TEORIA DE COLAS O LÍNEAS DE ESPERA Introducción Son innumerables las situaciones en que personas u objetos deben ordenarse o agruparse según una estructura impuesta por un sistema, a la espera de recibir un servicio para satisfacer una necesidad. Ejemplos de situaciones de esta naturaleza podrían ser: esperar que se desocupe el cajero automático para la extracción de dinero o realizar cualquier otra operación, la espera en un consultorio para ser atendido por un médico, los automóviles que esperan en una estación de peaje para abonar el canon y continuar circulando, las computadoras en un taller que esperan turno para ser reparadas, las cajas agrupadas en un a cinta transportadora que esperan ser etiquetadas, etc. Se pueden dar infinitos ejemplos de situaciones idénticas y en todos ellos se puede descubrir que hay dos elementos en común. Por un lado una persona u objeto, en general se llamará cliente, que espera para recibir un servicio y por otro lado, alguien que brinda el servicio solicitado por el cliente, en general se le llama servidor. La rama de la Investigación Operativa encargada del estudio de sistemas con estas características, es lo que se llama Teoría de Colas o Líneas de Espera. Dentro de los múltiples temas que trata la Investigación Operativa, se puede afirmar sin ningún temor que la Teoría de Colas o Líneas de Espera es la que mayores posibilidades de aplicación tiene, aunque en la realidad esta situación no se dé de esta manera por lo dificultoso que resulta, en la mayoría de los casos, recoger la información correcta y necesaria para su aplicación. Esta dificultad proviene del hecho de que las variables que intervienen en la formulación del modelo matemático tienen un comportamiento completamente aleatorio de manera que el riguroso tratamiento matemático que se pretende hacer de este fenómeno, carece de sentido en muchos casos, en razón de que los resultados que se obtienen pueden estar muy alejados de la realidad. Esta situación conduce a aplicar técnicas tales como la Simulación para el análisis y dimensionado de sistemas con estas características resignando economía y exactitud en algunos casos, pero obteniendo resultados más acordes con la realidad. Los múltiples temas o situaciones en que se puede aplicar esta importante herramienta pueden ser: 1.- Entrada y salida de aviones en un aeropuerto. 2.- Carga y descarga de buques en un puerto. 3.- Atención al público en ventanillas. 4.- Reparación de equipos en un taller. 5.- Atención de automóviles en una estación de servicio. 6.- Centrales telefónicas en una oficina con líneas externas. 7.- Despacho de expedientes por parte de un empleado. 8.- Atención de varias máquinas por parte de un solo empleado. Todos estos son algunos pocos ejemplos en los que se puede aplicar la teoría de colas o líneas de espera. 1 Estructura Básica de una Línea de Espera Todas estas situaciones pueden ser asimiladas al siguiente esquema de funcionamiento: Entrada Canal de servicio o Servidor Cola Salida Este esquema básico de funcionamiento consta de elementos de los cuales dos son los más importantes que son: a) La cola o línea de espera b) El canal de servicio o servidor. Cualquier sistema de colas está destinado a servir cierto flujo de pedidos que llegan en ciertos momentos aleatorios de tiempo. También el servicio dura un cierto tiempo aleatorio llamado tiempo de servicio. En este esquema, los clientes que son los individuos que vienen requiriendo de un servicio, llegan aleatoriamente al sistema y se incorporan a la cola esperando ser atendidos. Si el canal de servicio o servidor está desocupado, el cliente recibe el servicio y abandona inmediatamente el sistema. Por otro lado, el carácter aleatorio del flujo de demandas y de los tiempos de servicio hace que en ciertos periodos de tiempo a la entrada del sistema más precisamente en la cola, se acumule un número demasiado grande de demandas. En estas situaciones, los clientes se incorporan a la cola o bien abandonan el sistema sin recibir el servicio. En otros casos, el sistema funcionará con una utilización incompleta del servicio o permanecerá libre o parado durante tiempos prolongados consumiendo recursos. Clasificación de los Sistemas de Colas o Líneas de Espera Las líneas de espera se pueden clasificar de acuerdo a: 1.- Número de clientes que esperan en la cola. Este puede ser finito o infinito. En la realidad sólo se presenta el primero. 2.- La fuente que genera la población de clientes que puede tener una producción finita o infinita. A los fines de determinar los parámetros que caracterizan un sistema, considerar que la fuente genera una población infinita, facilita los cálculos. 