe ser mas corta que la longitud de la línea recta que une los puntos en el plano. ( ver figura ). A B 0.00 0.40 1.40 2.40 2.60 83 Ing. Sergio Navarro Hudiel UNI -Norte Enero 2008 Topografia II Por diferencia de nivel observado 0.40 A B 2.20 Figura #1 d) Por diferencia de Nivel. Siempre tomando los mismos datos de la diagonal cuyas elevaciones son: 90.60 y 93.20, se determina las diferencia de nivel entre la CN y la elevación menor y la CN y la elevación mayor como ejemplo: 91.00 – 90.60 = 0.40 y 93.20 – 91.00 = 2.20, se levanta una perpendicular al punto (A ) y se mide la diferencia de nivel entre el punto mas bajo y la CN que se quiere trazar (0.40), marcando dicho punto en el plano, luego en el punto (B) se realiza lo mismo pero con la diferencia de nivel entre la elevación mas alta y la CN a trazar (2.20) ,pero de sentido contrario a la primera y se marca el punto, la curva de nivel estará ubicada en el punto donde cruza la línea (AB) al unir dichos puntos. (ver figura # 1). e) Por Partes Proporcionales. Cuando se quiere una precisión apreciable en los mapas se puede eliminar los errores de estimación mediante sencillas operaciones aritméticas. Siempre tomando los mismos datos de elevación de la diagonal en estudio y conociendo el desnivel total = 2.60 y los desniveles entre la elevación menor punto (A) y las CN a dibujar , los cuales son respectivamente 0.40, 1.40 y 2.40 que corresponden a las CN 91.00, 92.00 y 93.00, se determina la proporción en distancia para cada CN las cuales son: 0.40 2.60 0.15 1.40 2.60 0.54 2.40 2.60 0.92 84 Ing. Sergio Navarro Hudiel UNI -Norte Enero 2008 Topografia II Las distancias o parte proporcionales así calculadas se llevan, a escala, sobre el mapa. A B 0.15 0.54 0.92 1.00 APLICACIONES DA LAS CURVAS DE NIVEL 1) Determinación de Perfil Longitudinal y Sección Transversal (perfil deducido) 2) En movimiento de tierra en obras superficiales 3) Movimiento de tierra en carretera 4) Volumen y superficie de un embalse 5) Para el trazado de carretera y vía Férreas. Para una obra superficial donde se necesita conocer los puntos de la construcción donde se realizara el movimiento de tierra y donde se tiene el plano con curvas de nivel el cual tiene una escala definida, se proyectan los ejes los cuales no necesariamente coincidirán con las curvas de nivel, el siguiente dibujo ilustra tal condición. 85 Ing. Sergio Navarro Hudiel UNI -Norte Enero 2008 Topografia II 2 98.00 2 99.00 1 99.00 4 3 Bodega Escuela 99.50 6 5 CN A 10.20 20.00 7 8 98.50 Se mide la distancia que hay de la curva de nivel al punto (A) y de curva de nivel a curva de nivel, las distancias se miden sobre la misma dirección para encontrar la elevación del punto (A) por medio de interpolación, esto se realiza para cada vértice donde no se conocen las elevaciones 0.50 18 yi 10.20  yi 0.50 * 10.20 18 A 0.20 ElevA. = 99.20 CN 99.50 – 99.00 yi CN 10.20 20.00 86 Ing. Sergio Navarro Hudiel UNI -Norte Enero 2008 Topografia II MOVIMIENTO DE TIERRA El movimiento de tierra incluye todas las operaciones de desnivel (10 ó 15 cm de capa vegetal), excavación de carreteras y drenaje, excavación de obras mayores (puentes) y menores (alcantarillas), terraplenas, materiales de préstamo, la excavación con maquinaria y todos los trabajos de preparación de la explotación de carreteras, embalses etc. Curvas Verticales Una curva vertical es una curva parabólica en un plano vertical, la cual se utiliza para conectar dos tangentes con pendientes diferentes. Estas tangentes