Mantissa

Sia a un numero positivo, si definisce mantissa del numero reale a la parte frazionaria del logaritmo di a rispetto a una qualche base.

Storia

Il termine non ha significato in lingua italiana al di fuori dal contesto matematico. Deriva dal termine latino mantissa (probabilmente di origine etrusca),^[1] che indicava una aggiunta di riempimento. Il termine è entrato nell'uso della lingua inglese e dell'italiano antico per indicare un'aggiunta^[2] o una cosa di poco conto.

Nel 1624 il termine venne adottato da Henry Briggs per indicare la parte decimale da aggiungere alla parte intera di un logaritmo.^[3]

Con lo sviluppo delle notazioni in virgola mobile, che hanno assunto grande importanza in seguito alla nascita dei calcolatori, il termine è stato impiegato sia in italiano sia in inglese per indicare le cifre significative del numero rappresentato. Tale uso è stato probabilmente introdotto da Arthur Burks nel 1946.^[4] Tale uso è ancora comune nel contesto informatico, tuttavia è deprecato dallo standard IEEE 754 e da diverse figure tra le quali William Kahan, che usa il termine significand e considera errato l'uso di mantissa,^[5] e Donald Knuth, che usa l'espressione parte frazionaria e considera l'uso di mantissa in questo contesto un abuso terminologico, in quanto si tratta di un concetto che ha un significato differente nel contesto dei logaritmi,^[6] dove gode di proprietà diverse. Le notazioni scientifica e in virgola mobile sono rappresentazioni log-lineari, non logaritmiche, e nell'eseguire prodotti di numeri in virgola mobile si esegue il prodotto delle parti frazionarie e la somma degli esponenti, mentre nel prodotto di logaritmi si sommano sia le caratteristiche sia le mantisse. In questa accezione, nella lingua inglese il termine è stato sostituito da significand,^[7] introdotto da Forsythe e Moler nel 1967.^[8]

Esempio

Dato il numero 147, $\log _{10}$ (147) = 2,1673173, la sua mantissa è il numero dopo la virgola (1673173).

Proprietà

La mantissa di un numero a non varia se si moltiplica o si divide il numero "a" per una potenza intera della base del logaritmo; ovvero la mantissa di $a$ in base $m$ è uguale alla mantissa di $am^{k}$ $(k\in \mathbb {Z} )$ , dato che $\log _{m}(am^{k})=\log _{m}(a)+k$ e quindi la parte frazionaria resta invariata, visto che l'addendo è un intero.

Questa proprietà, unita a quelle della caratteristica del logaritmo rende possibile la costruzione di tavole di logaritmi che consentono, note le prime n cifre del numero, (con n il grado di accuratezza) di individuare le prime n cifre della parte decimale del logaritmo ed approssimare le successive, e viceversa, note le prime n cifre della mantissa è possibile calcolare le prime n cifre del numero.

Note

^ mantissa, in Treccani.it – Enciclopedie on line, Roma, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.
^ Policarpo Petrocchi, mantissa, in Nòvo dizionàrio universale della lingua italiana, Milano, Fratèlli Trèves, 1912, p. 152.
^ Steven Schwartzman, The Words of Mathematics, MAA, 1994, p. 131, ISBN 978-0-88385-511-9.
^ Arthur Walter Burks, Herman H. Goldstine e John von Neumann, Preliminary discussion of the logical design of an electronic computing instrument (PDF) (Technical report, Institute for Advanced Study, Princeton, New Jersey, USA), in A. H. Taub (a cura di), Collected Works of John von Neumann, vol. 5, New York, USA, The Macmillan Company, 1963, p. 42. URL consultato il 7 febbraio 2016.

(EN)
«Several of the digital computers being built or planned in this country and England are to contain a so-called "floating decimal point". This is a mechanism for expressing each word as a characteristic and a mantissa — e.g. 123.45 would be carried in the machine as (0.12345,03), where the 3 is the exponent of 10 associated with the number.»

