Harmoninen värähtelijä

Harmoninen värähtelijä on fysiikassa järjestelmä, jossa kappaleeseen vaikuttaa harmoninen voima. Harmonisessa värähtelijässä voiman suuruus on suoraan verrannollinen kappaleen etäisyyteen tasapainoasemasta:

Jousi-massasysteemi värähtelee sinimuotoisesti.

${F}=-k{x},$

missä

• ${F}$ on kappaleeseen kohdistunut voima,
• $k$ on vakio (esimerkiksi jousille jousivakio, joka ilmaisee jousen jäykkyyttä),
• ja ${x}$ poikkeama tasapainoasemasta.

Tällaista voimaa sanotaan harmoniseksi voimaksi. Harmoninen voima suuntautuu aina kohti tasapainoasemaa, sillä voimasta aiheutuva kiihtyvyys on jatkuvasti kohti tasapainoasemaa. Heiluri ja jousen päässä värähtelevä punnus ovat hyviä esimerkkejä harmonisesta värähtelijästä.

Jos F on ainoa systeemiin vaikuttava voima, kutsutaan systeemiä silloin vaimentumattomaksi tai ideaaliseksi harmoniseksi värähtelijäksi. Tällaisella värähtelijällä on vakioamplitudi ja –taajuus, joka ei riipu amplitudista. Värähtely on tällöin sinimuotoista.

Jos systeemiin vaikuttaa nopeuteen verrannollinen voima (kitkavoima), kutsutaan värähtelijää silloin vaimennetuksi harmoniseksi värähtelijäksi. Systeemillä on tällöin mahdollisuus käyttäytyä eri tavoin riippuen kitkakertoimen arvosta.

Jos systeemiin vaikuttaa ulkoinen ajasta riippuva voima (ns. pakkovoima), kutsutaan värähtelijää silloin pakotetuksi harmoniseksi värähtelijäksi. Pakkovoima tuo systeemiin uutta energiaa, joka voi estää vaimennetun harmonisen värähtelijän amplitudin pienenemisen ajan kuluessa.

Vaimenematon harmoninen värähtelijä

Kitkaton jousi-massasysteemi on vaimenematon harmoninen värähtelijä.

Vaimentumattomaan harmoniseen värähtelijään ei vaikuta kitka- eikä pakkovoimaa, jolloin systeemiin vaikuttava voima on muotoa:

$F=-kx.$

Newtonin 2. laki:

$F=ma=-kx.$

Kiihtyvyys a on paikan x toinen aikaderivaatta

$m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-kx.$

Jos määritellään ${\omega _{0}}^{2}=k/m$, voidaan yhtälö kirjoittaa muotoon:

${\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+{\omega _{0}}^{2}x=0,$

jonka yleinen ratkaisu on

$x=A\cos {(\omega _{0}t+\phi )}.$

Amplitudi A ja vaihe $\phi \,$ määritetään alkuehdosta.

Yleinen ratkaisu voidaan esittää myös muodossa:

$x=A\sin {(\omega _{0}t+\phi )},$

missä $\phi \,$ on siirtynyt $\pi /2\,$ verran.

Yleinen ratkaisu voidaan esittää myös muodossa

$x=C_{1}\sin {\omega _{0}t}+C_{2}\cos {\omega _{0}t},$

missä $C_{1}\,$ and $C_{2}\,$ ovat vakioita, jotka voidaan määrittää alkuehdosta.

Värähtelyn taajuudeksi saadaan:

$f={\frac {\omega _{0}}{2\pi }}={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m}}}.$

Värähtelyn nopeudeksi v ja kiihtyvyydeksi a saadaan

$v={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=-A\omega _{0}\sin(\omega _{0}t+\phi )=C_{1}\omega _{0}\cos {\omega _{0}t}-C_{2}\omega _{0}\sin {\omega _{0}t}$ ja

$a={\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-\omega _{0}^{2}x=-A\omega _{0}^{2}\cos(\omega _{0}t+\phi )=-C_{1}\omega _{0}^{2}\sin {\omega _{0}t}-C_{2}\omega _{0}^{2}\cos {\omega _{0}t}.$

Värähtelijän kineettinen energia on

$K={\frac {1}{2}}m\left({\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}={\frac {1}{2}}kA^{2}\sin ^{2}(\omega _{0}t+\phi )$

ja potentiaalienergia

$U={\frac {1}{2}}kx^{2}={\frac {1}{2}}kA^{2}\cos ^{2}(\omega _{0}t+\phi ).$

Värähtelijän potentiaalienergia on siis suoraan verrannollinen tasa­paino­pisteestä mitatun etäisyyden neliöön.

Värähtelijän potentiaali- ja kineettinen energia muuttuvat jatkuvasti toisikseen, mutta niiden summa on vakio:

$E={\frac {1}{2}}kA^{2}.$

Pakotettu harmoninen värähtelijä

Pakkovoima F_d on voima joka tuo systeemiin energiaa. Matemaattisesti yksinkertaisin tapaus on, kun pakkovoima värähtelee sinimuotoisesti. Kun kitkavoimaa eli vaimennusta ei oteta huomioon ja $\omega \neq \omega _{0}$, on systeemin liikeyhtälö muotoa

${\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+{\omega _{0}}^{2}x=F_{0}\cos(\omega t),$

missä F₀ on pakkovoiman amplitudi ja $\omega$ on pakkovoiman värähtelyn taajuus. Yhtälön yleinen ratkaisu voidaan esittää muodossa

$x=C\cos {(\omega _{0}t-\delta )}+{\frac {F_{0}}{m({\omega _{0}}^{2}-{\omega }^{2})}}\cos {\omega t},$

kun siis $\omega \neq \omega _{0}$. Jos tarkastellaan tapausta, jossa $\omega =\omega _{0}$, ylimmän kaavan yksittäisratkaisuksi saadaan

