Un hexagone, du grecἕξ / héx, « six », et γωνία / gōnía, « angle », est un polygone à six sommets et six côtés. Un hexagone peut être régulier ou irrégulier.
Hexagone régulier
Hexagone régulier : ri est le rayon du cercle inscrit, et rc (égal au côté a) celui du cercle circonscrit.
Un hexagone régulier est un hexagone convexe dont les six côtés ont tous la même longueur. Les angles internes d'un hexagone régulier sont tous de 120°.
Parmi tous les pavages du plan, le pavage hexagonal (régulier) est celui dont la longueur totale des côtés est le plus petit. Cette propriété est à l'origine, dans la nature, de nombreuses dispositions (planes ou en section plane) comme les alvéoles d'abeilles ou la prismation(en) des orgues basaltiques et des sols polygonaux.
Maille hexagonale que l'on peut rencontrer dans un cristal bidimensionnel avec réflexion par rapport à une droite et rotations d'ordre 6 autour d'un point. L'hexagone est ainsi composé de six triangles équilatéraux.
L'hexagone régulier peut se décomposer en six triangles équilatéraux, ce qui lui confère les propriétés suivantes.
Considérons les dimensions caractéristiques suivantes de l'hexagone régulier :
Cette formule permet de calculer l'aire en divisant l'hexagone en 6 triangles équilatéraux. Comme rc = a, l'apothème h se déduit à l'aide de la formule de Pythagore , d'où
Il est possible de construire un hexagone régulier avec un compas et une règle, en suivant la méthode des Éléments d'Euclide, qui consiste à construire 6 triangles équilatéraux :
Un hexagone possède six axes de symétrie : trois axes de symétrie passant par les sommets opposés et le centre, trois axes de symétrie passant par les points milieux des côtés opposés et le centre.
Il existe de nombreuses molécules et atomes qui prennent une forme hexagonale grâce à leurs liaisons covalentes :
En chimie, l'hexagone est le représentant d'un alcane cyclique : le cyclohexane.
Dans la nature, un autre élément fréquent à forme hexagonale est le flocon de neige. Les molécules d'eau qui les composent imposent des angles réguliers à ses cristaux.
Et à plus grande échelle macroscopique, cette forme est aussi visible dans notre environnement :
En géologie, les fentes de dessiccation et les coulées de lave refroidies prennent cette même configuration géométrique sous forme de colonnes basaltiques. La Chaussée des Géants en Irlande du Nord est un très bel exemple de ce type de refroidissement optimal d'une coulée basaltique en fusion.
Des bulles de savon s'organisent toutes en hexagones lorsqu'il y en a de trop dans un espace fermé. Elles prennent alors la forme d'hexagone, qui correspond ici à un optimum isopérimétrique.
« Les ruches des abeilles étaient aussi bien mesurées il y a mille ans qu'aujourd'hui, et chacune d'elles forme cet hexagone aussi exactement la première fois que la dernière. » Blaise Pascal Préface pour un traité du vide (1651).Les alvéoles d'abeille, construites afin de stocker le miel et le pollen ou les œufs et les larves, sont des prismes juxtaposés d’axes horizontaux qui constituent le gâteau de cire. Ce gâteau de cire est ainsi formé de deux séries d’alvéoles hexagonaux se rejoignant en leur base. L'hexagone apparaît comme une figure optimale, pour l'abeille. Non seulement elle permet de paver le plan, mais, de plus, elle correspond à un optimum isopérimétrique, c'est-à-dire que parmi les figures régulières qui permettent de paver l'espace, l'hexagone correspond à la plus grande surface possible pour un périmètre donné. Aucune autre figure permettant de paver l'espace n'utilise moins de cire que celle adoptée par les abeilles. Cette remarque est initialement l'œuvre de Pappus d'Alexandrie, un géomètre grec de l'antiquité. Cependant, en 2013, le professeur Bhushan Lal Karihaloo(en), confirmant une proposition initiale de Darwin, a montré que le travail incessant des ouvrières chauffe les gâteaux de cire alvéolaires circulaires à une température de 45 °C, la viscoélasticité permettant ainsi, par simple compression des alvéoles entre elles, de passer d'une forme circulaire à une forme hexagonale (voir l'article détaillé Alvéole d'abeille).
La jonquille possède 6 pétales soudés en tube hexagonal autour de l'ovaire. En effet, c'est ici aussi la plus grande surface possible pour attirer les insectes en son sein.
