Briggsin logaritmi

Briggsin logaritmifunktion kuvaaja.

Briggsin logaritmi eli kymmenkantainen logaritmi, dekadinen logaritmi tai desimaalinen logaritmi on matematiikassa logaritmi, jonka kantaluku on 10. Nimen Briggsin logaritmi se on saanut englantilaisen matemaatikko Henry Briggsin (1561–1630) mukaan, joka teki sen tunnetuksi.

Merkinnät

Briggsin logaritmille käytetään merkintää log₁₀ x tai lg x, joskus myös Log x isolla L:llä. Viimeksi mainittu merkintätapa ei kuitenkaan ole yksiselitteinen, sillä se saattaa tarkoittaa kompleksiluvun luonnollisen logaritmin päähaaraa. Laskimissa näppäimessä, jolla Briggsin logaritmi saadaan, on tavallisesti merkintä ”log”, mutta matemaatikot tarkoittavat merkinnällä ”log” tavallisimmin luonnollista logaritmia. Tämän sekaannuksen poistamiseksi ISO-standardissa 80000-2 (2009) on suositeltu, että Briggsin logaritmi tulisi merkitä log₁₀(x) tai lg (x) ja luonnollinen logaritmi log_e(x) tai ln(x).

Sovelluksia

Logaritmitaulukot laskutoimitusten apuvälineinä

Ennen kuin tasku­laskimet 1970-luvulla yleistyivät, logaritmeilla ja nimenomaan Briggsin logaritmeilla oli noin 300 vuoden ajan ollut suuri merkitys laskutoimitusten apuvälineinä. Tämä käyttö perustui edellä esitettyyn kaavaan, jonka mukaan lukujen tulon logaritmi on sama kuin tekijöiden logaritmien summa:

• $\log _{10}(xy)=\log _{10}(x)+\log _{10}(y)\,$

Vastaavasti kahden luvun osamäärän logaritmi on sama kuin lukujen logaritmien erotus:

• $\log _{10}({\frac {x}{y}})=\log _{10}(x)-\log _{10}(y)\,$

Jos siis on käytettävissä taulukko eri lukujen logaritmeista, voidaan täten kerto- ja jakolasku korvata yhteen- ja vähennys­laskulla, jotka ovat moni­numeroisilla luvuilla paljon helpompi suorittaa kynällä ja paperilla kuin edelliset. Kertolasku voidaan suorittaa katsomalla taulukosta tekijöiden logaritmit, lasketaan ne yhteen ja katsotaan sitten, minkä luvun logaritmi summa on. Jakolasku taas voidaan suorittaa katsomalla taulukosta jaettavan ja jakajan logaritmit, vähentämällä jälkimmäinen edellisestä ja katsomalla sitten, minkä luvun logaritmi erotus on.

Logaritmitaulukkoja on julkaistu kirjoissa, joihin on taulukoitu esimerkiksi välillä 1–10 olevat luvut 0,01:n välein ja niiden Briggsin logaritmit tai kokonais­lukujen 1000–9999 Briggsin logaritmit. Muiden kuin tällä välillä olevien lukujen logaritmit saadaan lisäämällä tai vähentämällä näistä luku, joka osoittaa, kuinka monta kertaa annettu luku on kerrottava tai jaettava 10:llä, jotta tulos olisi tällä välillä. (Esimerkiksi lg 200 = lg 20000 − 2 (= lg 20000 − lg 100), koska 10 · 10 · 200 = 20000.)

Taulukosta ilmenee, että esimerkiksi luvun 1,20 Briggsin logaritmi on lg 1,20 = 0,079181. Tällöin luvun 120 logaritmi saadaan seuraavasti:

$\log _{10}120=\log _{10}(10^{2}\cdot 1{,}2)=2+\log _{10}1{,}2\approx 2+0{,}079181.$

Briggsin logaritmi kirjoitetaankin usein kahden luvun summaksi, joista ensimmäinen on kokonaisluku, kun taas jälkimmäinen on puoliavoimella välillä 0…1. Edellistä sanotaan logaritmin karakteristikaksi, jälkimmäistä mantissaksi. Luvun 120 logaritmin karakteristika on siis 2, mantissa 0,079181. Nimenomaan logaritmien mantissat on taulukoitu logaritmitaulukossa.

Välillä 0…1 olevien lukujen logaritmit ovat negatiivisia. Esimerkiksi:

$\log _{10}0{,}012=\log _{10}(10^{-2}\cdot 1{,}2)=-2+\log _{10}1{,}2\approx -2+0{,}079181=-1{,}920819$

Jottei tarvittaisi erillisiä taulukoita positiivisten ja logaritminen muuntamiseksi takaisin niitä vastaaviksi alkuperäisiksi luvuiksi, on otettu käyttöön merkintä, jossa karakteristikan yläpuolelle kirjoitetaan viiva:

$\log _{10}0{,}012\approx -2+0{,}079181={\bar {2}}{,}079181$

Viiva karakteristikan yläpuolella tarkoittaa, että se on negatiivinen, kun taas sen jäljessä oleva mantissa on positiivinen.