$x={\frac {F_{0}}{2m{\omega _{0}}}}t\sin {\omega _{0}t},$

josta huomataan, että värähtely kasvaa ajan t kuluessa. Tämä on matemaattinen selitys resonanssi-ilmiölle. Jos $\omega$ on hyvin lähellä arvoa $\omega _{0}$, mutta ei aivan sama, saadaan ratkaisuksi

$x={\frac {F_{0}}{m({\omega _{0}}^{2}-{\omega }^{2})}}\sin {{\frac {\omega _{0}+\omega }{2}}t}\sin {{\frac {\omega _{0}-\omega }{2}}t}.$

Kun $\omega _{0}-\omega$ on hyvin pieni eli pakkovoiman taajuus eroaa vain vähän värähtelijän ominaistaajuudesta, on jälkimmäisen sinifunktion jakso hyvin suuri. Tämä ilmenee huojumisena. Tätä muusikot käyttävät hyväksi virittäessään soittimiaan.

Vaimennettu harmoninen värähtelijä

Vaimennettu jousi-massasysteemi.

Systeemin käyttäytyminen riippuu vaimennuskertoimesta $\zeta$.

Käytännössä värähtelevään systeemiin vaikuttaa aina liikettä vastustavia kitkavoimia, joiden vaikutuksesta värähtely vaimenee ajan funktiona. Värähtelevän jousen asema noudattaa toisen kertaluvun lineaarista yhtälöä

$m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+c{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}+kx=0,$

missä c on vaimennuskerroin. Yhtälöllä on kolme eri ratkaisua, riippuen vaimennuskertoimen c arvosta. Merkitään $a=c/2m$ ja $b=1/2m{\sqrt {c^{2}-4mk}}$.

Ylivaimennus

Jos vaimennuskerroin on niin suuri, että $c^{2}>4mk$, differentiaaliyhtälön ratkaisu on

$x(t)=c_{1}e^{-(a-b)t}+c_{2}e^{-(a+b)t},$

josta huomataan, että mitään heilahtelua ei tapahdu, sillä molemmat eksponentit ovat negatiivisia, koska a, b > 0 ja b < a. Tällöin molemmat termit lähestyvät nollaa, kun $t\to \infty$. Heilahtelun rata voi ylittää tasapainoaseman x = 0 korkeintaan kerran.

Alivaimennus

Jos vaimennuskerroin on niin pieni, että $c^{2}<4mk$, differentiaaliyhtälön ratkaisu on

$x(t)=e^{-at}(A\cos \omega t+B\sin \omega t),$

jolloin syntyy vaimeneva värähdysliike, joka lähenee koko ajan tasapainoasemaa x = 0.

Kriittinen vaimennus

Jos vaimennuskerroin on $c^{2}=4mk$, differentiaaliyhtälön ratkaisu on

$x(t)=(c_{1}+c_{2}t)\,e^{-at}.$

Tämän värähtelyn muoto on hyvin samanlainen kuin ylivaimennetunkin. Mitään heilahtelua ei synny ja rata voi ylittää tasapainoaseman x = 0 tasan kerran ja $x\to 0$, kun $t\to \infty$.

Vaimennettu ja pakotettu harmoninen värähtelijä

Massa m on kytketty jouseen ja vaimennukseen, jonka vaimennuskerroin on B ja F on ulkoinen pakkovoima.

Jos halutaan estää vaimennetun värähtelijän amplitudin pieneneminen ajan kuluessa on systeemiin tuotava energiaa ulkoisella pakkovoimalla F_d. Kuten aikaisemmin kerrottiin, matemaattisesti yksinkertaisin tapaus on kun pakkovoima värähtelee sinimuotoisesti. Vaimennetun ja pakotetun värähtelijän liikeyhtälö on

$m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+c{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}+kx=F_{0}\cos(\omega t),$

jonka ratkaisu muodostuu vaimennetun värähtelijän ja pakotetun värähtelijän liikeyhtälöiden ratkaisujen summasta. Kuten aikaisemmin osoitettiin, vaimennetun värähtelijän liikeyhtälön ratkaisu riippuu alkuehdoista. Epähomogeenisen liikeyhtälön yksittäisratkaisu taas ei riipu alkuehdoista, jolloin ratkaisuksi saadaan

$x(t)={\frac {F_{0}}{Z_{m}\omega }}\sin(\omega t-\phi ),$

missä

$Z_{m}={\sqrt {r^{2}+\left(\omega m-{\frac {k}{\omega }}\right)^{2}}}$

ja

$\phi =\arctan \left({\frac {\omega m-{\frac {k}{\omega }}}{r}}\right).$

Katso myös

• Kvanttimekaaninen harmoninen värähtelijä
• Oskillaattori

Lähteet

• M. L. Boas: Mathematical Methods in the Physical Sciences, s. 297. United States: John Wiley & Sons, 1983. ISBN 0-471-04409-1 (englanti)
• G. R. Fowles & G. L. Cassiday: Analytical Mechanics sixth edition, s. 69. United States: Brooks/Cole Pub Co, 1998. ISBN 0-03-022317-2 (englanti)
• H. D. Young & R. A. Freedman & T. R. Sandin & A. L. Ford: Sears and Zemansky's University Physics With Modern Physics, s. 392. United States: Addison Wesley Publishing Company, 2000. ISBN 0-201-60336-5 (englanti)

Aiheesta muualla

• Harmoninen värähdysliike (pdf) (Arkistoitu – Internet Archive)
• Artikkeli harmonisesta värähtelijästä Hypertextbookissa
• Animaatio vaimennetusta ja pakotetusta harmonisesta värähtelijästä (Arkistoitu – Internet Archive)