[1] Ζ ΘΔΧΡΗΑ ΣΖ΢ ΢ΥΔΣΗΚΟΣΖΣΑ΢ ΢ΣΟ ΛΤΚΔΗΟ ΜΔΡΟ΢ ΠΡΧΣΟ...............1 ΠΡΟΛΟΓΟ΢ Ο ΥΡΟΝΟ΢ ΜΔΡΟ΢ ΓΔΤΣΔΡΟ ...31 ΜΔΡΟ΢ ΣΡΗΣΟ......44 ΟΗ ΑΡΥΔ΢ΣΖ΢ ΢ΥΔΣΗΚΟΣΖΣΑ΢ ΥΧΡΟΥΡΟΝΗΚΑ ΓΗΑΓΡΑΜΜΑΣΑ ΜΔΡΟ΢ ΣΔΣΑΡΣΟ.........53 ΟΗ ΢ΤΝΔΠΔΗΔ΢ ΜΔΡΟ΢ ΠΔΜΠΣΟ.......85 Ο ΥΧΡΟ΢ MINKOWSKI ΜΔΡΟ΢ ΔΚΣΟ......104 Ζ ΝΔΑ ΜΖΥΑΝΗΚΖ ΓΗΧΡΓΟ΢ ΜΠΑΝΣΔ΢ ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΟ΢ ΜΔΡΟ΢ ΠΡΧΣΟ Πρόλογος Μια ιζηορική αμαδρομή Ο τρόμος ζαμ ηέηαρηη διάζηαζη Ο Νεσηώμειος τρόμος [2] Ο κλαζζικός τωρότρομος ΠΡΟΛΟΓΟ΢ Οη απόςεηο πνπ ζα εθζέζσ ζρεηηθά κε ην ρώξν θαη ην ρξόλν πεγάδνπλ απ‟ ηελ πεξηνρή ηεο πεηξακαηηθήο θπζηθήο απ‟ όπνπ θαη αληινύλ ηελ ηζρύ ηνπο. Δίλαη ξηδνζπαζηηθέο. Μέζα απ‟ απηέο ζα θαλεί όηη ν ρώξνο θαη ν ρξόλνο ζαλ μερσξηζηέο έλλνηεο, μεζσξηάδνπλ ζε απιέο ζθηέο, θαη κόλν έλα είδνο έλσζεο ησλ δύν, ζα απνηειέζεη κηα αλεμάξηεηε πξαγκαηηθόηεηα……. Minkowski Πξηλ κηα γεληά ππήξρε κηα αξθεηά ραξαθηεξηζηηθή θήκε όηη κόλνλ ηξεηο άλζξσπνη ζηνλ θόζκν θαηαιάβαηλαλ ηε ζεσξία ηεο ζρεηηθόηεηαο πνπ πξνηάζεθε απ’ ηνλ θαζεγεηή Αιβέξην Αηλζηάηλ. Μάιηζηα oη πεξηζζόηεξνη ηελ απνθαινύζαλ «ε ζεσξία» γηα λα ηελ απνκνλώζνπλ έηζη απ’ ηελ απνδεθηή πξαγκαηηθόηεηα. Υαξαθηεξηζηηθόο είλαη ν παξαθάησ δηάινγνο : (θαζεγεηά Eddington αιεζεύεη όηη κόλν ηξεηο άλζξσπνη ζηνλ θόζκν θαηαιαβαίλνπλ ηελ ζεσξία ηνπ Einstein; -Eddington: πνηνο είλαη ν ηξίηνο; ) Ζ «ζεσξία» ινηπόλ εηζάγνληαο κηα θαληαζηηθή ηέηαξηε δηάζηαζε νδεγνύζε ζε εμηζώζεηο πνπ απνθάιππηαλ όηη ηα κήθε κπνξνύλ λα κηθξύλνπλ, ν ρξόλνο λα δηαζηαιεί ,ε κάδα λα εμαθαληζηεί! ΄Οινη θαηαιάβαηλαλ όηη ην ζέκα ήηαλ ζπλαξπαζηηθό, αιιά γηα ιίγνπο πξνλνκηνύρνπο, ηθαλνύο λα ην αληηιεθζνύλ. Οη θαηξνί όκσο άιιαμαλ. Ήδε ε ζρεηηθόηεηα έρεη έλαλ αηώλα δσήο θαη δηδάζθεηαη αθόκα θαη ζηα Λύθεηα. Έρεη αλαγλσξηζηεί όηη ηα καζεκαηηθά πνπ ρξεζηκνπνηεί είλαη ηδηαίηεξα απιά , ηίπνηα παξαπάλσ από ιίγε άιγεβξα, γεσκεηξία θαη ηξηγσλνκεηξία. Ζ απνκπζνπνίεζε ήξζε ζηγά-ζηγά. Απ’ ηα 1920 πεξίπνπ νη πεξηζζόηεξνη επηζηήκνλεο δέρηεθαλ ηε ζρεηηθόηεηα ζαλ κηα κεγαιύηεξε πξνζέγγηζε ηεο πξαγκαηηθόηεηαο απ’ ηελ θιαζζηθή ζεσξία. Βέβαηα ν κέζνο άλζξσπνο δελ κπνξνύζε λα αιιάμεη ηηο θαζηεξσκέλεο πεπνηζήζεηο ηνπ ηόζν γξήγνξα όζν νη επηζηήκνλεο. ΋κσο κεηά ηελ έθξεμε ηεο αηνκηθήο βόκβαο ζηα 1945 ην θνηλό [3] απνδέρηεθε ηελ ζρεηηθόηεηα ζαλ θάηη πνπ απνδείρηεθε ζηελ πξάμε. Γηαδόζεθε επξύηαηα όηη ε αηνκηθή βόκβα ζηεξίδεηαη ζηνλ ηύπν Δ=mc2 πνπ ηώξα έγηλε ζπξκόο. Έγηλε επξύηαηα γλσζηό όηη ε κάδα κπνξνύζε λα ζεσξεζεί κηα κνξθή ελέξγεηαο θαη όηη αλ ε κάδα m εμαθαληζηεί ηόηε ηζνδύλακε ελέξγεηα ζα εκθαληζηεί. Έηζη νη ηδέεο ηεο ζεσξίαο ζπδεηήζεθαλ θαη δηαδόζεθαλ πεξηζζόηεξν, ράλνληαο ηελ κπζηθή ηνπο δηάζηαζε, απνηειώληαο πεπνίζεζε ελόο κεγάινπ αξηζκνύ αλζξώπσλ. ΢ήκεξα κπνξνύκε λα θαηαλνήζνπκε κε βεβαηόηεηα όηη ην ζέκα ζρεηίδεηαη κε ηε κειέηε ηνπ κεγαιεηώδνπο θαηλνκέλνπ ηεο θίλεζεο θαη κε ηηο έλλνηεο πνπ εκπιέθνληαη ζε απηό, ην νπνίν από ηνλ Αξηζηνηέιε κέρξη ηνλ Αηλζηάηλ αθνινπζεί ην ίδην κνηίβν πνπ αλαλεώλεηαη: Γειαδή πάληα ππάξρεη κηα ινγηθή θαη λνεηή αξρή ηεο θίλεζεο πνπ είλαη θαζεαπηή αλεμάξηεηε από ηελ θίλεζε. Γηα ηνλ Αξηζηνηέιε ήηαλ ην πξώην θηλνύλ, γηα ην Νεύησλα ν απόιπηνο ρώξνο, γηα ηνλ Αηλζηάηλ ν ρσξόρξνλνο. Καη ηα ηξία είλαη κεηαθπζηθέο θαηαζθεπέο θαη ππνζέζεηο πνπ απαηηνύληαη γηα λα εξκελεπηεί ε θίλεζε. Απηόλ ην ρσξόρξνλν ζα πεξηγξάςσ ζην βηβιίν απηό. Ο ρσξόρξνλνο δελ ππάξρεη όπσο ν βξάρνο ή ε ζάιαζζα, ππάξρεη κόλν κέζα ζην κπαιό καο , άιισζηε ε εξκελεία ηεο θίλεζεο απεπζύλεηαη ζην κπαιό καο. Ο άπινο λνπο καο θαηαζθεπάδεη ηνλ άπιν ρσξόρξνλν γηα λα γίλνπλ πξαγκαηηθόηεηεο ηα αηζζεηά θαη παξαηεξήζηκα πνπ ζπλνδεύνπλ ηελ θίλεζε , όπσο ν απόιπηνο ρώξνο είρε πξνηαζεί γηα λα γίλεη πξαγκαηηθόηεηα ε επηηάρπλζε θαη ε πεξηζηξνθή. Ζ εξκελεία απηώλ πνπ ‘θαίλνληαη’, κε ππνζέζεηο γηα πξάγκαηα πνπ δελ ‘θαίλνληαη’, είλαη αλέθαζελ ε ιεηηνπξγία ηεο επηζηήκεο. Δπεηδή ηα ‘παξαηεξήζηκα’ άιιαμαλ από ηελ επνρή ηνπ Νεύησλα, άιιαμε θαη ε κεηαθπζηθή πξαγκαηηθόηεηα πνπ ζηέθεηαη πίζσ απ΄ ηελ θίλεζε, ηώξα έγηλε ν ρσξόρξνλνο. ΢ην βηβιίν πνπ αθνινπζεί ζέιεζα λα δώζσ ρσξίο θακηά εθιαΐθεπζε, ηελ αλάπηπμε ηεο εηδηθήο ζεσξίαο ηεο ζρεηηθόηεηαο κέζα [4] από ηελ νληόηεηα πνπ ιέγεηαη ρσξόρξνλνο, ζε έλα επίπεδν ηθαλνπνηεηηθό αιιά ζπγρξόλσο θαηαλνεηό απ’ ην κέζν καζεηή ηεο ζεηηθήο θαηεύζπλζεο ηνπ Διιεληθνύ Λπθείνπ. Σα καζεκαηηθά ηνπ εθόδηα ππεξθαιύπηνπλ ηηο αλάγθεο ηεο ζεσξίαο θαη ε θιαζζηθή θηλεκαηηθή θαη δπλακηθή ηνπ είλαη γλσζηέο κε όιεο ηηο έλλνηέο ηνπο. Ζ γιώζζα πνπ πξνηίκεζα άξα ήηαλ ε γεσκεηξηθή γιώζζα θαη εηδηθόηεξα, γηα ηελ εηζαγσγή ζην ζέκα, ε ρσξνρξνληθή γεσκεηξία ηνπ πνπ Loedel είλαη ε πην πξόζθαηε θαη ε πην απιή αλαπαξάζηαζε ηνπ ρώξνπ Minkowski.( Ο ρώξνο ηνπ Minkowski είλαη ν ηεηξαδηάζηαηνο ρσξόρξνλνο ηεο εηδηθήο ζρεηηθόηεηαο ). Με ηε γεσκεηξία ηα πξάγκαηα είλαη πην θαζαξά, αθνύ ην ζρήκα καο θαζνδεγεί ζύληνκα ζηνλ ζηόρν καο παξαθάκπηνληαο ηνπο πιαηεηαζκνύο θαη ηηο καθξνζθειείο πεξηγξαθέο. Άιισζηε κε ηε γεσκεηξηθή πξνζέγγηζε μεθαζαξίδνπκε όηη ην ζύκπαλ είλαη ηεηξαδηάζηαην θη αξρίδνπκε λα ζθεθηόκαζηε δηαθνξεηηθά, ρσξνρξνληθά, πξάγκα πνπ επηβάιιεηαη ηδηαίηεξα αλ ζέινπκε λα κπνύκε ζηα κπζηηθά ηεο ζύγρξνλεο ζεσξεηηθήο θπζηθήο (γεληθή ζεσξία ζρεηηθόηεηαο). Ζ αλαγσγή ηεο πξαγκαηηθόηεηαο απ’ ηηο ηξεηο γλσζηέο καο δηαζηάζεηο ζηηο ηέζζεξηο – ρσξόρξνλνο-, ζα νδεγήζεη ηε δηαίζζεζε ησλ καζεηώλ δηαζθεδαζηηθό ζε θαη ζπλαξπαζηηθέο ζπγρξόλσο αλαπξνζαξκνγέο, αλαγθαίν αθνύ πξάγκα ε λέα ρσξνρξνληθή (δειαδή ηεηξαδηάζηαηε) γεσκεηξία πνπ εηζάγνπκε, ζα παξάγεη ηε λέα ηξηζδηάζηαηε θπζηθή. Ζ γλσζηή καο ηξηζδηάζηαηε γεσκεηξία πεξηγξάθεη ην αθίλεην ζύκπαλ δειαδή ηα ζώκαηα πνπ δελ θηλνύληαη, ε ηεηξαδηάζηαηε γεσκεηξία ηνπ ρσξόρξνλνπ, όπνπ έρεη εηζαρζεί ν ρξόλνο ζαλ ηέηαξηε δηάζηαζε πεξηγξάθεη γεσκεηξηθά ηα θηλνύκελα ζώκαηα, πνπ κεηαηξέπνληαη έηζη ζε αληηθείκελα ηεο γεσκεηξίαο. ΢ηε ρσξνρξνληθή γεσκεηξία δελ ππάξρεη ε θίλεζε ηεο εκπεηξίαο, ηίπνηα δελ θηλείηαη, ν ρσξόρξνλνο είλαη απόιπηνο θαη αθίλεηνο όπσο ν ρώξνο πνπ έρνπκε [5] ζπλεζίζεη ζηε κεραληθή ηνπ Νεύησλα. Ζ αλάκεημε ηνπ ρξόλνπ κε ηηο ηξεηο ρσξηθέο δηαζηάζεηο κεηαηξέπεη ηελ θίλεζε ζε γεσκεηξία. Ση είλαη ν παξαηεξεηήο; Δίλαη έλα ζύζηεκα αλαθνξάο κέζα ζην ρσξόρξνλν. Γειαδή θάηη πνπ θηλείηαη αιιά ην κειεηνύκε γεσκεηξηθά ζαλ αθίλεην. Αο ζπκεζνύκε όηη ηελ θίλεζε ζην Νεύησλα ηελ κεηξνύζακε σο πξνο θάπνην ζώκα αιιά ηελ εξκελεύακε σο πξνο ηνλ απόιπην ρώξν. Σώξα ηελ εξκελεύνπκε ζαλ αθηλεζία ζην ρσξόρξνλν. Σώξα είλαη ε ρσξνρξνληθή γεσκεηξία ε νπνία ζα κπνξνύζε λα ραξαθηεξηζηεί θαη σο ε γεσκεηξία ηεο θίλεζεο, πνπ ζα αλαιάβεη λα πεξηγξάςεη ηηο ηδηόηεηεο ηεο θίλεζεο πνπ παξάγνληαη ζην ζύζηεκα αλαθνξάο ηνπ παξαηεξεηή θαη από απηή ηελ πεξηγξαθή ζα πξνθύςεη ε επαλάζηαζε ηεο ζρεηηθόηεηαο. Καηά ηελ πνξεία ηεο ζεσξίαο αθνύ πεξηγξάςσ γεσκεηξηθά θαη ηνλ θιαζζηθό ρσξόρξνλν, κέζα απ' ηνλ νπνίν πεξηγξάθσ ηελ θιαζηθή κεραληθή, ρξεζηκνπνηώ ηελ γεσκεηξία Loedel κέρξη ηελ εμαγσγή ησλ κεηαζρεκαηηζκώλ Lorentz. Με ηε κέζνδν Loedel νπζηαζηηθά γεσκεηξνπνηνύκε ηηο λέεο κεζόδνπο κέηξεζεο ηνπ ρώξνπ θαη ηνπ ρξόλνπ εηζάγνληαο ηελ λέα θηλεκαηηθή. ΢ηε ζπλέρεηα παξνπζηάδσ ζηνηρεία ηεο αλαιπηηθήο γεσκεηξίαο Minkowski εληειώο αλάινγεο ηεο Δπθιείδεηαο αλαιπηηθήο γεσκεηξίαο πνπ είλαη γλσζηή απ’ ην ιύθεην. Ζ ραξαθηεξηζηηθή θαη κόληκή καο δηαθνξά είλαη ε ρξήζε ηεζζάξσλ δηαζηάζεσλ αληί ηξηώλ θαη θπζηθά ε κεηαβνιή ησλ ηύπσλ γηα ην κέηξν θαη ην εζσηεξηθό γηλόκελν ησλ δηαλπζκάησλ. Σέινο κέζα από ηεηξα-δηαλύζκαηα πνπ ζπλζέηνπκε, παξάγνπκε ηελ λέα κεραληθή κε όια ηα εμαηξεηηθά απνηειέζκαηα πνπ γλσξίδνπκε. Σν βηβιίν ινηπόλ απηό δελ είλαη βηβιίν θπζηθήο αιιά βηβιίν γεσκεηξίαο. ΢ην παξάξηεκα παξνπζηάδσ ην θιαζζηθό θείκελν ηνπ Minkowski ‘ν ρώξνο θαη ν ρξόλνο’ ζε κεηάθξαζε δηθή κνπ θαη ίζσο ζε πξώηε Διιεληθή παξνπζίαζε. Σν θείκελν απηό είλαη ε πεγή θάζε γεσκεηξηθήο πξνζέγγηζεο ηεο ζρεηηθόηεηαο. [6] Πξέπεη ζην ζεκείν απηό λα επραξηζηήζσ ζεξκά ηε ζπλάδειθν θηιόινγν θ. Αλαγλώζηε Διέλε γηα ηηο ρξήζηκεο ππνδείμεηο ηεο θαη δηνξζώζεηο ζηα θείκελα απηνύ ηνπ βηβιίνπ. ΜΙΑ ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑΔΡΟΜΗ « …..Δίλαη αμηνζεκείσην όηη ε ηξηζδηάζηαηε ζηαηηθνύ θόζκνπ πνπ ζεκειηώζεθε είρε έλαλ ηόζν γεσκεηξία ηνπ αμησκαηηθά απ’ ηνλ Δπθιείδε, δηαηζζεηηθά δηαπγή ραξαθηήξα, ελώ ε ζεκειίσζε ηεο γεσκεηξίαο ηνπ ρσξόρξνλνπ έγηλε κεηά από καθξνρξόλην αγώλα θαη κε αλαθνξέο θαηλνκέλσλ θαη εκπεηξηθώλ ζ’ έλα κεγάιν ζύλνιν θπζηθώλ πιεξνθνξηώλ ……» -Weyl- Ο κίηνο ηεο Αξηάδλεο γηα ηελ θαηάζηαζε πνπ πεξηγξάθεη ν Weyl είλαη ε κειέηε ηεο θίλεζεο , έλα ζέκα πνπ ε θιαζζηθή θπζηθή λόκηδε όηη είρε πεξηγξάςεη. Γηα λα εθθξάζσ ηελ θίλεζε ελόο ζώκαηνο είλαη αλαγθαίν λα εθιέμσ έλα ζύζηεκα αλαθνξάο σο πξνο ην νπνίν ην ζώκα απηό θηλείηαη. ΋ηαλ π.ρ πεξπαηώ κέζα ζ‟ έλα ηξαίλν, ηόηε θηλνύκαη σο πξνο ην ηξαίλν αιιά είλαη δπλαηόλ κε θαηάιιειε θίλεζε ηνπ ηξαίλνπ, ηειηθά λα είκαη αθίλεηνο σο πξνο ηελ απνβάζξα. Σόηε ηη ζπκβαίλεη ζηελ πξαγκαηηθόηεηα; Δίκαη «πξαγκαηηθά» θηλνύκελνο ή «πξαγκαηηθά» αθίλεηνο; Πξηλ απαληήζνπκε ζην εξώηεκα απηό αο ζθεθηνύκε ηελ πεξίπησζε ηεο θίλεζεο ηεο γεο . Η γε πεξηζηξέθεηαη γύξν απ‟ ηνλ ήιην ν νπνίνο θηλείηαη ζε ζρέζε κε ην θέληξν ηνπ γαιαμία ν νπνίνο γαιαμίαο θηλείηαη ζε ζρέζε κε άιινπο [7] γαιαμίεο θιπ. Πσο είλαη δπλαηόλ λα πνύκε αλ «πξάγκαηη» θηλνύκαη ή «πξάγκαηη» είκαη αθίλεηνο; Γηα λα απνθαζίζνπκε πόηε έλα ζώκα «πξαγκαηηθά» θηλείηαη. ζα πξέπεη λα βξνύκε έλα ζύζηεκα αλαθνξάο ην νπνίν είλαη «ζηεξεσκέλν» ζηαζεξά θαη κόληκα ζην ρώξν θαη ηώξα έρνπκε ζην κπαιό καο ηελ εηθόλα ηνπ απόιπηνπ ρώξνπ ηεο Νεπηώλεηαο κεραληθήο. Δάλ έλα ζώκα θηλείηαη σο πξνο απηό ην ζύζηεκα ηόηε «πξαγκαηηθά» θηλείηαη θαη ην πξόβιεκα ιύζεθε. Απηό πνπ ρξεηάδεηαη ινηπόλ είλαη λα βξνύκε έλα ηέηνην πξνλνκηνύρν ζύζηεκα αλαθνξάο . Άξαγε ππάξρεη ηέηνην ζύζηεκα; Αλ ππάξρεη θάπνην άζηξν «πξαγκαηηθά» αθίλεην, ε αξρή ζπζηήκαηνο, πσο κπνξνύκε δειαδή ηνπ λα ην πξνλνκηνύρνπ μερσξίζνπκε απ‟ ηηο κπξηάδεο άιια άζηξα; Ίζσο αληί γηα έλα απνκνλσκέλν ζώκα, ην αθίλεην ζύζηεκα αλαθνξάο πνπ ςάρλνπκε λα εκπνηίδεη, λα δηεηζδύεη ζ‟ όιν ην ρώξν! Η ηδέα απηή θάλεθε ειθπζηηθή θπξίσο αθόηνπ ν Maxwell βξήθε ζηα 1864 όηη ηα ειεθηξνκαγλεηηθά θύκαηα δηαδίδνληαη κε κηα ηαρύηεηά πνπ πιεζηάδεη ηελ ηαρύηεηα ηνπ θσηόο, πξάγκα πνπ έθαλε ζαθέο όηη ην θσο ήηαλ έλα είδνο ειεθηξνκαγλεηηθνύ θύκαηνο. Γηα λα δηαδνζεί όκσο ην θσο , ζα ρξεηάδνληαλ έλα κέζν δηάδνζεο όπσο όια ηα θύκαηα, όπσο π.ρ. ν ήρνο ρξεηάδεηαη ηνλ αέξα. Φάλεθε ινηπόλ όηη ήηαλ δπλαηόλ , ην κέζν απηό γηα ηελ δηάδνζε ησλ ειεθηξνκαγλεηηθώλ θπκάησλ , λα είλαη ην «πξαγκαηηθά» αθίλεην ζύζηεκα αλαθνξάο σο πξνο ην νπνίν ζα δηαπηζηώλακε θαη ζα κεηξνύζακε θάζε θίλεζε. ΢ην κέζν απηό δόζεθε ην όλνκα, αηζέξαο, θαη άξρηζαλ νη ζεσξεηηθέο πεξηγξαθέο ηνπ πνπ θαίλνληαλ πνιύ παξάμελεο. [8] Φπζηθά ν αηζέξαο έπξεπε λα ππάξρεη θαη ζην θελό, αθνύ ην θσο δηαδίδεηαη ζην θελό, πξάγκα πνπ ηνλ έθαλε αθόκα πην παξάμελν. Τπάξρεη όκσο θαη ε άιιε εθδνρή : είλαη αδύλαηνλ λα απνθαζίζσ, λα δηαπηζηώζσ αλ θάηη θηλείηαη «πξαγκαηηθά». Αλ ππνζέζνπκε όηη δελ ππάξρεη ην πξνλνκηνύρν απηό «αθίλεην» ζύζηεκα ζην θπζηθό ρώξν ηόηε ην κόλν πνπ καο κέλεη είλαη λα δώζνπκε ηελ ηαρύηεηα ηνπ Β ζε ζρέζε κε ην Α. Σώξα είλαη αδύλαην λα πνύκε όηη ν Α ή ν Β θηλείηαη «πξαγκαηηθά». Σν « θηλείηαη πξαγκαηηθά» δελ έρεη λόεκα. Βέβαηα ζηελ πεξίπησζε απηή δελ ζα ππήξρε θαη ν αηζέξαο , θαη επνκέλσο ε δηάδνζε ηνπ ειεθηξνκαγλεηηθνύ θύκαηνο ρσξίο θάπνην κέζν δηάδνζεο ζα ήηαλ αδύλαηε. Αο δνύκε ηώξα ηα πξάγκαηα από καζεκαηηθή άπνςε. Γηα ηα καζεκαηηθά, δειαδή γηα ην κνληέιν ηνπ θόζκνπ κέζα ζην κπαιό καο, ν θόζκνο ηεο θιαζζηθήο θπζηθήο είλαη έλα ζύλνιν από βαζκσηά κεγέζε, δηαλύζκαηα θαη ηαλπζηέο πνπ ππάξρνπλ θαη κεηαβάιινληαη κέζα ζην ρώξν θαη ζην ρξόλν. Έλα θπζηθό θαηλόκελν, θαζώο ζπλδέεηαη κε έλα απζαίξεην ζύζηεκα αλαθνξάο εθθξάδεηαη κε έλα ζύλνιν εμηζώζεσλ ζηηο νπνίεο νη ρξνληθέο θαη ρσξηθέο ζπληεηαγκέλεο παξηζηάλνπλ ηηο κεηαβιεηέο. Οη εμηζώζεηο απηέο είλαη νη θπζηθνί λόκνη. Η ζρεηηθή θίλεζε ησλ ζπζηεκάησλ αλαθνξάο βάδεη έλα ζεκειηώδεο πξόβιεκα ηεο ζεσξεηηθήο θπζηθήο: έρνληαο ηηο εμηζώζεηο ηνπ θαηλνκέλνπ ζην ζύζηεκα Α, ην νπνίν θηλείηαη ζε ζρέζε κε ην Β πσο ζα εθθξάζσ ηηο εμηζώζεηο ηνπ ίδηνπ θαηλνκέλνπ ζην ζύζηεκα Β, κε θαζαξά καζεκαηηθέο κεζόδνπο θαη ρσξίο πξνζθπγή ζην πείξακα; [9] Η απάληεζε είλαη: εθαξκόδσ κηα καζεκαηηθή δηεξγαζία πνπ νλνκάδεηαη καζεκαηηθόο κεηαζρεκαηηζκόο θαη ε εμίζσζε ζηελ νπνία εθαξκόζηεθε ιέκε όηη κεηαζρεκαηίζηεθε. Αθνύ έλα ζύζηεκα αλαθνξάο αληηθαζίζηαηαη κε έλα άιιν, ν κεηαζρεκαηηζκόο ζα εθαξκνζηεί ζηηο ρσξνρξνληθέο κεηαβιεηέο ή ζπληεηαγκέλεο πνπ ππάξρνπλ ζηελ εμίζσζε. Οη κεηαζρεκαηηζκνί απηνύ ηνπ είδνπο νλνκάδνληαη ρσξνρξνληθνί κεηαζρεκαηηζκνί. Σν πξόβιεκα ινηπόλ αλάγεηαη ζηελ εύξεζε απηώλ ησλ κεηαζρεκαηηζκώλ νη νπνίνη λα απνδίδνπλ ηα ζπκβαίλνληα ζηνλ θπζηθό θόζκν ζε ζρέζε κε ηελ θίλεζε. Δίλαη ζαθέο όηη απηνί δελ είλαη δπλαηόλ λα απνδνζνύλ a priori αιιά κεηά από κειέηε ηεο ζπκπεξηθνξάο ησλ θπζηθώλ θαηλνκέλσλ ζε ζρέζε κε ηελ θίλεζε. Έηζη ζηελ πνξεία απηή , ε θιαζζηθή θπζηθή όξηζε ηνπο Γαιηιαηηθνύο κεηαζρεκαηηζκνύο ηνπο γλσζηνύο ρ΄=ρ-πt z΄=z νη t΄=t νπνίνη όπσο ζα δνύκε ς΄=ς αλαιπηηθόηεξα παξαθάησ κεηέθεξαλ ην ρώξν θαη ην ρξόλν ηεο θιαζζηθήο θπζηθήο από έλα αδξαλεηαθό (κε επηηαρπλόκελν) ζύζηεκα ζε έλα άιιν πνπ είλαη ζε νκαιή θαη επζύγξακκε θίλεζε (ηαρύηεηα) σο πξνο ην πξώην. Δίλαη νη κεηαζρεκαηηζκνί πνπ επηβεβαηώλνπλ ηελ εληύπσζε πνπ παξάγεηαη απ‟ όια ηα πεηξάκαηα ηεο θιαζζηθήο θπζηθήο, όηη κηα απόζηαζε ζην ρώξν θαη κηα δηάξθεηα ζηνλ ρξόλν παξακέλνπλ αλαιινίσηεο όηαλ αιιάδνπκε ζύζηεκα αλαθνξάο. Ο πεξηνξηζκόο ησλ αδξαλεηαθώλ παξαηεξεηώλ 1 θαη ηεο επζύγξακκεο θαη νκαιήο θίλεζεο ζ‟ όιν ην θείκελν ππάξρεη, 1 Είλαη απηνί πνπ δνπλ θαη εξγάδνληαη ζε αδξαλεηαθό ζύζηεκα. [10] δηόηη μέξνπκε απ‟ ηελ εκπεηξία όηη νη λόκνη ηεο θπζηθήο δελ είλαη ίδηνη γηα δύν παξαηεξεηέο κε ζρεηηθή επηηάρπλζε. Σν παξάδεηγκα ηνπ ηδεαηνύ πεηξάκαηνο ηνπ αζαλζέξ ζε ειεύζεξε πηώζε όπνπ εμαθαλίδεηαη ε βαξύηεηα είλαη ελδεηθηηθό. Έηζη γηα λα απνθύγνπκε ηελ αλάγθε εηζαγσγήο επί πιένλ δπλάκεσλ ζηα θαηλόκελα θαη λα έρνπκε κηα θαζαξή εηθόλα ηεο επίδξαζεο ηεο θίλεζεο ζ‟ απηά, ζα πεξηνξηζηνύκε ζε αδξαλεηαθνύο παξαηεξεηέο. Οη Γαιηιαηηθνί κεηαζρεκαηηζκνί εθαξκνδόκελνη ζε πξνβιήκαηα όπσο π.ρ. ε αιιαγή ηνπ ζρήκαηνο ηεο ηξνρηάο ζώκαηνο ζε ειεύζεξε πηώζε όπσο θαίλεηαη απ‟ ηνλ αθίλεην (ζηελ απνβάζξα) θαη ηνλ θηλνύκελν (ζην ηξαίλν) παξαηεξεηή, ε αιιαγή ηνπ ρξώκαηνο ηνπ θσηόο κηαο κνλνρξσκαηηθήο πεγήο θσηόο ζε θίλεζε ή αληίζηνηρα ηνπ ηόλνπ κηαο κνπζηθήο λόηαο, θάλεθαλ λα επαιεζεύνληαη απ‟ ην πείξακα κε όζε πξνζέγγηζε επέηξεπε ε αθξίβεηα ησλ νξγάλσλ. Από καζεκαηηθή ινηπόλ πάληα άπνςε , αλ ππήξρε ην πξνλνκηνύρν ζύζηεκα αλαθνξάο, ην «πξαγκαηηθά» αθίλεην πνπ ςάρλνπκε, ζα έπξεπε νη λόκνη ηεο θπζηθήο λα έπαηξλαλ ηελ απινύζηεξε κνξθή ζην ζύζηεκα απηό αθνύ δελ ππεηζέξρεηαη θαλελόο είδνπο κεηαζρεκαηηζκόο ζηηο εμηζώζεηο ηνπ. ( Βέβαηα ε ίδηα ε γε δελ απνηειεί αδξαλεηαθό ζύζηεκα αθνύ έρεη γσληαθή ηαρύηεηα θαη δελ θηλείηαη επζύγξακκα. ΋κσο γηα ηηο ρξνληθέο δηάξθεηεο ησλ νπηηθώλ πεηξακάησλ θαη ιόγσ ηεο πνιύ κηθξήο ηαρύηεηαο σο πξνο ην θσο ζεσξείηαη αδξαλεηαθό ζύζηεκα πξάγκα πνπ πξνππνζέηνπλ νη εμηζώζεηο ηεο κεραληθήο θαη ηεο ειεθηξνδπλακηθήο ). Αλ αληίζεηα δελ ππήξρε πξνλνκηνύρν ζύζηεκα , έπξεπε νη εμηζώζεηο πνπ εθθξάδνπλ ηνπο θπζηθνύο λόκνπο λα [11] παξακέλνπλ «αλαιινίσηεο» δειαδή λα έρνπλ ηελ ίδηα καζεκαηηθή κνξθή ζε θάζε αδξαλεηαθό ζύζηεκα. Ή κε άιια ιόγηα νη Γαιηιαηηθνί κεηαζρεκαηηζκνί λα κε κεηαβάιινπλ ηε κνξθή ησλ εμηζώζεσλ ησλ θπζηθώλ λόκσλ. Καη ζην ζεκείν απηό ππάξρεη ε κεγάιε έθπιεμε. Α) όηαλ νη Γαιηιαηηθνί κεηαζρεκαηηζκνί εθαξκνζηνύλ ζηνπο λόκνπο ηεο κεραληθήο, νη λόκνη απηνί παξακέλνπλ αλαιινίσηνη . Απηό εθθξάδεη ηελ αξρή ηεο ζρεηηθόηεηαο ηεο θιαζζηθήο θπζηθήο. Αο δνύκε γηα παξάδεηγκα ηελ εθαξκνγή ηεο ζρεηηθόηεηαο ηεο θίλεζεο ζηνλ δεύηεξν λόκν ηνπ Νεύησλα. Απηόο είλαη ν γλσζηόο (ζε κία δηάζηαζε) θαη έρνληαο ρ΄=ρ-πt είλαη d2x΄ /dt2 =d2(x-πt)/ dt2 = d2 x/dt2 . Τπνζέηνπκε όηη νη δπλάκεηο αιιειεπίδξαζε ησλ ζσκάησλ ζρεηηθή ζέζε ηνπο θαη νθείινληαη κόλν ζηελ δειαδή εμαξηώληαη απ‟ ηελ επεηδή νη απνζηάζεηο είλαη αλεμάξηεηεο ηνπ ζπζηήκαηνο ζπληεηαγκέλσλ (ακεηάβιεην ηνπ κήθνπο ) θαζώο θαη t=t΄ άξα ην δηάλπζκα ηεο δύλακεο είλαη ην ίδην ζ‟ όια ηα αδξαλεηαθά ζπζηήκαηα. Λακβάλνληαο δε ππ‟ όςε όηη νη άμνλεο ησλ δύν ζπζηεκάησλ είλαη παξάιιεινη πξνθύπηεη όηη F΄x =Fx άξα ν λόκνο ζην ζύζηεκα S΄ γίλεηαη δειαδή έρεη ηελ ίδηα κνξθή ζηα δύν ζπζηήκαηα. Β) ΋ηαλ όκσο νη κεηαζρεκαηηζκνί εθαξκνζηνύλ ζηνπο λόκνπο ηεο ειεθηξνδπλακηθήο εκθαλίδεηαη κηα ζαθήο δηαθνξά ζηελ καζεκαηηθή ηνπο κνξθή: νη λόκνη δελ παξακέλνπλ αλαιινίσηνη σο πξνο ηνπο Γαιηιαηηθνύο κεηαζρεκαηηζκνύο. Θα εμεηάζνπκε ηνλ ηξόπν κεηαζρεκαηηζκνύ ηεο θπκαηηθήο εμίζσζεο ηνπ θσηόο πνπ είλαη ζπλέπεηα ησλ εμηζώζεσλ [12] Maxwell. Απηή είλαη ε γλσζηή 2θ/x2 =1/c2 2/t΄2 όπνπ θ είλαη νπνηαδήπνηε απ‟ ηηο έμε ζπληζηώζεο ηνπ ειεθηξηθνύ ή καγλεηηθνύ πεδίνπ ζην ζύζηεκα S. Θεσξώληαο ηελ θ ζαλ ζπλάξηεζε ησλ ρ΄ , t ΄ όπνπ ρ΄=ρ-πt t΄ =t απ‟ ηνπο θαλόλεο παξαγώγηζεο πξνθύπηεη εύθνια όηη ε θπκαηηθή εμίζσζε γηα ην S΄ γίλεηαη (1-π2/c2)2θ/x΄2=1/c22θ/t΄2–2π2θ/x΄t΄……..