Teorema de Newton sobre ovais

O teorema de Newton sobre ovais afirma que a área cortada por uma secante de uma oval convexa suave não é uma função algébrica da secante.

Isaac Newton o enunciou como o lema 28 da seção VI do livro 1 do Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica, e o usou para mostrar que a posição de um planeta movendo-se em uma órbita não é uma função algébrica do tempo. Ocorreram controvérsias sobre se esse teorema é ou não é correto, porque Newton não especificou exatamente o que ele entendia por uma oval, e para algumas interpretações da palavra oval o teorema é correto, enquanto para outras ele é falso. Se "oval" significa "curva convexa contínua", então há contra-exemplos, tais como triângulos ou um dos lóbulos da lemniscata de Huygens y² = x² − x⁴, enquanto, como apontado por Arnold (1989): Se "oval" significa "curva convexa infinitamente diferenciável" então a afirmação de Newton é correta e seu raciocínio possui as etapas essenciais de uma prova rigorosa.

Vassiliev (2002) generalizou o teorema de Newton para dimensões superiores.

Enunciado

A lemniscata de Gerono ou Huygens; a área cortada pela secante é algébrica, mas a lemniscata não é suave na origem.

Uma tradução do enunciado original de Newton (Newton 1966, lema 28, seção 6, livro I) é:

"Não existe figura oval cuja área, cortada por linhas retas livremente, possa ser universalmente encontrada por meio de equações de um número finito qualquer de termos e dimensões."

Em linguagem matemática moderna, Newton essencialmente provou o seguinte teorema:

Não existe curva convexa suave (infinitamente diferenciável) tal que a área cortada por uma reta ax + by = c seja uma função algébrica de a, b, e c.

Se a oval é um círculo centrado na origem, então a espiral construída por Newton é uma espiral de Arquimedes.

Em outras palavras, "oval" no enunciado de Newton deve ser entendida como "curva convexa suave". A diferenciabilidade infinita em todos os pontos é necessária: Para qualquer inteiro positivo n, há curvas algébricas que são suaves em toda parte exceto por um ponto, e diferenciáveis n vezes nesse ponto de exceção, para as quais a área cortada por uma secante é algébrica.

Newton observou que um raciocínio similar mostra que o comprimento de arco entre dois pontos de uma oval (convexa suave) não é dado por uma função algébrica dos pontos.

A demonstração de Newton

Newton tomou a origem P dentro da oval, e considerou a espiral de pontos (r, θ) em coordenadas polares cuja distância r até P é a área cortada pelas retas por P com ângulos 0 e θ. Ele então observou que essa espiral não pode ser algébrica, pois ela tem um número infinito de intersecções com uma reta por P, então a área cortada por uma secante não pode ser uma função algébrica da secante.

Essa demonstração requer que a oval e portanto a espiral sejam suaves; caso contrário, a espiral pode ser uma união infinita de pedaços de diferentes curvas algébricas. Que é o que acontece nos vários "contra-exemplos" para o teorema de Newton em relação a ovais não suaves.

Notas

• Este artigo foi inicialmente traduzido, total ou parcialmente, do artigo da Wikipédia em inglês cujo título é «Newton's theorem about ovals», especificamente desta versão.

Referências

• Arnold, V. I. (1989), «Topological proof of the transcendence of the abelian integrals in Newton's Principia», Istoriko-Matematicheskie Issledovaniya, ISSN 0136-0949 (31): 7–17, MR 0993175 
• Arnold, V. I.; Vasilev, V. A. (1989), «Newton's Principia read 300 years later», Notices of the American Mathematical Society, ISSN 0002-9920, 36 (9): 1148–1154, MR 1024727 
• Newton, I. (1966), Principia Vol. I The Motion of Bodies, ISBN 978-0-520-00928-8 based on Newton's 2nd edition (1713); translated by Andrew Motte (1729) and revised by Florian Cajori (1934) ed. , Berkeley, CA: University of California Press  Alternative translation of earlier (2nd) edition of Newton's Principia.
• Pesic, Peter (2001), «The validity of Newton's Lemma 28», Historia Mathematica, ISSN 0315-0860, 28 (3): 215–219, MR 1849799, doi:10.1006/hmat.2001.2321 
• Pourciau, Bruce (2001), «The integrability of ovals: Newton's Lemma 28 and its counterexamples», Archive for History of Exact Sciences, ISSN 0003-9519, 55 (5): 479–499, MR 1827869, doi:10.1007/s004070000034 
• Vassiliev, V. A. (2002), Applied Picard-Lefschetz theory, ISBN 978-0-8218-2948-6, Mathematical Surveys and Monographs, 97, Providence, R.I.: American Mathematical Society, MR 1930577