3.- La manera en que se organizan las colas. Estas pueden ser de una sola o de varias con opción a cambio de cola o no. Esto depende de la naturaleza del servicio que se presta. 4.- El tiempo transcurrido entre la llegada de dos clientes consecutivos. Este puede ser una constante o una variable aleatoria independiente que puede responder o no a una determinada distribución de probabilidad. Cuando se analiza un sistema de colas con un enfoque matemático, se asume que el tiempo transcurrido entre dos llegadas consecutivas es una variable aleatoria independiente que responde a una distribución de probabilidades de Poisson. 5.- El tiempo de servicio. También este tiempo puede ser una constante o una variable aleatoria, independiente o dependiente, cuya distribución de probabilidades puede conocerse o no. Cuando se analiza el sistema con un enfoque matemático, 2 en algunos casos se asume que el tiempo de servicio es una constante o bien que responde a una distribución de probabilidades exponencial negativa o a la distribución de Erlang. Se dice que el tiempo de servicio es dependiente, cuando este tiempo se ve afectado por factores exógenos, es decir algunas causas ajenas al servidor que pueden acelerar o retardar el tiempo de servicio. Si nada de esto ocurre, entonces se dice que el tiempo de servicio es una variable aleatoria independiente. 6.- La disciplina u organización de la cola o más bien la política adoptada para la atención de los clientes. Obviamente esto depende de las características y naturaleza del servicio. Se pueden adoptar las siguientes modalidades o políticas: a) Primer cliente que llegar, es el primero en ser atendido. Este es el caso más común. b) Primer cliente que llega, último en ser atendido, o bien último cliente que llega es el primero en ser atendido. c) Atención aleatoria, en este caso el cliente a ser atendido es elegido arbitrariamente por el servidor. Estas situaciones se presentan muy raramente. d) Atención prioritaria, es decir que las características del cliente establecen el orden de prioridad de la atención. Esto se presenta con frecuencia en los servicios de salud. Un paciente que llega en estado de gravedad, es el primero en ser atendido dejando de lado los que están esperando en la cola. 7.- Número de servidores o canales de servicio. Este puede ser único (monocanal) o con canales o servidores múltiples. 8.- Organización de los canales de servicio o servidores. Estos se pueden organizar en: serie, paralelo o mixtos. 9.- Estabilidad del sistema. Este puede ser estable o transitorio. Se entiende por sistema estable a aquel en el cual en un periodo determinado de tiempo solo puede ocurrir un arribo al sistema y solo puede ocurrir una salida o abandono del sistema. Estos sistemas se los conoce como sistemas de nacimiento (un entrada), muerte (una salida o abandono). Estas son algunas de las formas en que se pueden clasificar los sistemas de colas o líneas de espera. Objetivos de la Teoría de Colas o Líneas de Espera El proceso de funcionamiento de un sistema de colas o líneas de espera, es un proceso aleatorio con estados discretos y tiempos continuos. El sistema cambia a saltos cuando se producen determinados sucesos, por ejemplo cuando llega un cliente requiriendo un servicio, cuando un cliente abandona el sistema después de recibir un servicio, o bien cuando el cliente cansado de esperar, abandona el sistema sin recibir el servicio. Se puede decir que los objetivos que persigue el estudio de la teoría de colas o líneas de espera se los puede sintetizar en los siguientes dos aspectos: a) Caracterizar cualitativa y cuantitativamente una cola o línea de espera. b) Formular modelos matemáticos para determinar los valores adecuados de ciertos parámetros del sistema de manera de compatibilizar o equilibrar el 3 costo social de la espera con los costos asociados al consumo de recursos para la atención de los clientes. En el primer caso, podemos decir sucintamente, que será de interés conocer que longitud puede alcanzar una cola, que cantidad de clientes hay en el sistema en un determinado instante de arribo de un cliente, cual es el tiempo probable que un cliente debe esperar para ser atendido, cuantas colas o servidores tiene el sistema, etc. Todos estos parámetros se los calcula con un enfoque matemático, con resultados exactos, en tanto y en cuanto las hipótesis que se planteen con respecto al comportamiento de determinadas variables sean las correctas. Esta caracterización también se puede hacer mediante la simulación, que si bien es cierto no nos