Mercatorin projektio

Mercatorin projektio on flaamilaisen kartografin Gerhardus Mercatorin vuonna 1569 esittelemä, lieriöprojektioiden ryhmään kuuluva karttaprojektio. Se on oikeakulmainen projektio, joten se on käyttökelpoinen erityisesti navigoinnissa. Projektiossa pituus- ja leveyspiirit kuvautuvat yhdensuuntaisina suorina siten, että pituuspiirien etäisyys toisistaan on vakio ja leveyspiirien etäisyys toisistaan kasvaa napoja kohti kuljettaessa. Keskeinen piirre Mercatorin projektiossa on että leveyspiirien välit venyvät täsmälleen sellaisessa suhteessa, että leveys- ja pituussuuntaiset mittakaavat säilyvät samana. Mittakaava kasvaa siirryttäessä päiväntasaajalta kohti napoja, jolloin napojen lähellä olevat alueet näkyvät kartalla huomattavasti suurempina kuin vastaavan kokoiset alueet päiväntasaajalla. Vääristymistä kuvaavat Tissot'n indikaattorit säilyvät vääristymättöminä, mutta kasvavat päiväntasaajalta poispäin.

Mercatorin projektio

Mercatorin projektiossa Tissot'n indikaattorit säilyttävät muotonsa, mutta kasvavat voimakkaasti mitä kauempana kohde päiväntasaajalta sijaitsee.

Ei ole tiedossa, miten Mercator on karttaprojektion luonut. Projektion matemaattiseen konstruoimiseen tarvittavat menetelmät on kehitetty vasta myöhemmin.

Projektion konstruktio

Tarkoissa kartoissa käytetään maapallon kuvaamiseen ellipsoidia. Ellipsoidilla projektion periaate on sama kuin pallopinnalla, mutta yhtälöt ovat monimutkaisempia. Approksimoidaan esimerkin vuoksi maapallo palloksi, jonka säde on $R$. Mercatorin projektion keskeinen piirre on, että leveys- ja pituussuuntainen mittakaava on jokaisessa pisteessä täsmälleen sama. Jos kartan länsi-itäsuuntainen mittakaava päiväntasaajalla on $k$, leveyspiirillä $\phi$ se on ${\frac {k}{\cos(\phi )}}$. Jotta mittakaava olisi sama myös etelä-pohjoissuunnassa, täytyy projisoidussa pisteessä etäisyyden derivaatan päiväntasaajalta olla sama kuin länsi-itäsuuntainen mittakaava. Projisoidun pisteen pystykoordinaatti voidaan ilmaista differentiaaliyhtälönä $y'={\frac {R}{\cos(\phi )}}$. Integroimalla differentiaaliyhtälö saadaan ratkaisu

${\begin{aligned}y={\frac {R}{2}}\ln \left({\frac {1+\sin(\phi )}{1-\sin(\phi )}}\right)\qquad {\mbox{tai}}\qquad y=R\ln \left[\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\phi }{2}}\right)\right]\\\end{aligned}}$

Vaakasuunnassa projektiopiste kartalla määräytyy yksinkertaisesti pituuspiirin mukaan

${\begin{aligned}x=R(\lambda -\lambda _{0})\end{aligned}}$,

jossa $\lambda _{0}$ on keskimeridiaani ja erotus $(\lambda -\lambda _{0})$ ilmaistaan radiaaneina.

Käänteismuunnos tapahtuu kaavoilla

$\lambda =\lambda _{0}+{\frac {x}{R}},\qquad \phi =2\tan ^{-1}\left[\exp \left({\frac {y}{R}}\right)\right]-{\frac {\pi }{2}}\,.$

