最近一段准备就这一题目作几个报告，于是想连载一些相关的notes，算是整理一下思路，不定期更
发在这里依然是存档意味w
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【1】物理背景和历史（略）

【2】问题的叙述

      考虑$\mathbb{R}^3$中$N$个粒子的硬球模型：每个粒子为质量相同的，直径$\varepsilon$的球，粒子间除直接碰撞外无相互作用，而碰撞皆为完全弹性的。二粒子碰撞时连心线方向的速度分量互换，垂直方向的速度分量不变。具体来说，假设碰撞前二粒子中心的位置为$(x,x')$，其速度为$(v,v')$，满足$|x-x'|=\varepsilon$，则碰撞后二粒子的速度变为
\begin{equation}\label{col}v_1=v-[(v-v')\cdot\omega]\omega,\quad v_1'=v'+[(v-v')\cdot\omega]\omega,\end{equation}其中$\omega$满足$x-x'=\varepsilon\omega$和$|\omega|=1$。

      以下我们考虑Boltzmann-Grad scaling，即$N\varepsilon^2=1$。以$z_j=(x_j,v_j)$表记粒子的状态向量。设定初始（$t=0$）时刻各粒子的状态为随机变量，其密度函数为
\[W_{N}(0,z_1,\cdots,z_N)=\frac{1}{\mathcal{Z}}\prod_{j=1}^N f_0(z_j)\prod_{1\leq i<j\leq N}\mathbf{1}_{|x_i-x_j|\geq\varepsilon},\]其中$\mathcal{Z}$为归一化常数。换言之，除去物理空间的限制$|x_i-x_j|\geq\varepsilon$以外，各粒子的状态应当互相独立且单个粒子的密度函数为$f_0$，其中$f_0(z)$是满足积分为$1$和对$v$满足Gauss衰减性条件的非负函数，它将作为Boltzmann方程的初值。

      对以上定义的$N$粒子系统的随机初始状态，考虑其时间演化，在时间$t>0$的密度函数定义为$W_N(t,\boldsymbol{z})$，并对任何有限（$s$个）粒子定义其联合密度函数
\begin{equation}\label{joint}f_s(t,z_1,\cdots,z_s)=\int W_N(t,z_1,\cdots,z_N)\,\mathrm{d}z_{s+1}\cdots \mathrm{d}z_N.\end{equation}考虑以$f_0$为初值的Boltzmann方程的解，记为$f(t,x,v)$，其满足$f(0,x,v)=f_0(x,v)$以及
\begin{equation}\label{bol}(\partial_t+v\cdot\nabla_x)f=\int_{\mathbb{S}^2}\int_{\mathbb{R}^3}[(v-v')\cdot\omega]_+\cdot(f_1f_1'-ff')\,\mathrm{d}\omega\mathrm{d}v',\end{equation}这里$f=f(t,x,v)$及$f_1'=f(t,x,v_1')$等，其中$(v_1,v_1')$为$(v,v',\omega)$的函数并由$(\ref{col})$给出。

      本系列的目标是证明如下的定理：
      【定理1】（Y. Deng-Z. Hani-X. Ma 2024）设以$f_0$为初值的Boltzmann方程$(\ref{bol})$在$[0,t_*]$上存在（强）解，则对任何$0\leq t\leq t_*$及正整数$s$，当$\varepsilon\to 0$时，由$(\ref{joint})$定义的联合密度函数满足
\begin{equation}\label{app}\bigg\|f_s(t,z_1,\cdots,z_s)-\prod_{j=1}^s f(t,z_j)\bigg\|_{L^1(\mathbb{R}^{6s})}\leq\varepsilon^\theta,
\end{equation}其中$\theta>0$是绝对常数。

【3】短时间与长时间

      在【定理1】以前，所有已知的结果（O. Lanford 1975, I. Gallagher-L. Saint Raymond-B. Texier 2014等）均要求时间$t_*$足够小（或限制于near vaccum情形，即$N\varepsilon^2\ll 1$），换言之，它们都是所谓的短时间结果。那么，相较于这类短时间结果，【定理1】所考虑的长时间问题（其中$t_*$可任意大），其难点究竟在何处呢？为此，我们先来考察在$t_*\ll 1$情形的一个经典证明。

