Approximate Medial Axis for CAD Models [Extended Abstract] Tamal K. Dey Hyuckje Woo Wulue Zhao Dept. of CIS The Ohio State University Columbus, OH 43210, USA Dept. of CIS The Ohio State University Columbus, OH 43210, USA Dept. of CIS The Ohio State University Columbus, OH 43210, USA tamaldey@cis.ohiostate.edu wooh@cis.ohio-state.edu zhaow@cis.ohiostate.edu ABSTRACT ✁✄✂✆☎✝✂✟✞✡✠☞☛✌✞✍✂✆✎✏✂✆✠☞✞✍✑✡✒✓✒✔✠✕☎✝✂✗✖✙✘✛✚✢✜✤✣✍✂✕✥✦✘✛✧★✣✩✣✍✒✪✂✗✖✙✘✫✣✍✂✆✜✤✣✍✚✬✠✫☛✭✧✔✎✏✂✗✘✫✮✯✣✍✒✪✂ ✰ ✂✆✥✪✚✬✠✫☛★✠☞✱★✚✢✎✲✚✢✜✳☎✛✠✴✞✍✚✢✘✛✧✔✎✶✵✫✂✆✘ ✰ ✂✷✣✏✞✍✚✬✑ ✰ ✘✄✥★✂✆☛✢✚✢✜✔✵✸✠☞✖✔✖✪☛✬✚✢✑✕✠✴✣✍✚✢✘✛✜✔✎✆✹✌✺✻✒✪✂ ✑✟✘ ✰ ✖✔✧★✣✡✠☞✣✍✚✢✘✛✜✼✘☞✮★✣✍✒✪✂ ✰ ✂✆✥✪✚✬✠✫☛✛✠☞✱★✚✢✎✽✮✾✘☞✞✲✠✻✣✍✒✪✞✍✂✆✂✿✥✪✚ ✰ ✂✆✜✪✎✏✚✢✘✛✜❀✠☞☛✤✎✏✒❀✠☞✖✙✂ ✘☞✮❁✣✍✂✆✜✓❂✙✂✆✑✆✘ ✰ ✂✆✎✩✣✍✒✪✂ ✰ ✠✕❃❄✘☞✞✗❂✙✘✫✣✏✣✍☛✢✂✆✜✪✂✆✑✡❅✦✚✢✜✓✣✍✒✪✂✆✎✏✂❆✠☞✖✔✖✪☛✬✚✢✑✕✠✴✣✍✚✢✘✛✜✔✎✆✹ ✺❇✘✴❈✻✠☞✞✡✥★✎✿✣✍✒✪✚✬✎✲✂✆✜✔✥❊❉✛✚✬✜✳✠❋✞✍✂✆✑✆✂✆✜✤✣✲❈✻✘☞✞✍❅✙❉✛❈✻✂✯✎✏✧✪✵✛✵✛✂✟✎❄✣✍✂✕✥✗✠✫✜✳✂✷●✗✑✆✚✢✂✆✜✤✣ ✠☞☛✢✵✛✘✫✞✍✚❍✣✍✒ ✰ ✣✍✒❀✠☞✣✶✠✫✖✔✖★✞✍✘✕✱✪✚ ✰ ✠✴✣✍✂✆✎✽✣✍✒✔✂ ✰ ✂✕✥✪✚✬✠☞☛✄✠☞✱★✚✢✎✶✘✫✮✙✠✯✎✏✒❀✠☞✖✙✂✭✮❁✞✍✘ ✰ ✠■✖✙✘✛✚✢✜✤✣✲✎✍✠ ✰ ✖✪☛✬✂✫✹✶✺✻✒✔✂✭✚✬✜✪✖✔✧★✣❏✣✍✘❋✣✍✒✪✚✬✎✲✠☞☛✢✵✛✘✫✞✍✚❍✣✍✒ ✰ ✚✬✎✶✘✫✜✔☛❍❑✼✣✍✒✔✂✌✑✆✘✤✘✫✞✏▲ ✥★✚✢✜❀✠☞✣✍✂✟✎✻✘✫✮❊✣✍✒✔✂■✎✍✠ ✰ ✖✪☛✬✂■✖✙✘✛✚✢✜✤✣✍✎✆✹✿▼❋✎✭✠✼✞✍✂✟✎✏✧✔☛❍✣✭✣✍✒✪✂◆✠☞✖✔✖✪✞✍✘✕✱★✚ ✰ ✠☞✣✍✚✢✘✛✜ ❖ ✧✔✠✫☛✢✚❍✣P❑◗✚✬✎❘☛✢✚ ✰ ✚❍✣✍✂✕✥❙❂✤❑❚✣✍✒✔✂❯✚✢✜✔✖✪✧✪✣❘✎✍✠ ✰ ✖✔☛✢✂❱✥✪✂✆✜✪✎✏✚❍✣P❑✤✹❳❲◆✘✕❈✻✂✟☎✝✂✟✞✕❉ ✚✢✜✓✵✛✂✆✘ ✰ ✂✟✣✏✞✍✚✢✑❯✠☞✖✔✖✔☛✢✚✢✑✕✠✴✣✍✚✬✘✫✜✔✎❘✚✢✜✄☎✝✘✛☛✢☎✄✚✢✜✔✵❩❨✻▼❋❬ ✰ ✘✄✥✪✂✆☛✢✎✆❉✿✣✍✒✔✂❭✎✏✧✪✞✏▲ ✮✾✠✫✑✆✂✟✎■✮❪✞✍✘ ✰ ❈✯✒✔✚✢✑✡✒❯✎✍✠ ✰ ✖✪☛✬✂✟✎❫✜✔✂✆✂✕✥❭✣✍✘✳❂✙✂❴✥✪✂✷✞✍✚✬☎✛✂✕✥❆✠✴✞✍✂❴❅★✜✪✘✕❈✯✜❇✹✲❵P✜ ✣✍✒✪✚✢✎❛✖✔✠✫✖✙✂✟✞❭❈✻✂❱✎✏✒✔✘✕❈❜✒✔✘✕❈❝✣✍✘❞✣✡✠✫❅✝✂❡✠✫✥✪☎✫✠✫✜✤✣✡✠✫✵✫✂❢✘✫✮✼✣✍✒✔✚✢✎❭✠✦✖✪✞✍✚❍▲ ✘☞✞✍✚✶❅✄✜✔✘✕❈✯☛✢✂✕✥✪✵✫✂❣✚✢✜❱✘✛✧✪✞ ✰ ✂✕✥✪✚✬✠✫☛❏✠☞✱★✚✢✎✸✠✫✖✪✖✪✞✍✘✕✱★✚ ✰ ✠☞✣✍✚✢✘✛✜❡✠✫☛✢✵✫✘✫✞✍✚❍✣✍✒ ✰ ✹ ✺✻✒✪✚✢✎❋✚✢✎❋✠✫✑✡✒✔✚✢✂✆☎✝✂✕✥❛❂✄❑❘❤✪✞✍✎❄✣❋✎✍✠ ✰ ✖✔☛✢✚✢✜✔✵❣✣✍✒✪✂✐❨✻▼❋❬❥✎✏✧★✞✏✮❦✠✫✑✟✂✆✎◆✠☞✖✔✖★✞✍✘✫▲ ✖★✞✍✚✬✠☞✣✍✂✆☛❍❑❆✠✫✜❀✥❭✣✍✒✔✂✆✜ ✰ ✘✄✥✪✚❍✮❁❑★✚✢✜✔✵❣✣✍✒✪✂ ✰ ✂✕✥★✚❪✠☞☛✽✠✴✱★✚✬✎■✠☞✖✔✖✪✞✍✘✕✱★✚ ✰ ✠☞✣✍✚✢✘✛✜ ✠☞☛✢✵✛✘✫✞✍✚❍✣✍✒ ✰ ✣✍✘❆✂✟✱★✖✔☛✢✘✫✚✢✣❴✣✍✒✪✂❣❅✄✜✔✘✕❈✯✜✦❧ ✮✾✂✕✠✴✣✍✧✪✞✍✂✆✎✆♠❇✘✫✮✌✣✍✒✔✂✳✚✢✜✔✖✪✧✪✣◆✎✏✧✪✞✏▲ ✮✾✠✫✑✆✂✟✎✆✹♥✺✻✒✔✂ ❖ ✧❀✠☞☛✬✚❍✣♦❑◗✘☞✮❴✣✍✒✔✂❱✠☞✖✔✖✪✞✍✘✕✱★✚ ✰ ✠☞✣✍✚✢✘✛✜♣✠✫✑✡✒✔✚✢✂✆☎✝✂✕✥◗❂✄❑❚✣✍✒✪✂ ✰ ✂✷✣✍✒✔✘✄✥❆✚✢✎◆✎✏✧★✞✍✖✪✞✍✚✢✎✏✚✢✜✔✵✫☛✢❑❯✒✔✚✢✵✛✒❡✠✫✎❋✘✛✧★✞◆✂✟✱★✖✙✂✟✞✍✚ ✰ ✂✆✜✤✣✡✠☞☛❇✞✍✂✆✎✏✧✪☛✢✣✍✎❋✂✟✱✄▲ ✒✪✚✢❂✔✚❍✣✕✹ Categories and Subject Descriptors ❵✡✹ q★✹ r✼s t✐✉✙✈❩✇✶①✽②✆③✄④◆⑤❭④✴⑥✔✇❏⑦❏⑧✾⑨✝⑩✟❶❸❷✲❨✭✘ ✰ ✖✔✧★✣✡✠☞✣✍✚✢✘✛✜✔✠✫☛✄❹◆✂✆✘ ✰ ✂✟✣✏✞✏❑◆✠✫✜❀✥ ❺◆❂✄❃❄✂✟✑✟✣✯❻❆✘✄✥★✂✆☛✢✚✬✜✪✵✪❼★❵✷✹ ❽✗s ❾✆✈❡⑥✔❿❀③❛➀✸④✴✉❇⑨✫③✪⑩✕⑩✕⑧❁➁✽❿❩⑥✔➁❏➂❚t✐✉✙✈❩✇✶①✽②✆③✄④ ➃ ⑧✾⑩✕⑧❁✉❀➁❇❶❸❷✭➄■✂✆✑✆✘✫✜✔✎❄✣✏✞✍✧✔✑✷✣✍✚✬✘✫✜❇❉ ❵ ✰ ✠☞✵✛✂❴➄■✂✆✖✪✞✍✂✟✎✏✂✆✜✤✣✡✠☞✣✍✚✢✘✛✜ General Terms ▼■☛✢✵✛✘✫✞✍✚❍✣✍✒ ✰ ✎✆❉❀➅✶✱★✖✙✂✟✞✍✚ ✰ ✂✆✜✤✣✡✠☞✣✍✚✢✘✛✜❊❉✔✺✻✒✪✂✆✘✫✞✏❑✤❉✪❬✸✂✆✎✏✚✢✵✫✜❇✹ Keywords ❻❆✂✆✥✪✚✬✠✫☛✽✠☞✱★✚✢✎✆❉✙➆❏✘✛✚✢✜✤✣■✑✆☛✢✘✛✧✔✥❊❉✪➇✌✘☞✞✍✘✛✜✔✘✫✚✽✥★✚✬✠✫✵✫✞✡✠ ✰ ✹ ✺✻✒✔✚✢✎❏❈✻✘☞✞✍❅❴✚✬✎✶✖✔✠☞✞✏✣✍✚✬✠✫☛✢☛❍❑✐✎✏✧✔✖✪✖✙✘✫✞✏✣✍✂✕✥✼❂✤❑❴➈❴✁★➉❆✧✔✜✔✥✪✂✟✞✽✵✫✞✡✠✫✜✤✣✲❬✼❻❢✁✤▲ ✄➊ ➋ q✫➌✫❽✤r☞➍✗✠✫✜✔✥❘✎✏✧✪❂✙✑✆✘✛✜✤✣✏✞✡✠☞✑✟✣✻✮❁✞✍✘ ✰ ✁✄✣✡✠☞✜✪✮❁✘✫✞✡✥❘➎◆✜✔✚✢☎✝✂✷✞✍✎✏✚✢✣♦❑❘✠✫✜✔✥❘✠✫☛✢✎✏✘ ✣✍✒✪✂❴✵✫✞✡✠☞✜✄✣■➅✲❵❄▼✯▲ ➊★➋✕➊✛➏✛➏ ➌ ➊ ✹ 1. INTRODUCTION ✺✻✒✔✂ ✰ ✂✕✥✪✚✬✠✫☛✲✠✴✱★✚✬✎✼✘☞✮❫✠❭✣✍✒★✞✍✂✆✂✗✥★✚ ✰ ✂✟✜✔✎✏✚✢✘✛✜✔✠✫☛✲✎✏✒❀✠☞✖✙✂❣✂ ✰ ❂✙✂✕✥✔✥★✂✕✥ ✚✢✜❙✣✍✒✪✞✍✂✟✂❱✥✪✚ ✰ ✂✆✜✔✎✏✚✢✘✫✜✔✎❘✚✢✎❘✣✍✒✪✂❢✑✆☛✢✘✛✎✏✧★✞✍✂❡✘☞✮✐✠✫☛✢☛◆✖✙✘✫✚✢✜✄✣✍✎✗✣✍✒✔✠☞✣❭✒❀✠✕☎✝✂ ✰ ✘✫✞✍✂❢✣✍✒✔✠✫✜♣✘✫✜✔✂❱✑✆☛✢✘✛✎✏✂✆✎❄✣❆✖✙✘✛✚✢✜✤✣❆✘✫✜♣✣✍✒✔✂❱✎✏✒❀✠☞✖✙✂❱❂✙✘✛✧✔✜✔✥✔✠✴✞✏❑✤✹❥▼❋✎ ✠❘✎✏❅✝✂✆☛✢✂✟✣✍✘✛✜❱✎✏✒✔✠✫✖✙✂✩✞✍✂✟✖✪✞✍✂✆✎✏✂✆✜✤✣✡✠✴✣✍✚✬✘✫✜❇❉ ✰ ✂✕✥★✚❪✠☞☛✶✠☞✱★✚✢✎✸✒✔✠✫✎✸❂✙✂✆✂✟✜❡✧✪✎✏✂✕✥ ✚✢✜❩☎✫✠☞✞✍✚✢✘✫✧✔✎❴✠☞✖✔✖✔☛✢✚✢✑✕✠✴✣✍✚✬✘✫✜✔✎✼✚✢✜✔✑✆☛✢✧✔✥✪✚✢✜✔✵❭✚ ✰ ✠✫✵✛✂✩✖✪✞✍✘✤✑✆✂✟✎✏✎✏✚✬✜✪✵❞s ➏✄➋ ❉ ➏✫➏ ❶❸❉ ✑✆✘ ✰ ✖✔✧✪✣✍✂✷✞✲☎★✚✢✎✏✚✢✘✛✜❢s ➌✄❉ ➋ r✕❶➐❉✝✎✏✘✛☛✢✚✬✥ ✰ ✘✄✥✪✂✆☛✢✚✢✜✔✵✳s ➋✕➑ ❉ ➏ q✄❉ ➏ r✤❉ ➏ ➍✴❶❸❉ ✰ ✂✆✎✏✒ ✵✛✂✟✜✔✂✟✞✡✠✴✣✍✚✬✘✫✜➒s ➏ ❽✫❶■✠✫✜✔✥ ✰ ✠✫✜✤❑❩✘✫✣✍✒✔✂✷✞✍✎❆s ➋ ➍✄❉ ➋✆➓ ❉ ➏✛➑ ❶➐✹✦✺✻✒✔✂ ✰ ✂✕✥✪✚✬✠☞☛ ✠☞✱★✚✢✎❆✣✍✘✫✵✛✂✟✣✍✒✪✂✟✞❯❈✯✚❍✣✍✒➔✣✍✒✔✂❩✥✪✚✢✎❄✣✡✠✫✜✪✑✆✂❩✣✍✘❚✣✍✒✔✂❱❂✙✘✛✧✪✜❀✥✪✠☞✞✏❑→✠✴✣❯✂✕✠☞✑✷✒ ✖✙✘✛✚✢✜✤✣✿✚✢✎✿✑✆✠✫☛✢☛✢✂✕✥❣✣✍✒✔✂ ✰ ✂✆✥✪✚✬✠✫☛✪✠☞✱★✚✢✎✶✣✏✞✡✠✫✜✔✎❄✮❁✘✫✞ ✰ ✹✿✁✄✚✢✜✔✑✆✂❫✚❍✣✲✂✆✎✏✎✏✂✆✜✤✣✍✚✬✠✫☛✢☛❍❑ ✑✕✠☞✖✪✣✍✧✪✞✍✂✟✎✼✣✍✒✪✂✳✎✏✒❀✠☞✖✙✂✗✚✢✜✪✮✾✘☞✞ ✰ ✠☞✣✍✚✢✘✛✜❊❉❏✣✍✒✔✂ ✰ ✂✕✥✪✚✬✠✫☛✿✠✴✱✪✚✢✎❴✣✏✞✡✠✫✜✪✎❄✮✾✘☞✞ ✰ 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PRELIMINARIES ➥❇✂✷✣✸Ö❥❂✙✂✐✠✳✖✙✘✛✚✢✜✤✣◆✎✍✠ ✰ ✖✔☛✢✂✸✮❁✞✍✘ ✰ ✠✳✑✟✘ ✰ ✖❀✠☞✑✟✣❋✎✏✧✪✞✏✮❦✠☞✑✆✂❣×✓Ø◗Ù✭Ú ❈✯✚❍✣✍✒✔✘✫✧✪✣❫❂✙✘✫✧✔✜❀✥✪✠☞✞✏❑✤✹✲▼→❂❀✠☞☛✢☛✙✚✬✎❫✑✆✠✫☛✢☛✢✂✕✥❡Û✗➡✍Ü Ð ❮✛➠✝✚❍✮❏✚❍✣ ✰ ✂✟✂✟✣✍✎❫×✦✘✛✜✪☛❍❑ ✣✡✠✫✜✪✵✛✂✆✜✤✣✍✚✬✠✫☛✢☛❍❑❛✚✬✜❆✠☞✣✯☛✢✂✕✠☞✎❄✣■✣♦❈✻✘✩✖✙✘✛✚✢✜✤✣✍✎✆✹✭✺✻✒✪✂ ✰ ✂✕✥★✚❪✠☞☛❊✠☞✱★✚✢✎■ÝÞ✘✫✮✶× ✚✢✎❋✣✍✒✪✂✐✑✟☛✬✘✫✎✏✧✪✞✍✂✐✘✫✮✿✣✍✒✔✂✼✎✏✂✟✣❋✘✫✮✿✑✆✂✆✜✤✣✍✂✟✞✍✎❋✘✫✮✌✠✫☛✢☛ ✰ ✂✆✥✪✚✬✠✫☛❏❂✔✠✫☛✢☛✢✎✆✹❋➅✌✠☞✑✷✒ ✖✙✘✛✚✢✜✤✣✶✘✫✜✳×❆✒✔✠✫✎✽✣♦❈✻✘ ✰ ✂✕✥✪✚✬✠✫☛✛❂❀✠✫☛✢☛✢✎✆❉✝✘✫✜✔✂✿✣✍✘✛✧✔✑✡✒✔✚✢✜✪✵❋✚❍✣❏✮❪✞✍✘ ✰ ✘✫✧✪✣✍✎✏✚✬✥✪✂ ✠✫✜✔✥✼✣✍✒✪✂✻✘✫✣✍✒✪✂✟✞❏✣✍✘✫✧✔✑✡✒✔✚✢✜✔✵❋✚✢✣✽✮❁✞✍✘ ✰ ✚✢✜✪✎✏✚❪✥★✂✛✹✶❵➐✣❏✮✾✘✫☛✬☛✢✘✕❈✯✎✲✣✍✒❀✠☞✣✽✣✍✒✔✂✭☛✢✚✢✜✔✂ ✵✛✘✫✚✢✜✔✵❯✣✍✒✪✞✍✘✫✧✔✵✫✒✦✠❆✖✙✘✫✚✬✜✤✣■ß◗à❙×→✠✫✜✔✥❡✣✍✒✔✂❣✑✆✂✆✜✤✣✍✂✟✞✍✎✼✘✫✮✯✚❍✣✍✎ ✰ ✂✕✥✪✚✬✠☞☛ ❂❀✠☞☛✢☛✬✎■✚✢✎✯✜✔✘✫✞ ✰ ✠☞☛✙✣✍✘❘×✓✠✴✣✿ß✽✹ ✺✻✒✔✂❩✎✏✧✪✞✏✮✾✠✫✑✆✂✓×á✎✏✂✆✖✔✠☞✞✡✠✴✣✍✂✆✎❆Ù✭Ú✓✚✢✜✤✣✍✘✓✣♦❈✻✘◗✘✛✖✙✂✆✜❳✎✏✧✔❂✪✎✏✂✟✣✍✎❡×✲â ✠✫✜✔✥❡×✻ã➣❈✯✒✪✂✟✞✍✂✗×✲â◗✚✢✎✸❂✙✘✫✧✔✜✔✥✪✂✕✥↕❉❊×✭ã◗✚✢✎❋✧✔✜✄❂✙✘✛✧✪✜❀✥✪✂✆✥❢✠✫✜❀✥❆Ù✭Ú✳ä × â✼å × ã❇æ❀å ×✭✹✿✺✻✒✔✂ ✰ ✂✕✥★✚❪✠☞☛❀✠✴✱✪✚✢✎✻Ýç✘✫✮✽×❩✒✔✠✫✎✲✣P❈✻✘✼✑✆✘ ✰ ✖✙✘✛✜✪✂✆✜✤✣✍✎✆❉ ✣✍✒✔✂ Ð ✃✔✃↕➡✷è✗Û✗➡✏Ü Ð 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➟✫è◆❮✫✃✳õ✄❰❸➢✷❮✫Û◆➞✙➠✬➡✸➟ ✧ ❮✩➢✍ì✄è ✧ ❮❂✕✡➡■×⑦⑥➣Ù✻Ú✠❊ Ð✾Ï ✥✪➟✫ì Ï ✯ ➟✫ì✄✃✙Ü✛❮✫è ✶ ✪ ➡ ✥★❮✱✓✫➡■☛✢✚ ✰ ④✖⑨♦⑩✦q❘④ ä❳❶ Ý ✰❷❊●✥✔➡✷è✍➡✸Ý Ð ➢ Ï ✥✔➡❴Û❘➡✏Ü Ð ❮✛➠❇❮✕é Ð ➢❴➟ ✧ × ✪ ⑧ ✸ 4. ALGORITHM ❸⑦❁❄✽ ✺✼✻✾✽❀✿❂❁❀❃ ✺ ✒✪✂✐✠✫☛✢✵✛✘☞✞✍✚✢✣✍✒ ✰ ➫❩➭✪➯❊➲❪➨❊➧❣✖★✞✍✘✄✥✪✧✔✑✟✂✆✎❋✜✪✚✢✑✆✂❴✞✍✂✆✎✏✧✔☛❍✣✍✎■✚✢✮✶✣✍✒✪✂✼✚✬✜✪✖✔✧★✣ ✻ ✖✙✘✫✚✢✜✄✣❣✎✏✂✟✣✳✚✢✎✩✎✏✧✪●✗✑✆✚✢✂✆✜✤✣✍☛❍❑❚✥★✂✆✜✔✎✏✂✛✹❡➎❋✎✏✧❀✠✫☛✢☛❍❑✦✣✍✒✪✂❛✎✏✧★✞✏✮❦✠✫✑✟✂✆✎✳✘✫✮✯✣✍✒✪✂ ❨✻▼■❬Õ✘✫❂★❃P✂✆✑✟✣✍✎❫✠✴✞✍✂◆✜✔✘✫✜✪▲➐✎ ✰ ✘✤✘✫✣✍✒❭✠☞✜❀✥✗✚❍✣❫✚✢✎✻✚ ✰ ✖✙✘✛✎✏✎✏✚✢❂✔☛✢✂❋✣✍✘✐✎✍✠ ✰ ✖✪☛✢✂ ✜✪✘✛✜★▲♦✎ ✰ ✘✤✘☞✣✍✒❡✞✍✂✟✵✛✚✢✘✛✜✪✎❴✎✍✠☞✣✍✚✢✎❄✮❁❑★✚✢✜✔✵❆✣✍✒✪✂❣õ✕▲➐✎✍✠ ✰ ✖✪☛✬✚✢✜✪✵❭✑✟✘✛✜❀✥★✚❍✣✍✚✬✘✫✜❩✮❁✘✫✞ ✠☞✜✤❑➣❹ õ ❆ ➊ ✹➣▼■✎✳✠❯✞✍✂✆✎✏✧✔☛❍✣✕❉✲✣✍✒✔✂❛✠✫✖✪✖✪✞✍✘✕✱★✚ ✰ ✠☞✣✍✚✢✘✛✜➣❂✙✂✆✑✟✘ ✰ ✂✆✎✩✖✙✘✤✘✫✞ ✜✪✂✕✠☞✞■✣✍✒✔✂✟✎✏✂✼✞✍✂✟✵✛✚✢✘✛✜✪✎✆✹❫Ò✦✂❴✧✔✎✏✂❴✣✍✒✪✂❴❅★✜✪✘✕❈✯☛✬✂✆✥✪✵✛✂✐✘✫✮✶✣✍✒✪✂❴✚✢✜✔✖✔✧★✣■✎✏✧✪✞✏▲ ✮✾✠✫✑✆✂❴✣✍✘✳✎✏✘✫☛✢☎✝✂✸✣✍✒✔✚✢✎✯✖✪✞✍✘✫❂✔☛✢✂ ✰ ✹ 4.1 Difficulties 4.1.1 Completion ❵➐✣✽✮❁✘✛☛✢☛✢✘✴❈✯✎✲✮❁✞✍✘ ✰ ✣✍✒✪✂✻✥✪✂✷❤❀✜✔✚❍✣✍✚✢✘✛✜❴✣✍✒✔✠☞✣❏✣✍✒✪✂ ✰ ✂✕✥★✚✬✠✫☛✄✠☞✱★✚✢✎❏✘☞✮❀✠■✜✔✘✛✜★▲ ✎ ✰ ✘✤✘☞✣✍✒❛✎✏✧★✞✏✮❦✠☞✑✆✂❴✖❀✠☞✎✏✎✏✂✆✎✻✣✍✒✪✞✍✘✫✧✔✵✛✒❘✣✍✒✔✂❋✖✙✘✛✚✢✜✤✣✍✎✻❈✯✒✔✂✟✞✍✂❋✣✍✒✔✂◆✎✏✧★✞✏✮❦✠☞✑✆✂ ✚✢✎❋✜✔✘✛✜★▲➐✎ ✰ ✘✤✘✫✣✍✒❇✹✿Ò✦✂✸❈✭✘✛✧✪☛❪✥❯❂✙✂✼✚✢✜✤✣✍✂✟✞✍✂✆✎❄✣✍✂✕✥❯✚✢✜❆✣✍✒✪✂✼✚✬✜✪✜✔✂✟✞ ✰ ✂✕✥★✚✬✠✫☛ ✠✴✱★✚✬✎✆❉❀✚❸✹ 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✘✤✘☞✣✍✒❯✞✍✂✆✵✛✚✢✘✫✜✔✎✸✚✢✎✸✖✙✘✤✘☞✞✕✹✸➄■✂✟▲ ✑✆✠✫☛✢☛❏✣✍✒❀✠✴✣◆✣✍✒✔✂✼✖✙✘✫☛✬✂✩☎✝✂✆✑✟✣✍✘☞✞✍✎◆✂✆✎❄✣✍✚ ✰ ✠✴✣✍✂✐✣✏✞✍✧✪✂✐✜✪✘✫✞ ✰ ✠☞☛✬✎❋✘✛✜✪☛✢❑❯✚✢✮✲✣✍✒✪✂ ✎✍✠ ✰ ✖✔☛✢✚✢✜✔✵❣✥✪✂✆✜✪✎✏✚✢✣♦❑✗✚✢✎❫✎✏✧✪●✗✑✟✚✬✂✟✜✄✣✍☛❍❑❘✒✪✚✬✵✫✒❇✹✿↔✭✧★✣✕❉✄✎✏✚✢✜✔✑✆✂◆✣✍✒✪✚✢✎❫✥✪✂✆✜✪✎✏✚❍✣P❑ ✑✆✠✫✜✔✜✪✘✫✣✯❂✙✂◆✠✫✑✡✒✔✚✢✂✆☎✝✂✕✥❘❂✤❑✗❤❀✜✪✚✢✣✍✂❋✎✍✠ ✰ ✖✪☛✬✚✢✜✪✵✩✚✢✜❛✣✍✒✪✂◆✜✪✂✆✚✢✵✛✒✄❂✙✘✫✞✍✒✪✘✤✘✄✥✪✎ ✘☞✮✶✜✔✘✫✜✪▲➐✎ ✰ ✘✤✘✫✣✍✒✗✞✍✂✆✵✫✚✢✘✛✜✔✎✆❉✪❈✻✂◆✮✾✠✫✑✆✂✼✠✐✥✪✚❍●✗✑✟✧✔☛❍✣P❑✤✹✿↔✭✘☞✣✍✒❆▼■✜✔✵✫☛✬✂✸✠✫✜❀✥ ➄❋✠☞✣✍✚✢✘✳✑✟✘✛✜❀✥★✚❍✣✍✚✬✘✫✜✔✎❋✠☞✞✍✂✼✠✴➛↕✂✆✑✟✣✍✂✕✥❆❂✤❑❘✖✙✘✤✘☞✞◆✜✪✘✫✞ ✰ ✠✫☛↕✂✆✎❄✣✍✚ ✰ ✠✴✣✍✚✬✘✫✜❇✹ ➳ ❁⑧ ❿✙①✽④✴③❻❺❊➸ ù❘✇❏✇❏④✴✉★➻✽⑧✾✈❩⑥✔②✆③★➂ ✈❩③★➂❏⑧❪⑥❀➺❢⑥✔➻❇⑧✾⑩→⑩✕⑦✽✉★➽✗➁ ➽✗⑧❁②✕⑦ ⑩✆✉✙➺✾⑧❁➂ ➃ ✉✔④☞✉❀➁✽✉✙⑧✙③★➂✽❿❀③★⑩❫➂✽✉↕③★⑩■➁❇✉❀②✯✇❏⑥❀⑩✕⑩✻②✕⑦❇④☞✉❀①✽❿✙⑦❱②✕⑦✽③✐⑨✛✉❀④☞➁✽③✄④ ✇✲✉✙⑧✾➁↕②✛➹ 4.1.3 Separation ✺✻✒✔✂❩✠✫☛✢✵✫✘✫✞✍✚❍✣✍✒ ✰ ➫❞➭★➯❇➲✬➨❇➧➣✠☞✖✔✖★✞✍✘✴✱★✚ ✰ ✠☞✣✍✂✟✎❭✣✍✒✪✂❡✂✟✜✄✣✍✚❍✞✍✂ ✰ ✂✕✥✪✚✬✠☞☛ ☞✠ ✱★✚✢✎✸✚✢✜✔✑✟☛✬✧✔✥✪✚✢✜✔✵❭❂✙✘✫✣✍✒❱✚✢✜✔✜✪✂✟✞✼✠☞✜❀✥❢✘✛✧★✣✍✂✟✞✸✘✫✜✔✂✆✎✆✹❴Ò❞✂✩✎✏✂✆✖✔✠☞✞✡✠✴✣✍✂❣✣✍✒✔✂ ✚✢✜✔✜✪✂✟✞ ✰ ✂✕✥✪✚✬✠☞☛❇✠✴✱★✚✬✎✻✮❪✞✍✘ ✰ ✣✍✒✪✂◆✘✛✧★✣✍✂✟✞✯✘✛✜✪✂✸❂✤❑✗❤✔✞✍✎❄✣❫✞✍✂✆✑✟✘✛✜✔✎❄✣✏✞✍✧✪✑✟✣✍✚✢✜✔✵ ✠✩❈✻✠☞✣✍✂✟✞✏▲❸✣✍✚✢✵✛✒✤✣■✎✏✧✪✞✏✮✾✠✫✑✆✂✸✮❪✞✍✘ ✰ ✣✍✒✔✂✸✚✢✜✪✖✔✧✪✣✻✖✙✘✛✚✢✜✤✣❋✎✍✠ ✰ ✖✔☛✢✂❴✠☞✜❀✥❭✣✍✒✪✂✆✜ ✞✍✂✟✣✡✠☞✚✬✜✪✚✢✜✔✵➣✘✛✜✪☛❍❑◗✣✍✒✔✠☞✣❘✖❀✠✴✞✏✣❭✘✫✮❴✣✍✒✔✂❯✠✫✖✔✖★✞✍✘✕✱✪✚ ✰ ✠✴✣✍✂✕✥ ✰ ✂✕✥★✚✬✠✫☛❋✠☞✱★✚✢✎ ❈✯✒✔✚✢✑✡✒❩✞✍✂✆✎✏✚✬✥★✂✆✎✩✚✢✜✪✎✏✚❪✥★✂❣✣✍✒✔✂✩❈❫✠☞✣✍✂✷✞✏▲➐✣✍✚✢✵✫✒✄✣✐✎✏✧★✞✏✮❦✠✫✑✟✂✛✹❭✺✻✒✔✚✢✎✼✎❄✣✏✞✡✠☞✣✍✂✆✵☞❑ ❈✻✘☞✞✍❅✄✎❏❈✻✂✆☛✢☛✄❈✯✚✢✣✍✒✩✎ ✰ ✘✤✘✫✣✍✒✐✎✏✧✪✞✏✮✾✠✫✑✆✂✆✎✆✹✲❵➐✮✔❈✭✂❫✠✫✖✪✖✔☛❍❑❴✣✍✒✔✂✌✎✍✠ ✰ ✂✻✎❄✣✏✞✡✠✴✣✏▲ ✂✆✵☞❑❩✚✢✜❡✑✕✠✫✎✏✂❣✘✫✮■❨✻▼■❬ ✰ ✘✄✥✪✂✟☛✬✎✆❉↕❈✭✂❣✮❦✠☞✑✆✂✳✣✍✒✔✂❣✥✪✚❍●✗✑✆✧✪☛✢✣♦❑❢✣✍✒❀✠✴✣✸✣✍✒✔✂ ✞✍✂✆✑✆✘✫✜✔✎❄✣✏✞✍✧✪✑✟✣✍✂✕✥❞❈❫✠✴✣✍✂✟✞✏▲❸✣✍✚✢✵✛✒✤✣❣✎✏✧★✞✏✮❦✠☞✑✆✂ ✰ ✠✆❑❩✒❀✠✕☎✝✂❘✎ ✰ ✠✫☛✢☛✭✠☞✞✏✣✍✚❍✮❦✠☞✑✟✣✍✎ ✜✔✂✆✠☞✞❋✜✔✘✛✜★▲➐✎ ✰ ✘✤✘✫✣✍✒❛✞✍✂✟✵✛✚✢✘✛✜✪✎✆✹✯✺✻✒✔✂✆✎✏✂✼✠✴✞✏✣✍✚❍✮❦✠✫✑✷✣✍✎❴✠✫☛✢✎✏✘✗✖✪✞✍✘✫✖❀✠☞✵✝✠☞✣✍✂❴✣✍✘ ✣✍✒✔✂✸✠✫✖✔✖★✞✍✘✕✱✪✚ ✰ ✠✴✣✍✂✕✥ ✰ ✂✆✥✪✚✬✠✫☛❊✠☞✱★✚✢✎✆✹✭✁★✚✢✜✔✑✟✂◆❈✻✂✼✠☞✚ ✰ ✮❁✘✫✞❋✠❣✑✆✘ ✰ ✖✔☛✢✂✟✣✍✂ ✰ ✂✕✥★✚❪✠☞☛★✠☞✱★✚✢✎✌✠☞✎✿✠✫✑✆✑✆✧★✞✡✠☞✣✍✂✯✠☞✎✿✖✙✘✫✎✏✎✏✚✢❂✔☛✢✂✛❉✝❈✭✂❫✎✏✂✆✂✆❅✐✠◆❂✙✂✟✣✏✣✍✂✟✞✲✎✏✘✫☛✢✧✪✣✍✚✢✘✛✜ ✣✍✘❣✣✍✒✪✚✬✎✯✖★✞✍✘✛❂✔☛✢✂ ✰ ✹ 4.2 Remedies ✺✻✒✔✂❋✧✔✜✔✥✪✂✟✞✍✎✍✠ ✰ ✖✔☛✢✚✢✜✔✵❴✑✕✠☞✧✔✎✏✂✕✥❘❂✤❑✗✜✔✘✫✜✪▲➐✎ ✰ ✘✤✘✫✣✍✒✗✂✕✥★✵✛✂✆✎✻✠✫✜❀✥✗✑✆✘☞✞✏▲ ✜✔✂✷✞✍✎■✚✢✎✯✣✍✒✔✂❴✎✏✘✫✧✪✞✍✑✆✂❴✘☞✮✿✠✫☛✢☛✽✖★✞✍✘✛❂✔☛✢✂ ✰ ✎✯✚✢✜❢✠☞✖✔✖✪✞✍✘✕✱★✚ ✰ ✠☞✣✍✚✢✜✔✵✐✣✍✒✔✂ ✰ ✂✟▲ ✥✪✚✬✠☞☛✙✠☞✱★✚✢✎✌✮❁✘✫✞■❨✻▼■❬❳✎✏✧★✞✏✮❦✠☞✑✆✂✆✎✆✹✌✺✻✒✔✂✟✞✍✂✷✮✾✘✫✞✍✂✫❉★❈✭✂❋✖✔✠✆❑✳✎✏✖✙✂✆✑✆✚✬✠☞☛↕✠☞✣✏✣✍✂✆✜★▲ ✣✍✚✢✘✛✜➣❈✯✒✔✚✢☛✢✂❆✎✍✠ ✰ ✖✔☛✢✚✢✜✔✵❯✣✍✒✪✂❛☎✄✚✢✑✆✚✢✜✔✚❍✣P❑❞✘✫✮■✣✍✒✔✂✆✎✏✂✗✞✍✂✆✵✫✚✢✘✛✜✔✎✆✹✦➉❏✚❍✞✍✎❄✣✗✘✫✮ ✠✫☛✢☛❦❉❀❈✭✂✐✑✆✠✫✜❯✎✍✠ ✰ ✖✔☛✢✂❴✜✔✘✫✜✪▲➐✎ ✰ ✘✤✘✫✣✍✒❯✂✆✥✪✵✛✂✟✎❋✠☞✜❀✥❆☎✛✂✟✞✏✣✍✚✢✑✆✂✆✎■✎✏✚✬✜✪✑✆✂❴✣✍✒✔✂ ❨✻▼❋❬➮✎✏✧★✞✏✮❦✠☞✑✆✂❘✚✬✎✐❅✄✜✔✘✕❈✯✜❇✹❆✁✄✂✆✑✆✘✛✜✔✥✪☛❍❑✤❉✽❈✭✂✗✑✕✠✫✜➣✑✡✒✔✘✤✘✫✎✏✂✗✣✍✒✔✂✳✎✍✠ ✰ ▲ ✖✔☛✢✂❋✖✔☛✬✠✫✑✆✂ ✰ ✂✆✜✤✣✍✎✻✎✏✘✐✣✍✒✔✠☞✣✻✣✍✒✪✂ ✰ ✂✕✥★✚✬✠✫☛↕✠☞✱★✚✢✎✻✑✕✠☞✜❛❂✙✂❋✑✆✘ ✰ ✖✪☛✢✂✟✣✍✂✕✥❘❂✄❑ ✑✆✘✫✜✔✜✔✂✟✑✟✣✍✚✢✜✔✵✳✚❍✣✯✣✍✘✳✖✪✞✍✘✫✖✙✂✟✞✯✂✕✥★✵✛✂✆✎❋✠✫✜✔✥❛✑✆✘☞✞✍✜✔✂✟✞✍✎✆✹ 4.2.1 Sampling ➉❏✚❍✞✍✎❄✣✕❉❇❈✭✂ ✰ ✠☞❅✝✂✩✎✏✧★✞✍✂✩✣✍✒✔✠☞✣✸✣✍✒✪✂✩✜✪✘✛✜✪▲➐✎ ✰ ✘✤✘☞✣✍✒❡✂✆✥✪✵✛✂✟✎✼✠✫✜❀✥❢☎✝✂✷✞✏▲ ✣✍✚✢✑✆✂✆✎✯✑✕✠☞✜❯❂✙✂◆✞✍✂✆✑✆✘✴☎✝✂✷✞✍✂✕✥❭✮❪✞✍✘ ✰ ✣✍✒✔✂◆❬✸✂✆☛✬✠✫✧✪✜❀✠✆❑❘✣✏✞✍✚❪✠☞✜✔✵✫✧✔☛✬✠☞✣✍✚✢✘✛✜❊❉❀✚❦✹ ✂✛✹ ✚❍✮✛ß✐✠☞✜❀✥ ✡ 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CONCLUSIONS ♦❵ ✜❛✣✍✒✪✚✬✎✯✖✔✠✫✖✙✂✟✞✕❉★❈✻✂❴✂✟✱✄✣✍✂✆✜✔✥✪✂✕✥❭✠❣✵✫✂✆✜✔✂✟✞✡✠☞☛✽✖✪✧✪✞✍✖✙✘✛✎✏✂ ✰ ✂✆✥✪✚✬✠✫☛❊✠☞✱★✚✢✎ ✠☞☛✢✵✛✘✫✞✍✚❍✣✍✒ ✰ ✣✍✘✗✣✍✒✪✞✍✂✆✂✩✥✪✚ ✰ ✂✆✜✪✎✏✚✬✘✫✜❀✠☞☛✲❨✻▼❋❬♥✘✛❂✄❃❄✂✟✑✟✣✍✎✆✹✐✁★✂✟☎✝✂✟✞✡✠✫☛❏✥✪✚❍●✳▲ ✑✟✧✔☛❍✣✍✚✢✂✆✎◆✣✍✒❀✠✴✣◆✘✫✜✔✂✼✂✆✜✪✑✆✘✛✧✪✜✄✣✍✂✷✞✍✎❋❈✯✚❍✣✍✒❱✜✔✘✛✜★▲➐✎ ✰ ✘✤✘✫✣✍✒❯❂✙✘✫✧✔✜❀✥✪✠☞✞✍✚✢✂✆✎❋✚✬✜ ❨✻▼■❬➝✘✫❂★❃P✂✆✑✟✣✍✎◆✠☞✞✍✂✩✠✛✥✔✥✄✞✍✂✆✎✏✎✏✂✕✥❢✎✏✧✔✑✟✑✆✂✆✎✏✎❄✮✾✧✪☛✢☛✢❑❢❈✯✚❍✣✍✒❢✣✍✒✔✂✼✜✪✂✟❈❥✠☞☛✬✵✫✘✫▲ ✞✍✚❍✣✍✒ ✰ ✹■✺✻✒✔✂✐✘✫✞✍✚✢✵✛✚✢✜❀✠☞☛✲✠✫☛✢✵✛✘☞✞✍✚❍✣✍✒ ✰ ✥★✘✤✂✆✎◆✜✪✘✫✣❋✑✆✘✛✜✪✜✔✂✆✑✷✣◆✣✍✒✔✂ ✰ ✂✕✥★✚✬✠✫☛ ✠✴✱★✚✬✎✸✣✍✘❭✣✍✒✔✂✩✑✆✘✛✜✄☎✝✂✟✱❱✂✆✥✪✵✛✂✟✎✼✠✫✜❀✥❱✜✔✘✫✜✪▲➐✑✆✘✫✜✔✑✕✠✕☎✝✂✩✑✆✘✫✞✍✜✪✂✟✞✍✎✸❈✯✒✔✚✢✑✡✒❞✚❍✣ ✎✏✒✪✘✛✧✪☛❪✥❡✣✍✘❯✑✆✘ ✰ ✖✪☛✢✂✟✣✍✂✳✣✍✒✔✂✗✎❄✣✏✞✍✧✪✑✟✣✍✧✪✞✍✂✛✹❘Ò❞✂✳✎✏✘✛☛✢☎✝✂✕✥❞✣✍✒✪✚✢✎✐✖★✞✍✘✛❂✪☛✬✂ ✰ ❂✤❑✗✂✟✱✄✣✏✞✡✠✫✑✷✣✍✚✬✜✪✵✩✣✍✒✪✂◆✎✏✒❀✠✴✞✍✖❭✮❁✂✕✠☞✣✍✧★✞✍✂✆✎❫✚✢✜✪✮❁✘✫✞ ✰ ✠☞✣✍✚✢✘✫✜❛✮❁✞✍✘ ✰ ✣✍✒✔✂✸❨✻▼❋❬ ✘✛❂✄❃❄✂✟✑✟✣✍✎✆❉✛✣✍✒✪✂✆✜✐✮❁✘✫✞✍✑✆✚✢✜✪✵◆✣✍✒✔✂✌✑✆✘✛✜✪✜✔✂✆✑✟✣✍✚✢✘✫✜❣✘✫✮✪✣✍✒✔✂ ✰ ✂✕✥✪✚✬✠✫☛✄✠✴✱★✚✬✎❏✣✍✘■✣✍✒✔✂ ✑✆✘✫✜★☎✛✂✟✱✳✂✕✥★✵✛✂✆✎✌✠✫✜✔✥✳✜✔✘✫✜✪▲➐✑✆✘✛✜✪✑✕✠✕☎✝✂✯✑✆✘✫✞✍✜✪✂✟✞✍✎✆✹✿✺✻✒✔✂■✎✏✂✆✑✆✘✫✜❀✥✳✖★✞✍✘✛❂✔☛✢✂ ✰ 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