[go: up one dir, main page]
Wikipedie

Sinus: Porovnání verzí

Interaktivně procházet historii
← Přejít na předchozí porovnání
Smazaný obsah Přidaný obsah
VizuálníWikitext
Lopatalopez (diskuse | příspěvky)
3 421 editací
Funkce návrhy odkazů: Přidány 2 odkazy.
 
(Není zobrazeno 39 mezilehlých verzí od 26 dalších uživatelů.)
Řádek 1:
[[Soubor:Sin.svg|thumbnáhled|upright=1.53|Graf funkce sinus – sinusoida]]
[[Soubor: Sine triangle circleTrig-unit-hyp.svg |thumbnáhled| upright=1.0| Sinus α v jednotkové kružnicipravoúhlém trojúhelníku]]
'''Sinus''' je [[goniometrická funkce]] nějakého úhlu. V [[pravoúhlýZapisuje trojúhelník|pravoúhlémse trojúhelníku]]jako bývá''sin definovánaθ'', jakokde poměr''θ'' protilehléje odvěsnyvelikost a přeponyúhlu. Pro označeníostré tétoúhly je definována v [[Funkcepravoúhlý (matematika)trojúhelník|funkcepravoúhlém trojúhelníku]] sejako obvyklepoměr používáprotilehlé zkratka ''sin''odvěsny a jejímpřepony [[graf(nejdelší (funkcestrany)|grafem]]. jeDefinici '''sinusoida'''.lze Jekonzistentně definovánarozšířit buďjak na oboruvšechna reálnýchreálná číselčísla, anebotak šířejii nado oboru komplexních čísel.
 
[[graf funkce|Grafem]] funkce sinus v reálném oboru je '''sinusoida'''.
== Sinus na jednotkové kružnici ==
[[Soubor: Sine triangle circle.svg |thumb| upright=1.0| Sinus ''α'' na jednotkové kružnici]]
Sinus se jednoduše definuje na [[jednotková kružnice|jednotkové kružnici]] (kružnici se středem v počátku a s poloměrem 1): pokud poloměr jednotkové kružnice svírá s osou ''x'' úhel ''α'' ([[Úhel#Orientovaný úhel|orientovaný]] od kladné poloosy x proti směru hodinových ručiček), je sin ''α'' vzdálenost koncového bodu tohoto poloměru od osy ''x'', jinak řečeno, délka [[kolmice]] spuštěné z tohoto bodu na osu ''x''. Délka úsečky z počátku k patě této kolmice se rovná [[kosinus|cos]] ''α''.
 
== Sinus na jednotkové kružnici ==
Poloměr, kolmice a tato úsečka tvoří pravoúhlý trojúhelník, pro nějž platí [[Pythagorova věta]], takže také platí:
[[Soubor:Sine triangle circle.svg|náhled|upright|Sinus ''α'' na jednotkové kružnici]]
:(sin ''α'')<sup>2</sup> + (cos ''α'')<sup>2</sup> = 1.
[[Soubor:Circle cos sin.gif|náhled|387x387pixelů|Animace zobrazuje funkci sinus (červeně) vykreslenou ze souřadnice y (červený bod) a k tomu náležící bod na jednotkové kružnici (zelený bod) pod úhlem θ.]]
Na jednotkové kružnici je také vidět, že sinus je v prvním a druhém [[kvadrant]]u nezáporný (≥ 0), kdežto ve třetím a čtvrtém nekladný (≤ 0). V prvním a čtvrtém kvadrantu je rostoucí, ve druhém a třetím klesající.
Sinus se jednoduše definuje na [[jednotková kružnice|jednotkové kružnici]] (kružnici se středem v počátku a s poloměrem 1): Je-li ''α'' úhel, který svírá rameno s kladnou poloosou ''x'' ([[Úhel#Orientovaný úhel|orientovaný]] od kladné poloosy ''x'' proti směru hodinových ručiček), je '''sin ''α''''' roven ''y''-ové souřadnici průsečíku této kružnice s koncovým ramenem úhlu ''α'', jinak řečeno, rovná se délce [[kolmice]] spuštěné z tohoto bodu na osu ''x''.
Délce úsečky z počátku k patě této kolmice, přesněji (s ohledem na znaménko) ''x''-ové souřadnici průsečíku jednotkové kružnice s koncovým ramenem úhlu ''α'', je pak roven [[kosinus|cos]] ''α''. Poloměr, kolmice a tato úsečka tvoří pravoúhlý trojúhelník, pro nějž platí [[Pythagorova věta]], takže také platí:
:<math>(\sin \alpha)^2 + (\cos \alpha)^2 = 1</math>.
Na jednotkové kružnici je také vidět, že sinus je v prvním a druhém [[Kvadrant (geometrie)|kvadrantu]] nezáporný (≥ 0), kdežto ve třetím a čtvrtém nekladný (≤ 0). V prvním a čtvrtém kvadrantu je rostoucí, ve druhém a třetím klesající.
 