brinda resultados exactos, en muchos casos, puede estar más cerca de la realidad que si se los determina matemáticamente. En el segundo caso será de interés estudiar la eficiencia del sistema, definiendo la manera en que deben organizarse las colas, las reglas de funcionamiento, número de servidores, su rendimiento, etc. Es decir todas las características que son de interés para mejorar los índices de eficacia del sistema de manera de cumplir adecuadamente con el flujo de pedidos de servicio. Todo esto se resume diciendo que se procura determinar los parámetros adecuados para el diseño y funcionamiento del sistema con el objeto de lograr un equilibrio entre el costo social que representa la espera y el mejor u óptimo aprovechamiento de los recursos involucrados o invertidos para brindar el servicio. El comportamiento de los intereses o costos de las partes involucradas en el sistema, esquemáticamente puede representarse como: Costo total Costo Costo Mínimo Costo del servicio Costo social Nº Óptimo Nº de servidores. En este curso se analizarán solamente los sistemas estables y con un enfoque matemático. Notación y Definición de Términos en la Teoría de Líneas de Espera λ : Tasa de llegada o número promedio de llegada de clientes por unidad de tiempo. μ : Tasa de servicio o número promedio de servicios por unidad de tiempo. Este parámetro representa la máxima capacidad de servicio. 4 ρ = λ/μ : Factor de utilización del sistema con un canal de servicio o un servidor. Evidentemente ρ debe ser menor que 1 porque de lo contrario, si llegan más clientes que la capacidad de atención que tiene el sistema, se formará una cola cuyo crecimiento será infinito. Si no se cumple esta condición y ρ es mayor que 1, se deberá agregar más servidores al sistema de manera que se cumpla. S: Número de servidores o canales de servicio. ρS= λ/Sμ : Factor de utilización del sistema cuando hay S servidores. TS: Esperanza del tiempo o valor esperado de espera de la última llegada para recibir el servicio. Este parámetro responde a la pregunta ¿Cuánto tendré que esperar hasta que me atiendan? TW: Esperanza del tiempo o valor esperado de espera de la última llegada para abandonar el sistema. Este parámetro responde a la pregunta ¿Dentro de cuánto tiempo saldré de aquí? 1/λ : Periodo de llegada o tiempo promedio que transcurre entre dos llegadas consecutivas. 1/μ : Tiempo promedio de atención a un cliente. L: Valor esperado del número de clientes formados en la cola. W: Valor esperado del número de clientes en el sistema, es decir, en la cola y recibiendo el servicio. Pm (t): Probabilidad de que en el instante “t” de arribo de un cliente a la cola, se encuentren “m” clientes en el sistema. “S” clientes recibiendo el servicio y (m – S) clientes formados en la cola. P0 (t): Probabilidad de que en el instante “t” de arribo de un cliente a la cola, el sistema se encuentre vacío. Se definen otros términos más, según la complejidad del sistema. Para los alcances del curso, solamente se utilizarán estos. Modelo de una Cola un Canal de Servicio y Población Infinita Se analiza un sistema con una estructura simple: una cola, un servidor, población infinita y la política de atención que se aplica es, primero en llegar, primero en ser atendido. Se parte de la hipótesis de que el tiempo de llegada de un cliente responde a una distribución de probabilidades de Poisson con una media 1/λ, de manera que si A(t) es el número de llegadas en un intervalo de tiempo “t”, entonces la probabilidad de que A(t) sea igual a “k” llegadas, está dado por: P{A(t ) = k } = e − λt (λt ) . k Igualmente, se asume que el tiempo de servicio responde a una distribución de probabilidades exponencial negativa con un tiempo medio de servicio igual a 1/μ, de manera que si “Z”, representa el tiempo aleatorio de servicio, la probabilidad de que este tiempo sea mayor a “t” unidades está dado por: 5 P (Z > t ) = e −μt Cálculo de la probabilidad de que en el instante de arribo “t” a la cola, se encuentren “m” clientes en el sistema Pm(t) representa la probabilidad de que en el instante de arribo “t” a la cola, se encuentren “m” clientes en el sistema, uno recibiendo el servicio y (m – 1) clientes en la cola. Se considera un intervalo elemental de tiempo Δt > 0 suficientemente pequeño en el cual solamente se puede producir el arribo de un cliente al sistema, o solamente un cliente puede abandonarlo luego de recibir el servicio. Si λ, es el número promedio de llegada de clientes por unidad de tiempo, entonces la probabilidad de que en dicho intervalo elemental llegue un cliente será: λΔt (Probabilidad de un arribo en el intervalo elemental Δt ). En consecuencia, la probabilidad de que no se produzca ningún arribo en dicho intervalo elemental será su complemento, o sea: 1 − λΔt (Probabilidad de que en el intervalo elemental no se produzca ningún arribo). De la misma manera tendremos: μΔt (Probabilidad de brindar un servicio en el intervalo elemental de tiempo). 