[go: up one dir, main page]
Wikipedie

Sinus: Porovnání verzí

Interaktivně procházet historii
← Přejít na předchozí porovnání
Smazaný obsah Přidaný obsah
VizuálníWikitext
m rvv
Lopatalopez (diskuse | příspěvky)
3 421 editací
Funkce návrhy odkazů: Přidány 2 odkazy.
 
(Není zobrazeno 17 mezilehlých verzí od 16 dalších uživatelů.)
Řádek 1:
[[Soubor:Trig-unit-hypSin.svg|thumbnáhled|upright=1.03|SinusGraf vfunkce pravoúhlémsinus trojúhelníku– sinusoida]]
[[Soubor:SinTrig-unit-hyp.svg|thumbnáhled|upright=1.30|GrafSinus funkcev sinus -pravoúhlém sinusoidatrojúhelníku]]
'''Sinus''' je [[goniometrická funkce]] nějakého úhlu. Zapisuje se jako ''sin θ'', kde ''θ'' je velikost úhlu. Pro ostré úhly je definována v [[pravoúhlý trojúhelník|pravoúhlém trojúhelníku]] jako poměr protilehlé odvěsny a přepony (nejdelší strany). Definici lze konzistentně rozšířit jak na všechna reálná čísla, tak i do oboru komplexních čísel.
 
Řádek 6:
 
== Sinus na jednotkové kružnici ==
[[Soubor:Sine triangle circle.svg|thumbnáhled|upright|Sinus ''α'' na jednotkové kružnici]]
[[Soubor:Circle cos sin.gif|náhled|387x387pixelů|Animace zobrazuje funkci sinus (červeně) vykreslenou ze souřadnice y (červený bod) a k tomu náležící bod na jednotkové kružnici (zelený bod) pod úhlem θ.]]
Sinus se jednoduše definuje na [[jednotková kružnice|jednotkové kružnici]] (kružnici se středem v počátku a s poloměrem 1): Je-li ''α'' úhel, který svírá rameno s kladnou poloosou ''x'' ( [[Úhel#Orientovaný úhel|orientovaný]] od kladné poloosy ''x'' proti směru hodinových ručiček), je '''sin ''α''''' roven ''y''-ové souřadnici průsečíku této kružnice s koncovým ramenem úhlu ''α'', jinak řečeno, rovná se délce [[kolmice]] spuštěné z tohoto bodu na osu ''x''.
Délce úsečky z počátku k patě této kolmice, přesněji (s ohledem na znaménko) ''x''-ové souřadnici průsečíku jednotkové kružnice s koncovým ramenem úhlu ''α'', je pak roven [[kosinus|cos]] ''α''. Poloměr, kolmice a tato úsečka tvoří pravoúhlý trojúhelník, pro nějž platí [[Pythagorova věta]], takže také platí:
:<math>(\sin \alpha)^2 + (\cos \alpha)^2 = 1</math>.
Na jednotkové kružnici je také vidět, že sinus je v prvním a druhém [[kvadrantKvadrant (geometrie)|kvadrantu]]u nezáporný (≥ 0), kdežto ve třetím a čtvrtém nekladný (≤ 0). V prvním a čtvrtém kvadrantu je rostoucí, ve druhém a třetím klesající.
 
Protože zřejmě platí, že
:<math>\sin \alpha = \sin( \alpha + k \cdot 2\pi)</math> (resp. <math>\sin( \alpha + k \cdot 360^{\circ}</math>)),
kde <math>k</math> je libovolné [[celé číslo]], lze funkci sinus rozšířit i na záporné úhly a konzistentně definovat jako funkci na celé množině reálných čísel. Sinusoida pak zhruba (při nekonečně dlouhé [[ojnice|ojnici]]) popisuje například pohyb pístu ve válci spalovacího motoru.
 