(1.α) όπνπ έρνπκε κηα ζαθή κεηαβνιή ζηε κνξθή ηεο εμίζσζεο. Η κεηαβνιή απηή ππνδείθλπε όηη νη λόκνη απηνί ήηαλ θπζηθό λα ζεσξεζνύλ σο ηζρύνληεο ζε έλα κόλν ζύζηεκα αλαθνξάο, ην «πξαγκαηηθά» αθίλεην σο πξνο ηνλ αθίλεην αηζέξα. Έηζη αθνύ άιιαδαλ κνξθή αλάινγα κε ην ζύζηεκα βιέπνπκε ζηελ (1.α) ηνλ όξν π- ζα ήηαλ δπλαηόλ κε ηελ βνήζεηα ιεπηώλ ειεθηξνκαγλεηηθώλ ή νπηηθώλ πεηξακάησλ λα βξνύκε ηελ ηαρύηεηα π ηνπ ζπζηήκαηνο S΄ σο πξνο ηνλ αηζέξα, βέβαηα πάληα κε ηελ κε ηελ πξνππόζεζε όηη νη Γαιηιαητθνί κεηαζρεκαηηζκνί θαη νη λόκνη ηνπ Maxwell ήηαλ αιεζείο. Απηή ήηαλ ε πάγηα πεπνίζεζε ησλ θπζηθώλ ηελ πεξίνδν απηή. Αθξηβή πεηξάκαηα ζα απνδείθλπαλ ηελ ηαρύηεηα π ησλ νξγάλσλ καο, άξα θαη ηνπ πιαλήηε καο δηα κέζνπ ηνπ αθίλεηνπ αηζέξα. Δηζη αξλεηηθά μεθίλεζε κηα πεηξάκαηα κε δηαζεκόηεξν κε ην θαηαπιεθηηθό Michelson-Morley κπνξνύζε ζεηξά πεηξακάησλ, λα απνδεηρηεί πεηξακαηηθά ην ηα πεξίθεκα πείξακα ησλ απνηέιεζκα: ε θίλεζε ηεο δελ γεο, ε ζπκπεξηθνξά ησλ θσηεηλώλ θπκάησλ δελ έκνηαδε κε απηήλ ησλ αθνπζηηθώλ θπκάησλ, δελ ππήξρε πξνλνκηνύρν, «πξαγκαηηθά» αθίλεην [13] ζύζηεκα αλαθνξάο γηα ηελ ηζρύ ησλ ειεθηξνκαγλεηηθώλ θαηλνκέλσλ. Γηα λα ζπλνςίζνπκε ινηπόλ από καζεκαηηθή θαη θπζηθή άπνςε: Τπάξρεη εδώ έλα ηξίγσλν: νη κεηαζρεκαηηζκνί Γαιηιαίνπ, ε κεραληθή θαη ε ειεθηξνδπλακηθή, Οη λόκνη ηεο κεραληθήο παξακέλνπλ αλαιινίσηνη σο πξνο ηνπο Γαιηιαητθνύο κεηαζρεκαηηζκνύο, νη λόκνη ηεο ειεθηξνδπλακηθήο όρη. Απηή είλαη ε πξώηε αζπκκεηξία. ειεθηξνδπλακηθήο ηζρύνπλ γηα Έζησ όκσο: νη λόκνη έλα πξνλνκηνύρν ηεο ζύζηεκα! Αιιά ην πείξακα αξλείηαη ηελ ύπαξμή ηνπ! ΢ηελ ζύγρπζε απηή κηα πξώηε ιύζε έδσζε ν Lorentz κε ηνπο πεξίθεκνπο κεηαζρεκαηηζκνύο ηνπ κε ηνπο νπνίνπο αληηθαηέζηεζε ηνπο Γαιηιαητθνύο δηαηεξώληαο όκσο ηνλ αηζέξα. Σώξα όκσο ελώ νη λόκνη ηεο ειεθηξνδπλακηθήο παξακέλνπλ αλαιινίσηνη νη λόκνη ηεο κεραληθήο κεηαβάιινληαη. Σν ίδην αδηέμνδν αιιά αληίζηξνθα.! Γηα λα εμεγήζεη ηελ απνηπρία απηή ν Lorentz έθαλε κηα ππόζεζε ε νπνία βαζίδεηαη αθξηβώο ζηελ αλαιινηόηεηα ηεο νπηηθήο γηα ην ζύλνιν Gc.΢ύκθσλα κε ηνλ Lorentz θάζε θηλνύκελν ζώκα ζπζηέιιεηαη θαηά ηελ δηεύζπλζε ηεο θίλεζήο ηνπ , ζπγθεθξηκέλα δε ε αλαινγία ηεο ζπζηνιήο είλαη 1:1-π /c 2 2 όπνπ π ε ηαρύηεηα ηνπ ζώκαηνο . Η ππόζεζε απηή θαίλεηαη ππεξβνιηθά θαληαζηηθή γηαηί ε ζπζηνιή δελ ζεσξείηαη ζαλ ζπλέπεηα ηεο αληίζηαζεο ηνπ αηζέξα ή θάηη παξόκνην αιιά απιά ζαλ κηα ηδηόηεηα άλσζελ ζαλ θάηη πνπ ζπλνδεύεη ηελ θαηάζηαζε ηεο θίλεζεο…..Minkowski Δίρε έξζεη πηα ε ώξα γηα κηα κεγάιε αλαηξνπή ηεο θιαζζηθήο κεραληθήο, γηα έλα άιιν ζύκπαλ. Απηό ήηαλ ην έξγν ηνπ Einstein. [14] O ΥΡΟΝΟ΢ ΢ΑΝ ΣΔΣΑΡΣΗ ΓΙΑ΢ΣΑ΢Η. Η γεσκεηξία ηεο θίλεζεο βαζίδεηαη θαη κνξθνπνηείηαη πάλσ ζε κηα απιή θαη ζεκαληηθή παξαηήξεζε: θακία θίλεζε δελ ζπκβαίλεη ζην ρώξν κόλν, αιιά ζην ρώξν θαη ζην ρξόλν. «Αλ δελ ήηαλ έηζη, έπξεπε ην θηλεηό λα βξίζθεηαη ηελ ίδηα ρξνληθή ζηηγκή ζ’ όια ηα ζεκεία ηεο δηαδξνκήο ηνπ. Απηό όκσο ζα θαηέζηξεθε ηελ εηθόλα ηεο θίλεζεο». Έηζη εξκελεύνληαη θαηλόκελα πνπ θαίλνληαλ απηνλόεηα: ηεο θαζεκεξηλήο δσήο άξαγε ηη ζα ζπλέβαηλε αλ ην πόδη καο ήηαλ ηαπηόρξνλα ζε θάζε ζέζε θαηά ηελ δηάξθεηα ηνπ βαδίζκαηνο; γηαηί θαηά ην βάδηζκα ην «παιηό» πόδη δελ θξάδεη ην δξόκν ζην «λέν» πόδη, ζην επόκελν βήκα; Γηαηί έλα ζώκα πνπ ηαιαληώλεηαη δελ εκπνδίδεηαη απ‟ ηηο πξνεγνύκελεο ζέζεηο ηνπ; Σν πιηθό ζεκείν Α ινηπόλ εθηειεί δύν θηλήζεηο, κηα νξαηή ζην ρώξν θαη κηα αόξαηε ζηνλ ρξόλν. Αλ ε θίλεζε ζηνλ ρώξν ζεσξείηαη πξαγκαηηθή γηαηί πηζηνπνηείηαη κε ηελ όξαζε, ε θίλεζε ζηνλ ρξόλν είλαη εμ‟ ίζνπ πξαγκαηηθή θαη πηζηνπνηείηαη κε κηα άιιε αίζζεζε: ηελ αίζζεζε ηεο ξνήο ηνπ ρξόλνπ πνπ ππάξρεη κέζα καο θαη ιεηηνπξγεί αλεμήγεηα όπσο ζα δνύκε ζηε ζπλέρεηα. Θα ηελ νλνκάζνπκε αίζζεζε ηνπ ρξόλνπ. Η εθηέιεζε ινηπόλ απ‟ ην θηλεηό ησλ δύν απηώλ πξαγκαηηθώλ θηλήζεσλ δίλεη ηελ ζπληζηακέλε θίλεζε ζηνλ ρσξόρξνλν. Έηζη γελληέηαη ην ρσξνρξνληθό δηάγξακκα, όπνπ ν ρξόλνο έρεη ην δηθό ηνπ άμνλα Οt δίπια ζηνπο άμνλεο ηνπ ρώξνπ. Θεσξώληαο κία κόλν ρσξηθή δηάζηαζε έρσ γηα ηελ γεσκεηξηθή παξάζηαζε ηεο θίλεζεο ρ=πt ηελ επζεία (ε) πνπ [15] ιέγεηαη θνζκηθή πξνζέμνπκε γξακκή όκσο ηνπ ηελ θηλεηνύ, βαζηθή ηδέα όπνπ ηνπ εθσ=π. Αο ρσξνρξνληθνύ δηαγξάκκαηνο ηνπ ζρήκαηνο 1. T B t2 A t1 O σ X1 X2 X ΢ρήκα 1 Σν θηλνύκελν ζσκαηίδην ηνπ ηξηζδηάζηαηνπ ρώξνπ κεηαηξέπεηαη ζε κηα ηξνρηά γηα ηνλ ηεηξαδηάζηαην ρσξόρξνλν, ε θίλεζε γίλεηαη γξακκή. Αλαπηύζζνληαο απηήλ ηελ κεηαηξνπή έρνπκε όηη ηα παιηά ζεκεία ηνπ ρώξνπ γίλνληαη γεγνλόηα ζηνλ ρσξόρξνλν - 4 δηαζηάζεηο –ηα πιηθά ζώκαηα γίλνληαη γξακκέο, νη θνζκηθέο γξακκέο , επζείεο γηα ηελ νκαιή θίλεζε θακπύιεο γηα ηελ κεηαβαιιόκελε θαη ηειηθά ην ηξηζδηάζηαην θηλνύκελν γίγλεζζαη κεηαηξέπεηαη ζε κηα ηεηξαδηάζηαηε αθίλεηε εηθόλα.! (επεηδή δελ κπνξνύκε λα θαληαζηνύκε ηελ ηεηξαδηάζηαηε απηή εηθόλα, ζηα ζρήκαηα ρξεζηκνπνηνύκε κηα κόλν ρσξηθή δηάζηαζε πνπ αληηπξνζσπεύεη ην ρώξν θαη αληαπνθξίλεηαη ζηε δηαίζζεζή καο) Ο θπζηθόο ρώξνο ηεο εκπεηξίαο καο είλαη κηα ηξηζδηάζηαηε ηνκή ηνπ ρσξόρξνλνπ [16] πνπ ηελ θαληαδόκαζηε λα θηλείηαη θαηά ηε δηεύζπλζε ηεο 4εο δηάζηαζεο, δειαδή ηνπ ρξόλνπ. Γελ είλαη ν ρξόλνο πνπ θπιάεη αλεμάξηεηα θαη έμσ από εκάο, αιιά ε ζπλείδεζή καο πνπ ηνλ δηαπεξλά θαη ηνλ δηαζρίδεη όπσο αθξηβώο ην ζώκα καο δηαζρίδεη κηα ρσξηθή απόζηαζε. Γξάθεη ν Weyl «….είλαη ε ζπλείδεζή καο πνπ δηαπεξλά απηόλ ηνλ θόζκν, απνθηάεη εκπεηξία ησλ ηκεκάησλ ηνπ , ηα νπνία ζπλαληάεη θαη αθήλεη πίζσ ηεο ζαλ ηζηνξία….» Απηή αθξηβώο είλαη ε έλλνηα ηνπ ζηαηηθνύ ρξόλνπ. Ο ρξόλνο ππάξρεη όπσο θάπνηα ηνπνζεζία θαη εκείο ηνλ δηαζρίδνπκε όπσο δηαζρίδνπκε έλαλ δξόκν. Ο παξαηεξεηήο ζην ζρήκα 1 πνπ βξίζθεηαη ζηε ζέζε Ο κεηαθηλνύκελνο θαηά ηελ δηεύζπλζε Οt κεηαθέξεη θαη ηνλ άμνλα Ορ παξάιιεια κε ηνλ εαπηό ηνπ θαηά ηελ ίδηα δηεύζπλζε Οt. Ο Ορ είλαη ν ρώξνο ηνπ παξαηεξεηή. ΋κσο ν Ορ θαηά ηελ θίλεζή ηνπ απηή ηέκλεη ζπλερώο ηελ θνζκηθή γξακκή ηνπ ζσκαηηδίνπ. Έηζη βιέπεη ζηνλ Ορ , ζην ρώξν ηνπ , ην πιηθό ζώκα λα θηλείηαη απ‟ ην Υ1 πξνο ην Υ2. Παξαηεξεί θίλεζε, αιιά ηώξα πηα δελ είλαη γεσκέηξεο ηνπ ρσξόρξνλνπ αιιά θπζηθόο πνπ κειεηάεη κηα θίλεζε ζηνλ ηξηζδηάζηαην ρώξν. Αλ δερηνύκε ηελ ρσξνρξνληθή εηθόλα γηα ηνλ θόζκν καο θαη ην ηξηζδηάζηαην γίγλεζζαη ζαλ απνηέιεζκα ηεο δηαδξνκήο ηεο ζπλείδεζήο καο πάλσ ζηνλ άμνλα ηνπ ρξόλνπ πξνθύπηεη άκεζα ην εξώηεκα: Ση είλαη απηό πνπ παξάγεη ηελ ςεπδαίζζεζε ηεο ξνήο ηνπ ρξόλνπ κέζα καο ; Πνηα είλαη ε αηηία ηεο ηξηζδηάζηαηεο θηλνύκελεο πξαγκαηηθόηεηαο πνπ καο δίλνπλ νη αηζζήζεηο καο ; Ο θαζεγεηήο Rucker ζην “Geometry, relativity and the fourth dimension” αλαθέξεηαη ζην εξώηεκα απηό ιέγνληαο: [17] «….πνιινί εξεπλεηέο πιεζίαζαλ ην ζέκα απηό. Μηα πνιύ θαιή πξνζπάζεηα έγηλε απ‟ ηνλ Daud Park ζην άξζξν ηνπ «ν κύζνο ηεο ξνήο ηνπ ρξόλνπ». Η θεληξηθή ηνπ ηδέα είλαη όηη ζηελ πξαγκαηηθόηεηα ζπλππάξρνπκε κε θάζε ζηηγκή ηεο δσήο καο. Κάζε ζηηγκή ηνπ παξειζόληνο θαη ηνπ κέιινληνο ππάξρεη ζηαζεξά ζηνλ ζθειεηό ηνπ 4-ζηαηνπ ρσξόρξνλνπ. Η ςεπδαίζζεζε ηεο ξνήο ηνπ ρξόλνπ είλαη κηα ζπλέπεηα ηεο θαηαζθεπήο ηνπ ζύκπαληνο : πξνθύπηεη απ„ ην γεγνλόο όηη ηα ίρλε ηεο αλάκλεζεο ηνπ γεγνλόηνο , δειαδή νη ζπληεηαγκέλεο ηεο αλάκλεζεο έρνπλ ρξνληθέο ζπληζηώζεο κεγαιύηεξεο απ‟ ηηο αληίζηνηρεο ησλ ζπληεηαγκέλσλ ηνπ γεγνλόηνο , θαη δελ κπνξεί λα εμεγεζεί γηαηί ζπκβαίλεη έηζη. Δίλαη κηα παξαηεξήζηκε ηδηόηεηα ηνπ ζύκπαληνο…. ….Έηζη νη αλακλήζεηο καο από ζθέςεηο ή γεγνλόηα ππάξρνπλ πάληα ζε ζηηγκέο αξγόηεξα απ’ ηηο ζηηγκέο ηεο πξαγκαηνπνίεζήο ηνπο. Κάζε ζεκείν ηεο θνζκηθήο γξακκήο ηνπ θαζελόο καο ζπζρεηίδεηαη κε ηα άιια πάληα κέζσ ηεο ζύγθξηζεο ησλ αλακλήζεσλ. Γελ ππάξρεη παξάδνμν ζηελ πξόηαζε όηη ν πξνεγνύκελνο εαπηόο κνπ πνπ ζρεδίαζε ην ζρήκα 1 ππάξρεη αθόκα! Κάζε ζηηγκή ηεο δσήο καο ππάξρεη πάληα, ε ζηηγκή ηεο γέλλεζήο καο ε ζηηγκή ηνπ ζαλάηνπ καο θιπ. Θα κπνξνύζε όκσο θάπνηνο λα πεη: κα εγώ γλσξίδσ όηη ππάξρσ αθξηβώο ηώξα. Σν παξειζόλ πέξαζε, ην κέιινλ δελ ήξζε αθόκα! Αλ ην παξειζόλ ππάξρεη, ζα ήηαλ αδύλαηνλ γηα ηελ ζπλείδεζή κνπ λα κεηαπεδήζεη πέληε ιεπηά πξηλ; ΋κσο δελ ππάξρεη ζπλείδεζε πνπ λα κεηαπεδάεη πίζσ ή κπξνζηά. Σν αίζζεκα ηνπ «πέληε ιεπηά πξηλ» είλαη ακεηάβιεην γηα ηελ αλζξώπηλε ζπλείδεζε. Κη αλ αθόκα είρε θάπνην λόεκα, θη αλ αθόκα ζα κπνξνύζακε λα κεηαπεδήζνπκε ζην παξειζόλ, δελ ζα κπνξνύζακε λα ην ζπλεηδεηνπνηήζνπκε! Γηαηί αλ επηζηξέθακε ζην ζώκα [18] θαη ζηηο ζθέςεηο καο, ζ’ απηά πνπ ήηαλ πέληε ιεπηά πξηλ, δελ ζα είρακε ηελ αλάκλεζε ηνπ κέιινληνο. Θα ζθεθηόκαζηαλ ηα ίδηα πξάγκαηα θαη ζα θάλακε ηηο ίδηεο θηλήζεηο. Θα κπνξνύζακε λα δηαβάζνπκε απηό ην βηβιίν πελήληα θνξέο Άιισζηε ε ηδέα ρσξίο ηνπ λα ην ζπλεηδεηνπνηήζνπκε. κπξνο-πίζσ πξνϋπνζέηεη κηα ζπλείδεζε πνπ ‘θσηίδεη’ κηα κόλν θηλνύκελε ηνκή ζηνλ ρσξόρξνλν, ηδέα ζηελ νπνία αληηηεζήθακε εμ’ αξρήο….» ΢πλνςίδνληαο κέρξη ηώξα ζα κπνξνύζακε λα πνύκε: Η αλάδεημε ηνπ ρξόλνπ ζε ηέηαξηε δηάζηαζε ζηνλ ηεηξαδηάζηαην πηα ρσξόρξνλν είλαη ν θνηλόο παξνλνκαζηήο θάζε γεσκεηξνπνίεζεο ηεο θίλεζεο. Η ζηαηηθόηεηα απηή ηνπ ρξόλνπ ρσξίο ηνλ εμνκνηώλεη κε ηηο άιιεο δηαζηάζεηο (ηνπ ρώξνπ) όκσο λα ηνλ θάλεη ηαπηόζεκν κε απηέο. Γελ εμνκνηώλεηαη δειαδή ν ρσξόρξνλνο κε έλαλ ηεηξαδηάζηαην ρώξν. Αο θαληαζηνύκε έλα δηαζθεδαζηηθό παξάδεηγκα: Κηλνύκελνο ζ‟ έλαλ ηεηξαδηάζηαην ρώξν, ζα κπνξνύζακε λα βγνύκε από έλα θιεηδσκέλν δσκάηην ρσξίο ηα θιεηδηά, όπσο έλαο ηξηζδηάζηαηνο βγαίλεη από έλαλ θύθιν ραξαγκέλν ζην πάησκα. ΋κσο δελ κπνξνύκε κε κηα κόλν ρξνληθή θίλεζε πξνο ηα πίζσ λα βγάινπκε ηελ ηξνθή απ‟ ην ζηνκάρη ελόο αλζξώπνπ ρσξίο λα ηνλ ελνριήζνπκε ! Ο ρξόλνο ινηπόλ θξαηάεη ηελ ηαπηόηεηά ηνπ αιιά πξέπεη λα ηνλίζνπκε γηα άιιε κηα θνξά όηη: ε ρξήζε ηνπ δηαγξάκκαηνο 1 θαη αξγόηεξα ε γεσκεηξία ηνπ ρσξόρξνλνπ ζεκαίλεη έλα πξάγκα: ζηαηηθή αληίιεςε ηνπ ρξόλνπ. Τπάξρεη άξαγε άιινο ηύπνο ζπλείδεζεο πνπ λα καο θάλεη ηθαλνύο λα βηώζνπκε θαηαζηάζεηο ζην ζηαηηθό ρσξόρξνλν θη όρη ζην ρώξν κε ηηο θηλήζεηο όπσο ηνλ μέξνπκε; Από εδώ μεθηλνύλ νη αζθεηέο ηνπ Γηόγθα πνπ κηινύλ γηα [19] αζαλαζία θαη ειεπζεξία θιπ, νη ζεσξήζεηο γηα ηνπο παξάιιεινπο θόζκνπο θιπ. ΋κσο παξακέλεη ην εξώηεκα: γηαηί όια απηά; γηαηί ε αλαθνξά καο ζηε ηεηξαδηάζηαηε θαηάζηαζε, ζην ρσξόρξνλν, ζην ζηαηηθό ρξόλν; Σα ρσξνρξνληθά δηαγξάκκαηα ήηαλ γλσζηά από πνιύ παιηά, γηαηί ηώξα λα επηκείλνπκε ζηελ γεσκεηξηθή πεξηγξαθή ηεο θίλεζεο θαηαξγώληαο ηελ ίδηα καο ηελ δηαίζζεζε; Γηα απάληεζε ζα ζπκεζνύκε ην Γαιηιαίν θαη ηελ πεπνίζεζή ηνπ όηη ηα καζεκαηηθά δελ είλαη γηα λα «ζώδνπλ ηα θαηλόκελα» αιιά γηα λα ηα εξκελεύνπλ. Αο ζπκεζνύκε ηη έγξαθε ν Κνπέξληθνο γηα ηελ θίλεζε ηεο γεο γύξν απ‟ ηνλ ήιην θάησ από ηελ πίεζε ηεο Καζνιηθήο εθθιεζίαο: «..είλαη αζηείν λα πηζηεύεη θαλείο πσο ε βαξηά γε ζα κπνξνύζε ππνζέζνπκε λα βξίζθεηαη ζε θίλεζε. όηη ζπκβαίλεη απηό ηόηε ΋κσο αλ νη ππνινγηζκνί γίλνληαη επθνιόηεξνη θαη ν θόζκνο πνιύ πεξηζζόηεξν θαηαλνεηόο…». Σειηθά όκσο ε καζεκαηηθή πεξηγξαθή νδήγεζε ζηε θπζηθή πεξηγξαθή ηεο θίλεζεο ηεο γεο. Καη‟ αξράο ζα δείμσ όηη κπνξνύκε λα κεηαβάινπκε, κέζα από κηα θαζαξή καζεκαηηθή πνξεία , ηηο αληηιήςεηο καο γηα ην ρώξν θαη ην ρξόλν μεθηλώληαο απ‟ ηηο παξαδεγκέλεο ζήκεξα αξρέο ηεο κεραληθήο….Minkowski 2. Ο ΝΔΤΣΩΝΔΙΟ΢ ΥΡΟΝΟ΢ Γηα λα θαηαλνήζνπκε ηελ πεξηγξαθή ηνπ θιαζζηθνύ ρσξόρξνλνπ πξέπεη λα γλσξίδνπκε ηε θπζηθή ζεκαζία ησλ αμόλσλ πνπ ζα ρξεζηκνπνηνύκε θαη επεηδή ν ρώξνο θαη νη κεηξήζεηο ηνπ είλαη γλσζηά απ‟ ηελ γεσκεηξία, ζα [20] πεξηγξάςνπκε ηνλ ρξνληθό άμνλα όπσο ηνλ αληηιακβάλνληαλ ν Νεύησλ θαη νη ζύγρξνλνί ηνπ. Ο ρξόλνο ινηπόλ ηνπ Νεύησλα πξναλαγγέιιεηαη απ‟ ηνλ Αξηζηνηέιε: Ο Αξηζηνηέιεο ραξαθηήξηδε ην ρξόλν ζαλ ην κέηξν ηεο θίλεζεο. Ωζηόζν παξαηήξεζε όηη « δελ κεηξνύκε κόλν ηελ θίλεζε κε ην ρξόλν αιιά θαη ην ρξόλν κε ηελ θίλεζε». ΢ηνλ θόζκν ηνπ Αξηζηνηέιε αλάκεζα ζ‟ όιεο ηηο θηλήζεηο πνπ ζπκβαίλνπλ, ε θαηαιιειόηεξε γηα ηνλ ππνινγηζκό ηνπ ρξόλνπ είλαη ε νκαιή θίλεζε ηνπ νπξαλνύ. ΋κσο δελ ηαύηηζε ην ρξόλν κε ηελ πεξηζηξνθή ηνπ νπξάληνπ ζηεξεώκαηνο γηαηί «αλ ππήξραλ πνιινί νπξαλνί, ζα ππήξραλ πνιινί ρξόλνη ζπγρξόλσο» πξάγκα εμαηξεηηθά αθεξεκέλν αθνύ « ν ρξόλνο είλαη ν ίδηνο παληνύ ζπγρξόλσο» ή θαηά ηελ Νεπηώλεηα δηαηύπσζε «είλαη ν ίδηνο παληνύ, θάζε ζηηγκή ηνπ δηαρέεηαη αδηαίξεηα ζ’ όιν ην ζύκπαλ θαη ζε νηηδήπνηε¨. Απηή ε έλλνηα ηνπ παγθόζκηνπ ρξόλνπ πνπ δηαξθώο κεηξηέηαη απ‟ ηελ θίλεζε ηνπ νπξαλνύ αιιά δελ ηαπηίδεηαη κ‟ απηήλ είλαη ν ππξήλαο ηνπ Νεπηώλεηνπ «απόιπηνπ , αιεζηλνύ θαη καζεκαηηθνύ ρξόλνπ». Ο ρξόλνο « ζηελ αιεζηλή ηνπ θύζε θαη άζρεηα απ’ ηα εμσηεξηθά πξάγκαηα θπιάεη νκνηόκνξθα» θαη νλνκάδεηαη δηάξθεηα. Δίλαη ην t ησλ εμηζώζεσλ ηεο κεραληθήο. Ο ρξόλνο δελ πεγάδεη απ ηελ θίλεζε αιιά αληίζεηα ε θίλεζε πεξηγξάθεηαη κε ηνλ ρξόλν. Δίηε είλαη πην γξήγνξε είηε πην αξγή είηε αλ ζηακαηήζεη θάζε θίλεζε ζην ζύκπαλ, ν ρξόλνο ζα εμαθνινπζεί λα ηξέρεη θαη νη αηώλεο λα θπινύλ. Δίλαη ε πξαγκαηηθόηεηα ηνπ ρξόλνπ πνπ ζα πξνζδηνξίζεη ην αξγό ή ην γξήγνξν ηεο αιεζηλήο θίλεζεο ησλ ζσκάησλ θαη ε δηάζηαζε απηή αλάκεζα ζην ρξόλν θαη ηελ θίλεζε ήηαλ αλακελόκελε [21] απ‟ ηελ ζηηγκή πεξηβάιινληα πνπ νπξάλην ε ζόιν αζηξνλνκία ηνπ ζξπκκάηηζε νπνίνπ ε ηνλ θαζεκεξηλή πεξηζηξνθή κεηξνύζε ην ρξόλν ηνπ Αξηζηνηέιε. ΋κσο ε θπζηθή θάλεη κεηξήζεηο. Η αλαθνξά όηη ν ρξόλνο „ξέεη νκνηόκνξθα‟ ζα δηαπηζησζεί πεηξακαηηθά κόλνλ όηαλ ν ξπζκόο ηεο ξνήο ηνπ ζπγθξηζεί (κεηξεζεί) κε θάπνηνλ άιιν ξπζκό πνπ ιακβάλεηαη ζαλ κέηξν. Δίλαη πξνθαλέο όηη πξέπεη εηζαρζεί λα θάπνηνο νξηζκόο - ν νξηζκόο ηνπ ξνινγηνύ-- δειαδή λα πεξηγξαθεί έλαο ηξόπνο κέηξεζεο ηνπ ρξόλνπ. ΋κσο ν Νεύησλ δελ κπόξεζε λα παξαηεξήζεη κηα θίλεζε ηζνηαρή θαη αηώληα πνπ λα ηνλ κεηξάεη. Η θίλεζε ησλ άζηξσλ, δειαδή ηεο γεο, δελ ήηαλ ηζνηαρήο θαη ηδαληθή, απηό ν Νεύησλ ην γλώξηδε θαιά, (ΟΙ παιίξξνηεο πξνθαινύζαλ θαζπζηεξήζεηο ζηελ πεξηζηξνθή ηεο γεο) έηζη δελ κπνξνύζε λα απνηειέζεη κέηξν ηνπ ρξόλνπ2. Ο ηξόπνο ινηπόλ κέηξεζεο ηνπ ρξόλνπ ζηελ Νεπηώλεηα κεραληθή είλαη ηδαληθόο δηαηεξήζεσο Νεύησλα: θηλνύληαη ηεο Απνιύησο κε θαη ζεσξεηηθόο: αδξάλεηαο, ειεύζεξα απνιύησο ν είλαη πξώηνο (δπλάκεσλ) ε αξρή λόκνο ηνπ ζώκαηα ζα ζηαζεξέο ηαρύηεηεο θαηά κήθνο επζεηώλ γξακκώλ, έηζη ινηπόλ ζα δηαγξάθνπλ ίζα δηαζηήκαηα ζε ίζνπο ρξόλνπο. Με άιια ιόγηα ε αξρή ηεο αδξάλεηαο ζπλδπαδόκελε κε ρσξηθέο κεηξήζεηο (αξηζκεκέλνο θαλόλαο) καο παξέρεη ηνλ νξηζκό ησλ ίζσλ ρξνληθώλ δηαζηεκάησλ. Η 2 ..Ο απόιπηνο ρξόλνο ζηελ αζηξνλνκία δηαθέξεη απ’ ην ζρεηηθό .., γηαηί νη θπζηθέο εκέξεο ζηελ πξαγκαηηθόηεηα είλαη άληζεο…είλαη πηζαλό λα κελ ππάξρεη νκνηόκνξθε θίλεζε πνπ λα κπνξεί λα κεηξήζεη κε αθξίβεηα ην ρξόλν (εδώ αλαγλσξίδεη ηελ αλππαξμία ηεο παξαηήξεζεο ηεο αδξαλεηαθήο θίλεζεο). ..Νεύησλ (ζρόιην) [22] ξνή ηνπ Νεπηώλεηνπ ρξόλνπ κπνξεί λα αλαγλσξηζηεί θαη‟ επζείαλ απ‟ ηελ αλάγλσζε ησλ ππνδηαηξέζεσλ ηνπ θαλόλα απ‟ ηηο νπνίεο πεξλάεη ην ζώκα απηό, πνπ θηλείηαη θαηά κήθνο ηνπ επζύγξακκα θαη νκαιά. ΋κσο κηα ηέηνηα ηδαληθή θίλεζε δελ ππάξρεη ζηνλ θόζκν καο. Αθόκα θη αλ ηελ ηξνπνπνηήζνπκε ζε πεξηζηξεθόκελε όπσο π.ρ ε θίλεζε ηεο γεο - ζεσξώληαο αληίζηνηρα ηελ αξρή ηεο δηαηεξήζεσο ηεο ζηξνθνξκήο- πάληα ζα ππάξρνπλ ηξηβέο, δπλάκεηο βαξύηεηαο θιπ, πνπ ηξνπνπνηνύλ ηελ θίλεζε θάλνληάο ηελ αθαηάιιειε γηα ηελ κέηξεζε ηνπ ρξόλνπ θαη ην κόλν πνπ ζα πξνζπαζνύκε πάληα ζα είλαη κηα κεγαιύηεξε δπλαηή πξνζέγγηζε. Παξ‟ όιν ινηπόλ πνπ νη θπζηθέο κεηξήζεηο θαίλνληαη αδύλακεο λα καο εθνδηάζνπλ κε έλαλ ηζρπξό πεηξακαηηθό πξνζδηνξηζκό ησλ ίζσλ ρξνληθώλ δηαξθεηώλ, ε αξρή ηεο αδξάλεηαο καο θαζηζηά ηθαλνύο λα ζεκειηώζνπκε ζε καζεκαηηθέο βάζεηο ηε κεραληθή αθνύ καο εμαζθαιίδεη ηε θπζηθή ύπαξμε ηεο νκνηόκνξθεο ξνήο ηνπ ρξόλνπ. Μνηάδεη δειαδή ε πνξεία εδώ κε ηελ πνξεία ηεο γεσκεηξίαο. Αξρηθά νη πιεξνθνξίεο καο είλαη εκπεηξηθέο θαη αλαθξηβείο, όκσο ζηε ζπλέρεηα νη πιεξνθνξίεο απηέο ηδαληθνπνηνύληαη, απνθξπζηαιιώλνληαη ζε αμηώκαηα θαη αξρέο δειαδή καζεκαηηθνπνηνύληαη. Από θεη θαη πέξα ην ζύζηεκα αλαπηύζζεηαη θαη ηα ζπκπεξάζκαηά ηνπ ειέγρνληαη πεηξακαηηθά. Απηό ζπλέβε θαη ζηελ πεξίπησζε ηεο κέηξεζεο ηνπ Νεπηώλεηνπ ζεσξείηαη αδξάλεηαο. ρξόλνπ: κεηξηέηαη όηη ξέεη νκνηόκνξθα γηαηί κε έλα ξνιόη, ηζρύεη ε αξρή όκσο ηεο [23] Δλώ όκσο ε νκνηόκνξθε ξνή ηνπ ρξόλνπ απνθηάεη θπζηθό πεξηερόκελν απ‟ ηελ αξρή ηεο αδξάλεηαο κηα άιιε παξαδνρή ηεο Νεπηώλεηαο εηθόλαο γηα ηνλ ρξόλν παξακέλεη ηειείσο ππνζεηηθή: απηή ηεο παγθνζκηόηεηάο ηνπ. Γηαηί άξαγε δπό ξνιόγηα ζε δηαθνξεηηθά ζεκεία δηαθνξεηηθή θηλεηηθή θαηάζηαζε ηνπ ρώξνπ θαη κε δείρλνπλ ηηο ίδηεο δηάξθεηεο; Πξνθύπηεη απηό από θάπνηα αξρή ηεο κεραληθήο; Ση είλαη απηό πνπ εμαζθαιίδεη ην ζπγρξνληζκό ησλ ξνινγηώλ κέζα ζην Νεπηώλεην νηθνδόκεκα; Δίλαη ην αθξηβέο αλάινγν ηεο Δπθιείδεηαο επζείαο: γηαηί άξαγε ππάξρεη κηα κόλν παξάιιειε πξνο απηήλ; Γελ ππάξρεη απάληεζε ξνινγηώλ ζην Δπθιείδεην ζύζηεκα. Ο πξναπαηηνύκελν είλαη ζπγρξνληζκόο γηα ηελ ησλ Νεπηώλεηα θαηαζθεπή. Δίλαη όπσο ην πέκπην αμίσκα ηνπ Δπθιείδε, κηα αζάθεηα πνπ θαλέλαο δελ θαίλνληαλ λα ακθηζβεηεί πξηλ ηνλ Einstein. Απηή είλαη ε θπζηθή πεξηγξαθή ηνπ ρξνληθνύ άμνλα ηνπ θιαζζηθνύ ρσξόρξνλνπ. αλαθέξεηαη ζηελ πξνεγνύκελν Η γεσκεηξηθή ζηαηηθόηεηά ηνπ θεθάιαην. Οη θαη δύν ηνπ πεξηγξαθή αλαπηύρζεθε ζην απηέο πεξηγξαθέο επηβάιινληαη απ‟ ην γεγνλόο όηη γηα λα θαηαλνεζνύλ ηα γεσκεηξηθά ζπκπεξάζκαηα ηεο θίλεζεο ζηνλ ρσξόρξνλν πξέπεη λα κεηαθεξζνύλ ζηνλ θόζκν ηεο εκπεηξίαο θαη ηεο δηαίζζεζεο, επνκέλσο ηα γεσκεηξηθά εμαγόκελα ηνπ ρξνληθνύ άμνλα πξέπεη λα απνδνζνύλ κε θπζηθά κεγέζε. 