1 − μΔt (Probabilidad de no brindar un servicio en el intervalo elemental de tiempo). Para calcular la probabilidad de que en el instante de arribo “t”, se encuentren “m” clientes en el sistema, se comienza calculando la probabilidad de que en el instante (t + Δt ) se encuentren “m” clientes en el sistema. Esta situación puede provenir de los siguientes sucesos que, para una mejor comprensión, los representamos en la siguiente tabla. Suceso Instante “t” Intervalo “Δt” A1 Pm(t) No entró ninguno ni salió Pm(t+Δt) ninguno A2 Pm(t) Entró uno y salió uno A3 Pm+1(t) No entró ninguno y salió Pm(t+Δt) uno A4 Pm-1(t) Entró uno y no salió Pm(t+Δt) ninguno Instante (t+Δt) Pm(t+Δt) Todos estos sucesos son igualmente posibles y mutuamente excluyentes por lo tanto la probabilidad del suceso final será igual a la suma de las probabilidades de todos estos sucesos. O sea: Pm (t + Δt ) = P ( A1 ) + P ( A2 ) + P ( A3 ) + P ( A4 ) Donde: 6 P ( A1 ) = Pm (t ).(1 − λΔt ).(1 − μΔt ) P ( A2 ) = Pm (t ).(λΔt ).(μΔt ) P ( A3 ) = Pm +1 (t ).(1 − λΔt ).(μΔt ) P ( A4 ) = Pm −1 (t ).(λΔt ).(1 − μΔt ) Pm (t + Δt ) = Pm (t ).(1 − λΔt ).(1 − μΔt ) + Pm (t ).(λΔt ).(μΔt ) + De manera que: + Pm +1 (t ).(1 − λΔt ).(μΔt ) + Pm −1 (t ).(λΔt ).(1 − μΔt ) Pm (t + Δt ) = Pm (t ) − Pm (t ).(λΔt ) − Pm (t ).(μΔt ) + Pm (t ).(λΔt ).(μΔt ) + Desarrollando estos productos la igualdad queda: + Pm (t ).μ .λ .Δt 2 + Pm +1 (t ).μ .Δt − Pm +1 (t ).μ .λ .Δt 2 + + Pm −1 (t ).λ .Δt − Pm −1 (t ).λ .μ .Δt 2 Pasando Pm(t) al primer miembro y dividiendo ambos miembros por Δt , la igualdad queda: Pm (t + Δt ) − Pm (t ) = − Pm (t ).λ − Pm (t ).μ + Pm (t ).λ .μ .Δt + Δt + Pm (t ).μ .λ .Δt + Pm +1 (t ).μ − Pm +1 (t ).μ .λ .Δt + + Pm −1 (t ).λ − Pm −1 (t ).λ .μ .Δt Aplicando límite en ambos miembros para Δt → 0 , se tiene: ⎡− Pm (t ).λ − Pm (t ).μ + 2.Pm (t ).λ .μ .Δt + ⎤ Pm (t + Δt ) − Pm (t ) ⎥ ⎢ lím . = lím .⎢+ Pm +1 (t ).μ − Pm +1 (t ).μ .λ .Δt + ⎥ Δt →0 Δt →0 Δt ⎥⎦ ⎢⎣+ Pm −1 (t ).λ − Pm −1 (t ).λ .μ .Δt Quedando finalmente: Pm' (t ) = −Pm (t )( . μ + λ ) + Pm +1 (t ).μ + Pm −1 (t ).λ Se define como cola estacionaria a aquellas cuya longitud se mantiene constante, o sea que es independiente del tiempo, en consecuencia su derivada primera con respecto al tiempo es igual a cero. En consecuencia la anterior queda: Pm' (t ) = 0 = − Pm (t ).(μ + λ ) + Pm+1 (t ).μ + Pm −1 (t ).λ = 0 (1) μ .P0 (t ) = 0 Ya que no puede haber servicio si hay 0 clientes en el sistema. Analizamos la (1) para el caso en que “m” sea igual a cero. 7 De igual manera: λ .P−1 (t ) = 0 carece de sentido ya que no puede haber una cantidad negativa de clientes en el sistema. En consecuencia para m = 0, la (1) queda: − λ .P0 (t ) + μ .P1 (t ) = 0 ⇒ ⎛λ⎞ P1 (t ) = ⎜⎜ ⎟⎟ .P0 (t ) ⎝μ⎠ Se analiza la (1) ahora para m = 1. ⎛λ⎞ Siguiendo igual razonamiento se llega a que: P2 (t ) = ⎜⎜ ⎟⎟ .P0 (t ) ⎝μ⎠ 2 ⎛λ⎞ Para m = 2, se tiene: P3 (t ) = ⎜⎜ ⎟⎟ .P0 (t ) ⎝μ⎠ 3 Aplicando un razonamiento inductivo, en general se tendrá que: ⎛λ⎞ Pm (t ) = ⎜⎜ ⎟⎟ .P0 (t ) ⎝μ⎠ m o bien (2) Pm (t ) = ρ m .P0 (t ) por ser ρ = λ μ En (2) no se conoce P0(t), para definir la expresión que permita calcular dicho valor, planteamos la sumatoria de las probabilidades de todos los sucesos igualmente posible, es decir: ∑ Pm (t ) = 1 , desarrollando esta sumatoria, se tiene: m =∞ m =0 P0 (t ) + P1 (t ) + P2 (t ) + P3 (t ) + ........ + Pm (t ) = 1 , poniendo en función de P0(t), esta se transforma: ⎛λ⎞ ⎛λ⎞ ⎛λ⎞ P0 (t ) + P0 (t ).⎜⎜ ⎟⎟ + P0 (t ).⎜⎜ ⎟⎟ + ........ + P0 (t ).⎜⎜ ⎟⎟ = 1 , de donde, sacando factor común ⎝μ⎠ ⎝μ⎠ ⎝μ⎠ P0(t) queda: 2 m m ⎡ ⎛ λ ⎞ ⎛ λ ⎞ 2 ⎛ λ ⎞3 ⎛λ⎞ ⎤ P0 (t )⎢1 + ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ + ........ + ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥ = 1 ⎝ μ ⎠ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎝ μ ⎠ ⎝ μ ⎠ ⎝ μ ⎠ (3) La suma entre corchetes representa una progresión geométrica de razón suma de términos, con la condición de λ 1− μ 1 ⎛λ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝μ⎠ ⎛λ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ < 1 y con m → ∞ , está dada por: ⎝μ⎠ , de manera que la (3) se transforma en: 8 cuya ⎡ ⎤ ⎢ 1 ⎥ λ μ−λ ⎥ = 1 de donde queda: P0 (t ) = 1 − = P0 (t )⎢ λ μ μ ⎢1 − ⎥ ⎢⎣ μ ⎥⎦ reemplazando P0(t), en la (2), queda: ⎛λ⎞ ⎛λ⎞ Pm (t ) = ⎜⎜ ⎟⎟ .P0 (t ) ; Pm (t ) = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝μ⎠ ⎝μ⎠ m m ⎛ λ⎞ m .