Protože zřejmě platí, že
[[Úhel#Orientovaný úhel|Orientovaný úhel]] lze rozšířit na všechna reálná čísla o hodnoty <math>\alpha+k \cdot 2\pi</math> v úhlové míře resp. <math>\alpha+k \cdot 360^\circ</math> v míře stupňové, kde <math>k</math> je [[celé číslo]]. Sinus lze tedy konzistentně definovat jako funkci na celé množině reálných čísel:
:<math>\sin \alpha = \sin( \alpha + k \cdot 2\pi)</math> (resp. <math>\sin( \alpha + k \cdot 360^{\circ}</math>)),
kde <math>k</math> je libovolné [[celé číslo]], lze funkci sinus rozšířit i na záporné úhly a konzistentně definovat jako funkci na celé množině reálných čísel. Sinusoida pak zhruba (při nekonečně dlouhé [[ojnice|ojnici]]) popisuje například pohyb pístu ve válci spalovacího motoru.
 
== Sinus v reálném oboru ==
Reálná funkce reálné proměnné <math>y=\sin x</math> má následující vlastnosti (kde <math>k</math> je libovolné [[celé číslo]]):
* '''[[Definiční obor]]''': <math>\mathbb{R}</math> ([[reálné číslo|reálná čísla]])
* '''[[Obor hodnot]]''': <math>\langle-1;1\rangle</math>
* '''[[Rostoucí funkce|Rostoucí]]''': v každém intervalu <math>\textstyle\left(-\frac{1}{2}\pi+2k\pi; \frac{1}{2}\pi+2k\pi\right)</math>
* '''[[Klesající funkce|Klesající]]''': v každém intervalu <math>\textstyle\left(\frac{1}{2}\pi+2k\pi; \frac{3}{2}\pi+2k\pi\right)</math>
* '''[[Maximum]]''' je <math>1</math> (v bodech <math>\textstyle x=\frac{1}{2}\pi+2k\pi</math>)
* '''[[Minimum]]''' je <math>-1</math> (v bodech <math>\textstyle x=-\frac{1}{2}\pi+2k\pi</math>)
* '''[[Derivace]]''': <math>y(\sin x)'=\cos x\,\!</math>
* '''[[Primitivní funkce]]''': <math>\int \sin x\, \mathrm{d}x = -\cos x + c,C; cC \in\mathbb{R}</math>
* '''[[Taylorova řada]]''': <math>\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \ldots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}</math>
* '''[[Inverzní zobrazení|Inverzní funkce]]''' (na intervalu <math>\langle -1;1\rangle</math> a oborem hodnot <math>\langle -\frac{1}{2}\pi;\frac{1}{2}\pi\rangle</math>): '''[[arkus sinus]]''' (''arcsin'')
* '''Sinus dvojnásobnéhodoplňkového argumentu'''úhlu: <math>\sin (2x\frac{\pi}{2}-x)=2\sin x\cos x</math>
* Sinus dvojnásobného argumentu: <math>\sin 2x=2\sin x\cos x</math>
* Sinus je funkce:
* Sinus polovičního argumentu: <math>\sin ^2 x/2=\frac {1-\cos x}{2}</math>
** [[lichá funkce|lichá]]
* délka sinusoidy (na intervalu periody): Navinutím grafu funkce <math>y=A\sin(x/r)</math> na válec o poloměru <math>r</math> vznikne [[elipsa]] o poloosách <math>r</math>, <math>\sqrt{r^2+A^2}</math>. Díky této transformaci lze k&nbsp;výpočtu použít četné nástroje pro obvod elipsy.
** [[Omezená funkce|omezená shora i zdola]]
* funkce sinus:
** [[periodická funkce|periodická]] s&nbsp;periodou <math>2k\pi</math>
** je [[lichá funkce|lichá]]
** je [[Omezená funkce|omezená shora i zdola]]
** je [[periodická funkce|periodická]] s&nbsp;nejmenší periodou <math>2\pi</math>
** není [[Prosté zobrazení|prostá]]
 