se conocen como tangentes de entrada o tangente de atrás y tangente de salida o tangente de adelante, respectivamente. El punto de intersección de las tangentes se denomina punto de intersección vertical (PIV). El principio de la curva vertical se denomina PCV y al punto final, o sea el punto donde termina la curva se denomina punto de tangente vertical PTV. Las carreteras formadas de una serie de líneas rectas (o tangentes) no son prácticas en la realidad. Para prevenir las existencias de cambios abruptos en la dirección vertical de los vehículos en movimientos, los segmentos adyacentes con diferentes pendientes se conectan mediante una curva ubicada en el plano vertical, la cual se denomina curva vertical. Generalmente la curva vertical es el arco de una parábola. Los arcos parabólicos se adaptan correctamente al cambio gradual de dirección y permite el cálculo fácil de las elevaciones de los puntos que están en ellos. Hablando en forma practica, un vehículo que llega al fondo de un alineamiento descendente chocaría y aquellos que llegan a la parte superior de una pendiente ascendente, saldrían volando en la cresta de la curva. Es por esto que se aplican ciertas normas al diseñar curvas verticales. La curva vertical obedecen entones a la ecuación de la parábola (Y = K * X²) Normas generales  Se diseñara curva vertical cuando el gradiente de pendiente es mayor o igual 0.5% que es a la vez el mínimo % en drenaje para que las aguas circulen por el efecto de gravedad. En algunas ocasiones se aceptan % del 0.30 (manual de la SIECA) A = g = P2 - P1 0.5%  Proporcionar una pendiente suave, con cambios graduales, de acuerdo con el tipo de terreno y el tipo de carretera.  Evitar vados escondidos, esto es, vados que el conductor de un vehículo no puede ver.  Cuando sea posible, reducir la pendiente cerca de la parte superior del ascenso sobre pendientes largas y pronunciadas.  Como regla general, mientras más alta la velocidad de proyecto de la carretera, será menor el porcentaje de pendiente permitido. Por ejemplo una carretera diseñada con una velocidad máxima de 60 km/h puede tener tangentes verticales que se unirán con una curva con pendientes de 6 a 8%.  Una carretera diseñada para 110 km/h puede tener una curva vertical cuyas tangentes tengan una pendiente de 3 a 5% solamente. Las curvas verticales se presentan de dos formas: Curvas en Cresta 87 Ing. Sergio Navarro Hudiel UNI -Norte Enero 2008 Topografia II PIV +PI -P2 -P1 PIV A= - P2 – (+P1) -P2 A= - P2 – (-P1) PIV +P2 +PI A= + P2 – (+P1) Curvas en Columpio A= + P2 – (-P1) A= - P2 – (-P1) -P1 +P2 -PI PIV PIV -P2 A= + P2 – (+P1) +PI +P2 PIV Elementos base de las curvas verticales En una curva vertical la variación de la pendiente comienza en la tangente de entrada ( o en el PCV) y cambia a una variación constante hasta que llega al PTV, donde se transforma en la pendiente de salida. Se trata de una parábola con un eje vertical; H es el desnivel que hay entre la prolongación de la tangente de entrada y el PTV. Para encontrar H se aplica la formula siguiente: H = (P2 – P1) (L/2) 88 Ing. Sergio Navarro Hudiel UNI -Norte Enero 2008 Topografia II Y PIV H P2 P1 PTV PCV X L/2 L/2 L yi P2 P1 2L * x²m yt ev AL 8 Con el objeto de investigar condiciones de drenaje, rellenos sobre tuberías, espacios libres o galibos debajo de estructuras, etcétera, es necesario determinar algunas veces la elevación y ubicación del punto mas bajo de una curva en “columpio” o el punto mas alto de una curva en “cresta”. La formula es la misma para ambos tipos de curvas. P1 . L : P2 P 1 dx = distancia medida a partir del PCV L = longitud de la curva vertical P1 y P2 = pendientes de las tangentes de entrada y salida, respectivamente expresadas en porcentaje yo en decimales. La AASHTO recomienda que para satisfacer las necesidades de parada, ( D < L ) comodidad y aspecto, recomienda un valor de L no menor de K*A , donde A es la diferencia algebraica de pendiente en tanto por ciento, y los valores de K, para obtener L en metros son los siguientes. dx 89 Ing. Sergio Navarro Hudiel UNI -Norte Enero 2008 Topografia II Velocidad Km/h 50 65 80 95 110 Valor Mínimo Para Curvas Verticales en Cresta 9 15 24 46 73 Curvas Verticales en Columpio 11 15 21 43 80 tomado del libro de Thomas F. Hickerson Ejemplo: Calcular la elevación de la curva vertical siguiente: Est. PIV = 0+530.20 Elv PIV = 85.40 P1 = +1.25% P2 = - 2.5% Vd = 90 km/h Solución K = 35 criterio de seguridad según la AASTHO determinado por interpolación Lcv = K*A A = P2 – P1 A = -2.5 -1.25 = -3 .75 0.5% ok cumple L = 3.75 * 35 = 131.25  130.00 mts. Est.PcV EtV PcV Est .PTV EsT PTV ELV PTV Est PCV Dx PIV PTV 130 0 465.20 2 1.25 * 65 84.588 85.40 100 = Est. Pcv + L = Est. Pcv + L/2 = 0 + 530.20 +65 = 0 + 595.20 = 0 + 465.20 + 130 = 0 + 595.20 2.5 * 65 83.775 85.40 100 0 530.20 0+465.20 0+480.00 0+500.00 0+508.53 0+520.00 0+530.20 0+540.00 0+560.00 0+580.00 0+595.20 Xm 0.00 14.80 34.80 43.33 54.80 65.00 55.20 35.20 15.20 0.00 Y 0.00 0.032 0.175 0.271 0.433 0.609 0.439 0.179 0.033 0.000 Elev. Slt 84.588 84.773 85.023 85.130 85.273 85.400 85.155 84.655 84.155 83.775 Elev. Slc 84.588 84.741 84.848 84.859 84.840 84.791 84.716 84.476 84.122 83.775 90 Ing. Sergio Navarro Hudiel UNI -Norte Enero 2008 Topografia II P2 Yi y y1 y2 y3 y4 P1 2L = = = = = . X 2m 0.025 0.0125 . X 2m 2 130 Y 0.00014423 X²m K (14.80)²  0.032 K (34.80)²  0.175 K (54.80)²  0.433 K (65.00)²  0.609 Para Izquierda: H1 Piv 14.80 * 125 100 h3 0.185 H2 P1 = + 1.25 h2 H3 20 * 1.25 0.250 100 10.2 * 1.25 0.1275 100 h1 Ptv 14.80 20.00 10.20 H1 15.20 * 2.5 100 H2 20 * 2.5 100 0.50 H3 9.8 * 2.5 100 0.245 dx 0.38 1.25 % * 130 2.5% 1.25 % 43 .33 mt Est. dx = Est. Pcv + dx = 0 + 465.20 + 43.33 = 0 + 508.53 1.25 * 43 .33 Elv. Slt 84 .588 85 .130 100 Ydx = 0.00014423 * (43.33)² = 0.271 Elev. Slc dx = 85.130 - 0.271 = 84.859 91 Ing. Sergio Navarro Hudiel UNI -Norte Enero 2008 Topografia II CURVAS VERTICALES ASIMÉTRICAS En casos especiales las curvas asimétricas constituyen una solución para las exigencias impuestas a las curvas verticales, esto sucede cuando en una de las ramas se encuentra un punto obligado que limita la longitud de una de las ramas. L1 = Parte izquierda L2 = Parte derecha Y PIV H P2 P1 PTV PCV X L1 L2 L L = L1 + L2 P2 P1 L2 Y1 * *.X 12 2L L1 P2 Y2 P1 2L * L2 *X 22 L2 Distancia del punto más bajo o mas alto X1 = distancia medida desde el PCV al punto que se constituye en la rama izquierda. X2 = distancia medida desde PTV al punto de la curva que se considere la rama derecha. X1 P1 * L12 2e X2 P2 * L22 2e e P2 P1 2L * L1 * L2 92 Ing. Sergio Navarro Hudiel UNI -Norte Enero 2008 Topografia II CURVAS VERTICALES CON PINTO OBLICUO Datos P1 = + 3% P2 = -2% Est.. PiV = 1 + 235.00 Elev. PIV = 87.50 Est. Manhole (A = 1+ 173.20 Elev. Manhole (S/en = 84.452 A = P2 - P1 A = -2 - (3) = 5% 0.5 D = Est. P1V - Est. A = (1+ 235.00 ) (1+173.20) = 61.80 Elv. A´ = 87.50 - H 3% * 61.80 Elev A´ = 87.50 100 Xm = (42 –d) Yi = ElevA´- Elva 5.646 yi = 85.646 -84.452 = 1.191 P 2 P1 yi Xm² 2L ev 0.05 * L 8 L 8 0.00625 L 1.194 * 42 2 0.00625 L 1.194 0.00625 L 1 2 0.25L2 0.25 L2 -0.0015625L² L d 2 0.5L + A B 0.6845 2 0.68475 61.80 0.68475 61.80 2 L 2 - 23.87025 = 0 C 4 0.0015625 23.87025 L1 = + 38.19 mts. L2 = + 400.00 93 Ing. Sergio Navarro Hudiel UNI -Norte Enero 2008 Topografia II Levantamiento para la construcción. Atendiendo al aspecto relacionado con la topografía, el proceso de ejecución de un proyecto pasa por las etapas de Levantamiento, Diseño y Replanteo. La etapa de levantamiento comprende la realización del trabajo de campo para la obtención de la información relativa y necesaria acerca de las condiciones topográficas del sitio de ubicación de la obra. Sobre la base del trabajo de campo se realiza el trabajo de gabinete, siendo uno de sus resultados el plano topográfico, conteniendo una representación de su planimetría (Linderos, forma, etc), de su relieve y de la ubicación de cualquiera obra o detalle que sea de interés y/o necesaria para proceder al diseño del plano de conjunto de la obra. Luego del Diseño del proyecto es necesario emplazarlo en el terreno, este trabajo de topografía para la construcción se conoce como Replanteo. En el se establecen todas las medidas o referencias necesarias para el trazado del proyecto en el terreno. Posteriormente es necesario proporcionar la información necesaria para la ejecución y control de las obras a realizarse en las diferentes etapas del proceso constructivo. De esta manera, el levantamiento topográfico para la construcción deberá suplir todas las marcas de referencia para que cada una de las nuevas obras sea colocada en su correcta localización en la propiedad. El topógrafo prepara un plano del sitio mostrando todas las relaciones entre el terreno y todas las obras que serán levantadas en él, e indicaciones o marcas de todas las posiciones horizontales y elevaciones necesarias como referencia. Este proceso ha empezado antes de que los trabajos se inicien y continúa a través de todo el período de construcción. El trabajo del topógrafo debe realizarse para proporcionar las marcas necesarias justamente antes de el tiempo de que sean requeridas por el contratista para cada día de operación. El topógrafo nunca debe adelantarse demasiado al trabajo de construcción, ya que las marcas pueden ser destruidas por acciones del proceso de construcción. Este proceso de levantamiento se conoce como “ Levantamiento de construcción” o “Levantamiento de localización”. Esto requiere de técnicas especiales. En este capítulo se cubrirá los procedimientos para estructuras ordinarias y según procedimientos sencillos. Métodos Los planos constructivos dan, a través de escala o por dimensiones, las posiciones y elevaciones del trabajo. Estas están dadas de forma relativa a puntos de control topográfico o a estructuras existentes. Las dimensiones de la nueva construcción, las que son mostradas en los planos, proporcionan todos los datos extra necesarios para el levantamiento de construcción. 