Symmetrische functie
De definitie van een symmetrische functie hangt van het aantal argumenten af waarop de functie werkt. De definitie voor een symmetrische functie met een argument is anders dan voor een symmetrische functie met meer argumenten.
- Een symmetrische functie in een variabele is een functie, waarvan de grafiek symmetrisch is om de -as, dus zodat voor alle in het domein van geldt dat .
- Een symmetrische functie in meer variabelen is een functie of afbeelding waarvan de functiewaarde niet verandert bij onderlinge verwisseling van de argumenten.
Een variabele
bewerkenEen symmetrische functie in een variabele is een functie die symmetrisch is om de -as, dus zodat voor alle in het domein van geldt dat .
Een functie in een variabele is antisymmetrisch wanneer voor alle geldt dat . Een antisymmetrische functie is puntsymmetrisch om de oorsprong.
Meer variabelen
bewerkenDefinitie
bewerkenDe functie gedefinieerd op het -voudige cartesische product van een verzameling heet symmetrisch, als voor alle en permutaties van de getallen geldt:
Van een symmetrische functie in variabelen is de functiewaarde van ieder n-tupel dus gelijk aan die voor alle permutaties van .
Voorbeelden
bewerken- De functie
- is symmetrisch. Het verwisselen van de variabelen verandert de uitkomst niet. Maar voor de functie
- is dat niet zo, want
- en
- zijn niet voor alle mogelijke invoerwaarden van en hetzelfde.
- Elementair symmetrische polynomen
- Het inwendige product is symmetrisch in de twee vectoren en .
Antisymmetrie
bewerkenEen functie kan ook antisymmetrisch zijn. Verwisseling van twee variabelen geeft dan een tekenwisseling in de functiewaarde. Een eenvoudig voorbeeld is
want
Bij antisymmetrische functies van meer dan twee variabelen volgt het teken van het resultaat de pariteit van de permutatie, dat wil zeggen of het aantal verwisselingen in de permutatie even of oneven is.
Bewerking
bewerkenEen functie van twee variabelen wordt soms in infixnotatie geschreven en een binaire operatie genoemd. Als de functie symmetrisch is wordt de operatie commutatief genoemd.
Een functie van meer dan twee variabelen kan worden gemaakt door het herhaald toepassen van een binaire operatie, bijvoorbeeld . Om op deze manier een symmetrische functie te krijgen moet de operatie behalve commutatief ook associatief zijn. Merk op dat associatieve operaties niet commutatief hoeven te zijn. Een voorbeeld is matrixvermenigvuldiging, waar het resultaat over het algemeen anders is bij een verwisseling van linker en rechter operand.