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❝♦rr❡s♣♦♥❞s t♦ t❤❡ ♣r♦♣♦s✐t✐♦♥ t❤❛t t❤♦s❡ t❡r♠s ❛r❡ ♣r♦✈❛❜❧② ❡q✉❛❧✑✳ ◆♦t❡ t❤❛t t❤✐s ❛❧❧♦✇s t❤❡ ♥❡st✐♥❣ ♦❢ ✐❞❡♥t✐t② t②♣❡s✳ IdIdA (a,b) (p, q) ❢♦r ❛♣♣r♦♣r✐❛t❡ t❡r♠s ◆❛♠❡❧②✱ ✇❡ ❤❛✈❡ t❤❡ t②♣❡ a : A, b : A, p : IdA (a, b), ❚❤✐s ♣r♦✈✐❞❡s ❛ r✐❝❤ str✉❝t✉r❡ ♦♥ ✐❞❡♥t✐t② t②♣❡s✳ ❛♥❞ q : IdA (a, b) ❡t❝✳ ■❞❡♥t✐✜❝❛t✐♦♥s ❜❡t✇❡❡♥ t❡r♠s✱ ✐❞❡♥t✐✜❝❛t✐♦♥s ❜❡t✇❡❡♥ t❤♦s❡ ✐❞❡♥t✐✜❝❛t✐♦♥s✱ ❛♥❞ s♦ ♦♥✳ ■ ❢✉❧❧② ❛❞♠✐t t❤❛t t❤❡ ✐♥t✉✐t✐♦♥ ❜❡❤✐♥❞ t❤❡ ♥❛t✉r❡ ♦❢ t❤✐s r✐❝❤ str✉❝t✉r❡ ♦❢ t②♣❡s ✐s ❤♦♠♦t♦♣✐❝❛❧ ♦r ♠♦r❡ r❡❝❡♥t❧② ❡✈❡♥ ❝✉❜✐❝❛❧ ❬✶✼❪✳ ❇✉t ■ ♥❡❡❞ ♥♦t ✉s❡ t❤✐s ✐♥t✉✐t✐♦♥ ❢♦r t❤❡ ❢♦r♠❛❧ ♣r♦♦❢s ❛♥❞ ❢❡❛t✉r❡s ♦❢ t❤❡ ✐❞❡♥t✐t② t②♣❡ ✐♥ ▼▲❚❚✳ ❆♠♦♥❣ t❤❡ ✐♥❤❛❜✐t❛♥ts ♦❢ ❝❡rt❛✐♥ ✐❞❡♥t✐t② t②♣❡s ❛r❡ t❤❡ ❝❛♥♦♥✐❝❛❧ s❡❧❢✲❡q✉❛❧✐t✐❡s✿ ■❞❡♥t✐t② ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ a:A refla : IdA (a, a) ❚❤✐s ❡♥s✉r❡s t❤❛t t❤❡r❡✬s ❛❧✇❛②s ❛ ♣r♦♦❢ t❡r♠ a : A✳ refla ♦❢ t❤❡ ♣r♦♣♦s✐t✐♦♥ a = a ❢♦r ❛ ■♥ ♦t❤❡r ✇♦r❞s✱ ❡✈❡r② t❡r♠ ♦❢ ❡✈❡r② t②♣❡ ✐s ♣r♦✈❛❜❧② s❡❧❢✲✐❞❡♥t✐❝❛❧✳ ❚❤✐s ❛❧♦♥❡ ✐♠♣❧✐❡s t❤❛t ♣r♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ❡q✉❛❧✐t② ✐s r❡✢❡①✐✈❡✳ ■♥❞❡❡❞✱ t❤❛t ✐s ✇❤② t❤❡ s♣❡❝✐❛❧ ♣r♦♦❢ ✏ 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❙♣❡❝✐✜❝❛❧❧②✱ ■✬❧❧ ♣r♦✈❡ t❤❡ ✉s✉❛❧ s②♠♠❡tr② ❛♥❞ tr❛♥s✐t✐✈✐t② ♦❢ ✭♣r♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧✮ ❡q✉❛❧✐t② ✉s✐♥❣ P❛t❤ ■♥❞✉❝t✐♦♥✳ ❋✐rst ✇❡ ♣r♦✈❡ s②♠♠❡tr② ♦❢ ♣r♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ✐❞❡♥t✐t②✿ ❚❤❡♦r❡♠ ✷✳✶✳ ❛ t❡r♠ ❋♦r ❛ t②♣❡ A ❛♥❞ t❡r♠s a, b : A✱ ✐❢ p : IdA (a, b)✱ t❤❡♥ ✇❡ ❝❛♥ ❝♦♥str✉❝t q : IdA (b, a)✳ Pr♦♦❢✳ ❋♦r ♦✉r ❞❡♣❡♥❞❡♥t t②♣❡ C ✱ ✇❤✐❝❤ ✇❡ ❝❛❧❧ t❤❡ ♠♦t✐✈❡✱ ✇❡ ❝❤♦♦s❡ IdA (b, a)✱ ✇❤✐❝❤ ❝❧❡❛r❧② ♦♥❧② r❡❧✐❡s ♦♥ a, b : A✳ ❚❤✉s✱ ✉s✐♥❣ ■❞❡♥t✐t② ❊❧✐♠✐♥❛t✐♦♥✱ ✇❡ ❣❡t a : A, b : A, p : IdA (a, b) ⊢ IdA (b, a) Type a : A ⊢ refla : IdA (a, a) a : A, b : A, p : IdA (a, b) ⊢ J(refla ; a, b, p) : IdA (b, a) ❚❤✉s ✇❡ ❤❛✈❡ ❛ t❡r♠ ♦❢ t②♣❡ IdA (b, a) s♣❡❝✐✜❡❞ ❜② J ✱ ❣✐✈✐♥❣ ✉s ♦✉r q ✳ ❚❤❡ ✇❛② t♦ r❡❛s♦♥ ✇✐t❤ ■❞❡♥t✐t② ❊❧✐♠✐♥❛t✐♦♥ ✐s t♦ ❢♦❝✉s ♦♥ ✜♥❞✐♥❣ ❛♥ ❛♣♣r♦♣r✐✲ ❛t❡ C t❤❛t ✇♦✉❧❞ ❧❛♥❞ ✉s ♥❡❛r ♦✉r ❣♦❛❧✳ ■♥ t❤❡ ❛❜♦✈❡ ❝❛s❡✱ ✇❡ ❝❤♦s❡ IdA (b, a) s✐♥❝❡ t❤❛t ✇❛s ❡①❛❝t❧② ♦✉r ❣♦❛❧✳ ◆♦✇ ✇❡ ♣r♦✈❡ t❤❡ s❧✐❣❤t❧② ❤❛r❞❡r ❝❛s❡ ♦❢ tr❛♥s✐t✐✈✐t②✳ ✶✷ ❚❤❡ ♥♦t❛t✐♦♥ ❤❡r❡ ♠✐❣❤t s❡❡♠ ❝♦♠♣❧✐❝❛t❡❞✳ ❚❤✐s ✐s st✐❧❧ ❛ ♥❛t✉r❛❧ ❞❡❞✉❝t✐♦♥ st②❧❡✱ ❜✉t ✇✐t❤ s❡q✉❡♥ts t❤❛t ✐♥❝❧✉❞❡ t❤❡✐r ♥❡❝❡ss❛r② ✈❛r✐❛❜❧❡ ❝♦♥t❡①ts✳ ❉❡♣❡♥❞❡♥t t②♣❡s ❛r❡ ✐♥❞✐❝❛t❡❞ ❜② t❤❡ ♣❛r❛♠❡t❡rs t❤❡② t❛❦❡ ✐♥ ♣❛r❡♥t❤❡s❡s✳ ❋♦r ✐♥st❛♥❝❡✱ J(t; x, y, p) ✐s t❡r♠ t❤❛t ✐s ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ ✇✐t❤ ❢♦✉r ❛r❣✉♠❡♥ts✳ ❚❤❡ s❡♠✐✲❝♦❧♦♥ ♦♥❧② ✐♥❞✐❝❛t❡s ❛ ❝♦♥❝❡♣t✉❛❧ ✭✐✳❡✳ ♥♦t ♥❡❡❞❡❞✮ s❡♣❛r❛t✐♦♥ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ✜rst ❛♥❞ ❧❛st t❤r❡❡ ❛r❣✉♠❡♥ts✳ ✷✵ ❈❍❆P❚❊❘ ✷✳ ❚❤❡♦r❡♠ ✷✳✷✳ ❋♦r ❛ t②♣❡ A t❤❡♥ ✇❡ ❝❛♥ ❝♦♥str✉❝t ❛ t❡r♠ ❛♥❞ t❡r♠s a, b, c : A✱ ✐❢ P❘❊▲■▼■◆❆❘■❊❙ p : IdA (a, b) ❛♥❞ p′ : IdA (b, c)✱ q : IdA (a, c)✳ ■❢ ✇❡ tr② t♦ ✉s❡ IdA (a, c) ❛s ♦✉r C ✱ ✐t t✉r♥s ♦✉t t♦ ❜❡ r❛t❤❡r ❞✐✣❝✉❧t t♦ ❝♦♠❡ ✉♣ ✇✐t❤ t❤❡ ❛♣♣r♦♣r✐❛t❡ ❝♦♥t❡①ts ❢♦r t❤❡ ♣r❡♠✐s❡s✳ ❙♦ ✐♥st❡❛❞ ✇❡ ❝❤♦♦s❡ ❛ ❢✉♥❝t✐♦♥ t②♣❡ IdA (y, c) → IdA (x, c) ✇❤✐❝❤ ✐s ✇❡❧❧✲❞❡✜♥❡❞ ✇❤❡♥ x, y : A✳ ◆♦t❡ t❤❛t c ✐s ✜①❡❞ ✐♥ t❤✐s ❝♦♥str✉❝t✐♦♥✳ ❚❤✐s ♠❡❛♥s t❤❛t ✇❡ ❤❛✈❡ Pr♦♦❢✳ a : A, b : A, p : IdA (a, b) ⊢ IdA (b, c) → IdA (a, c) Type t❤❡ ✜rst ♣r❡♠✐s❡ ♦❢ ♦✉r r✉❧❡✳ ❋✉rt❤❡r✱ ✐❢ a : A✱ ✇❡ ❤❛✈❡ t❤❡ tr✐✈✐❛❧ ❢✉♥❝t✐♦♥ IdA (a, c) → IdA (a, c) ✇❤✐❝❤ ✐s ✐♥❤❛❜✐t❡❞ ❜② t❤❡ ✐❞❡♥t✐t② ♠❛♣ id✳ ❚❤✐s ❣✐✈❡s ✉s a : A ⊢ id : IdA (a, c) → IdA (a, c) t❤❡ s❡❝♦♥❞ ♣r❡♠✐s❡ ♦❢ ♦✉r r✉❧❡✳ ❚❤✉s✱ ❜② ✐❞❡♥t✐t② ❡❧✐♠✐♥❛t✐♦♥✱ ✇❡ ❤❛✈❡ a : A, b : A, p : IdA (a, b) ⊢ IdA (b, c) → IdA (a, c) Type a : A ⊢ id : IdA (a, c) → IdA (a, c) a : A, b : A, p : IdA (a, b) ⊢ J(id; a, b, p) : IdA (b, c) → IdA (a, c) ❣✐✈✐♥❣ ✉s ❛ t❡r♠ ♦❢ t②♣❡ IdA (b, c) → IdA (a, c)✳ ❇✉t ✇❡ ❤❛✈❡ ❛ t❡r♠ p′ : IdA (b, c) s♦ t❤✐s ❢✉♥❝t✐♦♥ ❣✐✈❡s ✉s t❤❡ ♥❡❡❞❡❞ ♣r♦♦❢ ✭t❡r♠✮ q ♦❢ IdA (a, c)✱ ✇❤✐❝❤ ♣r♦✈❡s tr❛♥s✐t✐✈✐t②✳ ❯♥❞❡rst❛♥❞✐♥❣ ■❞❡♥t✐t② ❊❧✐♠✐♥❛t✐♦♥ ✐s ❝r✉❝✐❛❧ t♦ t❤❡ ♣r♦❥❡❝t ❤❡r❡ s♦ ■ ✇✐❧❧ ❡❧❛❜✲ ♦r❛t❡ ♦♥ ✇❤❛t ■ t❛❦❡ t♦ ❜❡ t❤❡ ✐♠♣♦rt❛♥t ❢❡❛t✉r❡s✳ ❆s ✐♥ t❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ s②♠♠❡✲ tr② ❛♥❞ tr❛♥s✐t✐✈✐t②✱ t❤❡ ♣❛rt✐❝✉❧❛r C ❞✐❞♥✬t ❛❝t✉❛❧❧② ❞❡♣❡♥❞ ♦♥ t❤❡ ✐❞❡♥t✐✜❝❛t✐♦♥ p : IdA (x, y)✳ ❚❤✐s ❝❛s❡ ✐❧❧✉str❛t❡s ✇❤② t❤❡ r✉❧❡ ✐s ❝❛❧❧❡❞ P❛t❤ ■♥❞✉❝t✐♦♥✳ ❲❡ ❤❛✈❡ ❛ t②♣❡ C t❤❛t ❝❛♥ ❛♣♣❧② t♦ ❛♥② t✇♦ ♦❜❥❡❝ts ♦❢ A ❛♥❞ ✇❡ ✇❛♥t t♦ ❦♥♦✇ ✇❤❡t❤❡r ✐t ❤♦❧❞s ✐♥ ❣❡♥❡r❛❧✳ ❚❤❡ s❡❝♦♥❞ ♣r❡♠✐s❡ ♦❢ P❛t❤ ■♥❞✉❝t✐♦♥ ♦♥❧② r❡q✉✐r❡s ✉s t♦ s❛② t❤❛t ✇❡ ❝❛♥ ♣r♦✈❡ t❤❡ ♣r♦♣♦s✐t✐♦♥ C ❤♦❧❞s ❢♦r t❤❡ ♣❛✐r (x, x)✳ ❚❤✐s ♠❡❛♥s t❤❛t C ✐s ❛ r❡✢❡①✐✈❡ r❡❧❛t✐♦♥ ♦♥ A✳ ❲❤❡t❤❡r C ✐ts❡❧❢ r❡❧✐❡s ♦♥ t❤❡ ✐❞❡♥t✐✜❝❛t✐♦♥ p : IdA (x, y) ♦r ♥♦t✱ t❤❡ ❝♦♥❝❧✉s✐♦♥ ♦❢ P❛t❤ ■♥❞✉❝t✐♦♥ t❡❧❧s ✉s t❤❛t s❤♦✇✐♥❣ C t♦ ❜❡ ✇❡❧❧✲❞❡✜♥❡❞ ❛♥❞ r❡✢❡①✐✈❡ ✐s s✉✣❝✐❡♥t t♦ ❝♦♥❝❧✉❞❡ t❤❛t C ❤♦❧❞s ❢♦r ❛❧❧ ♣r♦✈❛❜❧② ✐❞❡♥t✐❝❛❧ t❡r♠s ♦❢ A✳ ❚❤✐s ❛❧❧♦✇s ✉s ❛♥ ✐♥t✉✐t✐♦♥ ♦♥ ❤♦✇ P❛t❤ ■♥❞✉❝t✐♦♥ ✇♦r❦s✳ ❍♦✇ t♦ t❤✐♥❦ ❛❜♦✉t P❛t❤ ■♥❞✉❝t✐♦♥ ❲❡ ❝❛♥ ♣r♦✈❡ s♦♠❡t❤✐♥❣ ✭t❤❡ ♠♦t✐✈❡✮ ❛❜♦✉t ❛❧❧ ❡q✉❛❧ ♣❛✐rs ♦❢ t❡r♠s ❜② ♦♥❧② ❝♦♥s✐❞❡r✐♥❣ t❤❡ tr✐✈✐❛❧ s❡❧❢✲✐❞❡♥t✐✜❝❛t✐♦♥s✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ P❛t❤ ■♥❞✉❝t✐♦♥ ❞♦❡s ♥♦t st❛♥❞ ♦♥ ✐ts ♦✇♥✳ ❲❡ ❛❧s♦ ❤❛✈❡ ❛ ❝♦♠✲ ❢♦r ✐❞❡♥t✐t② t②♣❡s t❤❛t s♣❡❝✐✜❡s t❤❡ ❜❡❤❛✈✐♦r ♦❢ t❤❡ ❝❛♥♦♥✐❝❛❧ t❡r♠ ♣✉t❛t✐♦♥ r✉❧❡ J✳ ✷✳✷✳ ✷✶ ▼❆❘❚■◆✲▲Ö❋ ❚❨P❊ ❚❍❊❖❘❨ ■❞❡♥t✐t② ❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥✿ J(t; x, x, reflx ) ≡ t ❚❤❛t ✐s✱ ✐❢ ✇❡ ❣✐✈❡ J t❤❡ tr✐✈✐❛❧ ❝❛s❡✱ ✇❡ ❣❡t ♥♦t❤✐♥❣ ♠♦r❡ t❤❛♥ t❤❡ s❡❝♦♥❞ ♣r❡♠✐s❡ ❜❛❝❦✳ ❆♥❞ ♥♦✇ ✇❡ ♣r♦✈❡ t❤❡ ✜♥❛❧ ✐♠♣♦rt❛♥t ❢❡❛t✉r❡ ♦❢ t❤❡ ✐❞❡♥t✐t② t②♣❡s t❤❛t ✇✐❧❧ ❝♦♥❝❡r♥ ✉s ❤❡r❡✳ ❲❡ ❤❛✈❡ ♥♦t ❞✐st✐♥❣✉✐s❤❡❞ ❧❡✈❡❧s ♦❢ ♦✉r t②♣❡ t❤❡♦r② t♦ ✐♥❞✐❝❛t❡ ✇❤❡♥ ❛ t②♣❡ ✐s ❛ ❚②♣❡✱ ❙❡t✱ Pr♦♣✱ ❡t❝✳ ❇✉t ✇❡ ❛r❡ ❣♦✐♥❣ t♦ ♣r♦✈❡ s♦♠❡t❤✐♥❣ ❛❜♦✉t ❵♣r❡❞✐❝❛t❡s✬ ✐♥ t❤❡ t②♣❡ t❤❡♦r②✳ ❲❡ ❝❛♥✱ ❢♦r ♦✉r ♣✉r♣♦s❡s✱ ✈✐❡✇ ♣r❡❞✐❝❛t❡s ❛s ❞❡♣❡♥❞❡♥t ❢❛♠✐❧✐❡s ✐♥t♦ ❚②♣❡✳ ❙♦ ❛ ♣r❡❞✐❝❛t❡ P (x) ✇✐t❤ t❤❡ ✐♥❞✐❝❛t❡❞ ❢r❡❡ ✈❛r✐❛❜❧❡ ✇✐❧❧ ❜❡ ✇r✐tt❡♥ ❛s x : A ⊢ P (x) Type✳ ❚❤❡ ♥❡①t t❤❡♦r❡♠ ✐s ❛ t②♣❡ t❤❡♦r❡t✐❝ ✈❡rs✐♦♥ ♦❢ ▲❡✐❜♥✐③✬s ▲❛✇ ♦❢ t❤❡ ✐♥❞✐s❝❡r♥✐❜✐❧✐t② ♦❢ ✐❞❡♥t✐❝❛❧s✳ P✉t ❧♦❣✐❝❛❧❧②✱ ✐t ✇✐❧❧ s❛② t❤❛t ✐❢ P (a) ✐s tr✉❡ ❛♥❞ a = b✱ t❤❡♥ P (b) ✐s ❛❧s♦ tr✉❡✱ ✐✳❡✳ ♣r♦✈❛❜❧❡✳ ❖❢t❡♥✱ t❤✐s r❡s✉❧t ✐s ❝♦♥s✐❞❡r❡❞ t♦ ❜❡ t❤❡ ■❞✲❊❧✐♠ r✉❧❡✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ✐♥t❡r❡st✐♥❣ s✐♥❝❡ P❛t❤ ■♥❞✉❝t✐♦♥ ✭■❞✲❊❧✐♠ ✐♥ ❍♦❚❚✮ ♣r♦✈❡s ✐t✳ ❚❤❡♦r❡♠ ✷✳✸ ✭▲❡✐❜♥✐③✬s ▲❛✇✮✳ x : A ⊢ P (x) Type ♦✈❡r A ✇❡ ❤❛✈❡ a, b : A✱ p : IdA (a, b) ❛♥❞ ❢♦r q : P (a)✱ t❤❡♥ t❤❡r❡ ✐s ❛ t❡r♠ ♦❢ ■❢ s♦♠❡ ♣r❡❞✐❝❛t❡ t②♣❡ P (b)✳ Pr♦♦❢✳ ❲❡ ✉s❡ ✐❞❡♥t✐t② ❡❧✐♠✐♥❛t✐♦♥ ✇✐t❤ t❤❡ ♠♦t✐✈❡ P (x) → P (y) s✐♥❝❡ ✇❡ ✇❛♥t ❛ ✇❛② t♦ tr❛♥s♣♦rt ♣r♦♦❢s ♦❢ P (x) t♦ ♣r♦♦❢s ♦❢ P (y) ❢♦r ❡q✉❛❧ t❡r♠s✳ x : A, y : A, p : IdA (x, y) ⊢ P (x) → P (y) Type x : A ⊢ id : P (x) → P (x) x : A, y : A, p : IdA (x, y) ⊢ J(id; x, y, p) : P (x) → P (y) ❈❧❡❛r❧② t❤❡ ♣r❡♠✐s❡s ❤♦❧❞ ❛♥❞ s♦ ✇❡ ❤❛✈❡ ❛♥ ✐♥st❛♥t✐❛t✐♦♥ J(id; a, b, p) : P (a) → P (b). ❆♥❞ t❤❡r❡❢♦r❡ ❛♣♣❧②✐♥❣ t❤✐s ❢✉♥❝t✐♦♥ t♦ q : P (a) ❣✐✈❡s ✉s ❛ ♣r♦♦❢ ♦❢ P (b) ❛s ❞❡s✐r❡❞✳ ❙♦ ❢❛r✱ ✇❡✬✈❡ ♣r♦✈❡♥ t❤❛t t❤❡ ✐❞❡♥t✐t② t②♣❡ ✐s r❡✢❡①✐✈❡✱ s②♠♠❡tr✐❝✱ tr❛♥s✐t✐✈❡✱ ❛♥❞ s✉❜st✐t✉t✐✈❡ ✭▲❡✐❜♥✐③✬s ▲❛✇✮✳ ❲❡ ✇✐❧❧ ❞♦ t❤❡ s❛♠❡ ❢♦r ❛ ❝❛t❡❣♦r✐❝❛❧ ❝❤❛r❛❝✲ t❡r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ✐❞❡♥t✐t② ❣✐✈❡♥ ❧❛t❡r✳ ❚❤❡ r❡❛❞❡r s❤♦✉❧❞ ♥♦t❡ ❤♦✇ t❤❡ ❛❜♦✈❡ ❢❡❛t✉r❡s ✇❡r❡ ♣r♦✈❡♥ ❛s t❤❡✐r ♣r♦♦❢s ✇✐❧❧ ❜❡ ❧❛r❣❡❧② ♠✐♠✐❝❦❡❞ ✐♥ t❤❡ ❧❛t❡r ❞✐s❝✉ss✐♦♥✱ ❣✐✈✐♥❣ ❢♦r❝❡ t♦ t❤❡ ❛r❣✉♠❡♥t t❤❛t t❤❡② ❛r❡ t❤❡ s❛♠❡ ❝♦♥❝❡♣t✳ ❖♥❝❡ ■✬✈❡ ❛r❣✉❡❞ t❤❛t t❤❡ ✐❞❡♥t✐t② t②♣❡ ❛♥❞ t❤❡ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ♥♦t✐♦♥ ♦❢ ✐❞❡♥t✐t② ❛rr✐✈❡❞ ❛t ❧❛t❡r ❛r❡ t❤❡ s❛♠❡ ✐♥ t❤❡ r❡❧❡✈❛♥t r❡s♣❡❝ts✱ t❤❡✐r ❥✉st✐✜❝❛t✐♦♥ ✇✐❧❧ ❛❧s♦ ❜❡ t❤❡ s❛♠❡✳ ❚❤✉s✱ t❤❡ ♠❛t❤✲ ❡♠❛t✐❝❛❧❧② ♠♦t✐✈❛t❡❞ ❛♥❞ ✐♥❢♦r♠❡❞ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ✐❞❡♥t✐t② ✇✐❧❧ ❜❡ ❥✉st✐✜❡❞ ♦♥ ❢✉❧❧② ♠❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ❣r♦✉♥❞s ✇❤✐❝❤ ✇✐❧❧ ❣✐✈❡ P❛t❤ ■♥❞✉❝t✐♦♥ s✐♠✐❧❛r ❥✉st✐✜❝❛t✐♦♥✳ ■♥ ❛ s❡♥s❡✱ t❤❡ ❥✉st✐✜❝❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠ ✐s s♦❧✈❡❞ ❜② 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♣r♦❞✉❝ts✳ ■♠♣♦rt❛♥t❧② ✇❡ θA,(B,C) ❤❛✈❡ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❢❛❝ts ❢♦r ❛♥② ♦❜❥❡❝ts A, B, C ∈ C −1 −1 ◦ θA,(B,C) = 1. = 1 ❛♥❞ θA,(B,C) θA,(B,C) ◦ θA,(B,C) ❚❤✐s ♣❡r♠✐ts ✉s t♦ s❛② t❤❛t t❤❡ ❧♦❣✐❝❛❧ ❝♦✉♥t❡r♣❛rt t♦ ♣r♦❞✉❝ts✱ ❝♦♥❥✉♥❝t✐♦♥s✱ ✐s ❤❛r♠♦♥✐♦✉s✱ ♦r ❤❛s ❤❛r♠♦♥✐♦✉s r✉❧❡s✳ ❆❢t❡r ❛❧❧✱ θA,(B,C) ✐s ♦♥❡ ✐♥st❛♥❝❡ ♦❢ t❤❡ −1 ✐s ❛ ♣❛✐r ✐♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ r✉❧❡ s❝❤❡♠❛ ❢♦r ♣r♦❞✉❝ts ✭❝♦♥❥✉♥❝t✐♦♥s✮✳ ❙✐♠✐❧❛r❧②✱ θA,(B,C) t❤❛t ❝♦♥st✐t✉t❡s ❛♥ ✐♥st❛♥❝❡ ♦❢ t❤❡ ❡❧✐♠✐♥❛t✐♦♥ r✉❧❡ s❝❤❡♠❛✳ ❚❤✉s✱ t❤❡✐r ❜❡✐♥❣ ✐♥✈❡rs❡s s❤♦✇s t❤❛t t❤❡ ✐♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❢♦❧❧♦✇❡❞ ❜② ❛♥ ❡❧✐♠✐♥❛t✐♦♥ ✐s t❤❡ ✐❞❡♥t✐t② ❛♥❞ t❤❡ ❡❧✐♠✐♥❛t✐♦♥ ❢♦❧❧♦✇❡❞ ❜② ❛♥ ✐♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ✐s ❛❧s♦ t❤❡ ✐❞❡♥t✐t②✳ ❆♥❞ ♥♦✇ ✇❡ ❝❛♥ s❡❡ ❝❧❡❛r❧② ❤♦✇ ❛❞❥♦✐♥t♥❡ss ❡①♣r❡ss❡s ❍❛r♠♦♥②✱ ❛t ❧❡❛st ❢♦r t❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ ♣r♦❞✉❝ts✳ ❆❞❥✉♥❝t✐♦♥s ❛r❡ ♥❛t✉r❛❧ ✐s♦♠♦r♣❤✐s♠s ❛♥❞ s♦ ❛s ❧♦♥❣ ❛s ❜♦t❤ ❞✐r❡❝t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ ❛❞❥✉♥❝t✐♦♥ ❝♦rr❡s♣♦♥❞ t♦ t❤❡ ✐♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❛♥❞ ❡❧✐♠✐♥❛t✐♦♥ r✉❧❡s✱ ✇❡ ❤❛✈❡ ❍❛r♠♦♥②✳ ❙✐♥❝❡ t❤❡ r✉❧❡s ❣♦✈❡r♥✐♥❣ ❛ ❝♦♥♥❡❝t✐✈❡ ❛r❡ ✐♥✈❡rs❡s ✐❢ t❤❡ ❝♦♥♥❡❝t✐✈❡ ✐s ❞❡t❡r✲ ♠✐♥❡❞ ❜② ❛❞❥✉♥❝t✐♦♥✱ s❤♦✇✐♥❣ t❤❛t 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∈ R ❛♥ ❡❧❡♠❡♥t ♦❢ t❤❡ ❈❛rt❡s✐❛♥ ❈❧♦s❡❞ ❈❛t❡❣♦r② P(JB1 K × · · · × JBm K) ✇❤❡r❡ t❤❡ t②♣❡ ♦❢ R ✐s B1 × · · · × Bm ✳ ❋r♦♠ t❤✐s✱ ✇❡ ❝❛♥ ❜✉✐❧❞ ✉♣ ❛♥ ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥ ♦❢ ❢♦r♠✉❧❛❡✲✐♥✲❝♦♥t❡①t ~x | φ✿ ✻✳✶✳ ✻✺ ❍❨P❊❘❉❖❈❚❘■◆❊❙ • J~x | s = tK = hJ~x | sK, J~x | tKi∗ (δJAK ) ✇❤❡r❡ s:A ❛♥❞ t : A❀ • J~x | R(t1 , . . . , tn )K = hJ~x | t1 K, . . . , J~x | tn Ki∗ (JRK)❀ • J∃y (~ x | φ)K = ∃JAK,I (J~x, y | φK) ✇❤❡r❡ ~x : A1 × · · · × An Q I = ni=1 JAi K t♦ ♠❛❦❡ t❤❡ s✉❜s❝r✐♣ts ♠♦r❡ ❧❡❣✐❜❧❡❀ • ❚❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ J∀y (~x | φ)K • ❚❤❡ ❈❛rt❡s✐❛♥ str✉❝t✉r❡✱ ♥❛♠❡❧② t❤❡ ♣r♦❞✉❝ts✱ ♦❢ ❡❛❝❤ ✉s✉❛❧ ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛♥❞ y : A✳ ❍❡r❡✱ ✐s ❛♥❛❧♦❣♦✉s t♦ t❤❡ ❡①✐st❡♥t✐❛❧ ❝❛s❡✳ P(A) ❣✐✈❡s ✉s t❤❡ ∧✳ ❚❤❡ ❝♦❞♦♠❛✐♥ ♦❢ t❤❡ ♣s❡✉❞♦✲❢✉♥❝t♦r P ✈❛r✐❡s ❛♠♦♥❣ ❛✉t❤♦rs✳ ❲❡ ❝❛♥ t❛❦❡ ✐t t♦ ❜❡ ❛ ♣❛rt✐❛❧❧② ♦r❞❡r❡❞ s❡t✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ❣❡❛r❡❞ t♦✇❛r❞ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ✭♣r♦♦❢✲✐rr❡❧❡✈❛♥t✮ ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥s✳ ❚❤✐s ✇♦✉❧❞ ♠❛❦❡ ❛s ❛♥ ✐❧❧✉str❛t✐✈❡ ❝❛s❡ P ❢✉♥❝t♦r✐❛❧ ❛s ✇❡❧❧✳ ❆♥❞r❡✇ P✐tts t❛❦❡s t❤✐s ♦❢ ❤②♣❡r❞♦❝tr✐♥❡✱ t❤♦✉❣❤ ❤❡ ❞♦❡s ♥♦t ❞❡✜♥❡ ❤②♣❡r❞♦❝tr✐♥❡s ✇✐t❤ t❤✐s r❡q✉✐r❡♠❡♥t✱ ✐♥ ❬✶✶✶✱ ♣✳ ✹✶❪✳ ❲❡ ❢♦❧❧♦✇ ▲❛✇✈❡r❡✬s ♦r✐❣✐♥❛❧ s♣❡❝✐✜❝❛t✐♦♥ ♦❢ ❤②♣❡r❞♦❝tr✐♥❡s✱ ✇❤❡r❡ ❤❡ ♦♥❧② r❡q✉✐r❡s ❝❛rt❡s✐❛♥ ❝❧♦s❡❞ ❝❛t❡❣♦r✐❡s ❢♦r t❤❡ ❝♦❞♦♠❛✐♥ ♦❢ P✳ ❚❤✐s r❡q✉✐r❡♠❡♥t ✐s t♦♦ str♦♥❣ ✐❢ ✇❡ t❛❦❡ ❧♦❣✐❝ ❢r❛❣♠❡♥ts ✐♥st❡❛❞✱ ❜✉t ✇❡ ✇✐❧❧ ♥♦t ❡①♣❧♦r❡ t❤✐s ❞❡t❛✐❧ ♠✉❝❤ ❤❡r❡✳ ■t ✐s ❤❡❧♣❢✉❧ t♦ ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ t❡r♠✐♥♦❧♦❣② t❤❛t ▲❛✇✈❡r❡ ✉s❡❞ ✐♥ ❞❡s❝r✐❜✐♥❣ ❤②♣❡r✲ ❞♦❝tr✐♥❡s✳ ❲❤✐❧❡ t❤❡② ❛r❡ ♦♥❧② ♥❛♠❡s✱ t❤❡② ❞♦ ❤✐♥t ❛s t❤❡ ✐❞❡❛s t❤❡② ❛r❡ ✐♥t❡♥❞❡❞ t♦ ❝❛♣t✉r❡✳ ❚❤❡ ❝♦❧❧❡❝t✐♦♥s ♦❢ ❵t②♣❡s✬ ❛♥❞ ❵t❡r♠s✬ s✉❣❣❡sts t❤❡ ♠♦❞❡❧✐♥❣ ♦❢ t②♣❡ P(X) ❢♦r ❛♥② ♦❜❥❡❝t X C ✐s ❝❛❧❧❡❞ t❤❡ ✏❛ttr✐❜✉t❡s ♦❢ t②♣❡ ❳✑ ✇❤✐❝❤ ✇❡ ♠✐❣❤t ❡✈❡♥ r❡❛❞ ❛s t❤❡ ❝♦❧❧❡❝t✐♦♥ ♦❢ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ♣r❡❞✐❝❛t❡s ♦✈❡r X ✳ ❚❤❡ ❛rr♦✇s ✐♥ P(X) ❛r❡ t❤❡♥ ❝❛❧❧❡❞ ✏❞❡❞✉❝✲ t✐♦♥s ♦✈❡r X ✑✳ ❚❤✐s ♥❛♠❡ ❤✐♥ts ❛t ✇❤② ✇❡ ❞♦♥✬t r❡str✐❝t ♦✉rs❡❧✈❡s t♦ ❛ ♣r❡✲♦r❞❡r t❤❡♦r② ✐♥ ❛ ❤②♣❡r❞♦❝tr✐♥❡✳ ❚❤❡ ❈❛rt❡s✐❛♥ ❈❧♦s❡❞ ❈❛t❡❣♦r② ♦❢ ❝♦❞♦♠❛✐♥ s✐♥❝❡ t❤✐s ✇♦✉❧❞ ✐♠♣❧② t❤❡ ✉♥✐q✉❡♥❡ss ♦❢ ❞❡❞✉❝t✐♦♥s✱ ♠❛❦✐♥❣ ♦✉r t❤❡♦r② ∗ ♣r♦♦❢✲✐rr❡❧❡✈❛♥t✳ ■♠♣♦rt❛♥t❧②✱ ❣✐✈❡♥ ❛♥ ❛rr♦✇ f : B → A ✐♥ C✱ ✐❢ ✇❡ ❛♣♣❧② f t♦ ∗ 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t❤❛t t❤❡ ❛rr♦✇s ❜❡t✇❡❡♥ P(X) ✭t❤❡ ❞❡❞✉❝t✐♦♥s ♦✈❡r X ✮ ❛r❡ r❡❛❧❧② ❥✉st s✉❜s❡t r❡❧❛t✐♦♥s✱ t❤❡♥ ✇❡ ❤❛✈❡ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ♠❛♣♣✐♥❣ f ∗ : P(A) → P(B) ❢♦r s♦♠❡ f : B → A✿ f∗ X ∈ P(A) 7−→ {b | f (b) ∈ X} ∈ P(B) ♦r ✐♥ ♦t❤❡r ✇♦r❞s✱ f ∗ ✐s t❤❡ ✐♥✈❡rs❡ ✐♠❛❣❡ ♦♣❡r❛t♦r ♦♥ ♣♦✇❡rs❡ts✳ ❲❡ ❛❧s♦ ♥♦t✐❝❡ t❤❛t s✐♥❝❡ P(X) ❢♦r ❛♥② X ✐s ❛ ♣❛rt✐❛❧ ♦r❞❡r✱ t❤❡r❡ ✐s ❛t ♠♦st ♦♥❡ ❛rr♦✇ ❜❡t✇❡❡♥ ❛♥② t✇♦ s❡ts✳ ❚❤✐s ❢♦r❝❡s t❤❡ ❞❡❞✉❝t✐♦♥s ✭t❤❡ ❛rr♦✇s t❤❡ ❝♦❞♦♠❛✐♥ ♦❢ P ✮ t♦ ❜❡ ♣r♦♦❢✲✐r r❡❧❡✈❛♥t✳ ❚✇♦ s♣❡❝✐❛❧ ❝❛s❡s ♦❢ t❤✐s ❵s✉❜st✐t✉t✐♦♥✬ ♠❛♣ f ∗ ❛r❡ ✇❡❛❦❡♥✐♥❣ ❛♥❞ ❝♦♥tr❛❝t✐♦♥✳ ❲❡❛❦❡♥✐♥❣ ✐s ❛ s✉❜st✐t✉t✐♦♥ ❛❧♦♥❣ ❛ ♣r♦❥❡❝t✐♦♥✳ ❚❤❛t ✐s✱ ❢♦r π1 : A × B → A✱ π1∗ : P(A) → P(A × B) X 7−→ {(x, b) | x ∈ X ❛♥❞ b ∈ B} ❚❤✐s ❝❛♥ ❜❡ s❡❡♥ ❛s ❛❞❞✐♥❣ ❛ ✈❛r✐❛❜❧❡ ❢r♦♠ B t♦ ❛ ♣r❡❞✐❝❛t❡ ♦♥ A✳ ❈♦♥tr❛❝t✐♦♥ ✐s s✉❜st✐t✉t✐♦♥ ❛❧♦♥❣ ❛ ❞✐❛❣♦♥❛❧ δ : A → A × A✳ ❆s ❡①♣❡❝t❡❞✱ ✐ts ❛❝t✐♦♥ ✐s t♦ ❝♦❧❧❛♣s❡ t✇♦ ✈❛r✐❛❜❧❡s ✐♥t♦ ♦♥❡✿ δ ∗ : P(A × A) → P(A) X 7−→ {a ∈ A | ha, ai ∈ X} ❚❤❡ ✉s✉❛❧ q✉❛♥t✐✜❡rs✱ ❛s s♣❡❝✐✜❡❞ ❛❜♦✈❡ ❛r❡ ❛❞❥♦✐♥ts t♦ ✇❡❛❦❡♥✐♥❣ π ∗ ❛s ✐♥❞✐❝❛t❡❞ ✐♥ t❤❡ ✐♠♣♦rt❛♥t ❡①♣r❡ss✐♦♥ ∃ ⊣ π∗ ⊣ ∀ ❚❤✐s st❛t❡s t❤❛t t❤❡ ❡①✐st❡♥t✐❛❧ q✉❛♥t✐✜❡r ✐s ❧❡❢t ❛❞❥♦✐♥t t♦ ✇❡❛❦❡♥✐♥❣ ❛♥❞ t❤❡ ✉♥✐✈❡rs❛❧ q✉❛♥t✐✜❡r ✐s r✐❣❤t ❛❞❥♦✐♥t t♦ ✇❡❛❦❡♥✐♥❣✳ ❊q✉❛❧✐t② ✐♥ t❤✐s ❡①❛♠♣❧❡ ✇✐❧❧ ❜❡ t❤❡ ❝❧❛ss✐❝❛❧ r❡❧❛t✐♦♥ Eq(A) = {ha, ai ∈ A × A} ✇❤✐❝❤ ✐s ❝❡rt❛✐♥❧② ♥♦t t❤❡ ✐❞❡♥t✐t② t②♣❡ ✇❡ ❛r❡ tr②✐♥❣ t♦ ❝❛♣t✉r❡✳ ❆❧t❤♦✉❣❤ t❤✐s ❡①❛♠♣❧❡ ❤❡❧♣s ✉s ❣r❛s♣ t❤❡ str✉❝t✉r❡ ♦❢ ❛ ❤②♣❡r❞♦❝tr✐♥❡✱ ✇❡ ❞♦ ♥♦t ♥❡❡❞ t♦ t❛❦❡ t❤✐s t♦ ❜❡ t❤❡ ❝❛♥♦♥✐❝❛❧ ♦r st❛♥❞❛r❞ ❡①❛♠♣❧❡✳ ❆ ♣r♦♦❢✲ r❡❧❡✈❛♥t ❤②♣❡r❞♦❝tr✐♥❡✱ ❛s t❤❡ ♥❡①t ❡①❛♠♣❧❡✱ ✇✐❧❧ ♣r♦✈✐❞❡ ✉s ✇✐t❤ ❛ ❝❧❡❛r❡r ✉♥❞❡rst❛♥❞✐♥❣ ♦❢ ❤♦✇ t❤❡ ✐❞❡♥t✐t② t②♣❡ ❝♦rr❡❧❛t❡s t♦ t❤❡ ❝❛t❡❣♦r✐❝❛❧ ❝♦♥❝❡♣✲ t✐♦♥ ♦❢ ✐❞❡♥t✐t②✳ ❊①❛♠♣❧❡ ✷✳ ❚❤✐s ♥❡①t ❡①❛♠♣❧❡ ✇✐❧❧ ❛❧❧♦✇ ❛ ❢✉❧❧ ❍♦♠✲s❡t ♦❢ ❞❡❞✉❝t✐♦♥s ❜❡t✇❡❡♥ ❛ttr✐❜✉t❡s❀ t❤✐s ♠❛❦❡s t❤❡ ❧♦❣✐❝ ♣r♦♦❢✲r❡❧❡✈❛♥t✳ ❚❤✉s t❤✐s ✐s ❛♥ ❡①❛♠♣❧❡ t❤❛t ❝♦♠❡s ❝❧♦s❡r ✻✳✶✳ ✻✼ ❍❨P❊❘❉❖❈❚❘■◆❊❙ t♦ t❤❡ s♣✐r✐t ♦❢ ❍♦❚❚✳ ❲❡ t❛❦❡ t❤❡ s❛♠❡ t②♣❡s ❛♥❞ t❡r♠s ❛s ✐♥ t❤❡ ✜rst ❡①❛♠♣❧❡✱ ♥❛♠❡❧② ❛r❜✐tr❛r② C = Sets✳ ❇✉t ✇❡ ❞❡✜♥❡ P ❞✐✛❡r❡♥t❧②✳ ❋♦r ❛♥② A ∈ C✱ ✇❡ ❤❛✈❡ t❤❛t P(A) ✐s t❤❡ ❝❛t❡❣♦r② ♦❢ ✏s❡ts ♦✈❡r A✑✳ ❖r✱ ❛s ✇❡✬❧❧ s❛②✱ t❤❡ s❧✐❝❡ ❝❛t❡❣♦r② Sets/A✳ ❚❤❡ ♦❜❥❡❝ts ♦❢ t❤✐s ❝❛t❡❣♦r② ❛r❡ ❛rr♦✇s f : X → A ✐♥ Sets✳ ❚❤❡ ❛rr♦✇s ✐♥ Sets/A ❛r❡ ❛rr♦✇s g : X → X ′ ✐♥ Sets s❡ts ❛♥❞ ♠❛♣♣✐♥❣s✿ t❤❡ ❝❛t❡❣♦r② s✉❝❤ t❤❛t t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ tr✐❛♥❣❧❡ ❝♦♠♠✉t❡s✿ g X X′ f′ f A g : B → A ✐♥ Sets✱ ✇❡ ❞❡✜♥❡ g ∗ : Sets/A = P(A) → Sets/B = P(B) ❢♦❧❧♦✇s✿ ●✐✈❡♥ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ s✐t✉❛t✐♦♥ ✇✐t❤ ϕ ∈ Sets/A✱ ●✐✈❡♥ ❛s Y ϕ B ✇❡ ✇❛♥t ❛♥ ♦❜❥❡❝t ✐♥ ♦❢ g ❛❧♦♥❣ Sets/B A g ✇❤✐❝❤ ✐s t❤❡ ♠♦r♣❤✐s♠ ❣✐✈❡♥ ❜② t❤❡ ♣✉❧❧❜❛❝❦ ϕ✳ B ×A Y y Y ϕ b B ✇❤❡r❡ b ✐s t❤❡ ♦❜❥❡❝t ♦❢ P(B) A g t❤❛t ✇❡ ❞❡s✐r❡❞✳ ❚❤✐s ✐s ✇❤❡r❡ ♣s❡✉❞♦✲ ❢✉♥❝t♦r❛❧✐t② ✐s ✐♠♣♦rt❛♥t✱ ❛s ♣✉❧❧❜❛❝❦s ❛r❡ ♦♥❧② ✉♥✐q✉❡ ✉♣ t♦ ✐s♦♠♦r♣❤✐s♠✳ f : A → B ✱ ✇❡ ❤❛✈❡ t❤❡ ❧❡❢t ❛❞❥♦✐♥t t♦ f ∗ ❣✐✈❡♥ ❜② ❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥✳ ∃f : P(A) → P(B) ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② ❝♦♠♣♦s✐♥❣ g ∈ P(A) ✇✐t❤ f ✿ ❚❤✉s✱ ❢♦r ❚❤❛t ✐s✱ g f X→ − A→ − B ❲❡ ♠✐❣❤t ❝❛❧❧ ❞❡❞✉❝t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ ❢♦r♠ 1A → ϕ ✐♥ P(A) ✏♣r♦♦❢s✑ ♦❢ ϕ✳ ❇✉t t❤✐s ❧❡ts ✉s ❛ss♦❝✐❛t❡ ♣r♦♦❢s ♦❢ ♣r♦♣♦s✐t✐♦♥s ✇✐t❤ ♣♦✐♥ts ✭t❡r♠s✮ ♦❢ t❤❡ t②♣❡s✳ Pr♦♦❢s ✐♥ t❤✐s s❡♥s❡ ❛r❡ ❝❛❧❧②✱ ❛ ♣r♦♦❢ p s❡❝t✐♦♥s ♦❢ ❛ ❢♦r♠✉❧❛ ϕ ♦❢ ❢♦r♠✉❧❛s ✐♥ P(A)✱ t❤❡♥✳ ❉✐❛❣r❛♠♠❛t✐✲ ✐s r❡♣r❡s❡♥t❡❞ ❢♦r t❤✐s ❤②♣❡r❞♦❝tr✐♥❡ ❛s t❤❡ ✻✽ ❈❍❆P❚❊❘ ✻✳ ▲❆❲❱❊❘❊✬❙ ▲❆❲ ❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ❞✐❛❣r❛♠ 1A A A ϕ p X ♦r ❡q✉❛t✐♦♥❛❧❧② ϕ ◦ p = 1A ✳ a:1→A ❲✐t❤ t❤✐s ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥ ♦❢ ❵♣r♦♦❢ ✬✱ ❣✐✈❡♥ ❛♥❞ ϕ : X → A✱ ✇❡ ❤❛✈❡ t❤❡ ❞✐❛❣r❛♠ 1 ×A X y 1 X ϕ A a ❆♥❞ ✉s✐♥❣ t❤❡ ✉♥✐✈❡rs❛❧ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ♣✉❧❧❜❛❝❦s ❛♥❞ t❡r♠✐♥❛❧ ♦❜ ❥❡❝ts✱ ✇❡ ❡①t❡♥❞ t❤✐s t♦ p A h ! g 1 ×A X y X ϕ f 1 a A h✱ ♦❢ a ◦ f ∈ P(A)✳ ❲❡ ❦♥♦✇ t❤❛t h ✐s ❛ ♣r♦♦❢ ♦❢ a ◦ f ❛♥❞ t❤❡ ❢❛❝t t❤❛t p ✐s ❛ ♣r♦♦❢ ♦❢ ϕ✿ ✇❤✐❝❤ ❣✐✈❡s ✉s ❛ ♣r♦♦❢✱ ❜② ❵❞✐❛❣r❛♠ ❝❤❛s✐♥❣✬ (a ◦ f ) ◦ h = (ϕ ◦ g) ◦ h = ϕ ◦ (g ◦ h) =ϕ◦p = 1A s❤♦✇✐♥❣ t❤❛t h ✐s ❛ s❡❝t✐♦♥ ♦❢ a ◦ f✳ ❙♦ ✇❡ ❝❛♥ ❛ss✐❣♥ ❛ ♣r♦♦❢ h ♦❢ a◦f ❢♦r a ❛♥❞ ✇❤❡r❡ f ✐s t❤❡ ♣r♦ ❥❡❝t✐♦♥ ❢r♦♠ t❤❡ ♣✉❧❧❜❛❝❦✳ ■♥ t❤✐s ✇❛②✱ ❛ ♣r♦♦❢ ∃f (ϕ) ✐s ❛ ♠❛♣♣✐♥❣ t❤❛t ❛ss✐❣♥s t♦ ❡✈❡r② y ❛ s✐♥❣❧❡ x s✉❝❤ t❤❛t f (x) = y ∗ ❜✉t ❛❧s♦ ✐♥❝❧✉❞❡s ❛ ♣r♦♦❢ ♦❢ ϕ (x)✳ ❚❤✐s ♠❛t❝❤❡s ✉♣ ❝❧♦s❡❧② ✇✐t❤ Σ t②♣❡s ✐♥ ❡❛❝❤ ♦❢ t②♣❡ t❤❡♦r②✳ ❲❡ ❝♦✉❧❞ ❛❧s♦ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡ ♣r♦♦❢ ❤❡r❡ t♦ ✐♥❝❧✉❞❡ ❵♣r❡♠✐s❡s✬ ♦t❤❡r t❤❛♥ t❤❡ ❛❧✇❛②s tr✉❡ ♦♥❡ 1A ✳ ❚❤❡ ♥♦t✐♦♥ ♦❢ ❤②♣❡r❞♦❝tr✐♥❡ ✐s ❣✐✈❡♥ ❧❛r❣❡❧② ✐♥ t❡r♠s ♦❢ ❛❞❥♦✐♥t♥❡ss✱ t❤✉s t❤✐s ❝♦♥❝❡♣t✐♦♥ ♦❢ ❧♦❣✐❝ ✐s ♠♦r❡ ❣❡♥❡r❛❧ t❤❛♥ t❤❡ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ♥♦t✐♦♥ ♦❢ ♠♦❞❡❧ ♠✐❣❤t s✉❣❣❡st✳ ✻✳✷✳ ✻✾ ❊◗❯❆▲■❚❨ ■◆ ❆ ❍❨P❊❘❉❖❈❚❘■◆❊ ❋♦r ▲❛✇✈❡r❡✱ t❤❡ ❢❛❝t t❤❛t ❝❛rt❡s✐❛♥ ❝❧♦s✉r❡✱ ❡q✉❛❧✐t②✱ ❛♥❞ t❤❡ q✉❛♥t✐✜❡rs ❝❛♥ ❛❧❧ ❜❡ ❡①♣r❡ss❡❞ ❛♥❞ ❞❡t❡r♠✐♥❡❞ ❜② ❛❞❥♦✐♥t♥❡ss s♣❡❛❦s t❤❡ ✐♠♣♦rt❛♥❝❡ ♦❢ t❤❡ ❝♦♥✲ ❝❡♣t✳ ■♥❞❡❡❞✱ t❤❡ ❢❛❝t t❤❛t t❤❡ ❝❧❛ss✐❝❛❧ q✉❛♥t✐✜❡rs ❛r❡ ❛❞❥♦✐♥ts t♦ s✐♠♣❧❡ ❝♦♥t❡①t ✇❡❛❦❡♥✐♥❣ ✐s ❛♥ ❡❧❡❣❛♥t ❢❛❝t ♦❢t❡♥ ♣♦✐♥t❡❞ t♦ ✐♥ ❞❡♠♦♥str❛t✐♥❣ t❤❡ ❝❡♥tr❛❧✐t② ♦❢ t❤❡ ❝♦♥❝❡♣t ♦❢ ❛❞❥♦✐♥t✳ ❋♦r ♦✉r ♣✉r♣♦s❡s✱ ❤♦✇❡✈❡r✱ ✇❡ ✇✐❧❧ ❢♦❝✉s ❜❡❧♦✇ ♦♥ t❤❡ ❡q✉❛❧✐t② ♣r❡❞✐❝❛t❡ ✐♥tr♦❞✉❝❡❞ ❛s ❛♥ ❛❞❥♦✐♥t t♦ t❤❡ ✭♠♦r♣❤✐s♠ ❛ss✐❣♥❡❞ t♦ t❤❡✮ ❞✐❛❣♦♥❛❧ ♠♦r♣❤✐s♠✳ ✻✳✷ ❊q✉❛❧✐t② ✐♥ ❛ ❤②♣❡r❞♦❝tr✐♥❡ ❚❤❡ ♣✉♥❝❤❧✐♥❡ ❢♦r t❤✐s s❡❝t✐♦♥ ✐s ❛ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ✐❞❡♥t✐t② t❤❛t ❣♦❡s ❧✐❦❡ t❤✐s ■❞❡♥t✐t② ✐s t❤❛t r❡❧❛t✐♦♥ t❤❛t ✐♠♣❧✐❡s ❛❧❧ ❛♥❞ ♦♥❧② r❡✢❡①✐✈❡ r❡❧❛t✐♦♥s✳ ❇✉t t♦ ❛rr✐✈❡ ❛t t❤✐s r❡q✉✐r❡s ❛ ❝❛t❡❣♦r✐❝❛❧ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥ 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s❤♦✇s ✉s ❤♦✇ EqA ✐s ❞❡r✐✈❡❞ ❣✐✈❡♥ t❤❡ ❞✐❛❣♦♥❛❧ ♠♦r♣❤✐s♠✿ P(A) A δA A×A ❣✐✈❡s ✉s ∃ δA ⊣ ∗ δA P(A × A) ❆♥❞ ♥♦t✐❝❡ t❤❛t EqA ∈ P(A × A) ❛s ❞❡✜♥❡❞ ❛❜♦✈❡✳ P✉tt✐♥❣ t❤✐s ✐♥ ♦✉r ❢❛♠✐❧✐❛r ✐♥❢❡r❡♥❝❡ r✉❧❡ ❢♦r♠❛t✱ ✇❡ ❣❡t t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❜✐❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ❢♦r ❛♥② r❡❧❛t✐♦♥ R ∈ P(A × A)✿ ✼✵ ❈❍❆P❚❊❘ ✻✳ ∃δA (⊤) → R ⊤ → δA∗ R EqA → R ♦r ⊤→ ❚❤✐s ❝❛♥ ❜❡ r❡❛❞ ❛s ✏■❞❡♥t✐t② ♦♥ A ✐♥ δA∗ (R) ▲❆❲❱❊❘❊✬❙ ▲❆❲ P(A × A) ✐♥ P(A) ✐♠♣❧✐❡s t❤❡ r❡❧❛t✐♦♥ R ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ ✳ ✳ ✳ ✑ ❛♥❞ s♦ ✇❡ s❡❡ ❤♦✇ t❤✐s ❣✐✈❡s ❛♥ ✐♥❢❡r❡♥t✐❛❧❧② s♣❡❝✐✜❡❞ s✉✣❝✐❡♥t ❛♥❞ ♥❡❝❡ss❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ❢♦r t❤❡ ✐❞❡♥t✐t② r❡❧❛t✐♦♥✳ ❲❤❛t t❤❡♥ ❞♦❡s t❤❡ ❜♦tt♦♠ ❧✐♥❡ s❛②❄ ❙✐♥❝❡ ✇❡ r❡❛❞ ❛rr♦✇s ❛s ✐♥❢❡r❡♥❝❡s ♦r ❞❡❞✉❝t✐♦♥s ✐♥ ♦✉r ❝❛t❡❣♦r✐❡s ♦❢ ❛ttr✐❜✉t❡s P(A)✱ t❤❡ ❧♦✇❡r ✐♥❢❡r❡♥❝❡ s❛②s t❤❡ ❛❧✇❛②s tr✉❡ ♣r❡❞✐❝❛t❡ ⊤ ✐♠♣❧✐❡s t❤❡ ❝♦♥tr❛❝t✐♦♥ ♦❢ R✳ ∗ ❚❤❡ ❝♦♥tr❛❝t✐♦♥ ❢✉♥❝t♦r δA r❡♣❧❛❝❡s t✇♦ ✈❛r✐❛❜❧❡s ❜② ♦♥❡✳ ❙✐♥❝❡ R ✐s ❛ r❡❧❛t✐♦♥ ♦♥ A✱ ❝♦♥tr❛❝t✐♥❣ ✐t t❛❦❡s R(x, y) ❛♥❞ ❣✐✈❡s R(x, x) ✭♦r ♦❢ ❝♦✉rs❡ R(y, y)✮✳ ❇✉t s✐♥❝❡ ⊤ → R(x, x) ✐♥ t❤✐s ❝❛s❡✱ ✇❡ ❤❛✈❡ t❤❛t R ✐s r❡✢❡①✐✈❡ ✉♥❞❡r tr✐✈✐❛❧❧② tr✉❡ ❛ss✉♠♣t✐♦♥s✳ ❚❤✉s ✇❡ ❝❛♥ r❡✇r✐t❡ t❤❡ ❛❞❥✉♥❝t✐♦♥ t♦ ❣❡t ♦✉r ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ✐❞❡♥t✐t②✿ EqA (x, y) → R(x, y) ⊤ → R(x, x) ■♥ ♦✉r ✉s✉❛❧ ♥♦t❛t✐♦♥ ✇❡ ❤❛✈❡ t❤❡ ❡❛s✐❧② r❡❛❞❛❜❧❡ EqA (x, y) ⊢ R(x, y) ⊢ R(x, x) ❚❤❡ ❢♦r✇❛r❞ ✭❞♦✇♥✇❛r❞✮ ❡♥t❛✐❧♠❡♥t ❝❛♥ ❜❡ r❡❛❞ ❛s s❛②✐♥❣ t❤❛t ✏✐❢ ❡q✉❛❧✐t② ✐♠♣❧✐❡s ❘✱ t❤❡♥ ❘ ✐s r❡✢❡①✐✈❡✑✳ ❚❤❡ ❜❛❝❦✇❛r❞ ✭✉♣✇❛r❞✮ ❡♥t❛✐❧♠❡♥t ❝❛♥ ❜❡ r❡❛❞ ❛s s❛②✐♥❣ t❤❛t ✏✐❢ ❘ ✐s r❡✢❡①✐✈❡✱ t❤❡♥ ❡q✉❛❧✐t② ✐♠♣❧✐❡s ❘✑✳ ❇♦t❤ ♦❢ t❤❡s❡ ♣✉t t♦❣❡t❤❡r ❣✐✈❡ ✉s ♦✉r ✉♥✐q✉❡ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ✐❞❡♥t✐t②✿ ❚❤❡♦r❡♠ ✻✳✶ ✭▲❛✇✈❡r❡✬s ▲❛✇✮✳ r❡✢❡①✐✈❡ r❡❧❛t✐♦♥s✳ ■❞❡♥t✐t② ✐s t❤❛t r❡❧❛t✐♦♥ t❤❛t ✐♠♣❧✐❡s ❛❧❧ ❛♥❞ ♦♥❧② ■t ✐s ✉♥✐q✉❡ ❜❡❝❛✉s❡ ❛❞❥♦✐♥ts ❛r❡ ✉♥✐q✉❡ ✉♣ t♦ ✐s♦♠♦r♣❤✐s♠ ❛♥❞ ❛♥ ✐s♦♠♦r♣❤✐s♠ ❤❡r❡ ✇♦✉❧❞ ❜❡ ❧♦❣✐❝❛❧ ❡q✉✐✈❛❧❡♥❝❡✳ ❚❤✐s ✐s t❤❡ ❝❡♥tr❛❧ ♣♦✐♥t ♦❢ t❤✐s ❝❤❛♣t❡r ❛♥❞ ✐♥❞❡❡❞ ♠✉❝❤ ♦❢ t❤✐s ♣❛♣❡r✳ ❚❤✐s ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ✐❞❡♥t✐t② ❤❛s ❛❧❧ t❤❡ ♠❛r❦s t❤❛t ■ ❤❛✈❡ ❜❡❡♥ ❛r❣✉✐♥❣ ❛r❡ ♥❡❝✲ ❡ss❛r② ❢♦r ❛ ♠❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧❧② ❛♥❞ ♣❤✐❧♦s♦♣❤✐❝❛❧❧② s♦✉♥❞ ♠❡❛♥✐♥❣ st❛t❡♠❡♥t✳ ■t✬s ✐♥❢❡r❡♥t✐❛❧❧② st❛t❡❞✱ s✐♥❝❡ ✐t s✐♠♣❧② ❝❛❧❧s ✐❞❡♥t✐t② t❤❛t ✐♥❢❡r❡♥t✐❛❧ r♦❧❡ t❤❛t ❤❛s ❛ ❝❡rt❛✐♥ ❝❤❛r❛❝t❡r✐st✐❝✱ ♥❛♠❡❧② ✐♠♣❧②✐♥❣ ❛❧❧ ❛♥❞ ♦♥❧② r❡✢❡①✐✈❡ r❡❧❛t✐♦♥s✳ ❆s ❥✉st ♠❡♥t✐♦♥❡❞✱ t❤❡ ❢❛❝t t❤❛t ✐t✬s ❛♥ ❛❞❥✉♥❝t✐♦♥ ❣✐✈❡s ✉s t❤❡ r❡❧❡✈❛♥t s♦rt ♦❢ ✉♥✐q✉❡♥❡ss ♥❡❡❞❡❞ t♦ ❵✜①✬ ♠❡❛♥✐♥❣ ✐♥ t❤❡ ✐♥❢❡r❡♥t✐❛❧ s❡♥s❡✳ ❆♥❞ ✜♥❛❧❧②✱ ❛❞❥✉♥❝t✐♦♥s ❛❧s♦ ❣✐✈❡ ✉s ❤❛r♠♦♥②✳ ❙♦ ✐❢ t❤❡ r✉❧❡s ♦❢ ✐❞❡♥t✐t② ❛r❡ ❞❡t❡r♠✐♥❡❞ ❜② t❤✐s ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥✱ t❤❡♥ t❤❡② ❛r❡ ❤❛r♠♦♥✐♦✉s✳ ❚♦ ❡♠♣❤❛s✐③❡✱ t❤✐s ✐s t❤❡ ♠❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ♥♦t✐♦♥ ♦❢ ✐❞❡♥t✐t②✱ ❣❡♥❡r❛❧❧② ❝❤❛r❛❝t❡r✲ ✐③❡❞✳ ■t ✐s ♥❡✐t❤❡r ♣r❡✲♠❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ♥♦r s♣❡❝✐✜❝ t♦ t❤❡ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ♠♦❞❡❧✲t❤❡♦r❡t✐❝ ✻✳✷✳ ✼✶ ❊◗❯❆▲■❚❨ ■◆ ❆ ❍❨P❊❘❉❖❈❚❘■◆❊ ♥♦t✐♦♥ ♦❢ ✐❞❡♥t✐t②✳ ❚❤❡ str❡♥❣t❤ ♦❢ t❤✐s ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥ ♥❡❡❞s ❢✉rt❤❡r ❡①♣❧✐❝❛t✐♦♥ ❛♥❞ ■ ✇✐❧❧ ♣r♦✈❡ t❤❡ ❝♦♥s❡q✉❡♥❝❡s ♦❢ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③✐♥❣ ❡q✉❛❧✐t② ❜② t❤✐s ✏▲❛✇✈❡r❡✬s ▲❛✇✑✳ ❚❤❡♦r❡♠ ✻✳✷✳ Pr♦♦❢✳ ❊q✉❛❧✐t② ✐s r❡✢❡①✐✈❡✳ ■❢ ✇❡ t❛❦❡ R t♦ ❜❡ EqA ✱ t❤❡♥ ✇❡ ❣❡t EqA (x, y) ⊢ EqA (x, y) ⊢ EqA (x, x) ✇❤♦s❡ t♦♣ ❧✐♥❡ ✐s ❛❧✇❛②s s❛t✐s✜❡❞ ❜② t❤❡ ✐❞❡♥t✐t② ♠♦r♣❤✐s♠ ✐♥ ❚❤❡♦r❡♠ ✻✳✸✳ Pr♦♦❢✳ P(A × A)✳ ❊q✉❛❧✐t② ✐s s②♠♠❡tr✐❝✳ ❚❤❡ ❢❛❝t t❤❛t ❝♦♥tr❛❝t✐♦♥ ❝❛♥ ❝♦♥tr❛❝t ❡✐t❤❡r ✈❛r✐❛❜❧❡ ❣✐✈❡s ✉s ❛ r❛t❤❡r s✐♠♣❧❡ ♣r♦♦❢✳ ❚❤✐s ❝❛♥ ❜❡ s❤♦✇♥ ❜② t❤❡ s✐♠♣❧❡ ❞❡r✐✈❛t✐♦♥ EqA (x, y) ⊢ R(x, y) ⊢ R(y, y) EqA (x, y) ⊢ R(y, x) ❆♥❞ ❧❡tt✐♥❣ R ❜❡ ❚❤❡♦r❡♠ ✻✳✹✳ Pr♦♦❢✳ ❙✐♥❝❡ EqA s❤♦✇s ✉s t❤❛t ❊q✉❛❧✐t② ✐s ❛❧s♦ tr❛♥s✐t✐✈❡✳ P(A) ✐s ❝❛rt❡s✐❛♥ ❝❧♦s❡❞✱ ✇❡ ❤❛✈❡ ❡①♣♦♥❡♥t✐❛❧s ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t♦ ✐♠✲ ♣❧✐❝❛t✐♦♥s✳ ❆ss✉♠❡ t❤❛t EqA (x, c)✱ EqA (x, y) ⊢ EqA (y, x)✳ EqA (a, b) ❛♥❞ EqA (b, c)✳ ❈❤♦♦s✐♥❣ R t♦ ❜❡ EqA (y, c) ⇒ ✇❡ ❣❡t EqA (x, y) ⊢ EqA (x, c) ⇒ EqA (y, c) ⊢ EqA (x, c) ⇒ EqA (x, c) EqA (x, c) ✐♥ P(A × A)✳ ❙♦ t❤❡ ❛❞❥✉♥❝t✐♦♥ ❡♥s✉r❡s t❤❛t EqA (x, y) ⊢ EqA (x, c) ⇒ EqA (y, c) ❛♥❞ r❡♣❧❛❝✐♥❣ t❤❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s t♦ ❣❡t EqA (a, b) ⊢ EqA (a, c) ⇒ EqA (b, c) ✇❤✐❝❤ ♠❡❛♥s t❤❛t✱ ❇✉t t❤❡ ❜♦tt♦♠ ✐s tr✐✈✐❛❧❧② s❛t✐s✜❡❞ ❜② t❤❡ ✐❞❡♥t✐t② ♠♦r♣❤✐s♠ ♦❢ EqA (a, b), EqA (b, c) ⊢ EqA (a, c) ❛s ❞❡s✐r❡❞✳ ❋✐♥❛❧❧②✱ ✇❡ ♣r♦✈❡ t❤❛t ▲❛✇✈❡r❡✬s ▲❛✇ ❣✐✈❡s ✉s t❤❡ ♣r✐♥❝✐♣❧❡ ♦❢ s✉❜st✐t✉t✐♦♥ ✈❡r✐t❛t❡✳ s❛❧✈❛ ❚❤✐s ✇✐❧❧ r❡q✉✐r❡ ❛ ♣r♦♦❢ ❝❧♦s❡r t♦ t❤❡ ❤②♣❡r❞♦❝tr✐♥❡ ♥♦t❛t✐♦♥ ❛❜♦✈❡✳ ❲❡ ✇✐❧❧ ✉s❡ t❤❡ t✇♦ ♣r♦❥❡❝t✐♦♥s ✇❤✐❝❤ ❛r❡ ❞❡✜♥❡❞ ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ t❤❡ ♣r♦❞✉❝t π1 : X × Y → X ❛♥❞ π2 : X × Y → Y ✐♥ ❛ ✜♥✐t❡ ∗ ∗ ❣✐✈❡ r✐s❡ t♦ π1 : P(X) → P(X × Y ) ❛♥❞ π2 : P(Y ) → ❛❞❥✉♥❝t✐♦♥✳ ❚❤❛t ✐s✱ ✇❡ ❤❛✈❡ ♣r♦❞✉❝t ❝❛t❡❣♦r② C✳ ❚❤❡s❡ ✼✷ ❈❍❆P❚❊❘ ✻✳ ▲❆❲❱❊❘❊✬❙ ▲❆❲ P(X × Y ) ✇❤✐❝❤ ❛r❡ t❤❡ ✇❡❛❦❡♥✐♥❣ ❢✉♥❝t♦rs✱ ❛❞❞✐♥❣ ✈❛r✐❛❜❧❡s✳ ❆s ❞❡s❝r✐❜❡❞ ✐♥ t❤❡ ❡①❛♠♣❧❡s ♦❢ t❤❡ ❧❛st s❡❝t✐♦♥✱ ✇❡❛❦❡♥✐♥❣ ❛♥❞ ❝♦♥tr❛❝t✐♦♥ ❛r❡ ✐♥✈❡rs❡s ❛♥❞ s♦ ∗ ∗ δX ◦ π1∗ = δX ◦ π2∗ = 1P(X) ✳ ❲❡ ❛❧s♦ ♥❡❡❞ t❤❡ ❢❛❝t t❤❛t s✉❜st✐t✉t✐♦♥ ❢✉♥❝t♦rs ❜❡❤❛✈❡ ✇❡❧❧ ✇✐t❤ ❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥✳ ●✐✈❡♥ f : X → Y ❛♥❞ g : Y → Z ✐♥ ❛ ❝❛t❡❣♦r② ♦❢ t②♣❡s C ❛♥❞ ❛♥ ❛ttr✐❜✉t❡ φ ∈ P(Z)✱ ✇❡ ❛ss✉♠❡ f ∗ (g ∗ (φ)) ∼ = (g ◦ f )∗ (φ) ❚❤❡♦r❡♠ ✻✳✺✳ P(B)✱ ■♥ ❛ ❤②♣❡r❞♦❝tr✐♥❡ (C, P)✱ ❢♦r f :A→B ❛♥❞ ♣r❡❞✐❝❛t❡s φ, ψ ∈ ✐❢ t❤❡ ❞❡❞✉❝t✐♦♥ f ∗ (φ ⇒ ψ) → f ∗ (φ) ⇒ f ∗ (ψ) ✐♥ P(A) ✐s ❛♥ ✐s♦♠♦r♣❤✐s♠ ✭❡q✉✐✈❛❧❡♥❝❡✮✱ t❤❡♥ ❢♦r ❛♥② ♣r❡❞✐❝❛t❡ α ∈ P(A)✱ ✇❡ ❤❛✈❡ t❤❡ ❞❡❞✉❝t✐♦♥ EqA → (π1∗ (α) ⇒ π2∗ (α)) ✐♥ P(A × A)✳ Pr♦♦❢✳ ▲❡t α ∈ P(A)✳ ❲❡ ❤❛✈❡ t❤❡ ✐❞❡♥t✐t② ❞❡❞✉❝t✐♦♥ α ⇒ α ❛♥❞ s♦ ⊤ → (α ⇒ α) → (π1 ◦ δA )∗ (α) ⇒ (π2 ◦ δA )∗ (α) ∼ − → δA∗ (π1∗ (α) ⇒ π2∗ (α)) ✭δA∗ ◦ πi∗ = 1P(A) ✮ ✭❛ss✉♠♣t✐♦♥✮ ❆♥❞ ❣✐✈❡♥ t❤❡ ❢❛❝t t❤❛t ❡q✉❛❧✐t② ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❛s t❤❡ ❧❡❢t ❛❞❥♦✐♥t t♦ ❝♦♥tr❛❝t✐♦♥ ❛t ⊤✱ ✇❡ ❣❡t ❛♥ ❛rr♦✇ EqA → (π1∗ (α) ⇒ π2∗ (α)) ❚❤✐s ❞❡❞✉❝t✐♦♥ ✐s t❤❡ ❣❡♥❡r❛❧ ❢♦r♠ ♦❢ t❤❡ s✉❜st✐t✉t✐✈✐t② ♦❢ ❡q✉❛❧✐t②✳ ❚❤❛t ✐s✱ ✐❢ α ✐s ❛ ✉♥❛r② r❡❧❛t✐♦♥ ♦♥ A✱ t❤❡♥ ❢♦r x, y : A EqA (x, y) ⊢ (α(x) ⇒ α(y)). ❚❤✐s s❛②s t❤❛t ❡q✉❛❧✐t② ✐s ❛ r❡❧❛t✐♦♥ t❤❛t ❛❧❧ ♣r❡❞✐❝❛t❡s r❡s♣❡❝t✳ ❚❤✉s✱ ✇❡ ❤❛✈❡ ♥♦✇ ♣r♦✈❡❞ t❤❛t ▲❛✇✈❡r❡✬s ▲❛✇ ❡♥t❛✐❧s ❛❧❧ t❤❡ st❛♥❞❛r❞ ❢❡❛t✉r❡s ♦❢ ❡q✉❛❧✐t②✿ r❡✢❡①✐✈✐t②✱ s②♠♠❡tr②✱ tr❛♥s✐t✐✈✐t②✱ ❛♥❞ s✉❜st✐t✉t✐✈✐t②✳ ❚❤❡ ♣r♦♦❢s ❢♦r t❤❡s❡ ❢❛❝ts ❜❡❛r str✐❦✐♥❣ r❡s❡♠❜❧❛♥❝❡ t♦ t❤❡ ♣r♦♦❢s ❣✐✈❡♥ ✐♥ ❙❡❝t✐♦♥ ✷✳✷✳✷ ❢♦r t❤❡ ✐❞❡♥t✐t② r✉❧❡s ♦❢ ▼▲❚❚✳ ❙♦ ♥♦t ♦♥❧② ❞♦ ❜♦t❤ ▼▲❚❚ ✐❞❡♥t✐t② ❛♥❞ ▲❛✇✈❡r❡✬s ▲❛✇ ♣r♦✈❡ t❤❡ ❛❜♦✈❡ ❢❛❝ts ❛❜♦✉t ✐❞❡♥t✐t②✱ t❤❡ ✇❛② t♦ ♣r♦✈❡ t❤❡♠ ✐s s✉✣❝✐❡♥t❧② s✐♠✐❧❛r t♦ ❛❧r❡❛❞② s✉❣❣❡st t❤❡✐r ❡q✉✐✈❛❧❡♥❝❡✳ ✻✳✷✳ ✼✸ ❊◗❯❆▲■❚❨ ■◆ ❆ ❍❨P❊❘❉❖❈❚❘■◆❊ ❚❤❡ t✇♦ r✉❧❡s ❢♦r ✐❞❡♥t✐t② ❛r❡ ❛s ❢♦❧❧♦✇s✿ ⊢ R(x, x) EqA (x, y) ⊢ R(x, y) ▲▲ x : A, y : A, p : IdA (x, y) ⊢ R(x, y, p) Type x : A ⊢ t(x) : R(x, x, reflx ) x : A, y : A, p : IdA (x, y) ⊢ J(t; x, y, p) : R(x, y, p) ■❣♥♦r✐♥❣ t❤❡ Type ❞❡❝❧❛r❛t✐♦♥ ✭t❤❡ ❧❡❢t ♣r❡♠✐s❡✮ ✐♥ P❛t❤ ■♥❞✉❝t✐♦♥ ❛♥❞ ♠❛❦✐♥❣ s♦♠❡ ✈❛r✐❛❜❧❡ ❝♦♥t❡①ts ✐♠♣❧✐❝✐t✱ ✇❡ ❝❛♥ r❡✇r✐t❡ t❤✐s ❛s ⊢ t(x) : R(x, x, reflx ) p : IdA (x, y) ⊢ J(t; x, y, p) : R(x, y, p) ✇❤✐❝❤ ✐s ❝❧❡❛r❧② s✐♠✐❧❛r t♦ ♦♥❡ ❞✐r❡❝t✐♦♥ ♦❢ ▲❛✇✈❡r❡✬s ▲❛✇✳ ■ ❛r❣✉❡ t❤❛t t❤❡✐r s✐♠✐❧❛r✐t② ✐s str♦♥❣ ❡♥♦✉❣❤ t♦ ❥✉st✐❢② t❤❡ ✐❞❡♥t✐t② r✉❧❡s ♦❢ ▼▲❚❚✳ ❚❤❡ ✐❞❡♥t✐t② r✉❧❡s ♦❢ ▼▲❚❚ ✐♥❞✐❝❛t❡ t❤❛t ✐❞❡♥t✐t② ✐s ❣❡♥❡r❛t❡❞ ❢r♦♠ r❡✢❡①✐✈✐t② ❛♥❞ t❤✐s✱ ■ ❝❧❛✐♠✱ ✐s ✇❤❛t ▲❛✇✈❡r❡✬s ▲❛✇ st❛t❡s ❛s ✇❡❧❧✳ ◆♦t ♦♥❧② ❞♦ ✇❡ ❤❛✈❡ t❤❡ ♥❡❝❡ss❛r② ❢❡❛t✉r❡s ♦❢ ✐❞❡♥t✐t② ✭✐✳❡✳ r❡✢❡①✐✈✐t②✱ s②♠♠❡tr②✱ tr❛♥s✐t✐✈✐t②✱ ❛♥❞ s✉❜✲ st✐t✉t✐✈✐t②✮✱ t❤❡② ❛r❡ ❛❧s♦ ❜♦t❤ t❤❡ s♠❛❧❧❡st r❡✢❡①✐✈❡ r❡❧❛t✐♦♥s ♦❢ t❤❡✐r r❡s♣❡❝t✐✈❡ ❢r❛♠❡✇♦r❦s✳ ❚❤❡ ✐❞❡♥t✐t② r✉❧❡s ♦❢ ▼▲❚❚ s❛② t❤✐s t❤r♦✉❣❤ P❛t❤ ■♥❞✉❝t✐♦♥✱ ✇❤✐❝❤ s❤♦✇s t❤❛t ❢♦r ❛♥② ✭♣r♦✈❛❜❧②✮ r❡✢❡①✐✈❡ r❡❧❛t✐♦♥ R✱ ❛ ♣r♦♦❢ ♦❢ ✐❞❡♥t✐t② ✐s tr❛♥s✲ ❢♦r♠❡❞ ✐♥t♦ ❛ ♣r♦♦❢ ♦❢ R✳ ❆♥♦t❤❡r ✇❛② t♦ s❛② t❤✐s ✐s