Tangens

Tangens je goniometrická funkce.

Graf funkce tangens.

Pro označení této funkce se obvykle používá značka tan (v českých publikacích běžně též tg) doplněná značkou nezávisle proměnné (zpravidla úhlu).

V pravoúhlém trojúhelníku je definována jako poměr protilehlé odvěsny a odvěsny přilehlé. Definici lze konzistentně rozšířit jak na reálná čísla, tak i do oboru komplexních čísel.

Grafem tangenty v reálném oboru je tangentoida.

Tangens na jednotkové kružnici

Tangens α na jednotkové kružnici

Tangens se jednoduše definuje na jednotkové kružnici (kružnici se středem v počátku a s poloměrem 1): Je-li v průsečíku jednotkové kružnice s kladnou poloosou x vztyčena tečna k této kružnici (kolmá na osu x), je tg α rovna y-ové souřadnici průsečíku této tečny s přímkou koncového ramene úhlu α s počátečním ramenem v kladné poloose x (orientovaného od kladné poloosy x proti směru hodinových ručiček), jinak řečeno, vzdálenost tohoto průsečíku od osy x se (v absolutní hodnotě) rovná tg α.

Z geometrické definice je také vidět, že tangens je v prvním a třetím kvadrantu nezáporná (≥ 0), ve druhém a čtvrtém nekladná (≤ 0) a pro úhly α = 90° a α = 270° (resp. π/2 a 3π/2 v obloukové míře) není definován, protože průsečík s tečnou neexistuje. V celém definičním oboru je tangens rostoucí funkcí.

Orientovaný úhel lze rozšířit na všechna reálná čísla předpisem $\alpha +k\cdot \pi$ v úhlové míře resp. $\alpha +k\cdot 180^{\circ }$ v míře stupňové, kde $k$ je celé číslo. Tangens lze tedy konzistentně definovat jako funkci v množině reálných čísel:

Tangens v reálném oboru

Funkce $y={\mbox{tg }}x\!$, je definována jako $y={\mbox{tg }}x={\frac {\sin x}{\cos x}}$ a má následující vlastnosti (kde k je libovolné celé číslo):

• Definiční obor: $\mathbb {R} \smallsetminus \left\{{\frac {\pi }{2}}+k\pi \right\}$
• Obor hodnot: $(-\infty ;\infty ),\!$
• Rostoucí: v každém intervalu $\left(-{\frac {\pi }{2}}+k\pi ;{\frac {\pi }{2}}+k\pi \right)$
• Derivace: $(tg\ x)'={\frac {1}{\cos ^{2}x}}$
• Integrál: $\int {\mbox{tg }}x\,\mathrm {d} x=-\ln |\cos x|+C;$Integrační konstanta obecně jiná na každé komponentě definičního oboru.
• Inverzní funkce: arkus tangens (arctg)
• Tangens doplňkového úhlu: $y={\mbox{tg }}({\frac {\pi }{2}}-x)={\mbox{cotg }}x$
• je:
  • lichá
  • neomezená
  • periodická s nejmenší periodou $\pi$

Související články

• Goniometrie
• Tangentová věta

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu tangens na Wikimedia Commons
• Slovníkové heslo tangens ve Wikislovníku