3. Ο ΚΛΑ΢΢ΙΚΟ΢ ΧΩΡΟΧΡΟΝΟ΢. [24] Σα επνρή ρσξνρξνληθά δηαγξάκκαηα ηνπ Γαιηιαίνπ όηαλ ήηαλ γλσζηά κειεηνύζε ηηο απ‟ ηελ θηλήζεηο ησλ βιεκάησλ ζηηο ξίςεηο. Βξίζθνπκε αθόκα αλαθνξέο ζηνλ ρξόλν ζαλ ηέηαξηε δηάζηαζε ηνπ θόζκνπ ζε θείκελα ηνπ 18νπ αηώλα. ΋κσο ε ηδέα απηή δελ πξνρώξεζε θαηά ηνλ 19ν αηώλα κέρξηο όηνπ ε λ-δηάζηαηε γεσκεηξία άξρηζε λα αλαπηύζζεηαη απ‟ ηνπο καζεκαηηθνύο. Δίλαη βαζηθό εδώ λα θαηαιάβνπκε όηη ηα δηαγξάκκαηα εθείλα δελ ήηαλ παξά απιέο γξαθηθέο παξαζηάζεηο ησλ ζρέζεσλ δηάξθεηαο θαη απόζηαζεο πνπ επηζπκνύζακε λα παξαζηήζνπκε κειεηώληαο ηελ θίλεζε θαη ηηο νπνίεο αλαθαιύπηακε κέζα απ‟ ην πείξακα. Ήηαλ δειαδή ηα δηαγξάκκαηα ηνπ θιαζζηθνύ ρσξόρξνλνπ απιέο γξαθηθέο παξαζηάζεηο ησλ Γαιηιαητθώλ κεηαζρεκαηηζκώλ , ησλ ηύπσλ δειαδή πνπ κεηέθεξαλ ηνλ ρώξν θαη ηνλ ρξόλν ηεο θιαζζηθήο θπζηθήο από έλα ζύζηεκα ζε έλα άιιν πνπ είρε ζηαζεξή ηαρύηεηα σο πξνο ην πξώην (κεηαζρεκαηηζκνί Γαιηιαίνπ) Έηζη είλαη εύινγν ην γηαηί ηα ρσξνρξνληθά δηαγξάκκαηα ζπάληα αλαθέξνληαλ ζηελ θιαζζηθή επηζηήκε. Οη έλλνηεο όπσο γεγνλόο, (ζεκείν ζηνλ ρσξόρξνλν) θνζκηθή γξακκή θιπ ήηαλ άγλσζηεο πξηλ ηηο αλαθαιύςεηο ηνπ Μinkowski. Δίλαη ινηπόλ Γαιηιαητθόο ρσξόρξνλνο , ν ρσξόρξνλνο ζηνλ νπνίν νη ζπληεηαγκέλεο ησλ αδξαλεηαθώλ παξαηεξεηώλ ζπλδένληαη κε ηνπο Γαιηιαητθνύο κεηαζρεκαηηζκνύο. Αλ νξίζνπκε ζαλ αδξαλεηαθό παξαηεξεηή ηνλ παξαηεξεηή πνπ δελ επηηαρύλεηαη, ηόηε Γαιηιαητθόο παξαηεξεηήο είλαη ν αδξαλεηαθόο παξαηεξεηήο ζε Γαιηιαητθό ρσξόρξνλν., Έρνληαο δύν θάζεηνπο άμνλεο ζην ζύζηεκα ρνct πεξηνξίδνπκε ηνλ ρώξν ζε κία δηάζηαζε θαη απνδίδνπκε κε [25] δύν αξηζκνύο θάζε γεγνλόο πνπ ζπκβαίλεη ζην ρώξν θαη ζην ρξόλν. Αιιά θαη αληίζηξνθα δύν αξηζκνί, νη ζπληεηαγκέλεο, πεξηγξάθνπλ θάπνην γεγνλόο ζηνλ ρώξν θαη ζηνλ ρξόλν. Έρνληαο ηνπο δύν θάζεηνπο άμνλεο ηνπ ζρήκαηνο 2 κεηαβάιινπκε ηελ θιίκαηα ηνπ άμνλα ηνπ ρξόλνπ από t ζε ct όπνπ c ε ηαρύηεηα ηνπ θσηόο παξ‟ όιν πνπ ζηελ θιαζζηθή θπζηθή ζεσξείηαη άπεηξε. ΢ηα δηαγξάκκαηα ηνπ θιαζζηθνύ ρσξόρξνλνπ απιώο ζα ζεσξνύκε ην c ζαλ κηα ζηαζεξά πνπ ηζνύηαη κε 300.000 Έηζη αξηζκεηηθά εμηζώλνπκε ηνλ ρξόλν κε ην ρξόλν θσηόο απόζηαζε πνπ όπσο είλαη ην ρ. απόζηαζε. Οη ρξεηαζηνύλ ζηε ζρεηηθόηεηα Σώξα κεζνδεύζεηο ην ct είλαη απηέο ζα καο θαη ηηο νξίδνπκε από ηώξα. Οη αιιαγέο απηέο ηεο θιίκαθαο ζηνλ άμνλα ηνπ ρξόλνπ έρεη ζαλ απνηέιεζκα λα ρξεζηκνπνηνύκε ην ίδην κήθνο πάλσ ζηνπο άμνλεο πνπ λα αληηπξνζσπεύεη έλα δεπηεξόιεπην ζην ρξόλν θαη 300.000 ρηιηόκεηξα ζηνλ ρώξν (Ορ). Έηζη έλα ζεκείν Λ(1, 1) αληηπξνζσπεύεη έλα γεγνλόο πνπ ζπκβαίλεη δεμηά ηνπ Ο ζε απόζηαζε 300.000 ρηι. πάλσ ζηνλ Ορ θαη έλα δεπηεξόιεπην κεηά ην ρξόλν κεδέλ. ct ε1 Β Γ σ Ο Α Υ ε ζρήκα 2 [26] Η ύπαξμε ελόο πιηθνύ ζώκαηνο ζην ζεκείν Α ηνπ ζρήκαηνο πάλσ ζηνλ Ορ απνηειεί έλα γεγνλόο , (ζεκείν, γεγνλόο) εθ‟ όζνλ ε ζέζε ηνπ ζώκαηνο νξίδεηαη ηώξα ζην ρώξν θαη ζην ρξόλν. ΋κσο ην γεγνλόο απηό (πιηθό ζώκα) δελ είλαη ζηηγκηαίν, αιιά δηαξθεί. Η δηάξθεηά ηνπ απνδίδεηαη κε κηα ζπλερή δηαδνρή ζεκείσλ γεγνλόησλ πνπ ζρεκαηίδνπλ κηα ζπλερή επζεία. Απηή δίλεη ηηο δηαδνρηθέο ζέζεηο ηνπ ζώκαηνο ζην ρώξν θαη ζην ρξόλν θαη είλαη ε θνζκηθή γξακκή ηνπ ζσκαηηδίνπ. Αθίλεην ζσκαηίδην ινηπόλ ζηε ζέζε Α ζεκαίλεη θάζεηε θνζκηθή επζεία ζηνλ Ορ ζην Α. Αλ θηλείηαη πάλσ ζηνλ Ορ κε ζηαζεξή ηαρύηεηα π πξνο ηα δεμηά, κε ρ=0 όηαλ t=0 ηόηε ε θνζκηθή ηνπ γξακκή είλαη ε (ε1) κε εθσ=π/c αθνύ ρ=πt θαη cρ= cπ t θαη εθσ=ΒΓ/ΟΒ=ρ/ct=π/c . Πξνθαλώο ε θσηεηλή αθηίλα πνπ θηλείηαη απ‟ ην Ο πάλσ ζηνλ Ορ (πξνο ηα δεμηά) έρεη θνζκηθή γξακκή ηνλ άμνλα ησλ ρ αθνύ π=. Αλάινγα ηζρύνπλ γηα θίλεζε πξνο ηα αξηζηεξά. Οκνίσο ν άμνλαο ct είλαη ε θνζκηθή γξακκή ζώκαηνο αθίλεηνπ ζην Ο. Δίλαη θαλεξό όηη θάζε νξηδόληηα γξακκή -θαη ν Οραληηπξνζσπεύεη ην ζύλνιν ησλ ηαπηόρξνλσλ γεγνλόησλ γηα ηνπο δύν παξαηεξεηέο (έρνπλ ίδηα ρξνληθή ζπληζηώζα). Μηα θνζκηθή επζεία ζα νλνκάδεηαη ρσξνεηδήο αλ θαη κόλν αλ όια ηα ζεκεία- γεγνλόηα είλαη ηαπηόρξνλα. (όπσο ε ΒΓ) Μηα θνζκηθή επζεία ζα νλνκάδεηαη ρξνλνεηδήο αλ θαη κόλν αλ δελ ππάξρεη δεύγνο ηαπηόρξνλσλ ζεκείσλ ηεο( όπσο ε ε1). Οη ηαπηόρξνλν. έλλνηεο απηέο ζα αιιάμνπλ ζηνλ ζρεηηζηηθό [27] Κάζε επζεία ηνπ Δπθιεηδείνπ ρώξνπ είλαη κία ρσξνεηδήο επζεία γηα ηνλ ρσξόρξνλν, θάζε γλσζηό δηάλπζκα π.ρ. ηεο δύλακεο ζα νξίδεη κηα ρσξνεηδή θαηεύζπλζε ζην ρσξόρξνλν. Θα δείμνπκε ζηε ζπλέρεηα όηη νη Γαιηιαηθνί παξαηεξεηέο ζπκθσλνύλ Α) ζην πνζόλ ηνπ ρξόλνπ πνπ δηέξξεπζε αλάκεζα ζε δύν γεγνλόηα (t=t΄) Β) ζηελ απόζηαζε δύν ηαπηόρξνλσλ γεγνλόησλ θαη Γ) έρνπλ έλαλ απιό ηύπν πξόζζεζεο ησλ ηαρπηήησλ. Α. Πξάγκαηη έζησ δύν ζεκεία ηα Α θαη Β ηνπ ζρήκαηνο 1. Αλαθεξόκελα ζην ζύζηεκα ρνct (ε απνβάζξα, ν ζηαζκόο ) αληηπξνζσπεύνπλ δύν γεγνλόηα πνπ ζπκβαίλνπλ ζ‟ απηό . Αλ ππνζέζνπκε όηη έλαο παξαηεξεηήο μεθηλάεη απ‟ ηελ αξρή Ο ηελ ρξνληθή ζηηγκή κεδέλ λα θηλείηαη θαηά κήθνο ηνπ ζηαζκνύ πξνο ηα δεμηά. Η θνζκηθή ηνπ γξακκή ζα είλαη ε γλσζηή επζεία (ε). Γη‟ απηόλ ηα γεγνλόηα Α θαη Β ζα έρνπλ ηελ ίδηα ρξνληθή απόζηαζε όπσο θαη γηα ηνλ αθίλεην παξαηεξεηή (απηό είλαη ε πεπνίζεζε ηεο θιαζζηθήο θπζηθήο , ν Νεηώλεηνο ρξόλνο πνπ είδακε ζε πξνεγνύκελν θεθάιαην) άξα ζα πξέπεη λα ζπκπεξάλνπκε όηη θη απηόο ζα εμαθνινπζεί λα κεηξάεη ηνλ ρξόλν πάλσ ζηνλ ίδην άμνλα Οct . Έηζη ζην ζρήκα 1 είλαη Γt=t2t1=t2΄-t1΄ =Γt´ γηα ηνπο παξαηεξεηέο δύν , ηνλ [28] αθίλεην σο πξνο ην Υνct θαη ηνλ θηλνύκελν σο πξνο απηό. Β. Οη ρσξηθέο κεηξήζεηο ηνπ θηλνύκελνπ παξαηεξεηή ζα ππνινγίδνληαη πάλσ ζηνλ άμνλα Ορ ηνπ αθίλεηνπ - αθνύ ε ρσξηθή απόζηαζε είλαη αλαιινίσηε, όκσο ζα ηξνπνπνηείηαη σο εμήο: (ζρ. 4) Η ηεηκεκέλε ηνπ Α γηα ηνλ θηλνύκελν ζα είλαη ε ηνκή ηνπ Ορ κε ηελ παξάιιειε παξάιιειε πξνο απηήλ πξνο ηελ (ε) αθνύ θάζε αληηπξνζσπεύεη ηα γεγνλόηα πνπ ζπκβαίλνπλ ζην ίδην ζεκείν ηνπ ρώξνπ. Έηζη ινηπόλ είλαη γηα ην ζεκείν Α(ζρ. 4) ρ΄=ΟΑ1΄=ΟΑ1- Α1΄Α1 = ΟΑ1 –ΑΑ1εθσ=ΟΑ1–ΑΑ1π/c= =ΟΑ1-ctπ/c=ρ-πt θαη έρνπκε ηνπο κεηαζρεκαηηζκνύο ηνπ Γαιηιαίνπ. Δίλαη πξνθαλέο όηη γηα ηα ηαπηόρξνλα γεγνλόηα Α, Β είλαη ρΒ-ρΑ =ρ΄Β-ρ΄Α θαη ε πξόηαζε Β ηζρύεη. ΋κσο νη δύν παξαηεξεηέο δελ ζπκθσλνύλ γηα ηελ απόζηαζε δύν κε ηαπηόρξνλσλ γεγνλόησλ π.ρ. ησλ Β θαη Γ ηνπ ζρήκαηνο 4. Αθνύ ρΓ -ρΒρ΄Γ -ρ΄Β (ηα ηξίγσλα δελ είλαη ίζα). Έηζη δελ ππάξρεη έλαο ηύπνο γηα ηελ απόζηαζε ηπρόλησλ γεγνλόησλ πνπ λα ηζρύεη γηα όινπο ηνπο παξαηεξεηέο. Γ. Αο δνύκε ηνλ λόκν ηεο πξόζζεζεο ησλ ηαρπηήησλ (ζρ. 5) Έζησ δύν θηλνύκελνη παξαηεξεηέο ν Λ΄ θαη ν Λ΄΄ θαη ν Λ αθίλεηνο ζην Ορct. Η ηαρύηεηα ηνπ Λ΄΄ σο πξνο ηνλ Λ είλαη π1=εθ(θ+σ).c, ηνπ Λ΄ σο πξνο Λ είλαη π3 =εθθ.c θαη ηνπ Λ΄΄ σο πξνο ηνλ Λ΄ είλαη π2=εθ ζ .c. [29] Αιιά ΑΑ΄΄ =ΑΑ΄+Α΄Α΄΄ δει. εθ(σ+θ)=εθθ +εθζ άξα π1=π2 +π3 . Γειαδή έρνπκε ηνλ γλσζηό ηύπν ηεο πξόζζεζεο ησλ ηαρπηήησλ. ΢αλ ηειηθή ζπλεηζθνξά ηεο γεσκεηξίαο θαη ηνπ θιαζζηθνύ ρσξόρξνλνπ ζηε κεραληθή, ζα δώζνπκε ηε γεσκεηξηθή εξκελεία ησλ λόκσλ ηνπ Νεύησλα κέζα ζην ηεηξαδηάζηαην ζπλερέο: Πξώηνο λόκνο: ε θνζκηθή γξακκή θάζε ειεύζεξνπ ζώκαηνο ζηνλ θιαζζηθό ρσξόρξνλν είλαη επζεία. Γεύηεξνο λόκνο: Σν απνηέιεζκα κηαο δύλακεο πνπ αζθείηαη ζ‟ έλα ζώκα είλαη ε απόθιηζε ηεο θνζκηθήο ηνπ γξακκήο ζε θάζε θνζκηθό ηεο ζεκείν, θαηά ηε ρσξνεηδή δηεύζπλζε πνπ αζθείηαη ε δύλακε απηή, κε έλαλ ρξνληθό ξπζκό κεηαβνιήο αλάινγν ηεο δύλακεο θαη αληηζηξόθσο αλάινγν ηεο κάδαο ηνπ. Σξίηνο λόκνο: Ο ηξίηνο λόκνο καο πξνζδηνξίδεη πνηα ζώκαηα είλαη ειεύζεξα θαη επνκέλσο πνηεο ρξνλνεηδείο θνζκηθέο γξακκέο είλαη επζείεο. Παξαηεξώληαο ηηο νκνηόηεηεο θαη ηηο δηαθνξέο κε ηνλ Δπθιείδεην ηξηζδηάζηαην ρώξν ηεο γεσκεηξίαο βιέπνπκε όηη παξ‟ όιν πνπ θαη νη δύν απνηεινύλ έλα ζπλερέο -αληηζηνηρία ζε θάζε ζεκείν κηαο ηξηάδαο θαη ηεηξάδαο αξηζκώλ αληίζηνηραελ ηνύηνηο ππάξρεη κηα κεγάιε δηαθνξά κεηαμύ ηνπο: ΢ην ρώξν ππάξρεη ε δπλαηόηεηα λα κεηξήζνπκε κηα απόζηαζε ,ζην ρσξόρξνλν απόζηαζε όρη. Γελ κπνξνύκε δύν γεγνλόησλ Θεζζαινλίθε ηε Γεπηέξα πνπ θαη ην π.ρ. λα κεηξήζνπκε ζπκβαίλνπλ άιιν ζηελ ηελ ην έλα ζηε Αζήλα ηελ Σεηάξηε. Ο ρσξόρξνλνο ζηεξείηαη κεηξηθήο. Η ζύλζεζε ηνπ θιαζζηθνύ ρσξόρξνλνπ είλαη ηερλεηή όπσο ζα ήηαλ αλ γηα [30] ηέηαξηε ζπληζηώζα είρακε π.ρ ηε ζεξκνθξαζία, ηόηε ζα είρακε ηνλ ζεξκνρώξν. Γελ ππάξρεη κηα έθθξαζε γηα ηελ απόζηαζε δύν ηπρόλησλ γεγνλόησλ ε νπνία ζα κέλεη αλαιινίσηε γηα όινπο ηνπο παξαηεξεηέο αλεμάξηεηα απ‟ ηελ θίλεζή ηνπο. Ο θιαζζηθόο ρσξόρξνλνο ζηεξείηαη γεσκεηξίαο αθνύ ζηεξείηαη ελόο ηύπνπ γηα ηελ απόζηαζε, αληίζηνηρνπ κε ην Ππζαγόξεην ζεώξεκα ηνπ ηξηζδηάζηαηνπ Δπθιείδεηνπ ρώξνπ. Έηζη ν θιαζζηθόο ρσξόρξνλνο εθθξάδεη απηό ην ράζκα ηεο δηαίζζεζήο καο αλάκεζα ζηνλ ρώξν θαη ηνλ ρξόλν ηεο εκπεηξίαο καο. Ο ρώξνο κεηξηέηαη κε ηελ γλσζηή Δπθιείδεηα κεηξηθή θαη ν ρξόλνο κε έλα παγθόζκην ξνιόη. ΢πλεπώο ε απόζηαζε έρεη λόεκα κόλν ζ‟ έλα δεδνκέλν ζεκείν ηνπ ηξηζδηάζηαηνπ ρώξνπ (νπόηε ζεκαίλεη δηαλπόκελνο ρξόλνο) ή ζε κηα δεδνκέλε ζηηγκή (πνπ ζεκαίλεη απόζηαζε δύν ζεκείσλ). Η αλαθάιπςε ηεο κεηξηθήο ηνπ ρσξόρξνλνπ ήξζε από ηελ εκπεηξία θαη κάιηζηα ύζηεξα από κεγάιε πξνζπάζεηα θαη πεηξάκαηα πςειήο αθξίβεηαο. Υξεηάζηεθαλ ηα πεηξάκαηα ησλ Michelson- Morley. θαζώο ηα πεηξάκαηα ηνπ Fizeau, ε πεξηπέηεηα ζρεηηθά κε ηνλ αηζέξα νη πξνζπάζεηεο ηνπ Lorentz νη παξάδνμεο ζπζηνιέο ηνπ Fitzerald θαη έλα ζσξό άιιεο ππνζέζεηο γηα λα θαηαιήμνπκε ζηα αμηώκαηα (δύν) ηεο εηδηθήο ζρεηηθόηεηαο ηα νπνία εγθαζηδξύνπλ ρσξόρξνλν, παξάγνληαο ηα ζρεηηθόηεηαο . κηα κεηξηθή ζηνλ εθπιεθηηθά απνηειέζκαηα ηεο [31] ΜΔΡΟ΢ ΓΔΤΣΔΡΟ Οι αοςέπ ηηπ ζςεηικόηηηαπ Χώοξπ, ςοόμξπ ηηπ ζςεηικόηηηαπ Απόζηαζη γεγξμόηωμ 4. ΑΡΥΔ΢ ΣΗ΢ ΢ΥΔΣΙΚΟΣΗΣΑ΢ Μεξηθνί νξηζκνί γηα ην ρσξόρξνλν.  ΢ηε θπζηθή ν ρσξόρξνλνο είλαη έλα καζεκαηηθό κνληέιν πνπ ζπλδπάδεη ην ρώξν θαη ην ρξόλν ζε κηα κνλαδηθή θαηαζθεπή πνπ νλνκάδεηαη ρσξνρξνληθό ζπλερέο. Ο ρσξόρξνλνο ζπλήζσο εξκελεύεηαη κε ην ρώξν λα είλαη ηξηζδηάζηαηνο θαη ην ρξόλν λα παίδεη ην ξόιν ηεο ηέηαξηεο δηάζηαζεο.  Ο ρσξόρξνλνο είλαη ε καζεκαηηθή θαηαζθεπή πνπ αληηπξνζσπεύεη ηελ αξέλα ησλ γεγνλόησλ. Μεηά ηε ζεσξία ηεο ζρεηηθόηεηαο έρεη αλαγλσξηζηεί όηη ν ρώξνο θαη ν ρξόλνο δε κπνξνύλ λα δηαρσξηζηνύλ , θαη ν ρξόλνο έθηνηε έρεη θαηαζηεί ε ηέηαξηε δηάζηαζε ηνπ ζύκπαληόο καο. Οη δύν αξρέο κε ηηο νπνίεο ν Einstein απάληεζε ζηελ αδπλακία ηεο θπζηθήο λα δηαπηζηώζεη ηελ θίλεζε κέζσ ηνπ αηζέξα θαη ζπγρξόλσο θαηέζηεζε ην ρσξόρξνλν κηα λέα θπζηθή νληόηεηα ήηαλ νη εμήο: Α. Αξρή θηλείηαη ηεο ζρεηηθόηεηαο επζύγξακκα θαη ηεο νκαιά θίλεζεο ζε ζρέζε Έλα κε ζύζηεκα πνπ έλα αδξαλεηαθό ζύζηεκα, δελ κπνξεί λα δηαθξηζεί απ’ απηό κε νπνηνδήπνηε θπζηθό πείξακα. ΋ια δειαδή ηα αδξαλεηαθά ζπζηήκαηα είλαη ηζνδύλακα [32] γηα ηε δηαηύπσζε ησλ θπζηθώλ λόκσλ. ΋ηαλ π.ρ είκαζηε ζ’ έλα θιεηζηό βαγόλη θαη ηαμηδεύνπκε κε ζηαζεξή ηαρύηεηα ζε επζεία ηξνρηά δελ κπνξνύκε κε θαλέλα πείξακα κέζα ζην βαγόλη λα απνδείμνπκε ηελ θίλεζε απηή. Έηζη ε γλσζηή αξρή ηεο ζρεηηθόηεηαο ηνπ Γαιηιαίνπ πνπ ήηαλ ήδε γλσζηή ζηε κεραληθή θαη ίζρπε κόλν γηα ηα κεραληθά θαηλόκελα επεθηείλεηαη ηώξα ζε όια ηα θαηλόκελα (ειεθηξνκαγλεηηζκόο) Β. Αξρή ηεο ζηαζεξόηεηαο ηεο θίλεζεο ηνπ θσηόο Σν θσο δηαδίδεηαη ζην θελό επζύγξακκα , κε ηελ ίδηα ζηαζεξή ηαρύηεηα c ζε όιεο ηηο θαηεπζύλζεηο θαη ρξνληθέο πεξηόδνπο σο πξνο θάζε αδξαλεηαθό ζύζηεκα. Δθ‟ όζνλ ην αμίσκα ηειηθά ελλνεί όηη κόλν ν ηεηξαδηάζηαηνο θόζκνο αλαδεηθλύεηαη απ‟ ηα θαηλόκελα θαη όηη ε πξνβνιή ζην ρώξν θαη ζην ρξόλν κπνξεί αθόκα λα ιακβάλεηαη αιιά κε δηάθνξεηθέο ηνκέο θάζε θνξά , εγώ πξνηηκώ λα ην νλνκάδσ αμίσκα ηνπ απόιπηνπ θόζκνπ (ή κε ζπληνκία θνζκηθό αμίσκα) …Minkowski Ζ αξρή απηή πνπ επαιεζεύεηαη κε ιεπηόηαηα πεηξάκαηα δύζθνια γίλεηαη θαηαλνεηή. Δίλαη γηαηί νη ρσξηθέο θαη ρξνληθέο κεηξήζεηο καο όπσο ηηο ελλννύκε είλαη πξνζαξκνζκέλεο ζηνλ ρώξν θαη ζηνλ ρξόλν ηεο θαζεκεξηλήο καο εκπεηξίαο πξάγκα πνπ πξνβάιιεη έληνλα ζηελ δηαίζζεζή καο ηνλ λόκν ηεο πξόζζεζεο ησλ ηαρπηήησλ. Πξέπεη λα ελλνήζνπκε όηη ε ηαρύηεηα ηνπ θσηόο είλαη ίδηα θαη ζηαζεξή αλεμάξηεηα απ' ηελ θηλεηηθή θαηάζηαζε ηεο θσηεηλήο πεγήο πξάγκα πνπ δελ κπνξνύκε λα ακθηζβεηήζνπκε ζηελ θίλεζε ελόο βιήκαηνο ππξνβόινπ όπινπ ή ζηελ θίλεζε κηαο ερεηηθήο πεγήο. Ζ παξαπάλσ αξρή όκσο επηρεηξεί αθξηβώο λα αληηθαηαζηήζεη ηνλ θιαζζηθό ρώξν όπνπ δηαδίδεηαη ην θσο, κε ηνλ ρσξόρξνλν, κηα λέα πξαγκαηηθόηεηα , ‘έλαλ άιιν ρώξν’ πέξα απ’ ηελ άκεζε εκπεηξία καο. Ζ επηρείξεζε απηή έρεη ζαλ θεληξηθό ζεκείν ηελ εύξεζε ελόο ηύπνπ πνπ ζα εθθξάδεη ηελ απόζηαζε δύν ηπρόλησλ ζεκείσλ –γεγνλόησλ , αλαιινίσηε γηα όινπο ηνπο παξαηεξεηέο. Αο θάλνπκε ζην ζεκείν απηό κηα κηθξή αλαδξνκή: ήηαλ ήδε γλσζηό ζηελ θπζηθή όηη ε γεσκεηξία ηνπ ρώξνπ θαζνξίδεηαη απ’ ηε κεηξηθή, δειαδή απ’ ην πνηνο ηύπνο ηζρύεη γηα ηελ κέηξεζε ησλ [33] απνζηάζεσλ – ην Ππζαγόξεην ζεώξεκα, ην ειιεηπηηθό Ππζαγόξεην θαη ην αληίζηνηρν ππεξβνιηθό-, θαη απηό ηειηθά θαζνξίδεηαη από κεηξήζεηο. Οη κεηξήζεηο, πνπ γίλνληαη κε εξγαιείν ηε θσηεηλή αθηίλα, καο δείρλνπλ ηε γεσκεηξία ηνπ ρώξνπ όπσο ην ζεξκόκεηξν καο δείρλεη ηελ ζεξκνθξαζία. Ζ ζπδήηεζε είρε θαηαιήμεη κε ηνλ Riemann θαη ηνλ Poincare. αληηιεπηό ήηαλ όηη Απηό όκσο νη κεηξήζεηο πνπ δελ απηέο κπνξνύζε λα γίλεη επεξεάδνληαλ από ηελ θηλεηηθή θαηάζηαζε ησλ ξάβδσλ κέηξεζεο. Ζ πηζαλή θίλεζε ησλ ξάβδσλ κέηξεζεο σο πξνο ην γεσκέηξε πνπ εθηειεί ηηο κεηξήζεηο, έπξεπε λα ηνπ ρξόλνπ πνπ επηβάιινληαη ηώξα πηα απ’ ηηο αξρέο ηεο ζρεηηθόηεηαο. 5. Ο ΥΩΡΟ΢ ΣΗ΢ ΢ΥΔΣΙΚΟΣΗΣΑ΢ Ο ρώξνο ηεο ζρεηηθόηεηαο γηα ηα αδξαλεηαθά ζπζηήκαηα ζεσξείηαη Δπθιείδεηνο. Απηό ζεκαίλεη όηη αλ ηα ζεκεία ηνπ παξαζηαζνύλ κε ζπληεηαγκέλεο (ρ, ς, δ) ηόηε νη δηαθνξέο ησλ ζπληεηαγκέλσλ ησλ άθξσλ ελόο δηαζηήκαηνο παίξλνπλ ηελ ηηκή s, όπνπ γηα s2= Γρ2 +Γς2+ Γδ2 θαη ε ηηκή απηή παξακέλεη αλαιινίσηε νπνηαδήπνηε αξρή ηνπ ζπζηήκαηνο θαη γηα νπνηνλδήπνηε πξνζαλαηνιηζκό ησλ αμόλσλ. Απηό εθθξάδεη ην νκνηνγελέο θαη ην ηζόηξνπν ηνπ ρώξνπ. Οη κεηξήζεηο ηνπ θπζηθνύ ζ’ έλαλ ηέηνηνλ ρώξν γίλνληαη κε κηα ζηεξεή ξάβδν πνπ ρξεζηκνπνηείηαη ζαλ κνλάδα κέηξεζεο θαη πνπ ην κήθνο ηεο δελ αιιάδεη ζηηο δηάθνξεο ζέζεηο ηνπ ζπζηήκαηνο θαη ζηνπο δηάθνξνπο πξνζαλαηνιηζκνύο. 6. Ο ΥΡΟΝΟ΢ ΣΗ΢ ΢ΥΔΣΙΚΟΣΗΣΑ΢ Αληίζεηα κε ηνλ ρώξν, ν ρξόλνο ηεο ζρεηηθόηεηαο κεηξηέηαη κε κηα λέα θίλεζε, πνπ αληηθαηέζηεζε ηελ Αξηζηνηειηθή θίλεζε ηνπ Οπξαλνύ θαη ηελ Νεπησληθή αδξαλεηαθή θίλεζε νη νπνίεο κεηξνύζαλ ην ρξόλν. Ζ λέα νπνία θίλεζε είλαη ε παξάμελε θαη μερσξηζηή θίλεζε ηνπ [34] θσηόο : « Αλ ζεσξήζνπκε κηα θσηεηλή αθηίλα δηεξρόκελε από έλα αδξαλεηαθό ζύζηεκα, ε ηαρύηεηά ηεο σο πξνο ην ζύζηεκα απηό ζα είλαη ε ίδηα, αλεμάξηεηα απ‟ ηε ζρεηηθή θίλεζε ηεο πεγήο ηεο θαη ηνπ ζπζηήκαηνο αλαθνξάο θαη αλεμάξηεηα απ‟ ηε δηεύζπλζε ηεο αθηίλαο.» Δίλαη θαλεξό απ’ ηνλ νξηζκό όηη ε κέηξεζε ίζσλ ρξνληθώλ δηαξθεηώλ ζην ζύζηεκα , δηαζηήκαηα θαηά κήθνο ζα γίλεηαη ηεο ηξνρηάο κεηξώληαο ηεο ίζα ρσξηθά θσηεηλήο αθηίλαο γλσξίδνληαο όηη απηή ζα ηα δηαγξάθεη ζε ίζνπο ρξόλνπο. Δπίζεο είλαη θαλεξό όηη ε αξρή ηεο κέηξεζεο ηνπ ρξόλνπ κπνξεί λα είλαη νπνηαδήπνηε. Απηό είλαη ην νκνηνγελέο ηνπ ρξόλνπ, (ν ρξόλνο ξέεη νκνηόκνξθα). Βέβαηα ε θιαζζηθή θπζηθή ζα απέξξηπηε ην λέν νξηζκό ηνπ ρξόλνπ. Θα ηζρπξίδνληαλ όηη ε ηαρύηεηα ηνπ ζπζηήκαηνο κέζα ζηνλ αθίλεην αηζέξα ζα δεκηνπξγνύζε πξνβιήκαηα αληζνηξνπίαο, δειαδή κεηαβνιή ηεο ηαρύηεηαο ηνπ θσηόο, ζύκθσλα κε ηε δηεύζπλζε. Θα έπξεπε ινηπόλ λα ιάβνπκε ππ’ όςε καο απηά ηα απνηειέζκαηα όπσο ιακβάλνπκε ππ’ όςε καο ηηο ηξηβέο ησλ παιηξξνηώλ πάλσ ζηε γσληαθή ηαρύηεηα πεξηζηξνθήο ηεο γεο. Έηζη ν πξνζδηνξηζκόο ηνπ ρξόλνπ ζα παξέκελε αβέβαηνο θαη θαη ζα θαηέιεγε ζεσξεηηθόο όπσο θαη ν δηθόο ηεο. ΋ηαλ όκσο θαη ηα ιεπηόηεξα παξακηθξό ίρλνο αληζνηξνπίαο πεηξάκαηα ζηελ θίλεζε δελ έδεημαλ ηνπ θσηόο, ην νη αληηξξήζεηο ηεο θιαζζηθήο θπζηθήο έραζαλ όιε ηνπο ηε δύλακε. Ζ κέηξεζε ηνπ ρξόλνπ δε βαζίδεηαη ηώξα πηα ζε κηα ζεσξεηηθή θίλεζε πνπ πνηέ αδξάλεηαο) δελ παξαηεξνύκε αιιά ζηελ θίλεζε ηνπ ζηε θσηόο θύζε (αξρή πνπ είλαη ηεο άκεζα κεηξήζηκε. Ζ θσηεηλή αθηίλα είλαη ην αθξηβέζηεξν εξγαιείν γηα ηε κέηξεζε ηνπ ρξόλνπ. Αο πξνζέμνπκε ζην ζεκείν απηό. Θα κπνξνύζακε λα κεηξήζνπκε ην ρξόλν κε ηε βνήζεηα κηαο άιιεο δηαδηθαζίαο π.