(IT)
«Molti dei computer digitali in costruzione o pianificazione in questa nazione o in Inghilterra useranno la cosiddetta "virgola mobile". È un meccanismo per esprimere ogni word come caratteristica e mantissa, – es. 123,45 sarebbe rappresentato come 0,12345e03, dove il 3 è l'esponente in base 10 associato al numero.»
^ William Morton Kahan, Names for Standardized Floating-Point Formats (PDF), 19 aprile 2002.
«m is the significand or coefficient or (wrongly) mantissa»
^ Donald Ervin Knuth, 4.2.1.A, in The Art of Computer Programming, vol. 2, Addison-Wesley, 1969.
«"[...] it is an abuse of terminology to call the fraction part a mantissa, since this concept has quite a different meaning in connection with logarithms [...]"»
^ David Goldberg, What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic, in ACM Computing Surveys, marzo 1991, p. 7.
^ G.E. Forsythe e C.B. Moler, Computer Solution of Linear Algebraic Systems, Englewood Cliffs, Pretince-Hall, 1967.

Bibliografia

P. Abbott, Teach yourself algebra, Hodder & Stoughton, Bungay, Suffolk., 1946
E.J. Borowski-J.M. Borwein, Dizionario Collins della Matematica, Gremese Editore, Città di Castello, 1998, ISBN 88-7742-186-X

Voci correlate

Collegamenti esterni

mantissa, su Treccani.it – Enciclopedie on line, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.
mantissa, su sapere.it, De Agostini.
(EN) mantissa, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
(EN) Eric W. Weisstein, Mantissa, su MathWorld, Wolfram Research.
(EN) Denis Howe, mantissa, in Free On-line Dictionary of Computing. Disponibile con licenza GFDL

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[1] tissa, in Treccani.it – Enciclopedie on line, Roma, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.

[2] Policarpo Petrocchi, mantissa, in Nòvo dizionàrio universale della lingua italiana, Milano, Fratèlli Trèves, 1912, p. 152.

[3] Steven Schwartzman, The Words of Mathematics, MAA, 1994, p. 131, ISBN 978-0-88385-511-9.

[Burks_1946-4] Arthur Walter Burks, Herman H. Goldstine e John von Neumann, Preliminary discussion of the logical design of an electronic computing instrument (PDF) (Technical report, Institute for Advanced Study, Princeton, New Jersey, USA), in A. H. Taub (a cura di), Collected Works of John von Neumann, vol. 5, New York, USA, The Macmillan Company, 1963, p. 42. URL consultato il 7 febbraio 2016.

(EN)
«Several of the digital computers being built or planned in this country and England are to contain a so-called "floating decimal point". This is a mechanism for expressing each word as a characteristic and a mantissa — e.g. 123.45 would be carried in the machine as (0.12345,03), where the 3 is the exponent of 10 associated with the number.»

(IT)
«Molti dei computer digitali in costruzione o pianificazione in questa nazione o in Inghilterra useranno la cosiddetta "virgola mobile". È un meccanismo per esprimere ogni word come caratteristica e mantissa, – es. 123,45 sarebbe rappresentato come 0,12345e03, dove il 3 è l'esponente in base 10 associato al numero.»

[Kahan_2002-5] William Morton Kahan, Names for Standardized Floating-Point Formats (PDF), 19 aprile 2002.
«m is the significand or coefficient or (wrongly) mantissa»

[Knuth_1969-6] Donald Ervin Knuth, 4.2.1.A, in The Art of Computer Programming, vol. 2, Addison-Wesley, 1969.
«"[...] it is an abuse of terminology to call the fraction part a mantissa, since this concept has quite a different meaning in connection with logarithms [...]"»

[7] David Goldberg, What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic, in ACM Computing Surveys, marzo 1991, p. 7.

[8] G.E. Forsythe e C.B. Moler, Computer Solution of Linear Algebraic Systems, Englewood Cliffs, Pretince-Hall, 1967.

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