== Sinus a kvadranty ==
[[Soubor:Sine quads 01 Pengo.svg|náhled|462x462pixelů|Čtyři kvadranty kartézské soustavy souřadnic. Po jednotkové kružnici (obrázek vlevo) se pohybujeme proti směru hodinových ručiček a začínáme napravo (přechod žluté a hnědé barvy).]]
Pohybujeme se v [[Kartézská soustava souřadnic|kartézské soustavě souřadnic]] se čtyřmi kvadranty. Níže uvedená tabulka zobrazuje několik klíčových vlastností sinusové funkce dle konkrétního kvadrantu. Pro argumenty mimo tabulku lze vypočítat odpovídající informace pomocí periodicity funkce sinus.
{| class="wikitable"
!Kvadranty
!Stupně
!Radiány
!Hodnota
!Hodnota sinu +/−
|-
|I.
|0° < x < 90°
|0 < x < π/2
|0 < sin(x) < 1
| +
|-
|II.
|90° < x < 180°
|π/2 < x < π
|0 < sin(x) < 1
| +
|-
|III.
|180° < x < 270°
|π < x < 3π/2
| −1 < sin(x) < 0
| −
|-
|IV.
|270° < x < 360°
|3π/2 < x < 2π
| −1 < sin(x) < 0
| −
|}
Následující tabulka uvádí základní hodnoty na hranicích kvadrantů:
{| class="wikitable"
!Stupně
!Radiány
!sin (x)
|-
|0°
|0
|0
|-
|90°
|π/2
|1
|-
|180°
|π
|0
|-
|270°
|3π/2
| −1
|}
 
[[Soubor:Unit circle angles.svg|náhled|upright=1.8|Úhly jsou udávány ve stupních a radiánech spolu s odpovídajícím průsečíkem na jednotkové kružnici (cos (θ), sin (θ)).]]
 
== Hodnoty sinus na jednotkové kružnici ==
Tabulka pro orientaci v jednotkové kružnici ve stupních a radiánech:
{| class="wikitable"
! colspan="3" |''x'' (úhel)
|-
|Stupně
|Radiány
|Otočení v kružnici
|-
|0°
|0
|0
|-
|180°
|π
|1/2
|-
|15°
|π/12
|1/24
|-
|165°
|11π/12
|11/24
|-
|30°
|π/6
|1/12
|-
|150°
|5π/6
|5/12
|-
|45°
|π/4
|1/8
|-
|135°
|3π/4
|3/8
|-
|60°
|π/3
|1/6
|-
|120°
|2π/3
|1/3
|-
|75°
|5π/12
|5/24
|-
|105°
|7π/12
|7/24
|-
|90°
|π/2
|1/4
|}
Tabulka hodnot po 90° v jednotkové kružnici:
{| class="wikitable"
|''x'' ve stupních
|0°
|90°
|180°
|270°
|360°
|-
|x v radiánech
|0
|π/2
|π
|3π/2
|2π
|-
|''x'' po 1/4 kružnice
|0
|1/4
|1/2
|3/4
|1
|-
|hodnota sin ''x''
|0
|1
|0
| −1
|0
|}
 
