Numero di Harshad

Un numero di Harshad in una data base è un numero intero positivo divisibile per la somma delle proprie cifre.

La definizione dei numeri di Harshad è stata data dal matematico indiano Dattatreya Ramachandra Kaprekar. Il termine Harshad deriva dal sanscrito "harṣa" che significa "grande gioia". A volte ci si riferisce a questi numeri anche come numeri di Niven, in onore del matematico Ivan Morton Niven.

Definizione matematica

Dato un intero positivo $X$ che, espresso in base $n$ , sia di $m$ cifre $a_{i}$ (con $i=0,1,\ldots ,m-1$ ) (si noti che $a_{i}$ deve essere zero o un intero positivo inferiore a $n$ ), allora $X$ può essere scritto come:

X=\sum _{i=0}^{m-1}a_{i}n^{i}.

Se esiste un intero $A$ tale che valga la seguente uguaglianza, allora $X$ è un numero di Harshad in base $n$ :

X=A\sum _{i=0}^{m-1}a_{i}.

Numeri di Harshad in base 10

I primi numeri di Harshad nella base 10 con più di una cifra sono (sequenza A005349 dell'OEIS):

10, 12, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 50, 54, 60, 63, 70, 72, 80, 81, 84, 90, 100, 102, 108, 110, 111, 112, 114, 117, 120, 126, 132, 133, 135, 140, 144, 150, 152, 153, 156, 162, 171, 180, 190, 192, 195, 198, 200, 201, 204.

Numeri di Harshad consecutivi

Helen Grundman ha dimostrato nel 1994 che, in base 10, non esistono sequenze di numeri di Harshad consecutivi di lunghezza pari o superiore a 21. Ha anche individuato la prima sequenza di 20 numeri consecutivi: si trova oltre $10^{44363342786}$ .

Stima della quantità di numeri di Harshad

Sia $N(x)$ la funzione che restituisce il numero di numeri di Harshad minori o uguali a $x$ :

Jean-Marie De Koninck e Nicolas Doyon hanno dimostrato che per qualsiasi $\varepsilon >0$ : $x^{1-\varepsilon }\ll N(x)\ll {\frac {x\log \log x}{\log x}}$ .

De Koninck, Doyon e Kátai hanno poi dimostrato che, posto $c={\frac {14}{27}}\log 10\approx 1,1939$ : $N(x)=(c+o(1)){\frac {x}{\log x}}$ .

Quali numeri possono o non possono essere numeri di Harshad?

Ogni numero naturale con notazione $n\cdot 10^{i}$ , dove $n$ è una qualsiasi cifra compresa tra 1 e 9, e $i$ è un qualsiasi intero maggiore o uguale a 0, è un numero di Harshad poiché la somma delle sue cifre è pari ad $n$ .^[1]

Ogni numero naturale con notazione $nnn$ è un numero di Harshad, infatti $nnn=n\cdot 10^{2}+n\cdot 10^{1}+n\cdot 10^{0}=n\cdot (100+10+1)=n\cdot 111=n\cdot (3\cdot 37)=(3\cdot n)\cdot 37$ , per cui $nnn$ è sicuramente divisibile per la somma delle sue cifre, ossia $3n$ .^[2]

Con procedimento analogo si può dimostrare che ogni numero naturale con notazione $n\ldots n$ di lunghezza $l$ uguale a una qualsiasi potenza naturale di 3, è un numero di Harshad, infatti si può sempre fattorizzare come $ln$ .

Tutti i fattoriali fino a $431!$ compreso sono numeri di Harshad. Il numero $432!$ è il primo a non esserlo. Invece lo sono altri fattoriali, ad esempio: $444!,453!,458!,474!,476!,485!,489!,\ldots$

Ogni numero naturale con notazione $9R_{n}a_{n}$ , dove $R_{n}$ è il numero in base 10 formato da $n$ ripetizioni della cifra 1, $n>0$ , e $a_{n}$ è un qualsiasi intero positivo minore di $10^{n}$ e multiplo di $n$ , è un numero di Harshad.(R. D'Amico, 2019).^[3]

Numeri di Harshad in base b

Un numero di Harshad in una generica base $b$ viene definito un numero di $b$ -Harshad (secondo la notazione di Grundman del 1994).