⎜⎜1 − ⎟⎟ ; Pm (t ) = ρ .(1 − ρ) ⎝ μ⎠ (4) Determinación del Número Esperado de Clientes en el Sistema “W” La esperanza o valor esperado de una variable aleatoria discreta cualquiera está dado por: E ( x ) = ∑ x .P ( x ) si la variable es continua es. x =∞ x =0 E ( x ) = ∫ x . f ( x )dx de manera que el número esperado de clientes en el sistema será: +∞ −∞ m W = ∑ m .Pm (t ) , Pm(t), ya fue definido por: Pm (t ) = ρ .(1 − ρ) m =∞ m =0 De manera que será: W = ∑ m .ρ m (1 − ρ) desarrollando esta sumatoria se tiene: m =∞ m =0 W = 0.ρ0 (1 − ρ) + 1.ρ1 (1 − ρ) + 2.ρ2 (1 − ρ) + .......... + m .ρm (1 − ρ) ( Sacando factor común ρ .(1 − ρ ) la anterior queda: W = ρ(1 − ρ) 1 + 2.ρ + 3.ρ2 + 4.ρ3 + .......... + m .ρm−1 ) la suma de términos entre paréntesis es una progresión de la forma: ∑ m .ρm−1 cuya suma es igual a: m =∞ m =0 1 (1 − ρ)2 si ρ < 1 de manera que: W = ρ .(1 − ρ). λ 1 ρ = o bien : W = 2 μ−λ (1 − ρ) 1 − ρ 9 (5) Determinación del Número Esperado de Clientes en la Cola “L” El número esperado de clientes en el sistema se dijo que puede expresarse como: W = ∑ m .Pm (t ) m =∞ m =0 Tratándose de un sistema monocanal o con un servidor, si W, es el número esperado de clientes en el sistema, el número esperado de clientes en la cola puede expresarse como: L = ∑ (m − 1).Pm (t ) esta sumatoria tiene sentido a partir de m = 2 y la anterior a partir m =∞ m =0 de m = 1. Haciendo la diferencia de: W − L = ∑ m .Pm (t ) − ∑ (m − 1)Pm (t ) m =∞ m =∞ m =1 m =2 Lego desarrollando la sumatoria y restando término a término, queda: W − L = [1.P1 (t ) + 2.P2 (t ) + 3.P3 (t ) + 4.P4 (t ) + .............. + m .Pm (t )] − − [1.P2 (t ) + 2.P3 (t ) + 3.P4 (t ) + 4.P5 (t ) + .............. + (m − 1).Pm (t )] = = [P1 (t ) + P2 (t ) + P3 (t ) + P4 (t ) + .............. + Pm (t )] Se sabe también que: ∑ Pm (t ) = P0 (t ) +P1 (t ) + P2 (t ) + ............ + Pm (t ) = 1 en consecuencia: m =∞ m =0 W − L = [P1 (t ) + P2 (t ) + P3 (t ) + P4 (t ) + ............ + Pm (t )] = 1 − P0 (t ) L = W − 1 + P0 (t ) = λ μ −λ De manera que: L = −1+ μ −λ λ2 = μ μ .(μ − λ ) λ2 μ .(μ − λ ) (6) Determinación del Tiempo Esperado de Espera en la Cola “Ts” antes de Recibir el servicio Si un cliente se incorpora a la cola para recibir un servicio, para que lo atiendan tendrá esperar un tiempo igual al tiempo medio de servicio clientes que hay en el sistema. De manera que: 10 μ 1 por la cantidad W de λ λ 1 ⎛ λ ⎞⎛1⎞ Ts = Ts = W . = ⎜⎜ ⎟⎟ .⎜⎜ ⎟⎟ = μ .(μ − λ ) μ ⎝ μ − λ ⎠ ⎝ μ ⎠ μ .(μ − λ ) (7) Otra forma de calcular Ts, es dividiendo la longitud de la cola por la tasa media de servicio multiplicada por el factor de utilización del sistema. Determinación del Tiempo Esperado de Espera en el Sistema “Tw” para abandonarlo Por tratarse de un sistema con un servidor, el tiempo esperado para abandonar el sistema será igual al tiempo de espera en la cola más el tiempo medio de prestación de un servicio Tw = Ts + μ 1 . De manera que: 1 λ 1 1 + = = μ μ .(μ − λ ) μ μ − λ Tw = 1 μ−λ (8) Las siguientes son fórmulas que permiten calcular las probabilidades de algunos sucesos que pueden ser de interés. a) La probabilidad de que el número esperado de clientes W, en el sistema sea mayor que un cierto valor Z está dado por: P (W > Z ) = ρ Z +1 (9) b) La probabilidad de que el tiempo esperado de espera en la cola Ts, sea mayor que “p” unidades de tiempo está dado por: P (Ts > p ) = ρ .e −μ (1−ρ ). p con p≥0 (10) c) La probabilidad de que el tiempo esperado de espera en el sistema Tw, sea mayor que “q” unidades de tiempo está dado por: P (Tw > q ) = e −μ (1−ρ ).q con q ≥ 0 (11) d) La probabilidad de “x” llegadas por unidad de tiempo está dada por: P ( X = x )λ = λx − λ .e x! (12) e) La probabilidad de que “x” clientes reciban el servicio en la unidad de tiempo está dada por: 11 P ( X = x )μ = μ .e −μ . x (13) Modelo de una Cola un Canal de Servicio y Población Finita Este es el caso más común de los modelos de líneas de espera, es decir cuando la cantidad potencial de clientes que requieren de un servicio es finita. También en este caso es válido el esquema: Cola Salida Canal de servicio o Servidor Cola y la ecuación de cola estable definida para un sistema con población infinita dada por: − Pm (t ).(μ + λ ) + Pm+1 (t ).μ + Pm−1 (t ).