Juliova množina

Juliova množina, $c\doteq -0,73+0,19i$

Mapa 221 Juliových množín

Rôzne Juliove množiny v závislosti na parametri c a porovna nie polohy tohto parametra v komplexnej rovine a mandelbrotovej množine

Juliova množina je množina všetkých bodov $z$ v komplexnej rovine, pre ktoré postupnosť $z_{n+1}=z_{n}^{2}+c$, kde $c$ je ľubovoľné komplexné číslo, nediverguje. Hranice takejto množiny tvoria fraktál. Prvýkrát boli tieto množiny popísané francúzskymi matematikmi Gastonom Juliom a Pierrom Fatom.

Konštrukcia

Juliove množiny možno zostrojiť jednoducho. Zvolíme ľubovoľné komplexné číslo c, ktoré bude charakterizovať množinu. Pre každý bod z (formálne $z_{0}$) komplexnej roviny zistíme, či neustálym umocňovaním $z_{n}$ a pripočítaním konštanty c diverguje:

$z_{n+1}=z_{n}^{2}+c$

Ak nediverguje, bod $z$ patrí do množiny. Výpočet vyzerá veľmi ľahko: Skúmané číslo $z$ je umocnené a je k nemu pripočítaná konštanta c. Ak je výsledok v absolútnej hodnote väčší ako 2, bod nepatrí do množiny. Ak je menší, iterácia sa zopakuje. Ak ani po niekoľkých opakovaniach výsledok nepresiahne hodnotu 2, bod patrí do Juliovej množiny. Na počte vykonaných iterácií (v ideálnom prípade nekonečno) závisí ostrosť detailov zobrazenej množiny. Podľa počtu iterácií, po ktorých absolútna hodnota bodu $z_{n+1}$ prekročí 2, možno bodu $z_{0}$ priradiť farbu a získať tak rôzne farebné prechody, hoci by správne graf Juliovej množiny mal byť dvojfarebný (patrí / nepatrí).

Príklady Juliovych množín

• 
  f(z) = z² + 0.279
• 
  f(z) = z³ + 0.400
• 
  f(z) = z⁴ + 0.484
• 
  f(z) = z⁵ + 0.544
• 
  f(z) = z⁶ + 0.590
• 
  f(z) = z⁷ + 0.626
• 
  f(z) = exp(z) - 0.65
• 
  f(z) = exp(z³) - 0.59
• 
  f(z) = exp(z³) - 0.621
• 
  f(z) = z * exp(z) + 0.04
• 
  f(z) = z² * exp(z) + 0.21
• 
  f(z) = z³ * exp(z) + 0.33
• 
  f(z) = z⁴ * exp(z) + 0.41
• 
  f(z) = Sqrt[Sinh(z²)] + (0.065,0.122i)
• 
  f(z) = [(z²+z)/Ln(z)] +(0.268,0.060i)

Pozri aj

• Mandelbrotova množina

Externé odkazy

• Root.cz, Fraktály v počítačovej grafike X: http://www.root.cz/clanky/fraktaly-v-pocitacove-grafice-x/#k05

Matematický portál