Ruimtegroep

In de kristallografie en de groepentheorie, een deelgebied van de wiskunde, geeft een ruimtegroep of Fedorov-groep een beschrijving van de symmetrie van een kristal. Het is een groep van symmetrie-bewerkingen, die de ruimte vult. Ruimtegroepen bestaan uit een combinatie van rotatie-, spiegel- en translatiesymmetrieën.

Geschiedenis

De ruimtegroepen in drie dimensies werden voor het eerst in 1891 door Evgraf Fedorov geclassificeerd en kort daarna en onafhankelijk daarvan, in 1894, door de geoloog William Barlow en door de wiskundige Arthur Moritz Schoenflies. Deze eerste classificaties bevatten nog verschillende kleine fouten. De correcte lijst van precies 230 ruimtegroepen in drie dimensies kwam tot stand in een correspondentie tussen Fjodorov en Schönflies.

Ruimtegroepen en dimensie van de ruimte

Een patroon, dat translaties in één dimensie, in één richting bevat, heet een strookpatroon. Er zijn daarvoor zeven mogelijkheden, er zijn zeven strookpatroongroepen.

Het is al eeuwen bekend dat er in twee dimensies precies 17 verschillende ruimtegroepen zijn. Die worden behangpatroongroepen genoemd. Een patroon in twee dimensies zonder translatie, met alleen rotatie en eventueel spiegeling, wordt een rozet genoemd.

Er zijn in de driedimensionale ruimte zijn er zonder onderscheid tussen x-, y- en z- richting 219 ruimtegroepen. Door onderscheid te maken tussen x-, y- en z-richting komen 11 groepen voor als enantiomorfe paren. Dit brengt het totaal op precies 230 verschillende driedimensionale ruimtegroepen.

Ruimtegroepen zijn vooral voor de kristallografie en de structuurbepaling middels röntgendiffractie van groot belang. Het is voor de bepaling van magnetische structuren middels neutronendiffractie ook nodig met de richting van ongepaarde elektronspins rekening te houden. Dit kan geschieden door de ruimtegroepen uit te breiden met een nieuw symmetrie-element R, dat wel wordt tijdsinversie genoemd. Dit element keert de richting van een spin om zonder verder iets aan de atomaire structuur te veranderen. Door dit extra 'genererende element' worden, net als bij de puntgroepen, 'dubbelgroepen' gevormd en zo krijgt men de 1651 'magnetische ruimtegroepen'.

De naam ruimtegroep wordt in strikte zin gebruikt voor de driedimensionale euclidische ruimte. In de wiskunde worden ruimtegroepen soms ook in meer dan drie dimensies bestudeerd en worden in dat geval soms bieberbach-groepen genoemd. Bieberbach-groepen zijn discrete nevencompacte (cocompacte) groepen van isometrieën van een georiënteerde euclidische ruimte.

Klassificatie van de 230 ruimtegroepen

De 230 ruimtegroepen, dus ook de kristallen, die de symmetrie-elementen van een van deze hebben, kunnen naar de zeven kristalstelsels, of naar de 14 bravaisroosters, en naar de 32 kristallografische puntgroepen worden onderverdeeld. Omgekeerd genereren de 14 bravaisroosters en de 32 puntgroepen samen de 230 ruimtegroepen. Er zijn 14 x 32 = 448 mogelijke combinaties, maar dit aantal wordt vanwege isomorfisme tot 230 verschillende ruimtegroepen teruggebracht.

Voor de classificatie van de ruimtegroepen wordt gebruikgemaakt van de internationale notatie, dit is de verkorte vorm van de hermann-mauguinnotatie. De symbolen voor de bravaisroosters zijn daarbij gecombineerd met de symbolen voor de puntgroepen. Omdat er in de loop der jaren kleine, meestal per land land bepaalde notatieverschillen zijn ontstaan, is omwille van de eenduidigheid aan iedere ruimtegroep een officieel nummer gegeven van 1 t/m 230.^[1]

