덧셈
덧셈(현대 수학에서 더하기표 +로 자주 표현된다.)은 산술의 기본 연산 중의 하나로, 뺄셈과 곱셈, 나눗셈과 함께 대표되는 사칙연산이다. 두 개의 수를 받아서 두 수의 합인 하나의 수를 내는 연산이다. 옆의 그림에서 위쪽의 3개의 사과와 아래쪽의 2개의 사과를 덧셈하면(더하면) 사과 5개가 된다. 이를 수학적으로 표현하면 3+2=5가 된다.(말로 표현할 때는 "삼 더하기 이는 오"라고 한다.)
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수의 덧셈
편집덧셈은 보통 덧셈기호 +의 양 옆에 숫자를 넣는 중위 표기법으로 표현한다. 그리고 그 결과를 등호기호 =의 오른쪽에 넣어서 표현한다.
관습적으로 대분수의 경우 따로 덧셈기호가 없어도 앞의 수와 뒤의 분수가 더해진 수라고 생각한다.
두 자연수의 덧셈은 자연수의 순서에 맞게 그 순서를 더한다.
- 세번째 수+네번째 수=일곱번째 수
두 자리수 이상의 자연수의 덧셈은 각각의 자리수를 더해서 구할 수 있다.
두 분수의 덧셈은 분모가 같은 경우 분자끼리 더한다.
분모가 다른 경우 두 분모가 최소공배수가 되는 값을 각각의 분수의 분모와 분자에 곱해서 더한다.
받아올림
편집두 자리 수 이상의 자연수를 더할 때, 같은 자리의 숫자끼리의 합이 10 이상이 되면 받아올림이 필요하다. 예를 들어 27 + 59를 계산할 때, 먼저 일의 자리 숫자끼리 계산하면 16이 되므로 6을 일의 자리 숫자에 적고, 1을 받아올린다. 그리고 십의 자리 숫자끼리 계산할 때 일의 자리에서 받아올린 수까지 함께 더하여 8이 되므로 8을 십의 자리 숫자에 적는다.
¹ 27 + 59 ———— 86
소수의 덧셈
편집소수의 덧셈은 다음과 같다. 소수점이 같은 위치에 오도록 적고, 한 수에만 빈 자리가 있으면 그 자리에 0을 적는다. 그 다음에는 자연수의 덧셈과 마찬가지로 같은 자리의 숫자까리 더하되 필요한 경우 받아올림을 한다. 소수점은 더한 수와 같은 위치에 찍는다. 예를 들어 45.1 + 4.34는 다음과 같이 계산한다.
4 5 . 1 0 + 0 4 . 3 4 ———————————— 4 9 . 4 4
수학적 정의
편집덧셈은 두 개의 원소를 받아 하나의 원소를 내는 이항연산이다. 자연수, 정수, 유리수, 실수, 복소수는 각기 다른 대수구조를 가지고 있기 때문에 수학적인 정의들이 각각이 다르다.
자연수
편집페아노 공리계에서 자연수 집합 은 다음 다섯개의 공리로 정해진다.
여기서 '는 계승자를 나타내는 사상으로 n'은 n의 다음 자연수를 의미한다. 자연수 집합에 0을 추가한 집합 에 대해서, 덧셈은 다음과 같이 귀납적으로 정의된다.
- ,
임의의 자연수는 0 또는 다른 자연수의 다음 자연수이므로, 임의의 의 오른쪽에 자연수를 더하는 것은 항상 두 경우 중 하나와 일치한다. 자연수 덧셈의 교환법칙과 결합법칙은 수학적 귀납법을 통해 증명할 수 있다.
정수
편집두 정수를 각각 자연수의 차 , 로 표현할 때 ( , , , 는 자연수), 정수의 합은 으로 정의한다. 이때, 와 는 자연수에서 정의된 덧셈의 결과이다.
유리수
편집유리수에서는 덧셈을 다음과 같이 정의한다. 두 유리수를 정수의 비 , ( , , , 는 정수이고 와 는 0이 아니다) 로 표현할 때, 유리수의 합은 다음과 같다.
분수는 유리수의 표기법이므로, 이 정의를 사용하여 분수의 덧셈을 할 수 있다. 예를 들어, 이다.
실수
편집실수를 유리수의 완비 거리 공간으로 생각하였을 때, 각 실수는 유리수의 코시 열의 극한값이다. 두 실수 , ( 은 유리수의 코시 열) 에 대해 실수의 합은 각 유리수열에 대해 항 별로 덧셈을 하여 극한을 취한 결과인 으로 정의한다.
복소수
편집복소수의 덧셈은 실수부와 허수부를 각각 더한 결과로 정의한다. 두 복소수 , ( 는 실수)에 대해, 복소수의 합은 으로 정의한다. 이때 는 실수에서 정의된 덧셈의 결과이다.
성질
편집교환법칙
편집덧셈에서는 교환법칙이 성립한다. 이는 덧셈을 할 때 피연산자의 배치 순서를 바꾸어도 항상 같은 결과를 얻는다는 것을 의미한다. 즉, 모든 에 대해
가 성립한다.
결합법칙
편집덧셈에서는 결합법칙도 성립한다. 이는 세 피연산자에 대해 덧셈을 할 때 어떤 쌍을 처음 더한 후 다른 하나를 더할 때 항상 같은 결과를 얻는다는 것을 의미한다. 즉, 모든 , , 에 대해
가 성립한다. 결합법칙에 의해, 라는 표현은 와 중 어느 것으로 해석되더라도 같은 결과를 얻으므로 의미가 모호하지 않다.
항등원
편집덧셈의 항등원은 0이다. 즉, 모든 에 대해
가 성립한다.
더하기표
편집+ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
2 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
3 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
4 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |
5 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |
6 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
7 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
8 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 |
9 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 |
곱셈과의 관계
편집같은 수를 여러 번 더한 것을 곱셈이라고 한다.
같이 보기
편집이 글은 수학에 관한 토막글입니다. 여러분의 지식으로 알차게 문서를 완성해 갑시다. |