Sinus: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
Funkce návrhy odkazů: Přidány 2 odkazy. |
|||
(Není zobrazeno 24 mezilehlých verzí od 19 dalších uživatelů.) | |||
Řádek 1:
[[Soubor:
[[Soubor:
'''Sinus''' je [[goniometrická funkce]] nějakého úhlu. Zapisuje se jako ''sin θ'', kde ''θ'' je velikost úhlu. Pro ostré úhly je definována v [[pravoúhlý trojúhelník|pravoúhlém trojúhelníku]] jako poměr protilehlé odvěsny a přepony (nejdelší strany). Definici lze konzistentně rozšířit jak na všechna reálná čísla, tak i do oboru komplexních čísel.
[[graf funkce|Grafem]] funkce sinus v reálném oboru je '''sinusoida'''.
== Sinus na jednotkové kružnici ==
[[Soubor:Sine triangle circle.svg|
[[Soubor:Circle cos sin.gif|náhled|387x387pixelů|Animace zobrazuje funkci sinus (červeně) vykreslenou ze souřadnice y (červený bod) a k tomu náležící bod na jednotkové kružnici (zelený bod) pod úhlem θ.]]
Sinus se jednoduše definuje na [[jednotková kružnice|jednotkové kružnici]] (kružnici se středem v počátku a s poloměrem 1): Je-li ''α'' úhel, který svírá rameno s kladnou poloosou ''x'' (
Délce úsečky z počátku k patě této kolmice, přesněji (s ohledem na znaménko) ''x''-ové souřadnici průsečíku jednotkové kružnice s koncovým ramenem úhlu ''α'', je pak roven [[kosinus|cos]] ''α''. Poloměr, kolmice a tato úsečka tvoří pravoúhlý trojúhelník, pro nějž platí [[Pythagorova věta]], takže také platí:
:<math>(\sin \alpha)^2 + (\cos \alpha)^2 = 1</math>.
Na jednotkové kružnici je také vidět, že sinus je v prvním a druhém [[
Protože zřejmě platí, že
:<math>\sin \alpha = \sin( \alpha + k \cdot 2\pi)</math> (resp. <math>\sin( \alpha + k \cdot 360^{\circ}</math>)),
kde <math>k</math> je libovolné [[celé číslo]], lze funkci sinus rozšířit i na záporné úhly a konzistentně definovat jako funkci na celé množině reálných čísel. Sinusoida pak zhruba (při nekonečně dlouhé [[ojnice|ojnici]]) popisuje například pohyb pístu ve válci spalovacího motoru.
== Sinus v reálném oboru ==
Reálná funkce reálné proměnné <math>y=\sin x</math> má následující vlastnosti (kde <math>k</math> je libovolné [[celé číslo]]):
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
* Sinus dvojnásobného argumentu: <math>\sin 2x=2\sin x\cos x</math>
* Sinus polovičního argumentu: <math>\sin ^2 x/2=\frac {1-\cos x}{2}</math>
** [[lichá funkce|lichá]]▼
* délka sinusoidy (na intervalu periody): Navinutím grafu funkce <math>y=A\sin(x/r)</math> na válec o poloměru <math>r</math> vznikne [[elipsa]] o poloosách <math>r</math>, <math>\sqrt{r^2+A^2}</math>. Díky této transformaci lze k výpočtu použít četné nástroje pro obvod elipsy.
** [[Omezená funkce|omezená shora i zdola]]▼
* funkce sinus:
** [[periodická funkce|periodická]] s periodou <math>2k\pi</math>▼
▲** je [[lichá funkce|lichá]]
▲** je [[Omezená funkce|omezená shora i zdola]]
** není [[Prosté zobrazení|prostá]]
== Sinus a kvadranty ==
[[Soubor:Sine quads 01 Pengo.svg|náhled|462x462pixelů|Čtyři kvadranty kartézské soustavy souřadnic. Po jednotkové kružnici (obrázek vlevo) se pohybujeme proti směru hodinových ručiček a začínáme napravo (přechod žluté a hnědé barvy).]]
Pohybujeme se v [[Kartézská soustava souřadnic|kartézské soustavě souřadnic]] se čtyřmi kvadranty. Níže uvedená tabulka zobrazuje několik klíčových vlastností sinusové funkce dle konkrétního kvadrantu. Pro argumenty mimo tabulku lze vypočítat odpovídající informace pomocí periodicity funkce sinus.
{| class="wikitable"
!Kvadranty
Řádek 44 ⟶ 47:
!Radiány
!Hodnota
!Hodnota sinu +/
|-
|I.
Řádek 61 ⟶ 64:
|180° < x < 270°
|π < x < 3π/2
|
|
|-
|IV.
|270° < x < 360°
|3π/2 < x < 2π
|
|
|}
Následující tabulka uvádí základní hodnoty na hranicích kvadrantů:
Řádek 90 ⟶ 93:
|270°
|3π/2
|
|}
[[Soubor:Unit circle angles.svg|náhled|upright=1.8|Úhly jsou udávány ve stupních a radiánech spolu s odpovídajícím průsečíkem na jednotkové kružnici (cos (θ), sin (θ)).]]
== Hodnoty sinus na jednotkové kružnici ==
Tabulka pro orientaci v jednotkové kružnici ve stupních a radiánech:
Řádek 112 ⟶ 116:
|-
|15°
|
|1/24
|-
|165°
|11π/12
|11/24
|-
|30°
|
|1/12
|-
|150°
|
|5/12
|-
|45°
|
|1/8
|-
|135°
|
|3/8
|-
|60°
|
|1/6
|-
|120°
|
|1/3
|-
|75°
|
|5/24
|-
|105°
|
|7/24
|-
|90°
|
|1/4
|}
Řádek 182 ⟶ 186:
|1
|0
|
|0
|}
== Výpočty hodnot ==
Sinus, stejně jako
Hodnoty goniometrických funkcí lze však přesně určit pro všechny násobky 60° a 45°, a to následujícím způsobem:
Řádek 198 ⟶ 201:
:<math>\mbox{tg} \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt2}{\sqrt2} = 1</math>
Goniometrické funkce úhlů <math>\pi/3</math> radiánů (60°) a <math>\pi/6</math> radiánů (30°) se určí pomocí [[Rovnostranný trojúhelník|rovnostranného trojúhelníka]] se stranami délky 1. Všechny jeho úhly jsou rovny <math>\pi/3</math> radiánů (60°). Když ho rozdělíme na poloviny, získáme pravoúhlý trojúhelník s úhly o velikostech <math>\pi/6</math> a <math>\pi/3</math>. Jeho kratší odvěsna má délku <math>1/2</math>, delší <math>{\sqrt3}/2</math> a přepona délku 1. Pak tedy:
:<math>\sin \frac{\pi}{6} = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}</math>
:<math>\cos \frac{\pi}{6} = \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt3}{2}</math>
Řádek 217 ⟶ 220:
== Odkazy ==
=== Související články ===
* [[Sinová věta]]
Řádek 224 ⟶ 228:
* {{Commonscat}}
* {{Wikislovník|heslo=sinus}}
* [https://web.archive.org/web/20100304140415/http://mathworld.wolfram.com/Sine.html Sinus v encyklopedii MathWorld] (anglicky)
* [http://functions.wolfram.com/ElementaryFunctions/Sin/ Vzorce obsahující sinus na functions.wolfram.com] (anglicky)
{{Goniometrické funkce}}
{{Autoritní data}}
{{Portály|Matematika}}
|