Rayleigh-eloszlás

A valószínűségszámítás elméletében, és a statisztika területén a Rayleigh-eloszlás egy folytonos valószínűség eloszlás.

A Rayleigh-eloszlás gyakran megfigyelhető, amikor egy vektor nagyságrendje kapcsolatban van az irány komponenseivel.

Egy tipikus példa a Rayleigh-eloszlásra, mely a természetben is megfigyelhető, amikor a szél sebességét analizálják az ortogonális kétdimenziós vektor komponensei szerint. Feltételezve, hogy a komponenseknek nincs korrelációjuk egymással, és normális eloszlásúak, hasonló szórásnégyzettel, akkor a szél sebességét a Rayleigh-eloszlás jellemzi.

Egy következő példa az algebrából: véletlenszerű komplex számok esetében, ahol a valós és imaginárius komponensek függetlenek és azonos eloszlásúak. Ebben az esetben a komplex szám abszolút értéke Rayleigh-eloszlású.

Az eloszlást felfedezőjéről, John William Strutt-ról, Rayleigh III. lordjáról nevezték el.

A Rayleigh-féle valószínűségsűrűség-függvény:

f(x;\sigma )={\frac {x}{\sigma ^{2}}}e^{-x^{2}/2\sigma ^{2}},\quad x\geq 0,

ahol $\sigma >0,$ és a kumulatív eloszlás függvény:

F(x)=1-e^{-x^{2}/2\sigma ^{2}}

ahol $x\in [0,\infty ).$

Tulajdonságok

A Rayleigh-eloszlás sűrűségfüggvénye

Rayleigh-féle kumulatív eloszlásfüggvény

A nyers momentum:

\mu _{k}=\sigma ^{k}2^{k/2}\,\Gamma (1+k/2)\,

ahol $\Gamma (z)$ a gamma függvény. A Rayleigh-féle valószínűségi változó középértéke és szórásnégyzete:

\mu (X)=\sigma {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\ \approx 1.253\sigma ,

és

{\textrm {var}}(X)={\frac {4-\pi }{2}}\sigma ^{2}\ \approx 0.429\sigma ^{2}.

f_{\text{max}}=f(\sigma ;\sigma )={\frac {1}{\sigma }}e^{-{\frac {1}{2}}}\approx {\frac {0.606}{\sigma }}

A ferdeség:

\gamma _{1}={\frac {2{\sqrt {\pi }}(\pi -3)}{(4-\pi )^{3/2}}}\approx 0.631.

A többlet lapultság:

\gamma _{2}=-{\frac {6\pi ^{2}-24\pi +16}{(4-\pi )^{2}}}\approx 0.245.

A karakterisztikus függvény:

\varphi (t)=1\!-\!\sigma te^{-\sigma ^{2}t^{2}/2}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\!\left({\textrm {erfi}}\!\left({\frac {\sigma t}{\sqrt {2}}}\right)\!-\!i\right)

ahol $\operatorname {erfi} (z)$ a képzetes hibafüggvény.

A momentum-generáló függvény:

M(t)=1+\sigma t\,e^{\sigma ^{2}t^{2}/2}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left({\textrm {erf}}\left({\frac {\sigma t}{\sqrt {2}}}\right)\!+\!1\right),

ahol $\operatorname {erfi} (z)$ a hibafüggvény.

Információ entrópia

Az információ entrópia, vagyis a Shannon-entrópiafüggvény: $H=1+\ln \left({\frac {\sigma }{\sqrt {2}}}\right)+{\frac {\gamma }{2}}$

ahol $\gamma$ az Euler–Mascheroni állandó.

Paraméter becslés

N darab független és azonos eloszlású Rayleigh-eloszlású valószínűségi változó esetén a $\sigma$ maximális valószínűsége:

{\hat {\sigma }}\approx \!\,{\sqrt {{\frac {1}{2N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}}}.

A $\sigma$ értékének becslése az MRI képalkotó technikában is használatos, ahol az MRI képelemek komplex alkotókból állnak, és a háttér adat Rayleigh-eloszlású. A fenti összefüggés segítségével megbecsülhető a hiba szórás a MRI háttér adatokból.^[1]^[2]

Rayleigh-eloszlású valószínűségi változók generálása

Ha adva van egy állandó eloszlásból származó U valószínűségi változó, (0, 1) tartományban, akkor a valószínűségi változó:

X=\sigma {\sqrt {-2\ln(1-U)}}\,

Rayleigh-eloszlású lesz $\sigma$ paraméterrel. Ez a kumulatív eloszlás függvényből következik. Ha U egységes (uniformizált), (1–U)-nak is hasonló tulajdonsága lesz, a fenti összefüggés egyszerűsíthető:

X=\sigma {\sqrt {-2\ln(U)}}.

Megjegyzés: ha véletlen számokat generálunk [0,1) tartományban, a zérót kizárjuk, hogy elkerüljük a zéró természetes logaritmusát.

Kapcsolódó eloszlások

Ha $R\sim \mathrm {Rayleigh} (\sigma )$ Rayleigh-eloszlású, akkor $R={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}$ , ahol $X\sim N(0,\sigma ^{2})$ , és $Y\sim N(0,\sigma ^{2})$ független normál valószínűségi változók.(Ez teszi lehetővé a $\sigma$ szimbólum alkalmazását a fenti Rayleigh-sűrűségfüggvény parametrizálásánál.
Ha $R\sim \mathrm {Rayleigh} (1)$ , akkor $R^{2}$ khí-négyzet eloszlású. két szabadságfokkal: $R^{2}\sim \chi _{2}^{2}$
Ha X exponenciális eloszlású , akkor $X\sim \mathrm {Exponential} (\lambda )$ , then $Y={\sqrt {2X\sigma ^{2}\lambda }}\sim \mathrm {Rayleigh} (\sigma )$ .
Ha $R\sim \mathrm {Rayleigh} (\sigma )$ , akkor $\sum _{i=1}^{N}R_{i}^{2}$ gamma-eloszlású, $N$ and $2\sigma ^{2}$ : $[Y=\sum _{i=1}^{N}R_{i}^{2}]\sim \Gamma (N,2\sigma ^{2})$ paraméterekkel.
A Khí-eloszlás a Rayleigh-eloszlás egy általánosítása
A Rice-eloszlás a Rayleigh-eloszlás egy általánosítása
A Weibull-eloszlás a Rayleigh-eloszlás egy általánosítása. Ez esetben a sigma paraméter kapcsolódik a Weibull-skálaparaméterhez $\lambda$ :