ρ κε έλα ερεηηθό θύκα. ΋κσο ηόηε ε κέηξεζή ηνπ ζα θαίλνληαλ αβέβαηε θαη πνιύπινθε αθνύ ζα έπξεπε λα ππνινγίδνπκε ηελ ηαρύηεηα ηεο πεγήο , ηελ ηαρύηεηα ηνπ αλέκνπ- [35] κέζνπ θιπ πξάγκα πνπ ζα κείσλε ηελ αθξίβεηα ηεο κέηξεζεο. Απηό πεξηγξάθεη ν Einstein αλαθέξνληαο «…ε ζεσξία ηεο ζρεηηθόηεηαο έρεη πνιιέο θνξέο επηθξηζεί ρσξίο ζεκειίσζε, γηα ηνλ θεληξηθό ξόιν πνπ δίλεη ζηελ δηάδνζε ηνπ θσηόο, γηα ην όηη ζεκειηώλεη ηελ έλλνηα ηνπ ρξόλνπ ζηνλ λόκν ηεο ζηαζεξόηεηαο ηεο ηαρύηεηαο ηνπ θσηόο. ΋κσο ε θαηάζηαζε έρεη σο εμήο: γηα λα απνδώζνπκε θπζηθή ζεκαζία ζηελ έλλνηα ρξόλνο απαηηνύληαη θάπνηνπ είδνπο δηαδηθαζίεο νη νπνίεο ζα απνθαηαζηήζνπλ ζρέζεηο ζε δηαθνξεηηθά ζεκεία ηνπ ρώξνπ. Γελ έρεη ζεκαζία ην είδνο ηεο δηαδηθαζίαο πνπ θάπνηνο επηιέγεη γηα έλαλ ηέηνην νξηζκό ηνπ ρξόλνπ. Δίλαη όκσο σθέιηκν γηα ηελ ζεσξία λα επηιέμνπκε ηελ δηαδηθαζία εθείλε γηα ηελ νπνία γλσξίδνπκε θάηη βέβαην. Απηό ηζρύεη γηα ηελ δηάδνζε ηνπ θσηόο ζην θελό ζε κεγαιύηεξν βαζκό από θάζε άιιε εμέιημε πνπ ζεσξνύζακε, ράξηο ζηηο αλαθαιύςεηο ηνπ Μαxwell ζα θαη ηνπ Lorentz….» Πσο όκσο ζα απαληνύζε ν λένο νξηζκόο ζην δήηεκα ηνπ ζπγρξνληζκνύ ησλ ξνινγηώλ, δειαδή ζηελ παγθνζκηόηεηα ηνπ ρξόλνπ; Θα παξαζέζσ εδώ έλα απόζπαζκα απ’ ην αξρηθό θείκελν ηνπ Δηnstein «ε ειεθηξνδπλακηθή ησλ θηλνπκέλσλ ζσκάησλ» ηνπ 1905 όπνπ εηζάγεη ηηο λέεο κεζόδνπο κέηξεζεο ηνπ ρξόλνπ: «…Αλ ζέινπκε λα πεξηγξάςνπκε ηελ θίλεζε ελόο πιηθνύ ζεκείνπ, εθθξάδνπκε ηηο ζπληεηαγκέλεο ηνπ ζαλ ζπλαξηήζεηο ηνπ ρξόλνπ. Πξέπεη όκσο λα ζεκεηώζνπκε όηη κηα καζεκαηηθή πεξηγξαθή απηνύ ηνπ είδνπο δελ έρεη θπζηθή ζεκαζία αλ δελ μεθαζαξίζνπκε ηη ελλννύκε κε ηελ ιέμε ρξόλνο. Θα πξέπεη λα πξνζέμνπκε όηη όιεο νη αλαθνξέο καο ζηηο νπνίεο ππεηζέξρεηαη ν ρξόλνο είλαη αλαθνξέο ηαπηόρξνλσλ γεγνλόησλ. Αλ γηα παξάδεηγκα πσ ‘ην ηξαίλν θηάλεη ζηηο 7κκ’ ελλνώ όηη ‘ε ζέζε ηνπ δείθηε ηνπ ξνινγηνύ κνπ κνπ ζηε ζέζε 7 θαη ε άθημε ηνπ ηξαίλνπ είλαη ηαπηόρξνλα γεγνλόηα… [36] Έηζη θαίλεηαη όηη ζα κπνξνύζακε λα μεπεξάζνπκε ηηο δπζθνιίεο γηα ηνλ νξηζκό ηνπ ρξόλνπ αλ απιά αληηθαηαζηήζνπκε ‘ ηελ ζέζε ηνπ δείθηε ηνπ ξνινγηνύ κνπ κε ηελ ιέμε ρξόλνο’. Καη πξάγκαηη έλαο ηέηνηνο νξηζκόο είλαη ηθαλνπνηεηηθόο όηαλ ελδηαθεξόκαζηε λα νξίζνπκε ηνλ ρξόλν, απνθιεηζηηθά γηα ηελ πεξηνρή όπνπ βξίζθεηαη ην ξνιόη. Αιιά ν νξηζκόο είλαη αζαθήο όηαλ πξέπεη ζπλδέζνπκε ρξνληθά, γεγνλόηα πνπ ζπκβαίλνπλ ζε δηαθνξεηηθά κέξε ή –πξάγκα ηζνδύλακν-λα ππνινγίζνπκε ηνλ ρξόλν ησλ γεγνλόησλ πνπ ζπκβαίλνπλ καθξηά απ’ ην ξνιόη, …….ζα θηάζνπκε ζε έλα ηέηνην πξαθηηθό θαζνξηζκό ηνπ ρξόλνπ κέζα απ’ ηηο παξαθάησ ζθέςεηο: Αλ ζε έλα ζεκείν ηνπ ρώξνπ Α ππάξρεη έλα ξνιόη , έλαο παξαηεξεηήο ζην Α κπνξεί λα νξίζεη ηνλ ρξόλν ησλ γεγνλόησλ ζηελ άκεζε γεηηνληά ηνπ Α βξίζθνληαο ηελ ζέζε ησλ δεηθηώλ ηνπ ξνινγηνύ πνπ είλαη ηαπηόρξνλεο κε ηα γεγνλόηα απηά. Αλ ζην ζεκείν Β ππάξρεη έλα ξνιόη ίδην κε απηό ηνπ Α είλαη δπλαηόλ γηα ηνλ παξαηεξεηή ηνπ Β λα νξίζεη ηνπο ρξόλνπο ησλ γεγνλόησλ θνληά ζην Β. Αιιά δελ είλαη δπλαηόλ ρσξίο θακηά επί πιένλ ππόζεζε λα ζπγθξίλεη ρξνλνινγηθά έλα γεγνλόο ζην Α κε έλα γεγνλόο ζην Β. Γελ έρνπκε νξίζεη έλαλ θνηλό ρξόλν γηα ηα Α θαη Β θη’ απηό δελ κπνξεί λα ππάξμεη ρσξίο ηνλ επί πιένλ νξηζκό όηη: ν ρξόλνο πνπ ρξεηάδεηαη ην θσο γηα λα ηαμηδέςεη απ’ ην Α ζην Β είλαη ίδηνο κε ηνλ αληίζηνηρν ρξόλν απ’ ην Β ζην Α.3 Έζησ όηη ε θσηεηλή αθηίλα μεθηλάεη ζηνλ ην Β, θαη έζησ όηη ζηνλ ρξόλν tA ρξόλν tB απ’ ην Α πξνο αλαθιάηαη ζην Β πξνο ηελ θαηεύζπλζε ηνπ Α θαη θηάλεη μαλά ζην Α ζηνλ ρξόλν tA΄ ΢ύκθσλα κε ηνλ νξηζκό ηα δύν ξνιόγηα ζεσξνύληαη ζπγρξνληζκέλα αλ tB - tA = tA΄- tB 4 Απηό είλαη δπλαηόλ επεηδή ε ηαρύηεηα ηνπ θσηόο είλαη αλεπεξέαζηε από δηεπζύλζεηο , από θηλήζεηο ηεο θσηεηλήο πεγήο , από νηηδήπνηε. Η παξάμελε θίλεζε ηνπ θσηόο άιιαμε ηελ αληίιεςε γηα ην ρξόλν. 4 Αλ δελ ζπκβαίλεη ε ηζόηεηα απηή, ηα ξνιόγηα δελ είλαη ζπγρξνληζκέλα, θαηαγξάθνπλ δηαθνξεηηθέο δηάξθεηεο ! Απηό ζπκβαίλεη όηαλ ηα ξνιόγηα βξίζθνληαη ζε ζρεηηθή θίλεζε! Τόηε ην θσο θηλνύκελν κε ηελ ίδηα ηαρύηεηα ρξεηάδεηαη δηαθνξεηηθνύο ρξόλνπο λα δηαλύζεη δηαθνξεηηθά δηαζηήκαηα. 3 [37] Γερόκαζηε όηη ν νξηζκόο απηόο ηνπ ζπγρξνληζκνύ ησλ ξνινγηώλ ηζρύεη γηα νπνηαδήπνηε ζεκεία ηνπ ρώξνπ θαη όηη νη παξαθάησ πξνηάζεηο πνπ πξνθύπηνπλ απ’ απηόλ είλαη αιεζείο: 1. Αλ ην ξνιόη ζην Β είλαη ζπγρξνληζκέλν κε ην ξνιόη ζην Α ηόηε θαη ην ξνιόη ζην Α είλαη ζπγρξνληζκέλν κε ην ξνιόη ζην Β. 2. Αλ ην ξνιόη ζην Α είλαη ζπγρξνληζκέλν κε ην ξνιόη ζην Β θαη κε ην ξνιόη ζην Γ ηόηε ηα ξνιόγηα ζηα Β θαη Γ είλαη ζπγρξνληζκέλα. …….Ο ρξόλνο ινηπόλ ελόο γεγνλόηνο είλαη απηόο πνπ δίλεηαη ηαπηόρξνλα κε ην γεγνλόο από έλα ξνιόη ζην ζεκείν ηνπ γεγνλόηνο ην νπνίν είλαη ζπγρξνληζκέλν γηα όιεο ηηο ρξνληθέο κεηξήζεηο κε έλα ζπγθεθξηκέλν αθίλεην ξνιόη (ν ρξόλνο ηνπ ζπζηήκαηνο ζ.κ.)…………». Έηζη ηειηθά θαζηεξώλεηαη ε παγθνζκηόηεηα ηνπ ρξόλνπ όκσο κόλν γηα ην αδξαλεηαθό ζύζηεκα ηνπ παξαηεξεηή, πνπ θαίλνληαλ αλεξκήλεπηε ζην Νεπηώλεην ζύζηεκα (θεθ. 2) Ο ζπγρξνληζκόο ησλ ξνινγηώλ θαηάζηαζε ζε δηαθνξεηηθά ζεκεία θαη κε δηαθνξεηηθή θηλεηηθή νξίδεηαη θαη κεηξηέηαη κε ηελ θσηεηλή αθηίλα παύνληαο λα είλαη έλα αζαθέο πξναπαηηνύκελν. 7.ΑΠΟ΢ΣΑ΢Η ΓΤΟΓΔΓΟΝΟΣΩΝ-ΓΙΑ΢ΣΗΜΑ-Ο ΥΩΡΟΥΡΟΝΟ΢ Με ηηο λέεο απηέο ζεσξήζεηο ηνπ Einstein ζαλ δεδνκέλα , έζησ έλα θσηεηλό ζήκα εθπέκπεηαη απ’ ην ζεκείν-γεγνλόο Δ1(x1,y1,z1, ct1) ηνπ αδξαλεηαθνύ ζπζηήκαηνο (x,ct) θαη θηάλεη ζην ζεκείν (x2, y2,z2,ct2) ηνπ ίδηνπ ζπζηήκαηνο. Σόηε ε εμίζσζε - c2 (t2-t1)2 +(x2-x1)2+ (y2-y1)2 + (z2-z1)2=0….(7.1) εθθξάδεη ην γεγνλόο όηη παξαηεξεηή ηνπ (x,ct) είλαη c. ε ηαρύηεηα ηνπ θσηόο γηα ηνλ [38] Ο παξαηεξεηήο ελόο άιινπ αδξαλεηαθνύ ζπζηήκαηνο (X, cT) παξαηεξεί ζήκαηνο ζηα ηελ εθπνκπή θαη ηελ ζεκεία Δ1΄(X1,Y1,Z1,cT1) θαη ιήςε Δ2΄ ηνπ ηνπ θσηεηλνύ (X2,Y2,Z2, cT2) αληίζηνηρα νπόηε ε ζρέζε -c2(T2-T1)2+(X2-X1)2+(Y2-Y1)2+(Z2-Z1)2 =0……. (7.2) εθθξάδεη ην γεγνλόο όηη ε ηαρύηεηα ηνπ θσηόο είλαη γη’ απηόλ επίζεο c. Αλ ζεσξήζνπκε όηη ηα δύν γεγνλόηα δελ ηα ζπλδέεη ε θσηεηλή αθηίλα, ηόηε ηα δεύηεξα κέιε ησλ παξαπάλσ εμηζώζεσλ δελ είλαη κεδέλ θαη νξίδνπκε σο δηάζηεκα (interval) ησλ δύν γεγνλόησλ ηνλ αξηζκό πνπ νξίδεηαη απ’ ηελ ζρέζε s2= + x2 + y2+ z2 –c2t2…………..(7.3) γηα ηνλ παξαηεξεηή ηνπ (x, ct) ζέηνληαο ρ1=y1=z1=t1=0 ή παξόκνηα S2=X2+Y2+Z2-c2T2 γηα ηνλ παξαηεξεηή ηνπ (X,c T ). Θα δηεξεπλήζνπκε ζηε ζπλέρεηα ηελ ζρέζε αλάκεζα ζην s θαη ζην S, Πξόηαζε 1. Οη κεηαζρεκαηηζκνί κεηαμύ ησλ ζπληεηαγκέλσλ δύν αδξαλεηαθώλ ζπζηεκάησλ είλαη γξακκηθνί . Ο Einstein απέδσζε ηελ γξακκηθόηεηα απηή ζην νκνγελέο ηνπ ρώξνπ θαη ηνπ ρξόλνπ. Άιισζηε είλαη εύθνιν λα δηαπηζηώζνπκε όηη ε γξακκηθόηεηα κεηαμύ ησλ ζπληεηαγκέλσλ δύν αδξαλεηαθώλ ζπζηεκάησλ εμαζθαιίδεη ηελ ύπαξμε ηνπ αδξαλεηαθνύ ζπζηήκαηνο θαη ηεο αξρήο ηεο αδξάλεηαο. Έηζη ρσξίο λα είλαη αθόκα γλσζηνί νη κεηαζρεκαηηζκνί πνπ ζα αληηθαηαζηήζνπλ ηνπο Γαιηιαηηθνύο, κε ηελ πξόηαζε 1 εμαζθαιίδεηαη όηη ζα είλαη γξακκηθνί. Πξόηαζε 2 Αλ ην πνιπώλπκν Ρ=α1Υ2+α2 Φ2 +α3 Ε2 +α4 Σ2 +α5 ΥΣ +α6 ΦΣ+α7 ΕΣ +α8 ΦΕ + α9 ΥΕ + α10 ΥΦ κεδελίδεηαη όηαλ θαη ην Q= +X2 +Φ2 +Ε2 -Σ2 κεδελίδεηαη γηα πξαγκαηηθά Υ, Φ, Ε θαη Σ>0 ηόηε ην Ρ δηαθέξεη ηνπ Q θαηά ζηαζεξό παξάγνληα. Απόδεημε. Σν Q κεδελίδεηαη γηα ηηο εμήο ηεηξάδεο ησλ (Υ,Φ,Ε,Σ): (1,0,Ο,1), (0, 1,0,1), (0,0,1, 1), (1/2, 1΄2, 0, 1), (0,1/2, 1/2, 1) , (1/2 ,0, 1/2, 1 ). Αληηθαζηζηώληαο ηηο ηηκέο απηέο γηα ηηο [39] κεηαβιεηέο ζην Ρ έρσ ηζάξηζκεο ζρέζεηο κεηαμύ ησλ ζπληειεζηώλ απ’ ηηο νπνίεο εύθνια πξνθύπηεη όηη α1 =α 2=α3 = -α4 ελώ νη ππόινηπνη κεδελίδνληαη. Έηζη Ρ= δ( +Υ +Φ +Ε - Σ ) =δQ . 2 2 2 2 Ζ πξόηαζε απηή ππάξρεη ζην βηβιίν ηνπ Ridler ‘Special Relativity’ θαη είλαη ν απινύζηεξνο καζεκαηηθόο δξόκνο γηα ην θνκβηθό απηό ζεκείν ηνπ ππνινγηζκνύ ηεο απόζηαζεο ηνπ ρσξόρξνλνπ. Πξάγκαηη ζέηνληαο ζηελ ζπλέρεηα s2= +x2 +y2 +z2 -c2t2 θαη S2 = +X2 +Y2 +Z2 -c2 T2 ( γηα ρ 2-ρ1=ρ, θιπ) γλσξίδνληαο όηη ηα δύν πνιπώλπκα κεδελίδνληαη ζπγρξόλσο θαη όηη ην S εθθξάδεηαη κε γξακκηθό ηξόπν ζπλαξηήζεη ησλ x, y, z, ct (πξόηαζε 1) ηόηε ην S γίλεηαη κηα ηεηξαγσληθή κνξθή αλάινγε ηνπ s δειαδή έρνπκε s 2= δS2……… (7.4) Ζ ζηαζεξά δ ζα είλαη αλεμάξηεηε ησλ ζπληεηαγκέλσλ ζηα δύν ζπζηήκαηα αθνύ ην νκνγελέο ηνπ ρώξνπ θαη ηνπ ρξόλνπ ηνπ Einstein εμαζθαιίδνπλ ηελ αλεμαξηεζία ησλ x2+y2+z2 θαη X2+Y2+Z2 απ’ ηελ εθινγή ησλ αμόλσλ θαζώο θαη ηελ αλεμαξηεζία ησλ c2 t2 θαη c2 T2 απ’ ηελ εθινγή ηεο αξρήο ηνπ ρξόλνπ. Έηζη εθιέγνληαο ην γεγνλόο Δ1 ζαλ ην (0,0,0,0) θαη ζηα δύν ζπζηήκαηα, ην ηζόηξνπν ηνπ ρώξνπ καο επηηξέπεη λα ζεσξήζνπκε ηπρόληα πξνζαλαηνιηζκό ησλ αμόλσλ ησλ δύν ζπζηεκάησλ νπόηε ε ζρέζε κεηαμύ ηνπο θαη κε ην γεγνλόο Δ1 είλαη ηειείσο ζπκκεηξηθή. Άξα ηζρύεη θαη s2 =δ S2 ………..(7.5) Απ’ ηηο (7.4) θαη (7.5) πξνθύπηεη όηη δ2 =1 άξα δ=1. Ζ ηηκή δ= -1 ζα πξέπεη λα απνθιεηζηεί αθνύ ε (7.4) ζα πξέπεη λα ηζρύεη θαη όηαλ π0. Άξα ηειηθά είλαη s2 =S2 δειαδή +x2 +y2 +z2 -c2t2 =+X2 +Y2+Z2 -c2T2 ……….(7.6). Ζ αλαθάιπςε ηεο παξαπάλσ αλαιινίσηεο πνζόηεηαο πνπ ζπκβνιίδνπκε κε s2 θαη ζε δηαθνξηθή κνξθή κε ds2=dx2 +dy2+dz2-c2dt2………………(7.7) αλνίγεη κηα λέα επνρή ζηελ ηζηνξία ηεο θπζηθήο θίλεζεο. Δπί ηέινπο ππάξρεη κηα πνζόηεηα πνπ αληηπξνζσπεύεη ην ηεηξάγσλν ηεο απόζηαζεο πνπ δηέγξαςε έλα ζώκα ζε Γαιηιαηηθό ζύζηεκα [40] κείνλ c2 θνξέο ην ηεηξάγσλν ηνπ ρξόλνπ πνπ απαηηήζεθε γηα ηελ δηαδξνκή απηή, ε νπνία πνζόηεηα παξακέλεη αλαιινίσηε είηε νη κεηξήζεηο γίλνληαλ ζην έλα ζύζηεκα είηε ζην άιιν (αδξαλεηαθό). Ο Minkowski ακέζσο αλαγλώξηζε ζηνλ καζεκαηηθό ηύπν ηνπ s2 ηελ έθθξαζε ηνπ ηεηξαγώλνπ ηεο απόζηαζεο ελόο ηεηξαδηάζηαηνπ ζπλερνύο. Ζ απόζηαζε απηή όπσο ήδε γλσξίδνπκε νλνκάζηεθε δηάζηεκα Einstein ε απιώο δηάζηεκα . Έρνληαο εθθξάζεη ηελ απόζηαζε δύν ζεκείσλ ηνπ ζπλερνύο απηνύ κε έλαλ απόιπην ραξαθηήξα αλεμάξηεηα απ’ ηελ θίλεζε, θαηαιαβαίλνπκε ηελ απόιπηε θύζε ηνπ ίδηνπ ηνπ ζπλερνύο. Σν ζπλερέο απηό δελ είλαη νύηε ρώξνο , νύηε ρξόλνο αιιά αλαθέξεηαη θαη ζηα δύν , αθνύ ε απόζηαζε κεηαμύ δύν ζεκείσλ ηνπ κπνξεί λα εθθξαζηεί κε ρσξηθέο θαη ρξνληθέο απνζηάζεηο κε πνιινύο ηξόπνπο όπσο αθξηβώο ε απόζηαζε ζηνλ ζπλεζηζκέλν ρώξν κπνξεί λα εθθξαζηεί ζε κήθνο , πιάηνο θαη ύςνο κε δηάθνξνπο ηξόπνπο. Γηα ηνπο ιόγνπο απηνύο ην ζπλερέο απηό νλνκάζηεθε ρσξόρξνλνο (ή ρώξνο Minkowski) Οη καζεκαηηθέο θαηαζθεπέο δελ απνηεινύλ νη ίδηεο ηελ πξαγκαηηθόηεηα ηνπ θπζηθνύ θόζκνπ, αιιά είλαη ε κνλαδηθή γιώζζα πνπ δηαζέηνπκε γη’ απηή ηελ πξαγκαηηθόηεηα. Ο ξόινο ησλ καζεκαηηθώλ ζηελ νξγάλσζε θαη ζηε βαζηά γλώζε ηεο πξαγκαηηθόηεηαο έρεη θαλεί ζηελ ζαπκαζηή αθξίβεηα ηεο Δπθιείδεηαο γεσκεηξίαο, ζην ειηνθεληξηθό ζύζηεκα ηνπ Κνπέξληθνπ, ζηε κεραληθή ηνπ Νεύησλα θαη ηνπ Γαιηιαίνπ, ζηελ ειεθηξνκαγλεηηθή ζεσξία ηνπ Mάμγνπει, ζηε ζεσξία ηεο ζρεηηθόηεηαο ηνπ Αηλζηάηλ. Ζ κειέηε ηνπ ρσξόρξνλνπ απ’ ηε γεσκεηξία δελ πξέπεη λα καο μελίδεη γηαηί ην ct πνπ είλαη «ηαρύηεηα επί ρξόλν» αληηπξνζσπεύεη ηε ρσξηθή απόζηαζε πνπ δηαλύεη ην θσο ζε ρξόλν t. Έηζη ην ηεηξαδηάζηαην ζπλερέο καο ζεσξείηαη όηη έρεη ηα ραξαθηεξηζηηθά ηνπ εθηεηακέλνπ ρώξνπ παξ’ όιν πνπ ζηηο ζπληεηαγκέλεο ησλ ζεκείσλ ηνπ ππεηζέξρνληαη κεηξήζεηο ξνινγηώλ. Πνηα ζπλερνύο; είλαη άξαγε ε γεσκεηξία απηνύ ηνπ παξάμελνπ [41] Καη’ αξρήλ ην γεγνλόο όηη ε απόζηαζε δύν ζεκείσλ ηνπ εθθξάδεηαη κε ηεηξάγσλα ησλ πνζνηήησλ x,y,z,ct ρσξίο ηελ παξνπζία όξσλ όπσο xy,xz,yz θιπ καο παξαπέκπεη ζε επίπεδν ζπλερέο (καο ζπκίδεη ηελ Δπθιείδεηα απόζηαζε). ΢ην ρσξόρξνλν δελ ππάξρεη θαληαζηνύκε θακππιόηεηα , κέζσ ησλ είλαη, αλ κπνξνύζακε δύν δηαζηάζεσλ, επίπεδνο, λα ηνλ όπσο ην γλσζηό καο επίπεδν θη όρη θακππισκέλνο όπσο ε επηθάλεηα κηαο ζθαίξαο. Ζ απόζηαζε δύν ζεκείσλ ηεο ζθαίξαο πνπ κεηξηέηαη πάλσ ζ’ απηήλ πεξηέρεη νπσζδήπνηε όξνπο κε ην γηλόκελν xy. Δπί πιένλ είλαη θαλεξό όηη ην ζύζηεκα ησλ αμόλσλ ζην νπνίν εθθξάδεηαη απηή ε απόζηαζε s2 είλαη ζύζηεκα επζπγξάκκσλ αμόλσλ θη όρη θακππιόγξακκσλ. Απηό πξνθύπηεη απ’ ηελ ύπαξμε ησλ ζηαζεξώλ ζπληειεζηώλ ζηε δηαθνξηθή κνξθή ηεο απόζηαζεο (7.7) ΋πσο είλαη γλσζηό απ’ ην Λύθεην έλα ζύζηεκα θακππιόγξακκσλ ζπληεηαγκέλσλ ζην επίπεδν είλαη νη πνιηθέο ζπληεηαγκέλεο (ξ,ζ) πνπ ζπλδένληαη κε ηηο Καξηεζηαλέο κέζσ ησλ ρ=ξ ζπλζ θαη y=ξ εκζ. Ζ απόζηαζε δύν ζεκείσλ εθθξαζκέλε ζε δηαθνξηθά ζηηο πνιηθέο ζπληεηαγκέλεο είλαη ds2 =dx2 +dy2 =dξ2 +ξ2 dζ2 όπνπ βιέπνπκε όηη ν ζπληειεζηήο ηνπ dζ2 δελ είλαη ζηαζεξόο όπσο νη ζπληειεζηέο ηνπ dx2+dy2 ησλ επζπγξάκκσλ αμόλσλ,(εμαξηάηαη απ’ ην ξ) Σν κόλν επίπεδν ζπλερέο πνπ καο είλαη σο ηώξα γλσζηό είλαη ν Δπθιείδεηνο ρώξνο αιιά ν ρσξόρξνλνο παξ’ όιν πνπ είλαη επίπεδνο δελ είλαη απζηεξά Δπθιείδεηνο :ν ζπληειεζηήο ηνπ c2t2 είλαη -1 αληί ηνπ +1 πνπ ζα είρακε ζε έλαλ ηεηξαδηάζηαην Δπθιείδεην ρώξν. Έηζη ν ρσξόρξνλνο νλνκάζηεθε εκη-Δπθιείδεηνο ρώξνο .ε (ςεπδν-Δπθιείδεηνο)θαη δηεξεπλάηαη κε ηελ βνήζεηα ηεο εκηΔπθιείδεηαο (ςεπδν-Δπθιείδεηαο) γεσκεηξίαο. Ζ δηαθνξά αλάκεζα ζην Δπθιείδεην θαη ζην ςεπδν-Δπθιείδεηνζπλερέο είλαη όηη ην πξώην έρεη ηέζζεξηο πξαγκαηηθέο δηαζηάζεηο ελώ ην δεύηεξν ηξείο πξαγκαηηθέο θαη κία θαληαζηηθή. Ο ρξόλνο , ιέκε απ’ θαληαζηηθή ηελ επνρή δηάζηαζε, θαη ηνπ νη Minkowski ηξεηο αληηπξνζσπεύεη δηαζηάζεηο ηνπ ρώξνπ ηελ ηηο [42] πξαγκαηηθέο δηαζηάζεηο. Σν κόλν πνπ ζέινπκε λα εθθξάζνπκε κε ηε δηαηύπσζε απηή είλαη όηη ππάξρεη κηα δηαθνξά κεηαμύ ησλ δηαζηάζεσλ ηνπ ρώξνπ θαη ηνπ ρξόλνπ. Θα κπνξνύζακε λα απνδώζνπκε ζην ρξόλν ηελ πξαγκαηηθή δηάζηαζε θαη ζην ρώξν ηηο θαληαζηηθέο. Ο Minkowski έδεημε ηε γεσκεηξηθή ζεκαζία ηεο έθθξαζεο s2=x2+y2+z2-c2t2 ζεσξώληαο κηα λέα κεηαβιεηή ηελ Σ=ict νπόηε ην s2 εθθξάζηεθε s2=x2+y2+z2+T2 . Σώξα ε καζεκαηηθή έθθξαζε ηεο απόζηαζεο ηαπηίδεηαη κε απηήλ ηνπ ηεηξαδηάζηαηνπ ρώξνπ. Ήηαλ ν Γαιηιαίνο, πνπ θαηάιαβε όηη κηα λέα αξρή έπξεπε λα δηαηππσζεί ζηε κειέηε ηνπ θπζηθνύ θόζκνπ. Απηή ηεο ζπκθσλίαο αλάκεζα ζηα καζεκαηηθά θαη ζηε θπζηθή θηινζνθία. Αλ ππάξρεη αζπκθσλία κεηαμύ ησλ καζεκαηηθώλ θαη ηεο θπζηθήο θηινζνθίαο επέκελε ν Γαιηιαίνο, ηόηε πξέπεη ηα ζπκπεξάζκαηά ηνπο λα επαλεμεηαζηνύλ. Γ’ απηό απαληώληαο ζηνπο ζενιόγνπο, ζέηεη ηα ζεκέιηα ηεο ζύγρξνλεο θπζηθήο ηνλίδνληαο ηελ ππόζεζε όηη ε καζεκαηηθή πεξηγξαθή πξέπεη λα ηαπηίδεηαη κε ηε θπζηθή πεξηγξαθή, βάδνληαο ηέξκα ζηε δηπιή αιήζεηα ηνπ κεζαίσλα. Απηή ήηαλ ε επαλάζηαζε ηνπ Γαιηιαίνπ. Δπεθηείλνληαο ηε δηαίζζεζή καο κπνξνύκε λα ελλνήζνπκε όηη ηα δηάθνξα Γαιηιαηηθά ζπζηήκαηα όηαλ ιακβάλνληαη ζαλ ζπζηήκαηα αλαθνξάο αληηζηνηρνύλ άμνλεο ζπληεηαγκέλσλ) ζε Καξηεζηαλά κε ζπζηήκαηα δηαθνξεηηθό (επζύγξακκνη πξνζαλαηνιηζκό ζηνλ ηεηξαδηάζηαην ρσξόρξνλν. Ζ πξνζαξκνγή ηεο δηαίζζεζήο καο είλαη αλαγθαία ζηε κειέηε ηνπ ζρεηηθηζηηθνύ ρσξόρξνλνπ. Θα πξέπεη λα κάζνπκε λα ρξεζηκνπνηνύκε ην s2 ζαλ ην θπζηθό κέηξν ηεο ‘απόζηαζεο’ ζην ρσξόρξνλν ζεκεηώλνληαο όηη ν γλσζηόο ρώξνο (ην ηκήκα ηνπ ρσξόρξνλνπ κε t=0) είλαη Δπθιείδεηνο αθνύ ηόηε είλαη s2=x2+y2+z2. Έηζη αθνύ ε έθθξαζε ηνπ Minkowski παξακέλεη αλαιινίσηε ζε όια ηα Γαιηιαηηθά ζπζηήκαηα πξέπεη λα ζπκπεξάλνπκε όηη ζε κηα γεσκεηξηθή απεηθόληζε ην πέξαζκα ην πέξαζκα από έλα Γαιηιαηηθό ζύζηεκα ζε έλα άιιν κε θνηλή αξρή ζα δίλεηαη από ζπζηήκαηνο κηα ζηξνθή αλαθνξάο δειαδή ηνπ ζα ηεηξαδηάζηαηνπ Καξηεζηαλνύ αληηζηνηρεί ζε θάπνηνπο [43] καζεκαηηθνύο κεηαζρεκαηηζκνύο αλάινγνπο ησλ νξζνγώλησλ κεηαζρεκαηηζκώλ (είλαη νη κεηαζρεκαηηζκνί Lorentz πνπ ζα δνύκε ζηε ζπλέρεηα.) Σα ζεκεία γίλνληαη γεγνλόηα, (x,y,z,t), θαη ε θίλεζε παξηζηάλεηαη κε κία θνζκηθή γξακκή, επζεία αλ είλαη νκαιή θίλεζε θαη θακπύιε αλ είλαη επηηαρπλόκελε. Η επζεία ηνπ ρώξνπ καο πνπ ζπλέδεε δύν ζεκεία κε ην ειάρηζην κήθνο ηώξα γίλεηαη γεσδαηζηαθή, ζπλδέεη δύν γεγνλόηα, ην ειάρηζην ρσξνρξνληθό «κήθνο», πνπ είλαη θάπνηα θίλεζε. Έλα αθίλεην ζώκα, ζεσξείηαη όηη είλαη θάηη πνπ δελ αιιάδεη κελ ζέζε αιιά πνπ δηαξθεί θαη μεηπιίγεηαη ζην ρξόλν , έηζη ζην ρσξόρξνλν ζα παξηζηάλεηαη κε κηα γξακκή , παξάιιειε κε ηνλ άμνλα ηνπ ρξόλνπ. Μηα θνζκηθή γξακκή πνπ δηαθόπηεηαη παξηζηά ην ζώκα πνπ εμαθαλίδεηαη, Έηζη ην ηξηζδηάζηαην θηλνύκελν γίγλεζζαη, κεηαηξέπεηαη ζε κηα ηεηξαδηάζηαηε αθίλεηε εηθόλα, ε θίλεζε γίλεηαη γεσκεηξία θαη ν ρσξόρξνλνο είλαη αθίλεηνο. Μ’ απηόλ ηνλ ηξόπν όια ηα θαηλόκελα πνπ αλάγνληαη ζηελ θίλεζε ησλ ζσκάησλ αλαπαξηζηώληαη κε θνζκηθέο γξακκέο ζην ρσξόρξνλν. Ση δεκηνύξγεζε ην ρσξόρξνλν; Η ελζσκάησζε ηνπ ρξόλνπ κέζα ζηελ παιηά καο ηξηζδηάζηαηε γεσκεηξία. ΋ηη αληηπξνζώπεπε γηα καο ν ρώξνο , ζα αληηπξνζσπεύεη ν ρσξόρξνλνο αιιά γηα ηηο ηέζζεξηο δηαζηάζεηο. Ίδηνο κε ην ρώξν από κηα άπνςε αιιά δηαθνξεηηθόο από κηα άιιε. Ο παιηόο καο ρώξνο εμέθξαδε κηα πξαγκαηηθόηεηα, γηαηί ηα κήθε θαη νη ρξνληθέο δηάξθεηεο ήηαλ ζηαζεξά γηα όινπο ηνπο παξαηεξεηέο. Με ηελ αλαηξνπή ηνπ Αηλζηάηλ, όηη απηά εμαξηώληαλ απ‟ ηελ θηλεηηθή θαηάζηαζε απηνύ πνπ ηα κεηξάεη, ν Minkowski δέρηεθε όηη ε λέα πξαγκαηηθόηεηα ήηαλ ν ρσξόρξνλνο , αθνύ ηα ρσξνρξνληθά δηαζηήκαηα ήηαλ απηά πνπ ηώξα παξέκελαλ ζηαζεξά γηα όινπο. Έηζη «ν ρώξνο θαη ν ρξόλνο θαηέιεμαλ απιέο ζθηέο». ζπλππνινγηζηεί ζηελ γεσκεηξία θαη ν ζπλππνινγηζκόο απηόο γίλεηαη κέζσ ηεο β΄ αξρήο ηεο ζρεηηθόηεηαο. Ζ αξρή δειαδή ηεο ζηαζεξόηεηαο ηεο ηαρύηεηαο ηνπ θσηόο ζα παξάγεη γεσκεηξία γηα ην αληίζηνηρν ηνλ Ππζαγόξεην ρσξόρξνλν, όπνπ ζεώξεκα δειαδή όκσο νη ηε δηάθνξνη παξαηεξεηέο βξίζθνληαη ζε ζρεηηθή νκαιή θίλεζε ζε αληίζεζε κε ηελ γεσκεηξία γεσκεηξία ηεο ηνπ ρώξνπ θίλεζεο όπνπ είλαη ε απνπζηάδεη γεσκεηξία θάζε ηνπ θίλεζε. Ζ ζρεηηθηζηηθνύ ρσξόρξνλνπ θαη είλαη ηεηξαδηάζηαηε . Οη απόςεηο πνπ ζα εθζέζσ ζρεηηθά κε ην ρώξν θαη ην ρξόλν πεγάδνπλ απ’ ηελ πεξηνρή ηεο πεηξακαηηθήο θπζηθήο απ’ όπνπ θαη αληινύλ ηελ ηζρύ ηνπο. Δίλαη ξηδνζπαζηηθέο. Μέζα απ’ απηέο ζα θαλεί όηη ν ρώξνο θαη ν ρξόλνο ζαλ [44] μερσξηζηέο έλλνηεο, μεζσξηάδνπλ ζε απιέο ζθηέο, θαη κόλν έλα είδνο έλσζεο ησλ δύν, ζα απνηειέζεη κηα αλεμάξηεηε πξαγκαηηθόηεηα……Minkowski Πξηλ παξάγνπκε ηνλ ηύπν ηεο απόζηαζεο ζα πεξηγξάςνπκε ηηο θπζηθέο ηδηόηεηεο ησλ αμόλσλ πνπ ζα ρξεζηκνπνηνύκε , δειαδή ηηο λέεο κεζόδνπο κέηξεζεο ηνπ ρώξνπ θαη ΜΔΡΟ΢ ΣΡΗΣΟ Χωοξςοξμικά διαγοάμμαηα Διαγοάμμαηα Loedel 8.