证明维数在流形的连通分支上是良定的，即若两点连通则它们坐标卡的维数相同。

设$M(n)$为$M$中所有坐标卡维数是$n$的点组成的集合。$M(n)$显然为开集，又$M(n)$的补集是$\cup_{k\neq n}M(k)$也是开集，所以$M(n)$也是闭集。所以$M(n)$又开又闭，所以包含连通分支。