== Výpočty hodnot ==
Sinus, stejně jako ostatní goniometrické funkce, patří mezi tzv. transcendentální funkce, jejichž hodnoty nelze přímo vypočítat pomocí elementárních operací. Pro výpočty s goniometrickými funkcemi se používají počítače a vědecké kalkulátory, takže jejich hodnoty většinou není třeba počítat. Pro ruční výpočet se používaly tabulky, kde byly tyto hodnoty už vypočteny pro určité hodnoty úhlů, a pro mezilehlé hodnoty se používala [[interpolace]]. Pro výpočty například při tvorbě takových tabulek se používají nekonečné řady. V počítačích a kalkulátorech se hodnoty goniometrických funkcí obvykle aproximují pomocí snáze vypočítatelných hodnot obvykle Čebyševových [[polynom]]ů nebo nekonečných řad ([[Taylorova řada]])
 
Hodnoty goniometrických funkcí lze však přesně určit pro všechny násobky 60° a 45°, a to následujícím způsobem:
 
Mějme rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník s délkami odvěsen a=b=1; úhly při přeponě jsou stejné a tedy rovné <math>\pi/4</math> (45°). Pak podle [[Pythagorova věta|Pythagorovy věty]]:
:<math> c = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt 2 </math>
a tedy ovšem
:<math>\sin \frac{\pi}{4} = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt2}{2}</math>
:<math>\mbox{tg} \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt2}{\sqrt2} = 1</math>
 
Goniometrické funkce úhlů <math>\pi/3</math> radiánů (60°) a <math>\pi/6</math> radiánů (30°) se určí pomocí [[Rovnostranný trojúhelník|rovnostranného trojúhelníka]] se stranami délky 1. Všechny jeho úhly jsou rovny <math>\pi/3</math> radiánů (60°). Když ho rozdělíme na poloviny, získáme pravoúhlý trojúhelník s&nbsp;úhly o velikostech <math>\pi/6</math> a <math>\pi/3</math>. Jeho kratší odvěsna má délku <math>1/2</math>, delší <math>{\sqrt3}/2</math> a přepona délku 1. Pak tedy:
:<math>\sin \frac{\pi}{6} = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}</math>
:<math>\cos \frac{\pi}{6} = \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt3}{2}</math>
:<math>\mbox{tg} \frac{\pi}{6} = \mbox{cotg} \frac{\pi}{3} = \frac{1}{\sqrt3}</math>
 
== Sinus v komplexním oboru ==
Řádek 44 ⟶ 219:
Tyto [[vzorec|vzorce]] plynou přímo z příslušných definičních [[mocninná řada|mocninných řad]] daných [[Funkce (matematika)|funkcí]]. Sinus je na celé komplexní rovině [[Bijekce|jednoznačná]] [[holomorfní funkce|holomorfní]] funkce.
 
== Odkazy ==

=== Související články ===
* [[Sinová věta]]
* [[Kosinus]]
 
=== Externí odkazy ===
* {{Commonscat}}
* {{Wikislovník|heslo=sinus}}
* [https://web.archive.org/web/20100304140415/http://mathworld.wolfram.com/Sine.html Sinus v encyklopedii MathWorld] (anglicky)
* [http://functions.wolfram.com/ElementaryFunctions/Sin/ Vzorce obsahující sinus na functions.wolfram.com] (anglicky)
 
{{Goniometrické funkce}}
{{Autoritní data}}
 
{{Portály|Matematika}}
 
[[Kategorie:Goniometrické funkce]]
 
[[no:Trigonometriske funksjoner#Sinus, cosinus og tangens]]
Citováno z „https://cs.wikipedia.org/wiki/Sinus“