94 Ing. Sergio Navarro Hudiel UNI -Norte Enero 2008 Topografia II Ejemplo. En la figura se muestra una casa a ser construida 30 m desde un mojon, las dimensiones son como se muestran (Fondo total de 40 m .). La línea oeste de la propiedad inicia en un mojón situado 30 m al oeste del lado mas oeste de la casa; este mojón A tiene una elevación de de 150.11 m. La línea de propiedad frontal se extiende 100m hasta otro mojón B, cuya elevación es 150.41. El primer piso de la casa estará a 2 m sobre el monumento cuya elevación es 150.41. El retiro requerido por la ciudad desde la línea de propiedad es de 25 m. Encuentre el arreglo de las estacas para marcas la posición y elevación de la casa. Solución. Establezca la visual entre los dos mojones de la línea de propiedad. Coloque la primer estaca 30 m al este sobre la línea de propiedad. Coloque la segunda estaca sobre la misma línea de propiedad, 14 m más allá y luego coloque la tercera estaca a 16 m de esta última. Regrese a la estaca 1 y gire un ángulo de 90˚ con respecto al mojón A (dirección norte) y mida 25 m. Esto establece el retiro exigido por la ciudad. Esta estaca (#4) es la esquina suroeste de la casa. Prolongue esta misma alineación 16 m. Este es el lado posterior de la casa sobre la ordenada. Vaya a la estaca #2 sobre la línea de propiedad y nuevamente estaciónese y mida un angulo de 90˚ desde el punto A (dirección norte). A lo largo de esta alineación primero mida 41 m y coloque una estaca. Prolongue esta alineación y mida 24 m más y coloque una estaca. Esto da la esquina noroeste de la casa. Colóquese ahora en la estaca #3 y mida igualmente un ángulo de 90˚ en dirección norte y coloque una estaca a 25 m desde el punto #3. Prolongue la alineación y coloque otra estaca a 40 m más allá de esta estaca. La última estaca es la esquina noreste de la casa. Finalmente marque cada estaca con la elevación 152.41, que es la distancia vertical requerida sobre el monumento de 150.41m. Nota: las estacas pueden colocarse en las esquinas u otros puntos requeridos, luego pueden ser transferidas a marcas cercanas que no sean distorsionadas durante la construcción. Estos puntos seguros pueden localizarse con mediciones cortas con escuadra de carpintero y las elevaciones transferidas con nivel de carpintero. 95 Ing. Sergio Navarro Hudiel UNI -Norte Enero 2008 Topografia II Transferencia de la estaca al desarrollo o mejora. El equipamiento utilizado para transferir líneas y gradientes desde el set de estacas por el levantamiento de construcción es familiar a la mayoría de las personas. Este es la regla de acero o escuadra de 6 pies, cintas de acero o tela, nivel de carpintero y líneas de cuerda, líneas de niveles. 96 Ing. Sergio Navarro Hudiel UNI -Norte Enero 2008 Topografia II Control de línea base y ordenada. Varios sistemas de referencia están disponibles par localizar un desarrollo u obra con respecto al terreno y cualquier otro edificio sobre el suelo. Los ejemplos anteriores son aquellos en que las esquinas de un nuevo proyecto de construcción son localizadas por estacas directamente en los puntos en que el proyecto será construido. Esto usualmente no se practica, dado que la construcción destruirá las estacas que marcan los puntos de construcción, así como la elevación del punto. La línea base y ordenada elimina los serios problemas de vulnerabilidad de las estacas en la locación de la construcción. En este método la posición y elevación es transferida al punto de construcción con nivel y regla de carpintero desde las estacas las que han sido desplazadas del punto de construcción. Las estacas son desplazadas de 3 pie (0.90m) a 10 pie (3.0 m) del punto real de construcción. Ejemplo : Dada una propiedad de longitud y ancho no indicados, pero que se tiene las marcas de sus esquinas. El edificio será construido de manera que sea paralelo a las dos líneas de propiedad. Las estacas tendrán 10 pie de offset (Ordenada). Deberá tener un offset de 25 pie del frente (este) y de lado (sur) de la línea de propiedad. El edificio es de 50 pie de ancho y 135 pie, 4 plg de largo. El frente del edificio mira al este. Determine la disposición de las estacas. 