λ = 0 (14) De igual modo son válidas las hipótesis referidas al tiempo de llegada de clientes que responde a una distribución de Poisson y al tiempo de servicio que responde a un distribución exponencial negativa o de Erlang. Si se tiene que la población de clientes es finita e igual “M”, entonces la (14) es válida para todo 0 ≤ m ≤ M . a) Para m = 0, es μ .P0 (t ) = 0 y λ .P0−1 (t ) = 0 , el primero porque no puede haber servicio si no hay clientes en el sistema y el segundo porque carece de sentido, es decir que no puede haber una cantidad negativa de clientes. En consecuencia la (14) queda: Se analiza la (14) para las siguientes situaciones: P1 (t ).μ − P0 (t ).λ = 0 b) Para 0 <m < M, la (14) queda como está. − Pm (t ).(μ + λ ) + Pm+1 (t ).μ + Pm−1 (t ).λ = 0 c) Para m = M, es μ .PM +1 (t ) = 0 y λ .PM (t ) = 0 el primero porque si la cantidad total de clientes es M, no puede haber M+1 clientes en el sistema, y el segundo, porque habiendo M clientes en el sistema no puede haber ninguna llegada más. Por lo tanto la (14) queda: 12 − PM (t ).μ + PM −1 (t ).λ = 0 Siendo la (14) válida para toda 0 ≤ m ≤ M ,por extensión se puede poner que: ⎛λ⎞ PM (t ) = ⎜⎜ ⎟⎟ .P0 (t ) = ρ M .P0 (t ) ⎝μ⎠ M Para calcular ahora (15) P0 (t ) , se plantea la sumatoria de las probabilidades de todos los sucesos mutuamente excluyentes. ∑ Pm (t ) = ∑ ρ m .P0 (t ) = 1 ⇒ P0 (t ) = m = M m =0 m =0 ∑ ρm m=M m=M 1 Desarrollando la sumatoria de ρm m =0 queda: ∑ ρm = ρ0 +ρ1 + ρ2 + .......... + ρ M m=M m =0 Que no es otra cosa que una progresión geométrica finita de razón ρ cuya suma, si ρ < 1, es: ∑ ρ m = ρ0 +ρ1 + ρ 2 + .......... + ρ M = m=M m =0 1 − ρ M +1 1− ρ De manera que: P0 (t ) = 1 ∑ρ m=M m =0 m = 1− ρ 1 − ρ M +1 (16) Finalmente la (15) queda: PM (t ) = ρ M .P0 (t ) = ρ M . 1− ρ 1 − ρ M +1 (17) Determinación del Número Esperado de Clientes W en el Sistema Por ser una población finita M de clientes, el número esperado de clientes en el sistema será la suma de m .Pm (t ) extendida desde m = 0 a m = M. O sea: 13 W = ∑ m .Pm (t ) = ∑ m .ρ m .P0 (t ) con m=M m=M m =0 m =0 Se calcula P0 (t ) = ∑ m .ρm a partir de ∑ ρ m = m=M m=M m =0 m =0 respecto a ρ. 1− ρ 1 − ρ M +1 1 − ρ M +1 derivando ambos miembros con 1− ρ d ⎡m = M m ⎤ d ⎡1 − ρ M +1 ⎤ ∑ρ = ⎢ ⎥ dρ ⎢⎣ m =0 ⎥⎦ dρ ⎣ 1 − ρ ⎦ ∑ m .ρ m −1 = m=M m =0 − (M + 1).ρ M .(1 − ρ) + 1 − ρ M +1 (1 − ρ)2 Multiplicando ambos miembros de la anterior por ρ, se obtiene: ∑ m .ρm = ρ . m=M m =0 − (M + 1).ρ M .(1 − ρ) + 1 − ρ M +1 (1 − ρ)2 Reemplazando el valor de P0 (t ) y esta sumatoria en W: W = 1− ρ − (M + 1).ρ M .(1 − ρ) + 1 − ρ M +1 . . ρ 1 − ρ M +1 (1 − ρ)2 Simplificando y ordenando, W queda: 1 − (M + 1).ρ M + Mρ M +1 W = ρ. (1 − ρ). 1 − ρ M +1 ( ) (18) Teniendo en cuenta ahora que la población es finita e igual a M, puede ser interesante analizar la (18) para algunos valores extremos de ρ. a) Si ρ << 1 ⇒ ρ M ≈ ρ M +1 → 0 o bien : 1 ≈ 1+ ρ 1− ρ En consecuencia W queda: 14 W = o bien : W = ρ .(1 + ρ ) ρ 1− ρ (19) b) Si ρ >> 1 ⇒ 1 es despreciable frente a ρ M +1 ⇒ (1 − ρ) ≈ −ρ en consecuencia: 1 − M .ρ M +2 + (M + 1)ρ M +1 M + 1 Mρ =M− W ≈ − = M +1 (1 − ρ).ρ ρ 1− ρ 1− ρ W =M− 1 ρ (20) c) Finalmente si ρ = 1 en la (18) se toma directamente: W = M 2 (21) Determinación del Número Esperado de Clientes L en la Cola Por ser un sistema monocanal, la cantidad esperada de clientes en la cola será igual al valor esperado de (m – 1) clientes. O sea L = ∑ (m − 1).Pm (t ) = ∑ m .Pm (t ) − ∑ Pm (t ) (La sumatoria tiene sentido desde m = 1) m=M m=M m=M m =1 m =1 m =1 ∑ Pm (t ) = ∑ Pm (t ) − P0 (t ) m=M m =1 m=M m =0 Entonces: L = ∑ m .Pm (t ) − ∑ Pm (t ) + P0 (t ) = W + P0 (t ) − 1 m=M m=M m =1 m =0 Reemplazando W y P0 (t ) , en la anterior: L = ρ. 1 − (M + 1)ρ M + M .ρ M +1 1− ρ −1 + M +1 1 − ρ M +1 (1 − ρ). 1 − ρ ( ) Ordenando esta expresión queda: 1 − Mρ M −1 + (M − 1).ρ M L=ρ . (1 − ρ). 1 − ρ M +1 2 ( ) (22) También en este caso analizamos la (22), para valores particulares de ρ. a) Si ρ << 1 ⇒ ρ M +1 ≈ ρ M + 2 → 0 o bien : 1 ≈1+ ρ 1− ρ Entonces la (22) se transforma en: 15 L= ρ2 ; o bien : L = ρ 2 (1 + ρ ) 1− ρ (23) b) Si ρ >> 1 ⇒ 1 es despreciable frente a ρ M + k ⇒ ρ m − 1 ≈ ρ m Entonces L queda: L=− ρ 2 − Mρ M +1 + (M − 1).ρ M +2 ρ M +1 .(1 − ρ ) Operando algebraicamente. L= ( ) 1 Mρ M +1 − (M − 1). ρ M − 1 ρ 2 = M −1 − M +1 ρ .(1 − ρ) ρ (24) c) Finalmente si ρ = 1, L se determina como: L = M −1 2 (25) Determinación del Tiempo Esperado de Espera en la Cola Un cliente que llega al sistema tendrá que esperar un tiempo igual a la cantidad de clientes que hay en el sistema multiplicado por el tiempo medio de servicio, o bien un tiempo igual a la longitud de la cola dividido por la tasa media de servicio multiplicado por el factor de utilización. O sea: 1 L L TS = W . = = con μ μ .ρ μ .