puntgroep	nummer	ruimtegoep naar puntgroep en naar kristalstelsel
		triklien
1	1	P1
1	2	P1
		monoklien
2	3-5	P2	P2₁	C2
m	6-9	Pm	Pc	Cm	Cc
2/m	10-15	P2/m	P2₁/m	C2/m	P2/c	P2₁/c	C2/c
		orthorombisch
222	16-24	P222	P222₁	P2₁2₁2	P2₁2₁2₁	C222₁	C222	F222	I222
222	16-24	I2₁2₁2₁
mm2	25-46	Pmm2	Pmc2₁	Pcc2	Pma2	Pca2₁	Pnc2	Pmn2₁	Pba2
		Pna2₁	Pnn2	Cmm2	Cmc2₁	Ccc2	Amm2	Aem2	Ama2
		Aea2	Fmm2	Fdd2	Imm2	Iba2	Ima2
mmm	47-74	Pmmm	Pnnn	Pccm	Pban	Pmma	Pnna	Pmna	Pcca
		Pbam	Pccn	Pbcm	Pnnm	Pmmn	Pbcn	Pbca	Pnma
		Cmcm	Cmce	Cmmm	Cccm	Cmme	Ccce	Fmmm	Fddd
		Immm	Ibam	Ibca	Imma
		tetragonaal
4	75-80	P4	P4₁	P4₂	P4₃	I4	I4₁
4	81-82	P4	I4
4/m	83-88	P4/m	P4₂/m	P4/n	P4₂/n	I4/m	I4₁/a
422	89-98	P422	P42₁2	P4₁22	P4₁2₁2	P4₂22	P4₂2₁2	P4₃22	P4₃2₁2
422	89-98	I422	I4₁22
4mm	99-110	P4mm	P4bm	P4₂cm	P4₂nm	P4cc	P4nc	P4₂mc	P4₂bc
4mm	99-110	I4mm	I4cm	I4₁md	I4₁cd
42m	111-122	P42m	P42c	P42₁m	P42₁c	P4m2	P4c2	P4b2	P4n2
42m	111-122	I4m2	I4c2	I42m	I42d
4/mmm	123-142	P4/mmm	P4/mmc	P4/nbm	P4/nnc	P4/mbm	P4/nnc	P4/nmm	P4/ncc
		P4₂/mmc	P4₂/mcm	P4₂/nbc	P4₂/nnm	P4₂/mbc	P4₂/mnm	P4₂/nmc	P4₂/ncm
		I4/mmm	I4/mcm	I4₁/amd	I4₁/acd
		trigonaal
3	143-146	P3	P3₁	P3₂	R3
3	147-148	P3	R3
32	149-155	P312	P321	P3₁12	P3₁21	P3₂12	P3₂21	R32
3m	156-161	P3m1	P31m	P3c1	P31c	R3m	R3c
3m	162-167	P31m	P31c	P3m1	P3c1	R3m	R3c
		hexagonaal
6	168-173	P6	P6₁	P6₅	P6₂	P6₄	P6₃
6	174	P6
6/m	175-176	P6/m	P6₃/m
622	177-182	P622	P6₁22	P6₅22	P6₂22	P6₄22	P6₃22
6mm	183-186	P6mm	P6cc	P6₃cm	P6₃mc
6m2	187-190	P6m2	P6c2	P62m	P62c
6/mmm	191-194	P6/mmm	P6/mcc	P6₃/mcm	P6₃/mmc
		kubisch
23	195-199	P23	F23	I23	P2₁3	I2₁3
m3	200-206	Pm3	Pn3	Fm3	Fd3	I3	Pa3	Ia3
432	207-214	P432	P4₂32	F432	F4₁32	I432	P4₃32	P4₁32	I4₁32
43m	215-220	P43m	F43m	I43m	P43n	F43c	I43d
m3m	221-230	Pm3m	Pn3n	Pm3n	Pn3m	Fm3m	Fm3c	Fd3m	Fd3c
m3m	221-230	Im3m	Ia3d

Bronnen, noten en/of referenties

↑ De sectie 'Klassificatie van de 230 ruimtegroepen' of een eerdere versie ervan is een (gedeeltelijke) vertaling van het artikel Groupe d'espace op de Franstalige Wikipedia, dat onder de licentie Creative Commons Naamsvermelding/Gelijk delen valt. Zie de bewerkingsgeschiedenis aldaar.

[1] De sectie 'Klassificatie van de 230 ruimtegroepen' of een eerdere versie ervan is een (gedeeltelijke) vertaling van het artikel Groupe d'espace op de Franstalige Wikipedia, dat onder de licentie Creative Commons Naamsvermelding/Gelijk delen valt. Zie de bewerkingsgeschiedenis aldaar.

[1]