Mercatorin projektio on matemaattisesti määritetty, eikä sille ole luonnollista vastinetta. Projisoitu kuva ei ole sama kuin minkä valaistu karttapallo muodostaa valkokankaalle, joka on kääritty lieriöksi karttapallon ympärille. Tällaisessa luonnollisessa projektiossa piste projisoituu kartalle pystysuunnassa yhtälön $y=R(\tan(\phi ))$ mukaan. Mercatorin projektiossa viiva, joka yhdistää pisteen pallon pinnalta projektiopisteeseen, ei leikkaa pallopintaa kohtisuorassa, eikä tällaiset viivat eri leveysasteilta kohtaa samassa "polttopisteessä", toisin kuin luonnollisessa projektiossa. Vaikka molemmissa projektioissa navat kuvautuvat äärettömyyteen, niin luonnollisessa projektiossa äärettömyyttä lähestytään nopeammin, jolloin muodot venyvät pystysuunnassa kiihtyvällä voimakkuudella napoja lähestyttäessä. Mercatorin projektiossa mittakaava säilyy jokaisessa pisteessä samana molempiin suuntiin, eikä venymistä yhteen suuntaan tapahdu.

Melko yleisesti tässä projektiossa laaditut maailmankartat on katkaistu alareunassa 60. eteläisen, mutta yläreunassa vasta 80. pohjoisen leveyspiirin kohdalta, jolloin Etelämanner jää kokonaan kartan ulkopuolelle, mutta pohjoisessa kartta ulottuu Huippuvuorille saakka. Näin tehtäessä Eurooppa sijoittuu kartassa jokseenkin keskelle.

Käyttö merenkulussa

Mercatorin projektio on erityisen käyttökelpoinen merenkulussa, mikä selittää sen saavuttaman suosion. Siinä leveys- ja pituuspiirit ovat suoria ja kartta on oikeakulmainen, eli ilmansuuntien väliset kulmat ovat kaikkialla todellisuuden mukaisia. Erityisen tärkeää on, että muuttumatonta kurssia kulkevan aluksen kulkema reitti on kartalla suora. Maanpinnan loksodromit kuvautuvat siis suoriksi.

Isoympyränavigointiin projektio ei sovellu hyvin: Kartalla isoympyrä kuvautuu kaarena ja napojen kohdalla projektio on määrittelemätön. Tämän takia projektion merkitys lentoliikenteessä on pienempi kuin meriliikenteessä.

Kahden pisteen välinen isoympyrä (vihreä) ja loksodromi (punainen). Isoympyräreitin pituus noin 6810 km ja loksodromireitin noin 7030 km

Mittakaavavirhe

Todellisuudessa leveyspiirit ovat sitä lyhyempiä, mitä lähempänä napoja ne sijaitsevat ja pituuspiirit yhtyvät navoilla. Siten kartan mittakaava kasvaa länsi-itä-suunnassa napoja kohti. Jotta kulmat pysyisivät oikeansuuruisina, myös pohjois-eteläsuuntainen mittakaava kasvaa napoja kohti samassa suhteessa. Tästä seuraa, että kaukana päiväntasaajasta sijaitsevat alueet näkyvät Mercatorin projektion mukaan tehdyssä kartassa suhteettoman suurina verrattuna samansuuruisiin päiväntasaajan seudulla sijaitseviin alueisiin. Esimerkiksi Grönlanti näyttää suunnilleen Afrikan kokoiselta, vaikka todellisuudessa sen pinta-ala on alle 10 % Afrikan pinta-alasta. Myös Eurooppa näyttää Mercatorin kartassa suunnilleen Afrikan kokoiselta, vaikka todellisuudessa Euroopan pinta-ala on noin kolmasosa Afrikasta.

Mittakaavavirhe kasvaa nopeasti lähellä napaa. Esimerkiksi leveysasteella 70 mittakaava on noin 46 % suurempi kuin leveysasteella 60. Jos esimerkiksi Suomen alue kuvataan Mercator-projektiossa, Lappi näyttää pinta-alaltaan noin kaksinkertaiselta todellisuuteen nähden.

Suomi kuvattuna Mercator-projektiossa (vasemmalla) ja Gauss-Krüger-projektiossa (oikealla). Leveys- ja pituusasteruudukko piirretty asteen välein.

Merenkulussa muuttuvaa mittakaavaa ei yleensä pidetä merkittävänä ongelmana: Suurimittakaavaisilla kartoilla seikan merkitys on mitätön ja pienimittakaavaisilla kartoilla mittauksiin käytetään merikarttoihin yleensä painettavaa mittakaavan muuttumisen kartan alueella osoittavaa leveyasteikkoa.