[1 − P0 (t )] P0 (t ) = 1− ρ 1 − ρ M +1 (26) Determinación del Tiempo Esperado de Espera en el Sistema TW El tiempo esperado de espera en el sistema será igual al tiempo de espera en la cola más el tiempo de prestación de un servicio. Es decir: TW = TS + 1 μ (27) 16 Modelo de una Cola, Canales Múltiples de Servicio y Población Infinita Si bien es cierto que no es el caso más común, tratándose de modelos de líneas de espera con población infinita, se impone como condición que el factor de utilización del sistema debe ser ρ < 1, si no se cumple esta condición, la longitud de la cola se vuelve infinita. Si la tasa media de llegadas de clientes al sistema es mayor que la tasa media de servicio, para lograr que en general el sistema alcance un ρS < 1, se recurre al aumento del número de canales de servicio o servidores, de manera que el factor de utilización del sistema con servidores múltiples ρS cumpla esta condición. Por lo general cuando el número de servidores es mayor que uno, el sistema de líneas de espera adopta la estructura que gráficamente se muestra más abajo, es decir una cola con varios canales de servicio o servidores. La experiencia demuestra que este tipo de organización del sistema es el más eficiente. Por otro lado, la adopción de una cola para cada servidor transformaría al sistema en varias colas con un canal de servicio o servidor, es decir en estructuras básicas independientes. Servidor 1 Entrada Salida Salida Servidor 2 Cola Simple Salida ................ Salida Servidor i Para el análisis de este sistema se realizan las siguientes suposiciones: a) Los clientes de llegan consecutivamente al sistema se incorporan a la cola en forma correlativa. b) El tiempo de arribo de los clientes responde a una distribución de probabilidades de Poisson con una tasa media de arribos λ. c) Inmediatamente que se desocupa un servidor, el primer cliente que espera en la cola pasa para recibir el servicio. d) El tiempo de servicio de cada uno de los canales responde a una distribución de probabilidades exponencial negativa o de Erlang con una tasa media de servicio μ para todos los servidores por igual. e) Todo cliente que recibe el servicio, abandona el sistema inmediatamente. Como en los casos anteriores, se supone que hay “m” clientes en el sistema de manera que si el mismo tiene “S” servidores, habrá (m – S) clientes en la cola. El número “m” de clientes en el sistema puede ser menor, igual o mayor que el número “S” de servidores. En cada caso y como se dijo que todos los canales 17 tienen igual tasa media de servicio, la probabilidad de que un cliente abandone el sistema en un intervalo elemental Δt luego de recibir el servicio será: m.μ .Δt S.μ .Δt si hay m ≤S clientes. si hay m > S clientes. Se debe recordar que μ .Δt es la probabilidad de la salida de un cliente del sistema, en consecuencia habiendo m canales en uso o trabajando, la probabilidad de que uno de esos m clientes abandone el sistema en el intervalo elemental Δt será: m.μ .Δt y como caso extremo, si los S canales están ocupados, la probabilidad de que un cliente abandone el sistema en el igual intervalo elemental de tiempo será: S.μ .Δt . En este caso se deben considerar ambas situaciones, es decir m < S y m >S. Se considera la situación de que el número de clientes en el sistema es menor que el número de servidores (m < S), y para una mejor comprensión se supone que S = 3. Pm (t + Δt ), es decir, la probabilidad el instante (t + Δt ) puede expresarse Se sabe que la probabilidad del suceso final de encontrar m clientes en el sistema en como: Pm (t + Δt ) = Pm (t ).(1 − λΔt ).(1 − μΔt ) + Pm (t ).(λΔt ).(μΔt ) + + Pm +1 (t ).(1 − λΔt ).(μΔt ) + Pm −1 (t ).(λΔt ).(1 − μΔt ) (28) () Se considera el suceso m = 0, en este caso el término Pm −1 t carece de sentido, en consecuencia luego de efectuar los productos, la expresión anterior queda: P0 (t + Δt ) = P0 (t ) − P0 (t ).(λ.Δt ) − P0 (t ).(μ.Δt ) + P0 (t ).λ.μ(Δt ) + + P0 (t ).λ.μ(Δt ) + P1 (t ).(μ.Δt ) − P1 (t ).λ.μ(Δt ) 2 P0 (t ) al Δt P0 (t + Δt ) − P0 (t ) = − P0 (t ).λ − P0 (t ).μ + 2P0 (t ).λ.μ.Δt + Δt + P1 (t ).μ − P1 (t ).λ.μ.Δt Pasando primer miembro y dividiendo ambos por Aplicando límite en ambos miembros para Δt → 0 se tiene: 18 2 2 se tiene: ⎡ − P0 (t ).λ − P0 (t ).μ + 2P0 (t ).λ.μ.Δt + ⎤ P0 (t + Δt ) − P0 (t ) = lím ⎢ ⎥ Δt → 0 Δt → 0 P (t ).λ .μ.Δt + P (t ).μ − P (t ).λ .μ .Δt Δt ⎦ ⎣ 0 1 1 lím Que no es otra cosa que la definición de cola estable: P0' (t ) = − P0 (t ).λ − P0 (t ).μ + P1 (t ).μ = 0 De donde despejando ⎛λ⎞ P1 (t ) = P0 (t )⎜ ⎟ ⎝μ⎠ P1 (t ) queda: (29) () Ahora en la ecuación (28) se toma m = 1. En este caso, para P2 t , la probabilidad de un cliente abandone el sistema estando los dos canales ocupados es igual a 2μΔt , de manera que la (28) queda: P1 (t + Δt ) = P1 (t ).