上课听老师讲 $$ R(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}=\frac{(z-a_1) \cdots (z-a_n) }{(z-b_1) \cdots (z-b_m)}$$在$\overline{\mathbb{C}}$ 的零点和极点个数都是 $\max (n,m)$，但是我并不能理解。$R(z)$的极点等于 $R(\frac1t)$的零点，$R(z)$的零点等于 $R(\frac1t)$的极点。我不能理解二者为什么这其中有相交的，以及二者都是 $\max (n,m)$。
我想也许可能是有些前置知识不懂的原因，如果能推荐些书的话也很感谢
不妨设 $m > n$. 那极点是 $b_1,\dots, b_m$, 零点是 $a_1, \dots, a_n$ 以及 $\boldsymbol {(n-m)}$ 个 $\boldsymbol {\infty}$. $R$ 在 $\infty$ 处有 $n-m$ 重零点是因为 $R(\infty) = 0$ 且 $\lim_{z \to \infty} R(z)/z^{n-m} \neq 0$.
至于零点与极点本身, $R(z)$ 的极点与零点是 $\boldsymbol {1/R(z)}$ 的零点与极点 , 不是 $R(1/t)$： 用孤立奇点的相关定义可立即看到这点. 例如最简单的 $$R(z) = 2z-1, R(1/z) = 2z^{-1} - 1= (2-z)/z,$$ 前者的零点 $1/2$, 极点 $\infty$, 后者的零点 $2$ 极点 $0$.
$R$在$\infty$处的零点就是
$$
R\left(\frac1t\right)=\frac{(\frac1t-a_1) \cdots (\frac1t-a_n) }{(\frac1t-b_1) \cdots (\frac1t-b_m)}=\frac{(1-a_1t) \cdots (1-a_n t) }{(1-b_1 t) \cdots (1-b_m t)}t^{m-n}
$$
在$0$处的零点，计入重数一共有$\max\{m-n,0\}$个. 加上$\mathbb{C}$上的$n$个，一共 $\max\{m,n\}$个. 紧Riemann面上亚纯函数极点的数量等于零点的数量，也是$\max\{m,n\}$个.
理解了，我把 $\frac{1}{R(z)}$ 想成 $R(\frac1z)$ 了。感谢二位详细的解答！