Eräiden toisistaan 10:n potenssikertoimella eroavien lukujen Briggsin logaritmit, niiden karakteristikat ja mantissat

luku	logaritmi	karakteristika	mantissa	logaritmi yläviivamerkinnällä
n (= 5 × 10i)	log10(n)	i (= floor(log10(n)) )	log10(n) − karakteristika
5 000 000	6,698 970…	6	0,698 970…	6,698 970…
50	1,698 970…	1	0,698 970…	1,698 970…
5	0,698 970…	0	0,698 970…	0,698 970…
0,5	−0,301 029…	−1	0,698 970…	1,698 970…
0,000 005	−5,301 029…	−6	0,698 970…	6,698 970…

Mantissa on siis sama kaikkien muotoa 5 · 10ⁱ olevien lukujen Briggsin logaritmeissa. Sama pätee kaikille positiivisille reaaliluvuille $x$, koska:

$\log _{10}(x\cdot 10^{i})=\log _{10}(x)+\log _{10}(10^{i})=\log _{10}(x)+i$.

Koska $i$ on aina kokonaisluku, mantissa saadaan lausekkeesta $\log _{10}(x)$, joka annetulla x:n arvolla on vakio. Tästä syystä logaritmitaulukossa tarvitaan vain yksi luku kutakin mantissan arvoa kohti. Jos esimerkiksi luvun 5 logaritmi tunnetaan, saadaan lukujen 0,5, 50, 500 ja 5000 logaritmit yksinkertaisesti lisäämällä siihen tai vähentämällä siitä kokonaisluku.

Seuraava esimerkki kuvaa sitä, miten logaritmitaulukon ja viivamerkinnän avulla voidaan laskea tulo 0,012 · 0,85. Taulukosta saadaan, että lg (1,2) = 0,079171 ja lg 8,5 = 0,929419. Saadaan:

${\begin{array}{rll}{\text{Kuten edella,}}&\log _{10}0{,}012\approx {\bar {2}}{,}079181\\{\text{Koska}}\;\;\log _{10}0{,}85&=\log _{10}(10^{-1}\cdot 8{,}5)=-1+\log _{10}8{,}5&\approx -1+0{,}929419={\bar {1}}{,}929419\;,\\\log _{10}(0{,}012\cdot 0{,}85)&=\log _{10}0{,}012+\log _{10}0{,}85&\approx {\bar {2}}{,}079181+{\bar {1}}{,}929419\\&=(-2+0{,}079181)+(-1+0{,}929419)&=-(2+1)+(0{,}079181+0{,}929419)\\&=-3+1{,}008600&=-2+0{,}008600\;^{*}\\&\approx \log _{10}(10^{-2})+\log _{10}(1{,}02)&=\log _{10}(0{,}01\cdot 1{,}02)\\&=\log _{10}(0{,}0102)\end{array}}$

* Viimeisellä askelella saadaan mantissa lukujen 0 ja 1 välille, siten että antilogaritmi eli 10^mantissa voidaan katsoa taulukosta.

Myös laskutikku perustuu samoihin logaritmi­funktion ominaisuuksiin.

Laskutikussa luvut on asetettu toisistaan etäisyyksille, jotka ovat verrannollisia niiden logaritmien erotukseen. Laskemalla yhteen lukujen 1 ja 2 etäisyys alemmalla asteikolla sekä lukujen 1 ja 3 etäisyys ylemmällä asteikolla saadaan näiden tulo 2 · 3 = 6.

Mitta-asteikkoja

Muutamille suureille, joiden arvot vaihtelevat hyvin laajoissa rajoissa, käytetään yleisesti Briggsin logaritmiin perustuvaa logaritmista asteikkoa. Tällöin jonkin fysikaalisen suureen todellisen arvon kymmen­kertaistuessa siitä logaritmisella asteikolla käytetty mittaluku muuttuu aina saman verran. Tällaisia asteikkoja ovat esimerkiksi:

• liuoksen happamuutta tai emäksisyyttä mittaava pH, joka on liuoksen oksoniumionikonsentraation Briggsin logaritmin vastaluku
• äänenvoimakkuuden desibeliasteikko
• tähden magnitudi, joka on määritelty kaavalla $m=-2{,}5log{\frac {F}{F_{0}}}$, missä F on tähdestä saapuvan valon intensiteetti ja F₀ asteikon sovittua nollakohtaa vastaava intensiteetti.

Logaritmin arvon laskeminen

Annetun luvun luonnollinen logaritmi voidaan laskea esimerkiksi sarjakehitelmiä. Niiden avulla saadaan myös 10-kantainen logaritmi lasketuksi käyttämällä seuraavaa muunnoskaavaa:

$\log _{10}(x)={\frac {\ln(x)}{\ln(10)}}\qquad {\text{ tai }}\qquad \log _{10}(x)={\frac {\log _{2}(x)}{\log _{2}(10)}}$

Lähteet

• Michael Möser: Engineering Acoustics: An Introduction to Noise Control, s. 448. Springer, 2009. 978-3-540-92722-8
• A. D. Poliyanin, A. V. Manzhirov: Handbook of mathematics for engineers and scientists, s. 9. CRC Press, 2007.

Kirjallisuutta

• Rikkonen, Harri: Matematiikan pitkä peruskurssi II: Reaalimuuttujan funktioiden differentiaalilasku. Helsinki: Otakustantamo, 1969. ISBN 951-671-022-0
• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf).