Tyngdeakselerasjon

Tyngdeakselerasjonen er den akselerasjonen et legeme i fritt fall får i et gravitasjonsfelt. Vanligvis skyldes dette gravitasjonen skapt av Jordens masse og dens rotasjon. På andre planeter og måner har tyngdeakselerasjonen derfor forskjellig verdier bestemt av deres tilsvarende egenskaper.

Tyngdeakselerasjon er svært merkbar ved hopp i fallskjerm der den blir motvirket av luftmotstanden.

Ekvivalensprinsippet sier at tyngdeakselerasjonen i hvert punkt er lik med gravitasjonsfeltet i samme punkt. Begge er vektorfelt og betegnes vanligvis ved det samme symbolet g. På Jorden vil størrelsen variere med breddegrad og høyde over havet. Ved polene er tyngdeakselerasjonen 9.832 m/s², mens den har verdien 9.780 m/s² ved ekvator. Oslo som ligger på breddegrad 60^°, er tyngdeakselerasjonen 9.819 m/s².

Symbolet g₀ brukes som en måleenhet for akselerasjon hvor 1g₀ er definert som 9.80665 m/s². Verdien er valgt som en tilnærmet gjennomsnittsverdi for tyngdeakselerasjonen på havoverflaten ved 45.5° bredde.

I SI-systemet måles tyngdeakselerasjon i enheter av 1 m/s². Men i mange praktiske sammenhenger benyttes ofte fremdeles den eldre enheten Gal = 1 cm/s² = 0.01 m/s²  fra det tidligere CGS-systemet. Den er oppkalt etter Galileo Galilei som var den første som målte tyngdeakselerasjoen på Jorden. Slike målinger omtales som gravimetri og kan i dag bestemme tyngdeakselerasjoner med en nøyaktighet ned til 10^-8m/s².

Tyngdeakselerasjon på Jorden

Variasjon av tyngdeakselerasjon med avstanden fra Jordens sentrum. For dens indre er resultatet av forskjellige modellberegninger vist.

I den enkleste beskrivelse av tyngdeakselerasjonen på Jorden, antar man at den er kuleformet med radius R og masse M. Newtons gravitasjonslov gir da direkte størrelsen til gravitasjonsfeltet på Jordens overflate som

$g_{e}={GM \over R^{2}}$

hvor G er gravitasjonskonstanten og man ser bort fra jordrotasjonen. Dette er da også verdien til tyngdeakselerasjonen på jordoverflaten. Setter man her inn M = 5.97×10²⁴ kg og R = 6.37×10³ km, får man resultatet g_e = 9.82 m/s²  som tilfeldigvis er den målte verdien i Oslo.

I en høyde h over havet gir Newtons lov at tyngdeakselerasjonen er redusert til GM/(R + h)². Så lenge h << R, kan den derfor skrives som

$g_{h}=g_{e}{\Big (}1-{2h \over R}{\Big )}$

og avtar forholdsvis langsomt. Først i en høyde av 300 km er den blitt 10 % mindre. I denne høyden beveger mange kunstige satellitter seg.

For å beregne tyngdeakselerasjonen inni Jorden, behøver man å vite mer om dens indre oppbygning. I det enkleste tilfellet kan man anta at den har en uniform massetetthet ρ. Ved å bruke Newtons skallteorem er da tyngdeakselerasjonen i en avstand r  fra Jordens sentrum gitt som g_r = GM_r /r² hvor M_r = (4/3)πρr³ er massen innenfor en kuleflate med denne radius. Det gir direkte

$g_{r}=g_{e}{r \over R}$

slik at i denne modellen øker tyngdeakselerasjonen proporsjonalt med avstanden fra sentrum hvor den er null. Mer nøyaktig kjennskap til Jordens indre vil gi et noe annet resultat.

Bidrag fra rotasjonen

Tyngdeakselerasjonen på Jorden som skyldes dens masse, er en vektor g_N som er rettet mot dens sentrum og en størrelse som er gitt ved Newtons gravitasjonslov, under antagelsen at massen er kuleformet. Men i tillegg kommer et bidrag g_s som skyldes jordrotasjonen som skjer rundt en nord-syd akse med periode T = 24 timer. Dette bidraget tilsvarer sentrifugalkraften i et roterende referansesystem og er rettet utover vinkelrett på denne aksen. Størrelsen er gitt som g_s = ω²s  hvor ω = 2π /T er vinkelfrekvensen og s = R cosλ er avstanden til aksen hvis stedet på jordoverflaten har breddegrad λ. Den totale tyngdeakselerasjonen g = g_N + g_s  har da en komponent med størrelse

$g_{\lambda }={GM \over R^{2}}-\omega ^{2}R\cos ^{2}\!\lambda$

rettet inn mot sentrum, mens den andre komponenten ω²R cosλ sinλ  er parallel til overflaten og peker mot ekvator. Den medfører at Jordens masse forskyves i denne retningen slik at den her vil bli litt videre og tilsvarende sammentrykt ved polene. Den får samme form som en oblat sfæroide.

Det er den første komponenten som oppleves som tyngdeakselerasjon. Den har en variasjon med breddegraden som er bestemt av forholdet ω²R³/GM = 0.00346 og gir resultatet

$g_{\lambda }=(9.79+0.03\sin ^{2}\!\lambda )\;{\text{m}}/{\text{s}}^{2}$

Ved ekvator λ = 0^° reduserer Jordens rotasjon derfor tyngdeakselerasjonen til g = 9.79 m/s². Mer nøyaktige verdier oppnås ved å ta hensyn til at den samme rotasjonen også vil gi et bidrag til det newtonske gravitasjonsfeltet som ikke lenger skyldes en kuleformet massefordeling.

