Twierdzenie o wykresie domkniętym

Twierdzenie o wykresie domkniętym – jedno z podstawowych twierdzeń klasycznej analizy funkcjonalnej, charakteryzujące ciągłe przekształcenia liniowe między F-przestrzeniami, a więc w szczególności między przestrzeniami Banacha.

Twierdzenie

Niech $X$ oraz $Y$ będą F-przestrzeniami. Jeżeli operator liniowy $\Lambda \colon X\to Y$ ma domknięty wykres^[1], to jest on ciągły.

Uwagi o dowodzie

Dowód twierdzenia o wykresie domkniętym można przeprowadzić w oparciu o inne ważne twierdzenie analizy funkcjonalnej – twierdzenie o operatorze odwrotnym. Główna idea tego dowodu polega na skonstruowaniu odwzorowania liniowego, ciągłego i odwracalnego, dla którego odwrotne byłoby wyjściowym odwzorowaniem.

Przypisy

↑ Tzn. zbiór $\{(x,\Lambda x)\colon x\in X\}$ jest zbiorem domkniętym w topologii Tichonowa przestrzeni $X\times Y.$

Bibliografia

Walter Rudin: Analiza funkcjonalna. Warszawa: PWN, 2001.

[1] Tzn. zbiór $\{(x,\Lambda x)\colon x\in X\}$ jest zbiorem domkniętym w topologii Tichonowa przestrzeni $X\times Y.$

[1]