Keglestub

En keglestub er en kegle, hvor toppen er skåret af.

Arealet af den krumme overflade på en keglestub er givet ved

$A=\pi s\,(R+r)$

hvor:

$R$ er radius i den store cirkulære endeflade.
$r$ er radius i den lille cirkulære endeflade.
$s$ er afstanden mellem de to cirkelperiferier.

$s$ kan udregnes vha. Pythagoras sætning (a²+b²=c²). a: keglestubbens højde, b: $R$ - $r$ og c: $s$ .

Altså: $h^{2}+(R-r)^{2}=s^{2}$

Rumfanget (Volumen) af en keglestub er givet ved

$V={\frac {1}{3}}\,h\,\pi \,(R^{2}+r^{2}+R\,r)$

hvor:

$h$ er højden i figuren
$R$ er radius i den store cirkulære endeflade.
$r$ er radius i den lille cirkulære endeflade.

Bevis for rumfangs formel

Ovenstående formel kan findes ved at benytte reglen for udregning af volumen for omdrejnings legemer.

For en funktion $y=f(x)$ som drejes 360˚ omkring x-aksen mellem punkterne $a$ og $b$ , kan man finde volumen af det frembragte omdrejnings legeme ved dette udtryk

$V=\int _{a}^{b}\pi f(x)^{2}\,dx$

For en keglestub gælder $f(x)=r+x\cdot {\frac {R-r}{h}}$ og det ønskede omdrejnings volumen findes med $a=0$ og $b=h$ .

$V=\int _{0}^{h}\pi \left(r+x\cdot {\frac {R-r}{h}}\right)^{2}\,dx$

$V=\pi \int _{0}^{h}\left(r^{2}+x^{2}\cdot \left({\frac {R-r}{h}}\right)^{2}+2\cdot r\cdot x\cdot {\frac {R-r}{h}}\right)\,dx$

$V=\pi \left.\left(x\cdot r^{2}+{\frac {1}{3}}x^{3}\cdot \left({\frac {R-r}{h}}\right)^{2}+2\cdot r\cdot {\frac {1}{2}}x^{2}\cdot {\frac {R-r}{h}}\right)\right|_{0}^{h}$