97 Ing. Sergio Navarro Hudiel UNI -Norte Enero 2008 Topografia II Solución: Coloque el tránsito sobre una de las esquinas de la propiedad. Una línea se establece visando la otra esquina. Mida las distancias mostradas sobre la línea de propiedad mostradas en la figura anterior desde la esquina sureste. Ponga clavos en el suelo en la propia localización para medir las ordenadas (offsets) a las estacas. Se determinan las alineaciones de las estacas a partir de cada uno de los clavos establecidos sobre la línea base y midiendo 90˚ con respecto una de las esquinas de la línea de propiedad, colocando el teodolito sobre los clavos anteriormente puestos sobre la línea de propiedad. Estacas en ángulo recto deben ser colocadas en las distancias correctas. Marque la elevación final del piso en todas las estacas. Método de ángulo y distancia. La localización de las estacas puede ser designada por ángulo y distancia. Este método se ilustra en la siguiente figura. Ejemplo Dado un plan de ploteo como el mostrado en la figura siguiente, para un edificio de 50 de ancho y 135 pie 4 plg de largo. Se requiere colocar un set de estacas a 25 pies del lado este (frente) de la propiedad y 25 pies de la línea sur de la propiedad. Las estacas estarán separadas 10 pies de las esquinas del edificio de manera que no sean alteradas por las labores de construcción. Encuentre el ángulo y distancia de las estacas de los puntos sureste y noreste de control. 98 Ing. Sergio Navarro Hudiel UNI -Norte Enero 2008 Topografia II Solución: Coloque un punto de control en la esquina sur este de la propiedad. Desde este punto se colocarán 4 estacas de ordenada (offsets), las fórmulas a usar son las siguientes: Tan a = W/N L = W/sen a Donde ; N= Distancia norte de la línea de propiedad sur (N puede también ser la distancia sur del punto de control norte). W = distancia oeste de la linea este de la propiedad a= ángulo entre la línea de propiedad y la línea desde las estacas al punto de control L= distancia desde el punto de control a la estaca. 99 Ing. Sergio Navarro Hudiel UNI -Norte Enero 2008 Topografia II De la figura 9-4 las distancias para los set de estacas dadas y la información de sus ordenadas (offsets) puede tabularse para un más fácil manejo. Set de estacas del lado sur La estaca 1 es norte 25 y oeste 15 desde la línea de propiedad. Use la fórmula para encontrar tan a = W/N = 15/25 = 0.600000, entonces arctan a = arctan(0.60) = 30˚58΄ Encuentre el sena = sen(30˚58΄) = 0.51454 Ahora use la fórmula dada L = W/sen a = 15/0.51454 = 29.15 pie. 1 Haga la siguiente tabla: Estaca N W 1 2 3 4 25 15 15 25 15 25 75 85 Tan a W/N 0.6000 1.66667 5.00000 3.40000 a Sen a 30˚ 58΄ 59˚ 02΄ 78˚ 42΄ 73˚ 37΄ 0.51454 0.85747 0.98061 0.95940 L=W/sen a 29.15 29.15 76.49 88.60 Set de estacas del lado norte Para obtener el punto de control norte vise sobre la línea de propiedad y mida una distancia de 185.33 (las 25 unidades al set hacia atrás del sur + 135.33 largo del edificio + 25 unid. añadidas hacia el 1 Notas topografia II Preparadas por Ing. Danny Montenegro A 2006 UNI Norte 100 Ing. Sergio Navarro Hudiel UNI -Norte Enero 2008 Topografia II norte). Este punto es nuestro punto de control en el lado norte del edificio. Realice los mismos cálculos matemáticos que para el punto de control sur. Dado