该问题源于Geometry, Topology and Physics, Second Edition.
书中首先给了两个习题:
以下$\lambda_i$都是指$A$的所有特征值。
(1)设$A$为对称正定实矩阵,证明:
$$\int dx_1...dx_n\exp\left[-\sum_{i,j}x_iA_{ij}x_j\right]=\pi^{n/2}\prod_i\lambda_i^{-1/2}$$
(2)设$A$为厄密正定矩阵,证明:
$$\int dz_1d\bar z_1...dz_nd\bar z_n\exp\left[-\sum_{i,j}\bar z_iA_{ij}z_j\right]=\pi^n\prod_i\lambda_i^{-1}$$
这两个问题实际上都不难,当然,第二问其实有错误,因为$dz\wedge d\bar z=(dx+idy)\wedge(dx-idy)=-2idx\wedge dy$,并不等于$dx\wedge dy$,也就是说等号右侧应该是$(-2\pi i)^n\prod_i\lambda_i^{-1}$。
接着正文中出现了这么一段内容:
设$A$为$n\times n$厄密正定矩阵,且特征值为$\lambda_k$,那么对于实变量$x_k$,根据上述习题有:
$$\prod_{k=1}^n\left(\int_{-\infty}^\infty dx_k\right)\exp\left[-\frac12\sum_{p,q}x_pA_{pq}x_q\right]=?\prod_k\lambda_k^{-1/2}$$其中$?$是指某和$n$有关的常数,但是我实在没看出来这东西要怎么根据那两个习题得出,哪冒出来的对厄密矩阵在实空间上积分的操作?