Stelling van Lindemann-Weierstrass

De stelling van Lindemann-Weierstrass gaat over een bepaald resultaat in de getaltheorie. De stelling zegt, dat algebraïsche lineaire combinaties van algebraïsche machten van e niet nul kunnen zijn. Uit deze stelling kan afgeleid worden dat e en π transcendent getallen zijn. De stelling is genoemd naar de wiskundigen Ferdinand von Lindemann en Karl Weierstrass.

Stelling

Laat $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}$ verschillende algebraïsche getallen zijn en $\beta _{1},\ldots ,\beta _{n}$ willekeurige algebraïsche getallen, die niet alle gelijk zijn aan 0, dan geldt

$\beta _{1}e^{\alpha _{1}}+\ldots +\beta _{n}e^{\alpha _{n}}\neq 0$.

Met behulp van deze zeer algemene stelling bewees von Lindemann de duidelijk zwakkere resultaten dat e en π transcendent zijn.

Gevolgen

De volgende resultaten zijn een direct gevolg van de stelling:

• Zou $e$ een algebraïsch getal zijn, dan zouden er gehele getallen $\beta _{0},\beta _{1},\ldots ,\beta _{n}$ moeten zijn, niet alle gelijk aan nul, zodat

$\beta _{0}e^{0}+\beta _{1}e^{1}+\ldots +\beta _{n}e^{n}=0,$

wat duidelijk in tegenspraak is met de bovengenoemde stelling.

• Om de transcendentie van $\pi$ af te leiden, veronderstelt men dat $\pi$ een algebraïsch getal zou zijn. Omdat de algebraïsche getallen een lichaam vormen, moet dan ook $\pi i$ algebraïsch zijn, waarin $i$ de imaginaire eenheid is. Voor $n=1,\beta _{0}=\beta _{1}=1,\alpha _{0}=\pi i$ en $\alpha _{1}=0$ krijgt men een tegenspraak met de bovengenoemde stelling, want volgens de formule van Euler geldt:

$e^{\pi i}+1=e^{\pi i}+e^{0}=0$.

• Duidelijk is dat de natuurlijke logaritme van een algebraïsch getal een transcendent getal is. Immers, stel dat $\alpha$ een algebraïsch getal is, dan geldt

$e^{\ln(\alpha )}-\alpha e^{0}=0$

en hierin zijn behalve $\ln(\alpha )$ alle coëfficiënten algebraïsch.

• Is $\alpha$ een van 0 verschillend algebraïsch getal, dan volgt uit de stelling ook dat de getallen $e^{\alpha }$, sin(α), cos(α), tan(α), sinh(α), cosh(α) en tanh(α) transcendent zijn.

Korte tijd na het bewijs van de stelling van Lindemann-Weierstrass leverde David Hilbert een duidelijk vereenvoudigd bewijs voor de speciale gevallen van de transcendentie van de wiskundige constanten $e$ en $\pi$, waaruit ook weer de algemene stelling af te leiden is.

Literatuur

• (de) Ferdinand Lindemann: Über die Zahl $\pi$. (1882) In: Mathematische Annalen 20, pp. 213 - 225.
• (de) David Hilbert: Ueber die Transcendenz der Zahlen e und $\pi$. (1893) In: Mathematische Annalen 43, pp. 216 - 219.