Karttapohjoinen ja napapohjoinen

Koska Mercatorin projektiossa pituusasteet ovat kaikki yhdensuuntaisia ja osoittavat karttapohjoiseen, karttapohjoinen ja napapohjoinen yhtyvät koko kartan alueella ja siten napaluvunkorjaus on koko kartalla nolla.

Käyttö maailmankartoissa ja arvostelu

Vaikka Mercatorin projektiossa eri leveysasteilla alueiden pinta-alojen suhteet ovat hyvin virheelliset, se on aikoinaan ollut maailmankartoissa ehkä yleisimmin käytetty projektio, mitä tosin on paljon ja usein ankarastikin arvosteltu. Yleisyytensä vuoksi sen on arveltu suuressa määrin vaikuttaneen ihmisten käsitykseen maailmasta, ja koska päiväntasaajan lähellä olevat maat näyttävät siinä liian pieniltä suhteessa Euroopan ja Pohjois-Amerikan maihin, sen on arveltu osaltaan saaneen ihmiset pitämään näitä maita vähemmän tärkeinä.

Kysymys eri karttaprojektioiden paremmuudesta sai osakseen suurta julkista huomiota varsinkin sen jälkeen, kun Arno Peters vuonna 1973 oli julkaissut laatimansa karttaprojektion, Petersin projektion (joka todellisuudessa kuitenkin oli sama, jonka James Gall oli esittänyt jo yli sata vuotta aikaisemmin.) Peters esitti sen paremmaksi vaihtoehdoksi nimenomaan Mercatorin projektiolle, jota hän piti rasistisenakin. Kuitenkin Mercatorin projektion käyttö maailmankartoissa oli jo sitä ennen ollut pitkään vähenemässä.. Nykyisin maantieteilijät eivät suosittele niissä käytettäviksi mitään sellaista projektiota, jossa leveys- ja pituuspiirit näkyvät suorina ja maailmankartta on suorakulmion muotoinen.

Muunnelmia

Gauss–Kruger -projektio ja UTM-projektio

Gauss–Krüger-projektio eli poikittainen Mercatorin projektio muodostetaan muuten samoin kuin Mercatorin projektio, mutta siinä lieriöpinta, jolle pallo projisoidaan, sivuaa maapalloa jotakin pituuspiiriä pitkin, jota sanotaan kartan keskimeridiaaniksi. Tässä projektiossa pituuspiireistä vain keskimeridiaani, leveys­piireistä vain päiväntasaaja kuvautuu suoraksi viivaksi, muut ovat kaarevia. Projektiota käytetään lähinnä kartoissa, joissa näkyvä alue ulottuu enintään muutaman pituus­asteen päähän jostakin sopivasta keski­meridiaanista, muun muassa yleisesti Suomen kartoissa.

UTM-projektio (Universal Transverse Mercator) muistuttaa Gaussin-Krügerin projektiota, mutta siinä lieriö, jolle pallo projisoidaan, ei sivua pallon pintaa vaan leikkaa sen kahdessa kohdassa.

Web Mercator

Monet verkossa toimivat, paikallisia tarjoavat palvelut, muun muassa Bing Maps, OpenStreetMap ja Google Maps käyttävät kartoissaan Mercatorin projektion approksimaatiota, joka tunnetaan nimellä Web Mercator ja jonka perustana on maailmanlaajuinen geodeettinen järjestelmä WGS 84. Tapaa, jolla Mercatorin projektion mukaisissa kartoissa otetaan huomioon Maan ellipsoidisuus (litistyneisyys navoilla), on siinä kuitenkin yksinkertaistettu tavalla, jonka vuoksi se ei ole täysin oikeakulmainen: siinä käytetään ellipsoidipinnan WGS 84 -koordinaatteja, jotka kuitenkin projisoidaan ikään kuin kyseessä olisi pallopinta. Yhdysvaltain hallinto ei hyväksy tämän projektion käyttöä virallisiin tarkoituksiin.

Aiheesta muualla

• Kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Mercatorin projektio Wikimedia Commonsissa