Całka względem miary wektorowej

Całka względem miary wektorowej – rozszerzenie konstrukcji całki Lebesgue’a na miary wektorowe. Potrzeba wprowadzenia całki w nowym sensie – względem miar wektorowych – zrodziła się w wyniku wzrostu znaczenia tych ostatnich we współczesnej matematyce i zastosowaniach, np. John von Neumann zbudował mechanikę kwantową w oparciu o miary spektralne, szczególne miary wektorowe.

Konstrukcja

Niech $M$ będzie niepustym zbiorem, ${\mathfrak {M}}$ będzie σ-ciałem jego podzbiorów oraz niech $B({\mathfrak {M}})$ oznacza zbiór wszystkich ${\mathfrak {M}}$ -mierzalnych, ograniczonych odwzorowań zbioru $M$ w ciało skalarów $K.$ Dalej, niech $E$ będzie ustaloną przestrzenią Banacha nad $K$ oraz $\nu \colon {\mathfrak {M}}\to E$ będzie miarą wektorową o ograniczonym półwahaniu, tj. $\|\nu \|(M)<\infty .$

Jeżeli funkcja $f\colon M\to K$ jest ${\mathfrak {M}}$ -mierzalna i przyjmuje tylko skończoną liczbę wartości, to można ją zapisać w postaci

f=\sum _{j=1}^{N}\alpha _{j}\mathbf {1} _{A_{j}},

gdzie $\alpha _{1},\dots ,\alpha _{N}\in K,$ a zbiory $A_{1},\dots ,A_{N}\in {\mathfrak {M}}$ są parami rozłączne i $\bigcup _{j=1}^{N}A_{j}=M.$ Wzór

T_{\nu }f=\sum _{j=1}^{N}\alpha _{j}\nu (A_{j})

określa odzworowanie liniowe przestrzeni

Y=\{f\in B({\mathfrak {M}})\colon \;\operatorname {card} f(M)<\aleph _{0}\}

w przestrzeń $E.$ Odwzorowanie to jest ciągłe oraz $\|T_{\nu }\|=\|\nu \|(M).$ Podprzestrzeń $Y$ jest gęsta, więc odwzorowanie $T_{\nu }$ można jednoznacznie przedłużyć do odwzorowania ciągłego przestrzeni $B({\mathfrak {M}})$ w przestrzeń $E,$ które nadal będziemy oznaczać tym samym symbolem. Oczywiście, nadal $\|T_{\nu }\|=\|\nu \|(M).$ Jeżeli $f\in B({\mathfrak {M}}),$ to zamiast $T_{\nu }f$ piszemy też

\int \limits _{M}fd\nu .

Jeżeli $f\in B({\mathfrak {M}})$ oraz $x^{\star }\in E^{\star },$ to

x^{\star }\int \limits _{M}fd\nu =\int \limits _{M}fd(x^{\star }\circ \nu ).

Jeżeli $A\in {\mathfrak {M}},$ a $f\colon A\to K$ jest ograniczoną funkcją ${\mathfrak {M}}$ -mierzalną, to

\int \limits _{A}fd\nu :=\int \limits _{M}f_{0}d\nu ,

gdzie $f_{0}\colon M\to K$ dana jest wzorem $f_{0}(x)=f(x),$ gdy $x\in A$ oraz $f_{0}(x)=0,$ gdy $x\in M\setminus A.$

Jeżeli $A,B\in {\mathfrak {M}}$ są rozłączne, a $f\colon A\cup N\to K$ jest ograniczoną funkcją ${\mathfrak {M}}$ -mierzalną, to

\int \limits _{A\cup B}fd\nu =\int \limits _{A}fd\nu +\int \limits _{B}fd\nu .

Analogicznie określa się całkę względem miary wektorowej przeliczalnie addytywnej.

Bibliografia

Tsoy-Wo Ma: Banach-Hilbert Spaces, Vector Measures and Group Representations. Providence, Rhode Island: World Scientific Pub Co Inc., 2002.
Diestel J., Uhl J.J: Vector Measures. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 1977.