Wzór de Moivre’a

Wzór de Moivre’a – wzór na potęgę liczby zespolonej zapisanej w postaci trygonometrycznej, tj. w postaci

z=|z|(\cos \varphi +i\sin \varphi )

(1) Jeżeli $n$ jest liczbą całkowitą, to n-tą potęgę liczby z określa wzór^[1]:

z^{n}=|z|^{n}(\cos n\varphi +i\sin n\varphi ).

(2) Jeżeli wykładnik potęgi jest odwrotnością liczby naturalnej, postaci 1/n, to obliczanie potęgi oznacza obliczanie pierwiastków n-tego stopnia z liczby zespolonej (analogicznie jak dla liczb rzeczywistych), przy czym w dziedzinie liczb zespolonych każda liczba z ma n pierwiastków stopnia n-tego. Określa je wzór:

z_{(k)}^{\frac {1}{n}}=|z|^{\tfrac {1}{n}}{\Big [}\cos {\Big (}{\tfrac {\varphi +2k\pi }{n}}{\Big )}+i\sin {\Big (}{\tfrac {\varphi +2k\pi }{n}}{\Big )}{\Big ]},

k\in \{0,\dots ,n-1\}

.

Wzór ten opracował i opublikował Abraham de Moivre w I połowie XVIII wieku^[2]. Na początku XIX stulecia upowszechniło się nazywanie tego wzoru od jego nazwiska^[3].

Postacie wykładnicze wzorów de Moivre’a

W zapisie wykładniczym powyższe wzory mają postacie:

z=|z|\cdot e^{i\phi }

- postać wykładnicza liczby zespolonej,

z^{n}=|z|^{n}\cdot e^{in\phi }

- potęga n-ta liczby zespolonej,

z_{(k)}^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{|z|}}\cdot e^{i(\phi +2\pi \cdot k)/n},\ k\in \{0,1,2,\dots ,n-1\}

- pierwiastki n-te liczby zespolonej.

Dowód

Dla $n=1$ wzór jest oczywisty.

Niech wzór jest prawdziwy dla $n=k,$ tzn.

z^{k}=|z|^{k}(\cos k\varphi +i\sin k\varphi ).

Wówczas dla $n=k+1$ dostaniemy

{\begin{aligned}z^{k+1}&=z^{k}z=|z|^{k}(\cos k\varphi +i\sin k\varphi )\cdot |z|(\cos \varphi +i\sin \varphi )\\&=|z|^{k+1}(\cos k\varphi \cos \varphi +i\cos k\varphi \sin \varphi +i\sin k\varphi \cos \varphi -\sin k\varphi \sin \varphi )\\&=|z|^{k+1}{\big (}\cos k\varphi \cos \varphi -\sin k\varphi \sin \varphi +i(\sin k\varphi \cos \varphi +\cos k\varphi \sin \varphi ){\big )}\\&=|z|^{k+1}{\big (}\cos(k+1)\varphi +i\sin(k+1)\varphi {\big )}.\end{aligned}}

Stąd na mocy zasady indukcji matematycznej wzór zachodzi dla każdego naturalnego $n.$

Z kolei dla ujemnych liczb całkowitych:

z^{-n}=\left(z^{-1}\right)^{n}=\left({\frac {\overline {z}}{|z|^{2}}}\right)^{n}={\frac {|z|^{n}\left(\cos \varphi -i\sin \varphi \right)^{n}}{|z|^{2n}}}=|z|^{-n}{\big (}\cos(-n\varphi )+i\sin(-n\varphi ){\big )}.

Uwagi

Zespolony pierwiastek n-tego stopnia z 1

Liczba 1 ma w dziedzinie liczb zespolonych n pierwiastków stopnia n-tego

1_{(k)}^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{1}}_{(k)}=\cos {\frac {2k\pi }{n}}+i\sin {\frac {2k\pi }{n}},\quad k\in \{0,\dots ,n-1\}.

Interpretacja pierwiastków zespolonych $z^{\frac {1}{n}}$ w płaszczyźnie zespolonej

Pierwiastki 5-tego stopnia z 1 na płaszczyźnie zespolonej

Jeżeli liczbę zespoloną $z$ zinterpretuje się jako wektor na płaszczyźnie zespolonej, to pierwiastek n-tego stopnia $z^{\frac {1}{n}}$ z liczby $z=|z|(\cos \varphi +i\sin \varphi )$ jest zbiorem $n$ wektorów, których końce są rozłożone równomiernie co kąt $\Delta \alpha =2\pi /n$ na okręgu o środku w punkcie $(0,0)$ i promieniu $R=|z|^{1/n}$ , przy czym pierwszy wektor jest nachylony do osi rzeczywistej pod katem $\phi _{0}=\phi /n$ .

Np. Pierwiastki 5-tego stopnia z liczby $z=1$ układają się na okręgu o promieniu $R=1$ , $\Delta \alpha =2\pi /5=72^{0}$ , $\phi _{0}=\phi /n=0,$ (gdyż $\phi =0$ , $|z|=1$ ).