Funzione lineare
In matematica, per funzione lineare si intende:
- Nel calcolo infinitesimale, una funzione polinomiale di grado zero o uno.[1]
- In algebra lineare e analisi funzionale, una trasformazione lineare.[2]
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Funzione polinomiale
modificaQuando si introduce il calcolo infinitesimale e quando si trattano le funzioni polinomiali, in genere si chiama funzione lineare una funzione di una variabile reale a valori reali della forma:
con e costanti reali. Se la funzione è strettamente crescente; se la funzione è strettamente decrescente. Queste funzioni vengono visualizzate nel piano cartesiano riferito a due assi ortogonali come rette di equazione:
La costante viene detta coefficiente angolare, pendenza o gradiente, invece è chiamata intercetta con l'asse delle . In effetti la retta interseca l'asse nel punto ; la retta inoltre interseca l'asse nel punto , come si ricava imponendo e risolvendo la equazione ; quando però la retta è orizzontale e si può dire che "incontra" l'asse solo all'infinito (per formalizzare opportunamente questa idea è necessario introdurre il piano proiettivo).
Esempi
modificaSi osserva che al crescere di a partire da 0, la retta da orizzontale ruota in senso antiorario aumentando la propria pendenza, invece facendo assumere a valori negativi la retta ruota in senso orario. Cambiando la costante la retta trasla verso l'alto o verso il basso, rispettivamente all'aumentare oppure al diminuire di partendo da 0.
Generalizzazioni
modificaLa definizione precedente può estendersi a funzioni di due o più variabili reali o complesse. Ad esempio per funzione lineare di due variabili reali e a valori reali si intende una funzione della forma:
Essa nello spazio tridimensionale riferito a una terna cartesiana ortogonale viene visualizzata come piano che interseca l'asse verticale nel punto , l'asse in , o all'infinito se e l'asse in , o all'infinito se .
Trasformazione lineare
modificaPer trasformazione lineare (o applicazione lineare), solitamente definita in uno spazio vettoriale su un campo , si intende una funzione che soddisfa le due proprietà:
rispettivamente di additività e omogeneità.
Equivalentemente si può chiedere che:
In questa definizione , , e possono essere elementi arbitrari di uno spazio vettoriale su un campo o anche elementi arbitrari di un modulo su un anello commutativo . La funzione a sua volta ha come codominio uno spazio vettoriale oppure un modulo. A questa definizione possono adattarsi anche le funzioni viste in precedenza, in quanto hanno come dominio e come codominio degli spazi vettoriali come , , , .
Per la funzione considerata inizialmente
i due membri dell'uguaglianza sono
e questi sono uguali se e solo se .
Dunque il termine "funzione lineare" viene usato con due significati diversi. Per la prima nozione qui introdotta sarebbe preferibile il termine funzione affine, ma l'abitudine alla definizione più comune è molto radicata.
Esempi
modificaNote
modificaBibliografia
modifica- (EN) Izrail Moiseevich Gelfand (1961), Lectures on Linear Algebra, Interscience Publishers, Inc., New York. Reprinted by Dover, 1989. ISBN 0-486-66082-6
- (EN) Thomas S. Shores (2007), Applied Linear Algebra and Matrix Analysis, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer. ISBN 0-387-33195-6
- (EN) James Stewart (2012), Calculus: Early Transcendentals, edition 7E, Brooks/Cole. ISBN 978-0-538-49790-9
- (EN) Leonid N. Vaserstein (2006), "Linear Programming", in Leslie Hogben, ed., Handbook of Linear Algebra, Discrete Mathematics and Its Applications, Chapman and Hall/CRC, chap. 50. ISBN 1-584-88510-6
Voci correlate
modificaAltri progetti
modifica- Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sulla funzione lineare
Collegamenti esterni
modifica- (EN) Eric W. Weisstein, Funzione lineare, su MathWorld, Wolfram Research.
- (EN) L.D. Kudryavtsev, Linear function, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
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