 
== Sinus v reálném oboru ==
Reálná funkce reálné proměnné <math>y=\sin x</math> má následující vlastnosti (kde <math>k</math> je libovolné [[celé číslo]]):
* '''[[Definiční obor]]''': <math>\mathbb{R}</math> ([[reálné číslo|reálná čísla]])
* '''[[Obor hodnot]]''': <math>\langle-1;1\rangle</math>
* '''[[Rostoucí funkce|Rostoucí]]''': v každém intervalu <math>\textstyle\left(-\frac{1}{2}\pi+2k\pi; \frac{1}{2}\pi+2k\pi\right)</math>
* '''[[Klesající funkce|Klesající]]''': v každém intervalu <math>\textstyle\left(\frac{1}{2}\pi+2k\pi; \frac{3}{2}\pi+2k\pi\right)</math>
* '''[[Maximum]]''' je <math>1</math> (v bodech <math>\textstyle x=\frac{1}{2}\pi+2k\pi</math>)
* '''[[Minimum]]''' je <math>-1</math> (v bodech <math>\textstyle x=-\frac{1}{2}\pi+2k\pi</math>)
* '''[[Derivace]]''': <math>y(\sin x)'=\cos x\,\!</math>
* '''[[Primitivní funkce]]''': <math>\int \sin x\, \mathrm{d}x = -\cos x + c,C; cC \in\mathbb{R}</math>
* '''[[Taylorova řada]]''': <math>\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \ldots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}</math>
* '''[[Inverzní zobrazení|Inverzní funkce]]''' (na intervalu <math>\langle -1;1\rangle</math> a oborem hodnot <math>\langle -\frac{1}{2}\pi;\frac{1}{2}\pi\rangle</math>): '''[[arkus sinus]]''' (''arcsin'')
* '''Sinus dvojnásobnéhodoplňkového argumentu'''úhlu: <math>\sin (2x\frac{\pi}{2}-x)=2\sin x\cos x</math>
* Sinus dvojnásobného argumentu: <math>\sin 2x=2\sin x\cos x</math>
* Sinus je funkce:
* Sinus polovičního argumentu: <math>\sin ^2 x/2=\frac {1-\cos x}{2}</math>
** [[lichá funkce|lichá]]▼
* délka sinusoidy (na intervalu periody): Navinutím grafu funkce <math>y=A\sin(x/r)</math> na válec o poloměru <math>r</math> vznikne [[elipsa]] o poloosách <math>r</math>, <math>\sqrt{r^2+A^2}</math>. Díky této transformaci lze k&nbsp;výpočtu použít četné nástroje pro obvod elipsy.
** [[Omezená funkce|omezená shora i zdola]]▼
* funkce sinus:
** [[periodická funkce|periodická]] s&nbsp;periodou <math>2k\pi</math>▼
▲** je [[lichá funkce|lichá]]
 
▲** je [[Omezená funkce|omezená shora i zdola]]
▲** je [[periodická funkce|periodická]] s&nbsp;nejmenší periodou <math>2k2\pi</math>
** není [[Prosté zobrazení|prostá]]
 
== Sinus a kvadranty ==
[[Soubor:Sine quads 01 Pengo.svg|náhled|462x462pixelů|Čtyři kvadranty kartézské soustavy souřadnic. Po jednotkové kružnici (obrázek vlevo) se pohybujeme proti směru hodinových ručiček a začínáme napravo (přechod žluté a hnědé barvy).]]
Pohybujeme se v [[Kartézská soustava souřadnic|kartézské soustavě souřadnic]] se čtyřmi kvadranty. Níže uvedená tabulka zobrazuje několik klíčových vlastností sinusové funkce dle konkrétního kvadrantu. Pro argumenty mimo tabulku lze vypočítat odpovídající informace pomocí periodicity funkce sinus.
{| class="wikitable"
!Kvadranty
Řádek 45 ⟶ 47:
!Radiány
!Hodnota
!Hodnota sinu +/-−
|-
|I.
Řádek 62 ⟶ 64:
|180° < x < 270°
|π < x < 3π/2
| -1−1 < sin(x) < 0
| -−
|-
|IV.
|270° < x < 360°
|3π/2 < x < 2π
| -1−1 < sin(x) < 0
| -−
|}
Následující tabulka uvádí základní hodnoty na hranicích kvadrantů:
Řádek 91 ⟶ 93:
|270°
|3π/2
| -1−1
|}
 
[[Soubor:Unit circle angles.svg|náhled|upright=1.8|Úhly jsou udávány ve stupních a radiánech spolu s odpovídajícím průsečíkem na jednotkové kružnici (cos (θ), sin (θ)).]]
 