que las mismas 25 unidades de distancia son añadidas a partir del edificio, tanto en el norte como en el sur (Longitud + 25 unid. ), las respuestas van a ser las mismas para ambas tablas, la única diferencia es que la dirección norte es cambiada por la sur en la segunda tabla. Estaca S W 1 2 3 4 25 15 15 25 15 25 75 85 Tan a W/N 0.6000 1.66667 5.00000 3.40000 a Sen a 30˚ 58΄ 59˚ 02΄ 78˚ 42΄ 73˚ 37΄ 0.51454 0.85747 0.98061 0.95940 L=W/sen a 29.15 29.15 76.49 88.60 Este método da buenos resultados para distancias cortas a medir, pero para distancias largas causa error. Tiene además algunas limitaciones en cuanto a que condiciones del sitio puedan obstruir la visibilidad, haciendo imposible su uso. En condiciones de distancias cortas y sin problemas de visualización el método de ángulo y distancia es un buen método a usar, tal como permite ahorrar tiempo y dinero. El método de la línea base y offset es mas fácil de visualizar en el campo, lo que ayuda a evitar equivocaciones. Cualquiera de los métodos que use deberá ser chequeado por diagonales. La longitud correcta de la diagonal deberá ser calculada antes de ir al terreno, o se deben medir dos diagonales para qué tanto son iguales. Las diagonales se pueden fijar desde clavos o de estaca a estaca. Plantas complejas: método coordinado. Si el diseño de una edificación es complejo, tal como una fábrica o planta, el diseñador frecuentemente proporciona las coordenadas de puntos clave de construcción, basadas en dos líneas base mutuamente perpendiculares. Se usan monumentos (Mojones) para establecer las líneas bases. El topógrafo debe hacer uso de estos monumentos permanentes (Barras de acero colocadas en una base de concreto). Estos deben estar disponibles para control o reparar alteraciones después de construida la planta. El topógrafo debe colocar estacas de construcción a medida que se necesite durante el proceso de construcción, tal como se hace en cualquiera otros métodos. El método de La línea base y ordenada (Linea base y offset) o el de ángulo y distancia puede ser empleado usando puntos sobre una línea base para el estacionamiento del aparato. Estableciendo línea en el campo: Marcando posición El proceso de dar una línea consiste en el establecimiento del ángulo y distancia predeterminados y la colocación de una serie de marcas sobre ella (usualmente a una distancia o separación dada). Los ángulos son establecidos con teodolito y las distancias con cinta metálica o cadena de topógrafo. Estableciendo un ángulo: El procedimiento de establecer ángulos es como sigue. Primero estacione el tránsito en el punto vértice del ángulo y siga los siguientes pasos. 101 Ing. Sergio Navarro Hudiel UNI -Norte Enero 2008 Topografia II 1. Vise la marca primera del ángulo con el movimiento horizontal superior, fije el movimiento horizontal y coloque el vernier horizontal en cero con el tornillo de enrase, con esto se establece una de las dos líneas que se interceptan en el vértice. 2. Suelte el movimiento horizontal determine en el vernier la lectura del ángulo horizontal que se desea establecer aproximadamente, fije el movimiento horizontal y complete la lectura requerida con el tornillo de movimiento fino horizontal. Coloque una marca en la nueva línea. Con esto se habrá establecido la segunda línea del ángulo deseado. Cuando se requiere mayores precisiones que la mitad de un minuto, el ángulo debe ser establecido por repetición y ajustar la marca de acuerdo con los resultados. La distancia que la