I numeri 1, 2, 4 e 6 sono gli unici numeri a essere numeri di Harshad in qualunque base siano espressi; per questa proprietà sono detti numeri di Harshad completi.

Numeri di b-Harshad consecutivi

In notazione binaria, c'è un numero infinito di sequenze di 4 numeri di 2-Harshad; in notazione ternaria, c'è un numero infinito di sequenze di 6 numeri di 3-Harshad. Entrambe le dimostrazioni si devono a T. Cai che le pubblicò nel 1996.

Che numeri possono o non possono essere numeri di b-Harshad?

Ogni numero $n$ inferiore alla base $b$ è un numero di b-Harshad. Infatti essendo la sua notazione di una sola cifra, risulta evidentemente essere divisibile per sé stesso.

Ogni numero $a$ che sia una potenza intera di $b$ (ossia $a=b^{n}$ ) è un numero di b-Harshad, poiché la sua notazione in base $b$ è $10,100,\ldots ,10\ldots 0$ quindi la somma delle cifre di $a$ è sempre uguale a 1 che è sicuramente un divisore di $a$ .

Un numero primo $p$ è un numero di b-Harshad solamente se è inferiore o uguale alla base $b$ . La prima regola esposta assicura la validità di questa regola per i casi $p<b$ . La seconda regola esposta, per il caso $p=b$ (nell'eventulità che $b$ stesso sia primo). La validità per i casi rimanenti può essere dimostrata per assurdo, infatti se esistesse un numero primo $p$ , superiore alla base $b$ che fosse un numero di $b$ -Harshad, allora la somma delle sue cifre (che è necessariamente inferiore a $p$ e superiore all'unità) sarebbe un divisore di $p$ che, tuttavia, essendo primo ammette come divisori unicamente $p$ e l'unità.

Numeri Harshad-morfici

Un numero intero $t$ si dice Harshad-morfico (o Niven-morfico) se, per una data base $b$ , è possibile trovare un numero di $b$ -Harshad $n$ , tale che la somma delle sue cifre sia uguale a $t$ , e $t$ sia la parte terminale della notazione di $n$ scritto nella stessa base $b$ .

Ad esempio, 18 è Harshad-morfico in base 10, poiché:

16218 ha 18 come somma delle cifre;
18 è un divisore di 16218 (quindi 16218 è un numero di Harshad);
18 è la parte finale di 16218.

Sandro Boscaro ha dimostrato che in base 10 tutti i numeri interi sono Harshad-morfici tranne 11.

Note

^ Ad esempio: 3 (n=3, i=0), 100 (n=1, i=2) o 500.000 (n=5, i=5).
^ Ad esempio: 777= 7*111 = 7*3*37 = 21*37.
^ Ad esempio: $9R_{n}a_{n}=15438456$ , dove $R_{n}=1111,n=4$ e $a_{n}=4\cdot 386=1544$ , è un numero di Harshad; risulta infatti: $15438456/(1+5+4+3+8+4+5+6)=15438456/36=428846$ .

Bibliografia

H. G. Grundmann, Sequences of consecutive Niven numbers, Fibonacci Quarterly 32 (1994), 174-175
Jean-Marie De Koninck and Nicolas Doyon, On the number of Niven numbers up to x, Fibonacci Quarterly Volume 41.5 (November 2003), 431–440
Jean-Marie De Koninck, Nicolas Doyon and I. Katái, On the counting function for the Niven numbers, Acta Arithmetica 106 (2003), 265–275
Sandro Boscaro, Nivenmorphic Integers, Journal of Recreational Mathematics 28, 3 (1996 - 1997): 201–205!
Rosario D'Amico, A method to generate Harshad numbers, in Journal of Mathematical Economics and Finance, vol. 5, n. 1, giugno 2019, p. 19-26.

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[1] Ad esempio: 3 (n=3, i=0), 100 (n=1, i=2) o 500.000 (n=5, i=5).

[2] Ad esempio: 777= 7*111 = 7*3*37 = 21*37.

[3] Ad esempio: $9R_{n}a_{n}=15438456$ , dove $R_{n}=1111,n=4$ e $a_{n}=4\cdot 386=1544$ , è un numero di Harshad; risulta infatti: $15438456/(1+5+4+3+8+4+5+6)=15438456/36=428846$ .

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