(1 − λΔt ).(1 − μΔt ) + P1 (t ).(λΔt ).(μΔt ) + + P2 (t ).(1 − λΔt ).(2μΔt ) + P0 (t ).(λΔt ).(1 − μΔt ) P1 (t + Δt ) = P1 (t ) − P1 (t ).λ.Δt − P1 (t ).μ.Δt + P1 (t ).λ.μ.(Δt ) + Desarrollando los productos, se tiene: 2 + P1 (t ).λ.μ.(Δt ) + P2 (t ).2μ.Δt − P2 (t ).λ.2μ.(Δt ) + 2 + P0 (t ).λ.Δt − P0 (t ).λ.μ(Δt ) Ahora se pasa 2 2 P1 (t ) al primer miembro y se divide por Δt . P1 (t + Δt ) − P1 (t ) = − P1 (t ).λ − P1 (t ).μ + 2P1 (t ).λ.μ.Δt + P2 (t ).2.μ Δt − P2 (t ).λ.μ.Δt + P0 (t ).λ − P0 (t ).λ.μ.Δt Aplicando límite en ambos miembros para Δt → 0 se tiene: 19 ⎡ − P1 (t ).λ − P1 (t ).μ + 2P1 (t ).λ .μ.Δt + ⎤ P (t + Δt ) − P1 (t ) lím 1 = lím ⎢⎢ P2 (t ).2.μ − P2 (t ).λ .μ.Δt + P0 (t ).λ ⎥⎥ Δt → 0 Δt → 0 Δt ⎢⎣ − P0 (t ).λ .μ.Δt ⎥⎦ P1' (t ) = − P1 (t ).λ − P1 (t ).μ + P2 (t ).2.μ + P0 (t ).λ = 0 Despejando en esta P2 (t ) = P2 (t ) queda: P1 (t ).λ P1 (t ) P0 (t ).λ + − 2.μ 2 2.μ Reemplazando P1 (t ) por su valor dado por (29), P2 (t ) queda: P (t ) ⎛ λ ⎞ P (t ).λ P0 (t ) ⎛ λ ⎞ ⎛λ⎞ λ + 0 .⎜ ⎟ − 0 = P2 (t ) = P0 (t ).⎜ ⎟. .⎜ ⎟ μ μ μ μ 2 . 2 2 . 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝μ⎠ P (t ) ⎛ λ ⎞ P2 (t ) = 0 ⎜ ⎟ 2 ⎝μ⎠ 2 2 (30) Ahora en la ecuación (28) se toma m = 2. Nuevamente en este caso, para P3 (t ) , la probabilidad de un cliente abandone el sistema estando los tres canales ocupados es igual a 3μΔt , de manera que la (28) queda: P2 (t + Δt ) = P2 (t ).(1 − λΔt ).(1 − 2.μΔt ) + P2 (t ).(λΔt ).(2.μΔt ) + + P3 (t ).(1 − λΔt ).(3.μΔt ) + P1 (t ).(λΔt ).(1 − μΔt ) P2 (t + Δt ) = P2 (t ) − P2 (t ).λ .Δt − P2 (t ).2.μ.Δt + P2 (t ).λ.2.μ.(Δt ) + 2 + P2 (t ).λ.2.μ.(Δt ) + P3 (t ).3.μ.Δt − P3 (t ).λ.3μ.(Δt ) + 2 + P1 (t ).λ.Δt − P1 (t ).λ.μ(Δt ) Nuevamente pasando 2 2 P2 (t ) al primer miembro y dividiendo por Δt : 20 P2 (t + Δt ) − P2 (t ) = − P2 (t ).λ − P2 (t ).2.μ + 2P2 (t ).λ.2.μ.Δt + P3 (t ).3.μ Δt − P3 (t ).λ.3.μ.Δt + P1 (t ).λ − P1 (t ).λ.μ.Δt Aplicando límite en ambos miembros para Δt → 0 se tiene: ⎡ − P2 (t ).λ − P2 (t ).2.μ + 2P2 (t ).λ.2.μ.Δt ⎤ P2 (t + Δt ) − P2 (t ) lím = lím ⎢⎢ + P3 (t ).3.μ − P3 (t ).λ.3.μ.Δt + P1 (t ).λ ⎥⎥ Δt → 0 Δt → 0 Δt ⎢⎣ − P1 (t ).λ .μ.Δt ⎥⎦ P2' (t ) = − P2 (t ).λ − P2 (t ).2.μ + P3 (t ).3.μ + P1 (t ).λ = 0 Despejando P3 (t ) = P3 (t ) queda: P2 (t ).λ P2 (t ).2.μ P1 (t ).λ λ + 2.μ P1 (t ).λ + − = P2 (t ) − 3.μ 3.μ 3.μ 3.μ 3.μ En general para m < S se puede escribir como: Pm (t ) = Pm −1 (t ) Poniendo λ + (m − 1).μ λ − Pm − 2 (t ) m .μ m .μ P2 (t ) y P1 (t ) en función de P0 (t ) , la anterior queda: P (t ) ⎛ λ ⎞ λ 2 P0 (t ) ⎛ λ ⎞ ⎛λ⎞ λ + P3 (t ) = 0 ⎜ ⎟ . ⎜ ⎟ − P0 (t )⎜ ⎟ 2 ⎝ μ ⎠ 3.μ 3 2 ⎝ μ ⎠ ⎝ μ ⎠ 3.μ 2 P (t ) ⎛ λ ⎞ P3 (t ) = 0 ⎜ ⎟ 3.(2 ) ⎝ μ ⎠ 2 3 21 (31) Aplicando el principio de inducción completa, se puede demostrar que: P (t ) ⎛ λ ⎞ Pm (t ) = 0 ⎜ ⎟ m! ⎝ μ ⎠ m ∀ m = 0, 1, 2,..... , S-1. (32) La (31), para m = S, será: PS (t ) = PS −1 (t ) Poniendo λ + (S − 1).μ λ − PS − 2 (t ) S.μ S.μ PS (t ) en función P0 (t ) y ordenando convenientemente queda: P (t ) ⎛ λ ⎞ PS (t ) = 0 ⎜ ⎟ S! ⎝ μ ⎠ S (33) Sea ahora m = S + 1, entonces se tendrá, reemplazando en la (31): PS +1 (t ) = PS (t ) Poniendo λ + S.μ λ − Pm −1 (t ) S.μ S.μ PS (t ) en función P0 (t ) , se tiene: P (t ) ⎛ λ ⎞ λ + S.μ P0 (t ) ⎛ λ ⎞ PS +1 (t ) = 0 ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ (S − 1)! ⎝ μ ⎠ S! ⎝ μ ⎠ S.μ S S −1 λ = S.μ P (t ) ⎛ λ ⎞ ⎛ λ + S.μ P (t ) ⎛ λ ⎞ ⎞ P (t ) ⎛ λ ⎞ λ = 0 ⎜ ⎟ ⎜ − 1⎟ = 0 ⎜ ⎟ = 0 ⎜ ⎟ S! ⎝ μ ⎠ ⎝ S.μ S! ⎝ μ ⎠ S.μ S!.S ⎝ μ ⎠ ⎠ S P (t ) ⎛ λ ⎞ PS +1 (t ) = 0 ⎜ ⎟ S!.S ⎝ μ ⎠ S S +1 22 S +1 Para m = S + 2, se tendrá: PS + 2 (t ) = PS +1 (t ) P (t ) ⎛ λ ⎞ = 0 ⎜ ⎟ S!.S ⎝ μ ⎠ ⎛λ⎞ = P0 (t ).⎜ ⎟ ⎝μ⎠ S +1 S +1 λ λ + S.μ − PS (t ) = S.μ S.μ P (t ) ⎛ λ ⎞ λ + S.μ P0 (t ) ⎛ λ ⎞ λ = 0 ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ S.μ S! ⎝ μ ⎠ S.μ S!.S ⎝ μ ⎠ S 1 ⎛ λ ⎞ P0 (t ) ⎛ λ ⎞ ⎟= ⎜ ⎟ ⎜ S!.S ⎝ S.μ ⎠ S!.S 2 ⎝ μ ⎠ P (t ) ⎛ λ ⎞ Pm (t ) = 0 m −S ⎜ ⎟ S!.S ⎝μ⎠ S +1 ⎞ ⎛ λ + S.μ − 1⎟ ⎜ ⎠ ⎝ S.μ S+2 En general para m > S, se puede escribir: m (34) Determinación de P0 (t) Para una variable aleatoria discreta se tiene que ∑ P(x ) = 1 x=∞ x=0 esta suma puede descomponerse en dos sumas tales como la (32) y (34) de la siguiente forma: ρm .P0 (t ) + ∑ .P0 (t ) = 1 ∑ m −S m = 0 m! m = S S!.S m = S −1 ρ m m=∞ La segunda sumatoria del primer miembro se puede ordenar como: 23 (35) ρm S S m=∞ ⎛ ρ ⎞ .P0 (t ) = ∑ ∑⎜ ⎟ m −S S! m =S ⎝ S ⎠ m = S S!.S m=∞ m 1 SS ⎛ ρ ⎞ = .⎜ ⎟ . ρ S! ⎝ S ⎠ 1− S S 1 ρS ρS S = = . . (S − 1)! (S − ρ) S! S − ρ De manera que reemplazando este término en la (35) y despejando P0 (t ) = 1 m = S −1 ρ m ρ S . + ∑ S! S − ρ m = 0 m! P0 (t ) se tiene: (36) 24