Kumpulan ruang

Dalam matematik, fizik dan kimia, kumpulan ruang ialah kumpulan simetri objek dalam suatu ruang, biasanya dalam tiga dimensi.^[1] Unsur-unsur kumpulan ruang (operasi simetri) ialah transformasi tegar bagi objek yang membiarkannya tidak berubah. Dalam tiga dimensi, kumpulan angkasa dikelaskan kepada 219 jenis berbeza, atau 230 jenis jika salinan kiral dianggap berbeza. Kumpulan ruang ialah kumpulan kopadat diskret bersifat isometri berorientasikan ruang Euclid dalam sebarang bilangan dimensi. Di luar dunia tiga dimensi, ia kadangkala dipanggil sebagai kumpulan Bieberbach.

Dalam kristalografi, kumpulan angkasa juga dipanggil kumpulan kristalografi atau Fedorov, dan mewakili perihalan simetri kristal. Sumber muktamad mengenai kumpulan ruang 3 dimensi ialah International Tables for Crystallography oleh Hahn (2002).

Sejarah

Kumpulan ruang dalam 2 dimensi ialah 17 kumpulan "kertas dinding" yang telah diketahui selama beberapa abad, walaupun bukti bahawa senarai itu lengkap hanya diberikan pada 1891, selepas pengelasan kumpulan ruang yang lebih sukar sebahagian besarnya telah diselesaikan.^[2]

Unsur

Kumpulan angkasa dalam tiga dimensi dibuat daripada gabungan 32 kumpulan titik kristalografi dengan 14 kekisi Bravais, setiap satu daripada yang kedua dimiliki oleh salah satu daripada 7 sistem kekisi. Maksudnya ialah tindakan mana-mana elemen kumpulan ruang tertentu boleh dinyatakan sebagai tindakan elemen kumpulan titik yang sesuai diikuti secara pilihan dengan terjemahan. Oleh itu, kumpulan ruang ialah gabungan simetri translasi sel unit (termasuk pemusatan kekisi), operasi simetri kumpulan titik pantulan, putaran dan putaran tidak betul (juga dipanggil rotoputaran), dan operasi simetri paksi luncuran dan satah luncur. Gabungan semua operasi simetri ini menghasilkan sejumlah 230 kumpulan ruang berbeza yang menerangkan semua kemungkinan simetri kristal.

Unsur menetapkan titik

Elemen kumpulan ruang yang menetapkan titik ruang ialah elemen identiti, pantulan, putaran dan putaran tidak betul.

Translasi

Translasi itu membentuk subkumpulan biasa abelian peringkat 3, dipanggil kekisi Bravais (dinamakan demikian sempena ahli fizik Perancis Auguste Bravais). Terdapat 14 jenis kekisi Bravais yang mungkin. Hasil bagi kumpulan ruang kekisi Bravais ialah kumpulan terhingga yang merupakan salah satu daripada 32 kumpulan titik yang mungkin.

Satah gelangsar

Satah gelangsar ialah pantulan dalam satah, diikuti dengan translasi yang selari dengan satah itu. Ini diperhatikan oleh $a$ , $b$ , atau $c$ , bergantung pada paksi mana gelangsar itu berada. Terdapat juga gelangsar $n$ , iaitu gelangsaran di sepanjang separuh pepenjuru muka, dan gelangsar $d$ , iaitu satu perempat jalan sepanjang sama ada muka atau ruang pepenjuru sel unit. Gelangsar terakhir ini dipanggil satah gelangsar berlian kerana ia mempunyai struktur berlian. Dalam 17 kumpulan ruang, disebabkan oleh pemusatan sel, gelangsar berlaku dalam dua arah berserenjang serentak, iaitu satah gelangsar yang sama boleh dipanggil b atau c, a atau b, a atau c. Sebagai contoh, kumpulan Abm2 boleh juga dipanggil Acm2, kumpulan Ccca boleh dipanggil Cccb. Pada 1992, dicadangkan untuk menggunakan simbol e bagi gelangsar tersebut. Simbol untuk lima kumpulan angkasa telah diubah suai:

Kumpulan ruang	39	41	64	67	68
Simbol baharu	Aem2	Aea2	Cmce	Cmme	Ccce
Simbol lama	Abm2	Aba2	Cmca	Cmma	Ccca

Paksi skru

Paksi skru ialah putaran berdasarkan paksi, diikuti dengan translasi sepanjang arah paksi. Ini dinyatakan dengan nombor, n, untuk menerangkan tahap putaran, di mana nombor itu ialah bilangan operasi yang mesti digunakan untuk melengkapkan putaran penuh (cth, 3 bermaksud putaran satu pertiga keliling paksi setiap kali). Darjat translasi kemudiannya ditambah sebagai subskrip yang menunjukkan sejauh mana sepanjang paksi terjemahan itu, sebagai sebahagian daripada vektor kekisi selari. Jadi, 2₁ ialah putaran ganda dua, diikuti dengan terjemahan 1/2 daripada vektor kekisi.

Formula am

Formula umum untuk tindakan unsur kumpulan ruang ialah

y = M.x + D

di mana M ialah matriksnya, D ialah vektornya, dan di mana unsur mengubah titik x menjadi titik y. Secara amnya, D = D (kekisi) + D(M), di mana D(M) ialah fungsi unik M yang sifar untuk M sebagai identiti. Matriks M membentuk kumpulan titik yang merupakan asas kumpulan ruang; kekisi mestilah simetri di bawah kumpulan titik itu, tetapi struktur kristal itu sendiri mungkin tidak simetri di bawah kumpulan titik itu seperti yang digunakan pada mana-mana titik tertentu (iaitu, tanpa terjemahan). Sebagai contoh, struktur padu berlian tidak mempunyai sebarang titik di mana kumpulan titik padu digunakan.

Dimensi kekisi boleh kurang daripada dimensi keseluruhan, menghasilkan kumpulan ruang "subperiodik". Bagi (dimensi keseluruhan, dimensi kekisi):

(1,1): Kumpulan garis satu dimensi
(2,1): Kumpulan garisan dua dimensi: kumpulan friz
(2,2): Kumpulan "kertas dinding"
(3,1): Kumpulan garis tiga dimensi; dengan kumpulan titik kristalografi 3D, kumpulan rod
(3,2): Kumpulan lapisan
(3,3): Kumpulan ruang yang dibincangkan dalam rencana ini

Rujukan

^ Hiller, Howard (1986). "Crystallography and cohomology of groups". The American Mathematical Monthly. 93 (10): 765–779. doi:10.2307/2322930. JSTOR 2322930.
^ Fedorov (1891b).

Bibliografi

Fedorov, E. S. (1891b). "Симметрія на плоскости" [Simmetrija na ploskosti, Symmetry in the plane]. Записки Императорского С.-Петербургского Минералогического Общества (Zapiski Imperatorskogo Sant-Petersburgskogo Mineralogicheskogo Obshchestva, Proceedings of the Imperial St. Petersburg Mineralogical Society). 2nd series (dalam bahasa Rusia). 28: 345–390.
Hahn, Th. (2002), Hahn, Theo (penyunting), International Tables for Crystallography, Volume A: Space Group Symmetry, International Tables for Crystallography, A (ed. 5th), Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1107/97809553602060000100, ISBN 978-0-7923-6590-7

[1] Hiller, Howard (1986). "Crystallography and cohomology of groups". The American Mathematical Monthly. 93 (10): 765–779. doi:10.2307/2322930. JSTOR 2322930.

[FOOTNOTEFedorov1891b-2] Fedorov (1891b).

[1]

[2]