ΥΩΡΟΥΡΟΝΙΚΑ ΓΙΑΓΡΑΜΜΑΣΑ. ΢ε θάζε θπζηθή ζεσξία, ππάξρνπλ κεηαθπζηθά αμηώκαηα πνπ ζπλδπάδνληαη κε ηα θπζηθά αμηώκαηα. Σα δεύηεξα βαζίδνληαη όπσο είδακε ζε κεηξήζεηο, ελώ ηα πξώηα εμαζθαιίδνπλ ηα δεύηεξα από ηελ άπνςε ηνπ λνήκαηνο. Ο Αξηζηνηέιεο ην εληόπηζε πξηλ 2300 ρξόληα δηδάζθνληαο όηη [45] Αλ δελ ππάξρεη θάηη λνεηό , πέξα από ηα θαηλόκελα (θαζέθαζηα), αιιά όια ήηαλ αηζζεηά, δελ ζα είρακε επηζηήκε γηα θαλέλα πξάγκα, εθηόο κνλάρα αλ ιέεη θαλείο όηη ε αίζζεζε είλαη ε επηζηήκε. (Αξηζηνηέιεο, Μεηά ηα Φπζηθά 999 β 1) Ο Einstein ηα εληνπίδεη μαλά ζηελ πεξίπησζε ηεο ζεσξίαο ηνπ Νεύησλα ε νπνία ήηαλ ε κεγαιύηεξε αληίπαινο ηεο κεηαθπζηθήο. Γξάθεη ζρνιηάδνληαο ηελ «ζύιιεςε» ηνπ απόιπηνπ ρώξνπ από ην Νεύησλα όηη Απηό πνπ είλαη νπζηώδεο είλαη όηη εθηόο από ηα παξαηεξήζηκα αληηθείκελα, θάηη άιιν, πνπ δελ είλαη αηζζεηό, ΜΔΡΟ΢ ΣΡΗΣΟ Χωοξςοξμικά διαγοάμμαηα Διαγοάμμαηα Loedel 8.ΥΩΡΟΥΡΟΝΙΚΑ ΓΙΑΓΡΑΜΜΑΣΑ. ΢ε θάζε θπζηθή ζεσξία, ππάξρνπλ κεηαθπζηθά αμηώκαηα πνπ ζπλδπάδνληαη κε ηα θπζηθά αμηώκαηα. Σα δεύηεξα βαζίδνληαη όπσο είδακε ζε κεηξήζεηο, ελώ ηα πξώηα εμαζθαιίδνπλ ηα δεύηεξα από ηελ άπνςε ηνπ λνήκαηνο. Ο Αξηζηνηέιεο ην εληόπηζε πξηλ 2300 ρξόληα δηδάζθνληαο όηη Αλ δελ ππάξρεη θάηη λνεηό , πέξα από ηα θαηλόκελα (θαζέθαζηα), αιιά όια ήηαλ αηζζεηά, δελ ζα είρακε επηζηήκε γηα θαλέλα πξάγκα, εθηόο κνλάρα αλ ιέεη θαλείο όηη ε αίζζεζε είλαη ε επηζηήκε. (Αξηζηνηέιεο, Μεηά ηα Φπζηθά 999 β 1) Ο Einstein ηα εληνπίδεη μαλά ζηελ πεξίπησζε ηεο ζεσξίαο ηνπ Νεύησλα ε νπνία ήηαλ ε κεγαιύηεξε αληίπαινο ηεο κεηαθπζηθήο. Γξάθεη ζρνιηάδνληαο ηελ «ζύιιεςε» ηνπ απόιπηνπ ρώξνπ από ην Νεύησλα όηη Απηό πνπ είλαη νπζηώδεο είλαη όηη εθηόο από ηα παξαηεξήζηκα αληηθείκελα, θάηη άιιν, πνπ δελ είλαη αηζζεηό, πξέπεη λα ζεσξεζεί ζαλ πξαγκαηηθό, γηα λα θαηαζηνύλ πξαγκαηηθόηεηεο ε επηηάρπλζε ή ε πεξηζηξνθή . (Ο Einstein γηα ηνλ απόιπην ρώξν ηνπ Νεύησλα) [46] Σα ρσξνρξνληθά δηαγξάκκαηα ηεο ζρεηηθόηεηαο εκθαλίζηεθαλ ακέζσο κεηά ηελ γέλλεζή ηεο. Πξνηάζεθαλ δύν είδε δηαγξακκάησλ , ην δηάγξακκα Minkowski θαη ην κηγαδηθό δηάγξακκα, πνπ όκσο αληί λα απινπζηεύζνπλ ην πεξηερόκελν ησλ εμηζώζεσλ, ην πεξηέπιεθαλ πεξηζζόηεξν. ΢ην δηάγξακκα Minkowski δελ ππήξρε ζπκκεηξία κεηαμύ ησλ παξαηεξεηώλ. Δηζάγνληαλ κηα θιίκαθα ζηηο παξαηεξνύκελεο ηηκέο θαη νη ζπγθξίζεηο κεηαμύ ησλ παξαηεξεηώλ γηλόηαλ έκκεζα. ΢ην κηγαδηθό εμ’ αληίζεηε κε κεγαιύηεξα άιινπ ηε δηαίζζεζε, ήηαλ εηζαγσγή δηάγξακκα, ε ζηελ θαληαζηηθώλ ζύγθξηζε αθνύ ηκήκαηα πξαγκαηηθόηεηα κεγεζώλ ησλ κεγεζώλ ήηαλ πνπ θαίλνληαλ κηθξόηεξα. Αιιά πεξηέπιεθε θαη πεξηζζόηεξν ε ηα πξάγκαηα. Έηζη ε γεσκεηξηθή πξνζέγγηζε έκεηλε ζην πεξηζώξην αθήλνληαο ηελ εξκελεία ηεο ζεσξίαο κόλν ζηελ άιγεβξα. ΢ηα 1948 γεσκεηξηθή ν Δnrique γιώζζα. Loedel Σα πξόηεηλε δηαγξάκκαηά κηα ηνπ απινύζηαηε δελ είραλ παξακνξθώζεηο θαη όιεο νη πνζόηεηεο ήηαλ πξαγκαηηθέο. Οη δύν παξαηεξεηέο αληηκεησπίδνληαη ζπκκεηξηθά ρσξίο λα πξνηηκάηαη θαλέλαο, ρξεζηκνπνηώληαο ίδηεο θιίκαθεο ζηνπο άμνλέο ηνπο. Σν άξζξν ηνπ Loedel πξσηνεκθαλίζηεθε ζε Αξγεληίληθν πεξηνδηθό θαη ε κέζνδόο ηνπ παξέκεηλε άγλσζηε ζηνλ Αγγιόθσλν θόζκν κέρξη ην 1955 όηαλ πξνηάζεθε αλεμάξηεηα θαη από ηνλ Henri Amar. Θα παξνπζηάζσ ζηε ζπλέρεηα ηα βαζηθά ραξαθηεξηζηηθά ηεο γεσκεηξίαο Loedel ε νπνία ζα καο εηζάγεη κε ηνλ απινύζηαην ηξόπν ζηα κπζηηθά ηνπ ρσξόρξνλνπ πνπ κεηαθξάδνληάο ηα ζηνλ γλσζηό καο ρώξν θαη ρξόλν ζα έρνπκε ηα ζπκπεξάζκαηα ηεο εηδηθήο ζεσξίαο ηεο ζρεηηθόηεηαο. Θα εμεξεπλήζνπκε ινηπόλ ην ρώξν Minkowski εθαξκόδνπκε κε ζπληεηαγκέλεο ζηνλ Δπθιείδεην Lodel ρώξν όπσο αθξηβώο αλάινγα (ζην επίπεδν) πνιηθέο ζπληεηαγκέλεο. Ζ αλαινγία είλαη ραξαθηεξηζηηθή. απνζθνπνύλ ζηελ ιεηηνπξγία ηεο δηαίζζεζήο καο. Οη δύν δηαζηάζεηο [47] 9.ΓΙΑΓΡΑΜΜΑΣΑ LOEDEL Σν αλαιινίσην ηνπ δηαζηήκαηνο πνπ πξνέθπςε ζηελ παξάγξαθν 7, ζα εμαζθαιίζεη ηελ γεσκεηξηθή απεηθόληζε ελόο γεγνλόηνο ζε ρσξνρξνληθό δηάγξακκα. Αο δνύκε ηελ θαηαζθεπή ησλ δηαγξακκάησλ Loedel βήκα – βήκα. cT ct Ο σ ρ Υ Θεσξώληαο όηη ε ζρεηηθή θίλεζε ησλ δύν παξαηεξεηώλ γίλεηαη θαηά άμνλα ΟΥ κε Υ=0 όηαλ t=0 απνδίδνπκε ζηνλ παξαηεξεηή πνπ θηλείηαη ζηα ζεηηθά απηνύ ηνπ άμνλα κε ηαρύηεηα π, ην ρσξηθό άμνλα Οx ζε γσλία σ κε ηνλ ΟΥ όηαλ εκσ=π/c. Σόηε ν ΟΥ είλαη ν ρσξηθόο άμνλαο παξαηεξεηή πνπ θηλείηαη ζηα αξλεηηθά ηνπ Οx κε ηελ ίδηα ηαρύηεηα . Φέξλνπκε ηηο θάζεηεο (ζρήκα 6) ζην Ο ζηνπο δύν άμνλεο δει. Οct θάζεηα ζηνλ OX θαη ΟcΣ θάζεηα ζηνλ Οx νπόηε έρνπκε παξαηεξεηέο: ηνπο άμνλεο ηνπ ρξόλνπ o cT γηα ηνλ παξαηεξεηή γηα ηνπο Π ,ηνπ δύν ακβιπγσλίνπ ζπζηήκαηνο ( Υ, cT) πνπ θηλείηαη πξνο ηα αξλεηηθά ηνπ Οx θαη ν ct ηνπ παξαηεξεηή π ηνπ νμπγσλίνπ (x,ct) νη νπνίνη βξίζθνληαη ζε ζρεηηθή επζύγξακκε νκαιή θίλεζε θαηά ηνλ ΟX ή ηνλ Ox κε ζρεηηθή ηαρύηεηα π. Ζ θιίκαθα ησλ αμόλσλ είλαη ίδηα αλαιύζακε ζηελ ζπληεηαγκέλεο ηνπ πεξίπησζε ηνπ θιαζζηθνύ ρσξόρξνλνπ. Οη ηπρόληνο γεγνλόηνο Δ0, βξίζθνληαη παξάιιειεο πξνο ηνπο αληίζηνηρνπο άμνλεο όπσο ηελ θέξνληαο [48] cT ct Δ Γ Θ Γ Δ0 Δ1 σ Δ2 Ο Α Η Β x σ Ζ Ε Δίλαη ρΟΥ =σ Υ ΢ρήκα 6 Έηζη ζην (X, cT) είλαη νη ελδείμεηο ησλ Ε θαη Δ ελώ ζην (x,ct) ησλ Α θαη Γ. Ηζρύεη ΟΔ0 2 =ΟΒ2 +ΟΘ2 =ΟΖ2 +ΟΓ2 ή ΟΕ2 ζπλ2σ +ΟΓ2 ζπλ2σ =ΟΑ2ζπλ2σ + ΟΔ2 ζπλ2σ ή Υ2 ζπλ2σ +c2t2 ζπλ2σ =x2ζπλ2σ +c2T2 ζπλ2σ ή Υ -c T = x -c t …….(9.1) 2 2 2 2 2 2 Έηζη ηζρύεη ε δηαηήξεζε ηνπ δηαζηήκαηνο ζηα δύν ζπζηήκαηα ,δειαδή ε βαζηθή επηηαγή ηνπ ρσξόρξνλνπ. Ζ ζπγθεθξηκέλε [49] θαηαζθεπή ησλ αμόλσλ απέδσζε ην αλαιινίσην ηνπ δηαζηήκαηνο (interval) OE0 γηα δύν ηπρόληα ρσξνρξνληθά ζπζηήκαηα αλαθνξάο. Ζ ζρέζε εκσ=π/c θαίλεηαη θαζαξά: απ’ ην ηξίγσλν ΟΓΔ έρνπκε: εκσ= ΓΔ/ΟΔ=ΟΗ/ΟΔ=Υ/ cΣ=π/c. Θα νλνκάδεηαη θνζκηθό ζεκείν, έλα ζεκείν ζην ρώξν θάπνηα ρξνληθή ζηηγκή, δειαδή έλα ζύζηεκα ηηκώλ x, y, z, t . Δπίζεο ην ζύλνιν όισλ ησλ δπλαηώλ ηεηξάδσλ γηα ηα x, y, z, t ζα νξίδεη ηνλ θόζκν. Με ηελ θηκσιία ραξάδσ ζηνλ πίλαθα ηέζζεξηο θνζκηθνύο άμνλεο. Ήδε έλαο ηέηνηνο άμνλαο καο πξνζθέξεη άθζνλν πεδίν γηα αθαίξεζε αθνύ απνηειείηαη από κόξηα θηκσιίαο θαη επηπιένλ ηαμηδεύεη κε ηελ γε ζην δηάζηεκα. Ζ θάπσο κεγαιύηεξε αθαίξεζε πνπ ζπλδέεηαη κε ηνλ αξηζκό ηέζζεξα δελ ελνριεί ηνλ καζεκαηηθό. Δπίζεο θαληαδόκαζηε όηη παληνύ θαη πάληνηε ππάξρεη θάηη πνπ κπνξεί λα γίλεη αληηθείκελν ηεο εκπεηξίαο καο. Γηα λα απνθύγνπκε λα ιέκε <<ύιε>> ή <<ειεθηξηζκόο>> ζα ρξεζηκνπνηήζσ γη’ απηό ην θάηη ηελ ιέμε <<νπζία>>. Αο παξαηεξήζνπκε κηα ηέηνηα ζεκεηαθή νπζία πνπ βξίζθεηαη ζην θνζκηθό ζεκείν x, y, z, t θαη αο θαληαζηνύκε όηη κπνξνύκε λα ηελ εληνπίδνπκε θάζε ρξνληθή ζηηγκή. Έζησ επίζεο όηη ε ρσξηθέο κεηαβνιέο dx, dy, dz, ηεο ζεκεηαθήο νπζίαο αληηζηνηρνύλ ζε ρξνληθή dt. Σόηε πεηπραίλνπκε ζαλ κηα εηθόλα ηεο αηέιεησηεο δηαδξνκήο ηνπ ζεκείνπ απηνύ κηα θακπύιε ζηνλ θόζκν, κηα θνζκηθή γξακκή, ηα ζεκεία ηεο νπνίαο αληηζηνηρνύλ ζηηο ηηκέο ηνπ t από – έσο +. Οιόθιεξν ην ζύκπαλ θαίλεηαη λα αλαιύεηαη ζε παξόκνηεο θνζκηθέο γξακκέο θαη θαηά ηελ γλώκε κνπ ε ηειεηόηεξε έθθξαζε ησλ θπζηθώλ λόκσλ ζα ήηαλ ε εύξεζε ησλ ακνηβαίσλ ζρέζεσλ κεηαμύ ησλ θνζκηθώλ απηώλ γξακκώλ. ….Minkowski ΢ην δηάγξακκα Loedel κηα επζεία θνζκηθή γξακκή παξηζηάλεη έλα ζώκα πνπ θηλείηαη ζπγθξίλνληαο δηάθνξα κε ζηαζεξή ηαρύηεηα γεγνλόηα πάλσ ζηελ , θη’ απηό θνζκηθή γηαηί γξακκή έρνπκε όηη ίζα ρσξηθά δηαζηήκαηα αληηζηνηρνύλ ζε ίζα ρξνληθά δηαζηήκαηα. Αλ ε θιίζε κηαο θνζκηθήο γξακκήο κεηαβάιιεηαη ζ’ έλα ζεκείν από κηα ζηαζεξή ηηκή ζε κηα άιιε ηόηε ην ζώκα κεηαβάιιεη ηελ ηαρύηεηά ηνπ από κηα ζηαζεξή ηηκή ζε κηα άιιε. Αλ ε θνζκηθή γξακκή ηειεηώλεη, ην ζώκα εμαθαλίδεηαη. Αλ ε θνζκηθή γξακκή είλαη παξάιιειε πξνο θάπνηνλ άμνλα ηνπ ρξόλνπ ηόηε ην ζώκα είλαη αθίλεην γηα ηνλ αληίζηνηρν παξαηεξεηή. Γύν γεγνλόηα πάλσ ζ’ απηήλ ζπκβαίλνπλ ζην ίδην ζεκείν ηνπ ρώξνπ γηα ηνλ αληίζηνηρν παξαηεξεηή αιιά ζε δηαθνξεηηθέο ρξνληθέο ζηηγκέο. [50] Ζ θνζκηθή γξακκή κηαο θσηεηλήο αθηίλαο πνπ μεθηλάεη απ’ ηελ αξρή Ο δηρνηόκνο θαη θηλείηαη πξνο ηα δεμηά ηνπ ΟΥ, είλαη ε θνηλή ησλ γσληώλ ζρεκαηηδόκελνπο ξόκβνπο όηη ζε θάζε ζύζηεκα ΥΟcT , xOct αθνύ απ’ ηνπο θαη ηηο θιίκαθεο ησλ αμόλσλ πξνθύπηεη ε απόζηαζε πνπ δηαλύεηαη δηα ηνπ αληηζηνίρνπ ρξόλνπ είλαη c. Αλ ε θσηεηλή αθηίλα θηλείηαη πξνο ηα αξλεηηθά ηνπ Υ ηόηε ε θνζκηθή ηεο γξακκή είλαη ε θνηλή δηρνηόκνο ησλ πξνεθηάζεσλ ησλ αμόλσλ. ΢ην ζρήκα 6, ε ΟΔ0 είλαη ε θνζκηθή γξακκή ηεο θσηεηλήο αθηίλαο όηαλ ε ΟΔ0 είλαη ε θνηλή δηρνηόκνο. Δίλαη πξνθαλέο όηη s2OΔo =0. Eπίζεο θαίλεηαη θαζαξά απ’ ην ζρήκα 6 όηη ε θνζκηθή γξακκή ΟΔ1 αλαθέξεηαη ζε ζώκα πνπ θηλείηαη πξνο ηα δεμηά (δειαδή πάλσ ζηνλ ΟΥ) κε ηαρύηεηα κηθξόηεξε ηεο ηαρύηεηαο ηνπ θσηόο (ζε θάζε ζύζηεκα). Ζ ρσξηθή απόζηαζε ησλ Ο θαη Δ1 (ηεηκεκέλε ηνπ Δ1) είλαη κηθξόηεξε απ’ απηήλ πνπ δηαλύεη ην θσο ζε ρξόλν ίζν κε ηελ ρξνληθή ηνπο απόζηαζε (x< ct  x2<c2t2  x2 -c2 t2<0 s2 <0) θαη ην δηάζηεκα πνπ ηα ζπλδέεη νλνκάδεηαη ρξνλνεηδέο ή ηα Ο θαη Δ1 δηαρσξίδνληαη ρξνλνεηδώο. Αληίζεηα γηα ηελ γξακκή ΟΔ2 είλαη s2OE2 >0 θαη ην αληίζηνηρν δηάζηεκα νλνκάδεηαη ρσξνεηδέο. ΢’ απηό, ην ρσξηθό δηάζηεκα είλαη κεγαιύηεξν απ’ απηό πνπ δηαλύεη ην θσο ζε ρξόλν ίζν κε ηελ ρξνληθή απόζηαζε ησλ ζεκείσλ. Πξνθαλώο ε ΟΔ2 δελ κπνξεί λα αλαθέξεηαη ζε πιηθό ζώκα γηαηί ζα ην ππνρξέσλε λα θηλεζεί πην γξήγνξα απ’ ην θσο. Γεληθόηεξα ιέκε όηη δελ ππάξρεη θπζηθή δηαδηθαζία πνπ λα ζπλδέεη ηα Ο θαη Δ2. Σν ραξαθηεξηζηηθό ηνπ ρξνλνεηδνύο δηαζηήκαηνο είλαη όηη δελ ππάξρεη ζύζηεκα αλαθνξάο (δεύγνο αμόλσλ ζην δηάγξακκα) Loedel ζην νπνίν ηα γεγνλόηα Ο θαη Δ1 λα ζπκβαίλνπλ ζπγρξόλσο, ελώ αληίζεηα ππάξρεη ζύζηεκα ζην νπνίν ε ρσξηθή ηνπο απόζηαζε είλαη δπλαηόλ λα κεδεληζηεί (πρ ην ζύζηεκα κε ρξνληθό άμνλα ηνλ ΟΔ1). Ο κεδεληζκόο όκσο ηεο ρξνληθήο ηνπο απόζηαζεο γηα [51] θάπνην ζύζηεκα (x, ct) ζα ππνρξέσλε ηελ ΟΔ1 λα ηαπηηζηεί κε ηνλ Ox πξάγκα πνπ γεσκεηξηθά είλαη αδύλαην (γηαηί;) Αθόκα ε ρξνληθή δηαδνρή ησλ Ο θαη Δ1 είλαη απόιπηε, δειαδή ε ίδηα γηα όινπο ηνπο παξαηεξεηέο, αθνύ πάληα ε ηεηαγκέλεο ηνπ Δ1 βξίζθνληαη ζηα ζεηηθά ησλ αληίζηνηρσλ αμόλσλ. Σα αληίζεηα αθξηβώο ηζρύνπλ γηα ηα ρσξνεηδή δηαζηήκαηα. Γηαιέγνληαο θαηάιιειν ζύζηεκα αμόλσλ είλαη δπλαηόλ λα κεδελίζνπκε ηε ρξνληθή απόζηαζε ησλ άθξσλ ηνπο αιιά πνηέ ηε ρσξηθή, θαη ε ρξνληθή δηαδνρή ησλ Ο θαη Δ2 είλαη ζρεηηθή (ζε θάπνην ζύζηεκα αμόλσλ ην Ο ζπκβαίλεη πξηλ ην Δ1 θαη ζε θάπνην άιιν αληίζηξνθα). Αο επηκείλνπκε ιίγν ζηελ θπζηθή εξκελεία ηνπ δηαγξάκκαηνο Loedel. Γύν παξαηεξεηέο πνπ θηλνύληαη νκαιά πάλσ ζηελ ίδηα επζεία, κε ζρεηηθή ηαρύηεηα π θαη πνπ ζηελ αξρή ηνπ ρξόλνπ (t=0) βξίζθνληαη ζηελ αξρή ηνπ άμνλα (x=0) παξαηεξνύλ ηα ίδηα αθξηβώο πξάγκαηα: Ο θαζέλαο βιέπεη ηνλ άιιν λα απνκαθξύλεηαη ή λα πιεζηάδεη. Ο θαζέλαο ινηπόλ ζεσξεί ηνλ εαπηό ηνπ αθίλεην σο πξνο ηνλ άμνλα ΟΥ ηνλ νπνίν απνδίδεη ζηνλ εαπηό ηνπ θαη ηνλ άιιν θηλνύκελν θαηά ηα ζεηηθά απηνύ ηνπ ΟΥ ζηνλ νπνίν απνδίδεη ηνλ άμνλα Ορ κε ηε γλσζηή γσλία. Γειαδή πάληα ν έλαο απνδίδεη ζηνλ άιιν ηνλ Ορ θαη ζηε ζπλέρεηα θαηαζθεπάδεη ηνπο ρξνληθνύο άμνλεο. Ζ εηθόλα γίλεηαη έηζη απόιπηα ζπκκεηξηθή. Μηα θπζηθή εηθόλα πνπ δηαγξακκάησλ είλαη ε παξαθάησ: ζα καο δείμεη ηε ρξήζε ησλ [52] Έζησ έλα θηλνύκελν ηξαίλν ζε επζύγξακκε ηξνρηά κε ηαρύηεηα π πνπ ηε ζηηγκή t=0 βξίζθεηαη κπξνζηά ζηνλ ζηαζκό Ο. Ο παξαηεξεηήο ρξεζηκνπνηεί ηνπ έλα ηξαίλνπ ζύζηεκα αμόλσλ ζηεξεσκέλν πάλσ ζην ηξαίλν θαη ν παξαηεξεηήο ηνπ ζηαζκνύ ην δηθό ηνπ ζύζηεκα αθίλεην ζε ζηαζκό πνπ ζρέζε νη κε αξρέο ηνλ ησλ αμόλσλ ηνπο ζπκπίπηνπλ γηα t=0. Ζ θίλεζε ηνπ ηξαίλνπ γίλεηαη θαηά ηελ θνηλή επζεία ησλ αμόλσλ ΟΥ θαη Ορ. Θεσξνύκε δύν γεγνλόηα Δ1 θαη Δ2 πνπ ζπκβαίλνπλ ζην ίδην ζεκείν κέζα ζην ηξαίλν π.ρ ε αξρή θαη ην ηέινο ελόο γεύκαηνο. Πσο ζα πεξηγξαθεί ε πξαγκαηηθόηεηα απ’ ηνλ παξαηεξεηή ηνπ ζηαζκνύ; ΢ύκθσλα κε ηα πξνεγνύκελα απηόο ζα απνδώζεη ζηνλ παξαηεξεηή ηνπ ηξαίλνπ ηνλ άμνλα Οx ζε γλσζηή γσλία σ θαη ζηνλ εαπηό ηνπ ηνλ ΟΥ. Σα γεγνλόηα Δ1 θαη Δ2 ζπκβαίλνπλ ζην ίδην ζεκείν ηνπ (x, ct) αθνύ ρ1=ρ2 αιιά ζε δηαθνξεηηθέο ζηηγκέο ct1, ct2 (ζρ. 7), όκσο ζε δηαθνξεηηθά ζεκεία Υ1, Υ2 ηνπ (X,cT) ηηο ζηηγκέο cΣ1,cT2. Απηό είλαη ην δηάγξακκα Loedel ηνπ Π, δειαδή ε γεσκεηξηθή εηθόλα ηεο πξαγκαηηθόηεηαο όπσο ηελ πεξηγξάθεη ν παξαηεξεηήο ηνπ ζηαζκνύ. Πσο όκσο ζα πεξηγξάθεη ν παξαηεξεηήο ηνπ ηξαίλνπ ηελ ίδηα πξαγκαηηθόηεηα;( ν παξαηεξεηήο π); Απηόο βεβαίσο ζα απνδίδεη ζηνλ εαπηό ηνπ ηνλ ΟΥ σο πξνο ηα ζεηηθά ηνπ νπνίνπ θηλείηαη ν ζηαζκόο (ζρ. 8) (ην άιιν ζύζηεκα). Έηζη κειεηάεη ηνλ θόζκν κέζα απ’ ην ίδην γεσκεηξηθό ζρήκα κε ηνλ παξαηεξεηή ηνπ [53] ζηαζκνύ, όκσο ηώξα ε πξαγκαηηθόηεηα απνδίδεηαη δηαθνξεηηθά: ηα δύν γεγνλόηα πνπ ζπκβαίλνπλ κέζα ζην ηξαίλν (ζην ίδην ζεκείν ηνπ), ηώξα Υ1=Υ2, ζα ζπλδένληαη κε κία παξάιιειε ηεο ΟcT, αθνύ ζα έρνπλ ίδηα ηεηκεκέλε σο πξνο ην ΥcT θαη δηαθνξεηηθέο γηα ηνλ παξαηεξεηή ηνπ (x,ct). Παξαηεξνύκε όηη ζε θάζε πεξίπησζε ην ακβιπγώλην ζύζηεκα αλαθέξεηαη ζηνλ παξαηεξεηή Π πνπ είλαη αθίλεηνο σο πξνο απηό θαη ην νμπγώλην ζηνλ π ηνλ θηλνύκελν σο πξνο ην αξρηθό ακβιπγώλην. Σώξα ην δηάγξακκα είλαη ην δηάγξακκα ηνπ παξαηεξεηή Π. Όκσο ν Π κπνξεί λα είλαη ν νπνηνζδήπνηε, είηε ν ζηαζκόο, είηε ην ηξαίλν. Σειηθά πνηα απ’ ηηο δύν πεξηγξαθέο είλαη ε ζσζηή; Πνηνο παξαηεξεηήο είλαη πην αμηόπηζηνο; Δίλαη βέβαην όηη δελ ππάξρεη πξνλνκηνύρνο παξαηεξεηήο. Οη απόςεηο ηνπο είλαη ηζνδύλακεο. ΋ηαλ όκσο επηιέμνπκε ην δηάγξακκα ηνπ παξαηεξεηή ηνπ ζηαζκνύ (ζρ. 7) ηόηε όιεο καο νη αλαθνξέο γίλνληαη εμ‟ νλόκαηόο ηνπ. Πρ γηα ηνλ παξαηεξεηή ηνπ ζηαζκνύ ε αξρή ηνπ γεύκαηνο έγηλε ζην ζεκείν Υ1 ηνπ ζηαζκνύ, θαη ζην ζεκείν ρ1 ηνπ ηξαίλνπ. Ο παξαηεξεηήο ηνπ ζηαζκνύ ζεκεηώλεη όηη ην ηέινο ηνπ γεύκαηνο έγηλε ηελ ζηηγκή ct2 ηνπ παξαηεξεηή ηνπ ηξαίλνπ, ν παξαηεξεηήο ηνπ ζηαζκνύ ζπκπεξαίλεη όηη ε δηάξθεηα ηνπ γεύκαηνο είλαη ct2-ct1 γηα ηνλ παξαηεξεηή ηνπ ηξαίλνπ ελώ γηα ηνλ ίδην είλαη cT2-cT1. Η πξαγκαηηθόηεηα απνδίδεηαη απ‟ ηνλ παξαηεξεηή ηνπ ζηαζκνύ πνπ είλαη αθίλεηνο σο πξνο ην (X,c T) θαη νη κεηξήζεηο πνπ απνδίδνληαη [54] ζηνπο άμνλεο ηνπ παξαηεξεηή ηνπ ηξαίλνπ είλαη δηαπηζηώζεηο πάληα ηνπ παξαηεξεηή ηνπ ζηαζκνύ. Αληίζηνηρα ν παξαηεξεηήο ηνπ ηξαίλνπ , βιέπνληαο ην δηθό ηνπ δηάγξακκα (ζρήκα 8) απνδίδεη ηε δηθή ηνπ πξαγκαηηθόηεηα πνπ είλαη ηζνδύλακε κε ηελ πξνεγνύκε ΜΔΡΟ΢ ΣΔΣΑΡΣΟ: ΢ΤΝΔΠΔΗΔ΢ Η ζςεηικόηηηα ηξρ ηαρηόςοξμξρ και ηξρ ςώοξρ Οι ζςέζειπ αιηιόηηηαπ Η διαζηξλή ηξρ ςοόμξρ Η ζρζηξλή ηξρ μήκξρπ Ποόζθεζη ηαςρηήηωμ Αμαλξίωηεπ ρπεοβξλέπ Μεηαζςημαηιζμξί Lorentz 10.H ΢XETIKOTHTA ΣΟΤ ΣΑΤΣΟΥΡΟΝΟΤ. ΢ην δηάγξακκα Loedel –πνπ είλαη κηα ζπλέπεηα ηνπ αλαιινίσηνπ ηνπ δηαζηήκαηνο- βιέπνπκε όηη θάζε παξαηεξεηήο ρξεζηκνπνηεί δηαθνξεηηθνύο άμνλεο γηα ηηο ρσξηθέο θαη ρξνληθέο ηνπ κεηξήζεηο. Οη δηεπζύλζεηο ηνπο ζην ρσξνρξνληθό δηάγξακκα είλαη δηαθνξεηηθέο. Η ζηξνθή ησλ αμόλσλ ζηνλ ρσξόρξνλν κε ηελ νπνία ν Minkowski εξκήλεπζε γεσκεηξηθά ην πέξαζκα από ην έλα Γαιηιαητθό ζύζηεκα ζην άιιν , ζηε γεσκεηξία Loedel ζπκβαίλεη σο εμήο: νη δύν άμνλεο ηνπ ακβιπγσλίνπ (X, c T ) ζηξέθνληαη πξνο ην εζσηεξηθό ηεο ακβιείαο γσλίαο θαηά σ, θαη δίλνπλ ηνπο άμνλεο ηνπ (x, ct). Η ζηξνθή απηή δηαηζζεηηθά ζηξνθή καο μελίδεη. ησλ αμόλσλ Δίλαη δηαθνξεηηθή ζηνλ Δπθιείδεην απ‟ ρώξν, ηε γλσζηή όκσο ηώξα [55] δηεξεπλνύκε ηνλ ςεπδν--Δπθιείδεην ρώξν κε ζύζηεκα αμόλσλ Loedel. Η δηαίζζεζή καο πξέπεη λα πξνζαξκνζηεί θαηάιιεια . Ζ πξώηε κεγάιε ζπλέπεηα ηεο ζηξνθήο απηήο ησλ αμόλσλ είλαη όηη ην ηαπηόρξνλν δύν ζεκαζία ηνπ. Γπν γεγνλόηα, ζπκβάλησλ ράλεη ηελ απόιπηε ηα Δ1, Δ2 πνπ είλαη ηαπηόρξνλα γηα ηνλ παξαηεξεηή ηνπ (X, c T) (c T1 =c T2=0) δελ είλαη ηαπηόρξνλα γηα ηνλ παξαηεξεηή ηνπ (x, ct) όπσο θαίλεηαη απ’ ην ζρήκα 9. Γη’ απηόλ ηα γεγνλόηα ζπκβαίλνπλ ζε ρξόλνπο ct1 ct2. Δπίζεο απ’ ην ίδην ζρήκα θαηαιαβαίλνπκε όηη ην δηάζηεκα Δ1Δ2 είλαη ρσξνεηδέο (απ’ ηελ δηεύζπλζε ηνπ ηκήκαηνο Δ1Δ2). Αλ ην ακβιπγώλην ζύζηεκα είλαη γηα ην γήηλν παξαηεξεηή Π θαη ην νμπγώλην γηα ηνλ παξαηεξεηή π ζε αεξνπιάλν, ε ηαπηόρξνλε έλαξμε πνδνζθαηξηθώλ αγώλσλ γήηλα ξνιόγηα δύν κε δελ ηα είλαη ηαπηόρξνλε γηα ηνλ παξαηεξεηή ηνπ αεξνπιάλνπ. Αιιά θαη αληίζηξνθα ε ηαπηόρξνλε έλαξμε γηα ηνλ π δύν παξηίδσλ ζθάθη ζε δηαθνξεηηθά ζεκεία ηνπ αεξνπιάλνπ, (ηα Κ1 Κ2) δελ είλαη ηαπηόρξνλε γηα ηνλ παξαηεξεηή ζηε γε ( c T1 c T2). Έηζη απιά κέζα από ηε ζρεηηθόηεηα ηνπ ηαπηόρξνλνπ ε γεσκεηξία Loedel παξήγαγε κηα πξόηαζε κεγάιεο θπζηθήο ζεκαζίαο: o γλσζηόο καο ρώξνο δελ κπνξεί λα νξηζηεί θαηά κνλαδηθό ηξόπν, αθνύ δηαθνξεηηθνί παξαηεξεηέο νξίδνπλ ζαλ ηαπηόρξνλν δηαθνξεηηθέο νκάδεο γεγνλόησλ. Κάζε δηεύζπλζε ζην δηάγξακκα Loedel είλαη θαη έλαο δηαθνξεηηθόο ρώξνο. Έηζη ελώ γηα ηα Δ1 Δ2 ν παξαηεξεηήο Π νξίδεη ηελ απόζηαζε ζαλ s2=x2+y2+z2 (γηα ηηο ηξεηο δηαζηάζεηο) αθνύ t=0 δειαδή ηελ γλσζηή Δπθιείδεηα απόζηαζε , ν π δελ κπνξεί λα ηελ εθθξάζεη κόλν κε ρσξηθέο ζπληεηαγκέλεο, αθνύ γη’ απηόλ δελ είλαη ηαπηόρξνλα, αιιά κεηξάεη s2=x2+y2+z2-c2t2. Δίλαη όπσο ηα γλσζηά γεγνλόηα, ζήκεξα ζηελ Αζήλα ,αύξην ζηε Θεζζαινλίθε. [56] Γειαδή γηα ηνλ Π ηα Δ1 Δ2 είλαη ζεκεία ηνπ «ρώξνπ» ηνπ ηα γλσζηά Δπθιείδεηα ζεκεία ελώ γηα ηνλ π,δελ είλαη. Γηα ην έλα ν ρώξνο είλαη ν ΟΥ ελώ γηα ηνλ άιιν ν Ορ. Οη δύν άμνλεο δελ είλαη ηζνδύλακνη όπσο ζηελ Δπθιείδεηα πεξίπησζε. Δθεί νη δύν άμνλεο όξηδαλ ηαπηόρξνλα γεγνλόηα, γηα όινπο ν ρξόλνο ήηαλ ίδηνο γη απηνύο ηώξα όκσο όρη. Έηζη θαηαλννύκε ηελ έλλνηα ηνπ ζρεηηθνύ ρώξνπ θαη κηινύκε γηα ην ρώξν ηνπ παξαηεξεηή. Ο θάζε παξαηεξεηήο εξεπλά ην ρώξν ηνπ κε ηελ Δπθιείδεηα γεσκεηξία θαη ηα πνξίζκαηά ηνπ είλαη ζσζηά γη’ απηόλ. Σν ηκήκα ηνπ επίπεδνπ ρσξόρξνλνπ κε t=0 είλαη Δπθιείδεην. ΢ην ζεκείν απηό πξέπεη λα μεθαζαξίζνπκε όηη ε ζρεηηθόηεηα ηνπ ηαπηόρξνλνπ ηζρύεη γηα γεγνλόηα πνπ ζπκβαίλνπλ ζε δηαθνξεηηθέο ζέζεηο θη όρη γηα γεγνλόηα πνπ ηαπηίδνληαη ρσξηθά θαη ρξνληθά ζε θάπνην ζύζηεκα(ζύκπησζε γεγνλόησλ). ΢’ απηήλ ηελ πεξίπησζε ε απόζηαζή ηνπο ζ’ απηό ην ζύζηεκα ζα είλαη s2=0, ε ίδηα θαη ζε νπνηνδήπνηε άιιν ρσξίο λα ηα ζπλδέεη ζε θαλέλα κηα θσηεηλή αθηίλα, πξάγκα πνπ ζα ζπλέβαηλε ζ’ όια ηα ζπζηήκαηα, άξα ζα έρνπκε ζύκπησζε γεγνλόησλ ζ’ όια ηα ζπζηήκαηα. Μηα θπζηθή εηθόλα ηεο ζύκπησζεο γεγνλόησλ είλαη ε ζύγθξνπζε δύν απηνθηλήησλ, όπνπ έρνπκε δύν ζώκαηα πνπ βξίζθνληαη ηελ ίδηα ρξνληθή ζηηγκή ζην ίδην ζεκείν ηνπ δξόκνπ, δειαδή ν παξαηεξεηήο ηνπ δξόκνπ είλαη κάξηπξαο ελόο δπζηπρήκαηνο, ζεκεηώλνληαο ζην ζύζηεκά ηνπ κηα ζύκπησζε γεγνλόησλ. Απηή είλαη ε αηηία πνπ θαη ν παξαηεξεηήο ηνπ δηεξρόκελνπ ηξαίλνπ παξαηεξεί ην ίδην δπζηύρεκα, γηαηί έλα δπζηύρεκα πνπ ζπκβαίλεη γηα θάπνηνλ θαη δελ ζπκβαίλεη γηα θάπνηνλ άιιν θαηαξγεί ηελ ίδηα ηελ επηζηήκε πνπ ην θαηαγξάθεη. ΢ηνλ θόζκν ηνπ ρσξόρξνλνπ ππάξρνπλ θαη θαηαζηάζεηο πνπ είλαη απόιπηεο θαη έλα ηέηνην απόιπην είλαη ε ζύκπησζε ησλ γεγνλόησλ. 