marca deberá moverse es computada por trigonometría. Si el error es menor de 3 minutos de arco, la siguiente fórmula es suficientemente precisa. D= 0.00000485 SR. DondeD= Distancia a mover la marca 0.00000485 = Número de radianes en un segundo de arco. S = Segundos de error R = Distancia desde el tránsito a la marca de la estaca. Es un buen procedimiento rechequear el ángulo por repetición. Si es posible más de una marca en la línea de visual, siempre tome el punto más distante ya que esto reduce el error de visado. Ejemplo: En la figura se muestra una visual a una marca de 400 pies distantes del vértice . El ángulo pretendido es de 90˚00΄00˝. El ángulo medido por repetición fue de 90˚00΄08˝. Determine que tánto debe moverse la marca para ajustar el ángulo. 90˚00΄00˝ - 90˚00΄08˝ = 08 segundos de error Use la fórmula D= 0.00000485 SR = 0.00000458(08)(400) = 0.0167 pie. Entonces la marca debe moverse 0.0167 pie hacia la derecha. Delimitación de cuencas topográficas y volúmenes. 102 Ing. Sergio Navarro Hudiel UNI -Norte Enero 2008 Topografia II Los mapas de contorno o curvas de nivel son utilizados para la delimitación de cuencas topográficas, lo cual es de mucha importancia en el diseño de obras tales como embalses para plantas hidroeléctricas o para almacenamiento de agua para acueductos. La delimitación de la cuenca topográfica se hace sobre la base de las curvas de nivel, delimitando los límites de la misma, su área, niveles, vaguadas y parteaguas. Ejemplo de delimitación del contorno del talud de una presa con inclinaciones de 1:1 en dirección aguas arriba y 2:1 agua abajo, cuando se dispone de su ubicación en un plano de curvas de nivel. Ver gráfico siguiente: DETERMINACION DEL BORDE DEL TALUD DE UNA PRESA borde talu pend 2:1 borde 1:1 espejo de agua 74 73 72 74 70 68 68 72 70 70 72 72 ELEV. CORONA :73 74 74 CL 1:1 2:1 Es posible determinar los volúmenes dentro de la cuenca por medio de secciones transversales dispuestas verticalmente, usando las áreas horizontales contenidas por las curvas de nivel y aplicando el método del área terminal o la fórmula prismoidal, debiéndo usarse la menor equidistancia posible, 1 ó 2 metros. El área encerrada en cada curva se obtiene de un plano con un planímetro. En el cálculo del volumen, el área encerrada por dos curvas sucesivas es usada en la fórmula de áreas terminales, de donde : V = Volumen de agua, tierra, material volcado,etc, entre las curvas de nivel X e Y. V = D *(Ax + Ay)/2, donde D = Equidistancia de curva. Cuando se requiera mayor precisión puede usarse la fórmula prismoidal tratando las áreas alternadas como área medias siendo la expresión: 103 Ing. Sergio Navarro Hudiel UNI -Norte Enero 2008 Topografia II V= D/6 *(A1 + 4M + A2), donde : D= equidistancia A1 y A2 = Areas terminales M= Area media. . Ejemplo: Las áreas de las curvas de nivel de un lago son las siguientes: Linea de Nivel (m SNMM) 190 188 186 184 182 Area m2 3150 2460 1630 840 210 Calcular el volumen del agua entre las curvas de nivel 182 y 190. Por área terminales para una serie de secciones consecutivas, el vo lumen será: Volumen =฀V = D1*(A1+A2)/2 + D2* (A2+A3)/2 + D3*(A3+A4)/2 +…. Si D1=D2=D3, etc = D, entonces: Volumen =฀V = D * [ ( A1+An)/2 + A2+A3+ . . . + A n-1) ] A la cual se le conoce como regla trapezoidal para volúmenes. OBRA DE CONTENCION V= 2 * [(3150+210)/2 + 2460 + 1630 + 840)] = 13,220 m3. 180 182 184 186 188 CALCULO DE VOLUMENES CON CURVAS DE NIVEL 104 Ing. Sergio Navarro Hudiel UNI -Norte Enero 2008