Dans la dynamique des fluides, les flux en rotation produisent des structures instables, telles que des vortex. Ils sont à l'origine des tornades, mais aussi des courants et autres écoulements. La figure géométrique ainsi observable est appelée « seau de Newton » ou tout simplement un hexagone.
Au niveau de la région boréale du pôle Nord de Saturne, la sonde spatiale Cassini (2006 à 2013) et Voyager (1980) ont observé à 78 degrés de latitude nord une structure hexagonale. Elle a été observée depuis un point situé à 902 000 km au-dessus des nuages et est particulièrement persistante.
Les cellules de grille (grid cell) du cortex entorhinal médial des mammifères présentent un motif hexagonal afin de représenter l'espace, participant ainsi à la mémoire et à la représentation spatiale.
Un hexagramme de Pascal est un hexagone irrégulier très particulier. Il est tel que les côtés opposés se coupent en trois points alignés. Cette configuration, inventée par Blaise Pascal, est très utile pour l'étude des ellipses, hyperboles, paraboles, cercles.
Au cours du XVIIe siècle, suivant un idéal architectural issu de la Renaissance[2], des villes de Sicile comme Avola ou Grammichele détruites par un tremblement de terre en 1693, furent reconstruites en suivant un plan hexagonal.
Un des apothèmes d'un hexagone qui relie les milieux de ses côtés à son centre.
Polygone réguliers en étoile (clic image pour agrandir). Parmi les polygones, l’hexagone régulier n6 (à 6 côtés égaux) est situé en haut de la 4e colonne.
Flocon de neige, de symétrie hexagonale. Il s'est formé sans contrainte spatiale pendant sa croissance. Il est donc dit automorphe : sans contact avec un autre flocon, il a développé un cristal de forme hexagonale et maclée.
Structure cristalline idéale du graphène en grille hexagonale. Le graphène est un cristal bidimensionnel (monoplan) de carbone natif à température et pression ordinaires, dont l'empilement constitue le graphite. Il est dans les sédiments ou peut aussi se former à partir du charbon organique, du magma ou par réduction des carbonates.
Dans le ciel nocturne hivernal, les étoiles de l'hexagone d'hiver (ou polygone d'hiver) forment un vaste motif polygonal irrégulier dans l’hémisphère nord terrestre (à noter en rouge : le triangle d'hiver).
On surnomme la France : « l'Hexagone » car le dessin de ses frontières métropolitaines rappelle la forme d'un hexagone (animation : France administrative et reliefs).
Illusion d'optique créant un hexagone des couleurs : Agrandir l'image et fixer du regard pendant 5 secondes le centre de l'hexagone coloré, puis fixer l'étoile noire (à droite). Votre cerveau fera apparaître un polygone de couleurs complémentaires.
Le crayon a eu une forme hexagonale dès le XIXe siècle pour une meilleure prise en main et un rangement en boîte plus facile. On doit à Ebenezer Wood le premier usage de la scie circulaire et le façonnage hexagonal des crayons.
Cloison de l'architecte Foa sur le pavillon Expo2005 de l'Espagne, à Aichi, au Japon. À noter que dans les caves à vin, certains casiers à bouteilles ont cette forme.
La clé Allen ou clé pour vis de fixation à six pans creux est un outil utilisé pour la manœuvre des vis, des têtes de boulons ou autre pièce possédant une empreinte hexagonale creuse à six pans creux.
La clé en croix sert à serrer et desserrer les boulons à tête hexagonale des roues des véhicules modernes.
Photographie de cinq poids en fonte de 5 kg à 200 g (Agrandir et poser le curseur de la souris sur chaque poids pour lire les infos)
En Écosse, un parc à moutons de forme hexagonale et bâti en pierres sèches. Les murs des cabanes en pierre sèche sont construites sur le même principe d'assemblage et emboitage à sec.
Sol en pavé autobloquant hexagonaux (sans joint) dans la station de métro Knyaginya Maria Luiza à Sofia Metropolitan, en Bulgarie. De même forme, les tomettes sont des carreaux de terre cuite jointoyés.
↑Un polygone régulier à n côtés est constructible si et seulement si n est le produit d'une puissance de 2 et de nombres de Fermat premiers tous différents.
↑Liliane Dufour, Henri Raymond, Dalla città ideale alla città reale: la ricostruzione di Avola, 1693-1695, Lombardi, 1993.