      假设$t\leq t_*\ll 1$。如 [Lanford 1975] 或 [Gallagher-Saint Raymond-Texier 2014]，记\[f_s(t,z_1,\cdots,z_s)\]如$(\ref{joint})$定义，则它们满足所谓的BBGKY hierarchy：
\begin{equation}\label{bbgky}f_s(t,z_1,\cdots,z_s)=\mathbf{T}_s(t)f_s(0,z_s)+\int_0^t\mathbf{T}_s(t-t')(\mathcal{C}_{s,s+1}f_{s+1})(t',z_1,\cdots,z_s)\,\mathrm{d}t',
\end{equation}其中$\mathbf{T}_s(t)$为$s$粒子碰撞系统定义的变换群对应的拉回算子，而
\begin{multline*}\mathcal{C}_{s,s+1}f_{s+1}(z_1,\cdots,z_s)=\sum_{i=1}^s\sum_{\pm}\pm\int_{\mathbb{S}^{2}}\int_{\mathbb{R}^3}[(v_{s+1}-v_i)\cdot\omega]_{\pm}\\\times f_{s+1}(z_1,\cdots,z_s,x_i+\varepsilon\omega,v_{s+1})\,\mathrm{d}\omega\mathrm{d}v_{s+1},\end{multline*}注意这里我们忽略了形如$(N-s)\varepsilon^2$之类的因子[注1]。

      实际上$(\ref{bbgky})$的具体形式对我们并不重要，关键是它给出了一个用$f_{s+1}$表示$f_s$的方程。从此出发，我们可以把每个$f_s(t)$表示为只含$(f_{s+k}(0))_{k\geq 0}$的某个时间重积分对$k\geq 0$的求和。注意，在$t\leq t_*\ll1$时，这一积分-求和表达式是以几何级数绝对收敛的（实际上，它可被看成某个微扰展开对应的Taylor级数）。这一事实体现为在$t\ll 1$时，$f_s(t)$满足的一致估计
\begin{equation}\label{uniform}\|f_s(t)\|_{L^{\infty}}\leq C^s,\end{equation}其中$C$是某绝对常数，或者等价地说
\begin{equation}\label{conv}f_s(t)=\sum_{k\geq 0}\int\cdots\int (\mathbf{T}\mathcal{C}\cdots\mathbf{T}\mathcal{C})f_{s+k}(0)\,\mathrm{d}t_1\cdots\mathrm{d}t_k= \sum_{k\geq 0}O(C^{s+k}t^k)
\end{equation}在$t\ll 1$时绝对收敛。

      在有了这点之后，我们便可以逐项估计$(\ref{conv})$中的各项，并证明除了主项（即$s$粒子系统无碰撞，$\mathbf{T}_s(t)$转化为线性传播算子，对应于Boltzmann hierarchy）外的各项（即存在所谓recollision的项）都满足
\[|f_s^{\mathrm{err}}(t)|\leq \sum_{k\geq 0}O(C^{s+k}t^k\cdot \varepsilon^\theta),\]其中$\theta>0$是绝对常数，从而得到所要的估计$(\ref{app})$。

      很明显，在短时间情形$t\ll 1$的证明中，先验估计$(\ref{uniform})$或等价的$(\ref{conv})$起了至关重要的作用。事实上，按 [Gallagher-Saint Raymond-Texier 2014] 中的评述，如果对某个（未必足够小的）时间$t$，能够证明有先验估计$(\ref{uniform})$或$(\ref{conv})$成立，则完全相同的证明可以导出$(\ref{app})$成立。然而，对于长时间$t\gtrsim1$的情况，$(\ref{uniform})$或$(\ref{conv})$真的能够成立吗？

      答案是否定的。事实上，如果把$f_s(t)$展开为$(f_{s+k}(0))_{k\geq 0}$的级数，则这一级数的主项正是将Boltzmann方程$(\ref{bol})$的解$f(t,x,v)$展开为其初值$f_0(x,v)$与时间$t$的Taylor级数[注2]时，其展开式中的各项。因而，如果$(\ref{uniform})$或$(\ref{conv})$对某时间$t$能够成立，便意味着$f(t,x,v)$能够以$0$为中心展开为在时间$t$收敛的Taylor级数。但这一条件明显太强了：对一般的非线性方程，即使$f(t)$对时间$t$解析，一般也不意味着$f(t)$以$0$为中心的Taylor级数收敛。这只须考虑最简单的非线性方程$f'=-f^2$的解$f(t)=1/(t+1)\,(t\geq 0)$即可看出。

      综上所述，在我们考虑的情形$t\gtrsim 1$，一般并不能期望有先验估计$(\ref{uniform})$或$(\ref{conv})$成立，从而已知文献中的证明全部失效。对此，我们又当作何打算呢？

[注1]：这一因子可通过考虑所谓grand-canonical ensemble（即粒子个数不固定为$N$而取为某个期望为$N$的Poisson分布）来去除。本系列中我们将忽略这一细节。
[注2]：严格来讲这并非Taylor级数（因Boltzmann的线性部分是输运方程），但其具有与Taylor级数相似的性质与收敛性，这里简单地将其当成Taylor级数来处理。

今年八月九月有点太轰动了，估计要连着出好几个进展。;)

mark
邓煜近年好几篇Inventiones，这篇接近解决硬球模型希尔伯特第六问题，看起来Inventiones预定了hhh
理解这个定理的证明是否需要对邓煜和Zaher Hani在之前wave kinetic equation中的工作有所了解？