t❤❛t ✐❞❡♥t✐t② ✐♠♣❧✐❡s ❛❧❧ r❡✢❡①✐✈❡ r❡❧❛t✐♦♥s ✐♥ ▼▲❚❚✳ ❆♥❞ t❤✐s ✐s ♣r❡❝✐s❡❧② ✇❤❛t ▲❛✇✈❡r❡✬s ▲❛✇ st❛t❡s ❛s ✇❡❧❧✳ ❲❡ ❤❛✈❡ ❡st❛❜❧✐s❤❡❞ t❤❛t t❤❡ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ❝♦♥❝❡♣t✐♦♥ ♦❢ ✐❞❡♥t✐t② ❣❛✐♥❡❞ ❜② ♦✉r ❛♥❛❧②s✐s ♦❢ ❤②♣❡r❞♦❝tr✐♥❡s r❡q✉✐r❡s t❤❡ ✐❞❡♥t✐t② r❡❧❛t✐♦♥ t♦ ✐♠♣❧② ❛❧❧ ❛♥❞ ♦♥❧② r❡✢❡①✐✈❡ r❡❧❛t✐♦♥s✳ ■ ❤❛✈❡ ❝❛❧❧❡❞ t❤✐s ▲❛✇✈❡r❡✬s ▲❛✇ ❛♥❞ ✇❡ s❛✇ t❤❛t ✐t ✐♠♣❧✐❡s t❤❛t ✐❞❡♥t✐t② ✐s r❡✢❡①✐✈❡✱ s②♠♠❡tr✐❝ ❛♥❞ tr❛♥s✐t✐✈❡✳ ❲❡ ❛❧s♦ ♥♦t❡ t❤❛t t❤✐s ✇❛s ❣✐✈❡♥ ❜② ❛♥ ❛❞❥✉♥❝t✐♦♥✱ ♥❛♠❡❧② t♦ ❝♦♥tr❛❝t✐♦♥ ❛t t❤❡ ❛❧✇❛②s tr✉❡ ♣r❡❞✐❝❛t❡ ⊤✳ ●✐✈❡♥ t❤❡ ❞✐s❝✉ss✐♦♥ ✐♥ t❤❡ ❧❛st ❝❤❛♣t❡r✱ t❤✐s s❤♦✇s ✉s t❤❛t t❤❡ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ✐❞❡♥t✐t② ✐s ❤❛r♠♦♥✐♦✉s✳ ▼♦r❡♦✈❡r✱ t❤❡ ✐❞❡♥t✐t② ♦❢ ▼▲❚❚ ✇❛s ❛❧s♦ s❤♦✇♥ t♦ ❤❛✈❡ t❤❡ ❡①♣❡❝t❡❞ ❢❡❛t✉r❡s ♦❢ r❡✢❡①✐✈✐t②✱ s②♠♠❡tr②✱ ❛♥❞ tr❛♥s✐t✐✈✐t②✳ ▼♦st ✐♠♣♦rt❛♥t❧②✱ t❤❡② ❜♦t❤ ✐♥t❡r♣r❡t ✐❞❡♥t✐t② ❛s t❤❛t r❡❧❛t✐♦♥ t❤❛t ✐♠♣❧✐❡s ❛❧❧ ❛♥❞ ♦♥❧② r❡✢❡①✐✈❡ r❡❧❛t✐♦♥s✳ ❆❧♦♥❣ ✇✐t❤ t❤❡ ♣r♦✈❛❜✐❧✐t② ♦❢ t❤❡ ✐❞❡♥t✐t② ♦❢ ✐♥❞✐s❝❡r♥✐❜❧❡s✱ t❤✐s s❤♦✇s t❤❛t t❤❡ ✐❞❡♥t✐t② ❝♦♥❝❡♣ts ♦❢ ▼▲❚❚ ❛♥❞ ❤②♣❡r❞♦❝tr✐♥❡s r✐s❡ ♦r ❢❛❧❧ t♦❣❡t❤❡r✳ ❚❤❛t ✐s✱ ✐❢ ▲❛✇✈❡r❡✬s ▲❛✇ ✐s ❥✉st✐✜❡❞✱ t❤❡♥ s♦ ✐s P❛t❤ ■♥❞✉❝t✐♦♥✳ ❚❤❡ ♦♥❧② ❞✐✛❡r❡♥❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ ✭♦♥❡ ❞✐r❡❝t✐♦♥ ♦❢✮ ▲❛✇✈❡r❡✬s ▲❛✇ ❛♥❞ P❛t❤ ■♥❞✉❝✲ t✐♦♥ ✐s t❤❛t P❛t❤ ■♥❞✉❝t✐♦♥ ❛❧❧♦✇s t❤❡ r❡❧❛t✐♦♥ R t♦ ❞❡♣❡♥❞ ♦♥ ❛♥ ✐❞❡♥t✐✜❝❛t✐♦♥✳ ❚❤✐s ♠❡❛♥s t❤❛t R ✐s ♥♦t ❛ r❡❧❛t✐♦♥ ♦♥ A×A ❜✉t ♦♥ A×A×IdA ✳ ❇✉t t❤✐s ✐s t♦ ♦♥❧② r❡q✉✐r❡ ❛ ❝❛♥♦♥✐❝❛❧ ❛♥❞ ♣r♦♣♦s✐t✐♦♥❛❧ ♥♦t✐♦♥ ♦❢ r❡✢❡①✐✈✐t②✳ ❲❤❡r❡❛s r❡✢❡①✐✈✐t② ✐♥ ✼✹ ❈❍❆P❚❊❘ ✻✳ ▲❆❲❱❊❘❊✬❙ ▲❆❲ ❛ ❤②♣❡r❞♦❝tr✐♥❡ ✐s ❜❡✐♥❣ ❛ r❡❧❛t✐♦♥ ✇❤♦s❡ ❝♦♥tr❛❝t✐♦♥ ✐s ❞❡❞✉❝❡❞✱ ✐♥ ▼▲❚❚ t❤❡ r❡✢❡①✐✈✐t② ❝♦✉❧❞ ❤❛✈❡ ❜❡❡♥ ♣r♦✈❡♥ ✐♥ s♦♠❡ ♣❛rt✐❝✉❧❛r ✇❛②✳ Pr♦✈✐♥❣ R(x, x, reflx ) ❛s ❛ ♣r❡♠✐s❡ ♠❡❛♥s ♥♦t❤✐♥❣ ♠♦r❡ t❤❛♥ t❤❛t R ✐s r❡✢❡①✐✈❡ ✐♥ t❤❡ ❝❛♥♦♥✐❝❛❧ ✇❛②✳ ❚❤✐s ✐s ❛ ❞✐st✐♥❝t✐♦♥ t❤❛t t❤❡ ❣❡♥❡r❛❧ ❤②♣❡r❞♦❝tr✐♥❡ ❝❛♥♥♦t ❤❛♥❞❧❡✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ✐❢ ✇❡ ♣✐❝❦ ❛ ♣r♦♦❢✲r❡❧❡✈❛♥t ❤②♣❡r❞♦❝tr✐♥❡✱ ♦✉r ❡q✉❛❧✐t② ✐s ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ ❛ ♣r♦♦❢ ♦❢ r❡✢❡①✐✈✐t②✱ ♥❛♠❡❧② t❤❡ tr✐✈✐❛❧ ♦♥❡✳ ✻✳✸ ❊q✉✐✈❛❧❡♥t ■❞❡♥t✐t✐❡s ❚❤❡ ❣❡♥❡r❛❧ ❛♥❞ ✐♥❢❡r❡♥t✐❛❧✐st ♥♦t✐♦♥ ♦❢ ✐❞❡♥t✐t② ❣✐✈❡♥ ❜② ▲❛✇✈❡r❡✬s ▲❛✇ ✐♠♣❧✐❡s t❤❡ ✐❞❡♥t✐t② r✉❧❡s ♦❢ ▼▲❚❚✳ 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❤②♣❡r❞♦❝tr✐♥❡ s❛t✐s✜❡s t❤❡ ❚❤✐s ❛❞❥♦✐♥t t❛❦❡s ♣r❡❞✐❝❛t❡s ♦♥ X t♦ ♦❜❥❡❝ts ♦✈❡r X ✳ ❋♦r ❛ ♣r❡❞✐❝❛t❡ φ ✐♥ P(X)✱ ✇❡ ❞❡♥♦t❡ t❤❡ ❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐♦♥ ♦❜❥❡❝t ❜② {X : φ}✳ ❘❡❝❛❧❧ t❤❛t ♠♦r♣❤✐s♠s ✐♥ C/X ❛r❡ ❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡ tr✐❛♥❣❧❡s ♦✈❡r X ✳ ❚❤✐s ❣✐✈❡s ✉s t❤❡ ❞♦✉❜❧❡ r✉❧❡ ♦❢ ✐♥❢❡r❡♥❝❡ ❈♦♠♣r❡❤❡♥s✐♦♥ ❙❝❤❡♠❛✳ ✻✳✸✳ ✼✺ ❊◗❯■❱❆▲❊◆❚ ■❉❊◆❚■❚■❊❙ {X : φ} E → p pφ X X Σp 1 E → φ ❲❡ ❤❛✈❡ ❢✉rt❤❡r ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ♦♥ t❤❡ ❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐♦♥ ❛❞❥✉♥❝t✳ ❆❧t❤♦✉❣❤ ✇❡ ✇✐❧❧ ♥♦t ♥❡❡❞ t❤✐s✱ ✐t ✐s r❡❛s♦♥❛❜❧❡ t♦ r❡q✉✐r❡ t❤❛t t❤❡ ❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐♦♥ ❢✉♥❝t♦r R ❜❡❤❛✈❡s ✇❡❧❧ ✇✐t❤ t❤❡ Σ ❛♥❞ ❣❡♦♠❡tr✐❝ ❢✉♥❝t♦rs✳ ●✐✈❡♥ f : X → Y ✱ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❞✐❛❣r❛♠ ❝♦♠♠✉t❡s✿ P(X) R C/X Σf f! 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(a) = f ◦ a✳ ❚❤✐s ✐s ❛s ❛ss✉♠♣t✐♦♥ t❤❛t ❣✐✈❡s ✉s str✉❝t✉r❡ t♦ ✐♥t❡❣r❛t❡ ❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐♦♥ ✐♥t♦ t❤❡ ❡①✐st✐♥❣ ❤②♣❡r❞♦❝tr✐♥❡ str✉❝t✉r❡✳ ❋✉rt❤❡r ✇❡ t❛❦❡ ❛s ❛♥ ❛①✐♦♠ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❡①✐st❡♥❝❡ ❝❧❛✐♠✿ ❋♦r ❛♥② β : B → A✱ ✇✐t❤ η : B → R(Σβ 1B )) ❣✐✈❡♥ ❜② t❤❡ ✉♥✐t ♦❢ ❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐♦♥ ❛❞❥✉♥❝t✐♦♥✱ t❤❡r❡ ✐s ❛ ♣♦✐♥t 1 → Ση 1 B . ✭✻✳✷✮ ❚❤✐s ❛❧❧♦✇s ✉s t♦ ♣r♦✈❡ t❤❡ ♠❛❥♦r t❤❡♦r❡♠ ♦❢ t❤✐s ♣❛♣❡r✱ t❤❛t P❛t❤ ■♥❞✉❝t✐♦♥ ✐s ✐♠♣❧✐❡❞ ❜② ❡q✉❛❧✐t② ✐♥ ❛ ❤②♣❡r❞♦❝tr✐♥❡ ✇✐t❤ ❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐♦♥✳ ▲❛✇✈❡r❡✬s ▲❛✇ ✐♥ ❛ ❤②♣❡r❞♦❝tr✐♥❡ t❤❛t s❛t✐s✜❡s t❤❡ ❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐♦♥ s❝❤❡♠❛ ✐♠♣❧✐❡s t❤❡ ✈❛❧✐❞✐t② ♦❢ ✐❞❡♥t✐t② ❡❧✐♠✐♥❛t✐♦♥ ✐♥ ❍♦❚❚ ✭P❛t❤ ■♥❞✉❝t✐♦♥✮✳ ❚❤❡♦r❡♠ ✻✳✻✳ Pr♦♦❢✳ ■❢ ❛ ❤②♣❡r❞♦❝tr✐♥❡ s❛t✐s✜❡s t❤❡ ❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐♦♥ s❝❤❡♠❛✱ ❛s ✇❡ ✇✐❧❧ ❛ss✉♠❡ ❢r♦♠ ♥♦✇ ♦♥✱ ✇❡ ❤❛✈❡ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ s✐t✉❛t✐♦♥✿ ▲❡t X ∈ C✱ ✇❤❡r❡ C ✐s ♦✉r ❜❛s❡ ❝❛t❡❣♦r② ♦❢ t②♣❡s✳ ❚♦ s✐♠♣❧✐❢② ♥♦t❛t✐♦♥✱ ❧❡t L = Σ(−) 1(−) ❛♥❞ ❧❡t t❤❡ ❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐♦♥ ❢✉♥❝t♦r R ❜❡ ❣✐✈❡♥ ❜② ❛❞❥✉♥❝t✐♦♥ L ⊣ R✳ ◆♦✇ t❛❦❡ t❤❡ ❞✐❛❣♦♥❛❧ ♠❛♣ δ : X → X × X s♦ t❤❛t ✇❡ ❤❛✈❡ L(δ) = EqX ✐♥ P(X × X) ❛♥❞ R(L(δ)) ✐♥ C/X × X ✳ ■❢ ✇❡ t❛❦❡ t❤❡ ✉♥✐t ♦❢ t❤❡ ❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐♦♥ ❛❞❥♦✐♥t✱ ✇❡ ❣❡t t❤❡ r✉❧❡ ♦❢ ✐♥❢❡r❡♥❝❡ L(δ) → L(δ) δ → R(L(δ)) ✼✻ ❈❍❆P❚❊❘ ✻✳ ▲❆❲❱❊❘❊✬❙ ▲❆❲ ✇❤✐❝❤ ✐s tr✐✈✐❛❧❧② s❛t✐s✜❡❞✳ ❇✉t δ → R(L(δ)) ✐s ❛ ❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡ tr✐❛♥❣❧❡ s✐♥❝❡ ✐t ✐s ❛ ♠♦r♣❤✐s♠ ✐♥ C/X × X ✳ ❚❤✐s ❣✐✈❡s ✉s t❤❡ ❞✐❛❣r❛♠ η X δ R(L(δ)) p X ×X ❍❡r❡✱ η ✐s t❤❡ ✉♥✐t ♦❢ L ⊣ R ❛t L(δ)✳ ❙✐♥❝❡ t❤✐s tr✐❛♥❣❧❡ ❝♦♠♠✉t❡s✱ ✇❡ ❤❛✈❡ δ = p ◦ η ✳ ❇② ❢✉♥❝t♦r❛❧✐t② ♦❢ L✱ ✇❡ ❣❡t Σδ 1X = Σp (Ση 1X ). ✭✻✳✸✮ ❙✐♥❝❡ L(δ) = EqX ❛♥❞ R ✐s t❤❡ ❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐♦♥ ❢✉♥❝t♦r✱ ✇❡ ✐♥t❡r♣r❡t R(L(δ)) ❛s t❤❡ ✐❞❡♥t✐t② t②♣❡✳ ■♥ t❤✐s ✇❛②✱ t❤❡ ❡q✉❛❧✐t② ♣r❡❞✐❝❛t❡ ✐s ❤②♣♦st❛t✐③❡❞ ✐♥t♦ ❛ t②♣❡ ♦❢ t❤❡ ❜❛s❡ ❝❛t❡❣♦r②✱ ✇❤✐❝❤ ✇❡ ✇✐❧❧ s✉❣❣❡st✐✈❡❧② ❞❡♥♦t❡ IdX ✳ ■♥ t❤❡ str✉❝t✉r❡ ♦❢ ♦✉r ❤②♣❡r❞♦❝tr✐♥❡ ✇✐t❤ ❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐♦♥✱ ✇❡ ❤❛✈❡ ❛ss✉♠♣t✐♦♥ ✻✳✷ t❤❛t ❣✐✈❡s ✉s✱ ✇✐t❤ δ : X → X × X ❛♥❞ η : X → R(L(δ))✱ ❛♥ ❛rr♦✇ σ : 1 → L(η) = Ση 1X ❈♦♥t❡①t ❥✉❞❣♠❡♥ts ❧✐❦❡ x, y : A, p : IdA (x, y) ⊢ R(x, y, p) Type ❛r❡ ✐♥t❡r♣r❡t❡❞ ❛s ♦❜❥❡❝ts ♦❢ t❤❡ s❧✐❝❡ ♦✈❡r t❤❡ ♦❜❥❡❝t t❤❛t ✐♥t❡r♣r❡ts t❤❡ ❝♦♥t❡①t✳ ❙♦ ♦✉r η : X → IdX ♠♦❞❡❧s t❤❡ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝② ♦♥ t❤❡ ✐❞❡♥t✐✜❝❛t✐♦♥ ✇❤❡♥ ❝♦♥s✐❞❡r✐♥❣ t❤❡ ♣r❡♠✐s❡s ♦❢ ■❞✲ ❊❧✐♠✳ ❙✉♣♣♦s❡ ✇❡ ❤❛✈❡ ❛ ♠♦t✐✈❡ R ✐♥ P(IdX ) ❛♥❞ ❛ ♠❛♣ ✭t❤❛t ✐♥t❡r♣r❡ts ❛ t❡r♠ ✮ t : 1 → η ∗ (R) ✐♥ P(X) ✭✻✳✹✮ ❘❡❝❛❧❧ t❤❛t η ∗ (R) ✐s t❤❡ s✉❜st✐t✉t✐♦♥ ♦❢ η ✐♥ R✳ ❚❤✉s✱ t❤✐s ✐s t❤❡ ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥ ♦❢ ♦✉r ♠❛❥♦r ♣r❡♠✐s❡ ♦❢ ■❞✲❊❧✐♠✱ ✐✳❡✳ t : R(x, x, reflx )✳ ❙♦ ♥♦✇ ✇❡ ❤❛✈❡ t♦ ♣r♦✈✐❞❡ ❛ ♠♦r♣❤✐s♠ ❢♦r J : 1 → R ✐♥ t❤❡ ❝♦♥t❡①t ♦❢ ✐❞❡♥t✐✜❡❞ t❡r♠s P(IDX ) ❢♦r ♦✉r ❝♦♥❝❧✉s✐♦♥✳ ❇✉t s✐♥❝❡ Ση ⊣ η ∗ ❜② ❞❡✜♥✐t✐♦♥✱ ✇❡ ❤❛✈❡ t❤❡ ❝♦✉♥✐t ♦❢ t❤❡ ❛❞❥✉♥❝t✐♦♥ ❣✐✈❡♥ ❜② Ση (η ∗ (R)) → R η ∗ (R) → η ∗ (R) ❚❤✐s ❣✐✈❡s ✉s ❛♥ ❛rr♦✇ ep : Ση (η ∗ (R)) → R✳ ❲❡ ❛❧s♦ ❤❛✈❡ ❛♥ ❛rr♦✇ Ση (t) : Ση 1X → Ση (η ∗ (R)) ✭✻✳✺✮ ✻✳✸✳ ✼✼ ❊◗❯■❱❆▲❊◆❚ ■❉❊◆❚■❚■❊❙ ❆♥❞ s✐♥❝❡ σ : 1 → Ση 1 X ✱ t❤✐s ❡st❛❜❧✐s❤❡s t❤❡ ❛rr♦✇ Ση (t) ◦ σ : 1 → Ση 1X → Ση (η ∗ (R)) ❋✐♥❛❧❧②✱ ❝♦♠♣♦s✐♥❣ ✇✐t❤ ep ✭✻✳✻✮ ✇❡ ❣❡t 6.6 ❡♣ →R J : 1 −→ Ση (η ∗ (R)) − ✇❤✐❝❤ ✐s t❤❡ t❡r♠ t❤❛t ✇❡ ♥❡❡❞❡❞✳ ✭✻✳✼✮ ✼ ⑤ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥ ❚❤✐s ♣❛♣❡r ❤❛s ❛tt❡♠♣t❡❞ t♦ ❣✐✈❡ ❛ ❥✉st✐✜❝❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ✐❞❡♥t✐t② r✉❧❡s ✐♥ ❍♦♠♦✲ t♦♣② ❚②♣❡ ❚❤❡♦r② ❜② ♣r♦✈✐❞✐♥❣ ❛ ❥✉st✐✜❝❛t✐♦♥ ✇✐t❤♦✉t ❛♣♣❡❛❧ t♦ t❤❡ ❤♦♠♦t♦♣✐❝ ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥ ❬✽❪✳ ❊✈❡♥ t❤♦✉❣❤ ♦♥❡ ♦❢ ❍♦❚❚✬s ♠❛✐♥ ✐♥♥♦✈❛t✐♦♥s ✐s ❡①❛❝t❧② t❤✐s ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥✱ t❤❡ ❥✉st✐✜❝❛t✐♦♥ ♦❢ ✐ts r✉❧❡s ❞♦❡s ♥♦t ❡ss❡♥t✐❛❧❧② r❡❧② ♦♥ ✐t✳ ❖♣♣♦s✐♥❣ t❤❡ ❝♦♥tr❛✐♥ts t❤❛t ▲❛❞②♠❛♥ ❛♥❞ Pr❡s♥❡❧❧ ♣❧❛❝❡ ♦♥ t❤❡ ❥✉st✐✜❝❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ r✉❧❡s✱ ■ ❞♦ ♥♦t ❛♣♣❡❛❧ t♦ ♥♦♥✲♠❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ♥♦t✐♦♥s ✐♥ ♦r❞❡r t♦ r❡♣❧❛❝❡ t❤❡ ❵♣r♦❜❧❡♠❛t✐❝✬ ❤♦♠♦t♦♣✐❝ ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥✳ ■♥st❡❛❞✱ ■ ✉s❡ ❛ ❣❡♥❡r❛❧ ❛♥❞ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ♠❛t❤❡♠❛t✐✲ ❝❛❧ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ✐❞❡♥t✐t② ✇❤✐❝❤ s❤♦✇s t❤❛t t❤❡ ✐❞❡♥t✐t② r✉❧❡s ♦❢ ❍♦❚❚ ❛r❡ ❢♦✉♥❞❡❞ ✐♥ t❤❡ ♣r♦♣❡r❧② ♠❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ♥♦t✐♦♥ ♦❢ ✐❞❡♥t✐t②✳ ❇✉t t♦ ❞♦ t❤✐s✱ ❜② r❡♠♦✈✲ ✐♥❣ t❤❡ ❤♦♠♦t♦♣✐❝ ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥✱ ■ r❡❢❡r t♦ t❤❡ ✐❞❡♥t✐t② r✉❧❡s ♦❢ t❤❡ ❢♦r♠❛❧ t②♣❡ t❤❡♦r② ♦❢ ▼❛rt✐♥✲▲ö❢ ✐♥ ♦r❞❡r t♦ s❤♦✇ t❤✐s ♠❛t❝❤ ❜❡t✇❡❡♥ ❛ ♠❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ✐❞❡♥t✐t② ❛♥❞ t❤❡ ✐❞❡♥t✐t② r✉❧❡s✱ ❡s♣❡❝✐❛❧❧② ✐❞❡♥t✐t② ❡❧✐♠✐♥❛t✐♦♥✳ ❚❤❡s❡ ♠♦r❡ ❜❛s✐❝ ✐❞❡♥t✐t② r✉❧❡s✱ t❤♦s❡ ♦❢ ▼❛rt✐♥✲▲ö❢ ❚②♣❡ ❚❤❡♦r②✱ ❛r❡ ❥✉st✐✜❡❞ ❜② ❛ t✇♦ st❡♣ ♠❡t❤♦❞✿ ✜rst ❜② ❥✉st✐❢②✐♥❣ t❤❡✐r ✐♥t❡r♥❛❧ 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