Espai T1

En topologia, un espai T₁ o de Fréchet es un cas particular d'espai topològic.

Definició

Un espai topològic $E$ és $T_{1}$ si per a cada parella d'elements diferents $x$ i $y$ d'$E$ existeix un obert que conté $x$ i no $y$ i un obert que conté $y$ i no $x$. Noti's que no es necessari que aquests dos oberts siguin disjunts, cas en què estaríem parlant d'espais de Hausdorff o $T_{2}$).

Propietats

Sigui $E$ un espai topològic. Són equivalents:

• $E$ és un espai $T_{1}$.
• $E$ és un espai $T_{0}$ i un espai $R_{0}$.
• Per a cada $x$ d'$E$, $\{x\}$ és tancat.
• Tot conjunt d'un únic punt és la intersecció dels seus entorns.
• Tot subconjunt d'$E$ és la intersecció dels seus entorns.
• Tot subconjunt finit d'$E$ és tancat.
• Tot subconjunt cofinit d'$E$ és obert.
• L'ultrafiltre principal d'$x$ convergeix només a $x$.
• Per a cada punt $x$ d'$E$ i tot subcojunt $S$ d'$E$, $x$ és un punt adherent de $S$ si i només si és un punt d'acumulació de $S$.

A més a més, la propietat de separació T₁ és hereditària, la qual cosa significa que els subespais d'un espai T₁ també són T₁.

Nota i casos

• Sigui $(\mathbb {N} ,\tau )$, on $\tau =\{A\subset \mathbb {N} ;x\in A$ i $\mathbb {N} -A$ és finit$\}$. Aleshores T es una estructura topològica sobre ℕ, anomenada estructura topològica cofinita que és T₁ però no T₂.

• Qualsevol espai T₁ finit és un espai topològic discret.

• Sigui $X=\{a,b,c\}$ i la topologia que consisteix dels subconjunts de X següents: $\emptyset$, $\{b\}$, $\{a,b\}$, $\{b,c\}$, $X$ no és T₁, ja que $\{b\}$ no és tancat.

Teorema

Un espai topològic és T₁ si i només si cada punt és un conjunt tancat.

Exemples

• La topologia cofinita sobre un conjunt infinit és T₁, però no és T₂.
• L'espai topològic de Sierpinski és T₀, però no és T₁.

Vegeu també

• Axioma de separació
• Espai de Kolmogórov (T₀)
• Espai de Hausdorff (T₂)

Enllaços externs

• Propietats dels espais de Fréchet (castellà)