Jordens form

Begge bidragene til tyngedeakselerasjon på Jorden kan kombineres og skrives som g = - ∇ Φ hvor Φ = Φ(r,λ)  er det totale gravitasjonspotensialet som virker. Jordens overflate vil være en ekvipotensialflate gitt ved ligningen Φ = konstant. Den kan løses og gi r = r(λ) som beskriver formen til overflaten. Tyngdeakselerasjonen g vil da stå overalt vinkelrett på denne.

De to komponentene til sentrifugalakselerasjonen g_s følger fra potensialet

$\Phi _{s}=-{1 \over 2}\omega ^{2}r^{2}\cos ^{2}\lambda$

og avtar når avstanden r øker. Det tilsvarer at den virker utover. Mer komplisert er det å finne det newtonske gravitasjonspotensialet som ikke lenger kan antas å ha kulesymmetri. Men da avviket skyldes rotasjonen, vil det ha aksial symmetri. Potensialet kan beregnes ved en multipolutvikling hvor de første leddene vil gi de nødvendige korreksjonene til Newtons gravitasjonslov. Når man videre antar at massefordelingen er symmetrisk om ekvatorialplanet, vil ikke dipolleddet bidra. Den viktigste korreksjonen kommer da fra kvadrupolleddet. Denne delen av gravitasjonspotensialet blir dermed

$\Phi _{N}=-{GM \over r}+{GMa^{2}J_{2} \over 2r^{3}}(3\sin ^{2}\lambda -1)$

hvor lengden a er definert som Jordens radius ved ekvator og J₂ er en dimensjonsløs parameter som beskriver avviket fra en eksakt sfærisk symmetrisk massefordeling. Den kan uttrykkes ved treghetsmomentene til Jorden som

$J_{2}Ma^{2}=C-A$

hvor C er treghetsmomentet rundt rotasjonsaksen og A om en akse normalt på denne gjennom sentrum.

En flattrykt rotasjonsellipsoide med akser a og b.

Formen til Jorden er nå bestemt ut fra kravet at det totale potensialet Φ(r,λ) = Φ_N + Φ_s skal være konstant på overflaten. Mens a er radius ved ekvator, kan radius til en av polene kalles c. Da må Φ(r = a, λ = 0^°) = Φ(r = c, λ = 90^°). Det relative forholdet mellom disse to lengdene uttrykkes ved flattrykningen

$f=1-{c \over a}$

som for Jorden er observert å være f = 3.35×10^-3 = 1/298. Formen til overflaten er en flattrykt rotasjonsellipsoide gitt ved ligningen

$r=a(1-f\sin ^{2}\lambda )$

Denne ligger til grunn for «referanseellipsoiden» som brukes i World Geodetic System.

Kravet om konstant potensial på overflaten gir nå til laveste orden at

$f={3 \over 2}J_{2}+{1 \over 2}m$

hvor forholdet m = ω²a³/GM = 3.46×10^-3 . Da verdien til flattrykningen f er kjent, kan herav asymmetrien til massefordelingen J₂ finnes.

Nøyaktigere tyngdeakselerasjon

Tyngdeakselerasjonen som er gitt ved gradienten g = - ∇ Φ, vil ha to komponenter hvorav den radielle - ∂Φ/∂r er dominerende. Den har en størrelse gitt ved

$g={GM \over r^{2}}-{3GMa^{2}J_{2} \over 2r^{3}}(3\sin ^{2}\lambda -1)-\omega ^{2}r^{2}\cos ^{2}\lambda$

Ved å benytte her ligningen r = r(λ) for rotasjonsellipsoiden, finner man formelen for tyngdeakselerasjonen. Til laveste orden i de små størrelsene f, m og J₂ kan den skrives som

$g(\lambda )={GM \over a^{2}}\left(1+{3 \over 2}J_{2}-m\right)\left[1+{\Big (}2m-{3 \over 2}J_{2}{\Big )}\sin ^{2}\lambda \right]$

Setter man inn de numeriske verdiene, gir den resultatet

$g(\lambda )=(9.780+0.052\sin ^{2}\!\lambda )\;{\text{m}}/{\text{s}}^{2}$

Mens verdien ved ekvator er blitt redusert til 9.780 m/s², er den øket til 9.832 m/s² ved polene. Det kan forstås ved at punkt langs ekvator er kommet litt lenger bort fra Jordens sentrum, mens polene er kommet tilsvarende nærmere. Enda nøyaktigere formler kan utledes ved å ta med høyere ordens ledd i denne beregningen.

Konstant massetetthet

Tyngdeakselerasjonen på hvert sted er avhengig av rotasjonshastigheten ω og massefordelingen til Jorden. Disse to størrelsene er generelt ikke uavhengig av hverandre. I det enkleste tilfellet kan man tenke seg at den har en konstant massetetthet ρ. Med en bestemt form gitt ved ellipseaksene a og c = a (1 - f ), er da dens masse gitt som

$M={4 \over 3}\pi \rho a^{2}c$,

mens de to treghetsmomentene er

$A={4 \over 15}\pi \rho a^{2}c(a^{2}+c^{2})\;\;\;{\text{og}}\;\;\;C={8 \over 15}\pi \rho a^{4}c.$

Denne massefordelingen gir dermed asymmetriparameteren

$J_{2}={C-A \over Ma^{2}}={1 \over 5}{\Big (}1-{c^{2} \over a^{2}}{\Big )}$

Siden flattrykningen f << 1, har man derfor at J₂ = 2f /5 som igjen betyr at rotasjonsparameteren m = 4f /5. Dette stemmer ikke helt med de observerte verdiene, og man må konkludere at massetettheten i Jorden er mer komplisert.