Kwadraatgetal

In wiskunde is een kwadraatgetal, soms ook wel een perfect vierkant genoemd, een geheel getal dat kan worden geschreven als het kwadraat van een geheel getal; met andere woorden, het is het product van een willekeurig geheel getal met zichzelf. Zo is bijvoorbeeld 9 een kwadraatgetal, omdat het kan worden geschreven als 3 × 3. Kwadraatgetallen zijn niet-negatief. Een andere manier om te zeggen dat een (niet-negatief) getal een kwadraatgetal is, is dat de wortel van een kwadraatgetal een geheel getal is. Aangezien ${\sqrt {9}}=3$, is 9 een kwadraatgetal.

Voorbeelden

De eerste 50 kwadraatgetallen binnen de natuurlijke getallen zijn:

1² = 1

2² = 4

3² = 9

4² = 16

5² = 25

6² = 36

7² = 49

8² = 64

9² = 81

10² = 100

11² = 121

12² = 144

13² = 169

14² = 196

15² = 225

16² = 256

17² = 289

18² = 324

19² = 361

20² = 400

21² = 441

22² = 484

23² = 529

24² = 576

25² = 625

26² = 676

27² = 729

28² = 784

29² = 841

30² = 900

31² = 961

32² = 1024

33² = 1089

34² = 1156

35² = 1225

36² = 1296

37² = 1369

38² = 1444

39² = 1521

40² = 1600

41² = 1681

42² = 1764

43² = 1849

44² = 1936

45² = 2025

46² = 2116

47² = 2209

48² = 2304

49² = 2401

50² = 2500

Het patroon tussen de perfecte vierkanten van negatief oneindig tot positief oneindig is als volgt:

$n^{2}=(n-1)^{2}+(2n-1).\$

en dus ook

$(n+1)^{2}=n^{2}+(2n+1).\$

Eigenschappen

Het getal m is dan en slechts dan een kwadraatgetal als men de m punten in een vierkant kan arrangeren:

m = 12 = 1
m = 22 = 4
m = 32 = 9
m = 42 = 16
m = 52 = 25

De uitdrukking voor het n-de kwadraatgetal is n². Dat dit ook gelijk is aan de som van de eerste n oneven getallen kan men zien in de bovenstaande plaatjes, waar een vierkant de som is van het voorgaande vierkant met daarbij een oneven aantal punten (in cyaan) opgeteld. De formule volgt:

$n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1)$.

Zo is bijvoorbeeld 5² = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9.

Het verschil tussen twee willekeurige kwadraatgetallen is een oneven getal of de som van twee opeenvolgende oneven getallen.

Elk kwadraatgetal n² kan ook geschreven worden als de som van een rekenkundige rij van n getallen met als eerste element (n+1)/2 en als verschil 1:

• 2² = 4 = 1,5 + 2,5
• 3² = 9 = 2 + 3 + 4
• 4² = 16 = 2,5 + 3,5 + 4,5 + 5,5
• 5² = 25 = 3 + 4 + 5 + 6 + 7
• 6² = 36 = 3,5 + 4,5 + 5,5 + 6,5 + 7,5 + 8,5
• 7² = 49 = 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10

enzoverder. Hieruit blijkt dat als n een oneven getal is, het kwadraat ervan de som is van n opeenvolgende natuurlijke getallen.

Zie ook

• Driehoekskwadraatgetal

Bronnen, noten en/of referenties