@YUCHEN M. mark
邓煜近年好几篇Inventiones，这篇接近解决硬球模型希尔伯特第六问题，看起来Inventiones预定了hhh
理解这个定理的证明是否需要对邓煜和Zaher Hani在之前wave kinetic equation中的工作有所了解？

证明本身是self contained，但了解之前wave kinetic equation的文章会有帮助，因为思路可说是一脉相承的

@Hachiri Tomoko 证明本身是self contained，但了解之前wave kinetic equation的文章会有帮助，因为思路可说是一脉相承的

牛哇！

【4】时间分层与累积量（cumulant）

      为了解决上述发散问题，最自然的想法是将时间区间$[0,t]\,(t\gtrsim 1)$划分为足够小的区间$[(\ell-1)\tau,\ell\tau]$，其中$\tau$充分小，$1\leq\ell\leq L:=t/\tau$。简便起见我们称区间$[(\ell-1)\tau,\ell\tau]$为第$\ell$层。考虑Boltzmann方程的解$f(t,x,v)$，显然只要$\tau>0$足够小（依赖于$f$在$[0,t]$上适当范数的上界），就有$f(t)$在第$\ell$层上能够以$(\ell-1)\tau$为中心展开为收敛的Taylor级数。

      这样，如果我们考虑从时间$(\ell-1)\tau$到$\ell\tau$的演化，已知文献中的短时间展开法至少便有了适用的基础。当然问题依然存在：在$t=0$时各粒子状态互相独立[注1]，而这点在$t=(\ell-1)\tau>0$时显然无法保持；在存在相关性的情况下，要如何进行短时间展开呢？显然我们需要对各阶联合密度函数$f_s(\ell\tau,z_1,\cdots,z_s)$有更具体的刻画。简便起见，以下我们用粗体的$\boldsymbol{z}_s$表示$(z_1,\cdots,z_s)$，一般地用粗体的$\boldsymbol{z}_R$表示$(z_j:j\in R)$。

      对具有联合密度函数$f_s=f_s(\ell\tau,\boldsymbol{z}_s)$的$s$个随机变量，其相关性可以用所谓累积量（cumulant）来刻画，即
\begin{equation}\label{cumu}f_s(\ell\tau,\boldsymbol{z}_s)=\sum_{H\subseteq \{1,\cdots,s\}}f(\ell\tau)^{\otimes (H^c)}\cdot E_H(\ell\tau,\boldsymbol{z}_H),
\end{equation}其中$f(\ell\tau)$是Boltzmann方程的解（严格来说，是近似解），而$E_H$则是累积量[注2]。这一展开式$(\ref{cumu})$相关的数学处理最早见于 [Pulvirenti-Simonella 2016] 。直观上来讲，$E_H$度量了各粒子状态$z_j$间的相关性；$E_H\equiv 0$（默认$E_{\varnothing}=1$）对应于完全独立的情形。

      一个很重要的观察是，既然$t=0$的诸粒子状态互相独立，那么在时刻$t=\ell\tau$的相关性，即$E_H(\ell\tau)$，将取决于各粒子在时间$[0,\ell\tau]$上的碰撞历史。比如说，如果粒子$1$和粒子$2$在时间$[0,\ell\tau]$上相碰，或者它们都与粒子$3$相碰，则它们的状态就被「联系了起来」，从而产生了相应的二阶累积量$E_2(\ell\tau,z_1,z_2)$。换言之，这些累积量记录了各粒子$1,\cdots,s$在时间$[0,\ell\tau]$上的全部碰撞历史。这一观点在第一阶段的证明中将起到至关重要的作用。

      回到展开式$(\ref{cumu})$。显然，要证明目标结论$(\ref{app})$，我们只需证明各$E_H$的$L^1$模充分小即可。实际上我们预期有
\begin{equation}\label{cumu.bound}\|E_H(\ell\tau)\|_{L^1}\lesssim \varepsilon^{c|H|},
\end{equation}其中$c>0$是绝对常数。那么，一个看似自然的方案便是通过对$\ell$归纳，来证明下列结论：

【引理？】若对某个$\ell\leq L$，展开式$(\ref{cumu})$对$\ell-1$成立，且各累积量$E_H((\ell-1)\tau)$满足$(\ref{cumu.bound})$，则同样的展开式$(\ref{cumu})$和估计$(\ref{cumu.bound})$在弱化某些常数后对$\ell$也成立。

那么，这一思路究竟可行否？请见下期。

[注1]：严格来说，由于限制$|x_i-x_j|\geq\varepsilon$的存在，完全独立性并不成立。但这一限制导致的相关性可以较为轻易地处理，因此以后我们将忽略这点并认为时间$0$的各粒子状态完全独立。
[注2]：这里$(\ref{cumu})$中定义的累积量与概率中标准定义并不完全一致（但思路是一致的），这一定义用在此处较为方便。另如wave turbulence的情形 [Deng-Hani 2023]，其用到的就是概率中标准定义的累积量。