Matriz diagonal

En álgebra lineal, una matriz diagonal es una matriz cuyos elementos fuera de la diagonal principal son todos cero; el término usualmente hace referencia a matrices cuadradas. Un ejemplo de una matriz diagonal de tamaño $2\times 2$ es

${\begin{bmatrix}3&0\\0&2\end{bmatrix}}$

mientras que un ejemplo de una matriz de tamaño $3\times 3$ es

${\begin{bmatrix}6&0&0\\0&7&0\\0&0&4\end{bmatrix}}$

La matriz identidad de cualquier tamaño o cualquier múltiplo de ella (una matriz escalar) es una matriz diagonal.

Definición

La matriz $D=(d_{i,j})$ con $n$ columnas y $n$ renglones es diagonal si

$d_{i,j}=0\;{\mbox{si}}\;i\neq j\quad \forall \;i,j\in \{1,2,\dots ,n\}$

Los elementos de la diagonal principal de la matriz $D$ pueden tomar cualquier valor.

Toda matriz diagonal es también una matriz simétrica, triangular (superior e inferior) y (si las entradas provienen del cuerpo R o C) normal.

Operaciones vectoriales

Multiplicar un vector por una matriz diagonal implica multiplicar cada elemento del vector por el elemento correspondiente de la diagonal. Dada una matriz diagonal $D=\operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n})$ y un vector $\mathbf {v} ={\begin{bmatrix}x_{1}&\cdots &x_{n}\end{bmatrix}}^{T}$ el producto es:

$D\mathbf {v} =\operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n}){\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}\\&\ddots \\&&a_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}x_{1}\\\vdots \\a_{n}x_{n}\end{bmatrix}}$

Operaciones matriciales

Las operaciones de suma y multiplicación entre matrices diagonales son muy sencillas. Considere dos matrices diagonales del mismo tamaño $D=\operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n})$ y $B=\operatorname {diag} (b_{1},\dots ,b_{n})$.

Para la suma de matrices diagonales se tiene

${\begin{aligned}D+B&=\operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n})+\operatorname {diag} (b_{1},\dots ,b_{n})\\&={\begin{bmatrix}a_{1}\\&\ddots \\&&a_{n}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}b_{1}\\&\ddots \\&&b_{n}\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}a_{1}+b_{1}\\&\ddots \\&&b_{n}+b_{n}\end{bmatrix}}\\&=\operatorname {diag} (a_{1}+b_{1},\dots ,a_{n}+b_{n})\end{aligned}}$

y para el producto de matrices,

${\begin{aligned}DB&=\operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n})\cdot \operatorname {diag} (b_{1},\dots ,b_{n})\\&={\begin{bmatrix}a_{1}\\&\ddots \\&&a_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}\\&\ddots \\&&b_{n}\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}a_{1}b_{1}\\&\ddots \\&&a_{n}b_{n}\end{bmatrix}}\\&=\operatorname {diag} (a_{1}b_{1},\dots ,a_{n}b_{n})\end{aligned}}$

La matriz diagonal $D=\operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n})$ es invertible si y sólo si las entradas $a_{1},\dots ,a_{n}$ son todas distintas de 0. En este caso, se tiene

$D^{-1}=\operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n})^{-1}=\operatorname {diag} (a_{1}^{-1},\dots ,a_{n}^{-1})$

En particular, las matrices diagonales forman un subanillo del anillo de las matrices de $n\times n$.

Multiplicar la matriz $A$ por la izquierda con $\operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n})$ equivale a multiplicar la $i$-ésima fila de $A$ por $a_{i}$ para todo $i$. Multiplicar la matriz $A$ por la derecha con $\operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n})$ equivale a multiplicar la $i$-ésima columna de $A$ por $a_{i}$ para todo $i$.

Propiedades

• El determinante de $\operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n})$ es igual al producto $a_{1}\cdots a_{n}$.
• La adjunta de una matriz diagonal es también una matriz diagonal.
• La matriz identidad $I_{n}$ y la matriz cero son matrices diagonales.
• Los autovalores de $\operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n})$ son $a_{1},\dots ,a_{n}$.
• Los vectores $\mathbf {e} _{1},\dots ,\mathbf {e} _{n}$ forman una base de autovectores.

Usos

Las matrices diagonales tienen lugar en muchas áreas del álgebra lineal. Debido a la sencillez de las operaciones con matrices diagonales y el cálculo de su determinante y de sus valores y vectores propios, siempre es deseable representar una matriz dada o transformación lineal como una matriz diagonal.

De hecho, una matriz dada de n×n es similar a una matriz diagonal si y sólo si tiene n autovectores linealmente independientes. Tales matrices se dicen diagonalizables.

En el cuerpo de los números reales o complejos existen más propiedades: toda matriz normal es similar a una matriz diagonal (véase teorema espectral) y toda matriz es equivalente a una matriz diagonal con entradas no negativas.

• Datos: Q332791