该问题源于Geometry, Topology and Physics, Second Edition.
书中首先给了两个习题：
以下$\lambda_i$都是指$A$的所有特征值。
(1)设$A$为对称正定实矩阵，证明：
$$\int dx_1...dx_n\exp\left[-\sum_{i,j}x_iA_{ij}x_j\right]=\pi^{n/2}\prod_i\lambda_i^{-1/2}$$
(2)设$A$为厄密正定矩阵，证明：
$$\int dz_1d\bar z_1...dz_nd\bar z_n\exp\left[-\sum_{i,j}\bar z_iA_{ij}z_j\right]=\pi^n\prod_i\lambda_i^{-1}$$
这两个问题实际上都不难，当然，第二问其实有错误，因为$dz\wedge d\bar z=(dx+idy)\wedge(dx-idy)=-2idx\wedge dy$，并不等于$dx\wedge dy$，也就是说等号右侧应该是$(-2\pi i)^n\prod_i\lambda_i^{-1}$。
接着正文中出现了这么一段内容：
设$A$为$n\times n$厄密正定矩阵，且特征值为$\lambda_k$，那么对于实变量$x_k$，根据上述习题有：
$$\prod_{k=1}^n\left(\int_{-\infty}^\infty dx_k\right)\exp\left[-\frac12\sum_{p,q}x_pA_{pq}x_q\right]=?\prod_k\lambda_k^{-1/2}$$其中$?$是指某和$n$有关的常数，但是我实在没看出来这东西要怎么根据那两个习题得出，哪冒出来的对厄密矩阵在实空间上积分的操作？

没区别吧……$x_p$是实的所以$\sum x_pA_{pq}x_q=\sum x_p(A_{pq}+A_{qp})x_q/2=\sum x_p \mathrm{Re}(A_{pq})x_q$，然后就是对称正定实矩阵了……

@Hachiri Tomoko 没区别吧……$x_p$是实的所以$\sum x_pA_{pq}x_q=\sum x_p(A_{pq}+A_{qp})x_q/2=\sum x_p \mathrm{Re}(A_{pq})x_q$，然后就是对称正定实矩阵了……

原书就是写错了，$A$应该是对称实矩阵，否则答案应该是$A$的实部的特征值的平方根倒数的积

@鹿目まどか 原书就是写错了，$A$应该是对称实矩阵，否则答案应该是A的实部的特征值的平方根倒数的积

这是书上第几页的习题？

@eroica 这是书上第几页的习题？

章节编号是1.4.2

@鹿目まどか 章节编号是1.4.2

那这里确实是作者错了。这个结论只对实对称矩阵成立。但是后面作者是不是也只处理矩阵是实的情况？

@eroica 那这里确实是作者错了。这个结论只对实对称矩阵成立。但是后面作者是不是也只处理矩阵是实的情况？

是的，后文的那个算符就是个实算符

@voidvalue (2)错了，但2楼应该是想说这个推论只依赖于(1)，因为可以变成对称正定实矩阵的二次型

但是正文行文里说的是A的特征值，而不是A的实部的特征值。

@voidvalue (2)错了，但2楼应该是想说这个推论只依赖于(1)，因为可以变成对称正定实矩阵的二次型

习题（2）应该是没错的，因为$z_i$也是复的。但是后面正文中的过程有错。

@eroica 习题（2）应该是没错的，因为$z_i$也是复的。但是后面正文中的过程有错。

(2)的系数有点错误，好像不少地方有dz d bar z=dxdy的约定，不晓得是怎么形成的。

@eroica 习题（2）应该是没错的，因为$z_i$也是复的。但是后面正文中的过程有错。

https://math.stackexchange.com/questions/3976574/how-does-int-dz-d-bar-z-evaluate-to-int-int-dx-dy
你看这个，有这种奇怪约定的地方怕是不少。