11. ΢ΥΔ΢ΔΙ΢ ΑΙΣΙΟΣΗΣΑ΢ Με αθνξκή ηε ζρεηηθόηεηα ηνπ ηαπηόρξνλνπ ζα αλαθεξζνύκε ζηηο ζρέζεηο αηηηόηεηαο (αηηίαο-απνηειέζκαηνο) πνπ κπνξνύλ λα ηζρύνπλ ή λα κελ ηζρύνπλ αλάκεζα ζε δύν γεγνλόηα. ΋ηαλ ηα γεγνλόηα [57] Δ1 Δ2 ηνπ ζρήκαηνο 9 κπνξνύλ λα είλαη ηαπηόρξνλα γηα έλαλ παξαηεξεηή άξαγε ζα κπνξνύλ λα ζπλδένληαη κε ζρέζεηο αηηηόηεηαο; ζα κπνξεί δειαδή ην έλα λα επεξεάδεη ή λα επεξεάδεηαη απ’ ην άιιν; Δίλαη θαλεξό όηη ην δήηεκα ησλ αηηηαηώλ ζρέζεσλ ζπλδέεηαη κε ηελ ρξνληθή δηαδνρή ησλ γεγνλόησλ. Ζ δηαίξεζε ησλ δηαζηεκάησλ πνπ ζπλδένπλ δύν γεγνλόηα ζε ρξνλνεηδή θαη ρσξνεηδή έρεη ζαλ ζπκπέξαζκα, ηα γεγνλόηα λα ρσξίδνληαη ζε απηά πνπ ε ρξνληθή ζεηξά πξαγκαηνπνίεζήο ηνπο είλαη απόιπηε (ρξνλνεηδή δηαζηήκαηα) θαη ζηα άιια πνπ ε ρξνληθή ηνπο δηαδνρή είλαη αθαζόξηζηε(ζρεηηθή). Αλ έλαο παξαηεξεηήο ηζρπξίδεηαη όηη ην Α πξνεγείηαη ηνπ Β, ελώ έλαο άιινο όηη ην Β πξνεγείηαη ηνπ Α είλαη θαλεξό όηη αλ ππάξρνπλ ζρέζεηο αηηηόηεηαο κεηαμύ ηνπο απηέο ζα αληηζηξέθνληαη , γηα θάπνηνλ δειαδή παξαηεξεηή ε αηηία ζα γίλεηαη απνηέιεζκα θαη αληίζηξνθα. Σν ράνο ζα ήηαλ νινθιεξσηηθό. Απ’ ηελ άιιε όκσο νη αξρέο ηεο ζρεηηθόηεηαο δηδάζθνπλ όηη δελ ππάξρεη επίδξαζε πνπ λα κπνξεί λα δηαδνζεί κε ηαρύηεηα κεγαιύηεξε απ’ ην θσο. ΋ηαλ ινηπόλ ε ρσξηθή απόζηαζε δύν γεγνλόησλ είλαη κεγαιύηεξε απ’ απηήλ πνπ δηαλύεη ην θσο ζε ρξόλν ίζν κε ηελ ρξνληθή ηνπο απόζηαζε (ρσξνεηδέο δηάζηεκα) ηόηε δελ είλαη δπλαηόλ λα ππάξρνπλ ζρέζεηο αηηηόηεηαο κεηαμύ ηνπο αθνύ θακηά επίδξαζε δελ είλαη δπλαηόλ λα ηα ζπλδέζεη. Απηό ζπκβαίλεη γηα ηα γεγνλόηα Δ 1 θαη Δ2 ηνπ ζρήκαηνο 8. Αληίζεηα όηαλ δύν γεγνλόηα ζπλδένληαη κε ζρέζεηο αηηίαο – απνηειέζκαηνο , ζίγνπξα ηόηε είλαη ηα άθξα ελόο ρξνλνεηδνύο δηαζηήκαηνο γηαηί αθνύ ηα ζπλδέεη θάπνηα επίδξαζε κε ηαρύηεηα π κηθξόηεξε ηνπ θσηόο είλαη π=ρ/t <c .Σόηε ε ρξνληθή ηνπο δηαδνρή ζα είλαη ίδηα γηα όινπο ηνπο παξαηεξεηέο , όρη όκσο γηαηί ππάξρνπλ νη ζρέζεηο αηηηόηεηαο: ε αληηζηξεςηκόηεηα ή κε ηνπ ρξόλνπ νθείιεηαη θαζαξά ζηε ρσξνρξνληθή απόζηαζε ησλ γεγνλόησλ. ΋ζν γηα ηηο ζρέζεηο αηηηόηεηαο απηέο κπνξνύλ λα ππάξρνπλ ή όρη. Ζ αλαθνξά ζ’ απηέο γίλεηαη γηα λα θαλεί όηη ζηε ζρεηηθόηεηα δελ ππάξρεη ηίπνηα πνπ λα καο νδεγεί ζε αληηζηξνθή αηηίαο-απνηειέζκαηνο. Αλ θαη ην [58] ηαπηόρξνλν είλαη ζρεηηθό θαη ε ρξνληθή δηαδνρή δύν γεγνλόησλ κπνξεί λα κεηαβάιιεηαη, δελ ππάξρεη πεξίπησζε ην απνηέιεζκα λα θαλεί ζαλ αηηία θαη ην αληίζηξνθν, γηαηί δύν ηέηνηα γεγνλόηα δελ κπνξνύλ λα ζπλδένληαη κε αηηηαηέο ζρέζεηο. Ση ζπλέβαηλε ζηελ θιαζζηθή ζεσξία; εθεί ιόγσ ηεο πεπνίζεζεο ηεο δηάδνζεο ησλ πηζαλώλ επηδξάζεσλ κε άπεηξε ηαρύηεηα δύν νπνηαδήπνηε γεγνλόηα ζην ρώξν ζα κπνξνύζαλ λα ζπλδένληαη κε αηηηαηέο ζρέζεηο αλεμάξηεηα από ηε ρσξηθή ή ηε ρξνληθή ηνπο απόζηαζε. Σν όξην όκσο ηεο ηαρύηεηαο θάζε επίδξαζεο , καο ππνδεηθλύεη ηηο πεξηπηώζεηο ησλ πηζαλώλ αηηηαηώλ ζρέζεσλ. Έηζη γεγνλόηα κε κεγάιε ρσξηθή ή κε πνιύ κηθξή ρξνληθή απόζηαζε νξίδνπλ έλα ρσξνεηδέο δηάζηεκα θαη είλαη ηειείσο απνκνλσκέλα κεηαμύ ηνπο. 12. Η ΓΙΑ΢ΣΟΛΗ ΣΟΤ ΥΡΟΝΟΤ Σν ρξνληθό δηάζηεκα κεηαμύ δύν γεγνλόησλ πνπ ζπκβαίλνπλ ζην ίδην ζεκείν ηνπ ρώξνπ γηα έλαλ παξαηεξεηή ιέγεηαη ηδην-ρξνληθό δηάζηεκα (Γct0) (ίδηνο ρξόλνο). Ο ρξόλνο πνπ κεηξάεη θάζε παξαηεξεηήο κε ην ξνιόη ηνπ είλαη ηδηνρξόλνο. Γηα θάπνηνλ άιινλ όκσο παξαηεξεηή πνπ θηλείηαη σο πξνο ηνλ πξώην ηα δύν γεγνλόηα δελ ζπκβαίλνπλ ζην ίδην ζεκείν ηνπ ρώξνπ ηνπ. Σν ρξνληθό δηάζηεκα κεηαμύ ησλ δύν κεηξηέηαη γεγνλόησλ απ’ ην όπσο δεύηεξν παξαηεξεηή δελ ηδηνρξνληθό δηάζηεκα είλαη (κε [59] ηδηνρξνληθό δηάζηεκα Γct). ΢ην ζρήκα 10 ηα Δ1 θαη Δ2 ζπκβαίλνπλ ζην ίδην ζεκείν ηνπ ρώξνπ ηνπ (x,ct). Ζ ρξνληθή ηνπο απόζηαζε γη’ απηόλ είλαη ν ίδηνο ρξόλνο ΑΒ=ΓΓ=Γ(ct0). Γηα ηνλ (X,c T) όκσο ε ρξνληθή ηνπο απόζηαζε είλαη ΓΔ=Γ(cΣ)= Γ (ct0)/ζπλα = Γ(ct0) /1-εκ2αθαη ηειηθά έρνπκε ηνλ γλσζηό ηύπν ηεο ζρεηηθόηεηαο Γt= Γt0 (1- π2 /c2)-1/2 Έζησ θνζκηθό ζεκείν Ρ(x, y, z, t) θαη αο θαληαζηνύκε ηελ θνζκηθή γξακκή θάπνηαο ζεκεηαθήο νπζίαο πνπ δηέξρεηαη απ’ ην Ρ , ηόηε ην κέηξν ηνπ ρξνλνεηδνύο δηαλύζκαηνο dx, dy, dz, dt θαηά κήθνο ηεο γξακκήο απηήο είλαη ζύκθσλα κε ηα παξαπάλσ ην dη =1/cc dt -dx -dy -dz . 2 2 2 2 2 Σν νινθιήξσκα dr=η απηήο ηεο πνζόηεηαο, θαηά κήθνο ηεο θνζκηθήο γξακκήο από θάπνην ζηαζεξό αξρηθό ζεκείν Ρ0 κέρξη ην κεηαβιεηό ηειηθό ζεκείν Ρ , νλνκάδεηαη ίδηνο ρξόλνο ηεο ζεκεηαθήο νπζίαο ζην Ρ……. Minkowski Γηα παξάδεηγκα, ε αξρή θαη ην ηέινο ελόο γεύκαηνο κέζα ζ’ έλα αεξνπιάλν ζε θίλεζε νξίδνπλ γηα ηνλ παξαηεξεηή ηνπ αεξνπιάλνπ έλα ηδηνρξνληθό δηάζηεκα πνπ κεηξάεη κε ην ξνιόη ηνπ γηαηί ε αξρή θαη ην ηέινο ηνπ γεύκαηνο ζπλέβεζαλ γη’ απηόλ ζην ίδην ζεκείν ηνπ ρώξνπ: ζηελ ηάδε ζέζε. Γηα έλαλ παξαηεξεηή όκσο ζην έδαθνο ε αξρή θαη ην ηέινο ηνπ γεύκαηνο ζπλέβεζαλ ζε δηαθνξεηηθέο πόιεηο, άξα ε ρξνληθή ηνπο απόζηαζε δελ είλαη γη’ απηόλ έλα ηδηνρξνληθό δηάζηεκα. Γηα λα κεηξήζνπκε έλα ηδηνρξνληθό δηάζηεκα ρξεηάδεηαη έλα κόλν ξνιόη, ελώ γηα έλα κε ηδηνρξνληθό είλαη αλαγθαία δύν ξνιόγηα αθίλεηα κεηαμύ ηνπο θαη ζπγρξνληζκέλα, ην έλα ζηελ αξρή θαη ην άιιν ζην ηέινο ηνπ δηαζηήκαηνο. ΢ην ζρήκα 11 ηα Δ1 θαη Δ2 ζπκβαίλνπλ ζην ίδην ζεκείν ηνπ ρώξνπ ηνπ ΥcΣ Ζ ρξνληθή ηνπ απόζηαζε απηόλ (ηδηνρξόλνο) γη είλαη ΑΒ=ΓΓ=Γ(cΣ0). Γηα ηνλ (ρ,ct) [60] όκσο ε ρξνληθή ηνπο απόζηαζε είλαη ε ΓΔ=Γ(ct) θαη είλαη Γ(c T0)= Γ(ct) ζπλα πνπ παξάγεη πάιη ηνλ ίδην ηύπν ηεο ζρεηηθόηεηαο Γt= Γt0 (1- π2 /c2)-1/2 Έηζη πξνθύπηεη όηη θάζε ηδηνρξνληθό δηάζηεκα είλαη κηθξόηεξν απ‟ ην αληίζηνηρν κε ηδηνρξνληθό. Μηα θπζηθή εηθόλα ηεο δηαζηνιήο ηνπ ρξόλνπ είλαη ε παξαθάησ: ζηε κειέηε ησλ θνζκηθώλ αθηίλσλ , δηάθνξα κεζόληα πνπ θηάλνπλ σο εκάο απ’ ηελ θνξπθή ηεο αηκόζθαηξαο είλαη ηόζν βξαρύβηα ώζηε θη αλ αθόκα ηαμίδεπαλ κε ηελ ηαρύηεηα ηνπ θσηόο ν ρξόλνο ηνπ ηαμηδηνύ ηνπο ζα ήηαλ δεθαπιάζηνο απ’ ην ρξόλν δσήο ηνπο , κε απνηέιεζκα λα κελ ηα παξαηεξήζνπκε πνηέ. Σν γεγνλόο όηη θηάλνπλ σο εκάο νθείιεηαη ζην όηη νη κεγάιεο ηνπο ηαρύηεηεο «ηα θξαηνύλ λέα» , δελ γεξλνύλ δειαδή κέζσ ηεο δηαζηνιήο ηνπ ρξόλνπ: γηα καο, ε δσή ηνπο θπιάεη αξγά. Σα ξνιόγηα ινηπόλ ηνπ (x,ct) ζύκθσλα κε ηνλ (X, c T) ιεηηνπξγνύλ κε αξγόηεξν ξπζκό απ’ ηα δηθά ηνπ. Έηζη ππνζηεξίδεη ν (X, c T). Άξαγε δελ ζα έπξεπε θαηά ηνλ παξαηεξεηή (x,ct) ηα ξνιόγηα ηνπ (X,c T) λα ιεηηνπξγνύλ ηαρύηεξα απ’ ηα δηθά ηνπ; Αλ πξάγκαηη ζπκβαίλεη απηό, θαηαξγείηαη ε αξρή ηεο ζρεηηθόηεηαο ζύκθσλα κε ηελ νπνία νη απόςεηο ησλ δύν παξαηεξεηώλ είλαη ηζνδύλακεο ρσξίο λα πξνηηκάηαη θαλέλαο. Να ινηπόλ έλα παξάδνμν πνπ όπσο όια ηα παξάδνμα ζηε ζρεηηθόηεηα είλαη ζέκα εζθαικέλεο εξκελείαο. Σα ζρήκαηα 10 θαη 11 είλαη δηαγξάκκαηα ηνπ (X,c T) κε ηα αληίζηνηρα ζπκπεξάζκαηα γη απηόλ. Αλ ζέινπκε λα δνύκε ηα ζπκπεξάζκαηα ηνπ άιινπ παξαηεξεηή πξέπεη λα θαηαζθεπάζνπκε ηα δηαγξάκκαηα ηνπ άιινπ όπσο θάλακε ζηα ζρήκαηα 7 θαη 8 . Σόηε πξνθύπηεη ε ίδηα αθξηβώο εηθόλα : ν ρξόλνο πνπ κεηξάεη ν θάζε παξαηεξεηήο κε ην αθίλεην ξνιόη ηνπ είλαη κηθξόηεξνο απ’ ην ρξόλν θάζε άιινπ παξαηεξεηή πνπ θηλείηαη σο πξνο απηόλ θαη πνπ αλαθέξεηαη ζηα ίδηα γεγνλόηα. [61] 13. Η ΢Τ΢ΣΟΛΗ ΣΟΤ ΜΗΚΟΤ΢ Έλα κήθνο πνπ κεηξηέηαη από παξαηεξεηή σο πξνο ηνλ νπνίν απηό ην κήθνο είλαη αθίλεην ιέγεηαη ηδην-κήθνο θη ζα ζπκβνιίδεηαη κε L0. ΋ηαλ όκσο απηό κεηξηέηαη από παξαηεξεηή σο πξνο ηνλ νπνίν θηλείηαη ζα νλνκάδεηαη κε-ηδηνκήθνο θαη ζα ζπκβνιίδεηαη κε L. Σν γεγνλόο –όπσο ζα απνδεηρηεί γεσκεηξηθά- όηη ην L είλαη κηθξόηεξν ηνπ L0 ζηελ πεξίπησζε πνπ θαη ηα δύν κεηξηνύληαη θαηά ηελ δηεύζπλζε ηεο ζρεηηθήο θίλεζεο ησλ παξαηεξεηώλ, νλνκάδεηαη ζπζηνιή (ηνπ κήθνπο) Fitzerald θαη είλαη αλάινγν κε ηελ δηαζηνιή ηνπ ρξόλνπ. Οη κεηξήζεηο ηνπ κήθνπο ζε θάζε πεξίπησζε γίλνληαη κε ηαπηόρξνλεο παξαηεξήζεηο ησλ ζέζεσλ ησλ άθξσλ ηνπ κήθνπο γηα θάζε παξαηεξεηή. Απηό γεσκεηξηθά ηζνδπλακεί κε ηελ ηνκή ησλ θνζκηθώλ γξακκώλ ησλ άθξσλ ηνπ κήθνπο κε ηνλ ρσξηθό άμνλα ηνπ θάζε παξαηεξεηή. Έηζη ζην ζρήκα 12 (δηάγξακκα ηνπ (X,c T)) ν ράξαθαο ΑΒ είλαη αθίλεηνο ζην (x,ct), άξα ηα άθξα ηνπ έρνπλ θνζκηθέο γξακκέο πξάιιειεο πξνο ηνλ (ρ,ct) όρη όκσο θαη πξνο ηνλ (Υ,Ct). Έηζη γηα ηνλ παξαηεξεηή (x,ct) ε κέηξεζε ηνπ κήθνπο δίλεη ην ηδηνκήθνο L0=ΓΓ ελώ γηα ηνλ (X,c T) ην κε ηδηνκήθνο Ζ L=ΕΖ=ΓΔ. ζρέζε πνπ πξνθύπηεη εύθνια είλαη L=L0ζπλα=L01-π2/c2 …13.1 ε γλσζηή ζρέζε ηεο ζρεηηθόηεηαο. Ζ ίδηα ζρέζε ζα πξνέθππηε αλ ην κήθνο ήηαλ αθίλεην ζην (X,c T) θαη έλα αλάινγν παξάδνμν κε ηελ δηαζηνιή ηνπ ρξόλνπ αληηκεησπίδεηαη αλάινγα. Σν κήθνο ινηπόλ ελόο ράξαθα είλαη κεγαιύηεξν γηα ηνλ παξαηεξεηή ηνλ αθίλεην σο πξνο απηόλ, από θάζε άιιν θηλνύκελν παξαηεξεηή: ν ράξαθαο (θαη ην ξνιόη) [62] ζπζηέιιεηαη (θαη πάεη πίζσ) γηα ηνλ παξαηεξεηή σο πξνο ηνλ νπνίν θηλνύληαη. Ζ ζπζηνιή ηνπ κήθνπο θαη ε δηαζηνιή ηνπ ρξόλνπ είλαη ηα πην πνιπζπδεηεκέλα ζεκεία ησλ λέσλ απόςεώλ καο γηα ηελ πξαγκαηηθόηεηα όπσο απηή καο παξνπζηάδεηαη απ’ ηελ κειέηε ηνπ ρσξόρξνλνπ. Δίλαη ε ζπζηνιή πξαγκαηηθή ή πξόθεηηαη γηα απηαπάηε; πξάγκαηη ν ράξαθαο κηθξαίλεη όηαλ θηλείηαη; ηη ζα πεη άιισζηε ε έθθξαζε «πξάγκαηη κηθξαίλεη;» Αλ πξνζέμνπκε ην ζρήκα 12 βιέπνπκε όηη ε ζπζηνιή ηζρύεη κόλν ζηνλ ρώξν ηνπ ζπζηήκαηνο (X,c T) σο πξνο ην νπνίν ν ράξαθαο θηλείηαη. ΢ηνλ ρώξν (x,ct) ηνπ ζπζηήκαηνο πνπ ζπλνδεύεη ηνλ ράξαθα ζηελ θίλεζή ηνπ, θακία ζπζηνιή δελ ζπκβαίλεη. ΋πσο ζην θεθάιαην ηεο ζρεηηθόηεηαο ηνπ ηαπηόρξνλνπ είδακε όηη θάζε παξαηεξεηήο έρεη ηνλ «δηθό ηνπ ρώξν» ηώξα βιέπνπκε όηη θάζε παξαηεξεηήο έρεη ην δηθό ηνπ κήθνο γηα ην ράξαθα πξάγκα αλακελόκελν. Γηαθνξεηηθνί ρώξνη ζεκαίλεη δηαθνξεηηθέο ρσξηθέο απνζηάζεηο άξα δηαθνξεηηθά απνηειέζκαηα κεηξήζεσλ. Αλ θαη ε ρσξνρξνληθή απόζηαζε δύν ζεκείσλ γεγνλόησλ είλαη s2=x2+y2+z2-c2t2 θνηλή γηα όινπο ηνπο παξαηεξεηέο, είλαη δπλαηόλ κε δηαθνξεηηθό πξνζαλαηνιηζκό ησλ αμόλσλ (δηάγξακκα Loedel)λα έρνπκε δηάθνξεο ηηκέο γηα ηηο ρσξηθέο θαη ηηο ρξνληθέο ζπληεηαγκέλεο δειαδή δηάθνξα γεσκεηξηθά κήθε θαη ρξνληθέο δηάξθεηεο γηα ηνπο δηάθνξνπο παξαηεξεηέο. Έηζη ην κήθνο θαη ε ρξνληθή δηάξθεηα θαζνξίδνληαη απ‟ ηε ζρέζε κεηαμύ παξαηεξεηή θαη παξαηεξνύκελνπ, δειαδή είλαη ζρεηηθά. Πξνθαλώο όηαλ ζην ζρήκα 12 δηαθνξνπνηείηαη ε γσλία α ηόηε δηαθνξνπνηείηαη θαη ην κήθνο L. (π.ρ έρνπκε 10=5+5=4+6=3+7=…….) Θα επηκείλσ ζηελ εξκελεία ζπκπεξαζκάησλ κε ηε γλσζηή θιαζζηθήο ηξηγσλνκεηξίαο. ησλ παξάμελσλ απηώλ εηθόλα ηεο νπηηθήο γσλίαο ηεο [63] ΋ηαλ παξαηεξνύκε έλα αληηθείκελν, πρ. έλαλ ζηύιν ύςνπο h, ηνλ βιέπνπκε ππό ζηαζεξή γσλία ζ πνπ ηελ νλνκάδνπκε νπηηθή γσλία. Δίλαη ε γσλία απηή πξαγκαηηθή; θπζηθά είλαη. Μπνξνύκε λα ηελ νξίζνπκε θαη λα ηελ κεηξήζνπκε κε θπζηθέο κεζόδνπο. Δίλαη ινηπόλ πξαγκαηηθή αιιά εθθξάδεη κηα ζρέζε κεηαμύ ησλ ζέζεσλ ηνπ παξαηεξεηή θαη ηνπ ζηύινπ. Γελ είλαη δειαδή κέγεζνο πνπ κπνξεί λα απνδνζεί ζην ζηύιν αθνύ αιιάδεη κε ηελ αιιαγή ζέζεσο ηνπ παξαηεξεηή, ελώ ην κήθνο ηνπ ζηύινπ παξακέλεη ζηαζεξό. Η νπηηθή απηή γσλία είλαη ην αλάινγν ηνπ κήθνπο ζηελ ζεσξία ηνπ ρσξόρξνλνπ. Δθεί ν ράξαθαο δελ έρεη «αιεζηλό κήθνο» όπσο ν ζηύινο δελ έρεη «αιεζηλή νπηηθή γσλία» θαη ε νπζία είλαη λα απαιιάμνπκε ην κήθνο θαη ηελ δηάξθεηα απ‟ ηα απόιπηα ραξαθηεξηζηηθά πνπ ε θιαζζηθή θπζηθή ηνπο απέδσζε. Έηζη όηαλ ξσηνύκε αλ ν ράξαθαο «πξαγκαηηθά» κίθξπλε θαη έραζε κέξνο ηνπ κήθνπο ηνπ είλαη ζαλ λα ξσηνύκε αλ ν ζηύινο «έπαζε θάηη» θαη έραζε κέξνο ηεο νπηηθήο ηνπ γσλίαο. ΋πσο αθξηβώο παξαιείπνληαο λα ζπκπεξηιάβνπκε ηε ζέζε ηνπ παξαηεξεηή , ε νπηηθή γσλία δελ καο ιέεη ηίπνηα γηα ην κήθνο ηνπ ζηύινπ, έηζη ζην ρσξόρξνλν, αλ παξαιείςνπκε ηελ ζρεηηθή ηαρύηεηα κεηαμύ ράξαθα θαη παξαηεξεηή, ην κήθνο ηνπ δελ έρεη λόεκα θαη δελ καο ιέεη ηίπνηα γηα ην ράξαθα. Πξαγκαηηθό ινηπόλ είλαη όηη καο δίλνπλ νη κεηξήζεηο καο ζην ρσξόρξνλν. Σώξα πνπ απηέο άιιαμαλ, αιιάδεη θαη ε πξαγκαηηθόηεηα. [64] 14. ΓΔΩΜΔΣΡΙΚΗ ΠΡΟ΢ΘΔ΢Η ΣΩΝ ΣΑΥΤΣΗΣΩΝ Θα παξάγνπκε ηνλ ηύπν ηεο πξόζζεζεο ησλ ηαρπηήησλ ηεο ζρεηηθόηεηαο κε ηε βνήζεηα ησλ δηαγξακκάησλ Loedel θαη ηνπ ζρήκαηνο 13. Ο ηύπνο απηόο παξαβηάδεη έληνλα ηελ δηαίζζεζή καο, αθνύ ηαρύηεηα δελ ε ζπληζηακέλε ηζνύηαη κε ην άζξνηζκα ησλ ηαρπηήησλ πνπ μέξνπκε απ‟ ηελ θιαζζηθή θηλεκαηηθή. ΢ην ζρήκα 13 έρεη πξνζηεζεί ην ΟΡ πνπ αληηπξνζσπεύεη ηελ θνζκηθή γξακκή ελόο ζώκαηνο πνπ θηλείηαη κε ηαρύηεηα u σο πξνο ην (x,ct) θαη ηαρύηεηα U σο πξνο ην (X,c T). Θα βξνύκε ηε ζρέζε κεηαμύ ηνπο. Απ’ ηνλ λόκν ησλ εκηηόλσλ ζην ηξίγσλν ΟPQ έρνπκε u/c=x/ct=OQ/QP=εκβ/ζπλ(α+β)= εκβ/ζπλαζπλβ-εκαεκβ=1/ζθαζθβ-εκα δειαδή νκνίσο απ’ ην ηξίγσλν ΟΡΚ έρνπκε U/c=X/c T =OR/PR=PK/OK=εκ(α+β)/ζπλβ=εκα+ζπλα εθβ απ’ ηελ νπνία πξνθύπηεη πνιιαπιαζηάδνληαο ηηο 14.1 θαη 14.2 θαηά κέιε έρνπκε (U/c-εκα).(c/u+εκα)=ζπλ2α άξα [65] U=(u+π )/(1+u π/c2)..............................(14.3) ε νπνία είλαη ε γλσζηή ζρέζε πξόζζεζεο ησλ ηαρπηήησλ κε ηελ ίδηα δηεύζπλζε θαη θνξά. Ζ αληίζηνηρε θιαζζηθή ζρέζε είλαη σο γλσζηόλ ε U=u-π Αλ ε (14.3) ιπζεί σο πξνο u έρνπκε u=(U-π)/1-πU/c2)…… ……..……(14.4) πνπ είλαη ε άιιε κνξθή ηεο ζρέζεο ηεο πξόζζεζεο ησλ ηαρπηήησλ. Θα επαλέιζνπκε αξγόηεξα ζηε ζρέζε απηή. 15. ΑΝΑΛΛΟΙΩΣΔ΢ ΤΠΔΡΒΟΛΔ΢ Θα αλαιύζσ ιίγν πεξηζζόηεξν ηελ ύπαξμε ησλ δύν δεπγώλ αμόλσλ ζην δηάγξακκα Loedel αλ θαη γεσκεηξηθά ε ρξήζε ηνπο έρεη γίλεη θηήκα καο. Γύν παξαηεξεηέο πνπ βξίζθνληαη ζε νκαιή ζρεηηθή θίλεζε κεηξνύλ δηαθνξεηηθή ηαρύηεηα γηα ηνλ ήρν. Δίλαη γηαηί νη ίδηνη θηλνύληαη σο πξνο ηνλ αέξα. Ζ θίλεζε ηνπ θαζέλα κέζα ζηνλ αέξα –πιαίζην έρεη λόεκα. Μηα ηέηνηα όκσο θίλεζε κέζα ζηνλ θελό ρώξν δελ έρεη λόεκα! Ζ θίλεζε (νκαιή) κέζα ζηνλ θελό ρώξν δελ δηαπηζηώλεηαη. Έηζη δύν παξαηεξεηέο ζε ζρεηηθή νκαιή θίλεζε κεηξνύλ ηελ ίδηα ηαρύηεηα γηα ην θσο θη απηό έρεη δηαπηζησζεί κε απζηεξόηαηα πεηξάκαηα. Γελ είλαη ην θσο πνπ παξάγεη ην θαηλόκελν , αιιά ην θσο ην δηαπηζηώλεη αθνύ κπνξεί λα δηαδίδεηαη ζην θελό. ΢ηνλ θιαζζηθό ρσξόρξνλν ηνπ ζρήκαηνο 3 νη νξζνγώληνη άμνλεο ζπκβόιηδαλ ηνλ «αθίλεην» παξαηεξεηή , ηνλ πξνλνκηνύρν παξαηεξεηή, γηαηί εθεί ππήξρε ηέηνηνο παξαηεξεηήο. Κάζε ηη πνπ θηλνύληαλ σο πξνο ηνπο άμνλέο ηνπ θηλνύληαλ «πξαγκαηηθά». Οη άμνλεο απηνί ήηαλ ην πιαίζην αλαθνξάο θάζε θίλεζεο, ν αηζέξαο ηεο θιαζζηθήο ζεσξίαο , ν απόιπηνο ρώξνο. [66] Τπήξρε ινηπόλ πξαγκαηηθή θίλεζε, πξαγκαηηθά θηλνύκελνο θαη πξαγκαηηθά αθίλεηνο . Έηζη ηα ζύζηεκα ηνπ ελόο παξαηεξεηή αξθνύζε γηα λα κειεηήζεη ηελ επίδξαζε ηεο θίλεζεο ζηα θαηλόκελα. Σώξα όκσο ππάξρεη κόλνλ ε ζρεηηθή θίλεζε. Απηό πνπ ζα κειεηεζεί είλαη ε επίδξαζε ηεο ζρεηηθήο θίλεζεο ζηα θαηλόκελα, άξα είλαη απαξαίηεηνη νη δύν παξαηεξεηέο. Να ινηπόλ ε πξνέιεπζε ηνπ δηπινύ ζπζηήκαηνο αμόλσλ ζηα δηαγξάκκαηα Loedel ηνπ ρσξόρξνλνπ. ΢ην δηάγξακκα ηνπ ζρήκαηνο 14 έρνπλ πξνζηεζεί έλαο νξηδόληηνο Η θαη έλαο θαηαθόξπθνο άμνλαο W. Ο ιόγνο είλαη θαζαξά βνεζεηηθόο: ζ‟ απηνύο ηνπο άμνλεο ζα ραξαρζνύλ θακπύιεο πνπ ε ζρεδίαζή ηνπο (ζε νξζνγώληνπο άμνλεο) είλαη γλσζηή απ‟ ην Λύθεην. Βέβαηα νη άμνλεο απηνί κπνξνύλ λα ζεσξεζνύλ ζαλ άμνλεο ελόο δεύγνπο παξαηεξεηώλ πνπ ε ζρεηηθή ηνπο ηαρύηεηα π είλαη απεηξνζηή.