== Hodnoty sinus na jednotkové kružnici ==
Tabulka pro orientaci v jednotkové kružnici ve stupních a radiánech:
Řádek 113 ⟶ 116:
|-
|15°
|1π/12π12
|1/24
|-
|165°
|11π/12
|11/12π
|11/24
|-
|30°
|1π/6π6
|1/12
|-
|150°
|55π/6π6
|5/12
|-
|45°
|1π/4π4
|1/8
|-
|135°
|33π/4π4
|3/8
|-
|60°
|1π/3π3
|1/6
|-
|120°
|22π/3π3
|1/3
|-
|75°
|55π/12π12
|5/24
|-
|105°
|77π/12π12
|7/24
|-
|90°
|1π/2π2
|1/4
|}
Řádek 183 ⟶ 186:
|1
|0
| -1−1
|0
|}
Pro orientaci v přepočítávání hodnot na stupně a radiány viz: https://matematika.cz/radian
 
== Výpočty hodnot ==
Sinus, stejně jako ostatní goniometrické funkce, patří mezi tzv. transcendentální funkce, jejichž hodnoty nelze přímo vypočítat pomocí elementárních operací. Pro výpočty s goniometrickými funkcemi se používají počítače a vědecké kalkulátory, takže jejich hodnoty většinou není třeba počítat. Pro ruční výpočet se používaly tabulky, kde byly tyto hodnoty už vypočteny pro určité hodnoty úhlů, a pro mezilehlé hodnoty se používala [[interpolace]]. Pro výpočty například při tvorbě takových tabulek se používají nekonečné řady. V počítačích a kalkulátorech se hodnoty goniometrických funkcí obvykle aproximují pomocí snáze vypočítatelných hodnot obvykle Čebyševových [[polynom]]ů nebo nekonečných řad ([[Taylorova řada]])
 
Hodnoty goniometrických funkcí lze však přesně určit pro všechny násobky 60° a 45°, a to následujícím způsobem:
Řádek 199 ⟶ 201:
:<math>\mbox{tg} \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt2}{\sqrt2} = 1</math>
 
Goniometrické funkce úhlů <math>\pi/3</math> radiánů (60°) a <math>\pi/6</math> radiánů (30°) se určí pomocí [[Rovnostranný trojúhelník|rovnostranného trojúhelníka]] se stranami délky 1. Všechny jeho úhly jsou rovny <math>\pi/3</math> radiánů (60°). Když ho rozdělíme na poloviny, získáme pravoúhlý trojúhelník s&nbsp;úhly o velikostech <math>\pi/6</math> a <math>\pi/3</math>. Jeho kratší odvěsna má délku <math>1/2</math>, delší <math>{\sqrt3}/2</math> a přepona délku 1. Pak tedy:
:<math>\sin \frac{\pi}{6} = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}</math>
:<math>\cos \frac{\pi}{6} = \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt3}{2}</math>
Řádek 218 ⟶ 220:
 
== Odkazy ==
 
=== Související články ===
* [[Sinová věta]]
Řádek 225 ⟶ 228:
* {{Commonscat}}
* {{Wikislovník|heslo=sinus}}
* [https://web.archive.org/web/20100304140415/http://mathworld.wolfram.com/Sine.html Sinus v encyklopedii MathWorld] (anglicky)
* [http://functions.wolfram.com/ElementaryFunctions/Sin/ Vzorce obsahující sinus na functions.wolfram.com] (anglicky)
 
{{Goniometrické funkce}}
{{Autoritní data}}
 
{{Portály|Matematika}}
Citováno z „https://cs.wikipedia.org/wiki/Sinus“