numerisk analyse

Numerisk analyse er et fagområde innen matematikk som utvikler og studerer beregningsmetoder som er basert på tall, ikke symboler. Slike metoder kalles numeriske metoder.

Ved numerisk regning, i motsetning til symbolsk, må alle matematiske operasjoner gjelde rasjonale tall som kan angis med et begrenset antall siffer, for eksempel det som en datamaskin er innrettet for. Andre tall, som fysiske størrelser, kan bare gjengis tilnærmet.

Det vil vanligvis oppstå ytterligere avkortings- eller avrundingsfeil under regningen, siden det bare er aritmetiske operasjoner som kan foretas direkte, ikke matematiske operasjoner som omfatter grenseoverganger. Bestemte integraler må for eksempel erstattes med endelige summer, differensialligninger med differensligninger og så videre. Derfor må det opprinnelig symbolsk formulerte beregningsproblemet, med sin eksakte, «egentlige» løsning, erstattes med et tilnærmet, men ikke helt ekvivalent numerisk løsbart problem. Avviket mellom den eksakte løsningen av dette (det vil si den man ville fått om avrundingsfeil ikke oppstod) og den «egentlige» løsningen kalles trunkeringsfeilen (også diskretiserings- eller aritmetiseringsfeilen).

Et viktig mål i den numeriske analysen er å anslå den kombinerte virkningen av avrundings- og trunkeringsfeil, når riktigheten av den numeriske løsningen ikke kan etterprøves direkte. Feil som opptrer, bør helst oppheve, og i hvert fall ikke forsterke, hverandre: Ved ustabile metoder kan en liten feil i utgangspunktet for eksempel forsterkes eksponentielt og forvrenge resultatet helt.

Hvor brukbar en metode er, henger nøye sammen med mulige særegenheter i det egentlige matematiske problemet. Metoder som er tilfredsstillende i regulære matematiske tilfeller kan være helt uegnet i nærheten av singulariteter, for eksempel ved løsning av ligningssystemer når determinanten er nær 0. Ukritisk bruk av ellers gode standardprogrammer for numeriske beregninger på datamaskin kan derfor lede til alvorlige feil.