(πνιύ κηθξή). Σν δεύγνο απηό είλαη ζεκειηώδεο γηα ηελ θπζηθή (δηαγξάκκαηα Feynman) αιιά γηα καο είλαη θαζαξά βνεζεηηθό γηα ηελ γεσκεηξία. Με ηα ζρήκαηα 14 θαη 15 ζα ζπλδέζνπκε ηηο κεηαβιεηέο Υ θαη c T κε ηηο Ζ θαη W ησλ λέσλ αμόλσλ ζηνπο νπνίνπο ζηε ζπλέρεηα ζα ραξάμνπκε γεσκεηξηθό ηόπν ηνλ ησλ γεγνλόησλ Δ πνπ απέρνπλ ζηαζεξό δηάζηεκα απ’ ηελ αξρή Ο γηα παξαηεξεηώλ έλα δεύγνο κε ζρεηηθή [67] ηαρύηεηα π. Δίλαη ΟΑ=Υ ΟΒ=Ζ ΟΓ=Ζ ζπλα/2 Άξα ΟΑ=ΟΓ-ΑΓ  Υ=Ζζπλα/2-ΒΓ=Ζζπλα/2-Wεκα/2…………(15.1) Οκνίσο ζην ζρήκα 15 ΔΑ=c T ΔΒ=W EA=EΓ-ΑΓ = W ζπλα/2-Ζ εκα/2…………………………(15.2) Έηζη ινηπόλ ην ζηαζεξό δηάζηεκα S2=X2-c2 γηα T2 ηνλ παξαηεξεηή (X,c T) πνπ είλαη ην ίδην γηα νπνηνλδήπνηε άιιν (x,ct) γξάθεηαη S2=X2-c2 T2 =(Ζζπλα/2-W εκα/2)2-(Wζπλα/2-Ζεκα/2)2=(Ζ2-W2) ζπλα δει. Η2 –W2 = s2/ ζπλα = s2/1-π2/c2 =K2 …..(15.3) Ζ (15.3) πνπ αλαθέξεηαη ζηνπο άμνλεο παξηζηάλεη ππεξβνιή. θαίλνληαη ΟΖ, σο γλσζηόλ ΢ην ζρήκα δύν ππεξβνιέο ΟW 16 ηέηνηεο γηα ηηο πεξηπηώζεηο πνπ Κ2= -1 θαη Κ2 = -9 δειαδή όια ηα ζεκεία ηνπο απέρνπλ «δηάζηεκα» απ’ -1 ην θαη Ο –9 αληίζηνηρα (ρξνλνεηδή). Αο επηκείλνπκε ζηελ 15.3. Κάζε ππεξβνιή ηνπ ζρήκαηνο 16 παξηζηάλεη ηνλ γεσκεηξηθό ηόπν όισλ ησλ γεγνλόησλ κε δνζείζα «απόζηαζε» s απ‟ ηελ αξρή Ο γηα ην δεύγνο παξαηεξεηώλ κε ζρεηηθή ηαρύηεηα π. Η ίδηα ππεξβνιή [68] παξηζηάλεη επίζεο ηνλ γ. ηόπν ησλ γεγνλόησλ κε θάπνηα άιιε απόζηαζε s΄ πνπ κεηξηέηαη από άιιν δεύγνο παξαηεξεηώλ κε ηαρύηεηα π΄. Απιά πξέπεη Κ΄2=Κ2. Έηζη θάζε ππεξβνιή πνπ αλαθέξεηαη ζηνπο άμνλεο W θαη Ζ ζηελ πξαγκαηηθόηεηα αληηπξνζσπεύεη έλαλ άπεηξν αξηζκό θακπύισλ –θάζε κηα είλαη ν γεσκ. ηόπνο ησλ γεγνλόησλ κε ζηαζεξό δηάζηεκα –αιιά δηαθνξεηηθό γηα θάζε δηαθνξεηηθό δεύγνο παξαηεξεηώλ. ΋ηαλ νξηζηνύλ ηα s θαη π έρνπκε ην Κ2 θη επνκέλσο κηα ζπγθεθξηκέλε θακπύιε. ΋κνηα νξίδνληαη αλαιινίσηεο ππεξβνιέο γηα ρσξνεηδή δηαζηήκαηα. ΢ην ζρήκα 16 ην γεγνλόο Β θαίλεηαη λα απέρεη «πεξηζζόηεξν» απ‟ ηελ αξρή ησλ αμόλσλ απ‟ όηη ηα Α. Απηό καο δείρλεη ηελ αθαηαιιειόηεηα ηεο γεσκεηξηθήο δηαίζζεζεο πνπ βαζίδεηαη ζηελ Δπθιείδεηα γεσκεηξία, γηαηί ε ζεκαληηθή πνζόηεηα εδώ είλαη ε ρ2-c2t2 θη όρη ε Δπθιείδεηα απόζηαζε x2+c2t2 .Γη‟ απηήλ, ν γεσκ. ηόπνο πνπ εθθξάδνπλ νη ππεξβνιέο ζα ήηαλ αληίζηνηρνη θύθινη. ΋ιεο νη παξαπάλσ ππεξβνιέο (ηζνζθειείο) έρνπλ αζύκπησηεο κε θιίζε 1 νη νπνίεο θπζηθά είλαη ν θνζκηθέο γξακκέο ησλ θσηεηλώλ αθηίλσλ πνπ δηέξρνληαη απ’ ηελ αξρή ησλ αμόλσλ. ΢’ έλα ηξηζδηάζηαην δηάγξακκα ζην νπνίν ζα πξνζηεζεί ν άμνλαο ησλ ς νη αλαιινίσηεο ππεξβνιέο ζα πιεζηάδνπλ αζπκπησηηθά ηνλ θώλν ηνπ θσηόο, έλαλ δηπιό θώλν κε θνξπθή ην Ο (ζρ. 17). Δίλαη πξνθαλέο όηη όια ηα γεγνλόηα ζην εζσηεξηθό ηνπ θώλνπ δηαρσξίδνληαη ρξνλνεηδώο ,ελώ ηα γεγνλόηα ζην εμσηεξηθό, ρσξνεηδώο κε ην Ο. Απηό έρεη ζαλ ζπλέπεηα όηη ηα γεγνλόηα ζην εζσηεξηθό ηνπ θώλνπ κπνξνύλ λα πξνζεγγηζηνύλ κε κηα επζεία πνπ ιέκε όηη έρεη ρξνλνεηδή δηεύζπλζε θαη επεηδή όια ηα πιηθά ζώκαηα θηλνύληαη κε ηαρύηεηεο κηθξόηεξεο ηνπ θσηόο, όιεο νη θνζκηθέο γξακκέο ησλ πιηθώλ ζσκάησλ αθνινπζνύλ ρξνλνεηδή ηξνρηά. Άξα έλα ζώκα κε [69] θπζηθή ζεκαζία κπνξεί λα θηλεζεί απ’ ην Ο πξνο ην εζσηεξηθό αιιά όρη πξνο ην εμσηεξηθό ηνπ θώλνπ θσηόο. Σα γεγνλόηα ζην εζσηεξηθό ηνπ θώλνπ θσηόο ηνπ κέιινληνο ( ε βάζε ηνπ θώλνπ πξνο ηα πάλσ) νλνκάδεηαη ζπρλά ην απόιπην κέιινλ ηεο θνξπθήο (εδώ ηνπ Ο) ηνπ θώλνπ, ελώ ηα γεγνλόηα ζην εμσηεξηθό ην απόιπηνλ αιιαρνύ. Αληίζεηα όζα βξίζθνληαη ζην εζσηεξηθό ηνπ θώλνπ ηνπ παξειζόληνο (ε βάζε πξνο ηα θάησ) απνηεινύλ ην απόιπην παξειζόλ. Σα γεγνλόηα πάλσ ζηνλ θώλν θσηόο απνηεινύλ ην όξην ηνπ απόιπηνπ παξειζόληνο θαη κέιινληνο. Έηζη αλ θαη ζηελ γεσκεηξία ηνπ ρσξόρξνλνπ ν ρξόλνο κπνξεί κε θάπνηα έλλνηα λα κεηαζρεκαηηζηεί ζε ρώξν θαη αληίζηξνθα, είλαη ζεκαληηθό λα αληηιεθζνύκε όηη κπνξνύκε αθόκα λα αλαθεξόκαζηε ζην «κέιινλ» θαη ζην «παξειζόλ» θαηά έλαλ απόιπην ηξόπν. Γηα ηνλ Γαιηιαίν θαη ηνλ Νεύησλα παξειζόλ ήηαλ νηηδήπνηε «πξηλ» απ‟ ην ηώξα. Ο ρσξόρξνλνο ήηαλ ε έλσζε ηνπ παξειζόληνο κε ην κέιινλ θαη ην όξην κεηαμύ ηνπο ήηαλ ην «ηώξα» (Αξηζηνηέιεο). ΢ην ζρεηηθηζηηθό ρσξόρξνλν, παξειζόλ απνηειεί κόλνλ όηη βξίζθεηαη ζην εζσηεξηθό ηνπ θώλνπ θσηόο ηνπ παξειζόληνο, ελώ ν ρσξόρξνλνο έρεη ηξείο αλαιινίσηεο πεξηνρέο: ην παξειζόλ, ην κέιινλ, θαη ην αιιαρνύ. ΋ινη νη παξαηεξεηέο ζπκθσλνύλ σο πξνο ηη απνηειεί παξειζόλ, κέιινλ θαη αιιαρνύ ελόο δεδνκέλνπ γεγνλόηνο αιιά θάζε γεγνλόο έρεη ην δηθό ηνπ παξειζόλ ή κέιινλ, κνινλόηη κπνξεί λα ππάξμεη θάπνηα [70] αιιεινεπηθάιπςε. ΋ια απηά θαίλνληαη ζην ζρήκα 18.(γηα ηηο δύν δηαζηάζεηο). Γεσκεηξηθά κηα δηεύζπλζε είλαη ρξνλνεηδήο αλ ζρεκαηίδεη γσλία κηθξόηεξε ησλ 45 κνηξώλ κε ηελ θαηαθόξπθε. Σα παξαπάλσ απνηεινύλ κηα βάζε γηα ηελ αλάπηπμε ηνπ δηαλπζκαηηθνύ ινγηζκνύ ηνπ ρώξνπ ηνπ Minkowski δειαδή ηνπ ηεηξαδηάζηαηνπ ζρεηηθηζηηθνύ ρσξόρξνλνπ. 16. ΟΙ ΜΔΣΑ΢ΥΗΜΑΣΙ΢ΜΟΙ LORENTZ Πνηεο ζρέζεηο ζπλδένπλ ηηο ζπληεηαγκέλεο (x,ct) ελόο γεγνλόηνο Δ κε ηηο ζπληεηαγκέλεο ηνπ ίδηνπ γεγνλόηνο (X,c γηα T) έλα δεύηεξν Γαιηιαηηθό παξαηεξεηή; Δίλαη νη πεξίθεκνη κεηαζρεκαηηζκνί πξνθύπηνπλ Lorentz πνπ εύθνια απ’ ην δηάγξακκα Loedel ηνπ ζρήκαηνο 19. Δίλαη ΟΑ+ΑΕ =ΟΕ  x+ctεκα =Υζπλα…(16.1) ΟΒ+ΒΖ=ΟΖ x εκα ζπλα………(16.2) Απ’ ηηο 16.1 θαη 16.2 έρνπκε εύθνια ηηο ζρέζεηο +ct  =cΣ [71] Ζ ηζηνξία ησλ κεηαζρεκαηηζκώλ είλαη γλσζηή. Δίραλ πξνηαζεί απ’ ηνλ Lorentz έλαλ ρξόλν πξηλ ν Einstein δεκνζηεύζεη ηηο πξνηάζεηο ηνπ γηα ηελ εηδηθή ζεσξία ηεο ζρεηηθόηεηαο θαη βαζίδνληαλ ζηελ ππόζεζε ηνπ αηζέξα. Αληίζεηα ην λόεκα ησλ κεηαζρεκαηηζκώλ κεηαηνπίζηεθε απ’ ηνλ Einstein ζηελ ππόζεζε ηεο ζηαζεξόηεηαο ηεο ηαρύηεηαο ηνπ θσηόο. Δίλαη ην βαζηθό ζύλνιν εμηζώζεσλ ηεο εηδηθήο ζεσξίαο ηεο ζρεηηθόηεηαο θαη ε καζεκαηηθή ζεκαζία ηνπο ζα θαλεί ζηε ζπλέρεηα. Οη αληίζηξνθεο ζρέζεηο κπνξνύλ λα παξαρζνύλ ελαιιάζζνληαο ηα θεθαιαία κε ηα κηθξά γξάκκαηα θη ζέηνληαο όπνπ π ην –π (ζπκκεηξηθή ζεώξεζε).έρνπκε ινηπόλ x=(X-πΣ)/1-π2/c2 y=Y z=Z …(16.4) Μέζσ ησλ (16.4) ν παξαηεξεηήο (X,c T) κπνξεί λα απνδώζεη ηελ ρσξνρξνληθή πξαγκαηηθόηεηα ηνπ (x,ct) αθνύ γλσξίδεη κέζα απ’ ηηο δηθέο ηνπ κεηξήζεηο ηα απνηειέζκαηα ησλ ρσξνρξνληθώλ κεηξήζεσλ ηνπ (x,ct). Απ’ ηηο 16.4 παξαηεξνύκε όηη Α. γηα κηθξέο ηηκέο ηνπ π πξνζεγγίδνπκε ηνπο κεηαζρεκαηηζκνύο ηνπ Γαιηιαίνπ αθνύ π/c0 θαη ρ=Υ-πΣ θαη t=Σ, δειαδή ζ’ έλαλ θόζκν όπνπ νη ζρεηηθέο ηαρύηεηεο είλαη κηθξέο ζε ζρέζε κε ηελ ηαρύηεηα ηνπ θσηόο (ν θόζκνο ηεο θαζεκεξηλήο καο εκπεηξίαο) ν ζρεηηθηζηηθόο ρσξόρξνλνο αλάγεηαη ζηνλ θιαζζηθό ρσξόρξνλν κε ηνπο απόιπηνπο άμνλεο θιπ. Δθεί ε θιαζζηθή θπζηθή εμαθνινπζεί λα ηζρύεη κε ηθαλνπνηεηηθή αθξίβεηα. Β. αλ ζεσξήζνπκε ην c έρνπκε ηελ πξνεγνύκελε αθξηβώο αλάιπζε. Γ. Ζ εκθάληζε ηεο ρσξηθήο ζπληεηαγκέλεο Υ ζην κεηαζρεκαηηζκό ηνπ ρξόλνπ (16.4) είλαη ε καζεκαηηθή έθθξαζε ηεο ζρεηηθόηεηαο ηνπ ηαπηόρξνλνπ. Δίλαη θαλεξό όηη δύν γεγνλόηα κε ίδηα ηηκή ηνπ Σ δελ δηαηεξνύλ ίδηα ηηκή ζην t. [72] Γηα ηε θπζηθή εξκελεία ησλ κεηαζρεκαηηζκώλ αο πξνζζέζνπκε θαη ηα εμήο: δελ πξέπεη λα παξαβιέςνπκε όηη ε ρξήζε ησλ κνξθώλ 16.3 θαη 16.4 απαηηεί έλαλ ηδηαίηεξν πξνζαλαηνιηζκό ησλ αμόλσλ: Ο (X, c T) πξέπεη λα παξαηεξεί ηνλ (x,ct) λα θηλείηαη κε ηαρύηεηα π θαηά ηελ δηεύζπλζε ησλ ζεηηθώλ Υ θαη νη δύν παξαηεξεηέο λα έρνπλ ηνπο αληίζηνηρνπο άμνλεο παξάιιεινπο. Δπίζεο ζα πξέπεη Υ=ρ=0 όηαλ t=T=0. ΋κσο ε γεσκεηξηθή ζεώξεζε ηνπ ρσξόρξνλνπ ζα πξέπεη λα δηαηεξείηαη πάληα δσληαλή, αλ ζέινπκε λα αλαπηύμνπκε ηελ ηεηξαδηάζηαηε δηαίζζεζε πνπ είλαη απαξαίηεηε γηα ηηο θαηλνύξηεο θαηαζθεπέο. Έηζη ινηπόλ ζεσξνύκε όηη νη κεηαζρεκαηηζκνί Lorentz επηδξνύλ ζηνπο άμνλεο ελόο ζπζηήκαηνο Loedel επηθέξνληαο ζηξνθή απηώλ θαη ζπλδένπλ ηηο ζπληεηαγκέλεο ελόο γεγνλόηνο ζηα δύν ζπζηήκαηα. Δίλαη νη εμηζώζεηο πνπ πεξηγξάθνπλ κηα ζηξνθή αμόλσλ ζηνλ ςεπδν-Δπθιείδεην ηεηξαδηάζηαην ρώξν (δηαθνξεηηθή απ’ ηελ ζηξνθή ζηνλ ηξηζδηάζηαην Δπθιείδεην ρώξν, αιιά δηαηζζεηηθά αλάινγε). Ζ πεξηγξαθή απηή αθνινπζεί ζην πέκπην κέξνο ηνπ βηβιίνπ. 10.H ΢XETIKOTHTA ΣΟΤ ΣΑΤΣΟΥΡΟΝΟΤ. ΢ην δηάγξακκα Loedel –πνπ είλαη κηα ζπλέπεηα ηνπ αλαιινίσηνπ ηνπ δηαζηήκαηνο- βιέπνπκε όηη θάζε παξαηεξεηήο ρξεζηκνπνηεί δηαθνξεηηθνύο άμνλεο γηα ηηο ρσξηθέο θαη ρξνληθέο ηνπ κεηξήζεηο. Οη δηεπζύλζεηο ηνπο ζην ρσξνρξνληθό δηάγξακκα είλαη δηαθνξεηηθέο. Η ζηξνθή ησλ αμόλσλ ζηνλ ρσξόρξνλν κε ηελ νπνία ν Minkowski εξκήλεπζε γεσκεηξηθά ην πέξαζκα από ην έλα Γαιηιαητθό ζύζηεκα ζην άιιν , ζηε γεσκεηξία Loedel ζπκβαίλεη σο εμήο: νη δύν άμνλεο ηνπ ακβιπγσλίνπ (X, c T ) ζηξέθνληαη πξνο ην εζσηεξηθό ηεο ακβιείαο γσλίαο θαηά [73] σ, θαη δίλνπλ ηνπο άμνλεο ηνπ (x, ct). Η ζηξνθή απηή δηαηζζεηηθά ζηξνθή καο μελίδεη. ησλ αμόλσλ Δίλαη δηαθνξεηηθή ζηνλ Δπθιείδεην απ‟ ηε ρώξν, γλσζηή όκσο ηώξα δηεξεπλνύκε ηνλ ςεπδν--Δπθιείδεην ρώξν κε ζύζηεκα αμόλσλ Loedel. Η δηαίζζεζή καο πξέπεη λα πξνζαξκνζηεί θαηάιιεια . Ζ πξώηε κεγάιε ζπλέπεηα ηεο ζηξνθήο απηήο ησλ αμόλσλ είλαη όηη ην ηαπηόρξνλν δύν ζεκαζία ηνπ. Γπν γεγνλόηα, ζπκβάλησλ ράλεη ηελ απόιπηε ηα Δ1, Δ2 πνπ είλαη ηαπηόρξνλα γηα ηνλ παξαηεξεηή ηνπ (X, c T) (c T1 =c T2=0) δελ είλαη ηαπηόρξνλα γηα ηνλ παξαηεξεηή ηνπ (x, ct) όπσο θαίλεηαη απ’ ην ζρήκα 9. Γη’ απηόλ ηα γεγνλόηα ζπκβαίλνπλ ζε ρξόλνπο ct1 ct2. Δπίζεο απ’ ην ίδην ζρήκα θαηαιαβαίλνπκε όηη ην δηάζηεκα Δ1Δ2 είλαη ρσξνεηδέο (απ’ ηελ δηεύζπλζε ηνπ ηκήκαηνο Δ1Δ2). Αλ ην ακβιπγώλην ζύζηεκα είλαη γηα ην γήηλν παξαηεξεηή Π θαη ην νμπγώλην γηα ηνλ παξαηεξεηή π ζε αεξνπιάλν, ε ηαπηόρξνλε έλαξμε πνδνζθαηξηθώλ αγώλσλ γήηλα ξνιόγηα δύν κε δελ ηα είλαη ηαπηόρξνλε γηα ηνλ παξαηεξεηή ηνπ αεξνπιάλνπ. Αιιά θαη αληίζηξνθα ε ηαπηόρξνλε έλαξμε γηα ηνλ π δύν παξηίδσλ ζθάθη ζε δηαθνξεηηθά ζεκεία ηνπ αεξνπιάλνπ, (ηα Κ1 Κ2) δελ είλαη ηαπηόρξνλε γηα ηνλ παξαηεξεηή ζηε γε ( c T1 c T2). Έηζη απιά κέζα από ηε ζρεηηθόηεηα ηνπ ηαπηόρξνλνπ ε γεσκεηξία Loedel παξήγαγε κηα πξόηαζε κεγάιεο θπζηθήο ζεκαζίαο: o γλσζηόο καο ρώξνο δελ κπνξεί λα νξηζηεί θαηά κνλαδηθό ηξόπν, αθνύ δηαθνξεηηθνί παξαηεξεηέο νξίδνπλ ζαλ ηαπηόρξνλν δηαθνξεηηθέο νκάδεο γεγνλόησλ. Κάζε δηεύζπλζε ζην δηάγξακκα Loedel είλαη θαη έλαο δηαθνξεηηθόο ρώξνο. Έηζη ελώ γηα ηα Δ1 Δ2 ν παξαηεξεηήο Π νξίδεη ηελ απόζηαζε ζαλ s2=x2+y2+z2 (γηα ηηο ηξεηο [74] δηαζηάζεηο) αθνύ t=0 δειαδή ηελ γλσζηή Δπθιείδεηα απόζηαζε , ν π δελ κπνξεί λα ηελ εθθξάζεη κόλν κε ρσξηθέο ζπληεηαγκέλεο, αθνύ γη’ απηόλ δελ είλαη ηαπηόρξνλα, αιιά κεηξάεη s2=x2+y2+z2-c2t2. Δίλαη όπσο ηα γλσζηά γεγνλόηα, ζήκεξα ζηελ Αζήλα ,αύξην ζηε Θεζζαινλίθε. Γειαδή γηα ηνλ Π ηα Δ1 Δ2 είλαη ζεκεία ηνπ «ρώξνπ» ηνπ ηα γλσζηά Δπθιείδεηα ζεκεία ελώ γηα ηνλ π,δελ είλαη. Γηα ην έλα ν ρώξνο είλαη ν ΟΥ ελώ γηα ηνλ άιιν ν Ορ. Οη δύν άμνλεο δελ είλαη ηζνδύλακνη όπσο ζηελ Δπθιείδεηα πεξίπησζε. Δθεί νη δύν άμνλεο όξηδαλ ηαπηόρξνλα γεγνλόηα, γηα όινπο ν ρξόλνο ήηαλ ίδηνο γη απηνύο ηώξα όκσο όρη. Έηζη θαηαλννύκε ηελ έλλνηα ηνπ ζρεηηθνύ ρώξνπ θαη κηινύκε γηα ην ρώξν ηνπ παξαηεξεηή. Ο θάζε παξαηεξεηήο εξεπλά ην ρώξν ηνπ κε ηελ Δπθιείδεηα γεσκεηξία θαη ηα πνξίζκαηά ηνπ είλαη ζσζηά γη’ απηόλ. Σν ηκήκα ηνπ επίπεδνπ ρσξόρξνλνπ κε t=0 είλαη Δπθιείδεην. ΢ην ζεκείν απηό πξέπεη λα μεθαζαξίζνπκε όηη ε ζρεηηθόηεηα ηνπ ηαπηόρξνλνπ ηζρύεη γηα γεγνλόηα πνπ ζπκβαίλνπλ ζε δηαθνξεηηθέο ζέζεηο θη όρη γηα γεγνλόηα πνπ ηαπηίδνληαη ρσξηθά θαη ρξνληθά ζε θάπνην ζύζηεκα(ζύκπησζε γεγνλόησλ). ΢’ απηήλ ηελ πεξίπησζε ε απόζηαζή ηνπο ζ’ απηό ην ζύζηεκα ζα είλαη s2=0, ε ίδηα θαη ζε νπνηνδήπνηε άιιν ρσξίο λα ηα ζπλδέεη ζε θαλέλα κηα θσηεηλή αθηίλα, πξάγκα πνπ ζα ζπλέβαηλε ζ’ όια ηα ζπζηήκαηα, άξα ζα έρνπκε ζύκπησζε γεγνλόησλ ζ’ όια ηα ζπζηήκαηα. Μηα θπζηθή εηθόλα ηεο ζύκπησζεο γεγνλόησλ είλαη ε ζύγθξνπζε δύν απηνθηλήησλ, όπνπ έρνπκε δύν ζώκαηα πνπ βξίζθνληαη ηελ ίδηα ρξνληθή ζηηγκή ζην ίδην ζεκείν ηνπ δξόκνπ, δειαδή ν παξαηεξεηήο ηνπ δξόκνπ είλαη κάξηπξαο ελόο δπζηπρήκαηνο, ζεκεηώλνληαο ζην ζύζηεκά ηνπ κηα ζύκπησζε γεγνλόησλ. Απηή είλαη ε αηηία πνπ θαη ν παξαηεξεηήο ηνπ δηεξρόκελνπ ηξαίλνπ παξαηεξεί ην ίδην δπζηύρεκα, γηαηί έλα δπζηύρεκα πνπ ζπκβαίλεη γηα θάπνηνλ θαη δελ ζπκβαίλεη γηα θάπνηνλ άιιν θαηαξγεί ηελ ίδηα ηελ επηζηήκε πνπ ην θαηαγξάθεη. ΢ηνλ θόζκν ηνπ ρσξόρξνλνπ ππάξρνπλ θαη θαηαζηάζεηο πνπ είλαη απόιπηεο θαη έλα ηέηνην απόιπην είλαη ε ζύκπησζε ησλ γεγνλόησλ. 11. ΢ΥΔ΢ΔΙ΢ ΑΙΣΙΟΣΗΣΑ΢ [75] Με αθνξκή ηε ζρεηηθόηεηα ηνπ ηαπηόρξνλνπ ζα αλαθεξζνύκε ζηηο ζρέζεηο αηηηόηεηαο (αηηίαο-απνηειέζκαηνο) πνπ κπνξνύλ λα ηζρύνπλ ή λα κελ ηζρύνπλ αλάκεζα ζε δύν γεγνλόηα. ΋ηαλ ηα γεγνλόηα Δ1 Δ2 ηνπ ζρήκαηνο 9 κπνξνύλ λα είλαη ηαπηόρξνλα γηα έλαλ παξαηεξεηή άξαγε ζα κπνξνύλ λα ζπλδένληαη κε ζρέζεηο αηηηόηεηαο; ζα κπνξεί δειαδή ην έλα λα επεξεάδεη ή λα επεξεάδεηαη απ’ ην άιιν; Δίλαη θαλεξό όηη ην δήηεκα ησλ αηηηαηώλ ζρέζεσλ ζπλδέεηαη κε ηελ ρξνληθή δηαδνρή ησλ γεγνλόησλ. Ζ δηαίξεζε ησλ δηαζηεκάησλ πνπ ζπλδένπλ δύν γεγνλόηα ζε ρξνλνεηδή θαη ρσξνεηδή έρεη ζαλ ζπκπέξαζκα, ηα γεγνλόηα λα ρσξίδνληαη ζε απηά πνπ ε ρξνληθή ζεηξά πξαγκαηνπνίεζήο ηνπο είλαη απόιπηε (ρξνλνεηδή δηαζηήκαηα) θαη ζηα άιια πνπ ε ρξνληθή ηνπο δηαδνρή είλαη αθαζόξηζηε(ζρεηηθή). Αλ έλαο παξαηεξεηήο ηζρπξίδεηαη όηη ην Α πξνεγείηαη ηνπ Β, ελώ έλαο άιινο όηη ην Β πξνεγείηαη ηνπ Α είλαη θαλεξό όηη αλ ππάξρνπλ ζρέζεηο αηηηόηεηαο κεηαμύ ηνπο απηέο ζα αληηζηξέθνληαη , γηα θάπνηνλ δειαδή παξαηεξεηή ε αηηία ζα γίλεηαη απνηέιεζκα θαη αληίζηξνθα. Σν ράνο ζα ήηαλ νινθιεξσηηθό. Απ’ ηελ άιιε όκσο νη αξρέο ηεο ζρεηηθόηεηαο δηδάζθνπλ όηη δελ ππάξρεη επίδξαζε πνπ λα κπνξεί λα δηαδνζεί κε ηαρύηεηα κεγαιύηεξε απ’ ην θσο. ΋ηαλ ινηπόλ ε ρσξηθή απόζηαζε δύν γεγνλόησλ είλαη κεγαιύηεξε απ’ απηήλ πνπ δηαλύεη ην θσο ζε ρξόλν ίζν κε ηελ ρξνληθή ηνπο απόζηαζε (ρσξνεηδέο δηάζηεκα) ηόηε δελ είλαη δπλαηόλ λα ππάξρνπλ ζρέζεηο αηηηόηεηαο κεηαμύ ηνπο αθνύ θακηά επίδξαζε δελ είλαη δπλαηόλ λα ηα ζπλδέζεη. Απηό ζπκβαίλεη γηα ηα γεγνλόηα Δ1 θαη Δ2 ηνπ ζρήκαηνο 8. Αληίζεηα όηαλ δύν γεγνλόηα ζπλδένληαη κε ζρέζεηο αηηίαο – απνηειέζκαηνο , ζίγνπξα ηόηε είλαη ηα άθξα ελόο ρξνλνεηδνύο δηαζηήκαηνο γηαηί αθνύ ηα ζπλδέεη θάπνηα επίδξαζε κε ηαρύηεηα π κηθξόηεξε ηνπ θσηόο είλαη π=ρ/t <c .Σόηε ε ρξνληθή ηνπο δηαδνρή ζα είλαη ίδηα γηα όινπο ηνπο παξαηεξεηέο , όρη όκσο γηαηί ππάξρνπλ νη ζρέζεηο αηηηόηεηαο: ε αληηζηξεςηκόηεηα ή κε ηνπ ρξόλνπ νθείιεηαη [76] θαζαξά ζηε ρσξνρξνληθή απόζηαζε ησλ γεγνλόησλ. ΋ζν γηα ηηο ζρέζεηο αηηηόηεηαο απηέο κπνξνύλ λα ππάξρνπλ ή όρη. Ζ αλαθνξά ζ’ απηέο γίλεηαη γηα λα θαλεί όηη ζηε ζρεηηθόηεηα δελ ππάξρεη ηίπνηα πνπ λα καο νδεγεί ζε αληηζηξνθή αηηίαο-απνηειέζκαηνο. Αλ θαη ην ηαπηόρξνλν είλαη ζρεηηθό θαη ε ρξνληθή δηαδνρή δύν γεγνλόησλ κπνξεί λα κεηαβάιιεηαη, δελ ππάξρεη πεξίπησζε ην απνηέιεζκα λα θαλεί ζαλ αηηία θαη ην αληίζηξνθν, γηαηί δύν ηέηνηα γεγνλόηα δελ κπνξνύλ λα ζπλδένληαη κε αηηηαηέο ζρέζεηο. Ση ζπλέβαηλε ζηελ θιαζζηθή ζεσξία; εθεί ιόγσ ηεο πεπνίζεζεο ηεο δηάδνζεο ησλ πηζαλώλ επηδξάζεσλ κε άπεηξε ηαρύηεηα δύν νπνηαδήπνηε γεγνλόηα ζην ρώξν ζα κπνξνύζαλ λα ζπλδένληαη κε αηηηαηέο ζρέζεηο αλεμάξηεηα από ηε ρσξηθή ή ηε ρξνληθή ηνπο απόζηαζε. Σν όξην όκσο ηεο ηαρύηεηαο θάζε επίδξαζεο , καο ππνδεηθλύεη ηηο πεξηπηώζεηο ησλ πηζαλώλ αηηηαηώλ ζρέζεσλ. Έηζη γεγνλόηα κε κεγάιε ρσξηθή ή κε πνιύ κηθξή ρξνληθή απόζηαζε νξίδνπλ έλα ρσξνεηδέο δηάζηεκα θαη είλαη ηειείσο απνκνλσκέλα κεηαμύ ηνπο. 12. Η ΓΙΑ΢ΣΟΛΗ ΣΟΤ ΥΡΟΝΟΤ Σν ρξνληθό δηάζηεκα κεηαμύ δύν γεγνλόησλ πνπ ζπκβαίλνπλ ζην ίδην ζεκείν ηνπ ρώξνπ γηα έλαλ παξαηεξεηή ιέγεηαη ηδην-ρξνληθό δηάζηεκα (Γct0) (ίδηνο ρξόλνο). Ο ρξόλνο πνπ κεηξάεη θάζε παξαηεξεηήο κε ην ξνιόη ηνπ είλαη ηδηνρξόλνο. Γηα θάπνηνλ άιινλ όκσο παξαηεξεηή πνπ θηλείηαη σο πξνο ηνλ πξώην ηα δύν γεγνλόηα δελ ζπκβαίλνπλ ζην ίδην ζεκείν ηνπ ρώξνπ ηνπ. Σν ρξνληθό δηάζηεκα κεηαμύ [77] ησλ δύν γεγνλόησλ όπσο κεηξηέηαη απ’ ην δεύηεξν παξαηεξεηή δελ είλαη ηδηνρξνληθό δηάζηεκα (κε ηδηνρξνληθό δηάζηεκα Γct). ΢ην ζρήκα 10 ηα Δ1 θαη Δ2 ζπκβαίλνπλ ζην ίδην ζεκείν ηνπ ρώξνπ ηνπ (x,ct). Ζ ρξνληθή ηνπο απόζηαζε γη’ απηόλ είλαη ν ίδηνο ρξόλνο ΑΒ=ΓΓ=Γ(ct0). Γηα ηνλ (X,c T) όκσο ε ρξνληθή ηνπο απόζηαζε είλαη ΓΔ=Γ(cΣ)= Γ (ct0)/ζπλα = Γ(ct0) /1-εκ2αθαη ηειηθά έρνπκε ηνλ γλσζηό ηύπν ηεο ζρεηηθόηεηαο Γt= Γt0 (1- π2 /c2)-1/2 Έζησ θνζκηθό ζεκείν Ρ(x, y, z, t) θαη αο θαληαζηνύκε ηελ θνζκηθή γξακκή θάπνηαο ζεκεηαθήο νπζίαο πνπ δηέξρεηαη απ’ ην Ρ , ηόηε ην κέηξν ηνπ ρξνλνεηδνύο δηαλύζκαηνο dx, dy, dz, dt θαηά κήθνο ηεο γξακκήο απηήο είλαη ζύκθσλα κε ηα παξαπάλσ ην dη =1/cc dt -dx -dy -dz . 2 2 2 2 2 Σν νινθιήξσκα dr=η απηήο ηεο πνζόηεηαο, θαηά κήθνο ηεο θνζκηθήο γξακκήο από θάπνην ζηαζεξό αξρηθό ζεκείν Ρ0 κέρξη ην κεηαβιεηό ηειηθό ζεκείν Ρ , νλνκάδεηαη ίδηνο ρξόλνο ηεο ζεκεηαθήο νπζίαο ζην Ρ……. Minkowski Γηα παξάδεηγκα, ε αξρή θαη ην ηέινο ελόο γεύκαηνο κέζα ζ’ έλα αεξνπιάλν ζε θίλεζε νξίδνπλ γηα ηνλ παξαηεξεηή ηνπ αεξνπιάλνπ έλα ηδηνρξνληθό δηάζηεκα πνπ κεηξάεη κε ην ξνιόη ηνπ γηαηί ε αξρή θαη ην ηέινο ηνπ γεύκαηνο ζπλέβεζαλ γη’ απηόλ ζην ίδην ζεκείν ηνπ ρώξνπ: ζηελ ηάδε ζέζε. Γηα έλαλ παξαηεξεηή όκσο ζην έδαθνο ε αξρή θαη ην ηέινο ηνπ γεύκαηνο ζπλέβεζαλ ζε δηαθνξεηηθέο πόιεηο, άξα ε ρξνληθή ηνπο απόζηαζε δελ είλαη γη’ απηόλ έλα ηδηνρξνληθό δηάζηεκα. Γηα λα κεηξήζνπκε έλα ηδηνρξνληθό δηάζηεκα ρξεηάδεηαη έλα κόλν ξνιόη, ελώ γηα έλα κε ηδηνρξνληθό είλαη αλαγθαία δύν ξνιόγηα αθίλεηα κεηαμύ ηνπο θαη ζπγρξνληζκέλα, ην έλα ζηελ αξρή θαη ην άιιν ζην ηέινο ηνπ δηαζηήκαηνο. [78] ΢ην ζρήκα 11 ηα Δ1 θαη Δ2 ζπκβαίλνπλ ζην ίδην ζεκείν ηνπ ρώξνπ ηνπ ΥcΣ Ζ ρξνληθή ηνπ απόζηαζε γη απηόλ (ηδηνρξόλνο) είλαη ΑΒ=ΓΓ=Γ(cΣ0). Γηα ηνλ (ρ,ct) όκσο ε ρξνληθή ηνπο απόζηαζε είλαη ε ΓΔ=Γ(ct) θαη είλαη Γ(c T0)= Γ(ct) ζπλα πνπ παξάγεη πάιη ηνλ ίδην ηύπν ηεο ζρεηηθόηεηαο Γt= Γt0 (1- π2 /c2)-1/2 Έηζη πξνθύπηεη όηη θάζε ηδηνρξνληθό δηάζηεκα είλαη κηθξόηεξν απ‟ ην αληίζηνηρν κε ηδηνρξνληθό. Μηα θπζηθή εηθόλα ηεο δηαζηνιήο ηνπ ρξόλνπ είλαη ε παξαθάησ: ζηε κειέηε ησλ θνζκηθώλ αθηίλσλ , δηάθνξα κεζόληα πνπ θηάλνπλ σο εκάο απ’ ηελ θνξπθή ηεο αηκόζθαηξαο είλαη ηόζν βξαρύβηα ώζηε θη αλ αθόκα ηαμίδεπαλ κε ηελ ηαρύηεηα ηνπ θσηόο ν ρξόλνο ηνπ ηαμηδηνύ ηνπο ζα ήηαλ δεθαπιάζηνο απ’ ην ρξόλν δσήο ηνπο , κε απνηέιεζκα λα κελ ηα παξαηεξήζνπκε πνηέ. Σν γεγνλόο όηη θηάλνπλ σο εκάο νθείιεηαη ζην όηη νη κεγάιεο ηνπο ηαρύηεηεο «ηα θξαηνύλ λέα» , δελ γεξλνύλ δειαδή κέζσ ηεο δηαζηνιήο ηνπ ρξόλνπ: γηα καο, ε δσή ηνπο θπιάεη αξγά. Σα ξνιόγηα ινηπόλ ηνπ (x,ct) ζύκθσλα κε ηνλ (X, c T) ιεηηνπξγνύλ κε αξγόηεξν ξπζκό απ’ ηα δηθά ηνπ. Έηζη ππνζηεξίδεη ν (X, c T). Άξαγε δελ ζα έπξεπε θαηά ηνλ παξαηεξεηή (x,ct) ηα ξνιόγηα ηνπ (X,c T) λα ιεηηνπξγνύλ ηαρύηεξα απ’ ηα δηθά ηνπ; Αλ πξάγκαηη ζπκβαίλεη απηό, θαηαξγείηαη ε αξρή ηεο ζρεηηθόηεηαο ζύκθσλα κε ηελ νπνία νη απόςεηο ησλ δύν παξαηεξεηώλ είλαη ηζνδύλακεο ρσξίο λα πξνηηκάηαη θαλέλαο. Να ινηπόλ έλα παξάδνμν πνπ όπσο όια ηα παξάδνμα ζηε ζρεηηθόηεηα είλαη ζέκα εζθαικέλεο εξκελείαο. Σα ζρήκαηα 10 θαη 11 είλαη δηαγξάκκαηα ηνπ (X,c T) κε ηα αληίζηνηρα ζπκπεξάζκαηα γη απηόλ. [79] Αλ ζέινπκε λα δνύκε ηα ζπκπεξάζκαηα ηνπ άιινπ παξαηεξεηή πξέπεη λα θαηαζθεπάζνπκε ηα δηαγξάκκαηα ηνπ άιινπ όπσο θάλακε ζηα ζρήκαηα 7 θαη 8 . Σόηε πξνθύπηεη ε ίδηα αθξηβώο εηθόλα : ν ρξόλνο πνπ κεηξάεη ν θάζε παξαηεξεηήο κε ην αθίλεην ξνιόη ηνπ είλαη κηθξόηεξνο απ’ ην ρξόλν θάζε άιινπ παξαηεξεηή πνπ θηλείηαη σο πξνο απηόλ θαη πνπ αλαθέξεηαη ζηα ίδηα γεγνλόηα. 13. Η ΢Τ΢ΣΟΛΗ ΣΟΤ ΜΗΚΟΤ΢ Έλα κήθνο πνπ κεηξηέηαη από παξαηεξεηή σο πξνο ηνλ νπνίν απηό ην κήθνο είλαη αθίλεην ιέγεηαη ηδην-κήθνο θη ζα ζπκβνιίδεηαη κε L0. ΋ηαλ όκσο απηό κεηξηέηαη από παξαηεξεηή σο πξνο ηνλ νπνίν θηλείηαη ζα νλνκάδεηαη κε-ηδηνκήθνο θαη ζα ζπκβνιίδεηαη κε L. Σν γεγνλόο –όπσο ζα απνδεηρηεί γεσκεηξηθά- όηη ην L είλαη κηθξόηεξν ηνπ L0 ζηελ πεξίπησζε πνπ θαη ηα δύν κεηξηνύληαη θαηά ηελ δηεύζπλζε ηεο ζρεηηθήο θίλεζεο ησλ παξαηεξεηώλ, νλνκάδεηαη ζπζηνιή (ηνπ κήθνπο) Fitzerald θαη είλαη αλάινγν κε ηελ δηαζηνιή ηνπ ρξόλνπ. Οη κεηξήζεηο ηνπ κήθνπο ζε θάζε πεξίπησζε γίλνληαη κε ηαπηόρξνλεο παξαηεξήζεηο ησλ ζέζεσλ ησλ άθξσλ ηνπ κήθνπο γηα θάζε παξαηεξεηή. Απηό γεσκεηξηθά ηζνδπλακεί κε ηελ ηνκή ησλ θνζκηθώλ γξακκώλ ησλ άθξσλ ηνπ κήθνπο κε ηνλ ρσξηθό άμνλα ηνπ θάζε παξαηεξεηή. Έηζη ζην ζρήκα 12 (δηάγξακκα ηνπ (X,c T)) ν ράξαθαο ΑΒ είλαη αθίλεηνο ζην (x,ct), άξα ηα άθξα ηνπ έρνπλ θνζκηθέο γξακκέο πξάιιειεο πξνο ηνλ (ρ,ct) όρη όκσο θαη πξνο ηνλ (Υ,Ct). Έηζη γηα ηνλ παξαηεξεηή (x,ct) ε κέηξεζε ηνπ κήθνπο δίλεη ην ηδηνκήθνο L0=ΓΓ ελώ γηα ηνλ (X,c T) ην κε ηδηνκήθνο L=ΕΖ=ΓΔ. Ζ ζρέζε πνπ πξνθύπηεη εύθνια είλαη [80] L=L0ζπλα=L01-π2/c2 …13.1 ε γλσζηή ζρέζε ηεο ζρεηηθόηεηαο. Ζ ίδηα ζρέζε ζα πξνέθππηε αλ ην κήθνο ήηαλ αθίλεην ζην (X,c T) θαη έλα αλάινγν παξάδνμν κε ηελ δηαζηνιή ηνπ ρξόλνπ αληηκεησπίδεηαη αλάινγα. Σν κήθνο ινηπόλ ελόο ράξαθα είλαη κεγαιύηεξν γηα ηνλ παξαηεξεηή ηνλ αθίλεην σο πξνο απηόλ, από θάζε άιιν θηλνύκελν παξαηεξεηή: ν ράξαθαο (θαη ην ξνιόη) ζπζηέιιεηαη (θαη πάεη πίζσ) γηα ηνλ παξαηεξεηή σο πξνο ηνλ νπνίν θηλνύληαη. Ζ ζπζηνιή ηνπ κήθνπο θαη ε δηαζηνιή ηνπ ρξόλνπ είλαη ηα πην πνιπζπδεηεκέλα ζεκεία ησλ λέσλ απόςεώλ καο γηα ηελ πξαγκαηηθόηεηα όπσο απηή καο παξνπζηάδεηαη απ’ ηελ κειέηε ηνπ ρσξόρξνλνπ. Δίλαη ε ζπζηνιή πξαγκαηηθή ή πξόθεηηαη γηα απηαπάηε; πξάγκαηη ν ράξαθαο κηθξαίλεη όηαλ θηλείηαη; ηη ζα πεη άιισζηε ε έθθξαζε «πξάγκαηη κηθξαίλεη;» Αλ πξνζέμνπκε ην ζρήκα 12 βιέπνπκε όηη ε ζπζηνιή ηζρύεη κόλν ζηνλ ρώξν ηνπ ζπζηήκαηνο (X,c T) σο πξνο ην νπνίν ν ράξαθαο θηλείηαη. ΢ηνλ ρώξν (x,ct) ηνπ ζπζηήκαηνο πνπ ζπλνδεύεη ηνλ ράξαθα ζηελ θίλεζή ηνπ, θακία ζπζηνιή δελ ζπκβαίλεη. ΋πσο ζην θεθάιαην ηεο ζρεηηθόηεηαο ηνπ ηαπηόρξνλνπ είδακε όηη θάζε παξαηεξεηήο έρεη ηνλ «δηθό ηνπ ρώξν» ηώξα βιέπνπκε όηη θάζε παξαηεξεηήο έρεη ην δηθό ηνπ κήθνο γηα ην ράξαθα πξάγκα αλακελόκελν. Γηαθνξεηηθνί ρώξνη ζεκαίλεη δηαθνξεηηθέο ρσξηθέο απνζηάζεηο άξα δηαθνξεηηθά απνηειέζκαηα κεηξήζεσλ. Αλ θαη ε ρσξνρξνληθή απόζηαζε δύν ζεκείσλ γεγνλόησλ είλαη s2=x2+y2+z2-c2t2 θνηλή γηα όινπο ηνπο παξαηεξεηέο, είλαη δπλαηόλ κε δηαθνξεηηθό πξνζαλαηνιηζκό ησλ αμόλσλ (δηάγξακκα Loedel)λα έρνπκε δηάθνξεο ηηκέο γηα ηηο ρσξηθέο θαη ηηο ρξνληθέο ζπληεηαγκέλεο δειαδή δηάθνξα γεσκεηξηθά κήθε θαη ρξνληθέο δηάξθεηεο γηα ηνπο δηάθνξνπο παξαηεξεηέο. Έηζη ην κήθνο θαη ε ρξνληθή δηάξθεηα θαζνξίδνληαη απ‟ ηε ζρέζε κεηαμύ παξαηεξεηή [81] θαη παξαηεξνύκελνπ, δειαδή είλαη ζρεηηθά. Πξνθαλώο όηαλ ζην ζρήκα 12 δηαθνξνπνηείηαη ε γσλία α ηόηε δηαθνξνπνηείηαη θαη ην κήθνο L. (π.ρ έρνπκε 10=5+5=4+6=3+7=…….) Θα επηκείλσ ζηελ εξκελεία ζπκπεξαζκάησλ κε ηε γλσζηή ησλ παξάμελσλ απηώλ εηθόλα ηεο νπηηθήο γσλίαο ηεο θιαζζηθήο ηξηγσλνκεηξίαο. ΋ηαλ παξαηεξνύκε έλα αληηθείκελν, πρ. έλαλ ζηύιν ύςνπο h, ηνλ βιέπνπκε ππό ζηαζεξή γσλία ζ πνπ ηελ νλνκάδνπκε νπηηθή γσλία. Δίλαη ε γσλία απηή πξαγκαηηθή; θπζηθά είλαη. Μπνξνύκε λα ηελ νξίζνπκε θαη λα ηελ κεηξήζνπκε κε θπζηθέο κεζόδνπο. Δίλαη ινηπόλ πξαγκαηηθή αιιά εθθξάδεη κηα ζρέζε κεηαμύ ησλ ζέζεσλ ηνπ παξαηεξεηή θαη ηνπ ζηύινπ. Γελ είλαη δειαδή κέγεζνο πνπ κπνξεί λα απνδνζεί ζην ζηύιν αθνύ αιιάδεη κε ηελ αιιαγή ζέζεσο ηνπ παξαηεξεηή, ελώ ην κήθνο ηνπ ζηύινπ παξακέλεη ζηαζεξό. Η νπηηθή απηή γσλία είλαη ην αλάινγν ηνπ κήθνπο ζηελ ζεσξία ηνπ ρσξόρξνλνπ. Δθεί ν ράξαθαο δελ έρεη «αιεζηλό κήθνο» όπσο ν ζηύινο δελ έρεη «αιεζηλή νπηηθή γσλία» θαη ε νπζία είλαη λα απαιιάμνπκε ην κήθνο θαη ηελ δηάξθεηα απ‟ ηα απόιπηα ραξαθηεξηζηηθά πνπ ε θιαζζηθή θπζηθή ηνπο απέδσζε. Έηζη όηαλ ξσηνύκε αλ ν ράξαθαο «πξαγκαηηθά» κίθξπλε θαη έραζε κέξνο ηνπ κήθνπο ηνπ είλαη ζαλ λα ξσηνύκε αλ ν ζηύινο «έπαζε θάηη» θαη έραζε κέξνο ηεο νπηηθήο ηνπ γσλίαο. ΋πσο αθξηβώο παξαιείπνληαο λα ζπκπεξηιάβνπκε ηε ζέζε ηνπ παξαηεξεηή , ε νπηηθή γσλία δελ καο ιέεη ηίπνηα γηα ην κήθνο ηνπ ζηύινπ, έηζη ζην ρσξόρξνλν, αλ παξαιείςνπκε ηελ ζρεηηθή ηαρύηεηα κεηαμύ ράξαθα θαη παξαηεξεηή, ην κήθνο ηνπ δελ έρεη λόεκα θαη δελ καο ιέεη ηίπνηα γηα ην ράξαθα. [82] Πξαγκαηηθό ινηπόλ είλαη όηη καο δίλνπλ νη κεηξήζεηο καο ζην ρσξόρξνλν. Σώξα πνπ απηέο άιιαμαλ, αιιάδεη θαη ε πξαγκαηηθόηεηα. 14. ΓΔΩΜΔΣΡΙΚΗ ΠΡΟ΢ΘΔ΢Η ΣΩΝ ΣΑΥΤΣΗΣΩΝ Θα παξάγνπκε ηνλ ηύπν ηεο πξόζζεζεο ησλ ηαρπηήησλ ηεο ζρεηηθόηεηαο κε ηε βνήζεηα ησλ δηαγξακκάησλ Loedel θαη ηνπ ζρήκαηνο 13. Ο ηύπνο απηόο παξαβηάδεη έληνλα ηελ δηαίζζεζή καο, αθνύ ηαρύηεηα δελ ε ζπληζηακέλε ηζνύηαη κε ην άζξνηζκα ησλ ηαρπηήησλ πνπ μέξνπκε απ‟ ηελ θιαζζηθή θηλεκαηηθή. ΢ην ζρήκα 13 έρεη πξνζηεζεί ην ΟΡ πνπ αληηπξνζσπεύεη ηελ θνζκηθή γξακκή ελόο ζώκαηνο πνπ θηλείηαη κε ηαρύηεηα u σο πξνο ην (x,ct) θαη ηαρύηεηα U σο πξνο ην (X,c T). Θα βξνύκε ηε ζρέζε κεηαμύ ηνπο. Απ’ ηνλ λόκν ησλ εκηηόλσλ ζην ηξίγσλν ΟPQ έρνπκε u/c=x/ct=OQ/QP=εκβ/ζπλ(α+β)= εκβ/ζπλαζπλβ-εκαεκβ=1/ζθαζθβ-εκα δειαδή νκνίσο απ’ ην ηξίγσλν ΟΡΚ έρνπκε U/c=X/c T =OR/PR=PK/OK=εκ(α+β)/ζπλβ=εκα+ζπλα εθβ απ’ ηελ νπνία πξνθύπηεη [83] πνιιαπιαζηάδνληαο ηηο 14.1 θαη 14.2 θαηά κέιε έρνπκε (U/c-εκα).(c/u+εκα)=ζπλ2α άξα U=(u+π )/(1+u π/c2)..............................(14.3) ε νπνία είλαη ε γλσζηή ζρέζε πξόζζεζεο ησλ ηαρπηήησλ κε ηελ ίδηα δηεύζπλζε θαη θνξά. Ζ αληίζηνηρε θιαζζηθή ζρέζε είλαη σο γλσζηόλ ε U=u-π Αλ ε (14.3) ιπζεί σο πξνο u έρνπκε u=(U-π)/1-πU/c2)…… ……..……(14.4) πνπ είλαη ε άιιε κνξθή ηεο ζρέζεο ηεο πξόζζεζεο ησλ ηαρπηήησλ. Θα επαλέιζνπκε αξγόηεξα ζηε ζρέζε απηή. 15. ΑΝΑΛΛΟΙΩΣΔ΢ ΤΠΔΡΒΟΛΔ΢ Θα αλαιύζσ ιίγν πεξηζζόηεξν ηελ ύπαξμε ησλ δύν δεπγώλ αμόλσλ ζην δηάγξακκα Loedel αλ θαη γεσκεηξηθά ε ρξήζε ηνπο έρεη γίλεη θηήκα καο. Γύν παξαηεξεηέο πνπ βξίζθνληαη ζε νκαιή ζρεηηθή θίλεζε κεηξνύλ δηαθνξεηηθή ηαρύηεηα γηα ηνλ ήρν. Δίλαη γηαηί νη ίδηνη θηλνύληαη σο πξνο ηνλ αέξα. Ζ θίλεζε ηνπ θαζέλα κέζα ζηνλ αέξα –πιαίζην έρεη λόεκα. Μηα ηέηνηα όκσο θίλεζε κέζα ζηνλ θελό ρώξν δελ έρεη λόεκα! Ζ θίλεζε (νκαιή) κέζα ζηνλ θελό ρώξν δελ δηαπηζηώλεηαη. Έηζη δύν παξαηεξεηέο ζε ζρεηηθή νκαιή θίλεζε κεηξνύλ ηελ ίδηα ηαρύηεηα γηα ην θσο θη απηό έρεη δηαπηζησζεί κε απζηεξόηαηα πεηξάκαηα. Γελ είλαη ην θσο πνπ παξάγεη ην θαηλόκελν , αιιά ην θσο ην δηαπηζηώλεη αθνύ κπνξεί λα δηαδίδεηαη ζην θελό. ΢ηνλ θιαζζηθό ρσξόρξνλν ηνπ ζρήκαηνο 3 νη νξζνγώληνη άμνλεο ζπκβόιηδαλ ηνλ «αθίλεην» παξαηεξεηή , ηνλ πξνλνκηνύρν παξαηεξεηή, γηαηί εθεί ππήξρε ηέηνηνο παξαηεξεηήο. Κάζε ηη πνπ θηλνύληαλ σο πξνο ηνπο άμνλέο ηνπ θηλνύληαλ «πξαγκαηηθά». Οη άμνλεο [84] απηνί ήηαλ ην πιαίζην αλαθνξάο θάζε θίλεζεο, ν αηζέξαο ηεο θιαζζηθήο ζεσξίαο , ν απόιπηνο ρώξνο. Τπήξρε ινηπόλ πξαγκαηηθή θίλεζε, πξαγκαηηθά θηλνύκελνο θαη πξαγκαηηθά αθίλεηνο . Έηζη ηα ζύζηεκα ηνπ ελόο παξαηεξεηή αξθνύζε γηα λα κειεηήζεη ηελ επίδξαζε ηεο θίλεζεο ζηα θαηλόκελα. Σώξα όκσο ππάξρεη κόλνλ ε ζρεηηθή θίλεζε. Απηό πνπ ζα κειεηεζεί είλαη ε επίδξαζε ηεο ζρεηηθήο θίλεζεο ζηα θαηλόκελα, άξα είλαη απαξαίηεηνη νη δύν παξαηεξεηέο. Να ινηπόλ ε πξνέιεπζε ηνπ δηπινύ ζπζηήκαηνο αμόλσλ ζηα δηαγξάκκαηα Loedel ηνπ ρσξόρξνλνπ. ΢ην δηάγξακκα ηνπ ζρήκαηνο 14 έρνπλ πξνζηεζεί έλαο νξηδόληηνο Η θαη έλαο θαηαθόξπθνο άμνλαο W. Ο ιόγνο είλαη θαζαξά βνεζεηηθόο: ζ‟ απηνύο ηνπο άμνλεο ζα ραξαρζνύλ θακπύιεο πνπ ε ζρεδίαζή ηνπο (ζε νξζνγώληνπο άμνλεο) είλαη γλσζηή απ‟ ην Λύθεην. Βέβαηα νη άμνλεο απηνί κπνξνύλ λα ζεσξεζνύλ ζαλ άμνλεο ελόο δεύγνπο παξαηεξεηώλ πνπ ε ζρεηηθή ηνπο ηαρύηεηα π είλαη απεηξνζηή.(πνιύ κηθξή). Σν δεύγνο απηό είλαη ζεκειηώδεο γηα ηελ θπζηθή (δηαγξάκκαηα Feynman) αιιά γηα καο είλαη θαζαξά βνεζεηηθό γηα ηελ γεσκεηξία. Με ηα ζρήκαηα 14 θαη 15 ζα [85] ΜΔΡΟ΢ ΠΔΜΠΣΟ Ο ΥΩΡΟ΢ MINKOWSKI Οι ξοθξγώμιξι μεηαζςημαηιζμξί ζηξμ Ερκλείδειξ ςώοξ Οι μεηαζςημαηιζμξί Lorentz ζηξ ςωοόxοξμξ Minkowski Διαμύζμαηα ζηξ ςώοξ Minkowski Φρζική ζημαζία ηξρ ηεηοα-διαμύζμαηξπ ηηπ μεηαηόπιζηπ Φρζική ζημαζία ηηπ ξοθξγωμιόηηηαπ Τοιγωμική αμιζόηηηα Minkowski Τξ παοάδξνξ ηωμ διδύμωμ Μέρξηο εδώ είδακε ηελ πνξεία ηεο δεύηεξεο αξρήο ηεο ζρεηηθόηεηαο: αθνύ εθθξάζηεθε καζεκαηηθά απ’ ηελ αλαιινηόηεηα ηνπ «δηαζηήκαηνο» θαη γξαθηθά απ’ ηε ρξήζε ησλ ρσξνρξνληθώλ δηαγξακκάησλ, έθηαζε ζηελ απώηαηε ζπλέπεηά ηεο: ζηνπο κεηαζρεκαηηζκνύο Lorentz. Οη κεηαζρεκαηηζκνί απηνί αληηθαζηζηνύλ γηα ην ρσξόρξνλν ηνπο παιηνύο κεηαζρεκαηηζκνύο ηνπ Γαιηιαίνπ ηνπ θιαζζηθνύ ρώξνπ θαη ρξόλνπ. ΋πσο αθξηβώο νη λόκνη ηνπ Νεύησλα ήηαλ ζπλαιινίσηνη σο πξνο ηνπο κεηαζρεκαηηζκνύο ηνπ Γαιηιαίνπ, έηζη ηώξα βάζεη ηεο πξώηεο αξρήο ηεο ζρεηηθόηεηαο ζα πξέπεη όινη νη λόκνη ηεο θπζηθήο λα παξακέλνπλ αλαιινίσηνη σο πξνο ηνπο κεηαζρεκαηηζκνύο Lorentz. Καηαξγείηαη ν αηζέξαο θαη ζηε ζέζε ηνπ ε θπζηθή θαηαζθεπάδεη κηα λέα νληόηεηα ηνλ ρσξόρξνλν πνπ πξέπεη λα κάζνπκε λα εμεξεπλνύκε παξαπέξα. [86] Ζ εμεξεύλεζε απηή ζα γίλεη κε ηε βνήζεηα ηεο γεσκεηξίαο θαη ησλ ηδεώλ ηνπ Minkowski. Ζ λέα πξαγκαηηθόηεηα είλαη έλα ηεηξαδηάζηαην ζπλερέο , ν θόζκνο ηνπ Minkowski θαη ε ηεηξαδηάζηαηε γεσκεηξία ηνπ, ηεο νπνίαο ε καζεκαηηθή ηερληθή πξνέξρεηαη απ’ ηελ δηαλπζκαηηθή θαη ηελ ηαλπζηηθή αλάιπζε. Ζ ζύγθξηζε ησλ πνξηζκάησλ ηνπ θόζκνπ κε ηηο έλλνηεο ηνπ ζηαηηθνύ Δπθιείδεηνπ ρώξνπ ζα καο βνεζήζεη λα θαηαλνήζνπκε θαιύηεξα ηε γεσκεηξηθή εηθόλα ηνπ,πξνζαξκόδνληαο θαηάιιεια ηε δηαίζζεζή καο. ΢ηα θεθάιαηα πνπ αθνινπζνύλ ν ζπκβνιηζκνί ζα είλαη σο εμήο: έληνλα θεθαιαία γξάκκαηα ζα ζπκβνιίδνπλ ηεηξα-δηαλύζκαηα. έληνλα κηθξά γξάκκαηα ζα ζπκβνιίδνπλ ηα γλσζηά ηξη- δηαλύζκαηα. Απιά κηθξά γξάκκαηα ζα είλαη ηα βαζκσηά (κε δηαλπζκαηηθά) κεγέζε. 17. ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΜΔΣΑ΢ΥΗΜΑΣΙ΢ΜΟΙ ΚΑΙ ΓΙΑΝΤ΢ΜΑΣΑ ΢ΣΟΝ ΣΡΙ΢ΓΙΑ΢ΣΑΣΟ ΔΤΚΛΔΙΓΔΙΟ ΥΩΡΟ. Δίλαη γλσζηή απ’ ην Λύθεην ε έλλνηα ηνπ γξακκηθνύ κεηαζρεκαηηζκνύ θαη εηδηθόηεξα ε έλλνηα ηεο ζηξνθήο: ε ζηξνθή κε θέληξν Ο θαη γσλία ζ είλαη έλαο γξακκηθόο κεηαζρεκαηηζκόο κε πίλαθα Πξάγκαηη: Έζησ κηα ζηξνθή ζην επίπεδν όπνπ ην Ορς έρεη ζηξαθεί θαηά γσλία ζ ζην Ορ΄ς΄ (ζρήκα 20). Σόηε ηζρύεη [87] ρ΄=ξζπλθ ρ=ξ ζπλ(θ+ζ)=ξ (ζπλθζπλζ-εκθ εκζ)=ρ΄ζπλζ-ς΄εκζ ς΄=ξεκθ ς=ξεκ(ζ+θ)= ξ(εκζζπλθ+εκθ ζπλζ)= ρ΄εκζ+ς΄ζπλζ …(17.1) ή Ο κεηαζρεκαηηζκόο (17.2)πνπ πεξηγξάθεη ηελ ζηξνθή ζπλδένληαο δύν νξζνγώληα Καξηεζηαλά ζπζηήκαηα (γλσζηά απ’ ην Λύθεην) κε θνηλή αξρή θαη ίδηα κνλάδα κεηξήζεσο , αλήθεη ζε κηα επξύηεξε νκάδα κεηαζρεκαηηζκώλ πνπ είλαη γλσζηνί ζαλ νξζνγώληνη κεηαζρεκαηηζκνί. Οη νξζνγώληνη κεηαζρεκαηηζκνί είλαη γξακκηθνί κεηαζρεκαηηζκνί κε εηδηθέο ηδηόηεηεο: Α. ην άζξνηζκα ησλ ηεηξαγώλσλ θάζε ζηήιεο (γξακκήο ) ηνπ πίλαθα Α είλαη 1 Β. ην άζξνηζκα ησλ γηλνκέλσλ ησλ αληίζηνηρσλ ζηνηρείσλ δηαθνξεηηθώλ ζηειώλ (γξακκώλ) είλαη κεδέλ. Γ. ε νξίδνπζα ηνπ Α είλαη ίζε κε ηε κνλάδα. Απηέο είλαη νη ζπλζήθεο νξζνγσληόηεηαο. Οη νξζνγώληνη κεηαζρεκαηηζκνί έρνπλ κεγάιε γεσκεηξηθή ζεκαζία: αθήλνπλ αλαιινίσηε ηελ απόζηαζε θαη ην εζσηεξηθό γηλόκελν δύν δηαλπζκάησλ θαζώο πεξλνύκε απ’ ην έλα ζύζηεκα ζην άιιν δει. ξ2 =ρ2+ς2=(ρ΄ζπλζ-ς΄εκζ)2 +(ρ΄εκζ+ς΄ζπλζ)2 =ρ΄2 +ς΄2 θαη ρ.ς =ρ1ρ2 +ς1ς2=(ζπλζρ1΄-εκζς1΄)(ζπλζρ2΄-εκζς2΄)+ (εκζρ1΄+ζπλζς1΄)(εκζρ2΄+ζπλζς2΄)=ρ΄.ς΄. Απηό εμαζθαιίδεη ηελ γσλία δύν δηεπζύλζεσλ αθνύ ζπλζ=ρ1ρ2+ς1ς2/ρ12+ς12ρ22+ς22 θαη νη όξνη ηνπ θιάζκαηνο είλαη αλαιινίσηνη. Έηζη ινηπόλ αθνύ ε κεηξηθή γεσκεηξία παξακέλεη ε ίδηα ζηα δύν ζπζηήκαηα αθνύ βαζίδεηαη ζηα κέηξα ηεο απόζηαζεο θαη ηεο γσλίαο: δύν παξαηεξεηέο αθίλεηνη κεηαμύ ηνπο κε δηαθνξεηηθά ζπζηήκαηα [88] (πνπ έρνπλ ίδηα αξρή) έρνπλ ίδηα γεσκεηξία, πξάγκα αλακελόκελν αθνύ δελ είλαη δπλαηόλ λα κεηξνύλ δηαθνξεηηθά ηνλ ίδην ρώξν. Απηή είλαη ε γεσκεηξηθή ζεκαζία ησλ νξζνγώλησλ κεηαζρεκαηηζκώλ θαη ηεο ζηξνθήο. Αο πάκε ηώξα ζηα δηαλύζκαηα: ζηνλ ηξηζδηάζηαην ρώξν , δηάλπζκα (αληαιινίσην, κόλν κ’ απηό ζα αζρνιεζνύκε θαη είλαη ην γλσζηό καο δηάλπζκα) είλαη έλα κέγεζνο πνπ απνηειείηαη από ζπληζηώζεο (ηξεηο) νη νπνίεο όκσο ζε κηα αιιαγή ζπζηήκαηνο κεηαβάιινληαη αθξηβώο όπσο θαη νη ζπληεηαγκέλεο ηνπ ρώξνπ (π.ρ νξζνγώληνη κεηαζρεκαηηζκνί). Ίζσο ζην Λύθεην δελ επηζεκάλακε θαζαξά απηήλ ηελ ηδηόηεηα ησλ δηαλπζκάησλ. Ζ ζπκπεξηθνξά ηνπο απηή έρεη κηα κεγάιε καζεκαηηθή θαη θπζηθή ζπλέπεηα: Σν γεγνλόο όηη νη ζπληζηώζεο όισλ ησλ δηαλπζκάησλ ππαθνύνπλ ζηνπο ίδηνπο λόκνπο αιιαγήο όηαλ πεξλνύκε από έλα ζύζηεκα ζε άιιν, ππνδεηθλύεη όηη αλ δύν δηαλύζκαηα ζην ίδην ζεκείν ηνπ ρώξνπ είλαη ίζα, δειαδή αλ νη ζπληζηώζεο ηνπ ελόο είλαη ίζεο κε ηηο αληίζηνηρεο ζπληζηώζεο ηνπ άιινπ ζην ζύζηεκά καο ,ηόηε ε ηζόηεηα απηή ζα ηζρύεη ππνρξεσηηθά θαη ζε θάζε άιιν ζύζηεκα αλαθνξάο. Με άιια ιόγηα ε ηζόηεηα δύν δηαλπζκάησλ ζε θάπνην ζεκείν ηνπ ρώξνπ, ζπληζηά κηα ηζόηεηα ε νπνία δελ αθπξώλεηαη ζε κηα αιιαγή ζπζηήκαηνο: ε δηαλπζκαηηθή ηζόηεηα είλαη απόιπηε (ηζρύεη ζε όια ηα ζπζηήκαηα αλαθνξάο). Πξέπεη πάιη λα δηεπθξηληζηεί όηη ε ηζόηεηα απηή δηαηεξείηαη, κόλν γηαηί νη ζπληζηώζεο θάζε δηαλύζκαηνο ησλ δύν κειώλ ηεο ππνβάιινληαη ζηνπο ίδηνπο θαλόλεο κεηαζρεκαηηζκνύ όηαλ αιιάδνπκε ζύζηεκα. Έηζη ινηπόλ νη δηαλπζκαηηθέο εμηζώζεηο παξνπζηάδνπλ ηε ζπνπδαία ηδηόηεηα λα παξακέλνπλ αλεπεξέαζηεο από κηα αιιαγή ηνπ ζπζηήκαηνο αλαθνξάο. Έηζη γηα ηελ ζηξνθή 17.2 έζησ α΄(α1΄,α2΄) θαη β΄(β1΄,β2΄) ζην Ορ΄ς΄ κε α΄=β΄. Σόηε α1΄=β1΄ θαη α2΄=β2΄ νπόηε είλαη θαλεξό όηη ζπλζ α1΄-εκζα2΄=ζπλζ β1΄-εκζ β1΄ δει. α1=α2 νκνίσο β1=β2 δει α=β [89] Βιέπνπκε ινηπόλ όηη ε ηζόηεηα παξακέλεη, αλ θαη νη πνζόηεηεο έρνπλ αιιάμεη: είλαη α αληί α΄ θιπ. Έηζη δελ ζα ήηαλ αθξηβέο λα πνύκε όηη νη εμηζώζεηο παξέκεηλαλ αλαιινίσηεο κεηά ηελ αιιαγή ηνπ ζπζηήκαηνο . Έρνπκε ινηπόλ ζπκθσλήζεη λα κηινύκε κάιινλ γηα ζπλαιινηόηεηα παξά γηα αλαιινηόηεηα..Ζ ιέμε ζπλαιινηόηεηα εθθξάδεη ην γεγνλόο όηη θαη ηα δύν κέιε ηεο εμίζσζεο έρνπλ κεηαβιεζεί αθξηβώο θαηά ηνλ ίδην ηξόπν. Οη δηαλπζκαηηθέο ινηπόλ εμηζώζεηο είλαη ζπλαιινίσηεο ζην ζηαηηθό ηξηζδηάζηαην ρώξν. ΋ια απηά ηα καζεκαηηθά ζπκπεξάζκαηα κεηαθέξνληαη ζηε θπζηθή αλ ζπκεζνύκε όηη έλα δηάλπζκα αληηπξνζσπεύεη έλα κέγεζνο ζην νπνίν απνδίδεηαη θπζηθή ύπαξμε θαη νληόηεηα(π.ρ δύλακε). Δίλαη θαλεξό όηη αλ δύν ηέηνηεο θπζηθέο νληόηεηεο είλαη ίζεο ζε θάπνην ζεκείν ηνπ ρώξνπ γηα θάπνηνλ παξαηεξεηή , δελ κπνξεί λα είλαη άληζεο γηα θάπνηνλ άιιν , αθίλεην ζε ζρέζε κε ηνλ πξώην,(ζηξνθή ζπζηήκαηνο). Έηζη πξέπεη λα θαηαιάβνπκε γηα άιιε κηα θνξά ηελ απζηεξή αιιειεμά